关于辛普森(simpson)公式在线路坐标计算中的应用
常微分方程的simpson公式
常微分方程的simpson公式1. 概述常微分方程是描述自变量的一阶导数和未知函数之间关系的方程。
在实际问题中，常微分方程的求解十分重要，可以描述种种自然现象的演化规律，也是物理、生物、经济等多个学科的基础。
在数值求解常微分方程时，simpson公式是一种被广泛应用的数值积分方法，能够在离散的点上对函数进行数值积分。
2. Simpson公式的原理和应用Simpson公式是一种数值积分方法，其原理基于积分中值定理和牛顿-卡索公式。
对于一个给定的函数 f(x)，我们希望计算其在区间 [a, b] 上的定积分∫(a到b) f(x)dx。
Simpson公式给出的积分近似值为\[ \int_{a}^{b} f(x)dx \approx \frac{h}{3} [f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + \cdots + 2f(x_{n-2}) + 4f(x_{n-1}) + f(x_n)] \]其中，h 是区间 [a, b] 的步长，即 h=(b-a)/n，n 为等分数。
Simpson公式的应用非常广泛，尤其在解常微分方程时扮演重要角色。
利用数值积分方法，我们可以将常微分方程的求解转化为对一阶导数的数值积分。
具体来说，若已知常微分方程的初值条件，我们可以通过适当的步长和积分方法得到未知函数在一系列离散点的近似值，从而得到整个函数的近似解。
3. Simpson公式的优缺点作为一种数值积分方法，Simpson公式具有一定的优缺点。
它的计算简单直观，易于理解和编程实现，因此在实际应用中非常方便。
与其他数值积分方法相比，Simpson公式具有较高的精度和稳定性，特别是对于光滑的函数和较小的步长。
但是，Simpson公式也存在一些不足之处，例如在处理非光滑函数、函数不连续的情况下可能存在较大误差，需要做适当的修正和优化。
4. 结论Simpson公式是一种简单而实用的数值积分方法，广泛应用于常微分方程的求解和其他科学计算领域。
辛普森程序(万能程序)摘自《公路测量与试验检测程序及计算案例》
辛普森程序（万能程序）摘自《公路测量与试验检测程序及计算案例》程序清单1、正算程序（Simpson-ZS）Lbl 0↙(数字)“XA”?A:“YA”?B↙“FWJ”?C↙“1÷RA”?D:“DKA”?F↙Lbl 1↙“1÷RB”?E:“DKB”?G↙Lbl 2↙“DKI”?K↙“BJ(m)”?O↙(字母)If K＞G: Then X→A: Y→B: E→D: G→F: J→C: Goto1: IfEnd↙(E-D)÷Abs(G-F)→P↙Abs(K-F)→Q↙P*Q→I↙D+I→T↙C+(I+2D)Q*90÷Л→J↙If J＜0: Then J+360→J: Else If J＞360: Then J-360→J: Else J→J: IfEnd: IfEnd↙(数字)“FWJ=”◢C+(I÷4+2D)Q*45÷2÷Л→M↙C+(3I÷4+2D)Q*135÷2÷Л→N↙C+(I÷2+2D)Q*45÷Л→H↙A+Q÷12*(Cos(C)+4(Cos(M)+Cos(N))+2Cos(H)+Cos(J))→X↙B+Q÷12*(Sin(C)+4(Sin(M)+Sin(N))+2Sin(H)+Sin(J))→Y↙X+O*Cos(J+90)→W↙(字母)“XR=”:W◢Y+O*Sin(J+90)→Z↙(字母)“YR=”:Z◢Goto 2↙Goto 0↙2、反算主程序（Simpson-FS01）10→Dimz↙“XA”?A:“YA”?B↙“FWJ”?C↙“1÷RA”?D:“DKA”?F↙Lbl 1↙“1÷RB”?E:“DKB”?G↙Lbl 2↙“X(P)”?U:“Y(P)”?V↙Abs((V-B)Cos(C-90)-(U-A)*Sin(C-90))→L↙Lbl 3↙F+L→K↙If K＞G: Then G→K: Prog“Simpson-FS02”: X→A: Y→B: E→D: G→F: J→C: Goto 1: IfEnd↙Prog“Simpson-FS02”↙(V-Y)Cos(J-90)-(U-X)Sin(J-90)→R↙If Abs(R)≤0.0000001: Then “DK(m),D(m),H(m)”: K◢(Y-V)÷Sin(J-90)+3.355→Z[1]◢Prog“Simpson-CQW”↙“+C,-Q”:T◢Goto 2: Else L+R→L: Goto 3: IfEnd↙3、反算子程序（Simpson-FS02）(E-D)÷Abs(G-F)→P↙Abs(K-F)→Q↙P*Q→I↙D+I→T↙C+(I+2D)Q*90÷Л→J↙C+(I÷4+2D)Q*45÷2÷Л→M↙C+(3I÷4+2D)Q*135÷2÷Л→N↙C+(I÷2+2D)Q*45÷Л→H↙A+Q÷12*(Cos(C)+4(Cos(M)+Cos(N))+2Cos(H)+Cos(J))→X↙B+Q÷12*(Sin(C)+4(Sin(M)+Sin(N))+2Sin(H)+Sin(J))→Y↙Return↙4、超欠挖（Simpson-CQW）10→Dimz↙K≥6700 AND K≤7239.2=>729.05+(K-6700)*0.002→Z[2]◢K≤7500 AND K＞7239.2=>739.834+(K-7239.2)*0.002-(K-7239.2)2÷(2*16000)→Z[2]◢K＞7500 AND K≤7760.8=>741.764+(7760.8-K)*0.0126-(7760.8-K)2÷(2*16000)→Z[2]◢K＞7760.8 AND K≤8730=>741.764-(K -7760.8)*0.0126→Z[2]◢“CD(H)”?→Z[3]↙Z[3]-(Z[2]+1.694)→Z[4]↙Z[4]＞0=>√(Z[4]2+Z[1]2)-6.37→TZ[4]＜0=>√(Z[4]2+Abs(Z[1]+2.50)2)-8.87→TReturn↙６、程序说明该程序为线元法，适用于任意线形，共分为两个部分，正算程序（Simpson-ZS）和反算程序（Simpson-FS）。
复合Simpson公式在线路中边桩坐标计算中的应用
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上式为曲线元任意中桩坐标计算的积分通式。显 然， 只要给出任一点弧长 （或桩号 ， 从理论上讲 & $）
图 ! 曲线元在局部坐标系与线路坐标系中的关系
即可由（3 ）式唯一求得该点在线路坐标系中的坐 标。式中 - ! 、 . ! 表示起点 ! 在线路坐标系中坐标。
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第 -# 卷 第 4 期
测 绘 工 程
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复合 !"#$%&’ 公式在线路中边桩坐标计算中的应用
李全信
（郑州市规划勘测设计研究院， 河南 郑州 !"##"$ ） 摘要： 基于线路曲线任一点切线方位角计算通式， 推出了线路中边桩坐标计算的积 分 通 用 公 式 ； 借助于复合 给出了线路中边桩坐标计算的通用数值模型， 并详细讨论了积分区间等分数 + 的取值问题。 通用模 %&’()*+ 公式， 型的建立， 为线路中边桩的极坐标测设法奠定了坚实的基础。 通用模型 关键词： 中边桩； 切线方位角； %&’()*+ 公式； 中图分类号： ,!-$.$ 文献标识码： / 文章编号： （$##- ） -##0123!3 #41##!21#!
simpson计算定积分
simpson计算定积分在数学中，定积分是一种重要的概念，用于计算曲线下面的面积或者曲线与坐标轴之间的有限区域的面积。
而Simpson法则是一种常用的数值积分方法，可以用于近似计算定积分的值。
本文将介绍Simpson法则的原理和应用，并通过实例演示其计算过程。
一、Simpson法则的原理Simpson法则是基于多项式插值的思想，通过将曲线分割成若干小区间，在每个小区间内使用二次多项式对曲线进行逼近，从而计算定积分的近似值。
其基本原理可以概括为以下几个步骤：1. 将曲线分割成若干个小区间，每个小区间的宽度相同；2. 在每个小区间内选择三个节点，分别为起始点、中点和终点；3. 使用二次多项式对每个小区间的曲线进行逼近；4. 计算每个小区间内的面积，并将其累加得到总面积，即为定积分的近似值。
二、Simpson法则的应用Simpson法则可以用于计算各种类型的定积分，包括多项式函数、三角函数以及指数函数等。
下面以简单的例子来说明其应用过程。
例1：计算定积分∫(0,1) x^2 dx我们将区间[0,1]等分成n个小区间，每个小区间的宽度为h=(1-0)/n。
然后在每个小区间内选择三个节点，分别为起始点xi、中点xi+1/2和终点xi+1。
根据Simpson法则的原理，我们可以得到每个小区间内的面积为：Si = (h/6) * (f(xi) + 4f(xi+1/2) + f(xi+1))将所有小区间的面积累加起来，即可得到定积分的近似值：∫(0,1) x^2 dx ≈ h/6 * (f(x0) + 4f(x1/2) + 2f(x1/2) + ... + 4f(xn-1/2) + f(xn))三、实例演示为了更好地理解Simpson法则的应用过程，我们以计算定积分∫(0,1) x^2 dx为例进行演示。
我们将区间[0,1]等分成n个小区间，假设n=4，则每个小区间的宽度为h=(1-0)/4=0.25。
然后，我们根据Simpson法则的原理，在每个小区间内选择三个节点，分别计算出对应的函数值。
复化辛普森公式在路线中的应用
复化辛普森公式在路线中的应用
复化辛普森公式是数值积分中一种计算积分的方法。
在对一个区间上的函数进行数值积分时，我们可以将这个区间划分成若干个小区间，然后对每个小区间内的函数进行逼近。
复化辛普森公式可以通过将每个小区间内的函数用二次多项式进行逼近，然后对所有小区间进行加权求和，得到整个区间上的积分值。
在路线中，复化辛普森公式可以应用于求解车辆行驶的路程和速度。
我们可以将车辆行驶的路线分成若干个小区间，然后对每个小区间内的速度进行逼近，得到每个小区间内的路程。
然后对所有小区间内的路程进行加权求和，得到整个路线上的总路程。
同时，我们还可以对每个小区间内的速度进行逼近，得到整个路线上的平均速度。
复化辛普森公式的优点在于它的精度比较高，特别是在小区间数量较多时，积分值的误差会比较小。
因此，在路线中使用复化辛普森公式可以得到比较准确的行驶路程和平均速度数据，有利于对车辆的行驶情况进行分析和评估。
公路通用复化辛普森公式匝道点位坐标计算4800源程序
公路通用复化辛普森公式匝道点位坐标计算4800源程序------------------杭浦高速临平互通---------------------本文利用的是计算公路匝道点位坐标的复化辛普森通用公式数学模型,集直线、圆曲线、回旋线通用，占字符内存较小，计算精度不限的程序一、运行变量名称说明：V=1、2分别进入坐标计算、桩号反算K1、K2-------曲线起点、终点里程F0-----------曲线起点方位角R1、R2------曲线起点、终点半径(ρ左-右+，0为直线)X0、Y0-------曲线起点、终点坐标M------------求和累积次数n的2倍(偶数)，精度迭代次数K------------曲线待求点里程BP-----------求点左右偏距(左-右+)ANG-------- -求点的右斜交角X、Y---------曲线求得坐标FW-----------待求点的即时切线方位角XF、YF-------为需求桩号的点坐标DL、K+O、LP分别为桩号误差、求得桩号、左右偏距(左-右+)当曲线的设计半径较小时，为保证点位计算精度，M(即程序中n的2倍)的取值可适当的大些。
M为偶数，直线时M=2即可，经计算M=16即可满足半径为60的小半径曲线精度。
二、曲线计算程序名: Prog "CURVE"Defm 4V"V=1 2"Lbl 0:{KLW}Lbl 4Q"OPT:M0AB1C2D3E4FH5G6I7J8CR9"=0=>Prog "M"△Q=1=>Prog "AB"△Q=2=>Prog "C"△Q=3=>Prog "D"△Q=4=>Prog "E"△Q=5=>Prog "FH"△Q=6=>Prog "G"△Q=7=>Prog "I"△Q=8=>Prog "J"△Q=9=>Prog "CR"△A"K1"B"K2"C"F0"D"R1"E"R2"F"X0"G"Y0"D≠0=>I=1/D:≠=>I=D△E≠0=>J=1/E:≠=>J=E△AbsD+AbsE=0=>M=2:≠=>M=16△V=2=>L=0:W=90△KL"BP"W"ANG"N=0：Z[1]=0：Z[2]=0：Z[3]=0：Z[4]=0 进入坐标迭代计算Lbl2N=N+1：H=2(K-A)/M：R=NH/2+A：R=C+180/π*(I+(J-I)/2(B-A)*(R-A))*(R-A)Int(N/2)=N/2=>Z[1]=Z[1]+cosR：Z[2]=Z[2]+sinR：≠=>Z[3]=Z[3]+cosR：Z[4]=Z[4]+ sinR△N=M=>Goto3：≠=>Goto 2Lbl3X=F+H/6*(cosC+4Z[3]+2Z[1]-cosR)+Lcos(R+W)Y=G+H/6*(sinC+4Z[4]+2Z[2]-sinR)+Lsin(R+W)V=2=>Goto 6△X"X="◢Y"Y="◢R"FW"=R-360Intg(R/360◢Goto 0Lbl 6 进入桩号求算Pol(T"XF"-X,U"YF"-YO=Icos(J-RAbsO≤1e-4=>O"DL"◢K=K+O◢O"LP"=Isin(J-R◢{TU}Goto 6:≠=>K=K+O:L=0:Goto 4三、数据文件：线元要素数据文件每行为一个线元段，逐句执行赋值，直至不满足、运行完成。
辛普森法则公式举例
辛普森法则公式举例好的，以下是为您生成的关于“辛普森法则公式举例”的文章：在数学的奇妙世界里，有一个叫做辛普森法则的家伙，它就像是一把神奇的钥匙，能帮我们解决不少复杂的计算问题。
先来说说啥是辛普森法则吧。
简单来讲，辛普森法则是一种用于数值积分的方法。
比如说，我们要计算一个曲线下面的面积，但是这个曲线的形状又很奇怪，不好直接算，这时候辛普森法则就派上用场啦。
给您举个例子哈。
假设我们有一个函数 f(x) = x² + 2x + 1 ，要计算它在区间 [0, 2] 上的面积。
我们把区间 [0, 2] 分成 n 等份，这里为了简单，咱就先分成 2 等份吧，那每个小区间的长度就是 1 。
然后计算每个区间端点和中点的函数值。
在区间 [0, 1] ，端点是 0 和 1 ，中点是 0.5 。
f(0) = 1 ，f(1) = 4 ，f(0.5) = 1.75 。
在区间 [1, 2] ，端点是 1 和 2 ，中点是 1.5 。
f(1) = 4 ，f(2) = 9 ，f(1.5) = 5.25 。
接下来，就可以用辛普森法则的公式来计算啦。
面积≈ （区间长度 / 3 ）× [ (f(x₀) + f(xₙ)) + 4 × (f(x₁) + f(x₃) +... + f(xₙ₋₁)) + 2 × (f(x₂) + f(x₄) +... + f(xₙ₋₂)) ]在这里，区间长度是 2 ，n = 2 。
所以面积≈ （2 / 3 ）× [ (1 + 9) + 4 × (4 + 5.25) + 2 × 1.75 ] 。
经过计算，就可以得到这个函数在区间 [0, 2] 上的近似面积啦。
我记得有一次，我给班上的学生讲这个辛普森法则。
有个调皮的小家伙，一脸迷茫地看着我，嘴里还嘟囔着：“老师，这也太复杂了，我感觉我的脑袋要转不过来了。
”我笑着对他说：“别着急，咱们一步一步来，你会发现它其实就像玩游戏一样有趣。
复化辛普森公式在FX-5800P计算器中的应用
结合卡西欧Fx-5800P程序计算器浅谈复化辛普森公式在公路测量放样中的应用黄美林杨大伟李将来关键词：卡西欧Fx-5800P，复化辛普森公式，公路曲线，公路测量放样，等分线段，方位角，曲线元曲率在公路工程测量放样中，计算坐标时，通常采用切线支距公式来计算道路中心线上各点的坐标，再计算偏移边距上坐标。
但在不同的曲线上计算时，就需用采用不同的计算公式，这给坐标计算及为不便。
在设有缓和曲线的圆曲线半径较小、卵形曲线上、复曲线上的坐标计算时，其计算误差将相对较大，即便是将公式和展开项都选择对，那么计算也是相当繁杂的。
复化辛普森公式不仅能解决缓和曲线、圆曲线或直线上的坐标计算问题，而且用它计算完全可以顺逆用的（即：不仅能从小里程向大里程桩号计算，还能从大里程桩号向小里程桩号计算），尤其在计算缓和曲线和圆曲线时显得尤为方便。
复化辛普森公式在公路曲线坐标计算中比较方便，精确度高，在公路测量放样中可以说是万能计算公式。
下面先分析复化辛普森公式，再根据公式进行卡西欧Fx-5800P计算器编程，并结合实际进行验证。
一、复化辛普森公式：—曲线元起点X坐标—曲线元起点Y坐标—曲线元起点切线方位角—曲线元2n等分点上切线方位角—曲线元n等分点上切线方位角—曲线元上待求点上切线方位角式中H=（Z i－Z A）/nn—等分线段数Z i—待求点桩号Z A—曲线元起点桩号Z B—曲线元终点桩号ρA—曲线元起点曲率ρB—曲线元终点曲率a i曲线上任意一点处切线方位角二、卡西欧Fx-5800P程序根据以上公式、结合卡西欧计算器程序语言编写程序如下：1.主程序：ZDFXLbl θ: “ZDSJ1,QT2”?V: “XC”?A: “YC”?B: “XP”?X? “YP”?Y ↙V=1=>Goto 2: “BPX”?C: “BPY”?D: “FWJ”?E: “1÷RA”?F: “1÷RB”?G: “BP”?H: “EP”?I: ↙Lbl 2: →K: ↙Fix3 ↙“SP”: K◢Tan-1((A-X) ÷(B-Y)) →L: B-Y＜θ=>9θ-L→L:B-Y＞θ=>27θ-L→L: “AP”: L▶DMS◢Lbl 3: “ZH”?Z: “BJ”?T :“N°”?J：V=1=>Prog”ZDA”：1→L: T<0=>-1→L：↙6→N : (G-F)÷(I-H)→O : (Z-H)÷N→M: ONM+F→P: 9θM÷π→S: E+(P+F)NS→W: 1→Q : ↙C+M÷6×(cosE+cosW+4×∑(cos(E+((Q+θ.5)MO+2F)(Q+θ.5)S), Q, θ, (N- 1))+2∑( cos (E+(OMQ+2F) QS), Q, 1 ,(N- 1)))+LTcos (W+LJ) →X: ↙“X”: X◢D+M÷6×(sinE+sinW+4×∑(sin(E+((Q+θ.5)MO+2F) (Q+θ.5)S, Q, θ, (N- 1) )+2×∑(sin(E+(OMQ+2F)QS) , Q, 1,(N-1)))+LTsin(W+LJ) →Y ↙“Y”: Y◢Goto 22.子程序 ZDAZ≤（曲线终点桩号）=>Goto X↙……Lbl X: 起点X→C: 起点Y→D：起点方位角→E：起点曲率半径→F: 终点曲率半径→G: “F、G”曲线左转-右转+直线θ起点桩号→H: 终点桩号→I: Goto θ……Lblθ:三、与实际线性进行验算：下面以映汶高速公路绵虒互通A匝道为例进行验算：1.基础数据曲线形式2.根据以上数据可得Fx-5800P程序数据库：（图上圈内数字为曲线分段数）ZDAZ≤112=>Goto 1↙直线Z≤210.272=>Goto 2↙缓和曲线右转Z≤260.272=>Goto 3↙圆曲线右转Z≤295.272=>Goto 4↙缓和曲线右转Z≤347.272=>Goto 5↙圆曲线右转Z≤442.272=>Goto 6↙缓和曲线右转Z≤584.272=>Goto 7↙直线Z≤659.272=>Goto 8↙缓和曲线左转Lbl 1: 3470011.575→C: 498668.017→D： 193°13′15.3″→E：0→F: 0→G: 0→H: 112→I: Goto θLbl 2: 3469902.54→C: 498642.402→D： 193°13′15.3″→E：0→F: 1÷45→G: 112→H: 210.272→I: Goto θLbl 3: 3469825.179→C: 498590.498→D： 255°46′58.7″→E：1÷45→F: 1÷45→G: 210.272→H: 260.272→I: Goto θLbl 4: 3469839.543→C: 498545.256→D： 319°26′41.8″→E：1÷45→F: 1÷80→G: 260.272→H: 295.272→I: Goto θLbl 5: 3469871.604→C: 498532.618→D： 354°15′36.3″→E：1÷80→F: 1÷80→G: 295.272→H: 347.272→I: Goto θLbl 6: 3469921.407→C: 498544.008→D： 31°30′08.4″→E：1÷80→F: 0→G: 347.272→H: 442.272→I: Goto θLbl 7: 3469976.091→C: 498619.874→D： 65°31′18.2″→E：0→F: 0→G: 442.272→H: 584.272→I: Goto θLbl 8: 3470034.929→C: 498749.110→D： 65°31′18.2″→E：0→F: -1÷110→G: 584.272→H: 659.272→I: Goto θLblθ:3.进行坐标验证：(1）.我们验证中桩坐标，我们在每一段曲线上选择一点计算坐标。
复化辛普森公式应用
在公路中线坐标计算中，我们通常采用切线支距公式来计算曲线上各点的坐标。
但当在不同的曲线上计算时就需用不同的计算公式，这为计算也带来不便。
在设有缓和曲线的圆曲线半径较小或是卵形曲线上的坐标计算时，如公式选用不当就会出现较大计算误差，即便是能对切线支距公式进行多项展开，也会增加计算的难度。
而用复化辛卜生公式不仅能解决不同曲线线型或直线上的坐标计算问题，而且用复化辛卜生公式计算完全是可逆的（即：可顺前进方向也可逆向计算），尤其在计算第二缓和曲线和卵形曲线时显得尤为方便。
用辛卜生公式计算坐标的精度可由人为或程序自行判断，其计算结果完全能保证坐标计算的精度要求。
因此，可以说复化辛卜生公式是一个计算公路中线坐标的万能公式。
下面本人就该公式在公路中线坐标计算中的具体应用进行实例解析。
一、复化辛卜生公式式中：H=（Z i－Z A）/n(公式2)(公式3)Zi —待求点桩号Z A—曲线元起点桩号Z B—曲线元终点桩号ρA—曲线元起点曲率ρB—曲线元终点曲率a i曲线上任意一点处切线方位角的计算方法有以下三种方法：1．利用公式（3）求得曲率代入公式（2）计算2．利用曲线元上已知起点和终点曲率用内插法求得曲率代入公式（2）计算3．利用切线角公式计算二、算例例：已知雅（安）攀（枝花）高速公路西昌西宁立交A匝道一卵形曲线（卵形曲线相关参数见图一，其计算略。
），相关设计数据见下表。
现用辛卜生公式来计算卵形曲线中桩坐标。
图一已知相关设计数据见下表：（一）由+271.881推算Zi=+223.715的坐标，n取2等分用公式(3)、公式（2）计算+247.798处曲线及方位角:ρ+247.798=1÷75+(1÷50-1÷75)(247.798-271.881) ÷(223.715-271.881)=0.01666666666666667a+247.798=71°24’18.5” +(0.016666667+1÷75)(247.798-271.881)×180÷π÷2=50°42’26.37”其它各点依次代入公式计算，结果见下表:切线方位角图示1将计算出的数据代入公式（1）求得+223.715中桩坐标如下：X=9880.438+(271.881-223.715)÷2÷6×(cos71°24’18.5”+4(cos61°37’52.22”+cos38°38’0.96”)+2cos50°42’26.37”+ cos25°24’35.99”)=9910.5975 (设计值：9910.603)Y=10100.904+(223.715-271.881)÷2÷6×(sin71°24’18.5”+4(sin61°37’52.22”+sin38°38’0.96”) +2sin50°42’26.37”+ sin25°24’35.99”)=10136.7945 (设计值：10136.791)（二）由+223.715推算Zi=+271.881的坐标，n取2等分用公式(3)计算+247.798处曲线及方位角:ρ+247.798=1÷50+(1÷75-1÷50)(247.798-223.715)÷(271.881-223.715)=.01666666666666667a+247.798=205°24’33.6”+ (0.016666667+1÷50)(247.798-223.715)×180÷π÷2=230°42’23.98”其它各点依次代入公式计算，结果见下表:切线方位角图示2X=9910.603+(271.881-223.715)÷2÷6×(cos205°24’33.6”+4(cos218°37’58.87”+cos241°37’49.83”)+2cos230°42’23.98”+ cos251°24’16.11”)=9880.4431 (设计值：9880.438)Y=10136.791+(271.881-223.715)÷2÷6×(sin205°24’33.6”+4(sin218°37’58.87”+sin241°37’49.83”)+2sin230°42’23.98”+ sin251°24’16.11”)=10100.9008 (设计值：10100.904)由上可知，利用复化辛卜生公式计算路线坐标时可顺向或逆向计算。
辛普森(simpson)公式
辛普森(Simpson)公式是用于数值积分的重要方法之一，它可以更精确地计算定积分的值。
由于其高精度和易于理解的特点，辛普森公式被广泛运用于科学计算和工程领域。
本文将对辛普森公式的原理、推导过程以及应用进行详细介绍。
一、辛普森公式的原理辛普森公式是利用多项式的插值思想来逼近定积分的值。
其基本原理是将被积函数在每个小区间上用二次多项式来逼近，然后对所有区间上的二次多项式进行积分，最终得到整个函数的积分值。
辛普森公式的精度比较高，尤其适合于二次或四次多项式的积分计算。
二、辛普森公式的推导在区间[a,b]上进行积分，将区间等分成n段，每段长度为h=(b-a)/n。
设被积函数为f(x)，则辛普森公式的推导过程如下：1. 计算积分区间的分割点首先需要计算各个分割点的横坐标 xi(i=0,1,2,...,n)，即xi=a+ih(i=0,1,2,...,n)。
2. 计算每个分段上的积分值对于每个小区间 [xi-1,xi]，可以采用三点插值公式来逼近积分值：∫f(x)dx≈h/3*(f(xi-1)+4f((xi-1+xi)/2)+f(xi))3. 求和计算总的积分值将所有小区间上的积分值相加，即可得到整个区间[a,b]上的定积分值。
经过以上推导，可以得到辛普森公式的表达式为：∫f(x)dx≈h/3*(f(x0)+4f(x1)+2f(x2)+4f(x3)+...+2f(xn-2)+4f(xn-1)+f(xn))三、辛普森公式的应用辛普森公式在数值积分中有着广泛的应用，尤其适用于被积函数光滑而且二次可微的情况。
在实际工程和科学计算中，经常需要对曲线和曲面进行积分计算，而辛普森公式可以提供比较精确的积分结果。
在概率统计学、信号处理、图像处理等领域，辛普森公式也被广泛运用。
在概率密度函数的计算中，可以利用辛普森公式来对密度函数进行积分，从而得到概率分布的特征参数。
辛普森公式作为一种数值积分的方法，具有计算精度高、易于编程实现等特点，因此在实际工程和科学计算中得到了广泛的应用。
simpson八分之三法则_解释说明以及概述
simpson八分之三法则解释说明以及概述1. 引言1.1 概述本文将介绍和解释Simpson八分之三法则，并对其进行概述。
Simpson八分之三法则是一种数值积分方法，常用于数学领域中的函数逼近和曲线拟合等问题。
它通过使用多个小区间内的函数值来估计整个区间上的积分值，从而达到提高计算精度的目的。
1.2 文章结构本文共包括五个部分。
首先，在引言部分将简要介绍文章主题并概述文章结构。
接着，在第二部分将详细解释和说明Simpson八分之三法则的原理、数值计算方法以及应用领域和优点。
第三部分将对该法则进行概述，包括简要历史背景、定义与公式推导以及实际案例应用和效果评估。
在第四部分，我们将对前面内容进行总结归纳，并对Simpson八分之三法则进行评价和展望，同时探讨研究的局限性以及未来研究方向建议。
最后，在参考文献列表中列出相关引用资料（如果有）。
1.3 目的本文的主要目的是介绍和解释Simpson八分之三法则，使读者了解其原理、计算方法以及应用的领域和优点。
通过本文的阐述，读者将对Simpson八分之三法则有一个全面而深入的认识，并能够在适当的情况下应用这一方法进行数值计算和问题求解。
此外，本文还将评价和展望这一法则，并提出未来研究的方向建议，以促进相关领域的进一步发展和创新。
2. Simpson八分之三法则解释说明：2.1 原理介绍Simpson八分之三法则是数值积分中常用的一种方法，用于求解曲线下的定积分。
根据这个法则，一个函数可以近似表示为多个小区间内的二次曲线，并通过对这些小区间内的曲线进行积分来计算整个函数下方的面积。
2.2 数值计算方法Simpson八分之三法则利用插值方法将函数近似表示为二次曲线。
它将整个积分区间等分成若干小区间，并在每个小区间内使用二次插值公式进行计算。
对于每个小区间，利用该公式可以得到一个近似的定积分值。
最后，将所有小区间内的定积分值相加即可得到整个函数下方的面积。
2.3 应用领域和优点Simpson八分之三法则在数学、物理和工程等领域有广泛应用。
辛普森公式及应用
辛普森公式及应用辛普森公式是一种计算数值积分的方法，它利用多项式的插值来逼近被积函数。
这个公式的推导基于对被积函数进行多项式插值拟合，然后再对插值多项式进行积分。
辛普森公式的优点是在一定条件下可以通过较少的函数值计算得到较高的积分精度，从而在科学计算、数值模拟以及数值积分领域得到广泛应用。
辛普森公式的原理是将被积函数在积分区间上进行分段，每一段用一个二次多项式来表示。
具体而言，对于给定的区间[a, b]，将其等分成n个子区间，每个子区间的长度为h=(b-a)/n。
然后，在每个子区间上应用二次插值方法，用二次多项式来拟合被积函数。
使用拉格朗日插值多项式可以得到：S(x) = f(x_0) * L_0(x) + f(x_1) * L_1(x) + f(x_2) * L_2(x)其中，S(x)是插值函数，f(x_i)为被积函数在插值节点x_i处的函数值，L_i(x)为三个节点插值多项式。
将插值函数S(x)积分后，得到每个子区间的积分结果，再将所有子区间的积分结果相加即可得到整个区间[a, b]上的数值积分近似值。
在实际应用中，辛普森公式常用于计算复杂函数的数值积分，尤其是当被积函数在插值节点处的函数值已知时。
其优点在于，相比于传统的数值积分方法，如矩形法或梯形法，辛普森公式的积分精度更高。
此外，辛普森公式适用于不规则区间长度的情况，并且具有较好的数值稳定性。
除了在一维积分中的应用，辛普森公式也可以推广到高维积分问题。
通过在每个维度上使用辛普森公式进行数值积分，可以计算多维函数的数值积分结果。
对于高维积分问题，辛普森公式同样可以提供较高的积分精度。
总而言之，辛普森公式是一种常用的数值积分方法，通过采用多项式插值来逼近被积函数，从而得到积分近似值。
它在科学计算和数值模拟中广泛应用，能够提供较高的积分精度和数值稳定性。
在实际应用中，我们可以根据需要选择不同的插值节点和积分区间，以达到更准确的数值积分结果。
注：本文根据题目要求，采用文章格式进行撰写，以便更好地呈现辛普森公式及其应用。
复化辛普森公式求解曲线坐标及方位
复化辛普森公式求解曲线坐标及方位示例图：一、以交点法计算线路主点1. 根据线路要素表找到上一交点及下一交点坐标；即Front JD = JD28 ，Next JD = JD29。
2. 使用坐标反算，求出曲线的转向角a = a NextJD – a FrontJD ：a FrontJD = arctan(ΔY/ΔX)、(ΔY = Y JD - Y FrontJD 、ΔX = X JD - X FrontJD ),根据坐标增量推算出方位，亦可利用现在计算器使用POL 函数计算，Pol 函数原型为Pol(ΔX,ΔY)、其返回值为a （方位角）及D （距离）、此二变量在普通计算器中存储位置为E 、F 键，4500中在V 、W 键，4850、5800以I 、J 中。
a NextJD = arctan(ΔY/ΔX)、(ΔY = Y NextJD - Y JD 、ΔX = X NextJD –X JD )。
以JD28-1为例：a FrontJD = Pol(4706244.564 - 4707059.407 , 472591.498 - 474414.488) = 245°54´58.4" , a NextJD = Pol(4707553.086 - 4706244.564 , 471847.751 - 472591.498) = 330°23´11.9" , a = a NextJD – a FrontJD = 330°23´11.9" - 245°54´58.4" = 84°28´13.5"。
3. 计算m(切垂距)、p(内移距)、T(切线长)、L(曲线长)此例中Ls1 = Ls2 = 180、故缓和曲线长l 0 = Ls1或Ls24502300345602402R l R l l m +-=、34020268824R l R l p -=m a p R T +⋅+=)2tan()(、0180l Ra L +⋅=π T ＝ 817.78546、L ＝ 1359.43推四大桩号:ZH = JD – T = 78470.66 - 817.78546 = 77662.87453HY = ZH + Ls1 =77662.87453 + 180 =77842.87453YH = HY + (L-2(l 0)) = 78842.30415HZ = YH + Ls2 = 79022.304154. 计算出ZH 点的坐标及方位)sin()cos(a T y Y a T x X JD ZH JD ZH ⋅+=⋅+=),(JD FrontJD JD FrontJD Y Y X X Pol a --=X ZH = 4706578.27917Y ZH = 473338.09511a ZH = 245.916235033773 = 245°54´58.4"二、Simpson 公式X = U + W ( Acos ( G + QEKW ( C + KWD ) ) +Bcos( G+QELW(C + LWD )) + Bcos( G + QEFW(C + FWD ) ) +Acos( G + QEMW ( C+MWD ) ));Y = V + YW( Asin( G + QEKW( C + KWD )) + Bsin(G + QELW(C + LWD))+Bsin(G + QEFW(C + FWD ))+Asin( G + QEMW( C + MWD)));Fa = G + QEW(C + WD);U = 起点X;V = 起点Y ；W ＝ 待计算点至起点的长度;C = 1 / 起点半径;D = (起点半径 – 止点半径) / (2 * 线元总长度 * 起点半径 *止点半径);E = 180/π;A = 0.1739274226B = 0.3260725774;K = 0.0694318442;L = 0.3300094782;F = 1 - L;M = 1 – K;例：求DK77＋689.69的坐标及切线方位1. 查要素表得77689.69为ZH 点至HY 点之间,故起点坐标为ZH 点的坐标（U 、V ）；U ＝4706578.27917 ，V ＝473338.09511，起点方位G ＝ 245°54´58.4"2. C ＝ 1 / 起点半径 =1 / 1E45 = 10^-45，D = (1E45– 800) / (2 * 180 * 1E45 *800) =3.472 * 10 ^ -6;3. W = 待求点里程 – 起点里程 = 77689.69 - 77662.87453 = 26.815474. 代入公式得：DK77＋689.69坐标x = 4706567.357 ,Y = 473313.6048 ,a = 246°03´33.45"。
用Simpson公式进行数值积分
2010 年 第 23 期
SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATION
○高校讲坛○
科技信息
用 Simpson 公式进行数值积分
余丹 (华北电力大学数理系 中国 北京 102206)
“Let a woman learn in silence with full submission. I permit no woman to teach or have authority over a man, she is to keep silence. ” (TIMONTY2:11) “Eve was the one who was deceived and who causes Adam to fall. “Yet she will be saved through childbearing, provided they continue in faith and love and holiness, with modesty”(TIMONTHY3:15)
先定义函数 Function I=simpson(fun,a,b,npanel)
n=2* npanel+1;
h=(b-a)/(n-1);
x=a:h:b; f=feval(fun,x); I=(h/3)*(f(1)+4sum(f(2:2:n-1))+2*sum(f(3:2:n-1))+f(n)); 再定义 Fuction demosimp a=0;b=5;Iexact=exp(-b)*(1+b)+ exp(-a)*(1+a); fprintf(‘\n\tiexact=%14.9f %14.9f’,n,h,I,err); if ~isempty(effold) fprintf(‘ %9.5f\n’,log(err/errold)/log(h/hhlold)); else fprintf(’\n’); end function y=xemx(x) y=x.*exp(-x) 然后运行 demosimp: >>demosimp 正如预料的那样，误差比梯形公式产生的要小得多。 科
Simpson方法的数学原理和实际应用案例
Simpson方法的数学原理和实际应用案例Simpson方法是一种数值积分的近似计算方法，它的原理是把被积函数在积分区间内用一个二次函数去逼近，然后再对这个二次函数进行积分，从而得出被积函数在积分区间内的积分值。
在计算机科学、物理学等领域有广泛的应用，下面将详细介绍Simpson方法的数学原理和实际应用案例。
Simpson方法的数学原理Simpson方法的数学原理是基于牛顿-莱布尼茨公式，即∫a^bf(x)dx = F(b) - F(a)其中F(x)是f(x)的一个原函数，a、b为积分区间的上下限。
Simpson方法的核心思想是将积分区间[a,b]平均分成若干个子区间，然后在每个子区间内用一个二次函数去逼近被积函数f(x)，从而得到被积函数在该子区间内的积分近似值。
假设将积分区间[a,b]等间隔地分成2n个子区间，其中n为任意正整数，则可以得到下面的公式：∫a^bf(x)dx ≈ (Δx/3) [f(a) + 4f(a+Δx) + 2f(a+2Δx) + ... + 4f(b-Δx) + f(b)]其中Δx=(b-a)/2n为子区间的宽度，f(x)为被积函数在积分区间[a,b]的值。
上式中用到的4和2系数是Simpson方法特有的系数，它们保证了逼近二次函数的精度，从而得到被积函数的更加准确的积分值。
需要注意的是，在使用Simpson方法进行数值积分时，应该先将被积函数f(x)在积分区间[a,b]内进行插值，得到一个二次函数，然后再将该函数应用于上述公式中。
否则，如果直接将f(x)应用于公式中，可能会引入很大的误差。
Simpson方法的实际应用案例Simpson方法在实际应用中有广泛的应用，下面将以物理学和计算机科学两个领域为例，介绍Simpson方法的实际应用。
物理学中的应用在物理学中，Simpson方法常用于求解曲线下方的面积，从而计算出曲线所代表的物理量。
例如，假设有一个物体在匀加速直线运动中，其速度v(t)随时间t的变化关系为v(t)=4t+2。
辛普森等公式在实际中应用
辛普森等公式在实际中应用辛普森等公式是一种数值积分方法，它可以用于估算函数曲线下的面积。
这个公式的原理是将曲线分割成若干个小区间，用曲线上的一些点来拟合每个小区间的曲线形状，然后通过求和计算这些小区间的面积来近似整个曲线下的面积。
辛普森等公式在实际中有广泛的应用，下面将介绍该公式在不同领域的具体应用情况。
一、物理学中的应用在物理学中，辛普森等公式被广泛用于估算复杂曲线下的物理量，比如速度、加速度、质量等。
通过将物理量与时间关联起来，可以得到一个具有复杂变化的函数曲线。
利用辛普森等公式，可以对该曲线下的积分进行近似计算，从而得到物理量的估算值。
这在动力学、电磁学等领域中有着重要的应用。
二、经济学中的应用在经济学中，辛普森等公式可以用于计算消费曲线下的总消费量、投资曲线下的总投资量等。
经济学家通常将消费或投资与时间关联起来，得到相应的曲线。
通过使用辛普森等公式，可以近似计算出曲线下的面积，从而得到总消费或总投资的估算值。
这对于经济研究和政府决策具有重要意义。
三、工程学中的应用在工程学中，辛普森等公式可以用于估算复杂曲线下的能量、功率、电流等物理量。
例如，电路工程中常常需要计算电流曲线下的总电流量。
通过将电流与时间关联起来，得到一个波动的电流曲线。
使用辛普森等公式，可以对该曲线下的积分进行近似计算，从而得到总电流的估算值。
这对于电路设计和工程实施非常重要。
四、生物学中的应用在生物学中，辛普森等公式被广泛用于估算生物曲线下的生物量、代谢速率等物理量。
例如，生态学中常常需要计算生物群落中各个物种的生物量。
通过将生物量与空间关联起来，得到一个变化的生物量曲线。
利用辛普森等公式，可以对该曲线下的积分进行近似计算，从而得到总生物量的估算值。
这对于生态研究和生物保护具有重要意义。
综上所述，辛普森等公式在实际中的应用非常广泛。
无论是在物理学、经济学、工程学还是生物学等领域，该公式都以其高精度的计算结果和简单易用的特点受到广泛青睐。
Simpson-Rule-Summary---辛普森法则
考虑积分[,]()b a b a I f x dx =⎰，如果在区间[a ，b]取等间隔的N 份，间隔长度为h ，简述矩形〔、梯形、Simpson 法那么〕计算积分的i 〕理论、误差精度分析，和算法计算流程。
解：对于缓变函数我们可以用各个区间中点上函数值作来近似该区间的平均值1/2()i i f f x -≈ 其中1/211()2i i i x x x --≡+。
矩形法那么：f(x)在区间[a,b]上的积分用矩形求积定义如下[,]1/21Na b i i I h f -==∑第i 个区间对积分的奉献为：11[,]1/2()ii i i x x x i x I f x dx hf ---=≈⎰如果围绕该区间中点1/2i x -的邻域对函数f(x)作泰勒级数展开， 有2(3)31/21/21/21/21/21/21/2111()()()()1!2!3!i i i i i i i f x f f x x f x x f x x -------'''=+-+-+-+其中1/2i f -'，1/2i f -''和(3)1/2i f -分别表示了f(x)在1/2i x x -=处的一阶，二阶和三阶导数。
相应地，积分在子区间的值可以表示为111111/21/21/221/21/2(3)31/21/21()()1!1()2!1()3!iii i i i i i i i x x x i i i x x x x i i x x i i x f x dx f dx f x x dx f x x dx f x x dx------------'=+-''+-+-+⎰⎰⎰⎰⎰ 其中第一项为哪一项矩形积分的近似值，第二项那么由于其中的积分等于零而消除。
从而，矩形法那么在宽度为h 的单个子区间的最高阶误差由第三项给出111[,]1/2321/21/21/2()1()2!24i i i i i i x x x i x x i i i x I f x dx hf h f x x dx f -------∆≡-''''≈-=⎰⎰ 在整个[a,b]区间上的总误差那么通过将所有N 个子区间的奉献相加得到32[,][,]21()()()()2424b a b a b a b a b a I f x dx I h f f N ξξ--''''∆=-≈=⎰其中我们利用了Nh=(b-a)，并且取()f ξ''为f(x)在[a,b]上的二阶导数的均值。
辛普森公式的推广形式及应用
辛普森公式的推广形式及应用刘智颖;王向公;任威龙;龙耀萍【摘要】鉴于当前常用数值积分方法的不足，以及直角坐标系下辛普森公式的局限性，研究并提出了辛普森公式在三维柱坐标系和球坐标系下的推广形式，并将其应用于地球物理测井中自然伽马射线强度函数数值积分运算。
%Considering the limithness of numerical integrator and the application of the Simpson formula in rectangular coordinate system ,we proposed the deducing forms of the Simpson formu-la ,w hich could be used in 3D cylindrical coordinates and 3D spherical cooridinates ,and applied them to the relevant algorithm in the integral of GR intensity function .【期刊名称】《山东理工大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2014(000)001【总页数】3页(P29-31)【关键词】数值积分;辛普森公式;三维柱坐标;三维球坐标【作者】刘智颖;王向公;任威龙;龙耀萍【作者单位】长江大学油气资源与勘探技术教育部重点实验室，湖北武汉430100; 长江大学地球物理与石油资源学院，湖北武汉430100;长江大学油气资源与勘探技术教育部重点实验室，湖北武汉430100; 长江大学地球物理与石油资源学院，湖北武汉430100;北京吉奥特能源项目责任有限公司，北京100195;北京吉奥特能源项目责任有限公司，北京100195【正文语种】中文【中图分类】O241.4当前, 简单而常见的数值积分方法是无限细分法(亦称“黎曼和”).在应用过程中，需将区间划分成尽可能多的份数以保证计算精度.然而，较细的划分会导致计算时间增加，而且当被积函数变化幅度较大时，其误差增大,故辛普森公式应运而生.常见的辛普森公式大都只适用于直角坐标系.事实上很多积分需要在柱坐标和球坐标下进行，如果做坐标变换后再求解则十分繁琐而且会造成误差累积.因此，本文分析、研究并推导了柱坐标系和球坐标系下的辛普森公式，且成功应用于地球物理测井中自然伽马射线强度函数的数值积分运算.1 三维柱坐标系和球坐标系下辛普森公式的推广1.1 辛普森公式的常见形式及其适用范围常见的辛普森公式(公式(1))只能应用于直角坐标系下一元函数的数值积分(1)其中，积分区间为表示积分步长，xk=a+kh表示各节点的横坐标，表示各子区间[xk-1,xk]的中点坐标，k=0,1,…,n.1.2 柱坐标系和球坐标系下的辛普森公式为书写方便，将柱坐标系下的坐标(ri,θj,zk)及球坐标系下的坐标(ri,θj,φk)皆记作i,j,k，被积函数在节点处的值记作fi,j,k.脚标i,j,k可以是整数或半整数(其意义与式(1)同).柱坐标和球坐标剖分体元内插值函数的体积分值有相似的矩阵[2]表达形式(公式2).(2)其中表示插值函数，表示插值函数在剖分体元内的积分值.将式(2)中的脚标x替换为i即可得到柱坐标系下的公式.式中矩阵的意义如下：；其中A和B两个矩阵只需将Z矩阵中符号zk分别换成θj和ri即可.将式(2)中的脚标x替换为k即可得到球坐标系下的公式.式中矩阵的意义如下：；其中Φ、Θ和R三个矩阵只要将柱坐标系公式中Z矩阵中的zk分别换成φk、θj 和ri即可.1.3 复化辛普森公式将剖分元内插值函数的积分结果相加，可获得整个积分区域的积分值.若积分区域三个方向的剖分区间分别有Nr、Nθ、Nz个.则总的体积分为在实际应用中，由于求解区域的边界不规则，有的节点可能会落到积分区域以外.严格地讲，这时需要对求解区域重新剖分以适应不规则的边界，但一般只要已经满足了精度就可以省去这些繁琐的步骤，只要将落到积分区域以外的节点的函数值设定为零[3]即可.2 辛普森公式的推广形式在地球物理测井中的应用自然伽马测井[4]是常见的地球物理测井方法之一.自然伽马射线强度函数值的计算在分析、应用自然伽马测井资料时十分重要，该函数描述了自然伽马测井值(GR值)与地层放射性物质分布情况的关系，需用柱坐标系下的体积分表示.应用辛普森公式的推广形式便可实现对该函数值的计算[5].通常，为了便于解释人员对相关数据的分析，仪器实测的GR值需要进行“井眼校正”[4].而校正系数是通过计算自然伽马射线强度函数得到的.将不同的井筒直径做为变量输入自然伽马射线强度函数就可以计算出一系列离散的GR井眼校正系数.应用这些离散的数据可以绘制出以井筒直径为横坐标，以GR井眼校正系数为纵坐标的图版(图1).图1 GR井眼校正图版3 结论和认识通过分析和总结当前常用数值积分算法的不足，研究数值积分的基本原理，从而推导辛普森公式在三维柱坐标系和球坐标系下的推广形式.对此做出如下总结. (1)提出并推导了辛普森公式的推广形式，拓展了辛普森公式的适用范围，提高了三维柱坐标系和球坐标系下数值积分的运算速度和精度，弥补了常见数值积分方法的不足.(2)将辛普森公式的推广形式应用到地球物理测井领域，完成了自然伽马射线强度函数值的计算，从而研制了GR井眼校正图版.【相关文献】[1] 关治,陆金甫.数值分析基础[M].北京: 高等教育出版社, 1998.[2] 钱椿林.线性代数[M].3版.北京: 高等教育出版社, 2000.[3]钱能. C++程序设计教程[M].2版.北京: 清华大学出版社, 2003.[4]黄隆基.放射性测井原理[M].北京: 石油工业出版社,2000.[5] 商庆龙.新型自然伽马测井响应的三维数值模拟以及数据合成与高分辨率处理技术[D].吉林：吉林大学，2013：43-56.。
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关于复化辛普森(simpson)公式在线路坐标计算中的应用
天津西站项目部刘思传
摘要：本文里利用辛普森公式导证了线路坐标计算的公式，并在卡西欧FX-4800P计算器中编写了中边线坐标计算的源程序。
关键词：复化辛普森公式，线路坐标计算，曲率。
一.引言
随着我国道路建设等级和质量水平的飞速发展，公路、铁路建设的机械化和日产量日益提高，促使施工中在满足设计精度的前提下，尽可能快速、准确地进行测量放样和检查工作，本文线路曲率变化的特点，利用复化辛普森公式导证了线路坐标计算的通用公式，并利用卡西欧FX-4800P计算器编写了计算线路中边线坐标的源程序。
二.复化辛普森公式数学模型
把积分区间分成偶数等分，记，其中是节点总数，是积分子区间的总数。
记，，在每个区间上用辛普森数值积分公式计算，则得到复化辛普森公式，记为。
复化辛普森积分计算公式
而，称
(1)
式(1)即为辛普森复化公式。
三.线路坐标计算
2. 回旋曲线上点位坐标方位角的计算
如图1，设回旋曲线起点A 的曲率为A ρ，其里程为DK A ；回旋曲线终点B 的曲率为B ρ，其里程为DK B ，Ax ’'y 为以A 为坐标原点，以A 点切线为'x 轴的局部坐标系；Axy 为线路坐标系。
由此回旋曲线上各点曲率半径为R i 和该点离曲线起点的距离ﺎi 成反比，故此任意点的曲率为 c l R i i i /1==ρ（=为常数）. （2）
y
'
Y
B
图1
由式（2）可知，回旋曲线任意点的曲率按线性变化，由此回旋曲线上里程为DK i 点的曲率为
)(A i A B A
B A i DK DK DK DK ---+=ρρρρ （3） 当曲线右偏时，取正；当曲线左偏时取负。
在图1中有
⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫===
⎰I A DK DK i i i dl dl dl R d ρβρβ1 （4）
将式（3）代入式（4）得
πρρβ180
*)(2A i A
i i DK DK -+= （5）
若已知回旋曲线起点A 在线路坐标系下切线坐标方位角αA ，则里程为Dk i 点切线坐标方位角为
i A i βαα+= π180 （6）
将式(5)代入式（6）得
*)(2A i A
i A i DK DK -++=ρραα π180
（7）
对于式(7)
，当，时，，则a i =a A ，式(7)变成计算直线段上任意点切线坐标方位角计算公式；当，时，，
，则式(7)代表圆曲线上任意点切线坐标方位角
计算公式。
可见，若已知曲线段起点和终点的曲率及起点的切线坐标方位角，式(7)便能计算任意线型点位切线坐标方位角。
3、回旋曲线点位坐标计算
由图1可得回旋曲线上点位在坐标系下坐标计算公式：
⎪⎭
⎪⎬⎫==i y i x dl d dl d ββsin cos '' （8） ⎰⎰=
⎪⎭⎪⎬⎫=I
A I A DK DK i
DK DK i dl y dl x ββsin cos '' （9） 设回旋曲线起点A 在线路坐标系下的坐标为将式(7)替代式(9)中的i β，便得回旋曲线上任意点在线路坐标系下的坐标：
⎪⎪⎭⎪⎪
⎬⎫+=+=⎰⎰I A I
A DK DK i A DK DK i A dl Y Y dl X X ββsin cos （10） 对于式(10)的解算，由于后半部分是定积分，我们引入复化辛普森公式对其进行解算。
首先将积分区间[DK A ，DK i ]划分为n 等份，步长为H=（DK i -DK A ）/n ，分点里程DX K =DK A +KH ，K=0，1，2，. . .，n ，记子区间[DX K ，DX K+1]的里程为DX K+1/2，则DX K+1/2=（DX K +DX K+1）/2，K=0，1，2，. . . n-1 。
由此式(10)用复化辛普森公式表示为
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬⎫++++=++++=∑∑∑∑-=-=+-=-=+101021101021)sin sin 2sin 4(sin 6)cos cos 2cos 4(cos 6n K i K n K K A A n K i K n K K A A H Y Y H X X αααααααα (11) 式中：a A 为回旋曲线起点A 的切线方位角；a K+1/2为里程DX K+1/2点切线方位角；a K 为里程DX K 点切线方位角；a i 为里程DK i 点切方位角。
对于式(11)，虽然是由回旋曲线导出的，但该式也适用直线段和圆曲线段。
复化辛普森公式的使用说明：为满足点位坐标计算精度, 经验算取n = 2。
无论是直线段、圆曲线段、回旋曲线段, 只要将各曲线段中的起点、终点的曲率和里程以及解求点里程DK i 和各分点里程代入式(3)、(7)、(11) 便可获得待求点DK i 的坐标。
在计算时, 要注意曲线的偏向。
五. 结论
本文利用复化辛普森公式导证了计算线路坐标的通用公式，并利用卡西欧FX-4800P计算器编写了计算线路中边线坐标的源程序。
该程序可以计算任意形式的线路中边桩坐标，简单适用。
参考文献：
[1] 李孟山，李少元.计算公路匝道点位坐标的复化辛普森公式.测绘通报，2000.
[2] 聂让，许金良，邓云潮. 公路施工测量手册 .北京：人民交通出版社，2000.
[3] 李庆扬，王能超，易大义.数值分析 . 武汉：华中理工大学出版社，1988。