1集合论与实分析基础(数理经济学讲义-西安交大寿纪麟)

含有xn中无穷多个点，且 a2,b2 a1,b1；
以此类推，可得到一个闭区间列an,bn ，n=1，2，...
其中每一个an ,bn 都包含了无穷多个xn ,且
... an ,bn an-1,bn-1 ... a2,b2 a1,b1
由此构造可知 an,bn 为一个闭区间套。
由定理1.1，必存在
事实上，取 ＝1， N1，当m，n N1时，| xn xm | 1，
取m＝N1＋1, 当n>N1时, | xn xm | 1
令
A=max x1 ,x2 ,...,xN1+1 ,
因此，A 1为xn的上界，-（A＋1）为xn的下界。
即
xn A+1,
n
由定理1.2 在xn中必存在子列{xnk } {xn}，使
数列x
n
n=1
收敛的充要条件是它为基本数列。
证（
）设
x
n
n=1
为收敛数列。令x
n
a，则
>0，N，当m，n N时，有
xn a / 2, xm a / 2
xn xm xn a a xm | xn－a|+|xm a |
即xn 为Cauchy数列。
（ ）设xn为Cauchy列，首先我们来证xn为有界数列。
则
x A C， 或 x B C 。
从而, x C 且 x A 或 x B，即 x （A B） C，
（A C）（B C）（A B） C 。
因此 （A C）（B C）＝（A B） C。
转换律: A\B＝A BC;
对偶原理；（De－Morgen原理）
(1) (
A )C＝
A
C
,
(2) (
A )C＝
-
an ) 0 ,
lim
n
an＝lnim
b
n＝
因为 {xnk
}为 {xn }的子列，故
lim
k
x nk＝
。
定义
设
xn
n=1
为一个数列，若当m，n
时,
有 xn - xm 0, 即 0 ， N , 当 m，n N 时,有 | xn - xm |
则称该数列为基本数列或Cauchy数列。
定理 1.3 （完备性定理）
例1.3 (y) = {(x1, x2） R＋ 2 | y Ax1x12－ } 例1.4 C[a, b] {f(x) | f(x)为[a, b]上的连续函数}
1.2 集合及其运算
并：A B＝{x | x A,或x B} 交：A B＝{x | x A,且x B} 差：A \ B ＝{x | x A,但x B}
A
C
。
De－Morgen原理的证明。
(1) x ( A)C x A ，x A
，x A x
A
C
C
C
另一方面， x
A
C
，x
A
C
，x
A
x A x ( A)C ,
A
C
(
A )C
(
A )C＝
A
C
（2）由（1）可以证（2）。
因为
所以
(
A
C
)C＝
(A
C
)C＝
第1章 集合论与实分析基础
1.1 集合的定义
集合已被广泛应用在现代数学的各个方面，尤其是应用在 经济学,简单的讲,集合是具有某种确定性的事物的全体。
例1.1 {(x,y)|x2＋y2＝1}表示以原点为中心，半径为 1 的
圆周上点的全体。
例1.2 {x|u(x）=}表示消费者的效用值为的商品组合 的全体,即为一条效用值为的无差别曲线。
定理1.2 （Bolzano Weierstrass 定理)
任何有界数列必有收敛子列。
证 设xn 为有界数列，则存在上下界a, b, 即a < xn< b。 两等分a,b，其中至少有一个分区间，记为a1,b1 ,
含有xn中无穷多个点。 a
a1
a2
b2
b1
b
两等分a1,b1，其中至少有一个分区间,记为a2,b2 ,
余：Ac＝ {x | x A} 集合的运算规则： 交换律： A B＝B A，A B＝B A;
结合律：（A B） C＝A （B C）, （A B） C＝A （B C）;
分配律： (A B） C＝（A C）（B C）, （A B） C＝（A C）（B C）;
吸收律； 若A B，则A B＝B；A B＝A, A , A \ B＝，A ＝A;
A,
A
C＝(
A )C。
例1.8 [0,2]可以被区间族：
证 A\（A\B）＝A （A \ B）C＝A （A ＢC）C ＝A （AC B）＝（A AC）（A B）
＝ （A B）＝A B
实分析基础
有理数集(Q) 有理数是指一切形如 p/q 的数，其中 p,q 0 均为整数，
Q =x|x=p/q , p,q为整数，q 0
命题1.1 有理数集是稠密的。 即 对 x、y Q，x y, x<y，必 z Q , 使 z （x、y）。 命题1.2 有理数集对四则运算法则是封闭的。 但是有理数对极限运算不是封闭的，换句话说有理 数集是不完备的。
1.3 实数集(R)的完备性 定义 若满足下列条件：
(1) a1,b1 a2, b2 ... an, bn ...
xn k k a
现在来证明
lim
n
x
＝a
n
事实上， > 0, K, 当 k>K 时，有 xnk a / 2 。
由设xn为Cauchy数列，故 N1,当 k N1时，
且
lim
n
an＝lnim
b
n＝
由于每一个an ,bn 中含有无穷多个xi，所以先取
xn1 a1,b1 ，再取xn2 a2,b2 ，且n2 n1,
如此继续下去，可取出使xnk ak ,bk ，且nk1 nk ,
所以
ak xnk bk ,
k=1,2,3,......
lim
n
(bn
例1.5 求证（A B） C＝（A C）（B C）。
证 x （A B） C，则 x A B 且 x C，
从而， x A 或 x B，且 x C，
这就是说，x A ，且 x C， 或 x B，且 x C，
即
x （A C）（B C），
所以 （A B） C （A C）（B C）。
另一方面， x （A C）（B C），
(2) 闭区间an ,bn 的长度数列，bn－an n 0
则称这个闭区间列为一个闭区间套。
定理1.1 Contor闭区间套定理。（当作公理承认）
设an,bn 为任意一个闭区间套，则必存在唯一的实数，
使 an,bn ，n=1，2，..., m,...，即
n1
an ,bn
，且
lim an = lim bn