高中数学《算法的基本思想》导学案

[航向标·学习目标]1．理解算法的概念与特点．2．学会用自然语言描述算法．3．通过解决具体问题的实例感受理解算法的特点，体会算法的基本思想，学会借助已有数学问题的解决方法和步骤设计算法．[读教材·自主学习]1．算法的概念：算法是指按照一定规则解决某一类问题的明确的过程和有限01步骤，算法具有如下特点：的□(1)□02明确性：即每一个算法都有明确的目的．(2)□03有效性：即我们所设计的算法必须是有效的，并在有限步的操作后解决问题．(3)□04逻辑性：即我们设计的算法要符合逻辑规律，能从头到尾运行下去．(4)□05普遍性：我们所设计的算法必须能够解决一类问题，而不是某一个问题．(5)□06不唯一性：算法不是唯一的，可有另外不同的设计方法．2．排序：为了便于查询和检索，我们常常根据某种要求把被查询的对象用数07排列，是信息处理中一项基本的工作，字(或者符号)表示出来，并把数字按大小□通常称为排序．3．有序列：按□08顺序排列的数据列为有序列．[看名师·疑难剖析]1．对算法含义的理解(1)算法是机械的算法的设计要“面面俱到”不能省略任何一个小小的步骤，有时可能要进行大量重复计算，但只要按步骤一步一步地执行，总能得到结果．算法的这种机械化的特点，在设计出算法后，便于把具体过程交给计算机去完成．(2)算法是普遍存在的实际上处理任何问题都需要算法，如国际象棋的棋谱、走法、胜负的评判标准，邮寄物品的相关手续，求一个二元一次方程组的解等等．(3)求解某个具体问题的算法一般是不唯一的算法实际上是解决问题的步骤和方法，求解问题的出发点不同，就会得到不同的算法．如求二元一次方程组的解有代入消元法和加减消元法，但不同的算法可能会有“优劣”之分．2．算法与数学问题解法的区别与联系(1)联系算法与解法是一般与特殊的关系，也是抽象与具体的关系．如，由具体的二元一次方程组的求解过程(解法)出发，归纳出了二元一次方程组求解的步骤；同时指出，这样的求解步骤也适合有限制条件的二元一次方程组，这些步骤就构成了二元一次方程组的算法．算法的获得要借助一般意义上具体问题的求解方法，而任何一个具体问题都可利用这类问题的一般算法解决．(2)区别算法是解决某一类问题所需要的程序和步骤的统称，也可理解为数学中的“通法通解”；而解法是解决某一个具体问题的过程和步骤，是具体的解题过程．考点一算法的概念例1下列关于算法的描述正确的是()A．算法与求解一个问题的方法相同B．算法只能解决一个问题，不能重复使用C．算法过程要一步一步执行，每步执行的操作必须确切D．有的算法执行完后，可能无结果[分析]由题目可获取以下主要信息：①给出的四个选项均与算法含义和特点有关；②对各选项要做正误判断．解答本题要先弄清楚算法的含义和特点，然后逐一判定选项命题的真假即可．[解析]算法与求解一个问题的方法既有区别又有联系，故A不对；算法能重复使用，故B不对；每个算法执行后必须有结果，故D不对；由算法的有序性和确定性可知C正确．[答案] C类题通法算法实际上是解决问题的一种程序性方法，它通常指向某一个或一类问题，而解决的过程是程序性和构造性的.算法也可以看成解决问题的特殊的、有效的方法.[变式训练1] 下列关于算法的说法，正确的有( ) ①求解某一类问题的算法是唯一的； ②算法必须在有限步操作之后停止；③算法的每一步操作必须是明确的，不能有歧义和模糊； ④算法执行后一定产生确定的结果． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 答案 C解析 本题是在熟练掌握算法概念的基础上的一个跃升，即对算法概念进行进一步的挖掘，理解其内涵．从而借助概念分析、解决问题．由于算法具有有穷性、确定性和可执行性，因而②③④正确．解决问题的算法不一定是唯一的，从而①错，故选C.考点二 数值计算问题的算法设计 例2 写出一个算法，求二元一次方程组 ⎩⎨⎧a 1x ＋b 1y ＝c 1， ①a 2x ＋b 2y ＝c 2'②的解． [分析] 联系该方程组的实际解法过程，但要注意对待定系数的分类讨论． 因为是二元一次方程组，所以a 1、a 2不能同时为0，b 1，b 2也不能同时为0. [解] 算法如下：1.若a 1≠0，由①×⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2a 1＋②，得到⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2－a 2b 1a 1y ＝c 2－a 2c 1a 1.即方程组化为⎩⎪⎨⎪⎧a 1x ＋b 1y ＝c 1，①(a 1b 2－a 2b 1)y ＝a 1c 2－a 2c 1.③2．若a 1b 2－a 2b 2≠0，解③得y ＝a 1c 2－a 2c 1a 1b 2－a 2b 1.④3.将④代入①，整理得x ＝b 2c 1－b 1c 2a 1b 2－a 2b 1.4.输出结果x，y.5.如果a1b2－a2b1＝0，从③可以看出，方程组无解或有无穷多组解．6.如果a1＝0，则b1≠0，所以y＝c1b1.⑤7.将⑤代入②，得x＝b1c2－b2c1a2b1.8.输出结果x，y.类题通法对于设计数值计算问题的算法，可以借助数学的常规解法或数学公式，将过程分解成清晰的步骤，使之条理化，但应注意多个数进行四则运算时应分步计算，依次进行，直到算出结果.本题中，把解方程组的过程转化为算法的步骤，应用了数学的转化思想.[变式训练2]写出解方程x2－2x－3＝0的一个算法．解解法一：第一步，移项，得x2－2x＝3.①第二步，①两边同加1并配方，得(x－1)2＝4.②第三步，②式两边开方，得x－1＝±2.③第四步，解③，得x＝3或x＝－1.解法二：第一步，计算方程的判别式并判断其符号：Δ＝22＋4×3＝16>0.第二步，将a＝1，b＝－2，c＝－3代入求根公式x＝－b±b2－4ac2a，得x1＝3，x2＝－1.考点三判断性问题的算法设计例3设计一个算法，判断7是否为质数．[分析]只能被1和自身整除的大于1的整数叫质数．因而要判断一个数是否为质数，只需用比这个数小的任一个大于1的整数来除该数，然后利用余数是否为0来判断．[解]算法步骤如下：(1)用2除7，得到余数1.因为余数不为0，所以2不能整除7.(2)用3除7，得到余数1.因为余数不为0，所以3不能整除7.(3)用4除7，得到余数3.因为余数不为0，所以4不能整除7.(4)用5除7，得到余数2.因为余数不为0，所以5不能整除7.(5)用6除7，得到余数1.因为余数不为0，所以6不能整除7.(6)判断7是否为质数：7是质数．类题通法从本例可以看出，本类问题的算法具有很强的机械重复性，因而对于任意给定一个大于2的整数n，我们判断它是否为质数的算法为：第一步：令i＝2.第二步，用i除n，得余数r.第三步，判断“r＝0”是否成立，若是，则n不是质数，结束算法；否则，将i的值增加1，仍用i表示.第四步，判断“i>n－1”是否成立，若是，则n是质数，结束算法；否则，返回第二步.分步处理是本类问题的特色，也是算法思想的重要体现.[变式训练3]设计算法，将1260分解成素因数的乘积．解算法步骤如下：(1)判断1260是否为素数：否．(2)确定1260的最小素因数：2.1260＝2×630.(3)判断630是否为素数：否．(4)确定630的最小素因数：2.630＝2×315.(5)判断315足否为素数：否．(6)确定315的最小素因数：3.315＝3×105.(7)判断105是否为素数：否．(8)确定105的最小素因数：3.105＝3×35.(9)判断35是否为素数：否．(10)确定35的最小素因数：5.35＝5×7.(11)判断7是否为素数：7是素数，所以分解结束．分解结果是：1260＝2×2×3×3×5×7.考点四关于整除性问题的算法设计例4设计一个算法，求1764与840的最大公约数．[分析]首先，将两个数分别进行素因数分解，1764＝22×32×72,840＝23×3×5×7.其次，确定两个数的公共素因数2,3,7.接着，确定公共素因数的指数：对于公共素因数2,22是1764的因数，23是840的因数，因此22是这两个数的公因数，同样可以确定公因数3和7的指数均为1.这样就确定了1764与840的最大公因数为22×3×7＝84.[解]算法步骤如下：(1)将1764进行素因数分解，1764＝22×32×72.(2)将840进行素因数分解，840＝23×3×5×7.(3)确定它们的公共素因数为2,3,7.(4)确定公共素因数的指数．公共素因数2,3,7的指数分别为2,1,1.(5)最大公因数为22×31×71＝84.类题通法(1)正确理解算法的概念，一个程序的算法要本着方便简捷的原则，还要讲求科学性，算法的步骤是按照一定顺序进行的，不具有可逆性., (2)在设计算法的过程当中要牢固把握住它的五个特性：有限性、确定性、可行性、输入、输出.[变式训练4]求8251与6105的最大公因数．解算法步骤如下：(1)先将8251进行素因数分解：8251＝37×223；(2)然后将6105进行素因数分解：6105＝3×5×11×37；(3)确定它们的公共素因数：37；(4)确定公共素因数的指数：1；(5)最大公因数为37.考点五排序问题的算法设计例5对于有序列{32,36,50,56,81}，现在要将数据51插入到有序列中．请设计算法确定数据51在有序列中的位置，并用自然语言描述算法．[分析]我们可以将51与有序列中的数据从右到左依次进行比较，来确定51在有序列中的位置，也可以将51与有序列中的数据从左向右依次进行比较，来确定51在有序列中的位置．[解]将51与有序列中的数据从右向左逐个进行比较，从而确定51在有序列中的位置．其算法如下：1.比较51与81,51<81.2.比较51与56,51<56.3.比较51与50,51>50.4.将51插入到56和50之间，得到一个新的有序列{32,36,50,51,56,81}．类题通法本例的排序算法是有序列直接插入排序，解决本类问题也可以用折半插入排序法进行.[变式训练5]将52插入有序列{13,27,38,39,43,47,48,51,57,66,74,82}中，构成一个新的有序列．解首先选择有序列中具有中间位置序号的数据47，将52与47进行比较，显然52>47，故52不能插入到47的左边的任何位置．所以，应该排在47的右边，再将余下数据的中间位置的数据57与52比较，显然52<57，因此应插到57的左边，又51<52，则52插入到51的右边，57的左边，即可得到52的位置.考点六实际问题的算法设计例6汉诺塔问题：如图三根柱子，甲柱上从大到小放置了三个圆环A、B、C，现在要将这三个圆环移至乙柱，也要从大到小放置．要求一次移动一个，移动过程中，大圆环不能放于小圆环上，应如何移动？[分析]这是一个古典的数学问题．要把甲柱的n个环移到乙柱，必须先把上面的n－1个环移到丙柱，然后把第n个环移到乙柱，最后再把丙柱的第n－1个环移过来．解决n 个环的问题，先要解决n －1个环的问题，而这个问题与前一个是类似的，可以用相同的办法解决．最终，得到只有一个环的情况，很简单，直接把环从甲柱移到乙柱即可．[解] 如果移动一次算一步，则可按以下步骤进行： 第一步，将C 环移至乙柱． 第二步，将B 环移至丙柱． 第三步，将C 环移至丙柱． 第四步，将A 环移至乙柱． 第五步，将C 环移至甲柱． 第六步，将B 环移至乙柱． 第七步，将C 环移至乙柱．[变式训练6] 一个人带着三只狼和三只羊过河，只有一条船，该船可容纳一个人和两只动物；没有人在的时候，如果狼的数量不少于羊的数量，狼就会吃羊，该人如何能将动物转移过河？请设计算法．解 第一步，人带两只狼过河，并自己返回； 第二步，人带一只狼过河，自己返回； 第三步，人带两只羊过河，并带两只狼返回； 第四步，人带一只羊过河，自己返回； 第五步，人带两只狼过河．规范解答 分段函数的算法设计 [例] (12分)已知分段函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－1，－1≤x ≤1，ln x ，x >1，请设计一个算法，输入任意一个不小于－1的实数x 0，输出相应的f (x 0)的值．(一)精妙思路点拨(二)分层规范细解1．输入x0；3分2.若x0<－1①，则输出“输入的数据有误”，结束算法，否则执行第3步；6分3．若－1≤x0≤1，则f(x0)＝x20－1，否则f(x0)＝ln x0；9分4.输出f(x0)的值②，结束算法.12分(三)来自一线的报告通过阅卷后分析，对解答本题的失分警示和解题启示总结如下：(注：此处的①②见分层规范细解过程)(四)类题练笔掌握已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －1，x ≤1，x ，1<x ≤4，x －2，x >4.解 1.输入x 0；2．若x 0≤1，则计算f (x 0)＝2x 0－1，否则执行第3步； 3．若x 0≤4，则计算f (x 0)＝x 0，否则执行第4步； 4．计算f (x 0)＝x 0－2； 5．输出f (x 0)的值，结束算法． (五)解题设问解答本题时，需对谁进行分类讨论？ ________. 答案 自变量x1.以下给出关于算法的几种说法，其中正确的是( )A．算法就是某一个问题的解题方法B．对于给定的一个问题，其算法不一定是唯一的C．一个算法可以不产生确定的结果D．算法的步骤可以无限地执行下去不停止答案 B解析算法是做某一件事的步骤或程序，不是解决问题的方法，所以A不正确；一个算法产生的结果是确定的，所以C不正确；一个算法的步骤是有限的，它应在有限步骤之后停止，而不能是无限的，所以D不正确；求解某一个问题可以有不同的算法，所以B正确．2．下面四种叙述能称为算法的是()A．在家里一般是妈妈做饭B．做米饭需要刷锅、淘米、添水、加热这些步骤C．在野外做饭叫野炊D．做饭必须有米答案 B解析四个选项中仅有B是表达解决问题的步骤．3．下列对算法的理解不正确的是()A．算法有一个共同特点就是对一类问题都有效(而不是个别问题)B．算法要求是一步一步地执行，每一步都能得到唯一的结果C．算法一般是机械的，有时要进行大量重复的计算，它是一种通法D．任何问题都可以用算法来解决答案 D解析算法是解决问题的步骤的描述，但是并不是所有的问题都可以用算法来解决．4．写出解方程ax＋b＝0(a≠0)的一个算法的过程．第一步：将不含x的常数项移到方程右边，并改变常数项的符号；第二步：________.答案方程两边同除以a解析利用等式的性质将方程变成一边是x，另一边为常数的形式即得方程的解．5．设计算法，求一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根．解算法步骤如下：(1)计算Δ＝b2－4ac；(2)判断Δ的值，若Δ<0，则方程无实数根；若Δ＝0，则方程有两个相等的实数根，x 1＝x 2＝－b2a ；若Δ>0，则方程有两个不等的实数根，x 1＝－b －Δ2a ，x 2＝－b ＋Δ2a ；(3)输出结果．一、选择题1．算法的每一步都应该是确定的、能有效执行的，并且得到确定的结果，这是指算法的( )A ．有穷性B ．确定性C ．逻辑性D ．不唯一性答案 B解析 算法的过程和每一步的结果都是确定的，即确定性．2．对于一般的二元一次方程组⎩⎨⎧a 1x ＋b 1y ＝c 1，a 2x ＋b 2y ＝c 2在写解此方程组的算法时，需要我们注意的是( )A ．a 1≠0B ．a 2≠0C ．a 1b 2－a 2b 1≠0D ．a 1b 1－a 2b 2≠0 答案 C解析 用加减法消元后，未知数y 的系数是a 1b 2－a 2b 1，故a 1b 2－a 2b 1≠0才有解，否则无解．3．看下面的四段话，其中不是解决问题的算法的是( ) A ．从济南到北京旅游，先坐火车，再坐飞机抵达B ．解一元一次方程的步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1C ．方程x 2－1＝0有两个实根D ．求1＋2＋3＋4＋5的值，先计算1＋2＝3，再由3＋3＝6,6＋4＝10,10＋5＝15，最终结果为15答案 C解析 算法强调的是解决一类问题一系列的方法或步骤，选项C 只是陈述了有两个根的事实，没有解决如何求这两个根的问题，所以不能看成是算法．4．计算下列各式中的S 值，能设计算法求解的是( ) ①S ＝1＋2＋3＋ (100)②S＝1＋2＋3＋…＋100＋…；③S＝1＋2＋3＋…＋n(n∈N*)．A．①②B．①③C．②③D．①②③答案 B解析由算法的有限性知②不正确，而①③都可通过有限步骤操作，输出确定结果．5．用直接插入排序将40从右到左插入到有序列{21,23,32,35,79,100,125}中，第二步比较的是()A．40与35 B．40与79C．40与100 D．79与100答案 C解析采用直接插入排序，第一步比较40与125，第二步比较40与100.6．已知算法：第一步：输入n.第二步：判断n是否是2，若n＝2：则n满足条件；若n>2：则执行第三步．第三步：依次检验从2到n－1的整数能不能整除n，若不能整除n，满足条件．上述满足条件的数是()A．质数B．奇数C．偶数D．4的倍数答案 A解析由质数的定义知，故选A.二、填空题7．下列是用“二分法”求方程x2－5＝0的近似解的算法，请补充完整．第一步，令f(x)＝x2－5，给定精确度d.第二步，确定区间(a，b)，满足f(a)f(b)<0.第三步，取区间中点m＝________.第四步，若f(a)f(m)<0，则含零点的区间为(a，m)；否则，含零点的区间为(m，b)．将新得到的含零点的区间仍记为(a，b)．第五步，判断(a，b)的长度是否小于d或f(m)是否等于0.若是，则m是方程的近似解；否则，返回第三步．答案a＋b 2解析区间(a，b)的中点，就是a与b的平均数a＋b 2.8．已知一个学生的语文成绩为89，数学成绩为96，外语成绩为99.求他的总分和平均分的一个算法为：第一步，取A＝89，B＝96，C＝99.第二步，计算总分S＝____①____.第三步，计算平均分M＝____②____.第四步，输出S和M.答案①A＋B＋C②S 39．给出下列算法：第一步，输入x的值．第二步，当x>4时，计算y＝x＋2；否则执行下一步．第三步，计算y＝4－x.第四步，输出y.当输入x＝0时，输出y＝________.答案 2解析由于x＝0>4不成立，故计算y＝4－x＝2.三、解答题10．写出求两底半径分别为1和4，高也为4的圆台的侧面积、表面积及体积的算法．分析如图所示，要求圆台的侧面积必须根据公式S侧＝π(r1＋r2)l，需先求l，设两底半径分别为r1，r2，高为h，则l＝h2＋(r2－r1)2，要求表面积，先要计算底面积S1和S2，表面积S＝S1＋S2＋S 侧．体积由公式V ＝13(S 1＋S 1S 2＋S 2)h 求得，由此得到下列算法．解 算法步骤如下：第一步 取r 1＝1，r 2＝4，h ＝4. 第二步 计算l ＝(r 2－r 1)2＋h 2.第三步 计算S 1＝πr 21，S 2＝πr 22，S 侧＝π(r 1＋r 2)l .第四步 计算S 表＝S 1＋S 2＋S 侧． 第五步 计算V ＝13(S 1＋S 1S 2＋S 2)h .11．已知直角坐标系中的点A (－1,0)，B (3,2)，写出求直线AB 的方程的一个算法．解 算法如下：第一步，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋b .第二步，将A (－1,0)，B (3,2)代入第一步设出的方程，得到－k ＋b ＝0,3k ＋b ＝2.第三步，解第二步所得的两方程组成的方程组，得到k ＝12，b ＝12.第四步，把第三步得到的运算结果代入第一步所设的方程，得到y ＝12x ＋12. 第五步，将第四步所得的结果整理，得到所求直线AB 的方程为x －2y ＋1＝0.12．在解放战争中，有一名战士接到命令，要求在最短的时间内配制三副炸药，但是由于条件艰苦，称量物品的天平只剩下50 g 和5 g 两个砝码．现有495 g 硫黄，如何设计算法使称量的次数最少？需称量多少次？解 算法一：第一步：用5 g 砝码称出5 g 硫黄． 第二步：再用50 g 砝码称出50 g 硫黄．第三步：把5 g 、50 g 磺黄混合，构成55 g 硫黄．第四步：用这一份硫黄再称出两份55 g 硫黄，混合成165 g.第五步：用这一份硫黄再称出165 g.此时全部硫黄被平均分成三份，按照以上算法共需要称量5次． 算法二：第一步：先计算出495 g 硫黄，如果平均分成三份，每一份应该是165 g. 第二步：165 g 中有3个5 g 和3个50 g. 第三步：用5 g 砝码称出5 g 硫黄．第四步：用5 g 砝码和5 g 硫黄共同称出10 g 硫黄． 第五步：再用50 g 砝码称出50 g 硫黄．第六步：用50 g 砝码和50 g 硫黄共同称出100 g 硫黄．第七步：把5 g 、10 g 、50 g 、100 g 硫黄混合，构成165 g 硫黄，也就是一份的质量．第八步：用这一份硫黄再称出165 g.此时全部硫黄被平均分成三份，按照以上算法共需要称量5次．13．“鸡兔同笼”是我国隋朝时期的数学著作《孙子算经》中的一个有趣而具有深远影响的题目：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何．”用方程组的思想不难解决这一问题，请你设计一个这类问题的通用算法．解 算法如下：第一步，首先设x 只小鸡，y 只小兔．第二步，再列方程组，为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝35， ①2x ＋4y ＝94. ②第三步，解方程组，②－①×2，得y ＝12，代入①，得x ＝23. 第四步，得出小鸡23只，小兔12只．。