第三章-工业机器人静力计算及动力学
工业机器人第3章 工业机器人的动力学基础
（3.10）
（3.11）
式中
I
—— 3×3阶单位矩阵；
( k, ) —— 微分旋转算子，其表达式为
0 k z k y ( k , ) k z 0 k x k y k x 0
Q AQB O ARB BQ
对式（3.7）两边求其导数，得到点 Q 相对于{ A} 和 {B} 的运动速度
A
Q
，BQ 式中
之间的关系式：
A
Q AQBO ARB BQ ARB BQ
（3.8）
A
QBO
—— 坐标系{B}的原点相对于坐标系{ A} 的运动速度；
A
RB —— 旋转矩阵的导数。
3.1 牛顿-欧拉方程
牛顿欧拉方程的定义：以牛顿方程和欧拉方程为出发点，结合机 器人的速度和加速度分析而得出的一种机器人动力学算法。
建立机器人牛顿-欧拉动力学数学模型的思路：首先已知机器人 各连杆的速度、角速度及转动惯量，利用牛顿-欧拉刚体动力学 公式导出机器人各关节执行器的驱动力及驱动力矩的递推公式， 然后再由它归纳出机器人动力学的数学模型—— 机器人机械系 统的矩阵形式的运动方程。
质量分布中心，记为坐标系 {C } 。若已知以坐标系 {C }为参考系的
{C } 坐标系原点 惯性张量（可用计算方法或实验方法确定）和 { A} 的位置矢量 [ x y z ]T ，则可利用平行 （质心）相对于坐标系 C C C
{ A} 为参考系的惯性张量，即有 轴原理决定以坐标系
A
A C 2 2 I zz C I zz m( xC yC ) ， I xy I xy mxC yC
第3章工业机器人静力学及动力学分析
工业机器人动力学的任务
• 工业机器人动力学问题有两类： • (1)动力学正问题：已知关节的驱动力
，求工业机器人系统相应的运动参数， 包括关节位移、速度和加速度。 • (2)动力学逆问题：已知运动轨迹点上 的关节位移、速度和加速度，求出相应 的关节力矩。
•
研究工业机器人动力学的目的
• 动力学正问题对工业机器人运动仿真是 非常有用的。
•
• 图3-1所示二自由度平面关节型工业机器 人手部的速度为：
• 假如1及2是时间的函数，1=f1(t)， 2=f2(t)，则可由此式求出手部的瞬时速
度V＝f(t) 。
•
• 对于图3-1所示2R工业机器人，若令J1、
J2分别为式(3-9)所示雅可比的第一列矢量 和第二列矢量，则式(3-13)可写成：
• 通常J-1出现奇异解的情况有下面两种： • 1) 工作域边界上奇异。当臂全部伸展开
或全部折回而使手部处于工作域的边界 上或边界附近时，出现J-1奇异，这时工 业机器人相应的形位叫做奇异形位。 • 2) 工作域内部奇异。奇异也可以是由两 个或更多个关节轴线重合所引起的。
• dq＝[dq1 dq2 … dqn]T反映了关节空间的微 小运动。
• 手部在操作空间的运动参数用X表示，它 是关节变量的函数，即X＝X(q)，并且是 一个6维列矢量。
dX＝[dx dy dz x y z]T
• dX反映了操作空间的微小运动，它由工业 机器人手部微小线位移和微小角位移(微小 转动)组成。
•
3.2 工业机器人速度雅可比与速 度分析
• 3.2.1 工业机器人速度雅可比
• 数学上雅可比矩阵(Jacobian matrix)是一 个多元函数的偏导矩阵。
• 假设有六个函数，每个函数有六个变量 ，即：
工业机器人静力计算及动力学ppt
将机器人的连杆和关节视为刚体，利用牛顿-欧拉方法计算各关节的力和扭矩 ，从而得到机器人的动力学行为。
基于拉格朗日方法的机器人动力学计算
拉格朗日方法
这是一种通过分析系统的动能和势能来计算动力学的方法。
应用到机器人动力学计算
利用拉格朗日方法建立机器人的动力学模型，计算各关节的力和扭矩，从而得到 机器人的动力学行为。
基于牛顿-欧拉方法的机器人静力学建模
03
工业机器人静力学的计算
刚体静力学基础
刚体的静力学基本概念
了解刚体的概念、刚体的基本形态、刚体的分类等。
刚体的静力学基本原理
掌握静力学基本原理，如力的合成与分解、力的平衡等。
工业机器人的刚体模型
工业机器人的基本结构
了解工业机器人的基本结构，如机械臂、腕部、手部等。
介绍MATLAB、Simulink的基本概念、功能及特点，以 及在机器人控制系统设计中的应用。
基于MATLAB/Simulink的机…
详细阐述利用MATLAB/Simulink进行机器人控制系统设 计的步骤和方法，包括模型建立、控制器设计、系统仿 真等。
基于ADAMS的机器人控制系统联合仿真
ADAMS软件简介
介绍ADAMS软件的基本概念、功能及特点，以及在 机器人控制系统联合仿真中的应用。
基于ADAMS的机器人控制
系统联合仿真流程
详细阐述利用ADAMS进行机器人控制系统联合仿真 的步骤和方法，包括模型建立、动力学分析、控制策 略实现等。
07
结论与展望
研究成果总结
1 2
工业机器人静力计算方法
提出了基于物理模型的静力计算方法，并验证 了其有效性。
工业机器人静力计算及动 力学ppt
《工业机器人技术及应用》教学课件—03工业机器人运动学和动力学
规定:
①列阵［a b c 0］T中第四个元素为零, 且a2+b2+c2=1, 表示某轴(或某矢量)的方向;
图3-2 坐标轴方向的描述
②列阵［a b c ω］T中第四个元素不为零, 则表示空间某点的位置。
3.1 工业机器人的运动学
例如, 在图3-2中, 矢量v的方向用(4×1)列阵表示为
其中: a=cosα, b=cosβ, c=cosγ。
当α=60°, β=60°, γ=45°时, 矢量为
3.1 工业机器人的运动学
4. 动坐标系位姿的描述就是用位姿矩阵对动坐标系原点位
置和坐标系各坐标轴方向的描述。该位姿矩阵为(4×4)的方 阵。如上述直角坐标系可描述为:
3.1 工业机器人的运动学
5. 刚体位姿的描述 机器人的每一个连杆均可视为一个刚体, 若给定了刚体
(3-1)
图3-1 点的位置描述
其中, px、 py、pz是点P的三个位置坐标分量。
3.1 工业机器人的运动学
2. 点的齐次坐标 如用四个数组成的(4×1)列阵表示三维空间直角坐标系
{A}中点P, 则该列阵称为三维空间点P的齐次坐标, 如下:
(3-2)
齐次坐标并不是惟一的, 当列阵的每一项分别乘以一个
X
同理，手部坐标系Y’与Z’轴的方向可分别用单位
矢量o和α 来表示。
手部位姿可用矩阵表达为：
3.1 工业机器人的运动学
7. 目标物位姿的描述 任何一个物体在空间的位置和姿态都可以用齐次矩阵
来表示, 如图3-5所示。楔块Q在(a)图的情况下可用6个点 描述,
图 3-5 目标物的位置和姿态描述
3.1 工业机器人的运动学
的旋转如图3-8所示。A(x, y,
试论述机器人静力学,动力学,运动学的关系
试论述机器人静力学,动力学,运动学的关系
机器人学是一门研究机器人的运动、力学和控制的学科。
其中，机器人的静力学、动力学和运动学是机器人学中的三个重要分支，它们之间存在着密不可分的关系。
静力学是研究机器人在静止状态下的力学特性，主要包括机器人的力学结构、质心位置、静态稳定性等。
在机器人的设计和控制中，静力学是非常重要的，因为只有在机器人的静态稳定性得到保证之后，机器人才能进行安全和可靠的运动。
静力学的研究成果，可以为机器人的控制系统提供重要的参考依据。
动力学是研究机器人在运动状态下的力学特性，主要包括机器人的动力结构、速度、加速度、惯性等。
在机器人的控制和规划中，动力学是一个非常重要的研究方向，因为只有了解机器人的动态特性，才能更加有效地控制机器人的运动。
动力学的研究成果，可以为机器人的控制系统和运动规划提供重要的参考依据。
运动学是研究机器人运动的几何特性和空间关系的学科，主要包括机器人的位置、朝向、运动轨迹等。
在机器人的控制和规划中，运动学是非常重要的研究方向，因为只有了解机器人的运动特性，才能更加有效地控制机器人的运动。
运动学的研究成果，可以为机器人的运动规划和控制系统提供重要的参考依据。
综上所述，机器人的静力学、动力学和运动学之间存在着密不可分的关系。
在机器人的设计、控制和运动规划中，这三个分支相互作用，相互影响，共同推动了
机器人技术的不断发展。
第03章 机器人的运动学和动力学
教案首页课程名称农业机器人任课教师李玉柱第3章机器人运动学和动力学计划学时 3教学目的和要求：1.概述，齐次坐标与动系位姿矩阵，了解平移和旋转的齐次变换；2.机器人的运动学方程的建立与求解*；3.机器人的动力学*重点：1.机器人操作机运动学方程的建立及求解；2.工业机器人运动学方程3.机器人动力学难点：1. 机器人动力学方程及雅可比矩阵基本原理思考题：1.简述齐次坐标与动系位姿矩阵基本原理。
2.连杆参数及连杆坐标系如何建立？3.机器人动力学方程及雅可比矩阵基本原理是什么？第3章机器人运动学和动力学教学主要内容：3.2 齐次坐标与动系位姿矩阵3.3 齐次变换3.4 机器操作机运动学方程的建立与求解3.5 机器人运动学方程3.6 机器人动力学本章将主要讨论机器人运动学和动力学基本问题。
先后引入了齐次坐标与动系位姿矩阵、齐次变换，通过对机器人的位姿分析，介绍了机器人运动学方程；在此基础上有对机器人运动学方程进行了较为深入的探讨。
3.1 概述机器人，尤其是关节型机器人最有代表性。
关节型机器人实质上是由一系列关节连接而成的空间连杆开式链机构，要研究关节型机器人，必须对运动学和动力学知识有一个基本的了解。
分析机器人连杆的位置和姿态与关节角之间的关系，理论称为运动学，而研究机器人运动和受力之间的关系的理论则是动力学。
3.2 齐次坐标与动系位姿矩阵3.2.1 点的位置描述在关节型机器人的位姿控制中，首先要精确描述各连杆的位置。
为此，先定义一个固定的坐标系，其原点为机器人处于初始状态的正下方地面上的那个点，如图3-1（a）所示。
记该坐标系为世界坐标系。
在选定的直角坐标系{A}中，空间任一点P的位置可以用3×1的位置向量A P表示，其左上标表示选定的坐标系{A}，此时有A P=XYZ P P P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦式中：P X、P Y、P Z—点P在坐标系{A}中的三个位置坐标分量，如图3-1（b）。
3.2.2 齐次坐标将一个n维空间的点用n+1维坐标表示，则该n+1维坐标即为n维坐标的齐次坐标．．．．。
第3章工业机器人运动学和动力学概要
第3章工业机器人运动学和动力学概要工业机器人运动学和动力学概要工业机器人是现代工业生产中的重要设备之一，它通过精确的运动控制来实现各种复杂的操作，如搬运、装配和焊接等。
在实际应用中，了解工业机器人的运动学和动力学是至关重要的。
本文将介绍工业机器人运动学和动力学的概要，以便读者对其有一个全面的了解。
1. 运动学概述工业机器人的运动学研究机器人的位置、速度和加速度之间的关系。
它涉及到坐标系的定义、机器人臂的关节角度、位置和姿态的表示等内容。
1.1 坐标系的定义工业机器人常用的坐标系有世界坐标系、基坐标系和工具坐标系。
世界坐标系是一个固定不变的参考系，用来描述物体在整个工作区域内的位置。
基坐标系是机器人臂的起始位置的参考系，它通常位于机器人基座上。
工具坐标系是机器人末端执行器的参考系，它用于描述机器人进行任务时末端执行器的位置和姿态。
1.2 关节角度、位置和姿态的表示工业机器人的姿态可以用欧拉角、四元数或旋转矩阵表示。
关节角度表示机器人各个关节的角度值，它反映了机器人臂的当前状态。
位置表示机器人末端执行器的空间位置，可以用笛卡尔坐标系或关节坐标系表示。
2. 动力学概述工业机器人的动力学研究机器人的力学特性和运动状态之间的关系。
它涉及到力学模型、运动方程和运动控制等内容。
2.1 力学模型工业机器人的力学模型是描述机器人在运动过程中所受到的力和力矩的数学模型。
常用的力学模型有刚体模型和柔性模型。
刚体模型假设机器人的各个部件都是刚性的，柔性模型考虑了机器人部件的弯曲和振动等变形情况。
2.2 运动方程工业机器人的运动方程用来描述机器人的力学特性和运动状态之间的关系。
它由动力学方程和约束方程组成。
动力学方程描述机器人关节角度、速度和加速度之间的关系，约束方程描述机器人末端执行器的位置和姿态。
2.3 运动控制工业机器人的运动控制是指通过控制机器人的电机和执行器来实现机器人的预定运动轨迹。
常用的运动控制方法有逆运动学、轨迹规划和力控制等。
1第三章机器人力学分析及动力学模型
§3.1机器人动力学
刚体的惯性张量
三维空间中自由运动的刚体是用惯性张量来描述它的质量分布和性质 的。以刚体的质心C为原点定义一个坐标系{C},惯性张量在{C}中表示为 一个3 × 3 对角矩阵。 I XX = ∫∫∫ y 2 + z 2 ρ dv I XY = ∫∫∫ xyρdv V ⎡ I XX I XY I XZ ⎤ V ⎢I ⎥ 其中 I = I YY = ∫∫∫ x 2 + z 2 ρ dv xzρdv I C = ⎢ XY I YY I YZ ⎥ XZ ∫∫∫V V I ZZ = ∫∫∫ y 2 + x 2 ρ dv ⎢ I XZ I YZ I ZZ ⎥ I YZ = yzρdv ⎣ ⎦
第三章
机器人力学分析及动力学模型
§3.1 机器人静力学分析 §3.2 机器人动力学方程 动力学概述：
1. 内容： 力——运动 2. 描述方法：一组微分方程 3. 任务：建立机器人的动力学模型 1）正模型——已知力求产生的运动 2）逆模型——已知运动求所需的力
1
§3.1机器人静力学
研究内容
机器人与环境接触时，界 面上将产生相互作用力和力矩。 机器人的每个关节都由一个 驱动器驱动，相应的输入关节 力矩通过杆件传送给末端执行 器作用在环境和对象上。 静力学讨论当机器人静止时 在驱动器扭矩和由它产生的施加在机器人末点的力和力矩之 间的关系，这对机器人的控制是重要的。
移动关节 ⎧ b j −1 =⎨ ⎩b j −1 × r j −1,ci 旋转关节
J
(i ) Aj
⎧ 0 =⎨ ⎩b j −1
移动关节 旋转关节
系统动能(3)
整理可得
1 n 1 T (i ) T ( i )T ( i ) T ( i )T T = ∑ m i q J L J L q + q J A I i J A q = q Hq 2 i =1 2
工业机器人的运动学及动力学
工业机器人的动力学方程
动力学方程是描述机器人受到的力和力矩与其运动状态之间 关系的数学模型。
动力学方程包括牛顿方程（描述机器人受到的力和加速度之 间的关系）和欧拉方程（描述机器人受到的力矩和角加速度 之间的关系）。
轻量化与模块化设计
为了便于运输和部署，工业机器人将采用更轻的材料和设计，同时采 用模块化设计，便于维护和升级。
工业机器人在工业领域的应用前景
自动化生产线
工业机器人将在自动化生产线中 发挥重要作用，实现生产过程的 自动化和智能化，提高生产效率
。
质量检测
机器视觉和人工智能技术的引入 ，使得工业机器人能够更精准地 检测产品质量，降低检测成本。
结合位置和力控制，实现 机器人在复杂环境中的适 应性和灵活性。
工业机器人的运动控制器
硬件控制器
使用专门的硬件设备进行 机器人运动控制，具有高 效、稳定的特点。
软件控制器
通过软件实现对机器人的 运动控制，具有灵活、易 升级的特点。
云端控制器
通过网络连接实现远程控 制，方便对机器人进行远 程调试和维护。
运动学是研究物体运动的科学，它涉 及物体的位置、姿态和速度等信息的 描述。
在机器人领域，运动学主要关注机器 人各关节的位置和姿态，以及它们之 间的相互关系。
工业机器人的坐标系
工业机器人通常采用笛卡尔坐标 系（也称为直角坐标系）来描述
其位置和姿态。
笛卡尔坐标系包括x、y、z三个 坐标轴，用于描述物体在空间中
精度
通过优化算法和结构设计，提 高机器人的运动精度。
第3章工业机器人静力计算及动力学分析
(3.3) 称为雅可比矩阵。
第3章 工业机器人静力计算及动力学分析
以二自由度平面关节机器人为例,如图3-1所示,机器人的
手部坐标(x,y)相对于关节变量(θ1,θ2)有
(3.4)
即
(3.5)
图3-1 二自由度平面关节机器人
第3章 工业机器人静力计算及动力学分析 求微分有 (3.6) 写成矩阵为
① 工作域边界上的奇异: 机器人手臂全部伸开或全部
折回时,叫奇异形位。该位置产生的解称为工作域边界上的 奇异。 ② 工作域内部奇异: 机器人两个或多个关节轴线重合 引起的奇异。当出现奇异形位时,会产生退化现象, 即在某 空间某个方向(或子域)上, 不管机器人关节速度怎样选择, 手部也不可能动。
第3章 工业机器人静力计算及动力学分析
(3.14)
. 若已知关节上θ1与θ2是时间的函数,θ1=f1(t),θ2=f2(t), 则可 求出该机器人手部在某一时刻的速度V=f(t), 即手部瞬时速 度。反之,给定机器人手部速度,可由V=J(q)q解出相应的关 节速度，q=J-1V，式中J-1为机器人逆速度雅可比矩阵。
第3章 工业机器人静力计算及动力学分析 逆速度雅可比J-1出现奇异解的情况如下:
第3章 工业机器人静力计算及动力学分析 例3-2 由图所示的一个二自由度平面关节机械手，已知手部 端点力F=[Fx Fy]T,求相应于端点力F的关节力矩（不考虑摩 擦）。
F=[Fx Fy]T τ2 Y0 τ1 l1
Θ1
Fy l2
Θ2
F Fx τ2 Θ2=90° X0
X0
l2 Y0 Θ1=0° l1 τ1
变量,即末端操作器的位姿矢量来表示机器人动力学方程。 操作空间动力 学方程如下: (3.28)
第三章 工业机器人动力学
Step函数 Step函数是一种特殊的连接方式，在常数和函数之间起到 连接过渡的作用。普通的Step函数是三阶多项式，Step函数的 粗略形式，它的一阶导数连续，但二阶导数在x=x0，x=x1点 不连续，其表达形式为:
step(x，x0，h0，x1，h1)
式中：x：独立变量，也可以使函数表达式; x0：特殊的函数值，代表函数的起点; h0：函数的初始值; x1：特殊的函数值，代表函数的末点; h1：函数的结束值。
求解：
仿真求解器
仿真时间 仿真步长
后处理：
接触力曲线
等效弹性变形力
等效物体单侧的变形量
等效物体单侧的变形速度
分析二：
当我们要扩张的物体刚度和强度较高时，负载力逐 渐增大，液压缸输出最大力为系统额定压力，即溢流阀 的调定压力。 此时动力系统的驱动参数可设置为活塞杆的作用力： step(time,0,0,0.5,220000)
cos1 cos (1 2 ) 2 l2sin 2 l1sin 2 cos 30 cos (30-60) 4rad/s 0.5 sin (-60) 0.5 sin (-60)
实 例 讲 解
“液压破拆救援设备—液压扩张器”
因此，逆速度雅可比为：
l2s12 1 l2c12 J l c l c l s l s l1l2s2 1 1 2 12 1 12 2 12
1
(3-15)
[例3-1]
• 已知端点速度为：
解（续）
v x 1 V v y 0
•
• 从J中元素的组成可见，J矩阵的值是 1及2的函数 。
假如已知关节上 1和2 是时间 的函数，则可求出该机器人手部在 某一时刻的速度 V f (t ) ，即手部 瞬时速度。
教学课件：第三章-工业机器人静力计算及动力学
动力学模型参数辨识
通过实验数据对工业机器人动力学模型参数进行辨识，以提高模型 精度。
控制器设计
基于工业机器人动力学模型，设计控制器以实现精确的运动控制。
04 工业机器人控制策略
控制策略的原理与分类
原理
控制策略是指导机器人如何响应输入 信号，以实现期望输出的方法。
稳定性和精度。
案例二：工业机器人装配应用
总结词
装配应用是工业机器人应用的另一个重要领域，主要 涉及机器人的定位、抓取、组装和检测等动作。
详细描述
在装配应用中，工业机器人需要具备高精度的定位和 抓取能力，以便能够准确地将零部件组装在一起。为 了实现这一目标，需要对机器人的静力进行计算，以 确保机器人在装配过程中能够承受零部件的重量和摩 擦力等作用力。同时，还需要考虑机器人的动力学特 性，以确保机器人在运动过程中能够快速、准确地完 成装配任务。
03 工业机器人动力学
动力学的概念与原理
01
02
03
动力学定义
动力学是研究物体运动和 力之间关系的科学，包括 运动学和动力学两个部分。
牛顿第二定律
物体加速度与作用力成正 比，与物体质量成反比， 即F=ma。
达朗贝尔原理
任何处于平衡状态的物体 或系统，如果不受外力作 用，将保持静止状态或匀 速直线运动状态。
静力学原理
静力学的基本原理包括力的合成 与分解、力的矩、力的平衡等。 这些原理是解决静力学问题的基 础。
工业机器人的负载分析
负载类型
工业机器人可能承载的负载包括工具负载、附加负载和自重负载。工具负载是 指机器人末端执行器上搭载的工具的重量，附加负载包括电缆、气瓶等其他附 加在机器人上的重量，自重负载则是机器人自身的重量。
第3章工业机器人运动学和动力学概要
第3章工业机器人运动学和动力学机器人操作臂可看成一个开式运动链，它是由一系列连杆通过转动或移动关节串联而成。
开链的一端固定在基座上，另一端是自由的，安装着工具，用以操作物体，完成各种作业。
关节由驱动器驱动，关节的相对运动导致连杆的运动，使手爪到达所需的位姿。
在轨迹规划时，最感兴趣的是末端执行器相对于固定参考系的空间描述。
为了研究机器人各连杆之间的位移关系，可在每个连杆上固接一个坐标系，然后描述这些坐标系之间的关系。
Denavit和Hartenberg提出一种通用方法，用一个4*4的齐次变换矩阵描述相邻两连杆的空间关系，从而推导出“手爪坐标系”相对于“参考系”的等价齐次变换矩阵，建立出操作臂的运动方程。
称之为D-H矩阵法。
3.1 工业机器人的运动学教学时数：4学时教学目标：理解工业机器人的位姿描述和齐次变换；掌握齐次坐标和齐次变换矩阵的运算；理解连杆参数、连杆变换和运动学方程的求解；教学重点：掌握齐次变换及运动学方程的求解教学难点：齐次变换及运算教学方法：讲授教学步骤：齐次变换有较直观的几何意义，而且可描述各杆件之间的关系，所以常用于解决运动学问题。
已知关节运动学参数，求出末端执行器运动学参数是工业机器人正向运动学问题的求解；反之，是工业机器人逆向运动学问题的求解。
3.1.1 工业机器人位姿描述1.点的位置描述在选定的指教坐标系{A}中，空间任一点P的位置可用3*1的位置矢量表示，其左上标代表选定的参考坐标系。
2.点的齐次坐标如果用四个数组成4*1列阵表示三维空间直角坐标系{A}中点P，则该列阵称为三维空间点P的齐次坐标，如下：必须注意，齐次坐标的表示不是惟一的。
我们将其各元素同乘一个非零因子后，仍然代表同一点P，即其中：，，。
该列阵也表示P点，齐次坐标的表示不是惟一的。
3.坐标轴方向的描述用i、j、k分别表示直角坐标系中X、Y、Z坐标轴的单位向量，用齐次坐标来描述X、Y、Z轴的方向，则有，，从上可知，我们规定：4*1列阵中第四个元素为零，且，则表示某轴（某矢量）的方向。
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之间的关系，是机器人操作臂力控制的基础。
一、工业机器人力雅可比
假定关节无摩擦，并忽略各杆件的重力，则广义关 节力矩T与机器人手部端点力F的关系可用下式描述：
JTF
式中：J T为n×6阶机器人力雅可比矩阵或力雅可比，
并且是机器人速度雅可比J的转置矩阵。
二、机器人静力计算的两类问题
从操作臂手部端点力F与广义关节力矩τ之间的关系 式T=JTF，可知，操作臂静力计算可--分为两类问题：
3.2 工业机器人速度雅可比与 静力计算
本机节器讨人论作操业作时臂与在外静止界状环态境下的力接的触平会衡在关机系器。人我们与假环定境 之 各关间节引“起锁相住互”的，作机用器力人和成力为一矩个。机机构器。人这各种关“节锁的定驱用动” 装 的力关取置节得提力静供矩力关与平节手衡力部。矩所求(支解或持这力的种)，载“通荷锁过或定连受用杆到”传外的界关递环节到境力末作矩端用，操的或作 器 求解，在克已服知外驱界动作力用矩力作和用力下矩手部。的各输关出节力的就驱是动对力机矩器(人或 力 操作)与臂末的端静操力作计算器。施加的力(广义力，包括力和力矩)
二自由度机械手速度雅可比为：
Jl1lc11s1l2lc2s1122
l2s12 l2c12
且vx=1m/s, vy=0 因此：
在该瞬时，两关节的位置和速度分别为θ1=300，θ2=600， θ1 =-2rad/s， θ2 =4 rad/s，手部瞬时速度为1m/s
对于在三维空间中作业的一般六自由度工业机器人的情况，
(1)已知机器人手部端点力F或外界环境对机器人 手部作用力F′(F=-F′)，求相应的满足静力平衡条件 的关节驱动力矩。
(2)已知关节驱动力矩T，确定机器人手部对外界 环境的作用力F或负荷的质量。
这类问题是第一类问题的逆解：
一个二自由度平面关节机械手， 已知手部端点力F=[Fx，Fy]T.
求相应于端点力F的关 节力矩(不考虑摩擦)
第三章 工业机器人静力 计算及动力学分析
力、速度、加速度。
3.1 工业机器人速度雅可比与 速度分析
一、工业机器人速度雅可比
数学上雅可比矩阵(Jacobian Matrix)是一个多元函 数的偏导矩阵。
假设有六个函数，每个函数有六个变量，即
将其微分，得 雅可比矩阵
二自由度平面关节机器人。 端点位置x、y与关节θ1、θ2的关系为：
J称为2R机器人速度雅可比， 它反映了关节空间微小运动d θ与手部作业空间微小位移dX 的关系。
Jl1lc11s1l2lc2s1122
l2s12 l2c12
对于n自由度机器人的情况，关节变量可用广义关节变 量q表示，q=[q1 q2 … qn]T。
当关节为转动关节时，qi=θi,当关节为移动关节时， qi=di， dq=[dq1 dq2 … dqn]T反映了关节空间的微小运动。
机器人末端在操作空间的位置和方位可用末端手爪的 位姿X表示，它是关节变量的函数，X=X(q),它是T。
dX=[dx dy dz dφx dφx dφx ]T反映了操作空间的微小运 动，它又机器人末端微小线位移(dx dy dz)和微小转动 (dφx dφx dφx)组成。
解 已知该机械手的速度雅可比为： 则该机械手的力雅可比为：
已知二自由度机械手的雅可比矩阵为
Jl1lc1s11l2l2cs1122
l2s12
l2c12
若忽略重力，当手部端点力F =[1 0]T时， 求相应的关节力矩τ。
3.3 工业机器人动力学分析
工在业控机制器方人面，机器人的重动载态实、时高控速制、是高机精器度人、发智展能的化必然
反之，假如给定机器人手部速度，可解出相应的关节速度。
式中J-1叫称为机器人逆速度雅可比。
我(1们)工希作望域工边业界机上器奇人异手。部当在机空器间人按臂规全定部的伸速展度开进或行全作部业折，回 那当而么机使可器手以人部计处处算在于出奇机沿异器路形人径位工上时作每，域一就的瞬会边时产界相生上退应或化的边现关界象节附，速近丧度时失。，一但出个是现， 一或逆般更雅来多可说的比，自奇求由异逆度，速。这度这时雅意机可味器比着人J在相-1是空应比间的较某形困个位难方叫的向做，(奇或有异子时形域还位)上会。，出 现不(2奇管)工异机作解器域，人内就关部无节奇法速异解度。算怎奇关样异节选并速择不度，一。手定部发也生不在可工能作实域现边移界动上。， 也可以是由两个或更多个关节轴线重合所引起的。
要求。需要对机器人的动力学进行分析。机器人是一个非线
性的复杂的动力学系统。动力学问题的求解比较困难，而且
需要较长的运算时间。因此对，工简业化机解器的人过设程计，和最大控限制度都地提减
少工业机器人动力学在线计算的时间，已是一个受到关注的
研究课题。
出了新的要求
动力学研究物体的运动和作用力之间的关系。机器 人动力学问题有两类。
dXJ(q)dq
二、工业机器人速度分析
式中：V 为机器人末端在操作空间中的广义速度，V=X；q 为机器人关节在关节空间中的关节速度；J(q)为确定关节空 间速度q与操作空间速度V之间关系的雅可比矩阵。
二自由度机器人手部速度为：
假如已知关节上θ1和θ2是时间的函数，θ1 =f1(t), θ2 =f2(t)， 则可求出该机器人手部在某一时刻的速度V=f(t),即手部瞬 时速度。