数形结合在高考解题中的应用

数形结合在高考解题中的应用

摘 要： 数学中两大研究对象“形”与“数”的矛盾统一是数学发展的内在因素。数形结合是推动数学发展的动力。数形结合不应仅仅作为一种解题的方法，而应作为一种基本的，重要的数学思想来学习，研究和掌握运用。数形结合能力的提高，有利于从数与形的结合上深刻认识数学问题的实质，有利于扎实打好数学的基础，有利于数学素质的提高，同时必然促进数学能力的发展。

数形结合是中学数学中重要的思想方法，每年高考中都有一定量的考题采用此法解决，可起到事半功倍的效果。

在高考试题中，选择题、填空题由于不要求写出解答过程，命题时常对掌握及应用数形结合的思想方法解决问题的能力提出较高的要求，要求考生应用数形结合思想，通过数与形的转化，找到简捷的思路，快速而准确地做出判断，从而得出结果；对于要求完整写出解题过程的解答题，由于包含的知识量大、涉及的概念多，数形结合的思想主要用于思路分析、化简运算及推理的过程，以求快速准确地分析问题、解决问题。 其基本模型有：

1 距离函数 2、

y a

x b

-- 斜率函数 3、Ax ＋By 截距函数 4、22(cos ,sin )x y 1(cos ,sin )F θθθθ+单位圆＝上的点 5、2

2

a a

b b ±+余弦定理

6、

ax b

cx d

++ 双曲线

a ．数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解，

且解法简捷。所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。

b ．实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的

对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。

如等式()()x y -+-=21422

c ．数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，

最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。 关键词： 数形结合；斜率；单位圆；向量；函数；方程；几何模型；导数；复数

一：数形结合思想在解决集合问题中的应用．

1、利用韦恩图法解决集合之间的关系问题．一般用圆来表示集合，两圆相交则表示两集合有公共元素，两圆相离则表示两个集合没有公共元素．利用韦恩图法能直观地解答有关集合之间的关系的问题．如：

例1、有48名学生，每人至少参加一个活动小组，参加数理化小组的人数分别为28，25，15，同时参加数理小组的8人，同时参加数化小组的6人，同时参加理化小组的7人，问同时参加数理化小组的有多少人？

分析：我们可用圆A 、B 、C 分别表示 参加数理化小组的人数（如右图），则三圆

的公共部分正好表示同时参加数理化小组 的人数．用n 表示集合的元素，则有：

48)()()()()()()(=+---++C B A n C B n C A n B A n C n B n A n 即：48)(768152528=

+---++C B A n

∴1)(=C B A n ，即同时参加数理化小组的有1人．

例2、设{

}的自然数小于10=I ，已知{}{}{}.8,6,4,9,1,2===B A B A B A 求.,B A

分析：如图，用长方形表示全集I ，

用圆分别表示集合A 和B ，用n 表示集合

的元素，则有：I B A n B A n B n A n =-++)()()()( 从韦恩图我们可以直观地看出：{}{}8,6,4,2,7,5,3,2==B A ． 2、利用数轴解决集合的有关运算和集合的关系问题． 例3、设{}{}.,034|,016|22R I x x x B x x A =≥+-=<-= 求.,,,B A B A B A B A 分析:分别先确定集合A ，B 的元素，

{}{}13|,44|≤≥=<<-=x x x B x x A 或，然后把它们分别在数轴上表示出来，从

数轴上的重合和覆盖情况可直接写出答案： {}4314|<≤≤<-=x x x B A 或 (公共部分) I B A = (整个数轴都被覆盖)

C （化）

A （数）

B （理）

I

A ∩B

3,5,7

2

A B 1,9

4,6,8

{}4314|≥<<-≤=x x x x B A 或或 (除去重合部分剩下的区域) φ=B A (除去覆盖部分剩下的区域) 例4、已知集合{}{})0(,3|,31|≠<<=<<-=a a x a x B x x A ⑴若B A ⊆，求a 的范围.⑵若A B ⊆，求a 的范围． 分析：先在数轴上表示出集合A 的范围， 要使B A ⊆，由包含于的关系可知集合B 应该

覆盖集合A ，从而有:⎩⎨⎧≥-≤331

a a ,这时a 的值不可能存在．要使A B ⊆，这时集合应

该覆盖集合B,应有⎩⎨⎧≤-≥331

a a 成立．

可解得11≤≤-a 为所求a 的范围．

二：方程、函数中数形结合问题

作为解题方法，“数形结合”实际上包含两方面的含义：一方面对“形”的问题,引入

坐标系或寻找其数量关系式,用“数”的分析加以解决；另一方面对于数量间的关系问题,分析其几何意义,借助形的直观来解。

（1） “数”中思“形”

例1.如果实数,x y 满足等式2

2

(2)3x y -+=，那么

y

x

的最大值是什么？ 例1、 解：设点(,)A x y 在圆22

(2)3x y -+=上，圆心为(2,0)C ,3。如

图，则y

x

是点A 与原点连线的斜率。当OA 与⊙C 相切，

且切点A 落在第一象限时，OA k 有最大值，即y

x

有最大值。

因为 CA =3，OC =2，所以 OA =2

2

23-=1，

所以max ()y x

= tan AOC ∠ 3 例2. 求函数124)(22++++=

x x x x f 的最小值。

分析：2

222)00()1()20()0()(-+++-+-=x x x f

)(x f ∴ 的值是动点)0,(x P 到两个定点A(0,2)与B(-1,0)的距离之和。由图知（图

略），当且仅当P 与B 重合（即x=-1）时，

5)1()(min =-=f x f

推广：若把动点P 的活动范围从x 轴上放宽到整个坐标平面，就可解下面的 思考题：求函数1244),(2222+++++-+=x y x y y x y x f 的最小值。

请读者不妨一试。

。

a ３a

。

－１

3 ①

。

。 a

3a ②