高考数学一轮总复习 第二章 第9节 函数模型及应用课件
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高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 2.9 函数模型及应用课件
4x00－40x0200，x>40.
(1)写出年利润 W(万美元)关于年产量 x(万部)的函数解析式；
(2)当年产量为多少万部时，苹果公司在该款 iPhone 手机的
生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．
12/11/2021
第二十五页，共四十二页。
【解】 (1)当 0<x≤40 时，W＝xR(x)－(16x＋40) ＝－6x2＋384x－40， 当 x>40 时，W＝xR(x)－(16x＋40) ＝－40 x000－16x＋7 360.
此商品的定价(单位：元/件)应为( C )
A．4
B．5.5
C．8.5
D．10
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第二十二页，共四十二页。
解析：由题意可设定价为 x 元/件，利润为 y 元，则 y＝(x－ 3)[400－40(x－4)]＝40(－x2＋17x－42)，故当 x＝8.5 时，y 有最 大值，故选 C.
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第三页，共四十二页。
01知识梳理 诊断自测
02考点探究 明晰规律
课时作业
12/11/2021
第四页，共四十二页。
01 知识梳理 诊断自测
课前热身 稳固根基
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第五页，共四十二页。
知识点一 指数、对数、幂函数模型性质比较
12/11/2021
第六页，共四十二页。
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第二十一页，共四十二页。
1．某商场销售 A 型商品，已知该商品的进价是每件 3 元，
且销售单价与日均销售量的关系如表所示：
销售单价/元 4 5 6 7 8 9 10
日均销售量/件 400 360 320 280 240 200 160
高三数学一轮复习 2.9函数模型及其应用课件
f1 x , x D 1,
(6)分段函数模型:
y
f
2
x
,
x
D 2,
图象特点是每一段自变量
f
n
x
，
x
D
n
,
变化所遵循的规律不同.可以先将其当作几个问题,将各段的变
化规律分别找出来,再将其合到一起,要注意各段自变量的取值
范围,特别是端点.
3.建立函数模型解决实际应用问题的步骤(四步八字) (1)审题:阅读理解、弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系, 弄清数据的单位等. (2)建模:正确选择自变量,将自然语言转化为数学语言,将文字 语言转化为符号语言,利用数学知识,建立相应的数学模型. (3)求模:求解数学模型,得出数学结论. (4)还原:将数学问题还原为实际问题.
5.某种储蓄按复利计算利息,若本金为a元,每期利率为r,存期
是x,本利和(本金加利息)为y元,则本利和y随存期x变化的函数
关系式是
.
【解析】已知本金为a元,利率为r,则 1期后本利和为y=a+ar=a(1+r), 2期后本利和为y=a(1+r)+a(1+r)r=a(1+r)2, 3期后本利和为y=a(1+r)3, … x期后本利和为y=a(1+r)x,x∈N. 答案:y=a(1+r)x,x∈N
③图(3)的建议是:提高票价,并保持成本不变;
④图(3)的建议是:提高票价,并降低成本.
其中所有正确说法的序号是( )A.①③Fra bibliotekB.①④
C.②③
D.②④
【解析】选C.对于图(2),当x=0时,函数值比图(1)中的大,表示 成本降低,两直线平行,表明票价不变,故②正确;对于图(3),当 x=0时,函数值不变表示成本不变,当x>0时,函数值增大表明票 价提高,故③正确.
高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第9节函数模型及其应用课件
2．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列实验数据：
x 1.99 3 4 5.1 6.12
y 1.5 4.04 7.5 12 18.01 现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近
的一个是( )
A．y＝2x－2 C．y＝log3x
B．y＝12(x2－1) D．y＝2x－2
(2)通过圆心角 α 将弧长 x 与时间 t 联系起来． 圆的半径为 1，设弧长 x 所对的圆心角为 α，则 α＝x，如图 所示，cos α2＝1－t，即 cos 2x＝1－t，则 y＝cos x＝2cos22x－1＝ 2(1－t)2－1＝2(t－1)2－1(0≤t≤1)．其图象为开口向上，在[0,1] 上的一段抛物线．
备
分
高
层
考
限
时
跟
踪
练
理 教
第九节 函数模型及其应用
材
专
题
突
研
破
考 点
提 练
备高考| 3 个任务 1．考查借助函数图象刻画实际问题中两变量的变化过程． 2．考查应用所给函数模型解决实际问题的能力． 3．考查选择合适的函数模型，对已知数据的处理能力．
理教材| 回扣自测
要点梳理
一、三种函数模型之间增长速度的比较
当 x＝18 时，L(x)有最大值． 【答案】 B
5．(2015·四川高考)某食品的保鲜时间 y(单位：小时)与储藏温度 x(单位：℃)
满足函数关系 y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b 为常数)．若该食品
在 0 ℃的保鲜时间是 192 小时，在 22 ℃的保鲜时间是 48 小时，则该食品在 33 ℃
考向 3 构建函数模型解决实际问题
高考数学一轮总复习第二章函数导数及其应用2.9函数模型及其应用课件理
必修(bìxiū)部分
第二章 函数(hánshù)、导数及其应用
第九节 函数模型(móxíng)及其应用
第一页，共33页。
栏
考情分析 1
(fēnxī)
目
基础自主(zìzhǔ) 2
3 考点疑难(yí
nán)突破
导
梳理
航
4 课时跟踪检测
第二页，共33页。
1
考情分析
第三页，共33页。
考点分布
考纲要求
第十三页，共33页。
3．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品 x 万件时的生产成本为 C(x)＝12x2＋2x＋20(万元)．一万件售价是 20 万元，为获取更大 利润，该企业一个月应生产该商品数量为________万件．
解析：利润 L(x)＝20x－C(x)＝－12(x－18)2＋142，当 x＝18 时，L(x)有最大值． 答案：18
第三十页，共33页。
指数函数与对数函数模型的应用技巧 (1)与指数函数、对数函数两类函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会 合理选择模型，在两类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于 1)的一 类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型． (2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函 数解析式，再借助函数的图象求解最值问题.
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c (a，b，c 为常数，a≠0)
第六页，共33页。
f(x)＝bax＋c 指数函数模型
(a，b，c 为常数，b≠0，a＞0 且 a≠1)
对数函数模型
f(x)＝blogax＋c
(a，b，c 为常数，b≠0，a＞0 且 a≠1)
第二章 函数(hánshù)、导数及其应用
第九节 函数模型(móxíng)及其应用
第一页，共33页。
栏
考情分析 1
(fēnxī)
目
基础自主(zìzhǔ) 2
3 考点疑难(yí
nán)突破
导
梳理
航
4 课时跟踪检测
第二页，共33页。
1
考情分析
第三页，共33页。
考点分布
考纲要求
第十三页，共33页。
3．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品 x 万件时的生产成本为 C(x)＝12x2＋2x＋20(万元)．一万件售价是 20 万元，为获取更大 利润，该企业一个月应生产该商品数量为________万件．
解析：利润 L(x)＝20x－C(x)＝－12(x－18)2＋142，当 x＝18 时，L(x)有最大值． 答案：18
第三十页，共33页。
指数函数与对数函数模型的应用技巧 (1)与指数函数、对数函数两类函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会 合理选择模型，在两类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于 1)的一 类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型． (2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函 数解析式，再借助函数的图象求解最值问题.
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c (a，b，c 为常数，a≠0)
第六页，共33页。
f(x)＝bax＋c 指数函数模型
(a，b，c 为常数，b≠0，a＞0 且 a≠1)
对数函数模型
f(x)＝blogax＋c
(a，b，c 为常数，b≠0，a＞0 且 a≠1)
高考数学总复习(一轮)(人教A)教学课件第二章 函 数第9节 函数与方程
f( )= -lo +1= -log23=log2 -log2 <0,
f( )= -lo +1= >0,
所以函数 f(x)=x-lo x+1 的零点所在的区间为( , ).故选 C.
(2)(2024·广东深圳模拟)定义开区间(a,b)的长度为b-a.经过估
对于B,因为f(1)=-1<0,f(2)=log32+2-2=log32>0,即f(1)f(2)<0,
所以∃x0∈(1,2),使得f(x0)=0,B正确;对于C,D,当x>2时,f(x)>f(2)>0,
所以f(x)在区间(2,3)和(3,4)上无零点,C错误,D错误.故选B.
确定函数零点所在区间的常用方法
(1)利用函数零点存在定理:首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图
象是否连续,再看是否有f(a)·f(b)<0.若有,则函数y=f(x)在区间
(a,b)内必有零点.
(2)数形结合法:通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是
否有交点来判断.
[针对训练]
(1)(2024·云南昆明模拟)函数f(x)=x- lo x +1的零点所在的区
(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函
数的图象,然后数形结合求解.
角度二
求函数零点之和
[例4] (2024·江西新余模拟)函数f(x)=2-
-
-
高三一轮总复习高效讲义第2章第9节函数模型及其应用课件
解析：利润 L(x)＝20x－C(x)＝－12 (x－18)2＋142， 当 x＝18 时，L(x)有最大值． 答案：18
4．已知某物体的温度 Q(单位：摄氏度)随时间 t(单位：分钟)的变化规律为 Q＝ m·2t＋21－t(t≥0，且 m>0)．若物体的温度总不低于 2 摄氏度，则 m 的取值范围是________．
2．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在 特定条件下，可食用率 p 与加工时间 t(单位：分钟)满足函数关系 p＝at2＋bt＋c(a，b，c 是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳 加工时间为________分钟．
解析：根据图表，把(t，p)的三组数据(3，0．7)，(4，0．8)，(5，0．5)分别代入函
解析：我们可将水“流出”设想成“流入”，这样水深 h 越大，水的体积 v 就越大， 故函数 v＝f(h)是增函数，排除 A、C；根据鱼缸形状可知，每当 h 增加一个单位增量 Δh 时，函数 v 的变化，开始其增量 Δv 越来越大，但经过中截面后其增量越来越小，故 v ＝f(h)的函数图象是先凹后凸的，曲线上的点的切线斜率先是逐渐变大，后又逐渐变小， 故选 B．
【小题热身】
1．已知 f (x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当 x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速 度进行比较，下列选项中正确的是( )
A．f (x)＞g(x)＞h(x)
B．g(x)＞f (x)＞h(x)
C．g(x)＞h(x)＞f (x)
D．f (x)＞h(x)＞g(x)
解析：当 x∈(4，＋∞)时，易知增长速度由大到小依次为 g(x)＞f (x)＞h(x)．故选 B． 答案：B
4．已知某物体的温度 Q(单位：摄氏度)随时间 t(单位：分钟)的变化规律为 Q＝ m·2t＋21－t(t≥0，且 m>0)．若物体的温度总不低于 2 摄氏度，则 m 的取值范围是________．
2．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在 特定条件下，可食用率 p 与加工时间 t(单位：分钟)满足函数关系 p＝at2＋bt＋c(a，b，c 是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳 加工时间为________分钟．
解析：根据图表，把(t，p)的三组数据(3，0．7)，(4，0．8)，(5，0．5)分别代入函
解析：我们可将水“流出”设想成“流入”，这样水深 h 越大，水的体积 v 就越大， 故函数 v＝f(h)是增函数，排除 A、C；根据鱼缸形状可知，每当 h 增加一个单位增量 Δh 时，函数 v 的变化，开始其增量 Δv 越来越大，但经过中截面后其增量越来越小，故 v ＝f(h)的函数图象是先凹后凸的，曲线上的点的切线斜率先是逐渐变大，后又逐渐变小， 故选 B．
【小题热身】
1．已知 f (x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当 x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速 度进行比较，下列选项中正确的是( )
A．f (x)＞g(x)＞h(x)
B．g(x)＞f (x)＞h(x)
C．g(x)＞h(x)＞f (x)
D．f (x)＞h(x)＞g(x)
解析：当 x∈(4，＋∞)时，易知增长速度由大到小依次为 g(x)＞f (x)＞h(x)．故选 B． 答案：B
高考数学一轮复习 2-9函数模型及其应用课件 理
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16
基考课础点堂诊突总断破结
• 【训练1】 (2014·舟山高三检测)某汽车销 售公司在A，B两地销售同一种品牌的汽车， 在A地的销售利润(单位：万元)为y1＝4.1x －0.1x2，在B地的销售利润(单位：万元) 为
• y2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)，若 该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车， 则能获得的最大利润是
值的比较
存在一个x0，当x＞x0时，有logax＜xn ＜ax
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6
基考课础点堂诊突总断破结
• 诊断自测
• 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
• (1)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值 大．(×)
• (2)“指数爆炸”是指数型函数y＝abx＋ c(a≠0，b＞0，b≠1)增长速度越来越快的形 象比喻．(×)
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11
基考课础点堂诊突总断破结
• 5．(人教A必修1P104例5改编)某桶装水经 营部每天的房租、人员工资等固定成本为 200元，每桶水的进价是5元，销售单价与 日均销售量的关系如表所示：
销售单价/ 元
6
7
8
9 10 11 12
日均销售 48 44 40 36 32 28 24 • 请量根/据桶以上数0 据0作出0分析0，这0 个0经营0部
为获得最大利润，定价应为________元．
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12
基考课础点堂诊突总断破结
• 解析 设在进价基础上增加x元后，日均销 售利润为y元，
• 日均销售量为480－40(x－1)＝520－40x(桶)，
• 则y＝(520－40x)x－200＝－40x2＋520x－ 200,0＜x＜13.
• 当x＝6.5时，y有最大值．所以只需将销售 单价定为11.5元，就可获得最大的利润．
高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用 第9节 函数模型及其应用课件 理
第2章 函数 、导数及其应用 (hánshù)
第九节 函数 模型及其应用 (hánshù)
12/11/2021
第一页，共五十页。
[考纲传真] 1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结 合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增 长的含义.2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段 函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．
第十七页，共五十页。
课堂题 型 全突破
12/11/2021
第十八页，共五十页。
用函数图象刻画变化过程 1.如图，在不规则图形 ABCD 中，AB 和 CD 是线段，AD 和 BC 是圆弧，直线 l⊥AB 于 E，当 l 从左至右移动(与线 段 AB 有公共点)时，把图形 ABCD 分成两部分，设 AE＝ x，左侧部分面积为 y，则 y 关于 x 的大致图象为( )
所以 L(x)＝－ 353－1x2x＋＋41xx0－03，，x0≥＜8x.＜8，
12/11/2021
第二十八页，共五十页。
(2)当 0＜x＜8 时，L(x)＝－13(x－6)2＋9. 此时，当 x＝6 时，L(x)取得最大值 L(6)＝9 万元， 当 x≥8 时，L(x)＝35－x＋10x0≤35－2 x·1x00＝35－20＝15，此 时，当且仅当 x＝1x00，即 x＝10 时，L(x)取得最大值 15 万元．因为 9＜15，所以当年产量为 10 万件时，小王在这一商品的生产中所获 利润最大，最大利润为 15 万元．
12/11/2021
A
B
C
D
第十九页，共五十页。
解析答案
D [因为左侧部分面积为 y，随 x 的变化而变化，最初面积增加得 快，后来均匀增加，最后缓慢增加，只有 D 选项适合．]
第九节 函数 模型及其应用 (hánshù)
12/11/2021
第一页，共五十页。
[考纲传真] 1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结 合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增 长的含义.2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段 函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．
第十七页，共五十页。
课堂题 型 全突破
12/11/2021
第十八页，共五十页。
用函数图象刻画变化过程 1.如图，在不规则图形 ABCD 中，AB 和 CD 是线段，AD 和 BC 是圆弧，直线 l⊥AB 于 E，当 l 从左至右移动(与线 段 AB 有公共点)时，把图形 ABCD 分成两部分，设 AE＝ x，左侧部分面积为 y，则 y 关于 x 的大致图象为( )
所以 L(x)＝－ 353－1x2x＋＋41xx0－03，，x0≥＜8x.＜8，
12/11/2021
第二十八页，共五十页。
(2)当 0＜x＜8 时，L(x)＝－13(x－6)2＋9. 此时，当 x＝6 时，L(x)取得最大值 L(6)＝9 万元， 当 x≥8 时，L(x)＝35－x＋10x0≤35－2 x·1x00＝35－20＝15，此 时，当且仅当 x＝1x00，即 x＝10 时，L(x)取得最大值 15 万元．因为 9＜15，所以当年产量为 10 万件时，小王在这一商品的生产中所获 利润最大，最大利润为 15 万元．
12/11/2021
A
B
C
D
第十九页，共五十页。
解析答案
D [因为左侧部分面积为 y，随 x 的变化而变化，最初面积增加得 快，后来均匀增加，最后缓慢增加，只有 D 选项适合．]
高三数学一轮总复习 第二章 函数与基本初等函数Ⅰ 第九节 函数模型及其应用课件 理
[小题体验] 1．(教材习题改编)某地高山上温度从山脚起每升高
100 m 降低 0.6 ℃.已知山顶的温度是 14.6 ℃，山 脚的温度是 26 ℃，则此山的高为________ m. 答案：1 900
2．(教材习题改编)已知等腰三角形的周长为 20，底边长 y 是关于腰长 x 的函数，则该函数的定义域为________． 解析：由题知 y＝20－2x，y>0 且 2x>y，所以 x∈(5,10)． 答案：(5,10)
第九节 函数模型及其应用
1．几类函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b 为常数，a≠0)
反比例函 数模型
f(x)＝kx＋b(k，b 为常数且 k≠0)
函数模型
函数解析式
二次，b，c 为常数，a≠0)
f(x)＝bax＋c 指数函数模型
(a，b，c 为常数，b≠0，a>0 且 a≠1)
对数函数模型
f(x)＝blogax＋c
(a，b，c 为常数，b≠0，a>0 且 a≠1)
幂函数模型 f(x)＝axn＋b(a，b 为常数，a≠0)
2.三种函数模型的性质
函数 性质
y＝ax (a>1)
y＝logax (a>1)
y＝xn (n>0)
在(0，＋∞) 上的增减性
[由题悟法] 二次函数模型问题的 3 个注意点 (1)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决， 但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错； (2)确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用 待定系数法； (3)解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题．
[即时应用] A，B 两城相距 100 km，在两城之间距 A 城 x(km)处建一核电 站给 A，B 两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不 得小于 10 km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电 量(亿度)之积的 0.25 倍，若 A 城供电量为每月 20 亿度，B 城 供电量为每月 10 亿度． (1)求 x 的取值范围； (2)把月供电总费用 y 表示成 x 的函数； (3)核电站建在距 A 城多远，才能使供电总费用 y 最少？
高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用 第9讲 函数模型及其应用课件
2021/12/11
第十五页，共四十五页。
根据该折线图，下列结论错误的是( ) A．月接待游客量逐月增加 B．年接待游客量逐年增加 C．各年的月接待游客量高峰期大致在 7,8 月 D．各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳
2021/12/11
第十六页，共四十五页。
2021/12/11
第十九页，共四十五页。
A．消耗 1 升汽油，乙车最多可行驶 5 千米 B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽 油最多 C．甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时，消耗 10 升 汽油 D．某城市机动车最高限速 80 千米/小时．相同条件下， 在该市用丙车比用乙车更省油
2021/12/11
第十一页，共四十五页。
5．[2018·抚顺模拟]某种动物繁殖量 y(只)与时间 x(年) 的关系为 y＝alog3(x＋1)，设这种动物第 2 年有 100 只，则 到第 8 年它们发展到的只数为___2_0_0___．
解析 ∵alog33＝100，∴a＝100，y＝100log39＝200.
2021/12/11
第三十页，共四十五页。
【变式训练 3】 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能
源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要
建造可使用 20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为
6 万元．该建筑物每年的能源消耗费用 C(单位：万元)与隔
热层厚度 x(单位：cm)满足关系 C(x)＝3x＋k 5(0≤x≤10)，若
Hale Waihona Puke 2021/12/11第二十页，共四十五页。
解析 对于 A 选项，从图中可以看出当乙车的行驶速 度大于 40 km/h 时的燃油效率大于 5 km/L，故乙车消耗 1 升汽油的行驶路程可大于 5 千米，所以 A 错误．对于 B 选 项，由图可知甲车消耗汽油最少．对于 C 选项，甲车以 80 km/h 的速度行驶时的燃油效率为 10 km/L，故行驶 1 小时 的路程为 80 千米，消耗 8 L 汽油，所以 C 错误．对于 D 选 项，当最高限速为 80 km/h 且速度相同时丙车的燃油效率大 于乙车的燃油效率，故用丙车比用乙车更省油，所以 D 正 确．
高三数学一轮复习 第二章 第九节 函数模型及其应用课件 理 新人教A版
(3)今后最多还能砍伐多少年？
第二十四页，共49页。
【解】 (1)设每年降低的百分比为x(0＜x＜1)． 则a(1－x)10＝12a，即(1－x)10＝12. 解得x＝1－(12)110. (2)设经过m年剩余面积为原来的 22， 则a(1－x)m＝ 22a， ∴(12)1m0＝(12)12，1m0＝12，解得m＝5. 故到今年为止，已砍伐了5年． (3)设从今年开始，以后砍了n年，
第二十三页，共49页。
(2013·广州模拟)一片森林原来面积为a，计划每年砍伐 一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的 一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至
少要保留原面积的
1 4
，已知到今年为止，森林剩余面积为原
来的
2 2
(1)求每年砍伐面积的百分比；
(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
D．{1.5，2，2.5}
【解析】 当m∈[0.5，3.2]时，[m]所有可能值为0，1， 2，3共四个，故f(m)的值域为{1，1.5，2，2.5}．
【答案】 B
第七页，共49页。
3．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某
企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝12x2＋
2x＋20(万元)．一万件售价是20万元，为获取更大利润，该
第九节 函数(hánshù)模型及其应用
第一页，共49页。
1．三种函数模型之间增长速度(zēnɡ chánɡ sùdù)的比较
函 数 性质
y＝ax(a＞1)
y＝logax(a＞1) y＝xn(n＞0)
在(0，＋ ∞)
上的增减 性
单__调___(d__ā_n_d_i_à_o_)_递__增单调__(_d_ā_n_d_i_à_o_)递__增 _单__调__递___增___
高三数学一轮复习 第2篇 第9节 函数模型及其应用课件 理
市场调查与预测,A 产品的利润与投资成正比,其关系如图(1);B 产品 的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图(2)(注:利润和投资 单位:万元).
2.几种常见的函数模型 见附表
固双基
y=xn(n>0)
单调递增函数
相对平稳 随 n 值变化而 不同
精选ppt
5
3.解函数应用问题的步骤 (1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学 模型; (2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言, 利用数学知识,建立相应的数学模型; (3)解模:求解数学模型,得出数学结论; (4)还原:将数学问题还原为实际问题的意义. 以上过程用框图表示如下:
精选ppt
6
基础自测 1.下列函数中随 x 的增大而增大速度最快的是( A )
(A)v= 1 ·ex (B)v=100ln x 100
(C)v=x100
(D)v=100×2x
解析:只有 v= 1 ·ex 和 v=100×2x 是指数函数, 100
并且 e>2,
所以 v= 1 ·ex 的增大速度快, 100
答案:②⑤
精选ppt
11
考点突破
考点一 一次函数、二次函数模型
剖典例 找规律
【例 1】 为了保护环境,发展低碳经济,某单位在国家科研部门的支持下, 进行技术攻关,采用了新工艺,把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品. 已知该单位每月的处理量最少为 400 吨,最多为 600 吨,月处理成本 y(元)
精选ppt
14
反思归纳 解函数应用题时首先要把求解目标表示为一个变量的 函数,这个变量应该把求解目标需要的一切量表示出来,同时注意 实际问题的函数定义域(指定的、根据实际意义的),一般不是由求 出的函数解析式确定的.
2.几种常见的函数模型 见附表
固双基
y=xn(n>0)
单调递增函数
相对平稳 随 n 值变化而 不同
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5
3.解函数应用问题的步骤 (1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学 模型; (2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言, 利用数学知识,建立相应的数学模型; (3)解模:求解数学模型,得出数学结论; (4)还原:将数学问题还原为实际问题的意义. 以上过程用框图表示如下:
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6
基础自测 1.下列函数中随 x 的增大而增大速度最快的是( A )
(A)v= 1 ·ex (B)v=100ln x 100
(C)v=x100
(D)v=100×2x
解析:只有 v= 1 ·ex 和 v=100×2x 是指数函数, 100
并且 e>2,
所以 v= 1 ·ex 的增大速度快, 100
答案:②⑤
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考点突破
考点一 一次函数、二次函数模型
剖典例 找规律
【例 1】 为了保护环境,发展低碳经济,某单位在国家科研部门的支持下, 进行技术攻关,采用了新工艺,把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品. 已知该单位每月的处理量最少为 400 吨,最多为 600 吨,月处理成本 y(元)
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14
反思归纳 解函数应用题时首先要把求解目标表示为一个变量的 函数,这个变量应该把求解目标需要的一切量表示出来,同时注意 实际问题的函数定义域(指定的、根据实际意义的),一般不是由求 出的函数解析式确定的.
旧教材适用2023高考数学一轮总复习第二章函数与基本初等函数第9讲函数模型及其应用课件
第9讲 函数模型及其应用
1
PART ONE
基础知识整合
1．常见的函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数型
f(x)＝ax＋b(a，b 为常数，a≠0)
二次函数型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c 为常数，a≠0)
指数函数型 f(x)＝bax＋c(a，b，c 为常数，a>0 且 a≠1，b≠0)
对数函数型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c 为常数，a>0 且 a≠1，b≠0)
“2156”，解密后得到的明文是( )
A．12 B．14 答案 A
C．2
D．18
解析 由已知，可得当 x＝4 时，y＝2，所以 2＝k·43，解得 k＝423＝312， 故 y＝312x3.令 y＝312x3＝2156，即 x3＝18，解得 x＝12.故选 A.
2．在某个物理实验中，测量得变量 x 和变量 y 的几组数据，如下表：
4．(2021·全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借 助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法 的数据 L 和小数记录法的数据 V 满足 L＝5＋lg V．已知某同学视力的五分记 录法的数据为 4.9，则其视力的小数记录法的数据约为( 10 10≈1.259)( )
A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6
答案 C
解析 将 L＝4.9 代入 L＝5＋lg V，得 lg V＝－0.1＝－110，所以 V＝10－110
＝1 10
≈1.2159≈0.8，故选 C.
10
5．(2020·全国Ⅲ卷)Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病 学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数 I(t)(t 的单位：天)的 Logistic 模型：I(t)＝1＋e－0K.23（t－53），其中 K 为最大确诊病例 数．当 I(t*)＝0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则 t*约为(参考数据：ln 19 ≈3)( )
1
PART ONE
基础知识整合
1．常见的函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数型
f(x)＝ax＋b(a，b 为常数，a≠0)
二次函数型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c 为常数，a≠0)
指数函数型 f(x)＝bax＋c(a，b，c 为常数，a>0 且 a≠1，b≠0)
对数函数型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c 为常数，a>0 且 a≠1，b≠0)
“2156”，解密后得到的明文是( )
A．12 B．14 答案 A
C．2
D．18
解析 由已知，可得当 x＝4 时，y＝2，所以 2＝k·43，解得 k＝423＝312， 故 y＝312x3.令 y＝312x3＝2156，即 x3＝18，解得 x＝12.故选 A.
2．在某个物理实验中，测量得变量 x 和变量 y 的几组数据，如下表：
4．(2021·全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借 助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法 的数据 L 和小数记录法的数据 V 满足 L＝5＋lg V．已知某同学视力的五分记 录法的数据为 4.9，则其视力的小数记录法的数据约为( 10 10≈1.259)( )
A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6
答案 C
解析 将 L＝4.9 代入 L＝5＋lg V，得 lg V＝－0.1＝－110，所以 V＝10－110
＝1 10
≈1.2159≈0.8，故选 C.
10
5．(2020·全国Ⅲ卷)Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病 学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数 I(t)(t 的单位：天)的 Logistic 模型：I(t)＝1＋e－0K.23（t－53），其中 K 为最大确诊病例 数．当 I(t*)＝0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则 t*约为(参考数据：ln 19 ≈3)( )
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x8 5·
0x00－48＝32，
当且仅当5x＝8 0x00，即 x＝200 时取等号．
∴年产量为 200 吨时，每吨平均成本最低，最低为 32 万元．
(2)设可获得总利润为 R(x)万元， 则 R(x)＝40x－y＝40x－x52＋48x－8 000 ＝－x52＋88x－8 000 ＝－15(x－220)2＋1 680 (0≤x≤210)． ∵R(x)在[0,210]上是增函数，∴x＝210 时， R(x)有最大值为－15(210－220)2＋1 680＝1 660. ∴年产量为 210 吨时，可获得最大利润 1 660 万元．
第二章 函数、导数及其应用
第9节 函数模型及应用
1．了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合 具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型 增长的含义．
2．了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段 函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．
[要点梳理] 1．几类函数模型及其增长差异 (1)几类函数模型
C．3 小时
D．2 小时
[解析] 212＝4096，分裂了 12 次．
[答案] C
3．某种动物繁殖量 y(只)与时间 x(年)的关系为 y＝alog3(x
＋1)，设这种动物第 2 年有 100 只，到第 8 年它们发展到( )
A．200 只
B．300 只
C．400 只
D．500 只
[解析] 由已知得 100＝alog3(2＋1)，得 a＝100，
f(x)＝axn＋b(a，b 为常数，a≠0)
(2)三种函数模型的性质
函数
性质
y＝ax(a＞1)
y＝logax(a＞1)
y＝xn(n＞0)
在(0，＋ ∞)上的增 减性
单调_递__增___
单调__递__增__
单调递增
增长速度 越来越快
越来越慢
相对平衡
随x的增大逐渐 图像的变化 表现为与__y_轴__
(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低， 并求最低成本；
(2)若每吨产品平均出厂价为 40 万元，那么当年产量为多 少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
思路点拨 (1)根据函数模型，建立函数解析式．(2)求函数 最值．
[解] (1)每吨平均成本为yx(万元)．
则yx＝5x＋80x00－48≥2
④幂函数增长比直线增长更快． ⑤指数函数模型，一般用于解决变化较快，短时间内变化 量较大的实际问题中． 其中正确的命题是________．(写出所有正确命题的序号)
[解析] ①错误．当 x∈(0,2)和(4，＋∞)时，2x>x2，当 x∈
(2,4)时，x2>2x.
②正确．由两者的图像易知．
③错误．增长越来越快的指数型函数是 y＝a·bx＋c(a>0，
则当 x＝8 时，y＝100log3(8＋1)＝200(只)．故选 A.
[答案] A
4．给出下列命题： ①函数 y＝2x 的函数值在(0，＋∞)上一定比 y＝x2 的函数值 大． ②在(0，＋∞)上，随着 x 的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会 超过并远远大于 y＝xα(α>0)的增长速度． ③“指数爆炸”是指数型函数 y＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1) 增长速度越来越快的形象比喻．
函数模型 一次函数模型 反比例函数模型
函数解析式 f(x)＝ax＋b(a、b 为常数，a≠0) f(x)＝kx＋b(k，b 为常数且 k≠0)
二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c 为常数，a≠0)
函数模型 指数函数模型
对数函数模型 幂函数模型
函数解析式 f(x)＝bax＋c(a，b，c 为常数，b≠0，a＞0 且 a≠1) f(x)＝blogax＋c(a，b，c 为常数，b≠0，a ＞0 且 a≠1)
b>1)．
④错误．幂函数 y＝xn(0<n<1，x>1)的增长速度比直线 y＝
x(x>1)的增长速度慢．
⑤正确．根据指数函数 y＝ax(a>1)函数值增长特点知⑤正
确．
[答案] ②⑤
5．(2015·安阳模拟)某工厂生产某种产品固定成本为 2 000 万元，并且每生产一单位产品，成本增加 10 万元．又知总收入 K 是单位产品数 Q 的函数，K(Q)＝40Q－210Q2，则总利润 L(Q) 的最大值是________万元．
拓展提高 二次函数是常用的函数模型，建立二次函数模 型可以求出函数的值域或最值．解决实际中的优化问题时，一 定要分析自变量的取值范围．利用配方法求最值时，一定要注 意对称轴与给定区间的关系：若对称轴在给定的区间内，可在 对称轴处取最值，在离对称轴较远的端点处取另一最值；若对 称轴不在给定的区间内，最值都在区间的端点处取得．
平行
随x的增大逐渐表 现为与_x_轴___平行
随n值变化而各有 不同
值的比较
存在一个x0，当x＞x0时，有logax＜xn＜ax
2．解函数应用问题的步骤(四步八字) (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初 步选择数学模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为 符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； (3)解模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义．
[基础自测]
1 ． (2015·南 昌 质 检 ) 往 外 埠 投 寄 平 信 ， 每 封 信 不 超 过 20
g，付邮费0.80元，超过20 g而不超过40 g，付邮费1.60元，依
此类推，每增加20 g需增加邮费0.80元(信的质量在100 g以
内)．如果某人所寄一封信的质量为 72.5 g，则他应付邮费
()
A．3.20元
B．2.90元
C．2.80元
D．2.40元
[解析] 由题意得 20×3<72.5<20×4，则应付邮费 0.80×4 ＝3.20(元)．故选 A.
[答案] A
2．某种细胞，每 15 分钟分裂一次(1→2)这种细胞由 1 个
分裂成 4096 个需经过( )
A．12 小时
B．4 小时
[解析] 由已知得 L(Q)＝K(Q)－10Q－2 000＝(40Q－210Q2)
－10Q－2 000＝－
1 20
(Q－300)2＋2 500，
所以当 Q＝300 时，L(Q)max＝2 500(万元)．
[答案] 2 500
考向一 二次函数模型 例 1 某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品， 其生产的总成本 y(万元)与年产量 x(吨)之间的函数关系式可以 近似地表示为 y＝x52－48x＋8 000，已知此生产线年产量最大为 210 吨．