数形结合在高考解题中的应用
数形结合思想在高考解题中的应用
数形结合思想在高考解题中的应用数形结合不仅是一种重要的解题方法，也是一种的思维方法。
它在中学数学教学中占有重要的地位，也是历年高考重点考察的内容之一。
在运用数形结合解题时要注意以下两点：（1）“形”中觅“数”：根据形的直观性来寻求数量关系，将几何问题代数化，以数助形，使问题得到解决；（2）“数”中构“形”：根据代数问题具有的几何特征，进而发现数与形之间的关系，从而使代数问题几何化，使问题得到解决。
下面通过一些典型例题来说明数形结合思想在解题中的运用。
题型一、集合问题例1．已知集合A={}{}|23,|14x x B x x x -≤≤=<->或,则集合A B = ____________________.解析：利用数轴表示，可得{}|21A B x x =-≤<-评注：本题考查集合的基本运算，属容易题。
题型二、函数问题 例2．点P （x,y ）在直线430x y +=上，且x,y 满足147x y -≤-≤，则P 到坐标原点距离的取值范围是__________________.解析：如图，直线430x y +=分别与直线14,7x y x y -=--=的交点为12(6,8),(3,4)P P --易知12||10,||5OP OP ==，故||OP 的取值范围为[]0,10评注：考查两点间的距离公式及分析、解决问题的能力。
注意虽然12||10,||5OP OP ==，但||OP 的取值范围不是[]5,10。
题型三、三角问题例3函数()2)f x x π=≤≤的值域是_______________. 解析：原式可化为y ==1)x ≠ 由数形结合思想得1cos 1sin x x-+可理解为动点(sin ,cos )x x 与定点(1,1)连线斜率的取值范围，。
可求取值范围是[]0,+∞，由此可求得1)x ≠的值域为[1,0)-，当sin 1x =时，()0f x =，所以值域是[]1,0-。
浅析数形结合在高考解题中的应用
与“ ” 映 了事 物两个 方 面 的属 性． 数 学发 展 过 形 反 在 程中， 数与形 常 常结 合 在 一起 ， 内容 上 互 相 联 系 ， 方 法上互 相渗 透 ， 在一定 的条 件下 互相转 化． 谓 数 并 所 形 结合 ， 就是 根据 数与形 之 间的对应 关 系 ， 过数 与 通 形 的相互 转 化 来 解决 数 学 问题 的 一 种 重 要 思 想 方
一
共 时，＝ 与周期函 恰有５ 点 Ｙ詈 数 个交点， 程有 即方
５个 实数解． 解 ： 立 直 线 与 第 二 个 椭 圆 的 方 程 组 联
口 的 图象是过 点 （ ， ） 率 为 ｌ与 一１的 轴 上 ｌ Ⅱ０ 斜
方 的两条射 线 ， 两条 射 线关 于 戈： 这 ０对 称 （ 对 称 在 轴右侧 单调 递增 ， 左侧单 调 递减 ） 因此 “ ≤１ 就 等 ， 口 ”
的取值范围是
．
— —
数 ＝ 的最小值是— 一 分 析 ： 由 约 束 条 件
．
—
＂ 越
Ａ ｙ ２ ＝－ ｘ
ｒ ￣２ ｙ＜ ｘ，
解作 Ｙ ｓ譬 ， ：出－ ｉ 与， ＝ｎ ２ ＝
３
２ ＞ — ｘ确 定 可 行 域 （ ｙ ２， １ 如 【≤３
的图象 （ 如右 图 ） 要 使不 等 式 ｓ ２ ， ｉ ｘ 成立 ， ｎｐ 由
３
合图象易知 ： 当且仅 当 ＝ ＝ 一 ，） Ｉ ｃ ～ ｃ （ １０ 时，ｂ＋ ｆ ２ 故向量 ＋ ， ｃ的长度的最大值为 ２ ．
＝
５ 数形结合在线性规划 中的应用
例５ 已知实数 ， 满足｛１ 一 则 目标 函 Ｙ ｙ ， ￣ ＜ ｒ＞ ｘｘ ２２
，
【 ≤３．
高考解析几何中线段比值问题
高考解析几何中线段比值问题
在高考解析几何中，线段比值问题是比较常见的一类问题。
这类问题通常涉及到直线、圆、椭圆、双曲线等几何图形，以及点、线段之间的位置关系和长度计算。
以下是一些解决线段比值问题的方法和思路：
1. 利用坐标表示线段长度：在解析几何中，可以通过坐标来表示点的位置，进而计算线段的长度。
对于线段比值问题，可以将线段的两个端点坐标求出，然后利用两点间距离公式计算出线段长度，再进行比值计算。
2. 利用几何性质：解析几何中的几何图形具有一些特殊的性质，例如圆的性质、椭圆的性质、双曲线的性质等。
在解决线段比值问题时，可以利用这些性质来简化计算，例如利用圆的切线性质、椭圆的定义等。
3. 建立函数关系式：对于一些复杂的线段比值问题，可以通过建立函数关系式来解决。
例如，可以设出线段长度的变量，然后根据题目条件列出方程，进而求出线段比值。
4. 利用三角形相似或全等：在一些情况下，可以通过判断线段所在的三角形是否相似或全等来解决线段比值问题。
如果两个三角形相似或全等，则它们对应边的比值相等。
5. 数形结合：在解决线段比值问题时，要注重数形结合，将几何图形与代数计算相结合，通过画图、观察等方法帮助理解和解决问题。
需要注意的是，具体的解题方法会因题目不同而有所差异，需要根据具体情况选择合适的方法。
同时，在解题过程中要注意对题目的条件和要求进行仔细分析，避免出现错误。
例说数形结合解决求函数最值问题
例说数形结合解决求函数最值问题数形结合就是将抽象的数的方式与直观图形结合起来，既分析其代数含义又分析其几何含义。
在数与形的结合上往往采用“以形助数”或“以数辅形”的手段寻找解题的思路。
求函数的最值是中学数学的重要内容之一，题型多变，解法灵活，也是历年高考的必考内容，下面仅就这一方面利用数形结合的技巧举例说明。
例1：求函数的值域。
分析：我们可以先进行换元，去掉根号，然后在寻找解决问题的突破口。
解：令则原函数表达式等价转化为，即为过点和点的直线的斜率。
作出示意图像，经观察，计算可知的变化范围为。
评注：此题若采取代数方法，比较繁琐，但是给代数问题赋以一个合适的几何意义，问题就变得鲜活，简单。
例2：已知，求的最小值。
【分析】将看成是直线上的点A（x，y）与定点B（1，1）间的距离，则的最小值也就是点B（1，1）到直线的距离。
解：是由直线上动点与定点间的距离，显然的最小值是点到直线的距离，即例3.求函数的最值。
分析：等式右边根号内同为的一次式，如简单的换元无法转化为二次函数求最值，故用常规方法比较难。
如能联想到直线的截距，数形结合换元后，以形助数，则可轻松解决。
令则则所函数化为以为参数的直线族，它与椭圆在第一象限的部分有公共点又例4：对于任意函数f（x）、g（x），在公共定义域内，规定f（x）*g（x）=min{ f（x）、g（x）}，若f（x）=，g（x）=，求f（x）*g（x）的最大值。
分析：本题可首先确定函数的定义域，然后作出函数的图像，由图像可求出解析式，最后求最大值。
解：由题意得：的解为x=2故其图象如图，显然在点P时f（x）*g（x）取最大值，最大值为1。
例5.甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速驶到乙地，速度不得超过c 千米/小时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v（km/h）的平方成正比，比例系数为b，固定部分为a 元（1）把全程运输成本y（元）表示为v（km/h）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？分析：本题可根据实际问题抽象出函数模型，然后根据不等式性质、最值等知识，结合函数的图像，即可求解。
巧用数形结合思想求函数最值
巧用数形结合思想求函数最值六招破解函数最值及巧用数形结合求参数问题一、六招破解函数最值问题函数最值问题一直是高考的一个重要的热点问题，在高考中占有极其重要的地位.为了让大家能够更加系统、全面地掌握函数最值问题的解决方法，下面就其问题的常用解法，分类浅析如下：1.配方法配方法是求二次函数最值的基本方法，如函数F(x)=6z/(x)2+/7/(x)+c(qHO)的最值问题，可以考虑用配方法.［例 1］已知函数 =(eA—a)2+(e A—tz)2(tzeR, aHO),求函数 y 的最小值.2.换元法换元法是指通过引入一个或几个新的变量，来替换原来的某些变量(或代数式)，以便使问题得以解决的一种数学方法.在学习中，常常使用的换元法有两类，即代数换元和-:角换元，我们可以根据具体问题及题目形式灵活选择换元的方法，以便将复杂的函数最值问题转化为简单的函数最值问题.如可用三角换元解决形如/+/=1及部分根式函数形式的最值问题.3・不等式法利用不等式法求解函数最值，主要是指运用基本不等式及其变形公式來解决函数最值问题的一-种方法.常常使用的基本不等式有以下几种：aIb#a|b。
er2ab(a, b 为实数),° ^y［ab(a0, b20), abW。
J 些艺(a, b为实数).14［例3］函数fix) =-+t^(O<x< 1)的最小值为・兀1X4.函数单调性法先确定函数在给定区间上的单调性，然后依据单调性求函数的最值.这种利用函数单调性求最值的方法就是函数单调性法.这种方法在高考屮是必考的，多在解答题中的某一问出现.［例4］已知函数»=xln x,则函数心)在也r+2］(r>0)上的最小值为.5.导数法设函数兀Q在区间［a, b］上连续,在区间(a, b)内可导,则的在［a, b］上的最大值和最小值应为兀0在(d, b)内的各极值与», fib) 中的最大值和最小值.利用这种方法求函数最值的方法就是导数法.［例5］函数»=x3-3x+l在闭区间［—3,0］上的最大值，最小值分别是，•6.数形结合法数形结合法是指利用函数所表示的几何意义，借助几何方法及函数的图象求函数最值的…种常用的方法.这种方法借助儿何意义，以形助数，不仅可以简捷地解决问题，还可以避免诸多失误，是我们开阔思路、正确解题、提高能力的-种重要途径.［a,［例 6］对 a, bWR,记 max|d, b\=\i1 函数=max||x+l|, |x—2||(x£R)的最小值是.二、巧用数形结合妙解3类求参数问题通过以下三个方面体会数形结合思想的运用.1.通过基本函数模型及变式的图象求参数的取值范围或值|lg x|, OvxWlO,若a,b,c互不相等,［例1］已知函数fix)=<1—2^+6,兀>10,_!»=»=»,则abc的取值范围是(2•通过函数的零点与方程的解的相互关系求函数零点和方程的解及参数的范围［例2］已知mGR,函数/(x)=x2+2(m2+l)x+7,g(x)=-(2m2—m+2)x+m.(1)设函数p(x)=/U)+g(x)・如果p(x)=0在区间(1,5)内有解但无重根，求实数加的取值范围；d,总存在唯一非零实数b(bHa),使得/2(d)=/z(b)成立？若存在，求加的值；若不存在，请说明理由.3.通过圆或圆锥曲线的部分图形与函数图象的关系来求参数的范围［例3］如果函数y=l+p4—F(|x|W2)的图象与函数2)。
运用数形结合法巧解高考三角函数问题
（ｘ 詈 丌 ｋ ｝ ｃｌ 十 ∈ ） ｛ ｋ 詈，ｚ
（ ｛Ｉ １＋ ＜ｘ ｋＴ Ｄ） ２ Ｔ Ｊ Ｘｋ ＜２１
解 ．ｘ ＝ ｆ ） （
解 ： ｍ＝ｉｘｎ ｃｓ ， ‘ｎ＝ ． 令 ｓ ．： ｏｘ 则ｍ ＋ 一１ ｎ
由 直线 ２ Ｉ ｙ ０ ｍ— — ＝ 与圆ｍ ＋ 一 １ 公 共 点 ， ： Ｉ ｎ＝ 有 则
２ 一 … ７ 、 ．
Ｄ
４ ３
Ｉ １
２４
图１
Hale Waihona Puke 已知函数ｆｘ ： ／３ｓ ｘ ＣＳ ， ∈Ｒ， （） （） 、 ｉ — ＯＸ ｘ ｎ 若ｆｘ
≥ １则 ｘ ， 的取 值 范 围为 （ ） ．
（ ｛ｌｌ＋ ≤ ｘ ｋ ｌ ， Ａ）ｘｋｖ ≤ ￣＋ ｖｋＥＺ ｌ
（ ） ｌ ｒ ［ ｘ ｋ ＋ ｋ∈ ） Ｂ ｛２ ｒ ｒ ｘ ｋ ＋ ｒ≤ ≤２ 订 订， ｚ
２
２ ＇ 图像 可 知 ）由
］ ｎ≥ 的 解 是 ｔ
２
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ｔ ｆ一７ ） ｆ０ 得一 三 × — — ： ｌ 解 得 ａ２Ｘｆ ． ｈ （ 一 ：（ ） １ ＂ 二 — — ＋１ 一 一 ａ — ：＂ ／
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３
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所 以在 Ｒ 的ｓ ｔ 的解 是 上 ｉ￣ ｎ＞
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Ｊ 的 最 大 值 和 最 小值 ． －
解 ：（ ） ａ ｏｘ ｉｘ ｃ ｓｘ ｓ —＝￣ ｓｎ ｘ ｃ ｓ ｘ ｆｘ ＝ ｃ ｓ ｓ — ｏ‘＋ ｉ ｘ ａ ｉ２ — ｏ ２ ｎ ｎ
２
在 同 一 坐 标 系 内作 出 函 数 ｙ ｓ ｘ与ｙ 的 图 像 （ （ ＝ｉ － ： ｎ 女 １
高考数学：数学解题七大基本思想方法
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高考数学：数学解题七大基本思想方法数学学科有自己独特的思维模式，所以在解决数学问题时，就要以数学的基本方法去考虑，这样才能在最有效的时间内答对题目。
第一：函数与方程思想(1)函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象，概括与提炼，在研究方程、不等式、数列、解析几何等其他内容时，起着重要作用(2)方程思想是解决各类计算问题的基本思想，是运算能力的基础注：高考把函数与方程思想作为七种重要思想方法重点来考查第二：数形结合思想(1)数学研究的对象是数量关系和空间形式，即数与形两个方面(2)在一维空间，实数与数轴上的点建立一一对应关系在二维空间，实数对与坐标平面上的点建立一一对应关系数形结合中，选择、填空侧重突出考查数到形的转化，在解答题中，考虑推理论证严密性，突出形到数的转化第三：分类与整合思想(1)分类是自然科学乃至社会科学研究中的基本逻辑方法(2)从具体出发，选取适当的分类标准(3)划分只是手段，分类研究才是目的(4)有分有合，先分后合，是分类整合思想的本质属性(5)含字母参数数学问题进行分类与整合的研究，重点考查学生思维严谨性与周密性第四：化归与转化思想(1)将复杂问题化归为简单问题，将较难问题化为较易问题，将未解决问题化归为已解决问题(2)灵活性、多样性，无统一模式，利用动态思维，去寻找有利于问题解决的变换途径与方法(3)高考重视常用变换方法：一般与特殊的转化、繁与简的转化、构造转化、命题的等价转化第五：特殊与一般思想(1)通过对个例认识与研究，形成对事物的认识(2)由浅入深，由现象到本质、由局部到整体、由实践到理论(3)由特殊到一般，再由一般到特殊的反复认识过程(4)构造特殊函数、特殊数列，寻找特殊点、确立特殊位置，利用特殊值、特殊方程(5)高考以新增内容为素材，突出考查特殊与一般思想必成为命题改革方向第六：有限与无限的思想(1)把对无限的研究转化为对有限的研究，是解决无限问题的必经之路(2)积累的解决无限问题的经验，将有限问题转化为无限问题来解决是解决的方向(3)立体几何中求球的表面积与体积，采用分割的方法来解决，实际上是先进行有限次分割，再求和求极限，是典型的有限与无限数学思想的应用(4)随着高中课程改革，对新增内容考查深入，必将加强对有限与无限的考查第七：或然与必然的思想(1)随机现象两个最基本的特征，一是结果的随机性，二是频率的稳定性(2)偶然中找必然，再用必然规律解决偶然(3)等可能性事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率、独立重复试验、随机事件的分布列、数学期望是考查的重点。
高中数学四大数学思想
高中数学四大数学思想1.数形结合思想数形结合思想在高考中占有非常重要的地位，其“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合. 应用数形结合思想，就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决. 运用这一数学思想，要熟练掌握一些概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征.应用数形结合的思想，应注意以下数与形的转化：（1）集合的运算及韦恩图；（2）函数及其图象；（3）数列通项及求和公式的函数特征及函数图象；（4）方程（多指二元方程）及方程的曲线.以形助数常用的有：借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式的结构特征；借助于解析几何方法.以数助形常用有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理的结合.2.分类讨论思想分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决. 分类讨论题覆盖知识点较多，利于考查学生的知识面、分类思想和技巧；同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论”.应用分类讨论思想方法解决数学问题的关键是如何正确分类，即正确选择一个分类标准，确保分类的科学，既不重复，又不遗漏. 如何实施正确分类，解题时需要我们首先明确讨论对象和需要分类的全体，然后确定分类标准与分类方法，再逐项进行讨论，最后进行归纳小结.常见的分类情形有：按数分类；按字母的取值范围分类；按事件的可能情况分类；按图形的位置特征分类等. 分类讨论思想方法可以渗透到高中数学的各个章节，它依据一定的标准，对问题分类、求解，要特别注意分类必须满足互斥、无漏、最简的原则.3.函数与方程思想函数与方程思想是最重要的一种数学思想，高考中所占比重较大，综合知识多、题型多、应用技巧多. 函数思想简单，即将所研究的问题借助建立函数关系式亦或构造中间函数，结合初等函数的图象与性质，加以分析、转化、解决有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；方程思想即将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型加以解决.运用函数与方程的思想时，要注意函数，方程与不等式之间的相互联系和转化，应做到：（1）深刻理解函数f(x)的性质（单调性、奇偶性、周期性、最值和图象变换），熟练掌握基本初等函数的性质，这是应用函数思想解题的基础.（2）密切注意三个“二次”的相关问题，三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系. 掌握二次函数基本性质，二次方程实根分布条件，二次不等式的转化策略.4.转化与化归思想化归与转化的思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将，问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想. 转化是将数学命题由一种形式向另一种形式的变换过程，化归是把待解决的问题通过某种转化过程归结为一类已经解决或比较容易解决的问题.转化与化归思想是中学数学最基本的思想方法，堪称数学思想的精髓，它渗透到了数学教学内容的各个领域和解题过程的各个环节中. 转化有等价转化与不等价转化. 等价转化后的新问题与原问题实质是一样的. 不等价转化则部分地改变了原对象的实质，需对所得结论进行必要的修正.应用转化与化归思想解题的原则应是化难为易、化生为熟、化繁为简，尽量是等价转化. 常见的转化有：正与反的转化、数与形的转化、相等与不等的转化、整体与局部的转化、空间与平面相互转化、复数与实数相互转化、常量与变量的转化、数学语言的转化.。
高考数学神仙技巧
高考数学神仙技巧
在高考数学中，有一些神仙技巧可以帮助你提高分数。
以下是一些有效的技巧：
1.仔细审题：审题是做好数学题的关键。
在做数学题时，一定要认真仔细地阅读题目中的文字说明，把握好题目中的信息和要求，确定解题思路。
2.善于归纳总结：在高考数学中，有些问题看似复杂，但只要找到问题的本质，就可以很快地找到解决问题的方法。
因此，在做题时，要善于归纳总结，找出规律，从而更好地解决类似的问题。
3.学会画图：数学中有些问题可以通过画图来解决。
通过画图可以直观地理解问题的本质，找到解决问题的突破口。
因此，在做数学题时，要学会画图，并掌握一些常用的画图方法。
4.善用排除法：在选择题中，如果选项中有一个是明显错误的，那么正确的答案很可能就是剩下的选项中的某一个。
因此，在做选择题时，要善于利用排除法，提高做题的正确率。
5.掌握速算技巧：在数学计算中，有些问题可以通过速算技巧来解决。
例如，可以利用乘法分配律、提取公因数等方法简化计算过程，提高计算效率。
6.善用数形结合法：数形结合法是一种非常重要的数学思想方法。
通过将数量关系和空间形式结合起来，可以更好地理解问题的本质，找到解决问题的突破口。
7.善于猜想和验证：在解决数学问题时，要善于猜想和验证。
通过猜想可以找到解决问题的思路和方法，通过验证可以确定猜想的正确性。
在高考数学中，要善于运用各种神仙技巧来提高自己的解题效率和正确率。
同时，也要注意掌握基础知识，加强练习，提高自己的数学素养和综合能力。
高考的数学答题技巧(推荐8篇)
高考的数学答题技巧〔推荐8篇〕篇1：数学高考答题技巧另外，在高考时很多同学往往因为时间不够导致数学试卷不能写完，试卷得分不高，掌握解题思想可以帮助同学们快速找到解题思路，节约考虑时间。
以下总结高考数学五大解题思想，帮助同学们更好地提分。
1.函数与方程思想函数思想是指运用运动变化的观点，分析^p 和研究数学中的数量关系，通过建立函数关系运用函数的图像和性质去分析^p 问题、转化问题和解决问题；方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题转化为方程或不等式模型去解决问题。
同学们在解题时可利用转化思想进展函数与方程间的互相转化。
2.数形结合思想中学数学研究的对象可分为两大局部，一局部是数，一局部是形，但数与形是有联络的，这个联络称之为数形结合或形数结合。
它既是寻找问题解决切入点的“法宝”，又是优化解题途径的“良方”，因此建议同学们在解答数学题时，能画图的尽量画出图形，以利于正确地理解题意、快速地解决问题。
3.特殊与一般的思想用这种思想解选择题有时特别有效，这是因为一个命题在普遍意义上成立时，在其特殊情况下也必然成立，根据这一点，同学们可以直接确定选择题中的正确选项。
不仅如此，用这种思想方法去探求主观题的求解策略，也同样有用。
4.极限思想解题步骤极限思想解决问题的一般步骤为：一、对于所求的未知量，先设法构思一个与它有关的变量；二、确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量；三、构造函数(数列)并利用极限计算法那么得出结果或利用图形的极限位置直接计算结果。
5.分类讨论思想同学们在解题时常常会遇到这样一种情况，解到某一步之后，不能再以统一的方法、统一的式子继续进展下去，这是因为被研究的对象包含了多种情况，这就需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合归纳得解，这就是分类讨论。
引起分类讨论的原因很多，数学概念本身具有多种情形，数学运算法那么、某些定理、公式的限制，图形位置的不确定性，变化等均可能引起分类讨论。
高考数学“数形结合”解题思想方法、知识点及题型整理
高考数学总复习第三讲：数形结合一、专题概述 ---什么是数形结合的思想数形结合的思想，就是把问题的数量关系和空间形式结合起来加以考察的思想．恩格斯说：“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系．”“数”和“形”是数学中两个最基本的概念，它们既是对立的，又是统一的，每一个几何图形中都蕴含着与它们的形状、大小、位置密切相关的数量关系；反之，数量关系又常常可以通过几何图形做出直观地反映和描述，数形结合的实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合起来，在解决代数问题时，想到它的图形，从而启发思维，找到解题之路；或者在研究图形时，利用代数的性质，解决几何的问题．实现抽象概念与具体形象的联系和转化，化难为易，化抽象为直观．数形结合包括：函数与图象、方程与曲线、复数与几何的结合；几何语言叙述与几何图形的结合等．二、例题分析1．善于观察图形，以揭示图形中蕴含的数量关系．观察是人们认识客观事物的开始，直观是图形的基本特征，观察图形的形状、大小和相互位置关系，并在此基础上揭示图形中蕴含的数量关系，是认识、掌握数形结合的重要进程．例1．函数的图象的一条对称轴方程是：（A）（B）（C）（D）分析：通过画出函数的图象，然后分别画出上述四条直线，逐一观察，可以找出正确的答案，如果对函数的图象做深入的观察，就可知，凡直线x=a通过这一曲线的一个最高点或一个最低点，必为曲线的一条对称轴，因此，解这个问题可以分别将代入函数的解析式，算得对应的函数值分别是：，其中只有–1是这一函数的最小值，由此可知，应选（A）2．正确绘制图形，以反映图形中相应的数量关系．观察图形，既要定性也要定量，借助图形来完成某些题时，仅画图示“意”是不够的，还必须反映出图形中的数量关系．例2．问：圆上到直线的距离为的点共有几个？分析由平面几何知：到定直线L：的距离为的点的轨迹是平行L的两条直线．因此问题就转化为判定这两条直线与已知圆的交点个数．将圆方程变形为：，知其圆心是C(-1,-2)，半径，而圆心到定直线L的距离为，由此判定平行于直线L且距离为的两条直线中，一条通过圆心C，另一条与圆C相切，所以这两条直线与圆C共有3个公共点（如图1）启示：正确绘制图形，一定要注意把图形与计算结合起来，以求既定性，又定量，才能充分发挥图形的判定作用．3．切实把握“数”与“形”的对应关系，以图识性以性识图．数形结合的核心是“数”与“形”的对应关系，熟知这些对应关系，沟通两者的联系，才能把握住每一个研究对象在数量关系上的性质与相应的图形的特征之间的关联，以求相辅相成，相互转化．例3．判定下列图中，哪个是表示函数图象．分析由=，可知函数是偶函数，其图象应关于y轴对称，因而否定（B）、（C），又，的图象应当是上凸的，（在第Ⅰ象限，函数y单调增，但变化趋势比较平缓），因而（A）应是函数图象．例4．如图，液体从一圆锥形漏斗注入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3分钟注完．已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H是圆锥形漏斗中液面下落的距离，则H与下落时间t（分）的函数关系用图象表示只可能是（）．分析由于圆柱中液面上升的速度是一个常量，所以H与t的关系不是（B），下落时间t越大，液面下落的距离H应越大，这种变化趋势应是越来越快，图象应当是下凸的，所以只可能是（D）．例5．若复数z满足，且，则在复平面上对应点的图形面积是多少？分析满足的复数z对应点的图形是：以C(1,1)为圆心，为半径的圆面，该圆面与图形的公共部分为图中所示阴影部分（要注意到∠AOC=45°）因此所求图形的面积为：4．灵活应用“数”与“形”的转化，提高思维的灵活性和创造性．在中学数学中，数形结合的思想和方法体现最充分的是解析几何，此外，函数与图象之间，复数与几何之间的相互转化也充分体现了数形结合的思想和方法．通过联想找到数与形之间的对应关系是实现转化的先决条件，而强化这种转化的训练则是提高思维的灵活性和创造性的重要手段．例6．已知C<0，试比较的大小．分析这是比较数值大小问题，用比较法会在计算中遇到一定困难，在同一坐标系中，画出三个函数：的图象位于y轴左侧的部分，（如图）很快就可以从三个图象的上、下位置关系得出正确的结论：例7 解不等式解法一（用代数方法求解），此不等式等价于：解得故原不等式的解集是解法二 （采用图象法） 设即对应的曲线是以为顶点，开口向右的抛物线的上半支．而函数y=x+1的图象是一直线．（如图） 解方程可求出抛物线上半支与直线交点的横坐标为2，取抛物线位于直线上方的部分，故得原不等式的解集是．借助于函数的图象或方程的曲线，引入解不等式（或方程）的图象法，可以有效地审清题意，简化求解过程，并检验所得的结果．例8 讨论方程的实数解的个数．分析：作出函数的图象，保留其位于x 轴上方的部分，将位于x 轴下方的部分沿x 轴翻折到x 轴上方，便可得到函数的图象．（如图）再讨论它与直线y=a 的交点个数即可． ∴当a ＜0时，解的个数是0；当a=0时或a ＞4时，解的个数是2；当0＜a ＜4时，解的个数是4；当a=4时，解的个数是3．9．已知直线和双曲线有且仅有一个公共点，则k 的不同取值有（）（A ）1个（B ）2个（C ）3个 （D ）4个分析：作出双曲线的图象，并注意到直线是过定点（）的直线系，双曲线的渐近线方程为∴过（）点且和渐近线平行的直线与双曲线有且仅有一个公共点，此时k取两个不同值，此外，过（）点且和双曲线相切的直线与双曲线有且仅有一个公共点，此时k取两个不同的值，故正确答案为（D）例9．已知直线和双曲线有且仅有一个公共点，则k的不同取值有（）（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个分析：作出双曲线的图象，并注意到直线是过定点（）的直线系，双曲线的渐近线方程为∴过（）点且和渐近线平行的直线与双曲线有且仅有一个公共点，此时k取两个不同值，此外，过（）点且和双曲线相切的直线与双曲线有且仅有一个公共点，此时k取两个不同的值，故正确答案为（D）例10．设点P(x,y)在曲线上移动，求的最大值和最小值．解曲线是中心在（3，3），长轴为，短轴为的椭圆．设，即y=kx为过原点的直线系，问题转化为：求过原点的直线与椭圆相切时的斜率．（如图所示）消去y得解得：故的最大值为，最小值为例11．求函数（其中a,b,c是正常数）的最小值．分析采用代数方法求解是十分困难的，剖析函数解析式的特征，两个根式均可视为平面上两点间的距离，故设法借助于几何图形求解．如图设A(0,a),B(b,-c)为两定点，P(x,0)为x轴上一动点，则其中的等号在P为线段AB与x轴的交点外，即时成立．故y的最小值为例12．P是椭圆上任意一点，以OP为一边作矩形O P Q R（O,P,Q,R依逆时针方向排列）使|OR|=2|OP|，求动点R的轨迹的普通方程．分析在矩形O P Q R中（如图），由∠POR=90°，|OR|=2|OP|可知，OR是OP逆时针旋转90°，并将长度扩大为原来的2倍得到的．这一图形变换恰是复数乘法的几何意义，因此，可转化为复数的运算，找到R和P的两点坐标之间的关系，以求得问题的解决．解，设R点对应的复数为：，P点对应的复数为则故即由点在椭圆上可知有：整理得：就是R点的轨迹方程，表示半长轴为2a，半短轴为2b，中心在原点，焦点在y轴上的椭圆．三解题训练1．求下列方程实根的个数：（1）（2）（3）2．无论m取任何实数值，方程的实根个数都是（）（A）1个（B）2个（C）3个（D）不确定3．已知函数的图象如右图则（）（A）b∈(-∞,0)（B）b∈(0,1)（C）b∈(1,2) （D）b∈(2,+ ∞)4．不等式的解集是（）（A）（0，+∞）（B）（0，1）（C）（1，+∞）（D）（–∞，0）5．不等式一定有解，则a的取值范围是（）（A）（1，+∞）（B）[1,+ ∞]（C）(-∞,1)（D）(0,1]6．解下列不等式：（1）（2）7．复平面内点A、B分别对应复数2，2+i，向量绕点A逆时针方向旋转至向量，则点C对应的复数是_______．8．若复数z满足|z|<2，则arg(z-4)的最大值为___________9．若复数z满足10．函数的图象是平面上两定点距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹，则这两定点的坐标是( )（A）（–，–）（，）（B）（–，）（，–）（C）（–2，2）（2，2）（D）（2，–2）（–2，2）11．曲线与直线的交点个数是（）．（A）0（B）1 （C）2（D）312．曲线与直线有两个交点，则实数k的取值是（）（A）（B）（C）（D）13．已知集合，满足，求实数b的取值范围．14．函数的值域是（）（A）（B）（C）（D）四、练习答案1．（1）2个（2）63个（3）2个提示：分别作出两个函数的图象，看交点的个数．2．B、提示：注意到方程右式，是过定点（，0）的直线系．3．A、提示：由图象知f(x)=0的三个实根是0，1，2这样，函数解析式可变形学习好资料欢迎下载f(x)=ax(x-1)(x-2)，又从图象中可以看出当x∈(0,1)∪(2,+∞)时，f(x)>0．而当x>2时，x,(x-1),(x-2)均大于0，所以a>0，而可知b=-3a<0，故选（A）4．A5．A6．（可以利用图象法求解）（1）x≤-1或0<x≤3（2）x≤-17．18．210°9．10．A11．D 提示：在曲线方程中，分x≥0或x<0两种情形讨论，作出图形即可．12．C13．14．A 提示：f(x)可以视作：A(cosx,sinx),B(1,2)，则f(x)=k AB，而A点为圆x2+y2=1上的动点。
浅析数形结合思想在高考解题中的应用
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【 键 词 】 形 结 合 ； 考 ； 题 关 数 高 解
数形 结 合 思 想 是 中 学 数 学 重 要 的 思 想 方 法 之 一 ． 数 ” “
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高考数学答题技巧：选择题十大解题技巧
2019年高考数学答题技巧：选择题十大解题技巧高考数学选择题比其他类型题目难度较低，但知识覆盖面广，要求解题熟练、灵活、快速、准确。
现总结了高考数学答题技巧：选择题十大解题技巧，帮助同学们提高答题效率及准确率。
1.剔除法：利用已知条件和选项所提供的信息，从四个选项中剔除掉三个错误的答案，从而达到正确选择的目的。
这是一种常用的方法，尤其是答案为定值，或者有数值范围时，取特殊点代入验证即可排除。
2.特特殊值检验法：对于具有一般性的数学问题，在解题过程中，可以将问题特殊化，利用问题在某一特殊情况下不真，则它在一般情况下不真这一原理，达到去伪存真的目的。
3.极端性原则：将所要研究的问题向极端状态进行分析，使因果关系变得更加明显，从而达到迅速解决问题的目的。
极端性多数应用在求极值、取值范围、解析几何上面，很多计算步骤繁琐、计算量大的题，采用极端性去分析，就能瞬间解决问题。
4.顺推破解法：利用数学定理、公式、法则、定义和题意，通过直接演算推理得出结果的方法。
5.逆推验证法(代答案入题干验证法)：将选项代入题干进行验证，从而否定错误选项而得出正确答案的方法。
6.正难则反法：从题的正面解决比较难时，可从选项出发逐步逆推找出符合条件的结论，或从反面出发得出结论。
7.数形结合法：由题目条件，做出符合题意的图形或图象，借助图形或图象的直观性，经过简单的推理或计算，从而得出答案的方法。
数形结合的好处就是直观，甚至可以用量角尺直接量出结果来。
8.递推归纳法：通过题目条件进行推理，寻找规律，从而归纳出正确答案的方法。
9.特征分析法：对题设和选择项的特点进行分析，发现规律，归纳得出正确判断的方法。
教师范读的是阅读教学中不可缺少的部分，我常采用范读，让幼儿学习、模仿。
如领读，我读一句，让幼儿读一句，边读边记；第二通读，我大声读，我大声读，幼儿小声读，边学边仿；第三赏读，我借用录好配朗读磁带，一边放录音，一边幼儿反复倾听，在反复倾听中体验、品味。
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数形结合思想在解题中的应用（包含30例子）一、知识整合1．数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解，且解法简捷。
所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。
数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。
2．实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。
如等式()()x y -+-=214223．纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。
4．数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。
这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。
二、例题分析例1.的取值范围。
之间，求和的两根都在的方程若关于k k kx x x 310322-=++ 分析：0)(32)(2=++=x f x k kx x x f 程轴交点的横坐标就是方，其图象与令()13(1)0y f x f =-->的解，由的图象可知，要使二根都在，之间，只需，(3)0f >，()()02bf f k a-=-<10(10)k k -<<∈-同时成立，解得，故，例2. 解不等式x x +>2 解：法一、常规解法：“数形结合”在解题中的应用原不等式等价于或()()I x x x x II x x ≥+≥+>⎧⎨⎪⎩⎪<+≥⎧⎨⎩02020202 解，得；解，得()()I x II x 0220≤<-≤<综上可知，原不等式的解集为或{|}{|}x x x x x -≤<≤<=-≤<200222 法二、数形结合解法： 令，，则不等式的解，就是使的图象y x y x x x y x 121222=+=+>=+在的上方的那段对应的横坐标，y x 2=如下图，不等式的解集为{|}x x x x A B ≤<而可由，解得，，，x x x x x B B A +===-222故不等式的解集为。
数形结合思想在中学数学中的应用
数形结合思想在中学数学中的应用学院名称：数学计算机科学学院专业名称： 10数学与应用数学专业姓名：吴晨晨同组人员：王帅帅指导教师：戴普庆数形结合思想在中学数学中的应用摘要数与形是数学中两个最主要最基本的研究对象，数与形是紧密相连的，在一些特定的条件下，数与形是可以相互转化的，这就是“数形结合”。
数形结合作为数学学习的一个重要思想，在数学学科中占有重要的地位。
本文中主要介绍了数形结合研究背景及意义；在中学教学中的地位；应用数形结合的原则和途径以及数形结合思想在中学解题中的应用等问题。
通过分析、比较和归纳充分展现数形结合思想在解题中的特点和优越性，从而在实际教学中要将数形结合思想融汇到课堂中，培养学生加强数形结合思想的意识。
关键词数与形；数形结合；中学数学The combination of shapes and number in the middle school Abstract The number and shape are the two most major and basic research objects in mathematics, and they have close relationship. In some specific conditions, they are interchangeable,which is named the combination of shapes and number.The combination of shapes and number is an important thought in mathematics studying,while it occupies an important position in mathematics, too. This article mainly introduces：the research background and significance of the combination of shapes and number,it's position in the middle school teaching ,the principles and ways of it's application ,and the application of the combination of shapes and number thought in the middle school problem solving and so on. Through the analysis, comparison and induction,it shows the combination of shapes and number thought's characteristic and advantages in the problem solving, which in actual teaching ,we should form together with this thought to the classroom, training students to strengthen the consciousness of the combination of shapes and number thought.Keywords Number and shape The combination of number and shapes The mathematics of the middle school目录摘要 (1)Abstract (2)前言 (4)1 数形结合思想方法概述 (4)1.1 数形结合思想的研究背景 (4)1.2数形结合思想的研究意义及作用 (5)2 数形结合思想方法在中学数学教学中的地位 (5)2.1从新课程标准对思维能力的要求看数形结合 (5)2.2从新课程教学内容的特点来看数形结合 (5)2.3从高考题设计背景来看数形结合 (6)3 数形结合思想应用的途径和原则 (6)3.1．数形结合的途径 (6)3.2．数形结合的原则 (7)4 数形结合思想方法在中学解题中的应用 (7)4.1“数”中思“形” (7)4.1.1利用韦恩图法解决集合之间的关系问题 (7)4.1.2 利用数轴解决集合的有关运算 (8)4.1.3 数形结合思想在解决对称问题中的应用 (8)4.1.4 利用函数图像比较函数值的大小 (9)4.1.5 数形结合思想在解方程问题中的应用 (9)4.1.6数形结合解决最值问题 (10)4.2“形”中觅“数” (10)5 结束语 (11)参考文献 (11)致谢 (12)“数形结合”一词正式出现在华罗庚先生于1964年1月撰写的《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》的科普小册子中。
数形结合——定值与最值问题的“绿色通道”
数形结合——定值与最值问题的“绿色通道”作者：王佩其来源：《广东教育·高中》2010年第11期众所周知,解析几何是17世纪数学发展的重大成果之一,其本质是用代数方法研究图形的几何性质,体现了数形结合的重要数学思想.“曲线”与“方程”是同一对象(即点的轨迹)的两种表现形式,曲线是轨迹的几何形式,方程是轨迹的代数形式.它们在表现和研究轨迹的性质时,各有所长.几何形式具有直观形象的优点,代数形式具有便于运算的优势,因而具有操作程序化的长处.具体解题时最好将二者结合起来,这就是“数形结合”思想.定值与最值问题,是高考中的“常客”.“数形结合”,是引领我们走向成功的“绿色通道”.一、由“形”构“数”,妙解解析几何定值问题解析几何中的定值问题,在高考中具有一定难度. 求解这类问题的关键是利用解析几何中有关曲线的定义、性质以及图形特征,转化为代数问题.例1已知如图1,椭圆的方程+=1.在椭圆上任取三个不同点P1,P2,P3,使∠P1FP2=∠P2FP3=∠P3FP1,证明++为定值,并求此定值.点拨心里有什么,眼里就看到什么!对于本题,心里有函数的人首先看到了函数:|PF1|、|PF2|、|PF3|都是角=∠xFP1的函数.心里有方程的人,首先看到了方程:|PF1|•cos=x-c( x是点P1的横坐标).心里既有函数又有方程的人,不仅同时看到了本题中函数与方程,而且还看到了函数与方程的关系.设∠xFP1=,于是有∠xFP2=+,∠xFP3=+ .设|FP1|=r1,P1到x轴的垂线段为P1M,P1到准线l∶x=12的垂线段为P1Q,于是由图2可得|FM|=r1cos,由e=得|P1Q|=2r1,于是有方程:r1cos+2r1=12-3=9,从而有函数:r1=,即=,同理有=,=.于是有函数方程的统一体:++=[3+cos+cos(+)+cos(+)]=×3=.点评圆锥曲线定义是运用数形结合思想解题的依据,把一些代数问题通过转化,运用圆锥曲线的定义与几何性质解题是简化解题过程的最佳手段,而函数与方程思想是求解解析几何定值问题的基本策略.变式如图3,在平面直角坐标系xOy中,过定点C(0,p)作直线与抛物线x2=2py(p>0)相交于两点.则直线y=被以AC或BC为直径的圆截得的弦长恒为定值p.点拨1 设AC的中点为O′,y=与AC为直径的圆相交于点P、Q,PQ的中点为H,则O′H⊥PQ,O′点的坐标为(,).∵ |O′P|=|AC|==,|O′H|=|-|=y1,∴ |PH|2=|O′P|2-|O′H|2=(y21+p2)-y21=p2,∴ |PQ|2=(2 |PH|)2=4×p2=p2,∴ |PQ|=p为定值.同理直线y=被以BC为直径的圆截得的弦长也恒为定值p.点拨2 以AC为直径的圆的方程为(x-0)(x-x1)-(y-p)(y-y1)=0,将直线方程y=代入得x2-x1x-+y1=0,设直线y=与以AC为直径的圆的交点为P(x2,y2),Q(x3,y3),则x2+x3=x1,x2x3=-+y1,∴ |PQ|=|x2-x3|===p,∴|PQ|=p为定值.同理直线y=被以BC为直径的圆截得的弦长也恒为定值p.类题练习已知抛物线y2=2px(p>0),A、B是抛物线上异于原点O的两个不同点,直线OA和OB的倾斜角分别为和,当,变化且+为定值(0答案如图4,设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意得x1≠x2(否则+=)且x1,x2≠0,所以直线AB的斜率存在,设其方程为y=kx+b,显然x1=,x2=,将y=kx+b与y2=2px(p>0)联立消去x,得ky2-2py+2pb=0,由韦达定理知y1+y2=,y1•y2=…①(1)当=时,即+=时,tan•tan=1,所以•=1,x1x2-y1y2=0,-y1y2=0,所以y1y2=4p2,由①知:=4p2,所以b=2pk.因此直线AB的方程可表示为y=kx+2pk,即k(x+2p)-y=0,所以直线AB恒过定点(-2p,0).(2)当≠时,由+=,得tan=tan(+)==,将①式代入上式整理化简可得:tan=,所以b=+2pk.此时,直线AB的方程可表示为y=kx++2pk,即k(x+2p)-(y-)=0,所以直线AB恒过定点(-2p,).所以由(1)(2)知,当=时,直线AB恒过定点(-2p,0),当≠时直线AB恒过定点(-2p,).二、由“数”构“形”,巧借解析几何求最值有些最值问题,看似与解析几何无关,但若能挖掘所给解析式的几何意义,即由“数”构“形”,那么我们就可以从解析几何的角度出发,抓住问题的本质,从而使原问题快速获解!例2已知x2+y2-6x-8y=0,则+的最小值是.点拨已知条件是圆方程,+能否转化为两段距离之和呢?因为x2+y2-6x-8y=0,所以+=+=+=+上式表示点P(x,y)到两定点A(-3,0),B(3,0)距离之和,而P(x,y)点在以(3,4)为圆心,5为半径的圆周上,故原问题等价于在圆上求一点使之到两定点A、B距离的和最小(如图5).因为圆过原点,所以原点到A、B两点的距离之和最小,最小值为|AB|=6,此时x=0,y=0.)点评利用数形结合的思想求解某些代数式的最值,关键是将代数式“改造”,或改造成两点间的距离公式,或改造成点到直线的距离公式,并挖掘出动点的几何意义,最终转化为解析几何问题,如对称问题,直线与圆(圆弧)的位置关系问题.变式求函数y=|x+2-|的最值.点拨将原函数变形为y=•,理解为动点(x,)到直线x-y+2=0的距离即可,不难看出动点(x,)的轨迹为单位圆在x轴上方的部分.如图6所示,所求函数的最小值,即为原点到直线x-y+2=0的距离与单位圆的半径之差的倍,即ymin=×(-1)=2-;而最大值为点(1,0)到直线x-y+2=0的距离的倍,即ymax=×(-1)=3.类题练习已知a、b∈R+,且a+b=1,求u=的最小值.答案设(a+2)2+(b+2)2=r2(r>0),则点(a,b)是直线x+y=1与圆(x+2)2+(y+2)2=r2在第一象限内的公共点(如图7),从而圆心(-2,-2)到直线的距离满足:d=≤r.∴ r2≥,即(a+2)2+(b+2)2≥,故umin=.责任编校徐国坚。
数形结合思想在高考解题中的应用
数形结合思想在高考解题中的应用作者：曹猛李碧荣乔雪来源：《新课程·教师》2015年第04期摘要：数形结合思想是高中数学重要的思想方法之一，应用这一思想方法解题，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的.通过具体高考题，阐述了数形结合思想方法的具体应用.关键词：数形结合思想；高考解题；应用数学以现实世界的数量关系和空间形式作为其研究的对象，“数”与“形”这两个基本概念，是数学的两块基石，华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休.”数形结合的实质就是根据数学问题的条件与结论之间的内在联系，把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过数与形之间的对应和转化来寻找解题思路，使问题化难为易，化繁为简，从而解决问题.纵观历年来全国各地数学高考试卷，对数形结合思想的考查均有所体现，一方面是通过解析几何或平面向量考查对一些几何问题如何用代数方法来处理；另一方面，一些代数问题则依靠几何图形的构造和分析帮助解决.在数形结合思想方法的使用过程中，由形到数的转化，往往比较明显，由数到形的转化需要转化意识，高考题往往偏重由数到形的转化.在高考解题中，巧妙地运用数形结合思想，不仅直观容易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程，起到了事半功倍的效果.数与形结合的基本思路是：根据数的结构特征，构造出与之相适应的几何图形，并利用图形的特征和规律，解决数的问题，或将图形信息部分或全部转换成代数信息，削弱或清除形的推理部分，使要解决的形的问题转化为数量关系的讨论.数形结合思想方法在高中数学解题中有广泛应用，下面以2014年全国各地高考题为例，对数形结合思想在高考解题中的应用作粗略的探讨.一、应用数形结合思想解决“简单的线性规划”问题求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题称为线性规划问题.简单的线性规划一直是高考中的热点，通常以选择填空的形式出现在高考中，解决这类题目要利用不等式和直线方程的有关知识展开，重点是运用数形结合思想，将目标函数转化为几何意义，从而得出最优解.例1.（2014新课标卷Ⅱ）设x，y满足约束条件x+y-7≤0，x-3y+1≤0，3x-y-5≥0，则z=2x-y 的最大值为（）A.10B.8C.3D.2解析：已知不等式组表示的平面区域如下图中的阴影部分所示，根据目标函数的几何意义可知，目标函数在点A（5，2）处取得最大值，故目标函数的最大值为2×5-2=8，故此题选B.说明：这类题首先根据所给条件，画出可行域，然后将线性目标函数与图形结合，得出最优解.二、应用数形结合思想解决“解多面体”问题立体几何中有关线面关系的证明，线面夹角、面面夹角的求解等，这些问题经常以大题的形式出现在高考试卷中.对于一些复杂的几何证明，我们不妨用数形结合思想把几何问题转化为代数问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化.例2.（2014天津卷）如下图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点.（1）证明：BE⊥DC；（2）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（3）若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F-AB-P的余弦值.分析：第一小题较为简单，可直接给出证明，而后面两小题难度较大，运用一般方法不易理顺思路.此类问题若结合空间直角坐标系，解题思路就会变得有章可循.解析：依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系（如下图），可得B（1，0，0），C （2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2）.由E为棱PC的中点，得E（1，1，1）.三、应用数形结合思想解决“根的个数”问题在解决一些含有字母的方程f（x）=g（x）时，特别是一些含参数的方程问题，若直接对方程化简讨论，很容易忽略一些特殊的情况.此时运用数形结合思想把求方程解的问题看作求两个图像的交点的问题，画出图像则可以很直观的给出作答.例3.（2014天津卷）已知函数f（x）=x2+3x，x∈R.若方程 f（x）-ax-3=0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为____.解析：显然a>0，当y=-a（x-1）与y=-x2-3x相切时，a=1，此时 f（x）-ax-1=0恰有3个互异的实数根.当直线y=a（x-1）与函数y=x2+3x相切时，a=9，此时f（x）-ax-1=0恰有2个互异的实数根.结合图象可知，09.4.应用数形结合思想解决最值问题分析：该题考查对三角函数的变形与计算，将三角函数变形后得到熟悉的函数，结合图像及单调性得到相应结果.该题把数形结合与函数的极值及单调性综合到一起，全面分析得到正确答案，考察学生的综合能力.总之，数形结合思想方法是数学基础知识的重要组成部分，是数学解题中要求掌握的重点思想方法之一.高考题目千变万化，对于有些问题，若能抓住本质，利用数形结合思想方法，则可直观、快速地求解.想要加深对数形结合思想的理解，只有在解题过程中，大胆尝试，不断思考，勤于总结，才能逐步增强对数形结合思想的感悟，从而提高解题能力.参考文献：[1]任天勇.数形结合在中学数学中的应用[J].内将科技，2012（11）：204-209.[2]刘新楠.数形结合思想在中学数学教学中的应用[D].辽宁：辽宁师范大学，2011.[3]林清龙.数学美，在欣赏中荡漾：赏析“数形结合思想”在高考中的运用[J].教育论坛，2012（298）：208.[4]符晓全.例谈以形助数[J].考试周刊：数学教学与研究，2012（17）：62.基金项目：本文系广西高校科研项目（项目编号：LX2014224）及“基于大系统结构的硕本互促发展机制研究”项目的阶段性研究成果.作者简介：曹猛，男，在读硕士，广西师范学院，学科教学。
高考数学专题复习(数形结合、分类讨论思想)
1 3 1 时， 要使 P 点落在指定区域内， 即 P 点应落在 DE 上， CD= OB， CE= OB， 2 2 2
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∴ y 的取值范围是(
1 3 ， )。 2 2
点评： 平面向量经常和平面图形结合到一块， 利用平面图形的几何意义以及具有几何性 质的平面向量基本定理处理实际问题。 y 满足条件 x y 1 （2） (福建省仙游一中 2008 届高三第二次高考模拟测试)当 x 、
1 谁大谁小的问题，因而又需作一次分类讨论。故而解 a
四．示范性题组
题型 1：利用数轴、韦恩图，图像解决集合与函数问题 例 1．（1）已知集合 A={x||x|≤2，x∈R}，B={x|x≥a}，且 A B，则实数 a 的取值范围 是_____. （2）如图所示，I 是全集，M、P、S 是 I 的 3 个子集，则阴影部分所表 示的集合是（ ） B.（M∩P）∪S
（如图中 AB 位置）。因此 log a (uv ) 的最大值是 2 2 2 ，最小值是 1 3 。
点评：数形结合的思想方法，是研究数学问题的一个基本方法。深刻理解这一观点，有 利于提高我们发现问题、分析问题和解决问题的能力。 题型 3：代数式的几何意义应用 例 3．（1）（06 湖南卷）如图，OM∥AB，点 P 在由 P 射线 OM、线段 OB 及 AB 的延长线围成的阴影区域内(不含 B M 边 界 ) 运 动 , 且 OP xOA yOB , 则 x 的 取 值 范 围 是 是 ；当 x
1 时, y 的取值范围 2
O A
。 解析：如图， OM // AB , 点 P 在由射线 OM ，线段
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数形结合在高考解题中的应用摘 要： 数学中两大研究对象“形”与“数”的矛盾统一是数学发展的内在因素。
数形结合是推动数学发展的动力。
数形结合不应仅仅作为一种解题的方法，而应作为一种基本的，重要的数学思想来学习，研究和掌握运用。
数形结合能力的提高，有利于从数与形的结合上深刻认识数学问题的实质，有利于扎实打好数学的基础，有利于数学素质的提高，同时必然促进数学能力的发展。
数形结合是中学数学中重要的思想方法，每年高考中都有一定量的考题采用此法解决，可起到事半功倍的效果。
在高考试题中，选择题、填空题由于不要求写出解答过程，命题时常对掌握及应用数形结合的思想方法解决问题的能力提出较高的要求，要求考生应用数形结合思想，通过数与形的转化，找到简捷的思路，快速而准确地做出判断，从而得出结果；对于要求完整写出解题过程的解答题，由于包含的知识量大、涉及的概念多，数形结合的思想主要用于思路分析、化简运算及推理的过程，以求快速准确地分析问题、解决问题。
其基本模型有：1 距离函数 2、y ax b-- 斜率函数 3、Ax ＋By 截距函数 4、22(cos ,sin )x y 1(cos ,sin )F θθθθ+单位圆＝上的点 5、22a ab b ±+余弦定理6、ax bcx d++ 双曲线a ．数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解，且解法简捷。
所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。
数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。
b ．实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。
如等式()()x y -+-=21422c ．数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。
这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。
关键词： 数形结合；斜率；单位圆；向量；函数；方程；几何模型；导数；复数一：数形结合思想在解决集合问题中的应用．1、利用韦恩图法解决集合之间的关系问题．一般用圆来表示集合，两圆相交则表示两集合有公共元素，两圆相离则表示两个集合没有公共元素．利用韦恩图法能直观地解答有关集合之间的关系的问题．如：例1、有48名学生，每人至少参加一个活动小组，参加数理化小组的人数分别为28，25，15，同时参加数理小组的8人，同时参加数化小组的6人，同时参加理化小组的7人，问同时参加数理化小组的有多少人？分析：我们可用圆A 、B 、C 分别表示 参加数理化小组的人数（如右图），则三圆的公共部分正好表示同时参加数理化小组 的人数．用n 表示集合的元素，则有：48)()()()()()()(=+---++C B A n C B n C A n B A n C n B n A n 即：48)(768152528=+---++C B A n∴1)(=C B A n ，即同时参加数理化小组的有1人．例2、设{}的自然数小于10=I ，已知{}{}{}.8,6,4,9,1,2===B A B A B A 求.,B A分析：如图，用长方形表示全集I ，用圆分别表示集合A 和B ，用n 表示集合的元素，则有：I B A n B A n B n A n =-++)()()()( 从韦恩图我们可以直观地看出：{}{}8,6,4,2,7,5,3,2==B A ． 2、利用数轴解决集合的有关运算和集合的关系问题． 例3、设{}{}.,034|,016|22R I x x x B x x A =≥+-=<-= 求.,,,B A B A B A B A 分析:分别先确定集合A ，B 的元素，{}{}13|,44|≤≥=<<-=x x x B x x A 或，然后把它们分别在数轴上表示出来，从数轴上的重合和覆盖情况可直接写出答案： {}4314|<≤≤<-=x x x B A 或 (公共部分) I B A = (整个数轴都被覆盖)C （化）A （数）B （理）IA ∩B3,5,72A B 1,94,6,8{}4314|≥<<-≤=x x x x B A 或或 (除去重合部分剩下的区域) φ=B A (除去覆盖部分剩下的区域) 例4、已知集合{}{})0(,3|,31|≠<<=<<-=a a x a x B x x A ⑴若B A ⊆，求a 的范围.⑵若A B ⊆，求a 的范围． 分析：先在数轴上表示出集合A 的范围， 要使B A ⊆，由包含于的关系可知集合B 应该覆盖集合A ，从而有:⎩⎨⎧≥-≤331a a ,这时a 的值不可能存在．要使A B ⊆，这时集合应该覆盖集合B,应有⎩⎨⎧≤-≥331a a 成立．可解得11≤≤-a 为所求a 的范围．二：方程、函数中数形结合问题作为解题方法，“数形结合”实际上包含两方面的含义：一方面对“形”的问题,引入坐标系或寻找其数量关系式,用“数”的分析加以解决；另一方面对于数量间的关系问题,分析其几何意义,借助形的直观来解。
（1） “数”中思“形”例1.如果实数,x y 满足等式22(2)3x y -+=，那么yx的最大值是什么？ 例1、 解：设点(,)A x y 在圆22(2)3x y -+=上，圆心为(2,0)C ,3。
如图，则yx是点A 与原点连线的斜率。
当OA 与⊙C 相切，且切点A 落在第一象限时，OA k 有最大值，即yx有最大值。
因为 CA =3，OC =2，所以 OA =2223-=1，所以max ()y x= tan AOC ∠ 3 例2. 求函数124)(22++++=x x x x f 的最小值。
分析：2222)00()1()20()0()(-+++-+-=x x x f)(x f ∴ 的值是动点)0,(x P 到两个定点A(0,2)与B(-1,0)的距离之和。
由图知（图略），当且仅当P 与B 重合（即x=-1）时，5)1()(min =-=f x f推广：若把动点P 的活动范围从x 轴上放宽到整个坐标平面，就可解下面的 思考题：求函数1244),(2222+++++-+=x y x y y x y x f 的最小值。
请读者不妨一试。
a ３a。
－１3 ①。
a3a ②例3.解方程2261061010x x x x +++-+=（2）“形”中觅“数”例1.求方程lg sin 0x x -=的解的个数。
分析：此方程解的个数为lg y x =的图象与sin y x =的图象的交点个数。
因为sin 1x ≤, lg 1x ≤所以10o x <≤在平面直角坐标系中作出两个函数的图象，如图，形中觅数，可直观地看出两曲线有3个交点。
例2.设复数z 满足arg()z i +=23π ,求1|6||3|z z i ++-的最大值。
解：要求1|6||3|z z i ++-的最大值，即求|6||3|z z i ++-的最小值，由复数模的几何意义知即求复数z 对应的点到点(6,0)A -和点(0,3)B 的距离和的最小值。
如图 ∵z 满足arg()z i +=23π ∴复数z 对应的复平面上的点z 的轨迹是以(0,1)-为端点，倾斜角为23π的射线。
由图可知，||ZA ZB +最小值为||AB =2263+=35,故1|6||3|z z i ++-的最大值是35=5。
例3、对每个实数42214)(+-++x x x x f x ，，取，设中的最小值，那么)(x f 的最大值是（ ）。
25323138、、、、D C B A分析：如图，函数)(x f y =的图像是图中的线，联立⎩⎨⎧+=+-=242x y x y ，实解得：⎪⎩⎪⎨⎧==3832y x ，故本题应选A 。
在数形转化结合的过程中，必须遵循下述原则：转化等价原则；数形互补原则；求解简单原则。
当然在教学渗透数形结合的思想时，应指导学生掌握以下几点： 1. 善于观察图形，以揭示图形中蕴含的数量关系。
2. 正确绘制图形，以反映图形中相应的数量关系。
3. 切实把握“数”与“形”的对应关系，以图识性，以性识图。
三：利用数形结合法解不等式问题说明近年的高考强调不等式基础知识考查的同时也很注重数学能力的考查和数学思想方法的应用，其中数形结合思想方法的应用不可忽视。
下面列举六例说明。
1. 数形对照，相互渗透例1. 使不等式||||x x a -+-<43有解的实数a 的取值范围（ ） A. a >7 B. a ≥7 C. a ≥1D. a >1分析：||||x x -+-43表示数轴上x 所对应的点到与4、3所对应的两点距离之和。
由图1可得其和最小值为1，故选D 。
图1例2. 已知x y x y y ，满足2220+-=，欲使不等式x y c ++≥0恒成立，求实数c 的取值范围。
分析：欲使x y c ++≥0恒成立， 即 -≤+c x y 恒成立， 故 -≤+c x y ()min 。
于是问题转化为求x y y x y 22202+-=+上一点，使有最小值问题。
由图可 知，当直线l x y x y y x y 122020平行于且与圆相切于下方时，取最小值+=+-=+12-图2故 -≤-≥-c c 1221，从而。
2. 由数想形，直观显现例3. 解不等式42x x x -<。
分析：设f x x x ()=-42，g x x x ()()=>0， 由y x x =-42得：()()x y y -+=≥24022因为y x x =-4202表示以，为圆心，()2为半径，在x 轴上方的半圆，y x x =>()0表示过原点斜率为1在第一象限的直线，如图3，由题意转化要求半圆（圆弧）应在直线的下方，可得24<≤x ，图3故原不等式的解集是（2，4]例4. 求使不等式log ()21-<+x x 成立的x 的取值范围。
（03年全国高考题14）解：设f x x ()log ()=-2， g x x ()=+1因为 函数f x x ()log ()=-2的图象与函数y x =log 2图象关于y 轴对称，g x x ()=+1的图象是一条过点（0，1）的直线 由图4可得 -<<10x图4例5. 已知a b R ，∈+且x ax b 220++=，x bx a 220++=都有实根，求a b +的取值范围。