关于辛普森(simpson)公式在线路坐标计算中的应用

关于复化辛普森(simpson)公式在线路坐标计算中的应用

天津西站项目部刘思传

摘要：本文里利用辛普森公式导证了线路坐标计算的公式，并在卡西欧FX-4800P计算器中编写了中边线坐标计算的源程序。

关键词：复化辛普森公式，线路坐标计算，曲率。

一.引言

随着我国道路建设等级和质量水平的飞速发展，公路、铁路建设的机械化和日产量日益提高，促使施工中在满足设计精度的前提下，尽可能快速、准确地进行测量放样和检查工作，本文线路曲率变化的特点，利用复化辛普森公式导证了线路坐标计算的通用公式，并利用卡西欧FX-4800P计算器编写了计算线路中边线坐标的源程序。

二.复化辛普森公式数学模型

把积分区间分成偶数等分，记，其中是节点总数，是积分子区间的总数。

记，，在每个区间上用辛普森数值积分公式计算，则得到复化辛普森公式，记为。

复化辛普森积分计算公式

而，称

(1)

式(1)即为辛普森复化公式。

三.线路坐标计算

2. 回旋曲线上点位坐标方位角的计算

如图1，设回旋曲线起点A 的曲率为A ρ，其里程为DK A ；回旋曲线终点B 的曲率为B ρ，其里程为DK B ，Ax ’'y 为以A 为坐标原点，以A 点切线为'x 轴的局部坐标系；Axy 为线路坐标系。

由此回旋曲线上各点曲率半径为R i 和该点离曲线起点的距离ﺎi 成反比，故此任意点的曲率为 c l R i i i /1==ρ（=为常数）. （2）

y

'

Y

B

图1

由式（2）可知，回旋曲线任意点的曲率按线性变化，由此回旋曲线上里程为DK i 点的曲率为

)(A i A B A

B A i DK DK DK DK ---+=ρρρρ （3） 当曲线右偏时，取正；当曲线左偏时取负。在图1中有

⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫===

⎰I A DK DK i i i dl dl dl R d ρβρβ1 （4）

将式（3）代入式（4）得

πρρβ180

*)(2A i A

i i DK DK -+= （5）

若已知回旋曲线起点A 在线路坐标系下切线坐标方位角αA ，则里程为Dk i 点切线坐标方位角为

i A i βαα+= π180 （6）

将式(5)代入式（6）得

*)(2A i A

i A i DK DK -++=ρραα π180

（7）

对于式(7)

，当，时，，则a i =a A ，式(7)变成计算直线段上任意点切线坐标方位角计算公式；当，时，，

，则式(7)代表圆曲线上任意点切线坐标方位角

计算公式。

可见，若已知曲线段起点和终点的曲率及起点的切线坐标方位角，式(7)便能计算任意线型点位切线坐标方位角。

3、回旋曲线点位坐标计算

由图1可得回旋曲线上点位在坐标系下坐标计算公式：

⎪⎭

⎪⎬⎫==i y i x dl d dl d ββsin cos '' （8） ⎰⎰=

⎪⎭⎪⎬⎫=I

A I A DK DK i

DK DK i dl y dl x ββsin cos '' （9） 设回旋曲线起点A 在线路坐标系下的坐标为将式(7)替代式(9)中的i β，便得回旋曲线上任意点在线路坐标系下的坐标：

⎪⎪⎭⎪⎪

⎬⎫+=+=⎰⎰I A I

A DK DK i A DK DK i A dl Y Y dl X X ββsin cos （10） 对于式(10)的解算，由于后半部分是定积分，我们引入复化辛普森公式对其进行解算。

首先将积分区间[DK A ，DK i ]划分为n 等份，步长为H=（DK i -DK A ）/n ，分点里程DX K =DK A +KH ，K=0，1，2，. . .，n ，记子区间[DX K ，DX K+1]的里程为DX K+1/2，则DX K+1/2=（DX K +DX K+1）/2，K=0，1，2，. . . n-1 。

由此式(10)用复化辛普森公式表示为

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬⎫++++=++++=∑∑∑∑-=-=+-=-=+101021101021)sin sin 2sin 4(sin 6)cos cos 2cos 4(cos 6n K i K n K K A A n K i K n K K A A H Y Y H X X αααααααα (11) 式中：a A 为回旋曲线起点A 的切线方位角；a K+1/2为里程DX K+1/2点切线方位角；a K 为里程DX K 点切线方位角；a i 为里程DK i 点切方位角。

对于式(11)，虽然是由回旋曲线导出的，但该式也适用直线段和圆曲线段。

复化辛普森公式的使用说明：为满足点位坐标计算精度, 经验算取n = 2。无论是直线段、圆曲线段、回旋曲线段, 只要将各曲线段中的起点、终点的曲率和里程以及解求点里程DK i 和各分点里程代入式(3)、(7)、(11) 便可获得待求点DK i 的坐标。在计算时, 要注意曲线的偏向。

五. 结论

本文利用复化辛普森公式导证了计算线路坐标的通用公式，并利用卡西欧FX-4800P计算器编写了计算线路中边线坐标的源程序。该程序可以计算任意形式的线路中边桩坐标，简单适用。

参考文献：

[1] 李孟山，李少元.计算公路匝道点位坐标的复化辛普森公式.测绘通报，2000.

[2] 聂让，许金良，邓云潮. 公路施工测量手册 .北京：人民交通出版社，2000.

[3] 李庆扬，王能超，易大义.数值分析 . 武汉：华中理工大学出版社，1988