对线性规划整点问题的探究
高中数学一轮复习线性规划中求整点最优解的两种常用方法
线性规划中求整点最优解的两种常用方法简单的线性规划是新教材的新增加内容，它在人们的生活和生产实践中有着广泛的应用，因此，它必将成为高考的一个新亮点，而在线性规划中，求整点最优解的问题是一个难点，下面介绍两种常用的方法.1、平移求解法步骤：1、作出可行域（若是实际问题，则首先应根据题意列出线性约束条件，找出线性目标函数）；2、找出最优解（当最优解不是整数解时，过最优解作与线性目标函数平行的直线）；3、平移直线族（在平面直角坐标系中，打出网格，在可行域内，平移步骤2中所作的直线，最先经过的整点即为所求的整点最优解）. 【范例引导】例1、要将两种大小不同的钢板截成A 、B 、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格今需要A 、B 、C 三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少.解：设需截第一种钢板x 张，第二种钢板y 张，则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≥+≥+≥+0027*******y x y x y x y x 目标函数为：y x z +=.作出可行域，由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+=+539518152273y x y x y x ，所以A ⎪⎭⎫ ⎝⎛539,518.此时，5211=+y x ，因为A 点不是整点，它是非整点最优解，用平移求解法，打出网格，将平行直线族y x t +=中的5211=+y x 向右上方平移，由图可知，在可行域中最先经过的整点是B （3，9）和C （4，8），它们是所求的最优整点解，此时.12=+y x答：要截得所需三种规格的钢板，且使所截两种钢板的张数最少的方法有两种，一种是截第一种钢板3张、第二种钢板9张；二是截第一种钢板4张、第二种钢板8张. 2、调整优值法步骤：1、求出非整点的最优解及最优值（即对应最优解的目标函数值）；2、借助不定方程的知识调整最优值；3、筛选出符合条件的最优解. 【范例引导】例2、用“调整优值法” 解例1 .解:由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+=+539518152273y x y x y x ，所以A ⎪⎭⎫ ⎝⎛539,518，因为A 点不是整点，它是非整点最优解，此时，5211=+=y x t = 11.4不是整数，因而需要对t 进行调整，由于y x ,为整数，所以t 为整数，而与11.4最靠近的整数是12，故取t =12，即12=+y x ，将x y -=12代入到线性约束条件，解得：5.43≤≤x ，取4,3==x x 得整点的最优解为：B （3，9）和C （4，8），此时.12=+y x例3、已知y x ,满足不等式组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈∈≥≥≤+≤+Ny N x y x y x y x ;0;040356056（*）求y x z 150200+=的最大值. 解：根据约束条件画出可行域，由⎩⎨⎧=+=+40356056y x y x 得非整点最优解)760,720(，此时，711857760150720200=⋅+⋅=z 也是非整数.因为y x z 150200+=)34(50y x +=，又y x ,为整数，所以z 一定是50的倍数.令y x z 150200+==1850，则)437(31x y -=，代入到（*）式中得3212≤≤x ，故当3=x 时，325=y 为非整数解.令y x z 150200+==1800，则)436(31x y -=，代入到（*）式中得：40≤≤x ，经计算（0，12），（3，8）为其整数解，此时，1800=z . 【名师小结】在一定的约束条件下使某目标达到最大值或最小值的问题称为数学规划，而当约束条件和目标函数都是一次的（又称线性的），我们称这种规划问题为线性规划.例如，如何分配有限的资源以达到某种既定的目标（如利润最大，支付最小等），称为资源分配问题，而许多资源分配问题可以归结为线性规划模型来处理. 在解线性规划应用问题时的一般步骤为：（1）审题；（2）设出所求的未知数；（3）列出约束条件，建立目标函数；（4）作出可行域；（5）找出最优解. 【误区点拨】1、对于整点解问题，其最优解不一定是离边界点最近的整点，而先要过边界点作目标函数By Ax t +=的图象，则最优解是在可行域内离直线By Ax t +=最近的整点；2、熟练掌握二元一次不等式所表示的平面区域是解决线性问题的基础，因此，正确地作出可行域是我们解题的关键；3、一般的线性规划问题，其约束条件是平面上的一个多边形闭区域，或者是向某一方向无限延展的半闭区域，而目标函数必在边界取最值，且是边界的顶点处取最值，但不一定有最优整数解，这一点一定要注意. 【反馈训练】1、设y x ,满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈∈>>≤+<+zy z x y x y x y x ,0,01141023，求y x u 45+=的最大值. 2怎样搭配价格最低？3、有一化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料或1车皮乙种肥料需要的主要原料和产生的利润分别是：磷酸盐4吨，硝酸盐18吨，利润10000元或磷酸盐1吨，硝酸盐15吨，利润5000元.工厂现有库存磷酸盐10吨，硝酸盐66吨，应生产甲、乙肥料各多少车皮可获得最大的利润？4、某工厂有甲、乙两种产品，计划每天各生产不少于15吨，已知生产甲产品1吨需煤9吨，电力4千瓦，劳动力3个；乙产品4吨需煤9吨，电力5千瓦，劳动力10个.甲产品1吨利润7万元，甲产品1吨利润12万元，但每天用煤不超过300吨，电力不超过200千瓦，劳动力只有300个，问每天生产甲、乙两种产品各多少，能使利润总额达到最大？ 【参考答案】1、最优整数解为（2，1），=m an u 14；2、10片A 和3片B 搭配价格最低为1.6元.3、最后归结为在约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤+0,0661518104y x y x y x 下，求目标函数y x u 500010000+=的整数解问题，答案是生产甲、乙肥料各2车皮时可获得最大的利润30000元.4、最后归结为在约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+.15,15,300103,20054,30049y x y x y x y x 下，求目标函数y x u 127+=的整数解问题，答案是甲、乙两种产品各20吨、24吨，利润总额达到最大428元.。
线性规划中的整点问题
o
x
武穴实验高中 杨耀平
例1、某人有楼房一座，室内面积共180m2，拟分隔成两类房间作 为旅游客房，大房间每间面积为18m2，可住游客5名，每名游客 每天住宿费为40元；小房间每间面积为15m2，可住游客3名，每 名游客每天住宿费为50元；装修大房间每间需1000元，装修小房 间每间需600元。如果他只能筹款8000元用于装修，且游客能住满 客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，能获得最大收益？
12
：200x+150y=0，即4x+3y=0,
将直线l0平移到A点时z最大。
解方程组
6x 5y 60 5x 3y 40
得 A( 20 ,60 ) 77
4
2
4x+3y=0 0
x 2 4 6 8 10 12 14
6x+5y=60
y
5x+3y=4018
16
14
12
A 10
但当可行域较大、边界附近的整点较多时运算量较大
EX1:某学校预算2000元购买单价为100元的 桌子和40元的凳子，希望购买的桌凳总数尽 可能多，但凳子不少于桌子，且不多于桌子 的2倍，求该学校所购买的桌、凳数分别为多 少？
解：设学校购买的桌、凳数分别为x、y，总数为
z，则z= x+y,且x、y满足：
①平移直线寻找非整最优解；②调整最值，确定“目标直线” ③由“目标直线”方程代入约束条件，并求变量范围：④ 确 定“目标直线”上整数解。
但目标直线在向可行域内平移过程中，若需平移多次才能达 到目的，将十分麻烦。
方法二：整点验证法：
当可行域较小、边界附近的整点较少时可以用整点验证法； 将每个可能的整点代入目标函数确定最优解。
线性规划中整点最优解的探究
线性规划中整点最优解的探究发表时间：2013-07-12T10:51:48.483Z 来源：《教育研究·教研版》2013年8月下供稿作者：陶晶[导读] 重视数学思想方法的教学，指导学生提高数学意识。
〔摘要〕在以往教材中，线性代数是大学期间的课程，高中的课程中只是少量接触，而在新教材高二年级的数学中新加了简单的线性规划的内容。
线性规划在数学中越来越受到重视，在高中数学中线性规划在对于解决最优惠最佳方法的应用题中体现出它独特的应用方法，帮助学生在领悟题型是对类型题的加深理解。
对学生在数学方面解决疑难问题也会起到开发性思维的拓展，有助于帮助学生开拓思路解答问题。
线性规划最优解教学中的一个难点。
〔关键词〕线性规划最优解可行域 1 平移找解法平移找解法在作出可行域后，描绘出整点，然后选择目标函数L=ax+y 平移该函数 L，直线L 最先经过或者最后经过的那个整点(x,y)便是整点最优解。
例1 某服装厂生产裙子和裤子两种产品，现有两种布料，第一种有72m2，第二种有 56m2，假设生产裙子和裤子都需要用两种布料，生产一条裙子和一条裤子所需布料如下表所示，每生产一条裙子可获利6 元，生产一条裤子可获利10 元，服装厂现有布料条件下，裙子和裤子各生产多少，获得利润最多。
解：设生产裙子x 条，生产裤子y 条，获取利润z 元，那么 0.18x+0.09y≤72 0.08x+0.28y≤56 嗓,x≥0， y≥0 解得z=6x+10y 如图所示，在不等式组图所表示的可行域作直线l: 6x+10y=0，即 3x+5y=0，把直线l 向右上方平移只l1 的位置时，直线经过可行域点M，且与原点距最大，此时z=6x+10y 取最大值。
解方程组 0.18x+0.09y=72 0.08x+0.28y=56 嗓，解得M 点坐标（350，100）答：应生产裙子350 条，裤子300 条，此时的利润是最大值。
本题的最优点恰为直线0.18x+0.09y =72 和0.08x+0.28y=56 的交点M。
如何寻找_线性规划问题_的整点最优解
- 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
x
图1
作出一组平行的直线 200x + 150y = t. 当 t= 0 时, 即 200x + 150y = 0 也就是直线
l0: 4x + 3y = 0. 将直线 l0 向上平移至 l1 的位置时, 直线 l1 经
过可行域上的点A , 且与原点的距离最大, 此时 z = 200x + 150y 取最大值Ζ
= 1, 2, 3, 4, 如图 4, 打出网格, 这时网格在可行域
内的交点, 即可行域内的整点Ζ
将直线 l1 向上平移到 l2 的位置时, 直线 l2 最
先经过可行域内的整点B (5, 2) , 且使 z = 160x +
252y 取最小值, 此时
z 最小= 160×5+ 252×2= 1304.
2000 年 第 3 期 数学通报
19
如何寻找《线性规划问题》的整点最优解
安培录 (山西省代县中学校 034200)
试验教材高二数学 (上) 增加了《简单的线性
规划》的内容, 利用图解法解答线性规划的两类问 题Ζ 对此, 大纲要求“会简单的应用”Ζ
学生对线性规划的基本概念、基本方法在两
类实际问题中的应用, 基本可以达纲, 但对寻找 《线性规划问题》的整点最优解的问题, 感到不好 入手, 完成作业困难较大Ζ 在这个问题上, 试验教 材安排了一个例题 (P 76 页例 4) , 两个习题 (P 79 页第 3、4 题) , 一个复习题 (P 107 页第 17 题) Ζ 针 对学生从认知到应用这一过程存在的问题, 笔者 在教学实践中归纳整理了三种基本方法, 现举例 说明如下:
也谈线性规划中整点最优解的一种处理方法
也谈线性规划中整点最优解的一种处理方法线性规划是解决现实生产、生活中遇到的资源利用、人力调配、生产安排等问题的一种数学思想方法.高中人教A 版数学书中,将其安排在必修5第三章.在对线性规划的教学中,我发现学生对最优解是整数点的这类问题的解答存在困难,教科书对这类问题的解答也比较模糊（主要是最优解产生过程）,通过查阅资料,我发现解决整点问题的方法也比较多,但这些方法有的简单而适用范围窄（如文献[2]中的解法,要求目标函数z 也取整数）,有的适用范围大但却比较麻烦（如文献[3]中的方法,网格法和筛选法）,那么有没有一种适用性广,且简单易于理解的方法呢？笔者通过仔细琢磨,发现了一种方法,下面通过两个题目做一说明.在介绍方法之前,我们先做一点准备工作——清楚下面的结论. 结论:对于平面内两条平行直线12,l l ,设两线间的距离为d ,则： ①()12l l 上的任意一点,到()21l l 的距离等于d ； ②夹在两平行线之间的点,到两平行线的距离都小于d ；③不夹在两平行线之间也不在线上的点,到离它较远的平行线的距离大于d . 用图形（图1）和代数式子表示如下：图1在同一平面内,直线12//l l ,它们之间的距离为d ,则： ,,,AD d BE d BF d CG d =<<>. 下面我们看如何求线性规划中的整点问题：题目 1 （高中数学人教A 版必修5,第89页例6）要将两种大小不同的钢板截成A,B,C 三种规格,每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：今需要A,B,C 三种规格的成品分别15,18,27块,问各截这两种钢板多少张可得所需A,B,C 三种规格成品,且使所用钢板数最少？解析 设需截第一种钢板x 张,第二种钢板y 张,可得215,218,327,0,0,x y x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎪⎨+≥⎪⎪≥≥⎩ 且,x y 都是整数. 求目标函数z x y =+取最小值时的,x y.将目标函数变形为y x z =-+,则z 表示直线y x z =-+在y 轴上的截距. 作出由不等式组确定的区域及直线y x =-,如图2：平移直线y x =-,在平移过程中(由图2)在不等式表示的区域内碰到的第一个（或同时几个）整数点,就是此题的最优整点,即最优整点是所有可行解中到直线y x =-距离最小的.图2如果不考虑,x y 都是整数这一条件,则平移直线y x =-,当其过点A 时,z 的值最小,但A 是方程组21503270x y x y +-=⎧⎨+-=⎩的解,其坐标为1839,55⎛⎫⎪⎝⎭,不是整数点.在A 点（非整点最优解）附近(越近越好)找到一个整点B （在不等式组确定的区域内）：因为A 点横坐标满足：18345≤≤,我取B 的横坐标为4（本题也可取3）,将4代入区域边界线方程3270x y +-=得,237.73y =≈,为了让B 是整点且在不等式组确定的区域内,取B 的纵坐标为8,这样确定()4,8B .平移直线y x =-,让其过点B ,这样确定一条直线:120l x y +-=,如图3,直线120x y +-=会和不等式表示的区域边界交于,D C 两点,现在我们能确定最优解必定落在ACD ∆（包括边界）表示的区域内（由前面给的结论可知,在直线120x y +-=右上方区域内的所有点到y x =-的距离大于点B 到直线y x =-距离,所以到直线y x =-距离最小的整点必在ACD ∆（包括边界）表示的区域内）.图3解方程组1203270x y x y +-=⎧⎨+-=⎩,得C 点坐标915,22⎛⎫⎪⎝⎭,解方程组1202150x y x y +-=⎧⎨+-=⎩,得D 点坐标()3,9.所以在ACD ∆（包括边界）表示的区域内的整点横坐标在区间9[3,]2内,即整点横坐标只能取3和4两个,对应到ACD ∆（包括边界）表示的区域的整点,正好是,B D 两个点,由前面结论知,,B D 到直线y x =-距离相等,所以,,B D 两点对应的坐标都是此题的最优解,即当4,8x y ==或3,9x y ==时,z 最小,min 3912z =+=.题目 2 某人有楼房一幢,室内面积共1802m ,拟分隔成两类房间作为旅游客房.大房间每间面积为182m ,可住游客5名,每名游客每天住宿费为40元;小房间每间面积152m ,可住游客3名,每名游客每天住宿费为50元;装修大房间每间需1000元,装修小房间每间需600元.如果他只能筹款8000元用于装修,且游客能住满客房,他应隔出大房间和小房间各多少间,能获得最大收益?解析 设隔出大房间x 间,小房间y 间时收益为z 元,则,x y 满足1815180,10006008000,0,0,x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩,,x y Z ∈,且200150z x y =+ 将不等式组等价化为6560,5340,0,0,x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩ 目标函数化为43150z y x =-+, 要使z 最大,则直线43150zy x =-+在y 轴上的截距最大,作出不等式组表示的区域及直线 43y x =-（如图4）：平移直线43y x =-,在平移过程中(由图4)在不等式表示的区域内碰到的最后一个（或同时几个）整数点,就是此题的最优整点,即最优整点是所有可行解中到直线43y x =-距离最大的.图4解方程组6560053400x y x y +-=⎧⎨+-=⎩,得2060,77A ⎛⎫⎪⎝⎭(非整点最优解),在A 附近的区域内找一个整点()3,8B ,过B 作430x y +=的平行线43360x y +-=,如图5：图5则直线43360x y +-=与5340x y +=交于点C ,解方程组4336053400x y x y +-=⎧⎨+-=⎩,得204,3C ⎛⎫⎪⎝⎭；直线4336x y +-=与65600x y +-=交于点D ,解方程组4336065600x y x y +-=⎧⎨+-=⎩,得()0,12D .根据题意要使z 最大,则整点到直线430x y +=距离最远,最优整点落在ACD ∆（包括边界）表示的区域内,根据,C D 两点横坐标取值来确定在ACD ∆（包括边界）表示区域内的整点：当横坐标取0时,在ACD ∆（包括边界）表示区域内有整点()0,12,当横坐标取1时,根据边界线方程65600x y +-=得,在上边界上的纵坐标为545,根据边界线方程43360x y +-=得,在下边界上的纵坐标为323,而在323和545之间没有整数,所以在ACD ∆（包括边界）表示区域内没有横坐标是1的整数点,同理得出在ACD ∆（包括边界）表示区域内没有横坐标是2的整数点,横坐标是3的整数点是()3,8B ,没有横坐标是4的整数点.故在不等式表示的区域内,到直线430x y +=距离最远的整数点有()0,12和()3,8两个,因此使z 最大的最优整数解是()0,12或()3,8,代入200150z x y =+得,max 1800z =.根据以上题目的解答可见,对于目标函数是形如z ax by =+的整点线性规划问题,我们可以通过下面几步求得整点最优解：1.作出不等式组所约束的区域（能将不等式组化简的先化简再作图）,将目标函数变形成a z y xb b =-+.2.作出直线ay xb=-,平移找到非整点最优解A,在其附近找一个整点解B(在不等式约束的区域内).3.过B作直线ay xb=-的平行线,并求出其方程l,l会缩小最优整点所在区域.4.在已经缩小的区域内找出所有整点,代入验证得最优整数点,即最优解.参考文献:[1].刘绍学.普通高中课程标准实验（数学必修5）[M].人民教育出版社A版,2004.[2].贾耕,张弢. 线性规划中最优整解的一种寻找方法[J].数学通报,2005(12).[3].徐国文.谈线性规划中“整点最优解”处理方法[J].中学生数学,2003(01).。
对线性规划整点问题的探究(蒋政)
对线性规划整点问题的探究一、精确图解法求整数最优解 ( 课本P88习题16 )某运输公司有7辆载重量为6t 的A 型卡车与4辆载重量为10t 的B 型卡车，有9名驾驶员。
在建筑某段高速公路中，此公司承包了每天至少搬运360t 沥青的任务。
已知每辆卡车每天往返的次数为A 型卡车8次，B 型卡车6次，每辆卡车每天往返的成本费A 型车160元，B 型车252元。
每天派出A 型车和B 型车各多少辆公司所花的成本费最低？解：设每天派出A 型车x 辆、B 型车y 辆，公司所花的成本为z 元，则0x 70y 4x y 968x 106y 360x,y Z ≤≤⎧⎪≤≤⎪⎪+≤⎨⎪⨯⨯+⨯⨯≥⎪∈⎪⎩即0x 70y 4x y 94x 5y 30x,y Z≤≤⎧⎪≤≤⎪⎪+≤⎨⎪+≥⎪∈⎪⎩ z=160x+252y. 如图可行域是ABCD 围成的区域，作直线160x+252y=0，图形中两直线160x+252y=0和4x+5y=30接近平行， 比较直线斜率k=160252->-45, 平移直线160x+252y=0，由图可知在A （7，25）处取到最小值，但A 不是整数解。
在可行域内共有（3，4），（4，3），（4，4），（5，2），（5，3），（6，2），（6，3），（7，1），（7，2）整数解，经检验只有（5，2）是最优解，此时z=160×5+252×2=1304元。
这种方法适用于区域是封闭区域，且区域内的整数点可数，坐标网络画出来容易在图上识别哪些整点在可行域内。
二、利用近似解估算整数最优解 (课本P63例4)要将两种不同的钢板截成A 、B 、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示： 今需要A 、B 、C 三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需的三种规格成品，且所使用钢板张数最少。
解：设需截取第一种钢板x 张，第二种钢板y 张，则2x y 15x 2y 18x 3y 27x,y 0,x,y N+≥⎧⎪+≥⎪⎨+≥⎪⎪≥∈⎩ 目标函数z=x+y,如图可行域是阴影部分，目标函数在A 点取到最优解。
205 线性规划整点最优解的探索性教学
1
提出第一类问 题
Байду номын сангаас
师: 前面, 我 们 学 习 了 线 性 规 划 的 概 念, 以及 它在 实 际问 题 中的 简 单应 用 . 今天, 我们 继续 来 谈线 性 规划 的 理论 和 方法 在 实 际问 题 中的 应 用 . 下面 请 大家 看 一个 问 题 ( 多 媒体 显 示) . 问题 1 ( 复习 参考 题 A 组 第 1 题) P 8 8 6 某运 输公 司有 7 辆 载重 为 6 的 型 卡车 与 � A 4 辆载 重为 1 的 B 型卡 车 , 有 9 名驾 驶员 . 在 0� 建筑 某 段 高 速 公 路 中 , 此公司承包了每天至 少搬 运 3 沥青 的任 务 . 已知 每 辆卡 车每 天 6 0� 往返 的次 数为 : 次, 次. A 型 卡车 8 B型 卡车 6 每辆 卡车 每天 往返 的成 本费 为 : 型卡 车 A 1 6 0 元, 每天 派 出 A 型 卡 车 和 B B型 卡 车 2 5 2元 . 型卡 车各 多少辆 , 公 司所 花的 成本 费最 低 ? 这是 线 性规 划 的理 论 和方 法 在 实 际问 题 中应 用的 第 一种 类 型 : 即给 定 一 项任 务 , 如何 合理 安排 和 规划 能 以最 少 的人 力 , 物力, 资金 等资 源来 完 成该 项 任务 . 由 题 目 的条 件 , 结合 线性 规 划 的 方 法 , 看谁能以最快的方法解出 该题 ? 展 示条 件 , 暴露 思维 师: 先 请 一位 同 学 设出 所 求 的未 知 出约 束条 件 , 建 立目 标函 . 1 . 1 公司 所花 的成本 费为 � 元, 然 后列表 . 列 ,
本例的 可 行 域 为 -- 四 边 形 ( 如图 1 ) : 一边 平行 于 �轴 ( 它 的对 边 平 行 于 �= 4 ) , � 轴( 另两 边分 别在 直线 � �= 7 ) . 1 : 4 �+ 5 � = 与直 线 � 上. 这时 , 3 0 2 : �+ �= 9 �= 1 6 0 � 轴 上的 截距 � = � . �+ , � 2 5 2 2 5 2 2 5 2
数学线性规划解题技巧
数学线性规划解题技巧数学线性规划解题技巧_解数学线性规划技巧分享控制自己的情绪，保持冷静客观。
练习思维跳跃，拓展思维方式。
对已有知识进行组合和重组，寻找新的解决方法。
下面就让小编给大家带来数学线性规划解题技巧，希望大家喜欢!高数学线性规划解题技巧常用的途径有(一)、充分联想回忆基本知识和题型：按照波利亚的观点，在解决问题之前，我们应充分联想和回忆与原有问题相同或相似的知识点和题型，充分利用相似问题中的方式、方法和结论，从而解决现有的问题。
(二)、全方位、多角度分析题意：对于同一道数学题，常常可以不同的侧面、不同的角度去认识。
因此，根据自己的知识和经验，适时调整分析问题的视角，有助于更好地把握题意，找到自己熟悉的解题方向。
(三)恰当构造辅助元素：数学中，同一素材的题目，常常可以有不同的表现形式;条件与结论(或问题)之间，也存在着多种联系方式。
因此，恰当构造辅助元素，有助于改变题目的形式，沟通条件与结论(或条件与问题)的内在联系，把陌生题转化为熟悉题。
数学解题中，构造的辅助元素是多种多样的，常见的有构造图形(点、线、面、体)，构造算法，构造多项式，构造方程(组)，构造坐标系，构造数列，构造行列式，构造等价性命题，构造反例，构造数学模型等等。
数学线性规划解题实战运用所谓简单化策略，就是当我们面临的是一道结构复杂、难以入手的题目时，要设法把转化为一道或几道比较简单、易于解答的新题，以便通过对新题的考察，启迪解题思路，以简驭繁，解出原题。
简单化是熟悉化的补充和发挥。
一般说来，我们对于简单问题往往比较熟悉或容易熟悉。
因此，在实际解题时，这两种策略常常是结合在一起进行的，只是着眼点有所不同而已。
解题中，实施简单化策略的途径是多方面的，常用的有: 寻求中间环节，分类考察讨论，简化已知条件，恰当分解结论等。
1、寻求中间环节，挖掘隐含条件：在些结构复杂的综合题，就其生成背景而论，大多是由若干比较简单的基本题，经过适当组合抽去中间环节而构成的。
线性规划中的整点最优解
线性规划中的整点最优解在组织社会化生产、经营管理活动中，我们经常会碰到最优决策的实际问题。
而解决这类问题的现代管理科学以线性规划为其重要的理论基础，其本质都是寻求整个问题的某项整体指标的最优解。
但在实际问题中，最优解(x,y) 通常要满足x,y∈N ，这种最优解称为整点最优解，下面通过具体例子谈谈如何求整点最优解 .1．平移找解法作出可行域后，先打网格，描出整点，平移直线，最先经过或最后经过的整点便是整点最优解.例 1 有一批钢管，长度都是4000mm，要截成500mm和600mm两种毛坯，且这两种毛坯按数量比不小于配套，怎样截最合理？分析：先设出未知数，建立约束条件和目标函数后，再通过平移直线，使它经过整点的方法来求整点最优解．解：设截500mm的钢管x根，600mm的y根，总数为z根。
根据题意，得，目标函数为，作出可行域如图示阴影部分内的整点，要打出网格，描出整点，网格上的交叉点为整点．作一组平行直线x+y=t，经过可行域内的点且和原点距离最远的直线为过B（8，0）的直线，这时x+y=8.由于x,y为正整数，知（8，0）不是最优解。
显然要往下平移该直线，在可行域内找整点，使x+y=7，可知点（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1）均为最优解．答：略．例 2 某运输公司接受了向抗洪抢险地区每天至少送180t支援物资的任务。
该公司有8辆载重为6t的A型卡车与4辆载重为10t的B型卡车，有10名驾驶员；每辆卡车每天往返的次数为A型卡车4次，B型卡车3次；每辆卡车每天往返的成本费A型车为320元，B型车为504元。
请你们为该公司安排一下应该如何调配车辆，才能使公司所花的成本费最低？解：设每天调出A型卡车x辆、B型卡车y辆，公司所花的成本为z元，则，目标函数z=320x+504y，作出可行域如图示阴影部分内的整点，打出网格，描出整点，网格上的交叉点为整点．作L0：320x+504y=0，往上平移直线L，当直线经过可行域内的点A（7.5，0）时可使Z 最小，但 A不是整点，继续往上平移，最先经过的整点是（8，0）．即只调配A 型卡车，所花最低成本费z=320×8=2560（元）．答：略．这种方法首先要充分利用非整点最优解的信息，结合精确的作图才行，当其可行域是有限区域且整点个数又较少，通常可行域是封闭的多边形，这时可以通过平移直线找到最优解．2．调整优值法先求出非整点最优解及最优值，再借助不定方程的知识调整最优值，最后筛选出整点最优解．例3 要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：今需要A、B、C三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少？解：设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张，共需z张则作出可行域如图示阴影部分内的整点，目标函数为z =x+y．作出一组平行直线x+y=t, 其中经过可行域内的点且和原点距离最近的直线，经过直线 x +3y=27 和直线 2x+y=15 的交点A（），直线方程为x+y= . 由于都不是整数，所以（）不是最优解 .当时， z=11 ，可知当时，，令 x+y=12,y=12-x代入约束条件，可得，所以 x=3 或 4 ，即经过可行域内的整点且与原点距离最近的直线是x+y=12, 经过的整点是 B(3,9) 和C(4,8), 它们都是最优解.答: 要截得所需三种规格的钢板,且使所截两种钢板的张数最少的方法有两种:第一种截法是截第一种钢板3张.第二种钢板9张;第二种截法是截第一种钢板4张、第二种钢板8张.两种方法都最少要截两种钢板共12张．例4 某人承揽一项业务：需做文字标牌2个，绘画标牌3个。
谈线性规划中_整点最优解_处理方法
图5
图6
以上介绍求可行域内整点最优解的方法 各有长处 . 网格法只须准确作图 , 没有计算上 的麻烦 ; 筛选法侧重于计算但可免去画图之 ( 责审 劳 . □ 余炯沛)
合订本邮购启示
本刊 2002 年精装合订本将现开始向喜爱 《中学生数学》 的读者出售 , 高中版每册售价 45 元 ; 初中版每册售价 45 元 . 另 , 本刊现有少量 2000 年和 2001 年初中版 《中学生数学》 精装合订本 ( 2000 年和 2001 年高 中版合订本均已售完 ) . 2000 年初中版精装合订本每册售价 45 元 ; 2001 年初中版精装合订本每册售价 45 元 . 以上售价中均含邮挂费 , 数量有限 , 欲购从 速 。款请汇至 :100037 首都师范大学数学系中学 生数学杂志社乔赤兵收 . 请在汇款单附言栏内注 明所购合订本的年份并注明高中刊或初中刊及 所购册数 , 款到寄书 .
( 中学生数学》 《 2001 ( 1 上) :7 , 2002 ( 2 上) :11) 生5 原三篇文章利用 Cauchy 不等式或建 立参数方程推证 . 我构造向量 , 设 Q ( x , y ) 在 l
生4 构造 m = { 1 ,
— →
— →
x - 1} , x-
n ={
1
x = 1 + ( x - 1) = | m | ( x-
4
中 学 生 数 学 2003 年 1 月上
谈线性规划中 “整点最优解” 处理方法
江苏省建湖高级中学 ( 224700) 徐国文 现行高中数学教材新增设了线性规划的 内容 , 并开设了研究性课题 : 线性规划的实际 应用 . 但教材中寻找整点最优解的方法介绍得 笼统 , 不易掌握与操作 , 使寻找整点最优解成 为了学习中的难点 . 本人据第六十五页习题 7 . 4 第 4 题介绍两种求整点最优解的方法 , 供同 学们学习中参考 : 引例 某 人 有 楼 户 一 幢 , 室 内 面 积 共 180m2 , 拟分隔成两类房间作为旅游客房 , 大房 间每间面积 18m2 , 可住游客 5 名 , 每名游客每 天住宿费为 40 元 ; 小房间每间面积为 15m2 , 可
简单的线性规划整点最优解
0
使z=2x+y取得最大值的可行解为 (2,-1) ，
1
且最大值为 3 ；
y=-1
(-1,-1)
2x+y=0
使z=2x+y取得最小值的可行解 (-1,-1) ，
x
(2,-1)
且最小值为 -3 ；
这两个最值都叫做问题的 最优解。
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例题分析
例1:某工厂生产甲、乙两种产品.已知生产甲种产品1t需消
耗A种矿石10t、B种矿石5t、煤4t；生产乙种产品1吨需消 耗A种矿石4t、B种矿石4t、煤9t.每1t甲种产品的利润是600 元,每1t乙种产品的利润是1000元.工厂在生产这两种产品的 计划中要求消耗A种矿石不超过300t、消耗B种矿石不超过 200t、消耗煤不超过360t.甲、乙两种产品应各生产多少(精 确到0.1t),能使利润总额达到最大?
3.在可行域内找整数解，一般采用平移找解法，即打网 络、找整点、平移直线、找出整数最优解
解线性规划应用问题的一般步骤：
1）理清题意，列出表格： 2）设好变元并列出不等式组和目标函数 3）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域； 4）在可行域内求目标函数的最优解 5)还原成实际问题 (准确作图，准确计算)
甲产品 xt
（1t）
10 5 4
600
乙产品 yt 资源限额
（1t）
（t）
4
300
4
200
9
360
1000
设生产甲、乙两种产品.分别为x t、yt,利润总额为z元
把题中限制条件进行转化：
10x+4y≤300
5x+4y≤200 4x+9y≤360
x≥0
y ≥0
探索线性规划中整点最优解问题
探索线性规划中整点最优解问题作者：肖志坚来源：《新教育时代·学生版》2017年第34期摘要：在普通高中课程标准实验教科书《数学》必修五3.3.2“简单的线性规划问题”内容中，在求整点最优解的问题上，教材和教参的处理方法，只是在“最优解”的基础上进行“调整”，得到整点最优解。
而“调整”方法不具一般性，学生在解答这类问题时，思维混乱、无法可依。
本文针对线性规划整点最优解问题，在谋求解决问题的通性通法方面作了一点探讨，抛砖引玉。
关键词：整点最优解可操作性《简单的线性规划问题》一节，是高中数学的新增内容。
通过对这一节的学习，让学生掌握简单线性规划的基本思想和基本方法，有利于培养学生科学、严谨的学习品质，提高学生分析和解决实际问题的能力，进一步拉近了数学和社会生活之间的距离。
我认为，学习本节内容，重点在于应用，解决实际问题，提高学生的数学素养。
而在实际问题中，整点问题又较为普遍.教材对整点问题也有涉及，同时也为学习者留下很大的思维发展空间。
在教学中，我发现不少学生最怕遇到线性规划整点最优解问题。
于是，我沉入到此类问题中去，寻求解决问题的一般办法，整理出一种操作性较强的解题方法，为叙述方便，暂且称为“最优解区域法”。
其解题的基本思路是：（1）划定最优解区域。
就是要尽量缩小题设中的可行域，使缩小后的可行域，不但含有题目要求的整点最优解，而且其所含的整点数较少。
（2）求整点。
即是求出最优解区域中的所有整点坐标（很少的几个）。
（3）验证得结果。
将在最优解区域中求得的所有整点，代入目标函数，逐个验证得到整点最优解。
下面从“求可行域内的整点”、“最优解区域”和“最优解区域法的应用”等三个方面来具体阐述“最优解区域法”。
一、求可行域内的整点在求线性规划中整点最优解时，需要在最优解区域内找出整点最优解，即是将最优解区域内的所有整点都找出来，逐个去验证，才可以避免遗漏整点最优解。
因为最优解区域是封闭的，所含整点不多，在找整点时，通常可采用分离取整讨论法求解。
高中数学解题方法系列：线性规划中整点问题的4种方法
高中数学解题方法系列：线性规划中整点问题的4种方法线性规划是运筹学的一个重要分支，在实际生活中有着广泛的应用。
新教材中增加了线性规划的内容，充分体现了数学的实际应用，发展了学生的数学应用意识。
由于实际问题中线性规划问题的最优解多为整数解，也是学生学习线性规划的难点，因而求线性规划的整数最优解的方法就显得尤为重要了。
但教材中对此类问题却一带而过，对于具体的验算过程并没有作必要的描述，以致学生在解题过程中对于具体的验算过程掌握还不够清晰。
例：要将两种大小不同的的钢板截成A 、B 、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如表所示，今需要A 、B 、C 三种规格的成品分别为15，18，27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少。
解：设需要截第一种钢板x 张，第二张钢板y 张，则21521832700x y x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎪⎪+≥⎨⎪≥⎪⎪≥⎩，作出可行域（如图所示）,目标函数为z x y =+，作出在一组平行直线x y t +=中（t 为参数）经过可行域内的点且和原点距离最近的直线，此直线经过直线327x y +=和直线215x y +=的交点1839(,)55A ，直线方程为5721155x y +==，由于183955和都不是整数，而最优解(,)x y 中，x ，y 必须都是整数，所以可行域内点1839(,)55A 不是最优解。
经过可行域内的整点（横坐标和纵坐标都是整数的点）且与原点距离最近的直线是12x y +=且经过的整点是B （3，9）和C （4，8），它们都是最优解。
答：要截得所需三种规格的钢板，且使所截两种钢板的张数最少的方法有两种，第一种截法是截第一种钢板3张、第二种钢板9张；第二种截法是截第一种钢板4张、第二种钢板8张。
两种方法都最少要截两种钢板共12张。
线性规划问题中的整点最优解是教学中的一个难点，教材中利用图解法比较直观有效地突破了这一难点，但其中有两个问题需要弄清楚：直线12x y +=是怎样确定的？整点B （3，9）和C （4，8）又是怎样确定的？在求最优解时，我们是将平行直线:l x y t +=向可行域内平移，在向右上方平移时，t 的值是增加的，而经过1839(,)55A 点的直线为5721155x y +==，当t 值增加的过程中，其最小值是12，所以与原点距离最近的直线可能是12x y +=。
浅谈_线性规划中的整点最优解_的几种求法
２０１０年第１６期
文学教育研究
浅谈“线性规划中的整点最优解”的几种求法
顾钰萍 （湖州中学浙江湖州３１３０００）
（（简单的线性规划问题》是高中数学教材必修５第三章《不 等式》的内容。求线性目标函数的最值问题是本节的重点，也是 本节的难点。课本给出了三个典型例题来介绍实际的线性规划 问题。其中例５和例６代表了第一类线性规划问题：给定一项任 务，问怎样统筹安排，能使完成这项任务的人力、物力资源最 小。例７代表了第二类线性规划问题：给定一定数量的人力、物 力资源，问怎样安排运用这些资源，能使完成的任务量最大。其 中例６是一个求整点最优解的问题，更是线性规划问题的一个 难点中的难点。 在实际教学过程中我发现学生很难理解教材给出的解答 过程，不知道课本给出的最优解是如何得到的。经过实际的教 学研究和资料查阅我得到几种寻求“线性规划中的整点最优 解”的方法。 一．网格法寻找整点最优解 网格法寻找整点最优解是最容易让学生理解接受的一种 方法。该方法的本质是直线的平移，但它并非一步一步的平移， 而是在非整点最优解附近搜索，同时结合网格，赢接找出附近 的整点来减小搜索范围，从而求出整点最优解。 例：某人有楼房一幢，室内面积共１８０ｍ２，拟分隔成两类房 间作为旅游客房，大房间每间面积为１８肌：，可住游客５名，每名 游客每天住宿费为４０元；小房间每间面积为１５所：，可住游客３ 名，每名游客每天住宿费为５０元・装修大房间每间需１０００元，装 修小房间每间需６００元。如果他只能筹款８０００元用于装修，且游 客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，能获得最 大收益？ 解：设隔出大房间间ｘ，小房间问Ｙ，收益为元ｚ，则 解：设隔出大房间间ｘ，小房间间Ｙ，收益为元ｚ，则
淞．
得Ａ（挈，竿），但不是整数解。此时：２００×２０，＋ｌ ５０×竿
对简单的线性规划问题案例的探讨 (1)
对《简单的线性规划问题》案例的探讨厦门一中陈建国（发表于《福建教育》2007年第7－8期）一、“线性规划”应关注的6个方面的问题“简单的线性规划问题”属于高中数学新课程必修模块5，人民教育出版社A版高中数学教材将其安排在第三章《不等式》中，是二元一次不等式表示平面区域的后续内容。
“线性规划”是以数学为工具，来研究人力、财力、物力、时间、空间等资源在一定的约束条件下。
如何用最少的资源获取最大经济效益，属于最优化问题。
中学数学的线性规划只是规划论中的极小部分，但这部分内容体现了数学的工具性、应用性的特点，体现现代数学的特征，也生透露化归、数学结合等重要的数学思想，同时为解决实际问题提供了一种重要的解题方法――数学建模法。
本节课的教学应该关注以下方面：1、突出应用。
学习线性规划知识的最终目的就是运用其解决一些实际问题。
生活中常遇到资源利用、人力调配、生产安排等问题，它们需要涉及线性规划相关知识。
教学过程应该注意创设问题情境，通过一些由着丰富内涵和宽广外延的典型实例，如“火车运输问题”、“工厂生产安排”、“营养搭配问题”等生产、生活实际背景，以问题为驱动，激发学生对问题的解决产生兴趣，引导学生探索，经历问题的解决过程，体验数学在解决实际问题中的作用。
规划问题的极为重要的技术环节，其步骤大致可分为四个部分：（1）审题，弄清题意，明确约束条件的目标要求，理顺数量关系。
（2）建模，将文字语言转化为数学语言，列出线性约束条件、线性目标函数，建立相应的数学模型。
（3）求模，应用“图解法”，先求出可行解、可行域，再求出最优解。
（4）还原，将得出的结果还原为实际问题的结论。
3、重视数学结合思想。
本节课的重点是线性规划的图解法，其实质是“以形助数”，把抽象的数学语言转化为直观的图形，借助“形”的几何直观性来阐明“数”之间的关系，兼有数的严谨和形的直观之长，这就是数学结合的思想方法。
图解法是解决线性规划问题重要且常用的方法，可以避免繁杂的计算，是一种基本的数学方法。
线性规划中的整点问题
整点问题是指线性规划中的一种特殊情况，它要求解决方案中的变量只能取整数值。
整点问题的解决方法有两种：一种是使用整数规划技术，另一种是使用混合整数规划技术。
整数规划技术是指将线性规划中的变量限制为整数，从而解决整点问题。
这种技术可以有效地解决线性规划中的整点问题，但是它的计算复杂度较高，耗时较长。
混合整数规划技术是指将线性规划中的变量限制为整数和实数，从而解决整点问题。
这种技术可以有效地解决线性规划中的整点问题，而且计算复杂度较低，耗时较短。
简单线性规划整点最优解问题研究
简单线性规划整点最优解问题研究随着中学数学教育的改革和发展，简单线性规划问题已经逐渐成为中学数学教学的一个基本内容。
简单线性规划问题与我们的日常生活息息相关，它主要涉及人力、物力、资金等资源的最优配置。
作为中学数学教学，整点最优解问题是简单线性规划的核心内容，但教材对于具体的验算过程并没有作过多的描述，以致中学生在解题过程中对于具体的验算过程掌握还不够清晰。
在资料上也经常见到有关简单线性规划整点最优解问题的求解方法，如：网格法，穷举法，筛选法，最小距离法等。
本文将介绍利用平移法求整点最优解的几种具体的操作方法—平移交轨法，平移换元法，平移近值法。
一 平移交轨法该方法主要是在平移直线过程中，利用直线间的交点来缩小最优值的存在范围，因此其主要思想是联立方程求解交点，然后确定最优解可能的存在范围。
例1 要将两种大小不同的钢板截成A 、B 、C 三种规格,每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示： 规格类型 钢板类型A 规格B 规格C 规格 第一种钢板 2 1 1第二种钢板 1 2 3张可得所需三种规格成品,且使所用钢板张数最少? (新教材63页例4)分析：这类问题涉及物资的优化配置,在任务一定的条件下,使物资用量最少。
设需截第一种钢板x 张,第二种钢板y 张,设所用钢板的张数为z 张，则： 2x+y ≥15 x+2y ≥18x+3y ≥27x ≥0,y ≥0目标函数为：z=x+y可行域如图所示(图1)根据目标函数作出一组平行直线:x+y=t 。
这些直线中经过可行域且和原点距离最近的直线,此直线经直线x+3y=27和2x+y=15的交点A(539518，),此直线y与原点的距离最近,z 取得最小值,即： z=x+y=557 显然518和539都不是整数,而最优解中,x 和y 必须为整数,故A 不是最优解,故将直线x+y=557向上平移到x+y=12,最优解可能存在于此直线上。
最优解必须在可行域内,故应求出直线2x+y=15和x+3y=27与x+y=12的交点：2x+y=15 x+3y=27x+y=12 x+y=12可得交点坐标为B(3,9),D(21529，)，故有：3≤x ≤29 这样便更进一步的缩小了x 的范围，即x=3或4，将其代入x+y=12 ，可得y=9或8。
线性规划整点问题的另类探究
线性规划整点问题的另类探究
张云标
【期刊名称】《数理化解题研究：高中版》
【年(卷),期】2005(000)011
【摘要】现行高中教科书高中数学第二册（上）63页的例4给出了整点最优解的一种处理方法一平移观察法．但在实际运用中，由于画图不够精确，很难找准整点最优解．本文给出这类问题的另一种解法一调整优值法．
【总页数】2页(P23-24)
【作者】张云标
【作者单位】浙江省绍兴县鲁迅中学,312008
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.如何求“线性规划”中的整点问题 [J], 张帮军
2.探究线性规划整点问题 [J], 郭俊芳
3.“线性规划中求整点的最优解问题”的解法规划 [J], 陈后万;
4.线性规划整点最优解的探究性设计 [J], 李建标
5.也谈线性规划中的整点问题 [J], 徐建东
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如何认识线性规划实际问题中有关最优解的精确问题
如何认识线性规划实际问题中有关最优解的精确问题课本线性规划第二节，提到两个实际问题，一个要求将最优解精确到0.1，一个要求将最优解是整数，如果说师生们对例4的答案还可接受的话，那么，例3到最后四舍五入式的解答实在让人难以把握，况且最优解应为（12.3，34.5），那么关于这种最优解需要得到精确的题目有没有统一的解答步骤，我的回答是有。
在实际问题中，可行域一般都是一整片区域不存在间断现象，所以题目所要求的最优解无论精确到0.1还是精确到0.01，符合要求的最优解都确实存在在可行域中，我们要做的应该是把它找出来，而不是通过任何手段去精确。
如何才能把它找出来呢？我的办法是，不考虑x、y需要精确的要求，先依其他条件列出不等式组，作出可行域，求出符合题中其他条件的最优解，然后看此最优解是否符合题目要求，若符合，则即为所求解．若不符合，则应继续滑动参照线，求出经过可行域内的符合要求的且与原点距离最远（或最近）的点的直线，在该线经过可行域的部分上寻找最优解即可。
具体操作请看以下示范课本例3、某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产甲种产品1t需消耗A种矿石10t、B种矿石5t、煤4t；生产乙种产品1t需消耗A种矿石4t、B种矿石4t、煤9t。
每1 t甲种产品的利润是600元，每1 t甲种产品的利润是1000元。
工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过300t、B种矿石不超过200t、煤不超过360t。
甲、乙两种产品应各生产多少（精确到0.1t），能使利润总额达到最大？解：设生产甲、乙两种产品分别为x t、y t，利润总额为z元，那么104300542004936000x y x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎪+≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩ Z=600x+1000y作直线l ：600x+1000y=0 即直线l ：3x+5y=0把直线l 向右上方平移，使其划过可行域，此时3x+5y>0当直线经过点M 3601000(,)2929时3x+5y 达到最大,即z 也达到最大，此时3x+5y=608029≈209.655,若要将最优解精确到0.1，需将直线向回平移到3x+5y=209.6由35209.649360x y x y +=⎧⎨+=⎩ 得到3x+5y=209.6与可行域左边界的交点A （12.343,34.514）由35209.654200x y x y +=⎧⎨+=⎩得到3x+5y=209.6与可行域右边界的交点B （12.431,34.462）可知有可能成为最优解的点的横坐标为12.4 代入3x+5y=209.6得到纵坐标约为34.48，不符合题目精确到0.1要求继续将直线向回平移到3x+5y=209.5 由35209.549360x y x y +=⎧⎨+=⎩得到3x+5y=209.5与可行域左边界的交点C （12.214,34.571） 由 35209.554200x y x y +=⎧⎨+=⎩得到3x+5y=209.5与可行域右边界的交点D(12.462,34.423) ，可知有可能成为最优解的点的横坐标为12.3、12.4 ，将12.3代入3x+5y=209.5得到纵坐标约为34.52，将12.4代入3x+5y=209.5得到纵坐标约为34.46，均不符合题目精确到0.1要求继续将直线向回平移到3x+5y=209.4由35209.449360x y x y +=⎧⎨+=⎩得到3x+5y=209.4与可行域左边界的交点C （12.086,34.6284）由35209.454200x y x y +=⎧⎨+=⎩得到3x+5y=209.4与可行域右边界的交点D(12.4923，34.3846) ，可知有可能成为最优解的点的横坐标为12.1、12.2、12.3、12.4 ，将12.1代入3x+5y=209.4得到纵坐标约为34.62，将12.2代入3x+5y=209.4得到纵坐标约为34.56，将12.3代入3x+5y=209.4得到纵坐标约为34.5，将12.4代入3x+5y=209.4得到纵坐标约为34.44，其中只有（12.3，34.5 ）符合要求。
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对线性规划整点问题的探究 厦门双十中学 郭俊芳
在人教版第二册（上）（2004年6月第一版，2006年4月第3次印刷）的高中数学教材第7.4节——简单线性规划。
课本第61~62页给出两个线性规划的实际问题。
分别代表两个类型：例3属于第一类：给定一定数量的人力、物力资源，问怎样安排运用这些资源，能使完成的任务量最大；例4属于第二类：给定一项任务，问怎样统筹安排，能使完成这项任务的人力、物力资源最小。
且例4还要求最优解是整数解。
笔者在教学中发现，这个问题是学生的难点，学生仅靠阅读课本解答是不能完全理解怎样得到这个最优解的。
笔者经过多次的教学实践和研究，试图找到解决这类问题的方法，以下是笔者认为行之有效的方法。
一、精确图解法求整数最优解 课本P88习题16
某运输公司有7辆载重量为6t 的A 型卡车与4辆载重量为10t 的B 型卡车，有9名驾驶员。
在建筑某段高速公路中，此公司承包了每天至少搬运360t 沥青的任务。
已知每辆卡车每天往返的次数为A 型卡车8次，B 型卡车6次，每辆卡车每天往返的成本费A 型车160元，B 型车252元。
每天派出A 型车和B 型车各多少辆公司所花的成本费最低？ 解：设每天派出A 型车x 辆、B 型车y 辆，公司所花的成本为z 元，则
0x 70y 4x y 9
68x 106y 360x,y Z
≤≤⎧⎪≤≤⎪⎪
+≤⎨⎪⨯⨯+⨯⨯≥⎪∈⎪⎩ 即0x 70y 4x y 94x 5y 30x,y Z
≤≤⎧⎪≤≤⎪⎪
+≤⎨⎪+≥⎪∈⎪⎩ z=160x+252y. 如图可行域是ABCD 围成的区域，
作直线160x+252y=0，图形中两直线160x+252y=0和4x+5y=30接近平行， 比较直线斜率k=160252-
>-4
5
, 平移直线160x+252y=0，由图可知在A （7，
2
5
）处取到最小值，但A 不是整数解。
在可行域内共有（3，4），（4，3），（4，4），（5，2），（5，3），（6，2），（6，3），（7，1），（7，2）整数解，经检验只有（5，2）是最优解，此时z=160×5+252×2=1304元。
这种方法适用于区域是封闭区域，且区域内的整数点可数，坐标网络画出来容易在图上识别哪些整点在可行域内。
二、利用近似解估算整数最优解 课本P63例4
要将两种不同的钢板截成A 、B 、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示： x+y=9 4x+5y=30
160x+252y=0
A B
C
D
今需要A 、B 、C 三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需的三种规格成品，且所使用钢板张数最少。
种钢板y 张，则
2x y 15x 2y 18x 3y 27x,y 0,x,y N
+≥⎧⎪+≥⎪
⎨
+≥⎪⎪≥∈⎩ 目标函数z=x+y,
如图可行域是阴影部分，目标函数在A 点取到最优解。
解方程组
x 3y 272x y 15+=⎧⎨
+=⎩
得A （185，39
5） 但不是整数解，
此时,z=185+395=57
5
,
则在可行域内取到整数解的z=12.
即经过可行域内的整点，且与原点距离最近的直线是 x+y=12，则整点一定在B 、C 之间。
解方程组x y 12
2x y 15+=⎧⎨+=⎩
，得B （3，9）；
解方程组x y 12x 3y 27
+=⎧⎨
+=⎩，得C （92，152）；则整点的横坐标3≤x ≤9
2，
所以满足条件的最优解是（3，9），（4，8）.
本来近似解z=
575，而57
5
=11.4也不约等于12，学生不理解为什么z=12。
这不是近似解约等于多少的问题，而是由于575不是可行域内的整数解，可行域内的整数解至少要大于57
5。
这种方法先由图解法观察出最优解在哪个点处取到，再由精确值估算出整数解，一定注意整
数解的估算不是四舍五入取整，而是在可行域内的整数解。
规
格类型 钢板类型
A 规格
B 规格
C 规格 第一种钢板 2 1 1 第二种钢板
1
2
3
2018
16
14
12
10
8
6
4
2
-15
-10
-5
51015
x+y=12
x+3y=27
x+2y=18
2x+y=15
A
B
C
D
E
x
O
y
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三、利用解不定方程的原理求整数最优解 例2．求下列区域内整数点的个数
x 0y 0
3x 4y 96.≥⎧⎪
≥⎨⎪+≤⎩
解：如图区域是阴影部分的直角三角形，把它补为矩形。
则矩形区域内的整点有33×25=825
个。
而线段AB 上的整点（含端点）是不定方程3x+4y=96的非负整数解。
又x=32-
4y
3
,则y 一定被3整除，满足条件的y 有0，3，6…，24共9个，即线段AB 上的整点有9个。
则阴影部分区域内的整点有
8259
92
-+=417个。
四、利用穷举法求整数最优解 课本P65习题7.4第4题
某人有楼房一幢，室内面积共180m 2，拟分隔成两类房间作为旅游客房，大房间每间面积为18m 2，可住游客5名，每名游客每天住宿费为40元；小房间每间面积为15m 2，可住游客3名，每名游客每天住宿费为50元；装修大房间每间需1000元，装修小房间每间需600元。
如果他只能筹款8000元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，能获得最大收益？
解：设隔出大房间x 间，小房间y 18x 15y 1801000x 600y 8000x,y 0,x,y Z +≤⎧⎪
+≤⎨⎪≥∈⎩
z=200x+150y
如图可行域是阴影部分，
作直线L ：200x+150y=0，即4x+3y=0, 将直线L 平移到A 点时与原点距离最大。
解方程组
6x 5y 605x 3y 40+=⎧⎨
+=⎩
得A （2060
,77），但不是整数解。
此时z=200×
206015077+⨯=1300018577
≈。
又z=200x+150y=50（4x+3y ），则z 取到的最优解一定被50整除，则z 的最大值是1850。
即4x+3y=37，又4x+3y=37的所有整数解是（1，11），（4，7）（7，3）， 而（1，11）不满足6x+5y ≤60，舍去； （4，7）不满足5x+3y ≤40，舍去； （7，3）不满足5x+3y ≤40，舍去。
所以z 的最大值不可能是1850。
则z 的最大值可能是1800、1750、1700…，直到在可行域内找到满足条件的最优解。
14
12
10
8
64
2
-2
-5
51015
x
y
O
18x+15y=180
1000x+600y=8000 A
200x+150y=1800
x
O
y
32 24 A
B
百度文库- 让每个人平等地提升自我
若z=1800，即4x+3y=36，又4x+3y=36的所有整数解是（0，12），（3，8）（6，4），（9，0），经检验只有（0，12），（3，8）在可行域内，所以当x=0,y=12或x=3,y=8时，z取到最大值1800。
这种方法就是穷举法，首先对z的可能取到的整数解进行尝试，对所有可能的整数解验证它是否在可行域内，才能准确不漏的找到所有的最优解。