全国大学生数学建模比赛答辩储油罐的变位识别与罐容
数模全国一等奖储油罐的变位识别与罐容表标定
储油罐的变位识别与罐容表的标定摘要本文研究储油罐的变位识别与罐容表的标定。
分别以小椭圆型油罐和实际卧式储油罐为研究对象，运用高等数学的积分的知识，分别建立罐体变位前后罐内油体积与油高读数之间的积分模型，使用Matlab 软件得出结论。
对于问题一，以小椭圆型储油罐为研究对象，在无变位时，小椭圆型储油罐为规则的椭球柱体，可利用解析几何与高等数学的知识建立油罐内体积与油高读数之间的积分模型，得出罐体无变位时的理论值。
当罐体发生纵向变位时，小椭圆型储油罐的截面不再是规则的几何形体，但根据倾角α及所给小椭圆型罐体的尺寸，可得其截面面积的表达式，利用高等数学中积分的方法，根据不同油高，建立了模型一，得到了储油量和油高的关系公式。
最后，根据实验数据的处理，用拟合的方法，修正了某些系统误差的影响，计算出罐体变位后油位高度间隔1cm 的罐容表的标定值。
对于问题二，由于实际储油罐内没油的高度不同，我们将其分为五种情况分别讨论，并对每种情况建立积分公式，得出罐内油体积与油位高度及变位参数（纵向倾斜角α和横向偏转角β）之间的函数关系式，利用所给的实验数据，运用最小二乘法，建立非线性规划模型212arg ,(((,,)(,,)))min (,,)nii i i V H V HOilData error OilData αβαβαβαβ-==--∑用Matlab 非线性规划求解得出使得总体误差最小的α与β值：α=2.12°，β=4.06°。
通过α与β的数值计算出出油量理论值与实测值的平均相对误差小于0.5% 。
对模型进行了较为充分的正确性验证和稳定性验证：在α与β的值为0时，其计算出来的罐容值与理论值完全吻合，说明模型在体积计算上是正确的；当对油高进行0.1%的扰动时，α的值变化也在0.1%左右，说明α的稳定性很好，但是β的值从4.06°变成了3.75°，变化了大约8%，所以我们详细分析了β的数学表达式，从理论上分析了影响其稳定性的因素。
全国大学生数学建模竞赛A题获奖—储油罐的变位识别与罐容表标定收集资料
2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则。
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是：A题储油罐的变位识别与罐容表标定我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：参赛队员（打印并签名）：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人（打印并签名）：日期：2010年9月12日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：储油罐的变位识别与罐容表标定摘要本文通过对储油罐中油位高度及变位参数之间的不同情形的储油量进行分析并建立相应的数学模型，在该过程中先利用投影法、截面法及微元法得出储油量与油位高度及变位参数的函数关系。
再由Matlab编程可知各高度储油量的理论数据，最后分析误差及评价模型的合理性。
对于问题一的任一种情形，我们均建立笛卡尔坐标系，当储油罐无变位时，利用微元法得到体积关于h的公式，当储油罐发生变位时，根据储油罐中油量的多少分成三种情形，就每一类利用微元法得到体积关于h的公式。
代人附件1实验数据中的高度得到储油罐中的理论油量V。
根据理论油量及实际油量得出误差，判断误差所服从的分布，再利用相对误差进行误差分析并评价模型的合理性。
由上述得到储油罐发生变位时体积关于h的公式我们给出了罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值（即进/出油量与罐内油位高度的表格）。
2010年“高教社杯”全国大学生数学建模竞赛获奖作品——储油罐变位识别与罐容表标定
【关键词】变位识别；罐容表标定；纵向倾斜；横向偏转 ；分割；微元； 最小二乘法 ；误差分析
一、问题分析 通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐， 并且一般都有与之配套 “油位计量管理 系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐 容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量 的变化情况。许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵 向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照有关规定， 需 要定期对罐容表进行重新标定。 首先， 我们可以用微积分的基本思想对小椭圆型储油罐未发 生变位时罐体中的储油量与油位高度的关系进行分析与研究。 然而由于储油罐变位后的油的 体积形状不统一， 因此我们需要对由油位高度的不同导致储油罐中几种不同情形的体积状态 进行分类讨论， 在建立三种相应的积分模型的过程中， 我们还可以对这三种情况进行联系和 区分。 为了掌握罐体变位后对罐容表的影响， 对储油罐变位前和变位后的误差分析是必须的， 这里通过选取不同范围内的数据， 对实测值和理论上数据的多次比较， 来体会和分析产生误 差的原因。之后利用罐体变位后的具体模型，可以求解出油位高度间隔为1cm的罐容表标定 值。 因为储油罐的形状为带冠状的储油罐体， 而单独求解每个冠状体中油的体积是不方便的， 因而我们可以利用分割的思想将储油罐体分成三个部分（两个冠状体和一个椭圆柱体）， 两 个冠状体合并成一个椭球体，通过这种方法求解会简便许多。而当储油罐发生变位时，会出 现纵向倾斜和横向偏转， 为了模型的包容度， 我们将讨论只发生纵向倾斜、 只发生横向偏转， 既发生纵向倾斜又发生横向偏转的三种不同情况来总结罐内储油量与油位高度及变位参数 （纵向倾斜角度和横向偏转角度 ） 之间的一般关系。 在确定所求模型中的变位参数方面， 我们将根据实测数据进行相应的误差分析， 如果模型推导式比较复杂， 我们将估计变位参数 的值， 采用最小二乘的方法向实测数据进行逼近， 来使得实测值与理论值的误差的平方和达 到最小，此时的变位参数即被确定。当变位参数确定后，我们将根据模型求解出罐体变位后 油位高度间隔为10cm的罐容表标定值， 接着与实际数据相结合， 通过误差分析来验证模型的
储油罐的变位识别与罐容表标定_数学建模竞赛
全国大学生数学建模竞赛储油罐地变位识别与罐容表标定参赛学校：重庆工商大学承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛地竞赛规则．我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外地任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关地问题．我们知道，抄袭别人地成果是违反竞赛规则地，如果引用别人地成果或其他公开地资料（包括网上查到地资料），必须按照规定地参考文献地表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出．我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛地公正、公平性．如有违反竞赛规则地行为，我们将受到严肃处理．我们参赛选择地题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A我们地参赛报名号为（如果赛区设置报名号地话）：所属学校（请填写完整地全名）：重庆工商大学参赛队员 (打印并签名) ：1．王文姣2．白洋3．吴静指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)：袁德美日期： 2010 年 9 月 13日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编）：储油罐地变位识别与罐容表标定摘要油品地数量管理在油品地经营过程中占有很重要地地位,其中储油罐罐容表地标定是加油站中油品管理地关键.但由于储油罐地长时间使用会导致地基变形,罐体地位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位）, 从而需要定期对罐容表进行重新标定.因此能够正确地解决好罐容表地标定问题,将会给现实生活中加油站等储油行业地操作带来方便.本文主要解决储油罐地变位识别及罐容表地标定问题.我们根据积分“无限细分,无限求和”地思想,通过建立积分模型,将储油罐划分为无数个连续地椭圆形截面.在进行储油量地计算时,由于油液面将这无数个椭圆截成了无数个弓形,故计算储油量地过程即转化为了对这无数个弓形在一定范围内求积分地问题.问题一,在准确地模型假设地前提下,根据油位高度与各弓形面积地关系和弓形面积与油罐体体积地关系,分别对罐体无变位和变位地情况建立积分模型,然后利用附件1地实测数据,对模型进行误差分析与拟合修正,最后给出罐体变位后油位高度间隔为1cm地罐容表标定值（结果请见表1）.问题二,在问题一地基础上,首先我们同样采用积分地思想求得罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度和横向偏转角度）之间地一般关系.然后根据对问题二地模型所求得地数据α=︒，与附件2所给地实际检测数据进行运算可以得到理想地、值，我们求解得出 2.07β=︒.进而利用α，β得到油位高度间隔为10cm地罐容表标定值（结果请见表2）.4.98另外在去掉温度对储油量不会产生影响地假设条件下,我们对模型进行了进一步地改进. 为了消除温度地影响,我们考虑了油品地体积随温度变化地关系.利用经验公式.将油品体积全部转化为固定温度下地数据,然后再进行比较分析.关键词：优化处理；拟合；罐容表标定；微积分模型；最小二乘法.一、问题重述通常加油站都有若干个储存燃油地地下储油罐，并且一般都有与之配套地"油位计量管理系统"，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定地罐容表（即罐内油位高度与储油量地对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量地变化情况．许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体地位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变．按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定．在不考虑外界环境地影响下，现解决如下问题：1．为了掌握罐体变位后对罐容表地影响，利用小椭圆型储油罐（两端平头地椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为地纵向变位两种情况做了实验，得出实验数据．并在所得数据地基础上建立数学模型，研究罐体变位后对罐容表地影响，并算出罐体变位后油位高度间隔为1cm 地罐容表标定值．2．在实际情况下，罐体变位后标定罐容表地标定值与理论上是有偏差地，但也存在着一定地联系，因此问题二需要找出罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度和横向偏转角度）之间地一般关系．在对实际情况下罐体变位后进/出油过程中地实际检测数据进行分析与运算后，我们建立一数学模型，并通过其确定变位参数，同时求得罐体变位后油位高度间隔为10cm地值．罐容表标定[]1二、问题分析储油罐罐体地变位识别是油位计量管理系统中地重要环节之一，而油品地数量管理是加油站等经营部门地基础工作，同时它又在其经营过程中占有重要地位．目前，由于地基变形等原因，出现了一些不规范地问题．故对罐体变位识别是确定一个规范地、科学地、精确地油位计量管理系统地必要前提．问题一要解决地是小椭圆形罐体纵向倾斜变位后对罐容表地影响问题．对于此类问题，我们通常利用高等数学中地定积分方法来求解．其一般思想为“求和、取极限” []2.我们根据附件1所给出地小椭圆形罐体在无变位和变位时地进/出油量与油位高度地实验数据最后来修正模型．综上所述，先讨论小椭圆形罐体无变位时，储油量与油位高度之间地关系，建立积分模型一并且根据模型求出无变位时地罐容表．α=︒纵向倾斜后地情况，建立积分模型二．模型二涉及二重积分然后再讨论当储油罐发生 4.1地知识．对模型二分盲区和非盲区两种情况进行讨论．其中盲区包含两个部分：一、油面刚好接触油位探测装置底部，此油位探针地读数为0但实际油量不为0；二、油位探针刚好接触储油罐顶部，油位探针地读数为1．2，但此时储油罐并没有装满．对于非盲区情况也需要进行分类讨论．最后将模型数据和实测数据通过MA TLAB软件进行拟合，我们可以得出两种情况下模型数据与实测数据间地关系，通过该关系进一步对原来地模型进行修正．最后确定变位后地罐容表，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm地罐容表标定值．问题二要解决罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β）之间地一般关系，且α与β未知，通过对题意地理解和对图形地分析，我们决定在问题一地基础上运用积分地知识建立数学模型三．首先，我们将油罐体横向分为五个部分，并依次求得各部分截面面积；其次，我们又将油罐体纵向分为三个部分，依据之前求得地截面面积，纵向依次对其进行积分运算，从而得到各部分地体积，而油量地总体积即为各部分体积之和，该和式即为罐内油量与油位高度及变位参数α与β地关系式．根据附件2所给出地数据确定α与β，然后通过对模型数据与实测数据之差（即离差）地平方和求出离差最小时,α与β地取值，进而确定罐体在变位后油位高度间隔为10cm罐容表标定值．最后，再用附件2给定地数据,利用最小二乘法对我们所建立地“罐体纵、横向变位后模型”进行检验.下面为该问题地解法流程图：三、模型假设1． 累计进/出油量与罐内油位高度为连续型变量；2． 空气对油品地氧化情况不存在，注入油料时没有气泡地存在；3． 地下储油罐地外界环境适宜．如气压为常压，温度在19c ︒~200c ︒，考虑到数据为8月份地数据，设温度为固定温度30c ︒；4． 忽略储油罐壁厚和油浮子所占用地体积和罐底污泥厚度；5． 系统稳定，不存在信号、噪声等外界因素带来地随机误差，也不考虑观测误差、连续问题离散化所产生地误差，附录所给地数据真实、准确、可靠；6． 该储油罐为两端平头且为椭圆地柱体；7． 忽略温度对储油罐储油量地影响，储油罐储油量不随温度地变化而变化； 8． 储油罐密封性好，没有泄露和蒸发损失地情况；9． 不考虑液体静压力对罐壁地作用而对油罐容积产生地影响； 10．储油罐罐壁平滑，不存在变形；11．当高度达到1.2时，不再向储油罐内注油， 这是从单位经济效益方面考虑地． 12．忽略油罐内部气体压强对注油这一过程地影响．四、符号说明i N ：储油罐截面圆圆心， 1,2,3i =；RR ：变位与无变位罐容表标定值地相似度； α：储油罐纵向倾斜地角度，单位为度；β：储油罐横向偏转角度，单位为度；x ：建立三维坐标x 轴，单位为m ； z ：建立三维坐标z 轴，单位为m ；b ：小椭圆型油罐椭圆截面长半轴长，单位为m ；c ：小椭圆型油罐椭圆截面短半轴长，单位为m ；y ：小椭圆型油罐连续椭圆截面到储油罐罐底地距离，单位为m ；y '：以椭圆截面地中心为坐标原点，建立地横坐标，单位为m ；i h ：第i 种情况下油位探针测得储油器地油位地高度， 1,2,3i =，单位为m ；()ij t y ：在第i 问中第j 种情况下油罐在y 点处弓形截面高度，,1,2i j =，单位为m ；()k ij s y '：第i 问中第j 种情况下油罐在k 阶段形成弓形截面面积与y '地关系，,1,2i j =，1,2,3,4,5k =，单位为2m ；()k ij v y ：在第i 问中第j 种情况下储油罐在第k 部分内地储油量关于y 地函数，1,2,3i =，1,2j =，1,2,3,4,5k =单位为3m ；i V ：第i 种情况下求得地储油量，1,2,3i =，单位为L ； i V '：第i 种情况下给出地储油量，1,2,3i =，单位为L ；i V ∆：第i 种情况下求得地储油量地绝对误差，1,2,3i =，单位为L ； i E ：第i 种情况下误差调节函数，1,2,3i =，单位为L ；m ：替换变量，单位为m ；i r ：储油罐截面圆地半径，，1,2,3,4,5,6i =，单位为m ；L ：球冠体球心到i r 地距离，单位为m ；h '：储油器地油位地实际高度，单位为m ；1R ：包含球冠体地球体地半径，单位为m ；1P y ：1P 点纵坐标，单位为m ；2P y ：2P 点地纵坐标，单位为m ；()i S y ：储油罐各分段截面地面积，1,2,3,4,5i =，单位为2m ；O ,A ,H ,B ,Q ,C ,D ,1P ,2P ,F ,N :图形上相应地点。
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2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则。
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
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再由Matlab编程可知各高度储油量的理论数据，最后分析误差及评价模型的合理性。
对于问题一的任一种情形，我们均建立笛卡尔坐标系，当储油罐无变位时，利用微元法得到体积关于h的公式，当储油罐发生变位时，根据储油罐中油量的多少分成三种情形，就每一类利用微元法得到体积关于h的公式。
代人附件1实验数据中的高度得到储油罐中的理论油量V。
根据理论油量及实际油量得出误差，判断误差所服从的分布，再利用相对误差进行误差分析并评价模型的合理性。
由上述得到储油罐发生变位时体积关于h的公式我们给出了罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值（即进/出油量与罐内油位高度的表格）。
储油罐的变位识别与罐容表标定_数学建模竞赛
全国大学生数学建模竞赛储油罐地变位识别与罐容表标定参赛学校：重庆工商大学承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛地竞赛规则．我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外地任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关地问题．我们知道，抄袭别人地成果是违反竞赛规则地，如果引用别人地成果或其他公开地资料（包括网上查到地资料），必须按照规定地参考文献地表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出．我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛地公正、公平性．如有违反竞赛规则地行为，我们将受到严肃处理．A我们参赛选择地题号是（从A/B/C/D 中选择一项填写）：我们地参赛报名号为（如果赛区设置报名号地话）：所属学校（请填写完整地全名）：重庆工商大学参赛队员(打印并签名 ) ：1．王文姣2 ．白洋3 ．吴静指导教师或指导教师组负责人(打印并签名 )：袁德美日期：2010 年 9 月 13日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编）：储油罐地变位识别与罐容表标定摘要油品地数量管理在油品地经营过程中占有很重要地地位,其中储油罐罐容表地标定是加油站中油品管理地关键.但由于储油罐地长时间使用会导致地基变形,罐体地位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位）, 从而需要定期对罐容表进行重新标定.因此能够正确地解决好罐容表地标定问题 ,将会给现实生活中加油站等储油行业地操作带来方便.本文主要解决储油罐地变位识别及罐容表地标定问题.我们根据积分“无限细分,无限求和”地思想 ,通过建立积分模型 ,将储油罐划分为无数个连续地椭圆形截面.在进行储油量地计算时 ,由于油液面将这无数个椭圆截成了无数个弓形 ,故计算储油量地过程即转化为了对这无数个弓形在一定范围内求积分地问题 .问题一 ,在准确地模型假设地前提下,根据油位高度与各弓形面积地关系和弓形面积与油罐体体积地关系 ,分别对罐体无变位和变位地情况建立积分模型,然后利用附件1地实测数据,对模型进行误差分析与拟合修正,最后给出罐体变位后油位高度间隔为1cm 地罐容表标定值（结果请见表1） .问题二 ,在问题一地基础上,首先我们同样采用积分地思想求得罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度和横向偏转角度）之间地一般关系.然后根据对问题二地模型所求得地数据与附件 2 所给地实际检测数据进行运算可以得到理想地、值，我们求解得出 2.07，4.98.进而利用，得到油位高度间隔为10cm 地罐容表标定值（结果请见表2） .另外在去掉温度对储油量不会产生影响地假设条件下温度地影响 ,我们考虑了油品地体积随温度变化地关系度下地数据 ,然后再进行比较分析.,我们对模型进行了进一步地改进. 为了消除.利用经验公式.将油品体积全部转化为固定温关键词：优化处理；拟合；罐容表标定；微积分模型；最小二乘法.一、问题重述通常加油站都有若干个储存燃油地地下储油罐，并且一般都有与之配套地" 油位计量管理系统" ，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定地罐容表（即罐内油位高度与储油量地对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量地变化情况．许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体地位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变．按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定．在不考虑外界环境地影响下，现解决如下问题：1．为了掌握罐体变位后对罐容表地影响，利用小椭圆型储油罐（两端平头地椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为地纵向变位两种情况做了实验，得出实验数据．并在所得数据地基础上建立数学模型，研究罐体变位后对罐容表地影响，并算出罐体变位后油位高度间隔为1cm 地罐容表标定值．2．在实际情况下，罐体变位后标定罐容表地标定值与理论上是有偏差地，但也存在着一定地联系，因此问题二需要找出罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度和横向偏转角度）之间地一般关系．在对实际情况下罐体变位后进/出油过程中地实际检测数据进行分析与运算后，我们建立一数学模型，并通过其确定变位参数，同时求得罐体变位后油位高度间隔为10cm 地罐容表标定值1．二、问题分析储油罐罐体地变位识别是油位计量管理系统中地重要环节之一，而油品地数量管理是加油站等经营部门地基础工作，同时它又在其经营过程中占有重要地位．目前，由于地基变形等原因，出现了一些不规范地问题．故对罐体变位识别是确定一个规范地、科学地、精确地油位计量管理系统地必要前提．问题一要解决地是小椭圆形罐体纵向倾斜变位后对罐容表地影响问题．对于此类问题，我们通常利用高等数学中地定积分方法来求解．其一般思想为“求和、取极限”. 2我们根据附件 1所给出地小椭圆形罐体在无变位和变位时地进/出油量与油位高度地实验数据最后来修正模型．综上所述，先讨论小椭圆形罐体无变位时，储油量与油位高度之间地关系，建立积分模型一并且根据模型求出无变位时地罐容表．然后再讨论当储油罐发生 4.1纵向倾斜后地情况，建立积分模型二．模型二涉及二重积分地知识．对模型二分盲区和非盲区两种情况进行讨论．其中盲区包含两个部分：一、油面刚好接触油位探测装置底部，此油位探针地读数为0 但实际油量不为0；二、油位探针刚好接触储油罐顶部，油位探针地读数为 1 ． 2 ，但此时储油罐并没有装满．对于非盲区情况也需要进行分类讨论．最后将模型数据和实测数据通过MA TLAB 软件进行拟合，我们可以得出两种情况下模型数据与实测数据间地关系，通过该关系进一步对原来地模型进行修正．最后确定变位后地罐容表，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm 地罐容表标定值．问题二要解决罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度和横向偏转角度）之间地一般关系，且与未知，通过对题意地理解和对图形地分析，我们决定在问题一地基础上运用积分地知识建立数学模型三．首先，我们将油罐体横向分为五个部分，并依次求得各部分截面面积；其次，我们又将油罐体纵向分为三个部分，依据之前求得地截面面积，纵向依次对其进行积分运算，从而得到各部分地体积，而油量地总体积即为各部分体积之和，该和式即为罐内油量与油位高度及变位参数与地关系式．根据附件 2 所给出地数据确定与，然后通过对模型数据与实测数据之差（即离差）地平方和求出离差最小时,与地取值，进而确定罐体在变位后油位高度间隔为10cm罐容表标定值．最后，再用附件 2 给定地数据 ,利用最小二乘法对我们所建立地“罐体纵、横向变位后模型”进行检验 .下面为该问题地解法流程图：问题一问题二特殊一般不变位变位变位盲区非盲区横向α纵向β三、模型假设1．累计进 /出油量与罐内油位高度为连续型变量；2．空气对油品地氧化情况不存在，注入油料时没有气泡地存在；3．地下储油罐地外界环境适宜．如气压为常压，温度在19 c ~200 c，考虑到数据为8 月份地数据，设温度为固定温度30 c；4．忽略储油罐壁厚和油浮子所占用地体积和罐底污泥厚度；5．系统稳定，不存在信号、噪声等外界因素带来地随机误差，也不考虑观测误差、连续问题离散化所产生地误差，附录所给地数据真实、准确、可靠；6．该储油罐为两端平头且为椭圆地柱体；7．忽略温度对储油罐储油量地影响，储油罐储油量不随温度地变化而变化；8．储油罐密封性好，没有泄露和蒸发损失地情况；9．不考虑液体静压力对罐壁地作用而对油罐容积产生地影响；10．储油罐罐壁平滑，不存在变形；11．当高度达到 1.2 时，不再向储油罐内注油，这是从单位经济效益方面考虑地．12．忽略油罐内部气体压强对注油这一过程地影响．四、符号说明N i：储油罐截面圆圆心，i1,2,3；RR：变位与无变位罐容表标定值地相似度；：储油罐纵向倾斜地角度，单位为度；：储油罐横向偏转角度，单位为度；x ：建立三维坐标x 轴，单位为 m ；z ：建立三维坐标z 轴，单位为 m ；b ：小椭圆型油罐椭圆截面长半轴长，单位为m ；c ：小椭圆型油罐椭圆截面短半轴长，单位为m ；m ；y ：小椭圆型油罐连续椭圆截面到储油罐罐底地距离，单位为y ：以椭圆截面地中心为坐标原点，建立地横坐标，单位为m ；h i：第i种情况下油位探针测得储油器地油位地高度，i1,2,3 ，单位为m；tij y：在第 i 问中第j 种情况下油罐在y 点处弓形截面高度， i, j1,2 ，单位为m；s k ij y：第 i 问中第j 种情况下油罐在k 阶段形成弓形截面面积与y 地关系， i , j1, 2，k 1,2,3,4,5 ，单位为 m2；v k ij y ：在第i问中第 j 种情况下储油罐在第k 部分内地储油量关于y 地函数， i1, 2, 3，j 1,2， k 1,2,3,4,5单位为 m3；V i：第i种情况下求得地储油量，i1,2,3，单位为 L ；V i：第i种情况下给出地储油量，i1,2,3，单位为 L ；V i：第i种情况下求得地储油量地绝对误差，i1,2,3 ，单位为 L ；E i：第i种情况下误差调节函数，i1,2,3，单位为 L ；m ：替换变量，单位为m；r i：储油罐截面圆地半径，，i1,2,3,4,5,6 ，单位为m；L ：球冠体球心到r i地距离，单位为m ；h：储油器地油位地实际高度，单位为m ；R1：包含球冠体地球体地半径，单位为m ；y P： P1点纵坐标，单位为m ；1y P： P2点地纵坐标，单位为m ；2S i( y) ：储油罐各分段截面地面积，i1,2,3, 4,5，单位为m2；O,A,H ,B ,Q,C,D,P1,P2,F ,N :图形上相应地点。
(推荐)数学建模A题--储油罐的变位识别与罐容表标定的论
储油罐的变位识别与罐容表标定摘要本文主要探讨了储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。
本文通过建立合适的坐标系，使用二重积分的方法和近似积分、坐标变换等技巧，求解了小椭圆储油罐和实际储油罐在发生变位时储油量与油高变化的函数关系，从而分析了罐体变位后对罐容表的影响，并对数据结果和误差进行了详实的分析。
本文在模型的建立与求解的过程中始终遵循化繁为简的原则，最先考虑简化的基本模型，再通过变换推导出实际的模型。
在第一问中，我们首先假设油罐壁的厚度为零，并通过二重积分的计算了小椭圆储油罐在无变位情况下的理论储油量。
其次我们通过运用几何原理通过坐标变换利用现有模型计算了小椭圆储油罐在纵向倾斜后的理论储油量。
在进行误差分析时，我们发现误差非线性，且误差数量级较大，得出油罐壁的厚度应不为零的结论，且经过理论分析油量3()V O d =，故我们用三次多项式拟合误差曲线()f H ，并通过'()()()V H V H f H =-修正了油量的计算公式。
经检验，修正后模型的计算值与实际值十分吻合，模型准确度很高。
并且，我们用修正后的模型V'(H)对油罐进行了标定。
在第二问中，我们利用了问题一中的模型求解罐身中的油量体积，并通过二重积分给出了油罐凸头部分油量的计算公式，其中，在油罐发生纵向倾斜时，我们队凸头部分的油量进行了合理的近似计算。
并且，我们通过坐标变换，给出了211()((,,((),))V H f f H f H αββα==））的变位参数修正形式。
在求解变为参数α、β时，我们通过最小二乘法拟合()V H ，求出了 2.1258, 4.6814αβ︒︒==。
将此变位参数代入模型中进行检验，得出理论计算值与实际值的相对误差限为5.006%，平均相对误差为0.029%，模型准确可靠。
最后我们用所得模型对油罐进行了标定。
关键词：储油罐 油量 倾斜 标定问题的重述与分析1、问题重述通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。
储油罐的变位识别与罐容表标定的优化算法(获国家奖)
储油罐的变位识别与罐容表标定的优化算法摘要: 本文针对不同卧式储油罐装置以及罐体纵向、横向变位等多个方面进行分析，应用微积分知识，并在计算球冠体时采用割补思想做近似计算，建立各种条件下储油罐内油的体积与所测油高的关系，并根据所给数据对所建模型做误差分析，最后利用优化搜索算法对参数进行估计,得到估计参数值为005730.0,2918.2==βα.关键词：卧式储油罐 体积计算模型 误差分析 优化算法 参数估计1.引言卧式储油罐由于使用方便等因素，广泛地被用于加油站储存燃油，储油罐的油量有专门的“油位计量管理系统”进行测定。
但在实际生活中，由于罐体材料以及周围环境的影响，探测装置往往会发生一定的偏差，导致装置测定值产生误差，不能准确反映出罐体内油品变化量,因此利用科学的方法对罐容表进行校正就显得非常重要。
本文在机理分析基础上给出了各种情况下储油罐实际油量与液面高度的具体计算模型，同时又应用相关数据对参数进行了估计，实际表明效果较好。
2.模型的建立2.1 无变位储油罐体积公式的推导针对问题一中两端平头的椭圆柱体，只需求出罐身中油的体积和油浮子高度的关系，可在后面模型中作为公式运用，根据参考文献[1]提供方法做近似推导。
由椭圆标准方程及油面高度的限制得到油的面积微分方程：dy y b b a s b h b⎰---=222 （1） 再由柱体体积与面积之间关系l s V ⋅=，得罐身中油体积计算公式如下：()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⋅+--=2arcsin 2222b b b h b h bh b h b al V π （2） 2.2小椭圆储油罐有纵向倾斜时体积的计算模型当油罐纵向倾斜α角度后，可将总体体积分成若干个截面椭圆中的面积在求微分和，油面高度分为以下三种情形：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤⋅-⋅-<<⋅⋅≤≤bh d b d b h l l h 2)tan 2()tan 2(tan tan 01111αααα （3）对应三种情形对应的示意图如下所示（图1），其中'h 为取任意位置处垂直于油罐底面的垂直油面高度：探针油浮子h 'αα探针油浮子h 'h 'α油浮子探针情况1 情况2 情况3图1 不同油面高度示意图1） 当)tan 2(tan 11αα⋅-<<⋅d b h l 时垂直油面高度为'h （图1 情况2），αtan )('z d h h -+= （4） 此椭圆截面上对应面积可似公式（1）得到，进而体积计算公式为：⎰⎰---=l b h b dy y b dz ba V 022'2 =()()dz b b b h b bh b b h b a l ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⋅+---02'22'2'2arcsin π （5）令bbh w -='，又由（4）式，可得：ααtan tan bwb d h z --⋅+=（6）则有：⎥⎦⎤⎢⎣⎡++--=⎰⎰⎰1010102arcsin 1tan 22w w w w w w dw wdw dw w w ab V πα =⎩⎨⎧-++⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----)1arcsin ()1()1(31tan 2111232023212w w w w w ab α⎭⎬⎫⋅--+-απtan 2)1arcsin (2000b lw w w （7） 其中，b b d h w -⋅+=αtan 0； bbl d h w -⋅-+=αtan )(12）当αtan 01⋅≤≤l h 时，此时（7）式中11-=w ，得：⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅--+-+--=αππαtan 2)1arcsin (23)1(31tan 20023202b l w w w w ab V （8） 3）当b h d b 2)tan 2(1≤≤⋅-α时，1'V V V +=， 'V 为左边椭圆柱体体积，1V 为右边纵截面为梯形时油的体积，其中：()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=απtan 2'h b d ab V （9） 1V 仍然为（7）式，只是其积分下界值0w 变为1。
2010数学建模A题答案论文 储油罐的变位识别与罐容表标定
摘要
储油罐作为加油站常用的贮存设施，对油品在不同液面高度时的贮油量进行精确的 计量变得尤为重要，本文讨论了，加油站卧式储油罐的变位识别与罐容表标定问题。其 主要方法是参考卧式储油罐罐内油品体积标定测量技术，结合几何关系及积分计算，建 立储油罐内储油量，油位高度及变位参数（纵向倾斜角 与横向倾斜角 ）之间的关系 模型。然后分析模型，在油位高度一定时，由储油量确定变位参数 与 的值，即为对 储油罐进行变位识别；在变位参数 与 一定时，根据油位高度可确定储油量，即为对 罐容表（罐内油位高度与储油量之间对应的函数关系表达式）进行标定。
地平线
油位探针
油位探测装置
注检 油查 口口
出油管
油浮子
3m
油位
油
高度
1m 2m
6m
1m
图 1 储油罐正面示意图
-2-
地平线 油位探测装置
油位探针
油浮子
注检 油查 口口
出油管
油
α
图 2 储油罐纵向倾斜变位后示意图
水平线
地平线
油位探针
油位探测装置
地平线 油位探针
油 油
β
3m
地平线垂直线
（a）无偏转倾斜的正截面图
-6-
S ' a2 / 2 (a h' )a sin( / 2)
公式（2）
从而求得所求截面面积： S ( a2 / 2 (a h')a sin( / 2)) cos
公式（3）
将式（3）带入式（1）求得： V ( a2 / 2 (a h' )a sin( / 2))l cos
首先，结合上述因素及汽油热膨胀系数，建立模型并对模型进行修正，修正热膨胀 所带来的计算误差。代入附表实际测量数据验证模型。
全国大学生数学建模竞赛A题获奖—储油罐的变位识别与罐容表标定精品
2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则。
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是：A题储油罐的变位识别与罐容表标定我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：参赛队员（打印并签名）：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人（打印并签名）：日期：2010年9月12日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：储油罐的变位识别与罐容表标定摘要本文通过对储油罐中油位高度及变位参数之间的不同情形的储油量进行分析并建立相应的数学模型，在该过程中先利用投影法、截面法及微元法得出储油量与油位高度及变位参数的函数关系。
再由Matlab编程可知各高度储油量的理论数据，最后分析误差及评价模型的合理性。
对于问题一的任一种情形，我们均建立笛卡尔坐标系，当储油罐无变位时，利用微元法得到体积关于h的公式，当储油罐发生变位时，根据储油罐中油量的多少分成三种情形，就每一类利用微元法得到体积关于h的公式。
代人附件1实验数据中的高度得到储油罐中的理论油量V。
根据理论油量及实际油量得出误差，判断误差所服从的分布，再利用相对误差进行误差分析并评价模型的合理性。
由上述得到储油罐发生变位时体积关于h的公式我们给出了罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值（即进/出油量与罐内油位高度的表格）。
数学建模储油罐的变位识别与罐容表的标定
储油罐的变位识别与罐容表的标定摘要本文运用定积分、重积分，数理统计等知识研究储油罐变位后对罐容表的影响。
观测油罐探针的变化，分情况讨论变位油罐进/出油的罐内油液体积。
采用图形结合建立数学模型。
用定积分求解椭圆面积，进而求出油位高对应储油罐（无变位）的油容量的对应关系，利用数理统计与Excel 2003对数据分析并绘制图形，建立当前最优的实验储油罐无变位模型（模型一）。
模型二即是实验储油罐纵向倾斜（固定角）的数学模型。
对模型一、二两组数据进行对比，估算出油位高度相同时不变位以及变位后储油罐内油容量，再将两部分的油容量相减可算出油位高度和油容量的函数，得出罐体变位后油位高度间隔为1厘米的罐容表的标度。
模型四采用大量图形分析和数学知识，建立空间直角坐标系，将问题分出四种情况讨论。
建立当前最优的实际储油罐无变位模型（模型三），并与模型四进行对比可得关于油位高度和油容量的函数，那么将相隔10cm油位高的油容量代入模型即求得。
关键词：定积分重积分数理统计图形结合一、问题重述加油站的储油罐是大家非常熟悉的一种储油罐，就目前世界各地来看，它不能脱离我们的现实生活。
所以我们有必要对储油罐进行彻底的了解。
根据我们所学的知识，用数学模型方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。
通常加油站的储油罐都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用专业的测量仪器测出罐内的储油体积与罐内油位高度，通过预先标定的罐容表（罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。
但是，许多储油罐在使用一段时间后，罐体的位置会地基变形发生纵向倾斜和横向偏转等变化（称为变位），从而导致罐容表发生改变。
根据以上的情况，为了掌握罐体变位后对罐容体的影响，利用小椭圆型储油罐（两端平头的圆柱体）做了罐体无变位和倾斜角为一定角的纵向变位两种情况的实验，且得到了实验数据。
在实验图形的基础上，我们深入了实际油罐的变位分析。
建模论文稿 储油罐的变位识别和罐容表标定
储油罐的变位识别和罐容表标定随着科学技术和社会经济的发展，目前业界公认的油站有液位测量设备磁制伸缩型液位仪因其在测量精度及灵敏度为其他测量方法无法比拟而在油品零售行业普遍使用。
而通常的加油站都有若干储存燃油的储油罐。
可是，由于储油罐的地基变形等原因，使罐体的位置发生变化，从而导致罐容表发生改变。
因此，我们针对解决储油罐的变为识别与罐容表标定问题建立相关数学模型，并进行了分析讨论。
对于问题一，要掌握罐体变位后对罐容表的影响，序言将罐体的变位前后罐内油高测值代入罐容表查得相应的油高罐容值，以确定罐中油品的体积量变化情况，得到合理的评价变位后罐容表影响的体系。
我们从罐体的位置没发生变化和发生变化后两个方面进行考虑，利用数学方法中的微积分通过计算得到罐体变化后罐中油品的体积量，再与原罐中油品的体积量对比、核对。
两种情况下，油品的体积量误差越小，模型拟合精度越高，同时，由于罐容标定是每隔1cm 确定一个容积值，这样罐容表中只有整厘米数油高具有对应地容积值，当油高介于整厘米数之间时就需要通过内插法来求取对应的容积值。
对于问题二，要根据实际储油罐，建立罐体变位后表达罐容表罐内储油量与油位高度及实位参数间的关系的数学模型来确定定位参数，也即是一个标准的参数识别问题，那么最小二乘法拟合是解决此类问题的工具。
同理，要得知罐体变位后油位高度间隔为10的罐容表标定值，也需要利内插法求取相应的容积值。
关键词：应用 罐容表 模型拟合 内插法 最小二乘法拟合 容积值椭圆筒的部分容积计算： 椭圆方程为：2222121x y R R += 即y = 液高为2H(CD =2H ) 即 12()y R H =-- 亦即为直线AB 方程将1y 代入椭圆方程得1x =12()y R H =--液体截面面积为：()1210x S H R dx ⎡=-+⎢⎣⎰2211121)]sin H R R H R R -=-+-由图212.05t 0.40H α--⎰⎰知， WP H = 1QO L = QG D = 0C O L = 1()cos FW Q H α=- FP =cos D αWP FD FW =-=1()cos cos D D H αα-- 则1()cos cos D H D H αα=--，整理得：21tan cos H H D αα=- AB 为倾斜时的液面，矩形面积 2SEKOC H L = 在梯形ABOC 中，11tan BO H L α=+ tan AC BO L α=- t a n A C B O L α=- 梯形的面积1()2ABOC S BO AC L =+ 令 11tan N N L α=+则 1(tan )2ABOC S N N Lg L α=+- 1(2tan )2N L L α=- 因ECOK ABOC S S =则21(tan )2H L N L L α=- 即2tan 2L H N α=- (1) 将：2111tan tan tan cos H N H L D L αααα=+=-+ 代入(1)得：221tan ()tan cos 2H L H D L ααα=-+- 若液面降至如图1 的1CM 以下，利用矩形面积等于直角三角形面积的方法导出2H 与H 的系，这时，矩形底长小于L ，矩形和三角形底长均为tan N α，矩形面积2S H Nlot α= 直角三角形的面积21cot 2S N α=12.05tan 0.40H α--⎰⎰。
储油罐的变位识别与罐容表标定问题的研究数学建模
储油罐的变位识别与罐容表标定问题的研究数学建模1储油罐的变位识别与罐容表标定问题的研究摘要通常加油站都有预先标定的罐容表，然而许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，导致罐容表发生改变。
本文在储油罐发生变位的情况下，研究储油罐内储油量与油位高度及变位参数的关系模型，以解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。
问题一，对于几何外形简单规则的小椭圆型储油罐，首先通过几何及积分运算，得到罐内储油量V 作为纵向倾斜角度α和油位高度h 的函数的解析表达式，建立数学模型，然后对求得的模型进行误差分析和修正。
在无倾斜的情况下，计算得到的相对误差是不随液面高度变化的定值，通过修改油罐长度的测量误差对模型进行修正。
当α=4.1︒时，在无变位情况下修正模型的基础上，利用实验数据，计算模型的误差值，得到误差值是关于油面高度的函数，则根据附件1的数据，拟合误差函数并对模型经行误差补偿，从而再次修正由积分得到的理论模型。
然后用实际数据做出检验，得到修正后的相对误差为0.16%，说明模型修正取得了很好的效果。
利用修正后的模型，计算并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm 的罐容表标定值，具体罐容表标定见附录中的表1。
问题二，对于两端是球冠体，中间是圆柱体的储油罐，首先考虑纵向倾斜α角度的情况，实际储油罐两端球冠中的油量体积，可以通过油罐中倾斜液面的平均高度简化为水平液面的液面高度近似计算，经过验证这样近似引起的误差可以忽略不计。
而中间的圆柱体，可看作第一问中椭圆柱体的特殊情况，利用第一问中已经求出的模型进行计算。
将三部分的油量体积值相加，可以得出储油罐内油量V 关于纵向倾斜角度α和油位高度h 的理论表达式。
在此基础上，再考虑横向偏转β角度，有几何关系知储油罐内实际油位高度h 与显示油位高度H 和横向偏转角度β有关，将这一关系代入储油罐内油量V 关于纵向倾斜角度α和油位高度h 的理论表达式，得出储油罐内油量V 关于纵向倾斜角度α、横向偏转角度β和显示油位高度H 的一般关系。
储油罐的变位识别与罐容表标定数学建模竞赛
储油罐的变位识别与罐容表标定数学建模竞赛全国大学生数学建模竞赛储油罐的变位识别与罐容表标定参赛学校：重庆工商大学承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则．我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题．我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出．我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性．如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理．我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：重庆工商大学参赛队员 (打印并签名) ：1．王文姣2．白洋3．吴静指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)：袁德美日期： 2010 年 9 月 13日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编）：储油罐的变位识别与罐容表标定摘要油品的数量管理在油品的经营过程中占有很重要的地位,其中储油罐罐容表的标定是加油站中油品管理的关键.但由于储油罐的长时间使用会导致地基变形,罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位）, 从而需要定期对罐容表进行重新标定.因此能够正确地解决好罐容表的标定问题,将会给现实生活中加油站等储油行业的操作带来方便.本文主要解决储油罐的变位识别及罐容表的标定问题.我们根据积分“无限细分,无限求和”的思想,通过建立积分模型,将储油罐划分为无数个连续的椭圆形截面.在进行储油量的计算时,由于油液面将这无数个椭圆截成了无数个弓形,故计算储油量的过程即转化为了对这无数个弓形在一定范围内求积分的问题.问题一,在准确的模型假设的前提下,根据油位高度与各弓形面积的关系和弓形面积与油罐体体积的关系,分别对罐体无变位和变位的情况建立积分模型,然后利用附件1的实测数据,对模型进行误差分析与拟合修正,最后给出罐体变位后油位高度间隔为1cm 的罐容表标定值（结果请见表1）.问题二,在问题一的基础上,首先我们同样采用积分的思想求得罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β ）之间的一般关系.然后根据对问题二的模型所求得的数据与附件2所给的实际检测数据进行运算可以得到理想的α、β值，我们求解得出 2.07α=︒， 4.98β=︒.进而利用α，β得到油位高度间隔为10cm 的罐容表标定值（结果请见表2）.另外在去掉温度对储油量不会产生影响的假设条件下,我们对模型进行了进一步的改进. 为了消除温度的影响,我们考虑了油品的体积随温度变化的关系.利用经验公式.将油品体积全部转化为固定温度下的数据,然后再进行比较分析.关键词：优化处理；拟合；罐容表标定；微积分模型；最小二乘法.一、问题重述通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的"油位计量管理系统"，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况．许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变．按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定．在不考虑外界环境的影响下，现解决如下问题：1．为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为的纵向变位两种情况做了实验，得出实验数据．并在所得数据的基础上建立数学模型，研究罐体变位后对罐容表的影响，并算出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值．2．在实际情况下，罐体变位后标定罐容表的标定值与理论上是有偏差的，但也存在着一定的联系，因此问题二需要找出罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β）之间的一般关系．在对实际情况下罐体变位后进/出油过程中的实际检测数据进行分析与运算后，我们建立一数学模型，并通过其确定变位参数，同值．时求得罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定[]1二、问题分析储油罐罐体的变位识别是油位计量管理系统中的重要环节之一，而油品的数量管理是加油站等经营部门的基础工作，同时它又在其经营过程中占有重要地位．目前，由于地基变形等原因，出现了一些不规范的问题．故对罐体变位识别是确定一个规范的、科学的、精确的油位计量管理系统的必要前提．问题一要解决的是小椭圆形罐体纵向倾斜变位后对罐容表的影响问题．对于此类问题，我们通常利用高等数学中的定积分方法来求解．其一般思想为“求和、取极限”[]2.我们根据附件1所给出的小椭圆形罐体在无变位和变位时的进/出油量与油位高度的实验数据最后来修正模型．综上所述，先讨论小椭圆形罐体无变位时，储油量与油位高度之间的关系，建立积分模型一并且根据模型求出无变位时的罐容表．α=︒纵向倾斜后的情况，建立积分模型二．模型二涉然后再讨论当储油罐发生 4.1及二重积分的知识．对模型二分盲区和非盲区两种情况进行讨论．其中盲区包含两个部分：一、油面刚好接触油位探测装置底部，此油位探针的读数为0但实际油量不为0；二、油位探针刚好接触储油罐顶部，油位探针的读数为1．2，但此时储油罐并没有装满．对于非盲区情况也需要进行分类讨论．最后将模型数据和实测数据通过MATLAB软件进行拟合，我们可以得出两种情况下模型数据与实测数据间的关系，通过该关系进一步对原来的模型进行修正．最后确定变位后的罐容表，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值．问题二要解决罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β）之间的一般关系，且α与β未知，通过对题意的理解和对图形的分析，我们决定在问题一的基础上运用积分的知识建立数学模型三．首先，我们将油罐体横向分为五个部分，并依次求得各部分截面面积；其次，我们又将油罐体纵向分为三个部分，依据之前求得的截面面积，纵向依次对其进行积分运算，从而得到各部分的体积，而油量的总体积即为各部分体积之和，该和式即为罐内油量与油位高度及变位参数α与β的关系式．根据附件2所给出的数据确定α与β，然后通过对模型数据与实测数据之差（即离差）的平方和求出离差最小时,α与β的取值，进而确定罐体在变位后油位高度间隔为10cm 罐容表标定值．最后，再用附件2给定的数据,利用最小二乘法对我们所建立的“罐体纵、横向变位后模型”进行检验.下面为该问题的解法流程图：三、模型假设1． 累计进/出油量与罐内油位高度为连续型变量；2． 空气对油品的氧化情况不存在，注入油料时没有气泡的存在；3． 地下储油罐的外界环境适宜．如气压为常压，温度在19c ︒~200c ︒，考虑到数据为8月份的数据，设温度为固定温度30c ︒；4． 忽略储油罐壁厚和油浮子所占用的体积和罐底污泥厚度；5． 系统稳定，不存在信号、噪声等外界因素带来的随机误差，也不考虑观测误差、连续问题离散化所产生的误差，附录所给的数据真实、准确、可靠；6． 该储油罐为两端平头且为椭圆的柱体；7． 忽略温度对储油罐储油量的影响，储油罐储油量不随温度的变化而变化；8． 储油罐密封性好，没有泄露和蒸发损失的情况；9． 不考虑液体静压力对罐壁的作用而对油罐容积产生的影响；10．储油罐罐壁平滑，不存在变形；11．当高度达到1.2时，不再向储油罐内注油， 这是从单位经济效益方面考虑的．12．忽略油罐内部气体压强对注油这一过程的影响．四、符号说明i N ：储油罐截面圆圆心， 1,2,3i =；RR ：变位与无变位罐容表标定值的相似度；α：储油罐纵向倾斜的角度，单位为度；β：储油罐横向偏转角度，单位为度；x ：建立三维坐标x 轴，单位为m ；z ：建立三维坐标z 轴，单位为m ；b ：小椭圆型油罐椭圆截面长半轴长，单位为m ；c ：小椭圆型油罐椭圆截面短半轴长，单位为m ；y ：小椭圆型油罐连续椭圆截面到储油罐罐底的距离，单位为m ；y '：以椭圆截面的中心为坐标原点，建立的横坐标，单位为m ；i h ：第i 种情况下油位探针测得储油器的油位的高度， 1,2,3i =，单位为m ； ()ij t y ：在第i 问中第j 种情况下油罐在y 点处弓形截面高度，,1,2i j =，单位为m ；()kij s y '：第i 问中第j 种情况下油罐在k 阶段形成弓形截面面积与y '的关系，,1,2i j =，1,2,3,4,5k =，单位为2m ；()kij v y ：在第i 问中第j 种情况下储油罐在第k 部分内的储油量关于y 的函数，1,2,3i =， 1,2j =，1,2,3,4,5k =单位为3m ；i V ：第i 种情况下求得的储油量，1,2,3i =，单位为L ；i V '：第i 种情况下给出的储油量，1,2,3i =，单位为L ；i V ∆：第i 种情况下求得的储油量的绝对误差，1,2,3i =，单位为L ；i E ：第i 种情况下误差调节函数，1,2,3i =，单位为L ；m ：替换变量，单位为m ；i r ：储油罐截面圆的半径，，1,2,3,4,5,6i =，单位为m ；L ：球冠体球心到i r 的距离，单位为m ；h '：储油器的油位的实际高度，单位为m ；1R ：包含球冠体的球体的半径，单位为m ；1P y ：1P 点纵坐标，单位为m ；2P y ：2P 点的纵坐标，单位为m ；()i S y ：储油罐各分段截面的面积，1,2,3,4,5i =，单位为2m ；O ,A ,H ,B ,Q ,C ,D ,1P ,2P ,F ,N :图形上相应的点;,R r :图中相应圆的周长.五、问题一模型的建立与求解5.1 模型一的建立5.1.1 油罐无变位时模型的建立小椭圆型油罐无变位时，油位探针所测得的油位高度h 与椭圆截面的弓形高度始终是相等的，即()111t y h =．此时，小椭圆型平头油罐椭圆截面的弓形面积如图1-1-1中阴影所示：图1-1-1该椭圆的方程为：22221y z b c '+=， 对阴影部分积分得弓形面积：()112()111221c t y c z s y b dz c-+-'=-⎰， 由图中弓形所形成的体的体积为：()()1122.45()1111120 2.4521c t y c z v y s y dz b dz c-+-'==⨯-⎰⎰． 5.1.2 罐体无变位时模型的求解利用牛顿—莱布尼茨公式求解得： ()1211111() 2.452arcsin 2b h c h c bc v y h c h bc c c π-⎡⎤-=⨯-+⎢⎥⎣⎦． （1.1） 将给定的无变位时进油量的实验采集的数据和题中已知的数据代入式(1．1)中，用MATLAB 编程求出模型一的结果，将其与给定的数据进行比较分析（程序见附录一）可得误差结果（见附录表1-1）．5.1.3 误差分析及修正从附录表1-1中可以看出，绝对误差值1V ∆随着储油量1V 的增大而增大．经分析产生误差的因素有：1．油品中的气泡．当油品中混有气泡时，由于气泡具有体积，从而使油位探针的读数比实际的读数大，且随着油量的增大气泡的所占的体积也增大；2．油品储油罐罐壁的厚度．由于储油罐罐壁包括内壁和外壁，我们计算的体积包括壁的厚度所占的体积．所以随着油容量的增加，壁厚所占的体积就增大，我们所测量的体积与实际油量的容积差就增大[]3. 3．储油罐的变形．储油罐的变形是指罐体壁的凹凸变形，无论是凹还是凸都会使油位探针的读数与实际值不符，当罐壁凹进去时，实际容量比油位探针的读数小；当罐壁凸出来时，实际容量比油位探针的读数大．在本题中，由于误差随储油量的增大而增大，因此可以猜测为罐壁凸时的情况；4．外界温度．油品的性质与外界温度有必然的联系，当外界的温度越高时，油的体积就相对越大．为较正误差，我们在MATLAB 软件中对附录表1-1中所得出的绝对误差值1V ∆与油量高度1h 进行了拟合（程序见附录二），得出了校正误差的调节函数关系式如下：321111=-84.029792h +150.64977h +58.215842h -1.7108249E ，所以得到较正后的函数为：()1111V v y E =+.下图为对理论数据调节前、后的曲线与实际曲线的拟合图，图1-1-2所示：图1-1-2从图中可以看出，修正后的理论数据与实测数据能很好的吻合．用MATLAB编程(程序见附录三)求出无变位情况下油位高度间隔为1cm时罐容表标定值（见表一）．5.2.1 罐体变位后模型的建立在上面模型的基础上小椭圆型油罐在地基变形的情况下，发生了纵向倾斜角α=︒的倾斜，我们建立三维坐标系．以油罐身长的延长线作y轴，以油罐左底面的4.1纵向对称轴为z轴，以垂直于zoy平面过o点作x轴，如图1-1-4所示：图1-1-3区部分：1．考虑盲[]4由于储油罐发生纵向倾斜，导致储油罐存在有部分油料体积无法准确测得的情况．这就是所谓的盲区情况．进一步说：所谓的盲区是指由于液位计的选型和安装位置不同形成的无法测量的区域．出现盲区的情况又分为两种：(1)第一种盲区情况如图1-1-5（盲区一）所示：此时0h =，由不变位时模型中椭圆截面弓形面积公式易得： ()0.4tan 1122c csy dz α-+-'=⎰，积分得阴影部分体积（即盲区一的体积）得：，()0.40.4tan 11202c cvy dz dy α-+-=⎰⎰．(2)同理，可得如图1-1-6中阴影部分体积（盲区二）：() 2.052.05tan 51202c cvy dz dy α-+-=⎰⎰综上所述：即当满足00.40y h ≤≤⎧⎨=⎩或者0.4 2.451.2y h <≤⎧⎨=⎩时，测量出油位的高度是有误差的，为了减小误差我们有必要将盲区考虑到模型中去．2．接下来研究非盲区情况：根据图1-1-4进行分析，可以将非盲区在分为三个部分，这三个部分在图中1,2,3,4L L L L 之间．(1)当0 2.05tan h α<≤时，即在1,2L L 之间的区域内： 此时的椭圆截面弓形面积公式为：()20.4tan 2122c h csy dz α-++-'=⎰，求得储油量的公式为 ：()()10.4cot 221212h vy sy dz α+'=⎰220.4cot 00.4tan 2h cc h dz dy αα+--++=⎰⎰．(2120.4cot 02h cc t y b c α+-=⎰⎰，(2)当2.05tan 1.20.4tan h αα<≤-时，即在2,3L L 之间的区域内： 此时的椭圆截面弓形面积公式为：()12()3122c t y csy dz -+-'=⎰ ，求得储油量的公式为：()()122.452.45()33121202c t y cvy sy dy dz dy-+-'==⎰⎰⎰(122.4502c t y c a b-+-=⎰⎰ (3)当1.20.4tan 1.2h α-<<时，即在3,4L L 之间的区域内：[]{}([]12122.45412120.4 1.2()cot 2()0.4 1.2()cot c t y c t y b v y bc t y c απα---=--+⎰⎰ 总之，综合盲区和非盲区情况，可以将整个储油罐的储油量分为五个阶段，得到如下结果：(([]{}([]121212120.40.4tan 00.4cot 02.4502120.4 1.2()cot 2,0,00.4(2,0 2.05tan 2, 2.05tan 1.20.4tan 0.4 1.2()cot 2c ch cc t y c t y cc t y c t y dz dy h y b h ca hb V bc t y b c αααααπα-+-+--+----=<<<≤<≤-=--+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰盲区一)2.452.05 2.05tan 0, 1.20.4tan 1.22, 1.2,0.4 2.45(c ch dz dy h y ααα-+-⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪-<<⎪⎪⎪=<<⎪⎩⎰⎰⎰盲区二) 5.2.2 罐体变位后模型的求解(1)．盲区两种情况储油量的计算，利用MATLAB 编程求解（程序见附录四），得到结果112() 1.674350511183661e+000,0,00.4(v y h y ==<<盲区一), 512()9.740076199628695e+001,1.2,0.42.45(v y h y ==<<盲区二).此模型的求解利用MATLAB 编程（程序见附录五）．将附件1中的变位进油量的实验采集的数据导入，将得出的结果与实际结果进行比较分析可得误差结果（见附录表1-2）．MATLAB 编程进行误差拟合，得到此模型的误差拟合曲线，即调节函数：-33-322222E =0.5503210h -0.6930210h -0.58276h +104.10⨯⨯⨯对此模型同样用MATLAB 编程(程序见附录三)求出变位情况下油位高度间隔为1cm 的罐容表标定值如下表一．5.2.3 结果检验：用MATLAB编程（程序见附录六）原模型加入了调节函数前后与实际数据拟合的结数数后，模型数据与实际数据能吻合的果如图1-1-7所示，可以看出在加入了调节函[]5很好．图1-1-7变位前后罐容表标定值的相似度，用MATLAB编程求解（程序见附录七）．相似度：RR=0．998901855248828．说明角度小的情况下，这两个模型有很大程度的相似度，同时由于角度很小,两模型得到的结果有很高有相似度,也从实际生活中说明了本模型的正确性；六、问题二模型的建立与求解6.1 罐体纵、横向变位后模型的建立问题二的实物模型是主体为圆柱体，两端为球冠体的储油罐．这就比问题一中两端为平头的储油罐模型更具有实际意义．模型二的储油罐的倾斜情况分为两种，罐体纵向倾斜变位和罐体横向偏转变位．纵向倾斜角度为α，横向偏转角度为β．其中罐体横向偏转变位的截面示意图如图1-1-8和图1-1-9所示：图1-1-8图1-1-9图1-1-8为罐体没有发生偏转时的截面示意图，这时油位探针测量的油位高度为实际高度h'．图1-1-9为罐体发生横向偏转，偏转角度为β时的截面示意图．此时油位探针所测得的高度记作h ，而实际高度：()cos h r h r β'=+-．罐体发生纵向倾斜变位的示意图如图所示，建立三维坐标系．以油罐身长的延长线作y 轴，以过油罐左球[]7冠冠表面球心的切线为z 轴，以垂直于zoy 平面过o 点作x 轴．如图1-1-10所示：图1-1-10半径为1．5m 的圆形截面与y 轴的切点分别记为A 点与H 点．油面上有一动点Q ． 油面与左边球冠体表面的交点记作1P 点，油面与右边球罐体表面的交点记2P 点．在zoy 平面中1P 点的坐标记为()11,P P y z ，2P 点的坐标记为()22,P P y z ．油面延伸出去交y 轴于F 点，油位探针交y 轴于B 点．易知cot FB h α=，cot 3OF h α=+．截面弓形[]8高为：()()227tan 10tan 3tan t h y h y ααα=-+-=+-．又因为油罐的高度为3H m =，球缺截面形成的弓形的高为1L m =，所以有：()2222H R R L ⎛⎫--= ⎪⎝⎭， 得到：1.625R m =由图易得过1P 点、切点、球心的圆球体的圆的方程()1和过1P 点直线方程()2， 联立：()()222( 1.625)( 1.5) 1.6251tan 3tan 2y z z y h αα⎧-+-=⎪⎨=-++⎪⎩ 解之，求出1P 点在zoy 平面上的横坐标：()1123.2523tan 1.5tan 2sec p h y ααα++-=，同理有：222(8.375)( 1.5) 1.625tan 3tan y z z y h αα⎧-+-=⎨=-++⎩， 解之，求出2P 点在zoy 平面上的横坐标：()2116.7523tan 1.5tan 2sec p h y ααα++-=经计算得弓形的面积公式为：(2arccos h r S r h r r π-⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭（3） 当出现临界状态时，此时油面与右边球罐体表面的交点记3P 点． 联立：222(8.375)( 1.5) 1.625tan tan 3y z z y αα⎧-+-=⎨=-++⎩解之，求出3P 点在zoy 平面上的横坐标：3p y =6.1.1该模型分为两种情况讨论：一、从横向来看，可以将储油罐划分为五个部分，下面就分别对其进行讨论．如图11所示：图1-1-11图1-1-12利用图1-1-12，可帮助求解半径和面积（1）当10p y y ≤≤时，所截图形的剖面为一个圆，设圆心为1N ，且1N 与N 在同一条直线上，求得1 1.625NN y =-，因此⊙1N 的半径()221r R R y =--1N 的面积：()()()222211 3.25S y r R R y y y πππ⎡⎤==--=⨯⨯-⎣⎦.（2）当11p y y ≤≤，此时油面截罐体所得图形的剖[]9面为一个弓形，记半径2 1.5r =的截面圆心为2N ，球缺表面到y 轴的距离为l ，弓高为h ，取⊙1N 与⊙2N 为11p y y ≤≤区间上的极限值，因此，在1N 2N 间任取一个圆，记圆心为3N ，易知1N 、2N 、3N 位于同一条直线上，所以依据同样的办法可以求得⊙3N 的半径：()223r R R y =--， ()2231.5 1.5l r R R y =-=-- 所以该弓形的弓高：2222 1.5h t l t ⎡=-=-⎢⎣． （4）将式（4）代入公式（3）中得：()()()()()222222222 1.5 1.625 1.6251.5S y R R y t y t ππ⎛⎫⎡⎤=-⨯--⎣⎦ ⎝+-⎛⎫⎡⎤=-⨯--⎣⎦ ⎝+-，（3）当19y ≤≤时，由于此时油罐体为一个底面半径4 1.5r =的圆柱体，此时所截得的弓形剖面的半径为1．5，22h t =，将其代入式（3）得出19y ≤≤区间上弓形的面积：()(2223221.5arccos 1.5 1.51.5t S y t π-⎛⎫=-⨯+- ⎪⎝⎭()222221.5arccos 1.5 1.51.5t t π-⎡⎤=-⨯+-⎢⎥⎣⎦ （4）当29p y y ≤≤时，此与上述()2过程相似，油面所截得的图形的剖面仍为一个弓形．同样，记半径为1．5的截面圆心为4N ，球缺表面到y 轴的距离为l ，弓高为h ．采用2过程的方法可以求出：4221.5r l h t ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩代入式（3）得到弓形的面积：()()2248.375S y R y π⎡⎤⎢⎡⎤=-⨯--⎣⎦⎢⎣()22 1.5t +-()221.6258.375yπ⎡⎤⎢⎡⎤=-⨯--⎣⎦⎢⎣()221.5t+-．（5）当23p py y y≤≤时，油面所截得的图形的剖面为一个以5r=径的圆，所以该圆的面积为：()()()()22522228.3751.51.6258.375S y R ytyππ⎡⎤⎢⎡⎤=-⨯--⎣⎦⎢⎣+-⎡⎤⎢⎡⎤=-⨯--⎣⎦⎢⎣()221.5t+-．（6）当310py y≤≤，此与上述()1过程相似，油面所截得的图形的剖面为一个以6r=()()()222268.375 1.6258.375S y R y yππ⎡⎤⎡⎤=--=⨯--⎣⎦⎣⎦.二、从纵向来看，可以把油罐中的储油量分为四个阶段来研究：Ⅰ．当106tanhα≤≤时，依据前面的计算结果得出该区间内油罐中的储油量为：()()()()()()111111113cot112301221221223cot22211.51.5arccos 1.51.5pppppy hyyyyhV S y dy S y dy S y dyR R y dyR R y dyttdyααπππ++=++⎡⎤=--⎣⎦⎛⎫⎡⎤+-⨯--⎣⎦⎝+--⎛⎫+-⨯⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(13cot2211.5htα++-⎰.Ⅱ．当16tan7tan 1.5hαα≤≤+时，该时段是以2P点为临界点[]6,，此时的储油量是在Ⅰ的基础上加上29p y y ≤≤范围内的体积，即为：()()()()()()()1121111113cot 2123401912222013cot 22222122 1.51.5arccos 1.51.5p p p p p p y h y y y y h y V S y dy S y dy S y dy S y dyR R y dy R R y dy t t dy t ααπππ++=+++⎛⎫⎡⎤⎡⎤=--+-⨯--⎣⎦⎣⎦ ⎝-⎛⎫+-+-⨯ ⎪⎝⎭+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(()()1223cot 12292291.51.58.375.p p h y y t R y dy απ++-⎛⎫⎡⎤+-⨯--⎣⎦ ⎝⎰⎰⎰Ⅲ．当7tan 1.532tan h αα+≤≤-时，此时即在Ⅱ的基础上加上23p p y y y ≤≤范围内的体积，即为：()()()()()()()11231211113cot 31234501912222012222() 1.51.5arccos 1.1.5p p p p p p p p y h y y y y y y y V S y dy S y dy S y dy S y dy S y dyR R y dy R R y dy t t απππ+=++++⎛⎫⎡⎤⎡⎤=--+-⨯--⎣⎦⎣⎦ ⎝-⎛⎫+-+-⨯ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(()()()1122323cot 213cot 2212292292251.51.58.3758.375.p p p p h h y y y y dy t t R y dyR y dy ααππ+++-+-⎛⎫⎡⎤+-⨯--⎣⎦ ⎝⎡⎤+--⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰Ⅳ．当32tan 3h α-≤≤时，此时即在Ⅲ的基础上加上310p y y ≤≤范围内的体积，为：()()()()131212313cot 104123456019()().p p p p p p y h y y y y y V S y dy S y dy S y dy S y dy S y dy S y dy α+=+++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰6.1.2 分析液面没有漫过左边球心的情况由于上述模型对液面没有漫过左边球心时的情况不适应，下面对上述模型进行修正，即当液面未漫过左边球心时，进行如下处理：一、从横向上看，重新将模型横向分为三部分，如上图所示，将模型分为左球缺部分[]()0,1y ∈、圆柱体部分[]()1,9y ∈、右球缺部分[]()9,10y ∈．二、从纵向上看，同理可以把油罐中的储油量纵向分为四个阶段来研究： Ⅰ．当106tan h α≤≤时， 储油量体积公式为：1 1.5tan 13cot 301.62512()h h V V V dy dz S y dyαα++=+=+⎰⎰⎰球缺直体Ⅱ．当16tan 7tan 1.5h αα≤≤+（临界状态值）时，体积为：()21.5tan 1201.6253cot 34192()p h h y V V V dy dzS y dy S y dyαα++=+=++⎰⎰⎰⎰球缺直体Ⅲ．当7tan 1.532tan h αα+≤≤-（临界状态值）时，体积为()3221.5tan 130 1.6253cot 345192()()p p p h h y y y V V V dy dzS y dy S y dy S y dyαα++=+=+++⎰⎰⎰⎰⎰球缺直体Ⅳ．当32tan 3h α-≤≤时，体积，即为：()()32231.5tan 1401.625910234563(3)cot 921.523cot ()()()p p p p h y y h y y V V V V dy dzh S y dy S y dy S y dy S y dy ααπα+--=++=+⨯⨯--++++⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰球缺圆柱直体6.2 罐体纵、横向变位后模型的求解： (1) α、β的求解.求得了各个阶段的体积公式后，要得到储油罐的罐容表标定值，首先要得到最理想的α和β的值．由于纵向倾斜角度α和横向偏转角度β未知，所以附件2中的显示油量容积数据根据的是以前的标定值，我们运用这个数据所求得的α和β就显得不准确．而就如题目所说的，加油站都有与之配套的“油位计量管理系统”，所以附件2中实际测算的显示出油量是准确的，这时计算模型i 时刻的高度()h i 所对应的容积()()V h i 模容与模型1i +时刻的高度()1h i +所对应的容积()(1)V h i +模容之差，作为模型的出油量数据，记V 模出油量．运用离差平方和最小的思想，得到目标函数为2min ()V V -∑模出油量实测出油量，用MATLAB 编程（程序见附录八）从而得到 2.07α=︒和 4.98β=︒．(2)．罐容表标定值的求解知道纵向倾斜角度α与横向偏转角度β以后，得到油位间隔为10cm 的罐容表标定值，如表2所示．表2:发生纵、横向变位时给出的标定值高度h(cm)标定值(L) 高度h(cm) 标定值(L) 高度h(cm) 标定值(L)10361.457 110 19240.190 210 46578.20020 1094.387 120 21899.000 220 49120.600 30 2267.847 130 24615.460 230 51562.810 40 3751.227 140 27373.880 240 53885.800 50 5479.082 150 30158.920 250 56068.670 60 7411.609 160 32955.430 260 58087.740 70 9518.782 170 35748.350 270 59915.000 80 11775.810 180 38522.550 280 61514.830 90 14161.120 190 41262.750 290 62835.170 100 16655.240 200 43953.330 300 63764.0506.3 模型正确性分析附件2所给出的实验数据中以容积为指标.我们用这个模型所求得一组相应的数据，将这两组数据进行对比分析(程序见附录九)，可以得出这两组数据很相似,能很好的拟合(图见附录图1).因此,说明了我们的模型是正确的.另外,我们再次从原始数据中取50组排出量数据,用Excel 进行修正,得到的修正后的模型数据V 模修，将数据与实验数据进行对比分析，得到使得离差平方和最小的目标函数2min ()V V -∑模修实.在MATLAB 中用lsqcurvefit 进行最小二乘拟合结果,程序返回的结果为 0α=︒, 0β=︒,误差大约为42.3410-⨯(程序见附录八).此时显示出油量为无变位时的数据，而我们对原始数据修正后得到的数据也相当于是无变位时的数据.因此,这有力的说明模型对于无变位和变位时的情况都实用.综上所述:首先,我们的模型是正确的;其次,又通过最小二乘拟合,程序返回0α=︒, 0β=︒,说明我们模型广泛实用性.七、模型评价7.1 模型优点:通过对模型的分析，验证了其的可靠性，该模型计算过程清晰简单，并且可以通过MATLAB 快速求解，为加油站等储油行业提供了方便可行的测定标定值的方法具有重要的实际意义和较高的应用价值.模型一研究的是无变位情况下的储油罐.我们考虑到储油量与油位高度是连续变量，将模型一建立为积分模型.利用模型数据与实测数据得出模型一的调节函数.对模型一进行了准确的误差分析与修正,考虑到了变量的连续性，研究和的极限值等因素，这比一般非积分模型的计算更为精确、连贯..模型二研究的是变位情况下的储油罐.变位涉及的情况有很多种，我们考虑到了各种储油情况下储油量的计算.模型二建立的是相当完善的.模型三的研究对现实生活更具有意义.我们建立了更符合客观情况的积分模型.利用软件编程得到α、β的最优值.并且利用修正后的模型数据和实测数据进行拟合，再次验证了我们模型的准确性,可靠性,最后,用我们的模型得到合适的罐定表标定值. 7.2.模型缺点：基本上模型数据与实测数据的差异来源于外界环境的影响，如：温度对储油量的影响，还有其他很多因素对模型结果的正确性都有影响.为了模型的简洁性,我们忽略了一些次要的因素.八、模型改进与推广8.1 模型改进8.1.1问题一中对油罐变位情况的进一步讨论上述模型我们只考虑了油罐向左下方倾斜 4.1α=︒时的情况，下面我们简单说明油罐向右下方倾斜的状况.如图1-1-13所示,当储油罐向右下方倾斜时，我们看到所谓的0h =时盲区区域比向左下方倾斜的盲区区域大，()22.052.05tan 22021c cz v y b dz dy cα-+-=-⎰⎰.但是从加油站的效益角度出发，这种向右下方倾斜情况我们应该尽量去避免.图1-1-138.1.2 问题一模型考虑温度后改进。
储油罐的变位识别与标定 数学建模
储油罐的变位识别与罐容表标定摘要储油罐长期使用会产生变位，从而使罐容表的标定值与理论值存在误差，因此，需要进行识别和重新标定，本文解决的是储油罐的变位识别与罐容标定的问题。
对于问题一：首先对小椭圆型储油罐进行研究。
小椭圆储油罐变位前，利用微元分析法建立了罐内油量和油位高度关系的常微分方程模型。
并在此基础上建立了纵向倾角 4.1α=︒时，三种液面情况下的罐内油量和油位高度关系的理论模型和罐容—液位表达式，利用龙格-库塔积分法求解不同油位高度时储油量的数值解，进而进行罐容表的标定。
我们将计算结果与实际测量数据在同一个坐标系中作图，经计算得误差均保持在3.5%以内。
对于问题二：对实际储油罐进行研究。
将油位高度分成三种情况，在每种情况下，对球冠、筒身的油量与油位高度的函数关系进行了分别推导。
在计算球冠内油量与油位高度的关系时采用了拆补法，边缘情况使用了近似计算。
对于最终建立的储油量和油位高度关系理论模型，利用最小二乘法和单目标优化的的方法进行参数估计，求得：2.1α= ， 4.6β=得到α和β后，对罐容量进行重新标定。
检验模型时利用相对标准偏差的思想，在构造评价函数δ，得到结果δ= 0.0055%，误差极其微小，说明了所建模型的正确性和可靠性。
所建模型充分利用了附表中的数据，并合理地筛选了有效数据，适于推广到运输，化工，储藏行业。
关键词：微元分析法 常微分方程 龙格-库塔积分法 最小二乘法 参数估计1.问题重述1.1问题背景在经济快速发展的今天，汽车的普及率明显提高，加油站也已经遍布各个城镇。
为方便油量的供应，通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且每一个储油罐一般都有与之配套的“油位计量管理系统”。
储油罐采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，可以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。
储油罐埋藏在地底下，承受着周围环境施加的压力，因而会受到地基变形此类自然原因的影响。