1分式教案

16.1分式疑难分析

1．一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A

B

叫做分式

（fraction）．分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B

≠0时，分式A

B

才有意义．

2．分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式

的值不变，用式子表示的A

B

=

AC

BC

,

A

B

=

A C

B C

÷

÷

（C≠0），其中A、B、C是整式，运用分式的

基本性质时，千万不能忽略C≠0这一条件．

3．与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的通分（changing fractions to a common denominator）．与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分（reduction of a fraction）．4．通分的关键是准确地找出最简公分母，找最简公分母时，从三个方面确定：（1）定系数：取各分母的系数的最小公倍数；（2）定字母：取各分母中含有的不相同字母或字母代数式的因式；（3）定指数：取相同字母或含字母的代数式的最高指数．

例题选讲

例1 当x取何值时，下列分式有意义？(1)

23 1

x x -

+

；(2)

3

3

x-

；(3)

2

2

32

54

x x

x x

++

++

.

解：（1）由于分母x2+1>0,知x取任何数；

（2）由分母│x│-3≠0,得x≠±3，∴当x≠±3时，分式

3

3

x-

有意义．

（3）由分母x2+5x+4=(x+1)(x+4)≠0，得x≠-1 且x≠-4，

∴当x≠-1且x≠-4时，分式

2

2

32

54

x x

x x

++

++

有意义．

评注：在解决此类问题时，应能综合运用已学的绝对值，因式分解等知识，灵活处理，此类题型可锻炼思维的全面性．

例2 当x为何值时，分式

29

3

x

x

-

+

的值为零？

解：由题意得：

290

30

x

x

⎧-=

⎨

+≠

⎩

，解得x=3.∴当x=3时，分式

29

3

x

x

-

+

的值为零．

评注：要使分式的值为零，必须使分子为零，且分母的值不为零．

例3 分式

21 2

x x m

-+

，若不论x取何值总有意义，则m的取值范围是（）.

(A)m≥1 (B)m>1 (C)m≤1 (D)m<1

解：∵分母x 2-2x+m=(x-1)2+m-1，

∴当m-1>0, 即m>1时，不论x 取何实数，x 2-2x+m>0，分式总有意义.

∴选(B).

评注：要使分式

212x x m -+不论x 取何值总有意义，只要使分母不论x 取何实数总不等于零即可．

例4 在分式2a b ab

-中，字母a 、b 的值分别扩大为原来的2倍，则分式的值（ ）. (A)扩大为原来的2倍 (B)不变 (C)缩小为原来的1

2 (D)缩小为原来的

14

解：当正数a 与b 的值分别扩大为原来的2倍时，分子的值扩大到原来的2倍，而分

母的值则扩大到原来的4倍，此时分式的值应缩小到原来的12，故选(B)．

评注：本题考查分式的基本性质，分子乘以2，分母乘以4，所以分式的值要改变．

例5 若xyz ≠0，且满足y z x z x y x y z +++==，求()()()y z x z x y xyz

+++的值． 解：设y z x z x y x y z +++==＝k ，则y z kx x z ky x y kz

+=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，∴2(x+y+z ）=(x+y+z)·k. （1）若x+y+z ≠0，则k=2；

（2）若x+y+z=0，则1()()()

y z x z x y k y z x z x y +++====--+-+-+. ∵3()()()y z x z x y kx ky kz k xyz xyz

+++==g g ， ∴当k=2时，原式=23=8；

当k=－1时，原式=（－1）3=－1.

评注：本题在求k 值时，一定要注意应分类说明有两种情况．另外，这种设中间量k

的方法体现数学的换元思想，在解方程（组）中也有很普遍的应用．

基础训练

一、选一选（请将唯一正确答案的代号填入题后括号内）

1．下列各式中与分式a a b

--的值相等的是（ ）. （A ）a a b -- (B) a a b + (C) a b a - (D)a b a

-- 2．如果分式211

x x -+的值为零，那么x 应为（ ）.