高中数学《算法的基本思想》导学案

[航向标·学习目标]

1．理解算法的概念与特点．

2．学会用自然语言描述算法．

3．通过解决具体问题的实例感受理解算法的特点，体会算法的基本思想，学会借助已有数学问题的解决方法和步骤设计算法．

[读教材·自主学习]

1．算法的概念：算法是指按照一定规则解决某一类问题的明确的过程和有限01步骤，算法具有如下特点：

的□

(1)□02明确性：即每一个算法都有明确的目的．

(2)□03有效性：即我们所设计的算法必须是有效的，并在有限步的操作后解决问题．

(3)□04逻辑性：即我们设计的算法要符合逻辑规律，能从头到尾运行下去．

(4)□05普遍性：我们所设计的算法必须能够解决一类问题，而不是某一个问题．

(5)□06不唯一性：算法不是唯一的，可有另外不同的设计方法．

2．排序：为了便于查询和检索，我们常常根据某种要求把被查询的对象用数

07排列，是信息处理中一项基本的工作，字(或者符号)表示出来，并把数字按大小□

通常称为排序．

3．有序列：按□08顺序排列的数据列为有序列．

[看名师·疑难剖析]

1．对算法含义的理解

(1)算法是机械的

算法的设计要“面面俱到”不能省略任何一个小小的步骤，有时可能要进行大量重复计算，但只要按步骤一步一步地执行，总能得到结果．算法的这种机械化的特点，在设计出算法后，便于把具体过程交给计算机去完成．

(2)算法是普遍存在的

实际上处理任何问题都需要算法，如国际象棋的棋谱、走法、胜负的评判标准，邮寄物品的相关手续，求一个二元一次方程组的解等等．

(3)求解某个具体问题的算法一般是不唯一的

算法实际上是解决问题的步骤和方法，求解问题的出发点不同，就会得到不同的算法．如求二元一次方程组的解有代入消元法和加减消元法，但不同的算法可能会有“优劣”之分．

2．算法与数学问题解法的区别与联系

(1)联系

算法与解法是一般与特殊的关系，也是抽象与具体的关系．如，由具体的二元一次方程组的求解过程(解法)出发，归纳出了二元一次方程组求解的步骤；同时指出，这样的求解步骤也适合有限制条件的二元一次方程组，这些步骤就构成了二元一次方程组的算法．算法的获得要借助一般意义上具体问题的求解方法，而任何一个具体问题都可利用这类问题的一般算法解决．

(2)区别

算法是解决某一类问题所需要的程序和步骤的统称，也可理解为数学中的“通法通解”；而解法是解决某一个具体问题的过程和步骤，是具体的解题过程．

考点一算法的概念

例1下列关于算法的描述正确的是()

A．算法与求解一个问题的方法相同

B．算法只能解决一个问题，不能重复使用

C．算法过程要一步一步执行，每步执行的操作必须确切

D．有的算法执行完后，可能无结果

[分析]由题目可获取以下主要信息：

①给出的四个选项均与算法含义和特点有关；

②对各选项要做正误判断．

解答本题要先弄清楚算法的含义和特点，然后逐一判定选项命题的真假即可．[解析]算法与求解一个问题的方法既有区别又有联系，故A不对；算法能重复使用，故B不对；每个算法执行后必须有结果，故D不对；由算法的有序性和确定性可知C正确．

[答案] C

类题通法

算法实际上是解决问题的一种程序性方法，它通常指向某一个或一类问题，

而解决的过程是程序性和构造性的.算法也可以看成解决问题的特殊的、有效的方法.

[变式训练1] 下列关于算法的说法，正确的有( ) ①求解某一类问题的算法是唯一的； ②算法必须在有限步操作之后停止；

③算法的每一步操作必须是明确的，不能有歧义和模糊； ④算法执行后一定产生确定的结果． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 答案 C

解析 本题是在熟练掌握算法概念的基础上的一个跃升，即对算法概念进行进一步的挖掘，理解其内涵．从而借助概念分析、解决问题．由于算法具有有穷性、确定性和可执行性，因而②③④正确．解决问题的算法不一定是唯一的，从而①错，故选C.

考点二 数值计算问题的算法设计 例2 写出一个算法，求二元一次方程组 ⎩⎨⎧

a 1x ＋

b 1y ＝

c 1， ①a 2x ＋b 2y ＝c 2

'②的解． [分析] 联系该方程组的实际解法过程，但要注意对待定系数的分类讨论． 因为是二元一次方程组，所以a 1、a 2不能同时为0，b 1，b 2也不能同时为0. [解] 算法如下：1.若a 1≠0，

由①×⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2a 1＋②，得到⎝ ⎛

⎭⎪⎫b 2－a 2b 1a 1y ＝c 2－a 2c 1a 1.即方程组化为⎩⎪⎨⎪⎧

a 1x ＋

b 1y ＝

c 1，①

(a 1b 2－a 2b 1)y ＝a 1c 2－a 2c 1.③

2．若a 1b 2－a 2b 2≠0，解③得y ＝

a 1c 2－a 2c 1

a 1

b 2－a 2b 1

.④

3.将④代入①，整理得x ＝

b 2

c 1－b 1c 2

a 1

b 2－a 2b 1

.

4.输出结果x，y.

5.如果a1b2－a2b1＝0，从③可以看出，方程组无解或有无穷多组解．

6.如果a1＝0，则b1≠0，所以y＝c1

b1.⑤

7.将⑤代入②，得x＝b1c2－b2c1

a2b1.

8.输出结果x，y.

类题通法

对于设计数值计算问题的算法，可以借助数学的常规解法或数学公式，将过程分解成清晰的步骤，使之条理化，但应注意多个数进行四则运算时应分步计算，依次进行，直到算出结果.本题中，把解方程组的过程转化为算法的步骤，应用了数学的转化思想.

[变式训练2]写出解方程x2－2x－3＝0的一个算法．

解解法一：第一步，移项，得x2－2x＝3.①

第二步，①两边同加1并配方，得(x－1)2＝4.②

第三步，②式两边开方，得x－1＝±2.③

第四步，解③，得x＝3或x＝－1.

解法二：第一步，计算方程的判别式并判断其符号：Δ＝22＋4×3＝16>0.

第二步，将a＝1，b＝－2，c＝－3代入求根公式x＝－b±b2－4ac

2a

，得x1

＝3，x2＝－1.

考点三判断性问题的算法设计

例3设计一个算法，判断7是否为质数．

[分析]只能被1和自身整除的大于1的整数叫质数．因而要判断一个数是否为质数，只需用比这个数小的任一个大于1的整数来除该数，然后利用余数是否为0来判断．

[解]算法步骤如下：

(1)用2除7，得到余数1.因为余数不为0，所以2不能整除7.