2011级数值分析(A)试卷
太原理工大学11级硕士研究生数值分析期末考试题
11级（12/07/03）
一、基础题(40分)
(一)、单项选择(2×5=10分)
1、求解常微分方程的预估—校正法的局部截断误差为( )。
2、过
3
4
5、
(二)
1、是一日插值基函数在节点上的取值是______________。
2、设分段多项式，
，
是以0，2，3为节点的三次样条
函数。
则a =____________，b =____________， c =____________。
3、设，则关于节点，，的二阶向前差分为_________。
4、5个节点的牛顿—科特斯求积公式的代数精度为________，5个节点的求积公式最高代数精度为________。
5、设，则a的取值范围为________A可分解为A = LL T，且当L满足________，分解是唯一的。
6、设是切比雪夫正交多项式系，则的正交区间为________，它的权
7迭8。
1
2
(1)
(2)
3、用二步法求解一阶常微分方程初值问题
，
，问：如何选择、的值，才能使该方法的阶数尽可能高？写出此时的局部截断误差主项。
三、计算题(15×2=30分)
1、(1)设，，是区间[-1，1]上权函数为的最高项系数为1的正交多项式组，其中，，求。
(2)利用，，求函数在[-1，1]上的二次最佳平方逼近多项式。
2、已知求解方程组Ax = b的分量迭代格式：，
，，，；，，，
(1)试求出矩阵格式及迭代矩阵。
(2)证明当A为严格对角占优矩阵，时，该迭代格式收敛。
福州大学2010-2011年数值分析考题及答案1
1、若向量 x (4, 2,3) ，则
T
x 2 =___ 29 _________
＝____ 6 ____，A 的
2、
1 1 A ， 则 A 的谱半径 -5 1
=____6____
3、 确定求积公式 尽量高,则 A0=_
1
1
f ( x)dx A0 f (1) A1 f (0) A2 f '(1) 中的待定参数，使其代数精度
0 2 0 5、设 B 2 1 2 ,试用平面旋转矩阵对矩阵 A 进行 QR 分解，其中 Q 为正交 0 2 1
矩阵，R 为上三角阵（8 分）
4
记A1 A, 先将A的第一列变得与e1平行 cos = 0 2 0,sin = 1 04 04 0 1 0 0 1 0 0 P A 2 P A1 1 12 12 0 0 0 1
3、
h 用二步法 yn1 yn [ f ( xn , yn ) f ( xn1 , yn1 )] 求解一阶常微分方程初值问题 2
y f ( x, y ) 问：如何选择参数 , 的值，才使该方法的阶数尽可能地高？写出 y ( x0 ) y0
此时的局部截断误差主项，并说明该方法是几阶的。 证明:局部截断误差为：
( x x )l ( x) 等于
i 0 i i
4
（ a ） 1 (c) 2 (d) 4
(a)
0
(b)
3、设 f ( x) 3x5 4 x 4 x 2 1 和节点 xk k / 2, k 0,1 则差商 f [ x0 , x1 x5 ] (a) 4 (b) 2 (c) 3 (d) 1 （ （ c ） c ）
数值分析试卷及答案
数值分析试卷及答案数值分析试卷一、选择题（共10题，每题2分，共计20分）1. 数值分析的研究内容主要包括以下哪几个方面？A. 数值计算方法B. 数值误差C. 数值软件D. 数学分析答：A、B、C2. 下列哪种方法不属于数值积分的基本方法？A. 插值法B. 微积分基本公式C. 数值微积分D. 数值积分公式答：A3. 数值积分的目的是求解什么？A. 函数的导数B. 函数的原函数C. 函数的极值D. 函数的积分答：D4. 数值微分的目的是求解什么？A. 函数的导数B. 函数的原函数C. 函数的极值D. 函数的积分答：A5. 数值微分的基本方法有哪几种？A. 前向差分B. 后向差分C. 中心差分D. 插值法答：A、B、C6. 用数值方法求解方程的基本方法有哪几种？A. 迭代法B. 曲线拟合法C. 插值法D. 数值积分法答：A、B、C7. 用迭代法求方程的根时，当迭代结果满足何条件时可停止迭代？A. 当迭代结果开始发散B. 当迭代结果接近真实解C. 当迭代次数超过一定阈值D. 当迭代结果在一定范围内波动答：B8. 下列哪种插值方法能够确保经过所有给定数据点？A. 拉格朗日插值B. 牛顿插值C. 三次样条插值D. 二次插值答：A、B、C9. 数值解线性方程组的基本方法有哪几种？A. 直接法B. 迭代法C. 插值法D. 拟合法答：A、B10. 下列哪种方程求解方法适用于非线性方程？A. 直接法B. 迭代法C. 插值法D. 曲线拟合法答：B二、填空题（共5题，每题4分，共计20分）1. 数值积分的基本公式是_________。
答：牛顿-科特斯公式2. 数值微分的基本公式是_________。
答：中心差分公式3. 数值积分的误差分为_________误差和_________误差。
答：截断、舍入4. 用插值法求解函数值时，通常采用_________插值。
答：拉格朗日5. 数值解线性方程组的常用迭代法有_________方法和_________方法。
武汉大学2011工程硕士数值分析考试复习题
武汉大学2011工程硕士数值分析考试复习题预览说明:预览图片所展示的格式为文档的源格式展示,下载源文件没有水印,内容可编辑和复制1、设()0f x =有根，且'0(),m f x M x <≤≤-∞<<+∞，试证明由1()k k k x x f x λ+=-产生的序列{}k x 对任意的0x 和02M λ<<均收敛。
2、对3*(),0()x x x x x φφ=+=为的一个不动点，验证10()0k k x x x φ+=≠对不收敛，但改用steffen 方法却收敛。
3、设*x 是()0f x =的根，且()()'''*0,f x f x x ≠在领域上连续，试证明：Newton 迭代序列{}n x 满足''*12'*12()lim ()2()k k k k k x x f x x x f x -→∞---=-4、给定方程组的雅可比迭代矩阵为022101220J B =----??，试证明雅可比迭代收敛而高斯迭代不收敛。
5、设二阶方程组为12630321x x = ? ? ?-????，取(0)00x ??= （1）用最快速下降法迭代两次求近似解(2)x ；（2）用共轭梯度法迭代两次求近似解(2)x ；（3）与精确解进行比较分析。
6、设方程组AX=B 系数矩阵A 非奇异，条件数cond （A ），设A 有扰动A δ，且11A A δ-<，分析解的扰动X δ的相对变化XX δ。
7、设2()[,],()()0f x c a b f a f b ?==且，试证明：2''()max ()max ()8a xb a x b b a f x f x ≤≤≤≤-≤8、试证明两点三次Hermite 插值余项(4)2231()()()()4!k k f R x x x x x ξ+=--，并求此分段三次Hermite 插值的误差限。
中国石油大学《数值分析》2011年考试试题A卷及答案
f (4)(x)
1 2880
1 n
4
6
1 2
104
,
仅要 n 4 1 101 2.54 ,取 n 3 即对将[1,2] 作 6 等分,则有 240
(8 分)
2
1 ln xdx
1 [0 4(ln 7 ln 3 ln 11) 2(ln 4 ln 5) ln 2] 0.38628716327880 .
0.000040074
（ 4 分）
七、（10 分）(1)牛顿迭代格式
x(k 1)
x(k)
f f
(x(k ) ) '(x(k) )
x(k)
x(k) 1 (2
(x(k) )2 )(x(k) )1
1
(1 (2
)(
x( )(
)k ) 2 x(k ) )1
(2)
x(k 1)
lim
k
x(k)
1 1
fgdx
，取( x) ax bx3 ， f ( x) sin x ，则法方程为
(0 ,0 )
(1
,
0
)
(0 ,1) (1 , 1 )
a b
( (
f f
,0 ,1
) )
（ 4 分）
其中 0,0
1
x xdx
1
2， 3
0 ,1
(1 )(x(k) )2
lim
k
1
(2
)(x(k ) )1
c0
2
c 1
(5 分) (5 分)
1
x(k) 2
x(k) 3
1
x(k) 1
x(k) 3
/2
x3( k
1)
上海大学2011-2012第二学期数值方法试卷(A含答案)
六、名词解释(共 9 分) (答案仅供参考，允许表述形式不一致) 1. (3 分)迭代法：
答：一般采用迭代法求解方程组，因为迭代法则能保持矩阵的稀疏性，具有计算简单， 编制程序容易的优点，并在许多情况下收敛较快。故能有效地解一些高阶方程组
是一种逐次逼近法，从一个假设解开始，通过一系列的迭代求解，最后产生满足精度要 求的近似解 的方法。如 Jacobi 迭代法，GaussSeidel 迭代法 4. (5 分)写出雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法的迭代公式，并比较它们的优缺点。（10 2. (3 分)绝对误差 分） 一个准确值与其在运算中的近似值的差，称为绝对误差。 雅可比迭代法： （4 分） n 1 x ( k 1) D 1 (b ( L U ) x ( k ) ) ； 3. (3 分)绝对误差限 xi( k 1) (bi aij x (jk ) ) ， 或 aii j 1 绝对误差的绝对值小于等于某个常数 ,该常数称为绝对误差限 j i 高斯-赛德尔迭代法： （4 分）
计算得
命題紙使用說明：1、字迹必須端正，以黑色碳素墨水書寫在框線內，文字與圖均不得剪貼，以保證“掃描”質量； 2、命題紙只作考試（測驗）命題所用，不得移作他用。
第 3 页 （共 3 页）
sin(0.34) L2 (0.34) 0.333336
（注至少保留到小数点四位） 3. (5 分)对于线性方程组 Ax b ， 已知 A 是高维稀疏矩阵， 则一般采用什么方法求解？为什 么？
n n 1 (bi aij x (jk 1) aij x (jk ) ) aii j i j i ， 或
xi( k 1)
七、简答题(共 23 分)： 1. (8 分)试写出数值积分中的梯形公式、辛普森公式、辛普森 3/8 公式和布尔公式，且给出 它们各自的精度值。 设 xk=x0+kh 为等距节点，且 fk=f(xk), 则四个数值积分公式分别为： x1 h 梯形公式精度为 1， 具体公式为: f ( x)dx ( f 0 f1 ) x0 2 x2 h 辛普森公式精度为 3，具体公式为： f ( x)dx ( f 0 4 f1 f 2 ) x0 3 辛普森 3/8 公式精度为 3，具体公式为： f ( x)dx
数值计算(数值分析)试题及答案
武汉理工大学研究生课程考试标准答案用纸课程名称：数值计算（A ） 任课教师 ：一. 简答题，请简要写出答题过程（每小题5分，共30分） 1.将227和355113作为 3.14159265358979π=L 的近似值，它们各有几位有效数字， 绝对误差和相对误差分别是多少3分）2分）2.已知()8532f x x x =+-，求0183,3,,3f ⎡⎤⎣⎦L ，0193,3,,3f ⎡⎤⎣⎦L .(5分）3.确定求积公式10120()(0)(1)(0)f x dx A f A f A f '≈++⎰中的待定系数，使其代数精度尽量高，并指明该求积公式所具有的代数精度。
解：要使其代数精度尽可能的高，只需令()1,,,m f x x x =L L 使积分公式对尽可能大的正整数m 准确成立。
由于有三个待定系数，可以满足三个方程，即2m =。
由()1f x =数值积分准确成立得：011A A += 由()f x x =数值积分准确成立得：121/2A A += 由2()f x x =数值积分准确成立得：11/3A =解得1201/3,1/6,2/3.A A A === (3分）此时，取3()f x x =积分准确值为1/4,而数值积分为11/31/4,A =≠所以该求积公式的最高代数精度为2次。
(2分）4.求矩阵101010202A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦的谱半径。
解 ()()101011322I A λλλλλλλ--=-=---矩阵A 的特征值为1230,1,3λλλ=== 所以谱半径(){}max 0,1,33A ρ== (5分）5. 设10099,9998A ⎛⎫= ⎪⎝⎭计算A 的条件数()(),2,p cond A P =∞.解：**19899-98999910099-100A A A A --⎛⎫⎛⎫=⇒== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭矩阵A 的较大特征值为，较小的特征值为，则1222()198.00505035/0.0050503539206cond A A A -=⨯==(2分）1()199********cond A A A -∞∞∞=⨯=⨯= (3分）22001130101011010220100110110()(12)()(12)()()()()()x x x x x x x x H x y y x x x x x x x x x x x x x x y x x y x x x x ----=-+-------''+-+---(5分）并依条件1(0)1,(0),(1)2,(1) 2.2H H H H ''====，得2222331()(12)(1)2(32)(1)2(1)211122H x x x x x x x x x x x =+-+-+-+-=++ (5分）2.已知()()()12,11,21f f f -===，求()f x 的Lagrange 插值多项式。
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期末考试试卷（A 卷）2007学年第二学期 考试科目： 数值分析 考试时间：120 分钟学号 姓名 年级专业一、判断题（每小题2分，共10分）1. 用计算机求1000100011n n=∑时，应按照n 从小到大的顺序相加。
（ ）2. 为了减少误差,进行计算。
（ ）3. 用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。
（ ）4. 采用龙格－库塔法求解常微分方程的初值问题时，公式阶数越高，数值解越精确。
（ ）5. 用迭代法解线性方程组时，迭代能否收敛与初始向量的选择、系数矩阵及其演变方式有关，与常数项无关。
（ ）二、填空题（每空2分，共36分）1. 已知数a 的有效数为0.01，则它的绝对误差限为________，相对误差限为_________.2. 设1010021,5,1301A x -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦则1A =_____，2x =______，Ax ∞=_____.3. 已知53()245,f x x x x =+-则[1,1,0]f -= ,[3,2,1,1,2,3]f ---= .4. 为使求积公式11231()((0)f x dx A f A f A f -≈++⎰的代数精度尽量高，应使1A = ，2A = ，3A = ，此时公式具有 次的代数精度。
5. n 阶方阵A 的谱半径()A ρ与它的任意一种范数A 的关系是 .6. 用迭代法解线性方程组AX B =时，使迭代公式(1)()(0,1,2,)k k XMX N k +=+=K 产生的向量序列{}()k X收敛的充分必要条件是 .7. 使用消元法解线性方程组AX B =时，系数矩阵A 可以分解为下三角矩阵L 和上三角矩阵U 的乘积，即.A LU = 若采用高斯消元法解AX B =，其中4221A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则L =_______________，U =______________；若使用克劳特消元法解AX B =，则11u =____；若使用平方根方法解AX B =，则11l 与11u 的大小关系为_____（选填：>，<，=，不一定）。
2011数值分析试题及答案
由于f(x)二si nx的4阶导数在[0,二]上的最大值为：M4=1,所以
5
误差为：|I-S2|：：——44=0.006641
2880x24
6.求解初值问题」y=sin(x+2y),0兰x兰2的改进Euler方法是否收敛？为什
.y(0) = 1
么？
解：由于|sin(x 2y)-sin(x 2y)|二| 2cos(x 2 )(y-y) 2 | y-y |
5.设f(x) = 4x33x-5，求差商f[0,1], f[1,2,3,4]和f[1,2,3,4,5]。
f(D…f(0)
解：f[0,1]==2-(-5) = 7
1-0
f [1,2,3,4^4，f[1,2,3,4,5]=0
3.解线性方程组丿X1-2忑=2的Jacobi迭代法是否收敛，为什么?
+9x2=3
即，函数f(x, y)二sin(x•2y)连续，且关于变量y满足Lipschitz条件，所以，改 进Euler方法收敛。
所以，a=0, b=5/6，拟合曲线为：y=5/6x2
3.求满足条件f(0)=1,f(1)=2,f(2) =0,f(1)=0的三次插值多项式Ha(x)
的表达式。
解：设H3(x)二(^2)(ax2bx c)，则有:
1213
所以，H3(x) (x-2)(x2x 1) (x-3x-2)。
22
11
4.确定求积公式Jf(x)dx痒三f(-1)+Af(0)+A2f(1)中的待定系数，使其代数精 度尽可能高，并问此公式是不是插值型求积公式.
解：令公式对f(x) = 1,x都精确成立，得：A,・A2= 3/2, A2= 1/2,
o
• • •
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期末考试试卷( A 卷)2007 学年第二学期 考试科目： 数值分析 考试时间： 120 分钟学号 姓名 年级专业100011. 用计算机求11000时，应按照 n 从小到大的顺序相加。
n1n2. 为了减少误差 ,应将表达式 2001 1999 改写为 2进行计算。
( )2001 19993. 用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。
( )4. 采用龙格－库塔法求解常微分方程的初值问题时， 公式阶数越高，数值解越精确。
( )5. 用迭代法解线性方程组时， 迭代能否收敛与初始向量的选择、 系数矩阵及其演变方式有关，与常数项无关。
( ) 二、填空每空 2 分，共 36 分)1. 已知数 a 的有效数为 0.01 ，则它的绝对误差限为 _______ ，相对误差限为 _1 0 1 02. 设 A0 2 1 ,x 5 ,则 A 1____________________________ _， x 2 ______ ，Ax1 3 0 13. 已知 f (x) 2x 54x 35x,则 f[ 1,1,0] , f[ 3, 2, 1,1,2,3] .14. 为使求积公式 f (x)dx A 1f ( 3) A 2f (0) A 3f ( 3)的代数精度尽量高，应使13 3A 1 ， A 2 ， A 3，此时公式具有 次的代数精度。
5. n 阶方阵 A 的谱半径 ( A)与它的任意一种范数 A 的关系是 .6. 用迭代法解线性方程组 AX B 时，使迭代公式 X (k 1)MX (k)N (k 0,1,2,K )产 生的向量序列X (k)收敛的充分必要条件是 .7. 使用消元法解线性方程组AX B时，系数矩阵A可以分解为下三角矩阵L 和上三角矩阵U 的乘积，即A LU. 若采用高斯消元法解AX B，其中A 4 2，则21L ___________ ，U ____________ ；若使用克劳特消元法解AX B ，则u11 _______ ；若使用平方根方法解AX B，则l11与u11的大小关系为（选填：＞，＜，=，不一定）。
2011年秋季工学硕士研究生学位课程(数值分析)真题试卷A
2011年秋季工学硕士研究生学位课程（数值分析）真题试卷A(总分：28.00，做题时间：90分钟)一、填空题(总题数：6，分数：12.00)1.填空题请完成下列各题，在各题的空处填入恰当的答案。
（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.已知x 1 =0．724，x 2 =1．25均为有效数，则｜e r (x 1 x 2 )｜≤______｜e(x 1／x 2 )｜≤_______．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：0．469×10 -2，0．272×10 -2)解析：3.设∞ =______，cond(A) 2 =______．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：4.超定方程组x 1 =______.x 2 =_______．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：-0．8333或-0．6667)解析：5.用Simpson______．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：1.4757)解析：6.0，1，2为节点的三次样条函数，则a=_____，b=_____．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：3，-3)解析：二、计算题(总题数：3，分数：6.00)7.给定方程e x，分析此方程有几个实根，并用迭代法求此方程的正根，精确至3位有效数字．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：设当x=ln0．5时，f"(x)=0；当x∈(-∞，ln0．5)时，f"(x)＜0；当x∈(ln0．5，+∞)时，f"(x)＞0．再注意到f(-4)＞0，f(-3)＜0，f(1)＜0，f(2)＞0，则该方程存在两个实根，分别在[-4，-3]和[1，2]内．构造迭代格式x *∈[1，2]，取x 0 =1．5，计算得x 1 =1．0651，x 2 =0．9116，x 3 =0．8953，x )解析：8.用列主元Guass（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：求得x 1 =-2，x 2 =1，x 3 =-1．)解析：9.给定求解线性方程组Ax=b的迭代格式Bx (k+1) +ωCx k =b，其中ω的值使上述迭代格式收敛．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：方法1：由Bx (k+1) +ωCx (k) =b得x (k+1) =-ωB -1 Cx (k) +B -1 b 上述格式收敛的充要条件为ρ(-ωB -1 C)＜1．迭代矩阵-ωB -1 C的特征方程为｜λI+ωB -1 C｜=0，可变形为｜B -1｜｜λB+ωC｜=0，即展开得16λ2—8λω)解析：三、综合题(总题数：5，分数：10.00)10.作一个3次多项式H(x)，使得H(a)=b 3，H(b)=a 3，H"(a)=6b，H"(b)=6a．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：方法1：根据H"(a)=6b，H"(6)=6a可知(x-a)=6b—6(x-a)，两边积分得H(x)=6b(x—a)-3(x-a) 2 +c，H(x)=3b(x-a) 2 -(x—a) 3 +c(x—a)+d．由H(a)=b 3得d=b 3，再由H(b)=a 3有c=-3b 2，所以H(x)=-(x-a) 3 +3b(x-a) )解析：11.求函数y(x)=x 4在区间[0，1]上的一次最佳一致逼近多项式p(x)．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：设p(x)=a+bx．由f"(x)=4x 3，f"(x)=12x 2知，当x∈(0，1)时，f"(x)恒大于零．则f(x)-p(x)在[0，1]上有三个交错偏差点：0，x 1，1，且满足即求解得所以)解析：12.已知函数f(x)∈C 4[a，b]，I(f)=∫ a b f（x）dx 1)写出以a，b为二重节点所建立的f(x)的3次Hermite 插值多琐式H(x)及插值余项； 2)根据f(x)≈H(x)建立一个求解I(f)的数值求积公式I H (x)，并分析该公式的截断误差和代数精度．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：1)由条件H(a)=f(a)，H"(a)=f"(a)，H(b)=f(b)，H"(b)=f"(b)，作差商表：所以2)根据题意，有I(f)≈∫ a b H(x)dx，下面求代数精度．由插值余项知，当f(x)=1，x，x 2，x 3时，插值余项为零，I H (f)精确求积；当f(x)=x 4时此时b 5系数为I H) 解析：13.给定常微分方程初值问题n，并记h=(b—a)／n，x i=a+ih，0≤i≤n．试确定参数A，B，C，使求解公式y i+1 =Ay i +(1-A)y i-1 +h[Bf(x i+1，y i+1 )+Cf(x i，y i )]的局部截断误差R i+1的阶数达到最高，指出所达剑的最高阶数并给出局部截断误差表达式．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：局部截断误差为R i+1=y(x i+1)-Ay(x i)-(1-A)y(x i-1)-h[By"(x i+1)+Cy"(x i)]=y(xi )+hy"(x 1 )+ y"(x i )+ y""(x i y (4) (xi )+O(h5)解析：14.给定如下抛物方程初边值问题：取步长用古典隐格式计算u(x，t)（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：求解该问题的古典隐格式为记则差分格式可写为(1+2r)u i k-r(u i+1k +ui-1k )=uik-1 +τ(3—3xi )，用方程组表示为k=1．2．因为所以，当k=1时，方程为或解得u 11 =0．7870，u 2<) 解析：。
数值分析试题及答案
数值分析试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列关于数值分析的说法，错误的是（）。
A. 数值分析是研究数值方法的科学B. 数值分析是研究数值方法的数学理论C. 数值分析是研究数值方法的误差分析D. 数值分析是研究数值方法的数学理论、误差分析及数值方法的实现答案：B2. 在数值分析中，插值法主要用于（）。
A. 求解微分方程B. 求解积分方程C. 求解线性方程组D. 通过已知数据点构造一个多项式答案：D3. 线性方程组的解法中，高斯消元法属于（）。
A. 直接方法B. 迭代方法C. 矩阵分解方法D. 特征值方法答案：A4. 牛顿法（Newton's method）是一种（）。
A. 插值方法B. 拟合方法C. 迭代方法D. 优化方法答案：C5. 在数值分析中，下列哪种方法用于求解非线性方程的根？A. 高斯消元法B. 牛顿法C. 雅可比方法D. 斯托尔-温格尔方法答案：B6. 下列关于误差的说法，正确的是（）。
A. 绝对误差总是大于相对误差B. 相对误差总是小于绝对误差C. 误差是不可避免的D. 误差总是可以消除的答案：C7. 在数值分析中，下列哪个概念与数值稳定性无关？A. 条件数B. 截断误差C. 舍入误差D. 插值多项式的阶数答案：D8. 用泰勒级数展开函数f(x)=e^x，下列哪一项是正确的？A. f(x) = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...B. f(x) = 1 - x + x^2/2! - x^3/3! + ...C. f(x) = x + x^2/2 + x^3/6 + ...D. f(x) = x - x^2/2 + x^3/6 - ...答案：A9. 插值多项式的次数最多为（）。
A. n-1B. nC. n+1D. 2n答案：B10. 下列关于数值积分的说法，错误的是（）。
A. 梯形法则是一种数值积分方法B. 辛普森法则是一种数值积分方法C. 龙格法则是数值积分方法中的一种D. 数值积分方法总是精确的答案：D二、填空题（每题3分，共15分）1. 在数值分析中，条件数是衡量问题的______。
2011级硕士研究生《数值分析》试卷(A)
合肥工业大学2011级硕士研究生《数值分析》试卷(A)班级 姓名 学号 成绩一、判断题 (下列各题，你认为正确的，请在题后的括号内打“√ ”，错误的打“×”，每题2分，共10分) 1. 设函数f 具有5阶导数，则(5)[0,1,2,3,4,5]()f f ξ=，其中ξ介于0,1,2,3,4,5之间,[0,1,2,3,4,5]f 是()f x 关于节点0,1,2,3,4,5的5阶差商。
( )2. 若方阵A 是严格对角占优的，则可用Gauss 消去法直接求解方程组=Ax b ，无须选主元素。
( )3. 若()()0f a f b <，则方程()0f x =在区间(,)a b 内至少有一个根。
( )4. 若函数()f x 是多项式，则它的Lagrange 插值多项式()()p x f x ≡. ( )5. 解常微分方程初值问题的四阶Runge-Kutta 方法的局部截断误差是5()O h ，其中h 是步长。
( )二、填空题 (每空2分，共10分)1. 近似数*3.200x =关于准确值 3.200678x =有 位有效数字。
2. 设2435A =⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则1Cond()A = . 3. 设函数(2.6)13.4673,(2.7)14.8797,(2.8)16.4446f f f ===, 用三点数值微分公式计算(2.7)f '= 14.8865 .4. 设函数sin 2()x f x =, 2()p x 是()f x 的以1,2,3为节点的二次Lagrange 插值多项式，则余项2()()f x p x -= .5. 二元函数(,)f x y 在区域D 上关于y 满足Lipschitz 条件是：.三 (本题满分12分) 对下列方程组1231231235212,4220,23103x x x x x x x x x ++=-⎧⎪-++=⎨⎪-+=⎩ 建立Jacobi 迭代格式(4分)和Gauss –Seidel 迭代格式(4分)，写出Jacobi 迭代格式的迭代矩阵，并用迭代矩阵的范数判断所建立的Jacobi 迭代格式是否收敛(4分)。
下学期数值分析考试试卷答案(A)
一、填空题(本题16分，每空 2 分)1. 若S (x )332, 011(1)(1)(1),132x x x a x b x c x ⎧≤≤⎪=⎨-+-+-+≤≤⎪⎩是三次样条函数，则a =3 ，b =3 ，c =1．2. 求积公式10311()()(1)434f x dx f f ≈+⎰的代数精度为 2 。
3.设1-2-34A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦则()A ρ=5 5.372+≈，cond ∞(A )=21 4. 矩阵111122123A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的LU 分解为100111110011111001⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦5. 求方程cos x x =根的牛顿迭代格式是1cos 1sin n nn n nx x x x x +-=-+。
二、(12分)求不超过4次的多项式()P x ，使它满足插值条件(0)(0)0,(1)(1)1,(2) 2.P P P P P ''=====若上述数据来源于f (x )，给出误差估计。
解法1： 因为(0)(0)0,(1)(1)1,P P P P ''====则先构造两点三次埃M 特插值，2232100()12(1)011010(2)x x x H x x x x ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++-⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦=- …………………………………………………………….8分又设223()()(1)P x H x Ax x =+-，代入(2)2,P =得A=1/2,222223221()()(1)(2)(1)21(45)2P x H x Ax x x x x x x x x =+-=-+-=-+余项为 R(x)=(5)22()(1)(2)5!f x x x ξ--……………………………12分 解法2：构造带重节点的Newton 差商表 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 -12 2 1 0 0 1/2………………………8分2222221()00(0)1(0)1(0)(1)(0)(1)21(45)2N x x x x x x x x x x =+-+----+--=-+…………………12分三、 (12分) 求()xf x e -= 在区间[-1，1]上的最佳平方逼近2次多项式.(用勒让德正交多项式20121{(),(),()}{1,,(31)}2P x P x P x x x =-) 解：用勒让德多项式20121{(),(),()}{1,,(31)}2P x P x P x x x =-,2(,)21i i P P i =+ …………………………………………………………………………………..3分计算：11101(,)( 2.3504）x f P e dx e e ---==-≈⎰,1111(,)20.7358x f P xe dx e---==-≈-⎰ 121211(,)(31)70.143132x f P x e dx e e ---=-=-≈⎰…………………………………………………………………………………..8分111101010011(,)(,)2* 1.1752,*3 1.1036(,)2(,)2/3 f P f P e e e a a e P P P P ----==≈==-=-≈-12222(,)7*0.3578(,)2/5f P e e a P P --==≈故最优平方逼近函数为：11112225351()3(31)22211.1752 1.10360.3758(31)20.5367 1.10360.9963e e e e p x e x x x x x x -----=-+⋅-≈-+⋅-=-+。
数值分析(2011年12月)A卷
湖南大学研究生课程考试命题专用纸考试科目： 数值分析 （A 卷） 专业年级： 2011级各专业 考试形式： 闭 卷（可用计算器） 考试时间：120分钟……………………………………………………………………………………………………………………… 注：答题（包括填空题、选择题）必须答在专用答卷纸上，否则无效。
一、填空题(每空3分，共30分)（1）利用4位浮点数计算，31.97+（2.457+0135。
2）=（ ）。
(2) 设1||<<x ，为了使计算更准确，应将计算公式xx y 21111---=等价转化为（ ）。
（3）用二分法求1)(3-+=x x x f 在区间[0,1]内的唯一根，迭代二步后根所在的区间为（ ）。
（4）求1)(23--=x x x f 在区间（1,2）内的根，用迭代格式111-=+k k x x ，该迭代格式是收敛还是发散？ （ ）。
（5）用高斯消元法求解n 阶线性方程组，乘除的运算量为（ ）。
（6）T x )0,1,2,8(-=，则向量x 的1-范数2||||x =（ ）。
（7）设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=8100212322A ，则矩阵A 的无穷范数1||||A =（ ）。
（8）设x 为n 维列向量，G 为n 阶矩阵，则迭代格式f Gx xk k +=+)()1(收敛的充分必要条件为（ ）。
（9）已知2)1(1)(x x f +=在 1.2 1.1, ,0.1 三点的函数值分别为0.2066 0.2268, ,25.0，利用三点数值微分公式近似计算f(x) 在1.1处的导数值)1.1('f ≈（ ）。
（10） 设5228)(257+++=x x x x f ，则差商=]2,,,2,2[821 f （ ）。
二、(10分) 当2,1,0,1-=x时，函数值分别为17,4,3,2)(=x f 求f(x)的三次插值多项式。
三、((10分) 求函数x x f ln )(=在区间[1, 3]的最佳平方逼近一次多项式。
数值分析(2011)试题A卷 参考答案
装订线年 级 学 号 姓 名 专 业一、填空题（本题40分, 每空4分）1．设),,1,0()(n j x l j =为节点n x x x ,,,10 的n 次基函数，则=)(i j x l 1,0,1,,0i j i j n i j=⎧=⎨≠⎩ 。
2．已知函数1)(2++=x x x f ，则三阶差商]4,3,2,1[f = 0 。
3．当n=3时，牛顿-柯特斯系数83,81)3(2)3(1)3(0===C C C ，则=)3(3C 1/8 。
4．用迭代法解线性方程组Ax=b 时，迭代格式 ,2,1,0,)()1(=+=+k f Bx x k k 收敛的充分必要条件是 ()1B ρ< 。
5．设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1221A ，则A 的条件数2)(A Cond = 3 。
6.正方形的边长约为100cm ，则正方形的边长误差限不超过 0.005 cm才能使其面积误差不超过12cm 。
（结果保留小数）7.要使求积公式)()0(41)(111x f A f dx x f +≈⎰具有2次代数精确度，则 =1x23 ， =1A 34。
8. 用杜利特尔（Doolittle ）分解法分解LUA =，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=1359 45- 279 126 0 945- 0 45 1827- 9 189A 其中，则=L 10002100121023113⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎪ ⎪- ⎪⎝⎭=U 918927091890281540009-⎛⎫⎪-⎪ ⎪-⎪⎝⎭。
二、计算题（10分）已知由数据（0,0），（0.5，y ），（1,3）和（2，2）构造出的三次插值多项式)(3x P 的3x 的系数是6，试确定数据y 。
2011级数值分析 试题 A 卷 2011 ～ 2012学年，第 1 学期一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分年 级2011级研究生 份 数 拟题人 王吉波 审核人装 订线年级 学 号 姓 名 专 业三、计算题（15分）试导出计算)0(1>a a的Newton迭代格式，使公式中（对n x ）既无开方，又无除法运算，并讨论其收敛性。
数值分析(2011)试题A卷
装 订 线 年 级学 号姓 名专 业一、填空题（本题40分, 每空4分） 1．设),,1,0()(n j x l j =为节点n x x x ,,,10 的n 次基函数，则=)(i j x l 。
2．已知函数1)(2++=x x x f ，则三阶差商]4,3,2,1[f = 。
3．当n=3时，牛顿-柯特斯系数83,81)3(2)3(1)3(0===C C C ，则=)3(3C 。
4．用迭代法解线性方程组Ax=b 时，迭代格式 ,2,1,0,)()1(=+=+k f Bx x k k 收敛的充分必要条件是 。
5．设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1221A ，则A 的条件数2)(A Cond = 。
6.正方形的边长约为100cm ，则正方形的边长误差限不超过 cm 才能使其面积误差不超过12cm 。
（结果保留小数） 7.要使求积公式)()0(41)(1110x f A f dx x f +≈⎰具有2次代数精确度，则 =1x ， =1A 。
8. 用杜利特尔（Doolittle ）分解法分解LU A =，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=135 9 45- 279 126 0 945- 0 45 1827- 9 18 9A 其中，则=L =U 。
二、计算题（10分）已知由数据（0,0），（0.5，y ），（1,3）和（2，2）构造出的三次插值多项式)(3x P 的3x 的系数是6，试确定数据y 。
2011级数值分析 试题 A 卷 2011 ～ 2012学年，第 1 学期 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 年 级2011级研究生份 数拟题人 王吉波审核人装 订 线 年 级学 号姓 名专 业三、计算题（15分）试导出计算)0(1>a a 的Newton 迭代格式，使公式中（对n x ）既无开方，又无除法运算，并讨论其收敛性。
四、计算题（15分）已知43,21,41210===x x x 。
（1）推导出以这3个点作为求积节点在[0，1]上的插值型求积公式； （2）指明求积公式所具有的代数精确度；（3）用所求公式计算⎰102dx x 。
数值分析A卷(2011年秋)
三、 （10 分）设 f ( x) 在 [ x0 , x3 ] 上有 5 阶连续导数，且 x0 x1 x2 x3 ， （1）试作一个次数不高于 4 次的多项式 H 4 ( x) ，满足条件
H 4 ( x j ) f ( x j ) , j 0,1, 2,3, ' ' H 4 ( x1 ) f ( x1 ) ;
(D)、它不是插值型求积公式。
y f x, y 1、求解常微分方程初值问题 的改进的欧拉法是 y x0 y0
阶方法。 ，其 收 敛 阶
2 、 解 非 线性方程 f x 0 的单根 的牛顿法 格 式为 为 。
4 1 2 2 ， x 1 ， 则 Ax 3 2 1 1 3 3、设矩阵 A 1 2
（2）写出 E( x) f ( x) H 4 ( x) 的表达式。
四、 （10 分）求 f ( x) e x 在 [0,1] 上的二次最佳平方逼近，权为 1。
3
五、 （10 分）用 n 2, 3 的高斯－勒让德公式计算积分 e x sin xdx
1
六、 （10 分）已知
0 1 2 1 , b ， 2 5 8 1 请用 Doolittle 三角分解法求解线性方程组 Ax b 。 1 3 7 7 1 3 9 9
，对于其产生的数列 k 0 , 1, 2 , xk ，下列说法正确的是
(A)、若数列 xk 收敛，则迭代函数 x 唯一； (B)、若对于 x a, b ， x 1 ，则 xk 收敛； (C)、若对于 x a, b ， x 1 ，则 xk 收敛； (D)、若对于 x a, b ， x L 1 ，则 xk 收敛。 3、对矩阵 A 采用幂法迭代，如果该方法收敛，则其收敛速度取决于（ (A)、模最大特征值和模次最大特征值的比值； (B)、模最大特征值和模次最大特征值的模的比值； (C)、模次最大特征值和模最大特征值的比值； (D)、模次最大特征值和模最大特征值的模的比值。 ） 。
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湖南工业大学硕士研究生课程考试试卷
考试科目： 数值分析 （A 卷） 课程编码：
考试形式： 开卷 （开/闭卷）考试时间： 120 分钟
适用年级： 2011年级 学年学期： 2011-2012第二学期 考生学号： 考生姓名： 考生专业：
考生注意事项：1、本试卷共 2 页，试卷如有缺页或破损，请立即举手报告以便更换。
2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。
一、（10分）证明x 的相对误差约等于x 的相对误差的2
1。
二、（10分）若n n n n x a x a x a a x f ++++=--1110)( 有n 个不同实根n x x x ,,,21 ，证明：∑=-⎩⎨⎧-=-≤≤=n j n j k j
n k a n k x f x 11'.1,.20,0)( 三、（10分）讨论：当)(x f 为连续函数，节点),,1,0(n i x i =为等距节点，构
造拉格朗日插值多项式)(x L n ，则n 越大)(x L n 与)(x f 的接近程度。
（需举
例从误差角度讨论）
四、（10分）利用Gram-Schmidt 正交化方法，求]1,0[上带权x 的三次正交多
项式系。
五、（10分）求参数1010,,,x x A A ，使求积公式 )()()(1110010x f A x f A dx x f x +≈⎰。
有最高的代数精度。
六、（10分）用三点公式求2)1(1)(+=x x f 在2.1,1.1,0.1=x 处的导数值，并估计误差。
)(x f 的值由下表给出：
七、（10分）写出线性方程组⎪⎩
⎪⎨⎧=+=-+-=-61071021214153232121x x x x x x x 的Gauss-Seidel 迭代格式，并写出其迭代矩阵，并判断它的收敛性。
八、（10分）证明方程0126)(3=--=x x x f 在区间]5,2[内有唯一根p,并对任
意初始值]5,2[0∈x ，Newton 序列都收敛于p
九、（10分）写出下面非线性方程组的Newton 迭代格式⎩⎨⎧=--=-0
130331221222
1x x x x x 十、（10分）试证明，用Euler 法解初值问题0)0(,'=+=y b at y 得到的解为
,2
1212n n n n aht bt at y -+=，其中nh t n =，并证明方法是收敛的。