大学物理习题精选-答案——第2章 质点动力学
大学物理_第2章_质点动力学_习题答案
第二章 质点动力学2-1一物体从一倾角为30的斜面底部以初速v 0=10m·s 1向斜面上方冲去,到最高点后又沿斜面滑下,当滑到底部时速率v =7m·s 1,求该物体与斜面间的摩擦系数。
解:物体与斜面间的摩擦力f =uN =umgcos30物体向斜面上方冲去又回到斜面底部的过程由动能定理得220112(1)22mv mv f s -=-⋅物体向斜面上方冲到最高点的过程由动能定理得2010sin 302mv f s mgh f s mgs -=-⋅-=-⋅-20(2)(31)s g u ∴=-把式(2)代入式(1)得,()222200.1983u v v=+2-2如本题图,一质量为m 的小球最初位于光滑圆形凹槽的A 点,然后沿圆弧ADCB 下滑,试求小球在C 点时的角速度和对圆弧表面的作用力,圆弧半径为r 。
解:小球在运动的过程中受到重力G 和轨道对它的支持力T .取如图所示的自然坐标系,由牛顿定律得22sin (1)cos (2)t n dv F mg mdt v F T mg mR αα=-==-=由,,1ds rd rd v dt dt dt vαα===得代入式(), A 并根据小球从点运动到点C 始末条件进行积分有,902n (sin )2cos 2cos /m cos 3cos '3cos ,e v vdv rg d v gr vg rrv mg mg rmg ααααωαααα=-===+==-=-⎰⎰得则小球在点C 的角速度为=由式(2)得 T 由此可得小球对园轨道得作用力为T T 方向与反向2-3如本题图,一倾角为 的斜面置于光滑桌面上,斜面上放一质量为m 的木块,两者间摩擦系数为,为使木块相对斜面静止,求斜面的加速度a 应满足的条件。
解:如图所示()1212min max sin ,cos cos sin (1)sin cos 2(1)(2)(sin cos )(cos sin )(sin cos )()(cos sin )1(2)(1)(sin cos )(cos sin )(sin cos a a a a N mg ma ma mg uN m a ma u g u a u g u g tg u a u utg u g u a u g u a θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ==∴-==±==⨯+-=+--∴==++-⨯+=-+∴=得,得,)()(cos sin )1()()11g tg u u utg g tg u g tg u a utg utg θθθθθθθθθ+=---+∴≤≤+-2-4如本题图,A 、B 两物体质量均为m ,用质量不计的滑轮和细绳连接,并不计摩擦,则A 和B 的加速度大小各为多少 。
第二章 质点动力学习题解答
第二章质点动力学习题解答第二章质点动力学习题解答第2章质点动力学2-1.如附图右图,质量均为m的两木块a、b分别紧固在弹簧的两端,直角的放到水平的积极支持面c上。
若忽然撤除积极支持面c,反问在撤除积极支持面瞬间,木块a和b的加速度为多小?求解:在撤除积极支持面之前,a受到重力和弹簧压力均衡,f弹?mg,b受支持面压力向上为2mg,与重力和弹簧压力平衡,撤去支持面后,弹簧压力不变,则a:平衡,aa2-2推论以下观点与否恰当?表明理由。
(1)质点做圆周运动时收到的作用力中,指向圆心的力便是向心力,不指向圆心的力不是向心力。
(2)质点做圆周运动时,所受的合外力一定指向圆心。
求解:(1)不恰当。
不指向圆心的力的分量可以为向心力。
(2)不正确。
合外力为切向和法向的合成,而圆心力只是法向分量。
2-3如附图右图,一根绳子装设着的物体在水平面内搞匀速圆周运动(称作圆锥挂),有人在重力的方向力促合力,写下tcos??0;b:不均衡,f合?2mg?ab?2g。
g0。
另有沿绳子拉力t的方向求合力,写出t?gcos??0。
显然两者无法同时设立,表示哪一个式子就是错误的,为什么?解:tcos??g?0正确,因物体在竖直方向上受力平衡,物体速度直角分量为0,只在水平面内运动。
t?gcos??0不正确,因沿t方向,物体运动有分量,必须考量其中的一部分提供更多向心力。
应属:t?gcos??m?2r?sin?。
2-4未知一质量为m的质点在x轴上运动,质点只受指向原点的引力的促进作用,引力大小与质点距原点的距离x的平方成反比,即为f??kx2,k为比例常数。
设质点在x?a时的速度为零,求x?a处的速41度的大小。
解:由牛顿第二定律:f?ma,f?m?dvdt。
寻求v与x的关系,换元:kdvdxdv?m??m?v,2xdxdtdx拆分变量:kdx?。
mx2vkxdx12k11?0vdv??m?ax2,2v?m(x?a)vdv6ka时,v?ma4。
大学物理习题答案02质点动力学
大学物理练习题二一、选择题1. 质量为m的小球在向心力作用下,在水平面内作半径为R、速率为v的匀速圆周运动,如下左图所示。
小球自A点逆时针运动到B点的半周内,动量的增量应为:(A )mv 2j (B )jmv2 (C )i mv 2 (D )i mv 2 [ B ]解: j mv j mv v m v m p A B)(j mv 2 ; 另解:取y 轴为运动正向,mv mv mv p 2)( , pj mv 22. 如图所示,圆锥摆的摆球质量为m,速率为v,圆半径为R,当摆球在轨道上运动半周时,摆球所受重力冲量的大小为(A ).2mv (B )22/2v R mg mv(C )v Rmg / (D )0。
[ C ]解: v /R 2T ,2/T t ,t mgd I T 20v /R mg(注)不能用0v m v m p I,因为它是合力的冲量。
3. 一质点在力)25(5t m F (SI )(式中m 为质点的质量,t 为时间)的作用下,0 t 时从静止开始作直线运动,则当s t 5 时,质点的速率为(A )s m /50 (B )s m /25 (C )0 (D )s m /50 [ C ]mvR解:F 为合力,00 v ,0525)25(5525t tt mt mt dt t m Fdt由mv mv mv Fdt tt 00可得0 v解2:由知)25(5t m F 知)25(5t a ,550)25(5dt t adt v v0)5(5520 t t v v , (00 v )4. 质量分别为m和4m的两个质点分别以动能E和4E沿一直线相向运动,它们的总动量大小为(A ),22mE (B )mE 23, (C )mE 25, (D ) mE 2122 。
[ B ]解:由M p Mv E k 22122,有k ME p 2 ,mE 2p 1 ,12p 4)E 4)(m 4(2p ,1123)(p p p p 总m E 235. 一个质点同时在几个力作用下的位移为:k j i r654 (SI ) 其中一个力为恒力k j i F953 (SI ),则此力在该位移过程中所作的功为 (A) 67J (B) 91J (C) 17J (D) –67J [ A ]解:恒力作功,z F y F x F r F A z y x69)5()5(4)3()(67J6. 对功的概念有以下几种说法:(1)保守力作正功时,系统内相应的势能增加。
大学物理第二章质点动力学习题答案
习题二2-1质量为m 的子弹以速率0v 水平射入沙土中,设子弹所受阻力与速度反向,大小与速度成正比,比例系数为k ,忽略子弹的重力,求:(1)子弹射入沙土后,速度大小随时间的变化关系;(2)子弹射入沙土的最大深度。
[解]设任意时刻子弹的速度为v ,子弹进入沙土的最大深度为s ,由题意知,子弹所受的阻力f =-kv (1)由牛顿第二定律tv mma f d d == 即tv mkv d d ==- 所以t mk v v d d -=对等式两边积分⎰⎰-=tvv t m k v v 0d d 0得t mkv v -=0ln因此t mke v v -=0(2)由牛顿第二定律xv mv t x x v m t v m ma f d d d d d d d d ==== 即xvmv kv d d =- 所以v x mkd d =-对上式两边积分⎰⎰=-000d d v sv x mk 得到0v s m k-=-即kmv s 0=2-2质量为m 的小球,在水中受到的浮力为F ,当它从静止开始沉降时,受到水的粘滞阻力为f =kv (k 为常数)。
若从沉降开始计时,试证明小球在水中竖直沉降的速率v 与时间的关系为[证明]任意时刻t 小球的受力如图所示,取向下为y 轴的正方向,开始沉降处为坐标原点。
由牛顿第二定律得即tvm ma kv F mg d d ==--整理得mtkv F mg v d d =--对上式两边积分⎰⎰=--t vmt kv F mg v00d dy得mktF mg kv F mg -=---ln即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-m kte kFmg v 1 2-3跳伞运动员与装备的质量共为m ,从伞塔上跳出后立即张伞,受空气的阻力与速率的平方成正比,即2kv F =。
求跳伞员的运动速率v 随时间t 变化的规律和极限速率T v 。
[解]设运动员在任一时刻的速率为v ,极限速率为T v ,当运动员受的空气阻力等于运动员及装备的重力时,速率达到极限。
大学物理课后习题答案第02章
第2章 质点和质点系动力学一斜面的倾角为α, 质量为m 的物体正好沿斜面匀速下滑. 当斜面的倾角增大为β时, 求物体从高为h 处由静止下滑到底部所需的时间.解:设斜面摩擦系数为μ。
当倾角为α时,1sin 0f mg α-=1cos 0N mg α-= 11f N μ= 求得:tg μα=当斜面倾角为β角时,设物块的下滑加速度为a2cos 0N mg β-= 2sin mg f ma β-= 222f N N tg μα==求得:sin cos a g g tg ββα=- 物体从斜面下滑所需要的时间为:21sin 2h at β=t ==用力f 推地面上的一个质量为m 的木箱,力的方向沿前下方, 且与水平面成α角. 木箱与地面之间的静摩擦系数为0μ, 动摩擦系数为k μ. 求:⑴要推动木箱, f 最小为多少使木箱作匀速运动, f 为多少⑵证明当α大于某值时, 无论f 为何值都不能推动木箱, 并求α值.解:⑴当f 的水平分力克服最大静摩擦力时,木箱可以运动,即 ()0cos sin f mg f αμα≥+ 00cos sin mgf μαμα≥-0min 0cos sin mgf μαμα=-使木箱做匀速运动,则()cos sin k f mg f αμα=+ cos sin k k mgf μαμα=-⑵由能推动木箱的条件: ()0cos sin f mg f αμα≥+ 00cos sin f f mg αμαμ-≥若0cos sin 0f f αμα-<时,上式不可能成立,即不可能推动木箱的条件为: 01tg αμ>, 01arctgαμ>质量为5000kg 的直升飞机吊起1500kg 的物体, 以0.6m/s 2的加速度上升, 求:(1)空气作用在螺旋桨上的升力为多少. (2)吊绳中的张力为多少.解:(1)对飞机物体整体进行受力分析,得()()f M m g M m a -+=+()()4650010.2 6.8910f M m g a N =++=⨯=⨯(2)对物体m 进行受力分析,得 T mg ma -=()4150010.6 1.5910T m g a N =+=⨯=⨯质量为m 汽车以速率0v 高速行驶, 受到2kv f -=的阻力作用, k 为常数. 当汽车关闭发动机后, 求:(1)速率v 随时间的变化关系. (2)路程x 随时间的变化关系. (3)证明速率v 与路程x 之间的函数关系为x mke v v -=0.(4)若020/v m s =, 经过15s 后, 速率降为10/t v m s =, 则k 为多少解:由题意, 2dvmkv dt =- 两边积分 020v tv dv k dt v m =-⎰⎰011kt v v m ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭即 00001v mv v k m kv t v t m ==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭(2)由上式两边积分 0000xtmv dx dt m kv t =+⎰⎰即 0ln m kv t m x k m +⎛⎫=⎪⎝⎭(3)由(1)中得 00mv kv t m v =-,代入(2)中的结果,得 00ln ln mv m m v m m v x k m k v ⎛⎫+- ⎪⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭ 即 0k x mv v e-=(4)020/v m s =,15t s =,10/t v m s =代入00mv v m kv t=+,求得300m k =质量为m 的质点以初速度0v 竖直上抛, 设质点在运动中受到的空气阻力与质点的速率成正比, 比例系数为0>k .试求:(1)质点运动的速度随时间的变化规律. (2)质点上升的最大高度.解:(1) dvm mg kv dt=--mdvdt mg kv=-+1()kd kv mg dt mg kv m+=-+两边积分 001()vtv k d kv mg dt mg kv m +=-+⎰⎰0lnkv mg kt kv mg m+=-+即 k mg e k mg v v t m k-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-0 (2)由(1)中方程得 dv dv dy dv mg kv mm mv dt dy dt dy--=== ()mg kv mg mvdv m dy dv mg kv k mg kv+--==-++两边积分 00(1)yv v m mgdy dv k mg kv=--+⎰⎰()2020ln m m g mg kvy v v k k mg kv +=-++当0v =时,有 20max02ln mg kv m m g y v k k mg ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭自动枪以每分钟发射120发子弹的速率连续发射. 每发子弹的质量为7.9g , 出口速率为735/m s . 求射击时枪托对肩部的平均压力.解:设肩部所受的平均作用力为F ,由动量定理得 Ft mv =∑即 31207.91073511.660mv F N t-⨯⨯⨯==≈∑质点在x 轴上受x 方向的变力F 的作用.F 随时间的变化关系为:在刚开始的0.1s 内均匀由0增至20N ,又在随后的0.2s 内保持不变,再经过0.1s 从20N 均匀地减少到0. 求:(1)力随时间变化的t F -图. (2)这段时间内力的冲量和力的平均值. (3)如果质点的质量为3kg , 初始速度为1/m s , 运动方向与力的方向相同. 当力变为零时, 质点速度为多少解:(1)由题意得(2)由上图得11200.1200.2200.1622I N s =⨯⨯+⨯+⨯⨯=⋅0.5200.1200.20.5200.1150.4I F N t ⨯⨯+⨯+⨯⨯=== (3)由动量定理得 0t I mv mv =- 即 06313/3t I mv v m s m ++⨯===子弹脱离枪口的速度为300/m s , 在枪管内子弹受力为5400410/3F t =-⨯(SI ), 设子弹到枪口时受力变为零. 求:(1)子弹在枪管中的运行的时间. (2)该力冲量的大小. (3)子弹的质量.解:(1)由541040003tF ⨯=-=得3310t s -=⨯ (2)35310004104000.63tt I Fdt dt N s -⨯⎛⎫⨯==-=⋅ ⎪⎝⎭⎰⎰(3)由0I Ft mv ==-得 30.6210300I m kg v -===⨯自由电子在沿x 轴的振荡电场()0cos E t ωϕ=+E i r r中运动, 其中0E , ω, ϕ为常数. 设电子电量为e -, 质量为m , 初始条件为:0=t 时, 00v =v i r r , 00x =r i r r. 略去重力和阻力的作用, 求电子的运动方程.解:由()0cos F eE t ωϕ=-+得 0tvv Fdt mdv =⎰⎰解得()000sin sin eE eEv v t m m ϕωϕωω=+-+ 两边同乘dt 积分,()000sin sin eE eE dx v t dt m m ϕωϕωω⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭两边积分,()ϕωωϕωϕω++⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t m eE t m eE v m eE x x cos sin cos 2000200质量为m 的物体与一劲度系数为k 的弹簧连接, 物体可以在水平桌面上运动, 摩擦系数为μ. 当用一个不变的水平力拉物体, 物体从平衡位置开始运动. 求物体到达最远时, 系统的势能和物体在运动中的最大动能.解:分析物体水平受力,物体受外力、弹性力以及摩擦力,如图所示物体到达最远时,速度为0。
大学物理第2章质点动力学习题解答
第2章 质点动力学习题解答2-17 质量为2kg 的质点的运动学方程为 j t t i t r ˆ)133(ˆ)16(22+++-= (单位:米,秒), 求证质点受恒力而运动,并求力的方向大小。
解:∵j i dt r d a ˆ6ˆ12/22+== , j ia m F ˆ12ˆ24+== 为一与时间无关的恒矢量,∴质点受恒力而运动。
F=(242+122)1/2=125N ,力与x 轴之间夹角为:'34265.0/︒===arctg F arctgF x y α2-18 质量为m 的质点在o-xy 平面运动,质点的运动学方程为:j t b i t a r ˆsin ˆcos ωω+= ,a,b,ω为正常数,证明作用于质点的合力总指向原点。
证明:∵r j t b it a dt r d a 2222)ˆsin ˆcos (/ωωωω-=+-== r m a m F2ω-==, ∴作用于质点的合力总指向原点。
2-19在图示的装置中两物体的质量各为m 1,m 2,物体之间及物体与桌面间的摩擦系数都为μ,求在力F 的作用下两物体的加速度及绳力,不计滑轮和绳的质量及轴承摩擦,绳不可伸长。
解:以地为参考系,隔离m 1,m 2,受力及运动情况如图示,其中:f 1=μN 1=μm 1g ,f 2=μN 2=μ(N 1+m 2g)=μ(m 1+m 2)g. 在水平方向对两个质点应用牛二定律:②①a m T g m m g m F a m g m T 221111)(=-+--=-μμμ①+②可求得:g m m gm F a μμ-+-=2112将a 代入①中,可求得:2111)2(m m g m F m T +-=μ2-20天平左端挂一定滑轮,一轻绳跨过定滑轮,绳的两端分别系上质量为m 1,m 2f 1 N 1 m 1g T aFN 2 m 2gTaN 1 f 1 f 2的物体(m 1≠m 2),天平右端的托盘上放有砝码. 问天平托盘和砝码共重若干,天平才能保持平衡?不计滑轮和绳的质量及轴承摩擦,绳不伸长。
大学物理习题精选-答案第2章 质点动力学
质点动力学习题答案2-1一个质量为P 的质点,在光滑的固定斜面(倾角为α)上以初速度0v 运动,0v 的方向与斜面底边的水平线AB 平行,如图所示,求这质点的运动轨道.解: 物体置于斜面上受到重力mg ,斜面支持力N .建立坐标:取0v方向为X 轴,平行斜面与X 轴垂直方向为Y 轴.如图2-1.图2-1X 方向: 0=x F t v x 0= ① Y 方向: y y ma mg F ==αsin ②0=t 时 0=y 0=y v2sin 21t g y α=由①、②式消去t ,得220sin 21x g v y ⋅=α 2-2 质量为m 的物体被竖直上抛,初速度为0v ,物体受到的空气阻力数值为f KV =,K 为常数.求物体升高到最高点时所用时间及上升的最大高度. 解:⑴研究对象:m⑵受力分析:m 受两个力,重力P 及空气阻力f ⑶牛顿第二定律:合力:f P F+=a m f P =+y 分量:dtdV mKV mg =-- dt KVmg mdV-=+⇒即dt mKV mg dV 1-=+⎰⎰-=+t vv dt m KV mg dV 01dt mKV mg KV mg K 1ln 10-=++ )(0KV mg eKV mg t mK+⋅=+-mg Ke KV mg K V t m K1)(10-+=⇒- ①0=V 时,物体达到了最高点,可有0t 为)1ln(ln 000mgKV K m mg KV mg K m t +=+=② ∵ dtdyV =∴ Vdt dy =dt m g K e KV m g K Vdt dy tt mK ty⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+==-00001)(1m gt Ke KV m g K my t m K 11)(02-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=-021()1Kt m mmg KV e mgt K K-+--⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ ③ 0t t = 时,max y y =,)1ln(11)(0)1ln(02max0mg KV K m mg Ke KV mg K m y mgKV K mm K +⋅-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+=+⋅- )1ln(11)(02202mg KV g K m mg KV mg KV mg K m +-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-+=)1ln()(0220002mg KV g K m KV mg KV KV mg Km +-++=)1ln(0220mg KV g Km K mV +-=2-3 一条质量为m ,长为l 的匀质链条,放在一光滑的水平桌面,链子的一端由极小的一段长度被推出桌子边缘,在重力作用下开始下落,试求链条刚刚离开桌面时的速度.解:链条在运动过程中,其部分的速度、加速度均相同,沿链条方向,受力为mxg l,根据牛顿定律,有mF xg ma l==通过变量替换有m dv xg mv l dx=0,0x v ==,积分00l vm xg mvdv l =⎰⎰ 由上式可得链条刚离开桌面时的速度为v =2-5 升降机内有两物体,质量分别为1m 和2m ,且2m =21m .用细绳连接,跨过滑轮,绳子不可伸长,滑轮质量及一切摩擦都忽略不计,当升降机以匀加速a =12g 上升时,求:(1) 1m 和2m 相对升降机的加速度.(2)在地面上观察1m 和2m 的加速度各为多少? 解: 分别以1m ,2m 为研究对象,其受力图如图所示.(1)设2m 相对滑轮(即升降机)的加速度为a ',则2m 对地加速度a a a -'=2;因绳不可伸长,故1m 对滑轮的加速度亦为a ',又1m 在水平方向上没有受牵连运动的影响,所以1m 在水平方向对地加速度亦为a ',由牛顿定律,有)(22a a m T g m -'=-a m T '=1题2-5图联立,解得g a ='方向向下 (2) 2m 对地加速度为22ga a a =-'= 方向向上 图2-41m 在水面方向有相对加速度,竖直方向有牵连加速度,即牵相绝a a a+=' ∴ g g g a a a 25422221=+=+'=a a '=arctanθo 6.2621arctan ==,左偏上. 2-6 一物体受合力为t F 2=(SI ),做直线运动,试问在第二个5秒内和第一个5秒内物体受冲量之比及动量增量之比各为多少? 解:设物体沿+x 方向运动,2525501===⎰⎰tdt Fdt I N·S (1I 沿i方向) 7521051052===⎰⎰tdt Fdt I N·S (2I 沿i方向) 3/12=⇒I I∵⎩⎨⎧∆=∆=1122)()(p I p I∴3)()(12=∆∆p p 2-7 一弹性球,质量为020.0=m kg ,速率5=v m/s ,与墙壁碰撞后跳回. 设跳回时速率不变,碰撞前后的速度方向和墙的法线夹角都为60α︒=,⑴求碰撞过程中小球受到的冲量?=I⑵设碰撞时间为05.0=∆t s ,求碰撞过程中小球 受到的平均冲力?F =解:⎩⎨⎧=-=-==--=-=0sin sin cos 2)cos (cos 1212αααααmv mv mv mv I mv mv mv mv mv I y y y x x x i i i mv i I I x10.060cos 5020.02cos 2=⨯⨯⨯===⇒αN·S 2-9 一颗子弹由枪口射出时速率为10s m -⋅v ,当子弹在枪筒内被加速时,它所受的合力为F =(bt a -)N(b a ,为常数),其中t 以秒为单位:(1)假设子弹运行到枪口处合力刚好为零,试计算子弹走完枪筒全长所需时间;(2)求子弹所受的冲量.(3)求子弹的质量.解: (1)由题意,子弹到枪口时,有0)(=-=bt a F ,得ba t =(2)子弹所受的冲量⎰-=-=tbt at t bt a I 0221d )(将bat =代入,得 ba I 22=(3)由动量定理可求得子弹的质量202bv a v I m == 2-10 木块B 静止置于水平台面上,小木块A 放在B 板的一端上,如图所示. 已知0.25A m =kg ,B m =0.75kg ,小木块A 与木块B 之间的摩擦因数1μ=0.5,木板B 与台面间的摩擦因数2μ=0.1. 现在给小木块A 一向右的水平初速度0v =40m/s ,问经过多长时间A 、B 恰好具有相同的速度?(设B 板足够长)解:当小木块A 以初速度0v 向右开始运动时,它将受到木板B 的摩擦阻力的作用,木板B 则在A 给予的摩擦力及台面给予的摩擦力的共同作用下向右运动. 如果将木板B 与小木块A 视为一个系统,A 、B 之间的摩擦力是内力,不改变系统的总动量,只有台面与木板B 之间的摩擦力才是系统所受的外力,改变系统的总动量. 设经过t ∆时间,A 、B 具有相同的速度,根据质点系的动量定理 0()k A B A F t m m v m v -∆=+-2()k A B F m m g μ=+再对小木块A 单独予以考虑,A 受到B 给予的摩擦阻力'K F ,应用质点的动量定理'0k A B F t m v m v -∆=-以及 '1k A F m g μ= 解得 0012121(),A A B v v v m v t m m gμμμμμ-=-∆=+-代入数据得 2.5v =m/s t ∆=7.65s2-11一粒子弹水平地穿过并排静止放置在光滑水平面上的木块,如图2-11所示. 已知两木块的质量分别为1m 和2m ,子弹穿过两木块的时间各为1t ∆和2t ∆,设子弹在木块中所受的阻力为恒力F ,求子弹穿过后,两木块各以多大速度运动.图2-10图2-11解:子弹穿过第一木块时,两木块速度相同,均为1v ,初始两木块静止, 由动量定理,于是有1121()0F t m m v ∆=+-设子弹穿过第二木块后,第二木块速度变为2v ,对第二块木块,由动量定理有22211F t m v m v ∆=- 解以上方程可得 1121212122,F t F t F t v v m m m m m ∆∆∆==+++ 2-12一端均匀的软链铅直地挂着,链的下端刚好触到桌面. 如果把链的上端放开,证明在链下落的任一时刻,作用于桌面上的压力三倍于已落到桌面上那部分链条的重量.解:设开始下落时0t =,在任意时刻t 落到桌面上的链长为x ,链未接触桌面的部分下落速度为v ,在dt 时间内又有质量dm dx ρ=(ρ为链的线密度)的链落到桌面上而静止. 根据动量定理,桌面给予dm 的冲量等于dm 的动量增量,即I F d t v d mv dρ=== 所以 2dxF vv dtρρ== 由自由落体的速度22v gx =得2F gx ρ=这是t 时刻桌面给予链的冲力. 根据牛顿第三定律,链对桌面的冲力'F F =,'F 方向向下,t 时刻桌面受的总压力等于冲力'F 和t 时刻已落到桌面上的那部分链的重力之和,所以'3N F xg xg ρρ=+= 所以3Nxgρ= 即链条作用于桌面上的压力3倍于落在桌面上那部分链条的重量.2-13一质量为50kg 的人站在质量为100kg 的停在静水中的小船上,船长为5m ,问当人从船头走到船尾时,船头移动的距离.解:以人和船为系统,整个系统水平方向上动量守恒 设人的质量为m ,船的质量为M ,应用动量守恒得m +M=0v V 其中v ,V 分别为人和小船相对于静水的速度,可得m-MV =v 人相对于船的速度为 'M mM+=-=v v V v 设人在t 时间内走完船长l ,则有 '00ttt M m M ml v d t v d tv d tM M ++===⎰⎰⎰在这段时间内,人相对于地面走了0tx vdt =⎰所以Mlx M m=+船头移动的距离为'53ml x l x M m =-==+2-14质量为M 的木块静止在光滑的水平桌面上,质量为m ,速度0v 的子弹水平地射入木块,并陷在木块内与木块一起运动.求:(1)子弹相对木块静止后,木块的速度和动量; (2)子弹相对木块静止后,子弹的动量; (3) 在这个过程中,子弹施于木块的冲量.解:子弹相对木块静止后,其共同速度设为u ,子弹和木块组成系统动量守恒 (1)0()mv m M u =+ 所以 0mv u m M=+M Mmv P Mu m M==+(2)子弹的动量20m m v P mu m M==+(3)针对木块,由动量守恒知,子弹施于木块的冲量为00M MmI P v M m=-=+2-15质量均为M 的两辆小车沿着一直线停在光滑的地面上,质量为m 的人自一辆车跳入另一辆车,接着又以相同的速率跳回来. 试求两辆车的速率之比.解: 质量为m 的人,以相对于地面的速度v 从车A 跳到车B ,此时车A 得到速度1u ,由于车是在光滑的地面上,沿水平方向不受外力,因此,由动量守恒得1mv Mu =人到达车B 时,共同得速度为2u ,由动量守恒得2()M m u mv +=人再由车B 以相对于地面的速度v 跳回到车A ,则车B 的速度为'2u ,而车A 与人的共同速度为'1u ,如图所示,由动量守恒得联立方程解得:'22m u v M ='12m u v M m=+ 所以车B 和车A 得速率之比为'2'1u M mu M+= 2-16体重为P 的人拿着重为p 的物体跳远,起跳仰角为ϕ,初速度为0v . 到达最高点时,该人将手中的物体以水平向后的相对速度u 抛出,问跳远成绩因此增加多少?解:人和物体组成系统在最高点抛出物体前后沿水平方向动量守恒,注意到对地面这个惯性参考系''0'0'()cos ()cos m m v mv m v u m v v u m mϕϕ+=+-=++从最高点到落地,人做平抛运动所需时间0sin v t gϕ= 跳远距离增加为'00'(cos )cos m s v u t v t m mϕϕ∆=+-+ '0's i n v m put u m m P p gϕ==++ 2-17铁路上有一平板车,其质量为M ,设平板车可无摩擦地在水平轨道上运动. 现有N 个人从平板车的后端跳下,每个人的质量均为m ,相对平板车的速度均为u . 问在下述两种情况下,平板车的末速度是多少?(1)N 个人同时跳离;(2)一个人、一个人的跳离. 所得结果是否相同.解:取平板车和N 个人为研究对象,由于在水平方向上无外力作用,故系统在该方向上动量守恒. 取平板车运动方向为坐标轴正方向,设最初平板车静止,则有()0Mv Nm v u +-='22'11()()Mu mv M m u M m u mv Mu -=++=+所以N 个人同时跑步跳车时,车速为Nmv u M Nm=+(2)若一个人、一个人地跳车,情况就不同了. 第一个跳车时,由动量守恒定律可得11[(1)]()0M N m v m v u +-+-=第二个人跳车时,有221[(2)]()[(1)]M N m v m v u M N m v +-+-=+-21(1)muv v M N m-=+-以此类推,第N 个人跳车时,有1()()N N N Mv m v u M m v -+-=+1N N muv v M m--=+所以1111()2NN n muv mu M m M m M Nm M nm ==++⋅⋅⋅=++++∑因为1112M m M m M Nm >>⋅⋅⋅>+++1112NM m M m M Nm M Nm++⋅⋅⋅>++++故N v v >2-18质量为kg 10的物体作直线运动,受力与坐标关系如图2-18所示。
大学物理章质点动力学习题答案
第二章 质点动 力学2-1一物体从一倾角为30︒的斜面底部以初速v 0=10m·s -1向斜面上方冲去,到最高点后又沿斜面滑下,当滑到底部时速率v =7m·s -1,求该物体与斜面间的摩擦系数。
解:物体与斜面间的摩擦力f =uN =umgcos30︒物体向斜面上方冲去又回到斜面底部的过程由动能定理得220112(1)22mv mv f s -=-⋅物体向斜面上方冲到最高点的过程由动能定理得2010sin 302mv f s mgh f s mgs -=-⋅-=-⋅-o2(2)s ∴=把式(2)代入式(1)得,220.198u =2-2如本题图,一质量为m 的小球最初位于光滑圆形凹槽的A 点,然后沿圆弧ADCB 下滑,试求小球在C 点时的角速度与对圆弧表面的作用力,圆弧半径为r 。
解:小球在运动的过程中受到重力G r 与轨道对它的支持力T r 、取如图所示的自然坐标系,由牛顿定律得22sin (1)cos (2)t n dvF mg mdtv F T mg m Rαα=-==-=r r r由,,1ds rd rd v dt dt dt vαα===得代入式(), A 并根据小球从点运动到点C 始末条件进行积分有,902n (sin )m cos 3cos '3cos ,e v vdv rg d v vrv mg mg rmg αααωααα=-===+==-=-⎰⎰o r得则小球在点C 的角速度为=由式(2)得 T 由此可得小球对园轨道得作用力为T T 方向与反向2-3如本题图,一倾角为θ 的斜面置于光滑桌面上,斜面上放一质量为m 的木块,两者间摩擦系数为μ,为使木块相对斜面静止,求斜面的加速度a 应满足的条件。
习题2-2图解:如图所示()1212min max sin ,cos cos sin (1)sin cos 2(1)(2)(sin cos )(cos sin )(sin cos )()(cos sin )1(2)(1)(sin cos )(cos sin )(sin cos a a a a N mg ma ma mg uN m a ma u g u a u g u g tg u a u utg u g u a u g u a θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ==∴-==±==⨯+-=+--∴==++-⨯+=-+∴=得,得,)()(cos sin )1()()11g tg u u utg g tg u g tg u a utg utg θθθθθθθθθ+=---+∴≤≤+- 2-4如本题图,A 、B 两物体质量均为m,用质量不计的滑轮与细绳连接,并不计摩擦,则A与B 的加速度大小各为多少 。
大学物理2-1第二章(质点动力学)习题答案
大学物理2-1第二章(质点动力学)习题答案习 题 二2-1 质量为m 的子弹以速率0v 水平射入沙土中,设子弹所受阻力与速度反向,大小与速度成正比,比例系数为k ,忽略子弹的重力,求:(1)子弹射入沙土后,速度大小随时间的变化关系; (2)子弹射入沙土的最大深度。
[解] 设任意时刻子弹的速度为v ,子弹进入沙土的最大深度为s ,由题意知,子弹所受的阻力 f = - kv(1) 由牛顿第二定律 tv m ma f d d ==即 tv mkv d d ==-所以t m k v v d d -=对等式两边积分 ⎰⎰-=t v v tm k v v 0d d 0得t mk v v -=0ln因此t mke v v -=0(2)由牛顿第二定律xvmv t x x v m t v m ma f d d d d d d d d ==== 即 xvmvkv d d =- 所以 v x mkd d =-对上式两边积分 ⎰⎰=-000d d v sv x m k得到v s mk-=-即 kmv s 0=2-2 质量为m 的小球,在水中受到的浮力为F ,当它从静止开始沉降时,受到水的粘滞阻力为f =kv (k 为常数)。
若从沉降开始计时,试证明小球在水中竖直沉降的速率v 与时间的关系为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-m kte kFmg v 1[证明] 任意时刻t 小球的受力如图所示,取向下为y 轴的正方向,开始沉降处为坐标原点。
由牛顿第二定律得t vm ma f F mg d d ==-- 即tvmma kv F mg d d ==-- 整理得mtkv F mg v d d =--对上式两边积分 ⎰⎰=--t v mt kv F mg v00d d 得mktF mg kv F mg -=---ln即 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-m kte kF mg v 1mgFf2-3 跳伞运动员与装备的质量共为m ,从伞塔上跳出后立即张伞,受空气的阻力与速率的平方成正比,即2kv F =。
力学习题-第2章质点动力学(含答案)
第二章质点动力学单元测验题一、选择题1.如图,物体A 和B 的质量分别为2kg 和1kg ,用跨过定滑轮的细线相连,静止叠放在倾角为θ=30°的斜面上,各接触面的静摩擦系数均为μ=0.2,现有一沿斜面向下的力F 作用在物体A 上,则F 至少为多大才能使两物体运动.A.3.4N;B.5.9N;C.13.4N;D.14.7N答案:A解:设沿斜面方向向下为正方向。
A 、B 静止时,受力平衡。
A 在平行于斜面方向:sin A 12F m g T f f 0θ+---=B 在平行于斜面方向:1sin 0B f m g T θ+-=静摩擦力的极值条件:1cos B f m g μθ≤,2()cos B A f m m g μθ≤+联立可得使两物体运动的最小力minF 满足:min ()sin (3)cos B A B A F m m g m m g θμθ=-++=3.6N2.一质量为m 的汽艇在湖水中以速率v 0直线运动,当关闭发动机后,受水的阻力为f =-kv ,则速度随时间的变化关系为A.t mk ev v 0=; B.tm kev v -=0; C.t m kv v +=0;D.t mk v v -=0答案:B解:以关闭发动机时刻汽艇所在的位置为原点和计时零点,以0v 方向为正方向建立坐标系.牛顿第二定律:dvma mkv dt==-整理:dtm k vdv -=积分得:tm k ev v -=03.质量分别为1m 和2m (21m m >)的两个人,分别拉住跨在定滑轮(忽略质量)上的轻绳两边往上爬。
开始时两人至定滑轮的距离都是h .质量为1m 的人经过t 秒爬到滑轮处时,质量为2m 的人与滑轮的距离为A.0;B.h m m 21; C.)21+(221gt h m m ; D.)21+(-2212gt h m m m 答案:D解:如图建立坐标系,选竖直向下为正方向。
设人与绳之间的静摩擦力为f ,当质量为1m 的人经过t 秒爬到滑轮处时,质量为2m 的人与滑轮的距离为'h ,对二者分别列动力学方程。
第2章质点动力学(含答案)
一、选择题:1. 两个质量相等的小球由一轻弹簧相连接,再用一细绳悬挂于天花板上,处于静止状态,如图所示。
将绳子剪断的瞬间,球1和球2的加速度分别为( D )A .g a g a ==21, B. g a a ==21,0C. 0,21==a g aD. 0,221==a g a2. 下列关于力和运动关系的说法中,正确的是( D )A .没有外力作用时,物体不会运动,这是牛顿第一定律的体现;B .物体受力越大,运动的越快,这是符合牛顿第二定律的;C .物体所受合外力为零,则速度一定为零;物体所受合外力不为零,则其速度也一定不为零;D .物体所受的合外力最大时,而速度却可以为零;物体所受的合外力最小时,而速度却可以最大。
3. 关于牛顿第三定律,下列说法错误的是( A )A .由于作用力和反作用力大小相等方向相反,则对于一个物体来说一对作用力和反作用力的合力一定为零;B .作用力变化,反作用力也必然同时发生变化;C .任何一个力的产生必涉及两个物体,它总有反作用力;D .作用力和反作用力属于同一性质的力。
4. 判断下列各句中正确的是 ( C )A .物体只在不受力作用的情况下才能表现出惯性;B .要消除物体的惯性,可以在运动的相反方向上加上外力;C .物体惯性的大小与物体是否运动、运动的快慢以及受力无关;D .惯性定律可以用物体的平衡条件取而代之。
5. 用水平力N F 把一个物体压着靠在粗糙的竖直墙面上保持静止,当N F 逐渐增大时,物体所受的静摩擦力f F 的大小为( A )A. 不为零,但保持不变;B. 随N F 成正比地增大;C. 开始随N F 增大,达到某一最大值后,就保持不变;D. 无法确定。
6. 下列叙述中,哪种说法是正确的( C )A. 在同一直线上,大小相等、方向相反的一对力必定是作用力与反作用力;B. 一物体受两个力作用,其合力必定比这两个力中的任一个力都大;C. 如果质点所受合外力的方向与质点运动方向成某一角度(不等于0和π),则质点一定做曲线运动;D. 物体的质量越大,它的重力和重力加速度也必定越大。
大学物理_第2章_质点动力学_习题答案
第二章 质点动力学2-1一物体从一倾角为30︒的斜面底部以初速v 0=10m·s -1向斜面上方冲去,到最高点后又沿斜面滑下,当滑到底部时速率v =7m·s -1,求该物体与斜面间的摩擦系数。
解:物体与斜面间的摩擦力f =uN =umgcos30︒物体向斜面上方冲去又回到斜面底部的过程由动能定理得220112(1)22mv mv f s -=-⋅物体向斜面上方冲到最高点的过程由动能定理得2010sin 302mv f s mgh f s mgs -=-⋅-=-⋅-2(2)s ∴=把式(2)代入式(1)得,220.198u =2-2如本题图,一质量为m 的小球最初位于光滑圆形凹槽的A 点,然后沿圆弧ADCB 下滑,试求小球在C 点时的角速度和对圆弧表面的作用力,圆弧半径为r 。
解:小球在运动的过程中受到重力G 和轨道对它的支持力T.取如图所示的自然坐标系,由牛顿定律得22sin (1)cos (2)t n dv F mg mdtv F T mg m Rαα=-==-=由,,1ds rd rd v dt dt dt vαα===得代入式(), A 并根据小球从点运动到点C 始末条件进行积分有,902n (sin )m cos 3cos '3cos ,e v vdv rg d v vrv mg mg rmg αααωααα=-===+==-=-⎰⎰得则小球在点C 的角速度为=由式(2)得 T 由此可得小球对园轨道得作用力为T T 方向与反向2-3如本题图,一倾角为θ 的斜面置于光滑桌面上,斜面上放一质量为m 的木块,两习题2-2图者间摩擦系数为μ,为使木块相对斜面静止,求斜面的加速度a 应满足的条件。
解:如图所示()1212min max sin ,cos cos sin (1)sin cos 2(1)(2)(sin cos )(cos sin )(sin cos )()(cos sin )1(2)(1)(sin cos )(cos sin )(sin cos a a a a N mg ma ma mg uN m a ma u g u a u g u g tg u a u utg u g u a u g u a θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ==∴-==±==⨯+-=+--∴==++-⨯+=-+∴=得,得,)()(cos sin )1()()11g tg u u utg g tg u g tg u a utg utg θθθθθθθθθ+=---+∴≤≤+- 2-4如本题图,A 、B 两物体质量均为m ,用质量不计的滑轮和细绳连接,并不计摩擦,则A 和B 的加速度大小各为多少 。
大物习题解答-大学物理习题答案(许瑞珍_贾谊明)-第2章 质点动力学
第二章 质点动力学2-1如本题图,A 、B 两物体质量均为m ,用质量不计的滑轮和细绳连接,并不计摩擦,则A 和B 的加速度大小各为多少 。
解:如图由受力分析得(1)(2)2(3)2(4)ggA AB B A B A BA B mg T ma T mg ma a a T T a a -=-===1解得=-52=-52-2如本题图所示,已知两物体A 、B 的质量均为m=3.0kg ,物体A 以加速度a =1.0m/s 2运动,求物体B 与桌面间的摩擦力。
(滑轮与连接绳的质量不计)解:分别对物体和滑轮受力分析(如图),由牛顿定律和动力学方程得,()()()1f 111f (1)''(2)2'(3)'2(4)5'6'7(4)7.22A T A TB T T A B T T T T m g F m a F F m a a a F F m m m F F F F mg m m aF N-=-======-+===解得2-3 如图所示,细线不可伸长,细线、定滑轮、动滑轮的质量均不计,已知314m m =,322m m =。
求各物体运动的加速度及各段细线中的张力。
解:设m 1下落的加速度为a 1,因而动滑轮也以a 1上升。
再设m 2相对动滑轮以加速度a ′下落,m 3相对动滑轮以加速度a ′上升,二者相对地面的加速度分别为:1a a -'(下落)和1a a +'(上升),设作用在m 1上的线中张力为T 1,作用在m 2和m 3上的线中张力为T 2。
列出方程组如下:习题2-2图AB 习题2-1图a AmgT A T B a Bmg习题2-3 图211332122211112)()(T T a a m g m T a a m T g m a m T g m =+'=--'=-=- 代入314m m =,322m m =,可求出:51g a =,52g a =',52g a =,533g a =,g m T 1154=,g m T 1252=2-4光滑的水平面上放置一半径为R 的固定圆环,物体紧贴环的内侧作圆周运动,其摩擦系数为μ。
大学物理答案-第二章
分析:已知物体的运动轨迹,求速度及加速度的分量式。利用法向加速度和切向加速度 的定义即可求出。
解: (1)
Q
x=t2
∴ t= x
t≥0
Q
y = ( t − 1) 2
∴ y = ( x − 1) 2
& = 2(t − 1) y
& = 2t Q x
∴
∴
v=
dv = dt
&2 + y & 2 = 8t 2 − 8t + 4 x
∴t = 2 an =
400 = 256 × 2 − 256 R
∴ R=
400 = 25m 16
2-11 一质点沿半径为 R 的圆周按规律 s=v0t-bt2/2 运动, v0 和 b 都是取正值的量。 求 (1) t 时刻质点的加速度(2) t 为何值时加速度的值等于 b?(3)加速度为 b 时,质点已
解:根据运动的叠加原理,把小球的运动分解为X方向和Y方向两个运动的叠加: X方向:小球不受力,作匀速直线运动 t=0 时,x0=0,vx=7.6m/s Y方向:小球受重力作用,作匀减速直线运动, 加速度为重力加速度:a = - g t=0 时,y0=9.1m,vy0=6.1m/s,a= - g = - 9.8m/s2 ∴ v y = v y 0 − gt = 6.1 − 9.8t = 0 (1) 球上升到最高点时,Y方向的速度为0
第二章 质点力学
本章以单个质点作为研究对象,研究其运动情况,包括质点运动学和质点动力学两部 分。质点运动学部分介绍了质点运动的矢量描述和坐标描述,以及运动描述的相对性。 质点动力学部分介绍了牛顿运动定律,以及在实际中如何运用牛顿运动定律去解题。另 外,本章还介绍了非惯性参照系。
大学物理第2章质点动力学习题及答案
第 2 章自测题一、填空题1、设作用在质量为 1 kg 的物体上的力F=3t +5(SI )。
如果物体在这一力的作用下,由静止开始沿直线运动,在0 到 2.0 s 的时间间隔内,这个力作用在物体上的冲量大小I=__________ 。
2、某质点在力F=(3+4x) i (SI) 的作用下沿x 轴作直线运动,在从x=0移动到x =7m的过程中,力 F 所做的功为_____ 。
3、一质量为 1 kg的物体,置于水平地面上,现对物体施一水平拉力F=2t (SI) ,由静止开始运动,物体与地面之间的滑动摩擦系数μ=0.16 ,则 2 秒末物体的速度大小v=_。
4 、一质点在恒力为 F -4i 5j 8k (SI) 的作用下产生位移为r 2i 5j 9k (SI) ,则此力在该位移过程中所做的功为。
5、质量为0.5Kg 的质点,在OXY坐标面内运动,运动方程为x 3t2,y 2t (SI),从t 1s到t 3s 这段时间内,外力对该质点所做的功为。
二、计算题1. 质量m =2.0kg 的物体沿x 轴无摩擦地滑动,t = 0 时物体静止于1m 处。
( 1) 若物体在力 F 5 t2(SI)的作用下运动了 2 s,它的速率增为多大?( 2)若物体在力 F 5 x 2(SI)的作用下移动到 2 m 处,它的速率又增大为多少?2. 质量m = 1.0kg 的质点,在Oxy 坐标平面内运动,其运动方程为x 2t2,y 3t (SI) ,从1s 到 2 s 这段时间内,外力对质点做的功为多少?3. 质量为5千克的物体沿X轴运动,物体受到与F反向大小为1 牛的摩擦力的作用。
开始时物体静止在坐标原点,(1) 当物体在力F=t 的作用下运动了 2 秒,它的速率增大为多少?(2) 当物体受到F=X+1的作用下移动2m,它的速率又增大为多少?4. 一颗子弹水平穿过质量分别为2m 和m,并排放在光滑水平面上的静止木块A 和B,设子弹穿过两木块所用时间均为t ,木块对子弹的阻力恒为F,子弹穿过A的速度为多少?和B后,A与B5. 如图所示,质量m 1kg 的物体,用一根长l 1.0m 的细绳悬挂在天花板上。
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质点动力学习题答案2-1一个质量为P 的质点,在光滑的固定斜面(倾角为α)上以初速度0v 运动,0v 的方向与斜面底边的水平线AB 平行,如图所示,求这质点的运动轨道.解: 物体置于斜面上受到重力mg ,斜面支持力N .建立坐标:取0v ϖ方向为X 轴,平行斜面与X 轴垂直方向为Y 轴.如图2-1.图2-1X 方向: 0=x F t v x 0= ① Y 方向: y y ma mg F ==αsin ② 0=t 时 0=y 0=y v2sin 21t g y α=由①、②式消去t ,得220sin 21x g v y ⋅=α 2-2 质量为m 的物体被竖直上抛,初速度为0v ,物体受到的空气阻力数值为f KV =,K 为常数.求物体升高到最高点时所用时间及上升的最大高度. 解:⑴研究对象:m⑵受力分析:m 受两个力,重力P 及空气阻力f ⑶牛顿第二定律:合力:f P F ϖϖϖ+=a m f P ϖϖϖ=+y 分量:dtdV mKV mg =-- dt KVmg mdV-=+⇒即dt mKV mg dV 1-=+⎰⎰-=+t vv dt m KV mg dV 010 dt mKV mg KV mg K 1ln 10-=++)(0KV mg eKV mg t mK +⋅=+-mg Ke KV mg K V t m K1)(10-+=⇒- ①0=V 时,物体达到了最高点,可有0t 为)1ln(ln 000mgKV K m mg KV mg K m t +=+=② ∵ dtdyV =∴ Vdt dy =dt mg K e KV mg K Vdt dy tt m K ty⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+==-00001)(1mgt Ke KV mg K m y t mK 11)(02-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=-021()1Kt m mmg KV e mgt K K-+--⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ ③ 0t t = 时,max y y =,)1ln(11)(0)1ln(02max0mg KV K m mg K e KV mg K m y mgKV K mm K +⋅-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+=+⋅- )1ln(11)(02202mg KV g Km mg KV mg KV mg K m +-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-+=)1ln()(0220002mg KV g K m KV mg KV KV mg Km +-++=)1ln(0220mg KV g Km K mV +-=2-3 一条质量为m ,长为l 的匀质链条,放在一光滑的水平桌面,链子的一端由极小的一段长度被推出桌子边缘,在重力作用下开始下落,试求链条刚刚离开桌面时的速度.解:链条在运动过程中,其部分的速度、加速度均相同,沿链条方向,受力为mxg l,根据牛顿定律,有mF xg ma l== 通过变量替换有m dv xg mv l dx=0,0x v ==,积分00l vm xg mvdv l =⎰⎰由上式可得链条刚离开桌面时的速度为v gl =2-5 升降机内有两物体,质量分别为1m 和2m ,且2m =21m .用细绳连接,跨过滑轮,绳子不可伸长,滑轮质量及一切摩擦都忽略不计,当升降机以匀加速a =12g 上升时,求:(1) 1m 和2m 相对升降机的加速度.(2)在地面上观察1m 和2m 的加速度各为多少? 解: 分别以1m ,2m 为研究对象,其受力图如图所示.(1)设2m 相对滑轮(即升降机)的加速度为a ',则2m 对地加速度a a a -'=2;因绳不可伸长,故1m 对滑轮的加速度亦为a ',又1m 在水平方向上没有受牵连运动的影响,所以1m 在水平方向对地加速度亦为a ',由牛顿定律,有)(22a a m T g m -'=-a m T '=1题2-5图联立,解得g a ='方向向下 (2) 2m 对地加速度为22ga a a =-'= 方向向上 1m 在水面方向有相对加速度,竖直方向有牵连加速度,即牵相绝a a a ϖϖϖ+='∴ g g g a a a 25422221=+=+'=a a '=arctanθo 6.2621arctan ==,左偏上. 2-6 一物体受合力为t F 2=(SI ),做直线运动,试问在第二个5秒内和第一个5秒内物体受冲量之比及动量增量之比各为多少? 解:设物体沿+x 方向运动,2525501===⎰⎰tdt Fdt I N·S(1I ϖ沿i ϖ方向)7521051052===⎰⎰tdt Fdt I N·S(2I ϖ沿i ϖ方向)3/12=⇒I I∵⎩⎨⎧∆=∆=1122)()(p I p I∴3)()(12=∆∆p p2-7 一弹性球,质量为020.0=m kg ,速率5=v m/s ,与墙壁碰撞后跳回. 设跳回时速率不变,碰撞前后的速度方向和墙的法线夹角都为60α︒=,⑴求碰撞过程中小球受到的冲量?=I ϖ⑵设碰撞时间为05.0=∆t s ,求碰撞过程中小球 受到的平均冲力?F =解:⎩⎨⎧=-=-==--=-=0sin sin cos 2)cos (cos 1212αααααmv mv mv mv I mv mv mv mv mv I y y y x x x i i i mv i I I x ϖϖϖϖϖο10.060cos 5020.02cos 2=⨯⨯⨯===⇒αN·S2-9 一颗子弹由枪口射出时速率为10s m -⋅v ,当子弹在枪筒内被加速时,它所受的合力为F =(bt a -)N(b a ,为常数),其中t 以秒为单位:(1)假设子弹运行到枪口处合力刚好为零,试计算子弹走完枪筒全长所需时间;(2)求子弹所受的冲量.(3)求子弹的质量. 解: (1)由题意,子弹到枪口时,有0)(=-=bt a F ,得ba t =(2)子弹所受的冲量⎰-=-=tbt at t bt a I 0221d )(将bat =代入,得 ba I 22=(3)由动量定理可求得子弹的质量202bv a v I m == 2-10 木块B 静止置于水平台面上,小木块A 放在B 板的一端上,如图所示. 已知0.25A m =kg ,B m =0.75kg ,小木块A 与木块B 之间的摩擦因数1μ=,木板B 与台面间的摩擦因数2μ=.现在给小木块A 一向右的水平初速度0v =40m/s ,问经过多长时间A 、B 恰好具有相同的速度?(设B 板足够长)解:当小木块A 以初速度0v 向右开始运动时,它将受到木板B 的摩擦阻力的作用,木板B 则在A 给予的摩擦力及台面给予的摩擦力的共同作用下向右运动. 如果将木板B 与小木块A 视为一个系统,A 、B 之间的摩擦力是内力,不改变系统的总动量,只有台面与木板B 之间的摩擦力才是系统所受的外力,改变系统的总动量. 设经过t ∆时间,A 、B 具有相同的速度,根据质点系的动量定理 0()k A B A F t m m v m v -∆=+-2()k A B F m m g μ=+再对小木块A 单独予以考虑,A 受到B 给予的摩擦阻力'K F ,应用质点的动量定理'0k A B F t m v m v -∆=-以及 '1k A F m g μ=解得 0012121(),A A B v v v m v t m m gμμμμμ-=-∆=+-代入数据得 2.5v =m/s t ∆=2-11一粒子弹水平地穿过并排静止放置在光滑水平面上的木块,如图2-11所示. 已知两木块的质量分别为1m 和2m ,子弹穿过两木块的时间各为1t ∆和2t ∆,设子弹在木块中所受的阻力为恒力F ,求子弹穿过后,两木块各以多大速度运动.解:子弹穿过第一木块时,两木块速度相同,均为1v ,初始两木块静止, 由动量定理,于是有1121()0F t m m v ∆=+-设子弹穿过第二木块后,第二木块速度变为2v ,对第二块木块,由动量定理有22211F t m v m v ∆=-解以上方程可得 1121212122,F t F t F t v v m m m m m ∆∆∆==+++图2-10图2-112-12一端均匀的软链铅直地挂着,链的下端刚好触到桌面. 如果把链的上端放开,证明在链下落的任一时刻,作用于桌面上的压力三倍于已落到桌面上那部分链条的重量.解:设开始下落时0t =,在任意时刻t 落到桌面上的链长为x ,链未接触桌面的部分下落速度为v ,在dt 时间内又有质量dm dx ρ=(ρ为链的线密度)的链落到桌面上而静止. 根据动量定理,桌面给予dm 的冲量等于dm 的动量增量,即 I Fdt vdm vdx ρ=== 所以 2dxF vv dtρρ== 由自由落体的速度22v gx =得2F gx ρ=这是t 时刻桌面给予链的冲力. 根据牛顿第三定律,链对桌面的冲力'F F =,'F 方向向下,t 时刻桌面受的总压力等于冲力'F 和t 时刻已落到桌面上的那部分链的重力之和,所以'3N F xg xg ρρ=+= 所以3Nxgρ= 即链条作用于桌面上的压力3倍于落在桌面上那部分链条的重量. 2-13一质量为50kg 的人站在质量为100kg 的停在静水中的小船上,船长为5m ,问当人从船头走到船尾时,船头移动的距离.解:以人和船为系统,整个系统水平方向上动量守恒 设人的质量为m ,船的质量为M ,应用动量守恒得 m +M =0v V其中v ,V 分别为人和小船相对于静水的速度, 可得m -MV =v 人相对于船的速度为 'M mM+=-=v v V v 设人在t 时间内走完船长l ,则有 '000tttM m M m l v dt vdt vdt M M++===⎰⎰⎰ 在这段时间内,人相对于地面走了0tx vdt =⎰所以Mlx M m=+船头移动的距离为'53ml x l x M m =-==+2-14质量为M 的木块静止在光滑的水平桌面上,质量为m ,速度0v 的子弹水平地射入木块,并陷在木块内与木块一起运动.求:(1)子弹相对木块静止后,木块的速度和动量; (2)子弹相对木块静止后,子弹的动量; (3) 在这个过程中,子弹施于木块的冲量.解:子弹相对木块静止后,其共同速度设为u ,子弹和木块组成系统动量守恒 (1)0()mv m M u =+ 所以 0mv u m M=+M Mmv P Mu m M==+(2)子弹的动量20m m v P mu m M==+(3)针对木块,由动量守恒知,子弹施于木块的冲量为00M MmI P v M m=-=+2-15质量均为M 的两辆小车沿着一直线停在光滑的地面上,质量为m 的人自一辆车跳入另一辆车,接着又以相同的速率跳回来. 试求两辆车的速率之比.解: 质量为m 的人,以相对于地面的速度v 从车A 跳到车B ,此时车A 得到速度1u ,由于车是在光滑的地面上,沿水平方向不受外力,因此,由动量守恒得1mv Mu =人到达车B 时,共同得速度为2u ,由动量守恒得2()M m u mv +=人再由车B 以相对于地面的速度v 跳回到车A ,则车B 的速度为'2u ,而车A 与人的共同速度为'1u ,如图所示,由动量守恒得联立方程解得:'22m u v M ='12m u v M m=+ 所以车B 和车A 得速率之比为'2'1u M mu M+= '22'11()()Mu mv M m u M m u mv Mu -=++=+2-16体重为P 的人拿着重为p 的物体跳远,起跳仰角为ϕ,初速度为0v . 到达最高点时,该人将手中的物体以水平向后的相对速度u 抛出,问跳远成绩因此增加多少?解:人和物体组成系统在最高点抛出物体前后沿水平方向动量守恒,注意到对地面这个惯性参考系''0'0'()cos ()cos m m v mv m v u m v v um m ϕϕ+=+-=++从最高点到落地,人做平抛运动所需时间0sin v t gϕ= 跳远距离增加为'00'(cos )cos m s v u t v t m m ϕϕ∆=+-+ '0'sin v m put u m m P p gϕ==++2-17铁路上有一平板车,其质量为M ,设平板车可无摩擦地在水平轨道上运动. 现有N 个人从平板车的后端跳下,每个人的质量均为m ,相对平板车的速度均为u . 问在下述两种情况下,平板车的末速度是多少?(1)N 个人同时跳离;(2)一个人、一个人的跳离. 所得结果是否相同.解:取平板车和N 个人为研究对象,由于在水平方向上无外力作用,故系统在该方向上动量守恒. 取平板车运动方向为坐标轴正方向,设最初平板车静止,则有()0Mv Nm v u +-=所以N 个人同时跑步跳车时,车速为Nmv u M Nm=+(2)若一个人、一个人地跳车,情况就不同了. 第一个跳车时,由动量守恒定律可得11[(1)]()0M N m v m v u +-+-=第二个人跳车时,有221[(2)]()[(1)]M N m v m v u M N m v +-+-=+-21(1)muv v M N m-=+-以此类推,第N 个人跳车时,有1()()N N N Mv m v u M m v -+-=+1N N muv v M m--=+所以1111()2NN n muv mu M m M m M Nm M nm==++⋅⋅⋅=++++∑因为1112M m M m M Nm >>⋅⋅⋅>+++ 1112NM m M m M Nm M Nm++⋅⋅⋅>++++ 故N v v >2-18质量为kg 10的物体作直线运动,受力与坐标关系如图2-18所示。