方差分析(anova)概述

SS组内 ，
且
ν总 =ν组间 +ν组内
组内变异 SS 组内： 随机误差 组间变异 SS 组间：处理因素 + 随机误差
One-Factor ANOVA Partitions of Total Variation
Total Variation SST
Variation Due to Treatment SSB Commonly referred to as: Sum of Squares Among, or Sum of Squares Between, or Sum of Squares Model, or Among Groups Variation Variation Due to Random Sampling SSW Commonly referred to as: Sum of Squares Within, or Sum of Squares Error, or Within Groups Variation
表 8-1
不 同 解 毒 药 对 应 的 大 白 鼠 血 中 胆 硷 脂 酶 含 量 (μ
/ml)
2 Y ij j
组 号 i 1 2 3 4 合 计
23 28 14 8 73
胆 硷 脂 酶 含 量 (Yij) 12 31 24 12 79 18 23 17 21 79 16 24 19 19 78 28 28 16 14 86 14 34 22 15 85
S4 4.71
合计 6.65
例 8-1 一 个 因 素 （ factor） ：解毒药 四 个 水 平 （ level） （ a=4 个 处 理 组 ） ： A、 Ｂ 、 Ｃ 、 空 白 对 照 D， i=1,2,3,4 分 别 代 表 A、 B、 C、 D 每 水 平 有 ni=６ 只 大 白 鼠 ， 分 别 表 示 为 j=1,2,…,6 应 变 量 用 Yij 表 示 ， 即 第 i 组 第 j 号 大 白 鼠 的 血 中 胆 硷 脂 酶 含 量 (μ /ml) 按 完 全 随 机 化 设 计 方 法 将 Ｎ ＝ 24 只 动 物 随 机 等 分成４个组 （ 将 动 物 编 成 1~24 号 ， 用 计 算 器 （ 机 ） 对 每 一个动物产生一个随机数，然后按随机数从小到 大的顺序排序，前面 6 个动物分为第一组，紧接着的 6 个 动 物 分 成 第 二 组 ， …）
SS组间 ni (Yi Y )
2 i 1 i 1
a
a
( Yij )
j 1
ni
2
组间 a 1
ni
C
SS组间反映了各组均数 Yi 的变异程度
组间变异＝①随机误差+②处理因素效应
3 ．组内变异： 在同一处理组内，虽然每
个受试对象接受的处理相同，但测量值仍各不相同，
一、离均差平方和的分解
组间变异 组内变异
总变异
对于例8-1（完全随机设计） 资料，共有三种不同的变异
1. 总变异（Total variation）：全部测量值Yij与 总均数 Y 20.0 间的差异 2. 组间变异（ between group variation ）：各 组的均数 Yi 与总均数 Y 间的差异
a 2 a i 1 j 1 i 1 j 1 2 ij ni ni
Y C＝(N 1) S
i, j 2 ij
N
2
总 N 1
2
校正系数： C
( Yij )
i 1 j 1
a ni
N

( Yij )
i, j
N
2
N
2 ．组间变异： 各组均数与总均数的
离均差平方和，计算公式为
ANOVA 由英国统 计学家R.A.Fisher首 创，为纪念Fisher， 以F命名，故方差分析 又称 F 检验 （F test）。用于推断多 个总体均数有无差异
第十章 单向方差分析
One-way analysis of variance 第一节 方差分析的基本思想
将所有测量值间的总变异按照其变异的 来源分解为多个部份，然后进行比较，评价 由某种因素所引起的变异是否具有统计学意 义。
ni
6 6 6 6 24

Y j ij
111 168 11 2 89 480
Yi
18.5 28.0 18.7 14.8 20.0

2233.0 4790.0 2162.0 1431.0 10616.0
四 种 解 毒 药 的 解 毒 效 果 是 否 相 同 ？
Si 值
S1 5.99
S2 4.15
S3 3.78
=
+
均方差，均方(mean square，MS)
变异程度除与离均差平方和的大小有关外， 还与其自由度有关，由于各部分自由度不相等， 因此各部分离均差平方和不能直接比较，须将 各部分离均差平方和除以相应自由度，其比值 称为均方差，简称均方 (mean square ， MS ) 。组 间均方和组内均方的计算公式为 :
方差分析
Analysis of Variance （ANOVA )
因素也称为处理因素（factor）（名义分类变量），每 一处理因素至少有两个水平(level)（也称“处理组”）。
——单向方差分析 （第十章） 两个因素（水平间独立或相关）——双向方差分析 （第十一章） 一个个体多个测量值——重复测量资料的方差分析 ANOVA与回归分析相结合——协方差分析 一个因素（水平间独立） 目的：用这类资料的样本信息来推断各处理组间多个总 体均数的差别有无统计学意义。
这种变异称为组内变异，也称SS误差。 用各组内各测量值 Yij 与其所在组的均数差值的 平方和来表示，反映随机误差的影响。计算公式为
SS组内 (Yij Yi )
i 1 j 1
a
ni
2
( ni 1) S
i 1
a
2 i
组内 N a
三种“变异”之间的关系
离均差平方和分解：
3. 组内变异（within group variation )：每组的 每个测量值Yij与该组均数 Y 的差异
i
下面用离均差平方和(sum of squares of deviations from mean，SS)反映变异的大小
1. 总变异: 所有测量值之间总
的变异程度，计算公式
SS总 Yij Y Y C