2011级数值分析(A)试卷

湖南工业大学硕士研究生课程考试试卷

考试科目： 数值分析 （A 卷） 课程编码：

考试形式： 开卷 （开/闭卷）考试时间： 120 分钟

适用年级： 2011年级 学年学期： 2011-2012第二学期 考生学号： 考生姓名： 考生专业：

考生注意事项：1、本试卷共 2 页，试卷如有缺页或破损，请立即举手报告以便更换。

2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。

一、（10分）证明x 的相对误差约等于x 的相对误差的2

1。 二、（10分）若n n n n x a x a x a a x f ++++=--1110)( 有n 个不同实根n x x x ,,,21 ，证明：∑=-⎩⎨⎧-=-≤≤=n j n j k j

n k a n k x f x 11'.1,.20,0)( 三、（10分）讨论：当)(x f 为连续函数，节点),,1,0(n i x i =为等距节点，构

造拉格朗日插值多项式)(x L n ，则n 越大)(x L n 与)(x f 的接近程度。（需举

例从误差角度讨论）

四、（10分）利用Gram-Schmidt 正交化方法，求]1,0[上带权x 的三次正交多

项式系。

五、（10分）求参数1010,,,x x A A ，使求积公式 )()()(1110010x f A x f A dx x f x +≈⎰

。

有最高的代数精度。

六、（10分）用三点公式求2)1(1)(+=x x f 在2.1,1.1,0.1=x 处的导数值，并估计误差。)(x f 的值由下表给出：

七、（10分）写出线性方程组⎪⎩

⎪⎨⎧=+=-+-=-61071021214153232121x x x x x x x 的Gauss-Seidel 迭代格式，并写出其迭代矩阵，并判断它的收敛性。

八、（10分）证明方程0126)(3=--=x x x f 在区间]5,2[内有唯一根p,并对任

意初始值]5,2[0∈x ，Newton 序列都收敛于p

九、（10分）写出下面非线性方程组的Newton 迭代格式⎩⎨⎧=--=-0

130331221222

1x x x x x 十、（10分）试证明，用Euler 法解初值问题0)0(,'=+=y b at y 得到的解为

,2

1212n n n n aht bt at y -+=，其中nh t n =，并证明方法是收敛的。