长江大学下学期高数期末考试试题及答案

1.（4分）级数U n收敛的必要条件是 ____________________

n 1

1 y

2.（4分）交换二次积分的次序0dy °f （x, y）dx= ________________

3. （4分）微分方程y 4y 4y 2xe2x的一个特解形式可以设

为__________________ .

4. （4分）在极坐标系下的面积元素d ____________________ .

二、选择题（每题4分，共16分）

2 2

1. （4分）已知曲面z 4 x y上点P处的切平面平行于平面

2x 2y z 1 0,则点P 的坐标是（

).

A. (1,-1,2)；

B. (-1,1,2);

1

2. (4分)级数 (1)n1 3为(

n 1

n 2

B.条件收敛;

是锥面x 2

A.绝对收敛; 3. （4分）若

（

y 2)dS (

).

C. (1,1,2)；

C.发散;

D. (-1,-1,2).

D.收敛性不确定.

z 2被平面z 0与z 1所截下的部分，则曲面

1 2

A. 0 d 0r rdr ;

B. 0

r 2 rdr ;

C. ^2 0d 0r 2 rdr ;

D.

d 0

「2

rdr .

4. （4分）幕级数

（1）n

—的收敛半径为（

、n

).

A. 1. R 2;

B. R -; 2

解答题(每题7分，共63分)

(7 分)设 z sin(x y) e xy ,求 dz .

C.R 3;

D. R

2. （7分）计算三重积分I xdxdydz 其中 为三个坐标面及平面

x 2y z 1所围成的闭区域•

3. (7分)求I (1 y z)dS ,其中 是平面y z 5被圆柱面

x 2 y 2 25截出的有限部分.

4. (7分)求幕级数

(1)

(x 1)"的收敛域. n 1 n

1

5.

(7分)将f(x) 2展开为麦克劳林级数•

2 x x

6. (7 分)求曲线积分 I

L

(e x siny y)dx (e x cosy 1)dy ,其中 L 为 x 2 y 2 ax 上从A(a,0)到0(0,0)的上半圆周.

7. (7分)求微分方程y 2xy 4x 在初始条件y x 0 3下的特解. 8. (7 分)求曲面积分 I Q

(X 1)dydz (2y 2)dzdx (3z 3)dxdy , 其中为

曲面x 2 y 2 z 2 4的内侧.

9. (7 分)计算曲线积分 I (x y)ds ,其中 L 是以 0(0,0) ,A(1,0),B(0,1)

L

为顶点的三角形折线.

四、(5分)试确定参数t 的值，使得在不含直线y 0上点的区域上，曲线积分

2( 2 2)

t

x (x 2 y )

dy 与路径无关，其中C 是该区域上一条 y

评分标准

1 1

光滑曲线，并求出当 C 从 A(1,1)到 B(0,2)时 I 的值.

/ 2

2、t

,x(x y ), I dx C y

1.lim u n 0;

n

2. o dX x f(X,y)dy;

* 3.y x2 (Ax2 Bx C) 2x e ; 4.d rdrd .

二、 1. C; 2

.

A; 3.D. 4.D.

三、1.解z x cos(x y) ye xy..…..... 3分

Z y cos(x y) xe xy. ......... 3分

dz [co )s(x y) ye xy ] dx [cos(x y) xe xy ]dy..

…

2.解I i 二 1

dx

2 dy 0 x 2y xdz .......... 3分

5

分

x 2y)dy

1 x

1

°xdx。2(〔

3.解

D:x24 0(x2x2x3)dx

1

48

25

I (1

D

5 y)j1 z：z；dxdy

6、2 dxdy

D

150「2 4.解R 1 ..........

当x 2时收敛

当x 0时发散，……7分

2分

收敛域为（0,2].

3n

IX 1

6.解 P e x siny y , Q e x cosy 1

dxdy ...........

D

2

a 1

2

—— -a 2 2 8

Ce 2

3代入上式得C 1

2

所求特解为y e x 2

1 1

x 2 3 1 x

6d

3n (1)n x n LLLLL 6 分

7.解 y e

2xdx

4xe x2dx

x 2

x

[C 2 x 2

2

e d(x )]

1)

由格林公式得