上海市复旦附中2020-2021学年第一学期高二10月月考数学试卷及答案
2020-2021学年上海市宝山区上海大学附属中学高二年级上学期10月份月度考试数学学科试卷
2020-2021学年上海市宝山区罗店中学高三年级上学期期中考试数学学科试卷（满分150分 完成时间：90分钟）一．填空题（本大题共有12题，1-6每题4分，7—12每题5分，共54分）请在答题纸的相应位置直接填写结果．1. 若直线l 经过点)3,2(-P ，且与向量)3,2(-=n垂直，则l 的点方向式方程为 . 【答案】2332+=-y x 【解析】2. 函数）42tan(π-=x y 的最小正周期为 . 【答案】2π 【解析】利用最小正周期的公式||ωπ=T 即可求得 3. 若函数2)(+=x xx f 反函数是)(1x f -，则=-)3(1f.【答案】3-【解析】由反函数的性质可知，若原函数经过()b a ,，则反函数一定经过()a b ,4. 已知集合{}023|2≤+-=x x x A ，}{a x x B 3|-=.若B A ⊆，则实数a 的取值范围 . 【答案】 【解析】5. 若等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，1442=+a a ，707=S ，则数}{n a 的通项公式为 . 【答案】 【解析】6. 已知}{n a 是首项为1a 、公比为q 的无穷等比数列，且41lim =∞→n n S ，则首项1a 的取值范围是 . 【答案】 【解析】7. 用数学归纳法证明“)1,(12131211* n N n n n ∈-++++”时，由()1 k k n =不等式成立，推证1+=k n 时，左边应增加的项数共 项.【答案】 【解析】8. 在ABC ∆中，C B A 、、所对边分别为c b a 、、，已知32=a ，2=c ，01cos 200sin sin =-Ac b B C ，则ABC ∆的面积为 . 【答案】【解析】9. 关于y x 、的二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+2cos sin 13θθy x y x ，()πθ,0∈无解，则=θ .【答案】 【解析】10. 如图，矩形ABCD 中，点P 在矩形边上运动，若PC DP 2=,μλ+=,则22μλ+的值为【答案】 【解析】11. 已知函数⎩⎨⎧≤+--++=0,20,1)(2x ax x x x a x x f 的最小值为1+a ，则实数a 的取值范围为 . 【答案】 【解析】12. 已知数列}{n a 满足211-=a ，1321++=+n n n a a a ，若21+=n n a b ，设数列}{n b 的前n 项和为n S ，则使得k S -2019最小的整数k 的值为 . 【答案】【解析】二、选择题（本大题共4题，每题5分，满分20分） 13. 已知R x ∈，则“0≥x ”是“3>x ”的（ ）【A 】充分非必要条件 【B 】必要非充分条件 【C 】充要条件 【D 】既非充分又非必要条件 【答案】 【解析】14. 已知)0,5(),,(-==n m ，且向量在向量方向上的投影是2-，则（ ） 【A 】2-=m ，n 取任意实数 【B 】2,2=-=n m【C 】2=m ，n 取任意实数 【D 】2,2-==n m 【答案】 【解析】15. 已知⎪⎩⎪⎨⎧≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-<-=-2012212012121n n n a n n ，，,n S 数列{}n a 的前n 项和,则下列结论正确的是（ ）【A 】n n a ∞→lim 和n n S ∞→lim 都存在 【B 】n n a ∞→lim 和n n S ∞→lim 都不存在【C 】n n a ∞→lim 存在,n n S ∞→lim 不存在 【D 】n n a ∞→lim 不存在,n n S ∞→lim 存在【答案】【解析】设函数1212)(--+=x In x In x f ，则)(x f （ ）【A 】是偶函数，且在⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+，21单调递增 【B 】是奇函数，且在⎪⎭⎫⎝⎛2121-，单调递减 【C 】是偶函数，且在），（21--∞单调递减 【D 】是奇函数，且在），（21--∞单调递减 【答案】【解析】三、解答题（本大题共有5小题，满分共76分） 17. （本题满分14分） 已知向量)1,(),2,1(x ==（1）若)2()2-⊥+（时，求x 的值；（2）若向量与向量的夹角为锐角，求x 的取值范围 【答案】 【解析】18.（本题满分14分）在数列{}n a 中，32,111-==+n n a a a（1）求证：数列{}3-n a 是等比数列； （2）若123-+=n a b n n ,求n b 的前n 项和n T .【答案】（1）13-=nn a ； （2）2932322--+=+n n T n n . 【解析】（1）由231+=-n n a a ,得()1311+=+-n n a a ,311=+a ,所以{}1+n a 是以3为首项,3为公比的等比数列,所以13-=nn a ；（2）由123-+=n a b n n 可得4231-+=+n b n n ,所以通过错位相减法计算可得2932322--+=+n n T n n .19.（本题满分448+=分）某养渔场,据统计测量,第一年鱼的产量增长率为%200,以后每年的增长率为前一年的一半（1）饲养5年后,鱼产量预计是原来的多少倍?（2）如因死亡等原因,每年约损失预计产量的%10,那么,经过几年后,鱼的总产量开始下降?【答案】（1）7.12；（2）经过5年后,鱼的产量开始下降. 【解析】（1）设鱼原来的产量为a ,2%200==q ,()q a a +=11,()⎪⎭⎫⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2112112q q a q a a ,()()a a a 7.12324052112112111121325≈=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=∴.（2）由（1）知()()%101211-⋅+=-n n n a a ,令11<-n na a ,即110921%20011<⨯⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+-n ,则1821>-n ,5>n ,即经过5年后,鱼的产量开始下降.20. （本题满分444++分）若数列{}n a 的每一项都不等于零,且对于任意的*N n ∈,都有q a a nn =+2,（q 为常数）,则称数列{}n a 为“类等比数列”.已知数列{}n b 满足：b b =1（R b ∈,0≠b ）,对于任意的*N n ∈,都有112++=⋅n n n b b .（1）求证：数列{}n b 是“类等比数列”；（2）求数列{}n b 的通项公式；（3）若{}n b 是单调递增数列,求实数b 的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅=--是偶数是奇数n bn b b n n n ,24,22221；（3）[2,]2.【解析】（1）证明112++=⋅n n n b b ,2212+++=⋅∴n n n b b ,222121212==⋅⋅=∴++++++n n n n n n n n b b b b b b ,∴数列{}n b 是“类等比数列”；（2）b b =1 ,112++=⋅n n n b b ,b b b 42122==∴,⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅=∴--是偶数是奇数n bn b b n n n ,24,22221； （3）因为{}n b 是单调递增数列,12212+-≤≤∴k k k b b b ,即kk k b bb 224211⋅≤⋅≤⋅--,解得22≤≤b ,故实数b 的取值范围为[2,]2.21. （本题满分543++分）已知数列{}n b ,以及函数()x f ,设()0x b f a n n =,R x ∈0；（1）若n b n =,*N n ∈,()x x f 1=,写出一个0x 使得21<n a 对所有的*N n ∈恒成立； （2）已知n n b b 21=+,*N n ∈,21=b ,10≥x ,()x x f =,证明：251≥+n n a a ,*N n ∈； （3）若()x x f cos =,n n b 2=,*N n ∈,求出所有的0x ,使得0<n a 对所有的*N n ∈恒成立.【答案】（1）00=x ；（2）见解析；（3）{ππk x x x 2320+±==,}Z k ∈. 【解析】（1）证明：()001nx nx f a n ==,21<na 对所有的*N n ∈恒成立,211210<<-∴nx ,解得210n x <对所有的*N n ∈恒成立,等价于2110<x ,则在(∞-∈x ,)(22⋃-,)∞+范围内任取一个数即可.（2）()0022x x f a nn n == ,()10≥x ,n n n n x x a a 212100⋅+⋅=+∴,*N n ∈,10≥x ,令220≥⋅=n x t ，251≥+∴t t ,命题得证.（3）依题意()2cos 0<⋅nx 对所有的*Nn ∈恒成立，可得ππππk x k 223220+<<+,Z k ∈.由于n 取任意正整数得区间长度小于周期,故0x 是一个数值而非范围,经验证可得{ππk x x x 2320+±==,}Z k ∈.。
上海市复旦大学附属中学2020-2021学年高二上学期10月月考数学试题
上海市复旦大学附属中学2020-2021学年高二上学期10月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．直线2310x y 的倾斜角是____________.2．方程组31,622,23x y z x ay z x y z -+=⎧⎪++=⎨⎪+-=⎩，有无穷多解，则a =_________．3．直线1:320l x y ++=与直线2:230l x y --=的夹角α=__________． 4．如图，在ABC 中，2CD DA =，E 是BD 上一点，且()17AE AB AC R λλ=+∈，则λ的值等于________.5．已知1,2,,a b a b ==的夹角为060，则a b +在a 上的投影是__________ 6．己知点P 在直线210x y +-=上，点Q 在直线230x y ++=，PQ 的中点为()00,M x y ，且0017y x ≤-≤，则y x 的取值范围是____． 7．直线260ax y ++=与直线()()2110x a y a +-+-=平行，则a =______．8．已知a ,b R +∈,若直线23x y ++=0与直线()1a x by -+=2互相垂直,则ab 的最大值等于________.9．点(5,2)到直线()1(21)5m x m y m -+-=-的距离的最大值为________.10．定义111011n n n n x x y y ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭为向量(,)n n n OP x y =到向量111(,)n n n OP x y +++=的一个矩阵变换，其中n N ,O +∈是坐标原点，已知1(2,0)OP =，则2020OP 的坐标为__________11．已知直线22(2)0x y y λ+++-=与两坐标轴围成一个三角形，该三角形的面积记为()S λ，当(1,)λ∈+∞时，()S λ的最小值是__________.12．已知直角ABC 中，3,4,5,AB AC BC I ===是ABC 的内心（即三个内角平分线所在直线的交点），P 是IBC 内部（不含边界）的动点，若(,)AP AB AC R λμλμ=+∈，则λμ+的取值范围是__________二、单选题13．设a ，b 是非零向量，“a b a b ⋅=”是“//a b ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件14．已知数列{}n a 的通项公式()()()2019112019120192n n n n a n -⎧-≤≤⎪=⎨⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎩，前n 项和为n S ，则关于数列{}n a 的极限，下面判断正确的是（ ） A ．数列{}n a 的极限不存在，{}n S 的极限存在； B ．数列{}n a 的极限存在， {}n S 的极限不存在； C ．数列{},{S }n n a 的极限均存在，但极限值不相等； D ．数列{},{S }n n a 的极限均存在，且极限值相等.15．过点()1,3P 作直线l ，l 经过点(),0A a 和()0,B b ，且a ，*b ∈N ，则这样的直线l 的条数为（ ）． A ．1B ．2C ．3D ．416．2017年中学数学信息技术研讨会,谈到了图像计算器在数学教学中的应用.如图输入曲线方程28(165)0y x x -+-+--=,计算器显示线段AB ，则线段CD 的曲线方程为A ．()232420x y x x -++-+--= B ．()232420x y x x +++-+--= C ．()232420x y x x -++-+-+= D ．()232420x y x x +++++--=三、解答题17．已知函数121()010()132x f x x R x+=∈．（1）求不等式()0f x ≤的解集；（2）若不等式()f x a x ≥-在[2,3]x ∈上恒有解，求实数a 的取值范围． 18．已知向量(3,1),5,(1)a a b c xa x b =-⋅==+-； （1）若a c ⊥，求实数x 的值； （2）若5b =，求c 的最小值．19．在平面直角坐标系XOY 中，已知点(2,0),(10,0),C(11,3),D(10,6)A B（1）证明：存在点P 使得PA PB PC PD ===，并求P 的坐标；（2）过点C 的直线l 将四边形ABCD 分成周长相等的两部分，求该直线l 的方程. 20．如图，平面直角坐标系内，O 为坐标原点，点A 在x 轴正半轴上，点B 在第一象限内，60AOB ∠=︒.（1）若AB 过点M ，当OAB 的面积取最小值时，求直线AB 的斜率； （2）若4AB =，求OAB 的面积的最大值； （3）设,OA a OB b ==，若114a b+=，求证：直线AB 过一定点，并求出此定点坐标.21．在平面直角坐标系内，对于任意两点1122(,),(,)A x y B x y ，定义它们之间的“曼哈顿距离”为1212AB x x y y =-+-.（1）求线段2(,0)x y x y +=≥上一点(,)M x y 到原点(0,0)O 的“曼哈顿距离”； （2）求所有到定点(,)Q a b 的“曼哈顿距离”均为2的动点围成的图形的周长；（3）众所周知，对于“欧几里得距离”AB =有如下三个正确的结论：①对于平面上任意三点,,A B C ，都有AB AC CB ≤+;②对于平面上不在同一直线上的任意三点,,A B C ，若222AB AC CB =+，则ABC 是以C ∠为直角的直角三角形；③对于平面上两个不同的定点,A B ，若动点P 满足PA PB =，则动点P 的轨迹是线段,A B 的垂直平分线；上述结论对于“曼哈顿距离”是否依然正确？说明理由.参考答案1．2arctan 3π- 【分析】先求直线2x +3y ﹣1＝0的斜率，进而转化为倾斜角，【详解】解：直线2x +3y ﹣1＝0的斜率为k ＝﹣23，倾斜角为α，所以tan α＝﹣23， 则α＝π﹣arctan23， 故答案为π﹣arctan 23．【点睛】本题关键是倾斜角以及反三角函数的问题，考查计算能力．2．2- 【分析】首选由系数行列式等于0求得a ，然后再验证是否有无穷多解． 【详解】由题意311623462660211D a a a -==--+---=-，解得2a =-， 2a =-时，方程622x ay z ++=为6222x y z -+=即为31x y z -+=与第一个方程相同，方程组有无穷多解． 故答案为：－2 【点睛】本题考查方程组解的个数问题，掌握用系数行列式判断方程组解的个数是解题基础． 3．45︒ 【分析】分别求出直线的斜率，利用夹角公式直接求解． 【详解】解：直线1:320l x y ++=的斜率13k =-， 直线2:230l x y --=的斜率22k =设夹角为θ 则()121232tan 11132k k k k θ---===++-⨯45θ∴=︒故答案为45︒ 【点睛】本题考查两直线的夹角公式，解答的关键是熟练记忆公式，属于基础题． 4．47【分析】由图形得B ，E ，D 三点共线，可得()1AE AB AD λλ=+-，再由已知得317λ-=，求解可得答案. 【详解】∵B ，E ，D 三点共线，()1AE AB AD λλ=+-，且3AC AD =，由题可知：317λ-=，∴47λ=， 故答案为：47. 【点睛】本题考查向量的线性表示，三点共线的向量定理的运用，属于基础题. 5．2 【分析】根据投影的定义便可得到向量a b +在a 上的投影为()||cos ,||a b aa b a b a a ++<+>=，而根据条件是可以求出()a b a +的，从而便可得出a b +在a 上的投影的值． 【详解】解：根据条件，a b +在a 上的投影为：22||||cos()3||cos ,||||||||||a ab a b a a a ba b a b a a b a a a b a π++++<+>=+==+，1||||cos12232a b π=+=+⨯=. 故答案为：2． 【点睛】考查一个向量在另一个向量方向上的投影的定义，向量夹角的余弦公式，以及向量数量积的计算公式． 6．2,05⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【分析】先求出M 的轨迹方程，结合0017y x ≤-≤可求. 【详解】设1122(,),(,)P x y Q x y ，则1122210,230x y x y +-=++=，两式相加可得12122()20x x y y ++++=,由于PQ 的中点为()00,M x y ,所以00210x y ++=.设00y t x =，则00y tx =代入上式可得0112x t=-+. 因为0017y x ≤-≤，所以11(1)()712t t ≤--≤+，解之得205t -≤≤.故填2[,0]5-.【点睛】本题主要考查代数式的取值范围的求法，把多个变量化归为一个变量是主要途径. 7．1- 【分析】根据两直线平行可得出关于实数a 的二次方程，解出实数a 的值，代入检验即可得解. 【详解】由于直线260ax y ++=与直线()()2110x a y a +-+-=平行，则()12a a -=，即220a a --=，解得1a =-或2a =.当1a =-时，两直线的方程分别为260x y --=、20x y -=，此时，两直线平行；当2a =时，两直线方程分别为2260x y ++=、30x y ++=，此时，两直线重合. 综上所述，1a =-. 故答案为：1-. 【点睛】本题考查利用两直线平行求参数，考查计算能力，属于基础题. 8．18【分析】根据题意,由直线垂直的判断方法可得()12a b -+=0,变形可得2a b +=1,进而结合基本不等式的性质分析可得答案. 【详解】根据题意,若直线23x y ++=0与直线()1a x by -+=2互相垂直, 则有()12a b -+=0,变形可得2a b +=1,则()211212()2228a b ab a b +=⨯≤⨯=,当且仅当a =122b =时,等号成立; 即ab 的最大值为18,故答案为：18【点睛】本题考查了两直线垂直系数之间的关系、基本不等式求最值，在应用基本不等式时注意等号成立的条件，属于基础题.9．【分析】先判断()()1215m x m y m -+-=-过定点()9,4-，可得点(5,2)到直线()()1215m x m y m -+-=-的距离的最大值就是点(5,2)与点()9,4-的距离，从而可得结果. 【详解】化简()()1215m x m y m -+-=-可得m ()()2150x y x y +--+-=，由2109504x y x x y y +-==⎧⎧⇒⎨⎨+-==-⎩⎩，所以()()1215m x m y m -+-=-过定点()9,4-，点(5,2)到直线()()1215m x m y m -+-=-的距离的最大值就是 点(5,2)与点()9,4-==故答案为【点睛】本题主要考查直线过定点问题以及两点间距离公式的应用，考查了转化思想的应用，属于中档题. 转化是数学解题的灵魂，合理的转化不仅仅使问题得到了解决，还可以使解决问题的难度大大降低，本解法将求最大值的问题转化成了两点间的距离的问题来解决，转化巧妙. 10．(2,4038) 【分析】根据矩阵的运算，求得11n n n n n x x y x y ++=⎧⎨=+⎩，由1(2,0)OP =，得到向量的横坐标不变，纵坐标构成以首项为0，公差为2的等差数列，结合等差数列的通项公式，即可求解. 【详解】由题意，定义111011n n n n x x y y ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，可得11n n n n n x x y x y ++=⎧⎨=+⎩，所以11,n n n n y y x x x +-==， 因为1(2,0)OP =，可得12x =，所以12n n y y +-=， 则向量的横坐标不变，纵坐标构成以首项为0，公差为2的等差数列， 即22n y n =-，所以20204038y =， 所以2020OP 的坐标为(2,4038). 故答案为：(2,4038) 【点睛】本题主要考查了矩阵与向量乘法的意义，以及等差数列的通项公式的应用，其中解答中熟记矩阵的运算，以及等差数列的通项公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 11．8【分析】先求出直线与坐标轴的交点，然后用λ表示出三角形的面积，最后利用基本不等式，即可求得本题答案. 【详解】由直线22(2)0x y y λ+++-=，可得与x 轴，y 轴的交点坐标分别为22(1,0),0,1λλλ+⎛⎫-- ⎪-⎝⎭，(1,)λ∈+∞，所以三角形的面积1224()(1)(1)448211S λλλλλλ+=+⋅=-++≥=--，当且仅当3λ=时取等号，所以()S λ的最小值是8. 故答案为：8 【点睛】本题主要考查基本不等式的实际应用问题，考查学生的转化能力和运算求解能力. 12．7(,1)12【分析】建立平面直角坐标系，求得I 点坐标，用P 点坐标表示出,λμ，根据P 是IBC 内部（不含边界）的动点，求得λμ+的取值范围. 【详解】建立如图所示平面直角坐标系，则()()()0,0,3,0,0,4A B C ，因为I 是三角形ABC 的内心，设三角形ABC 内切圆半径为r ， 则()1122AC AB BC r AB AC ++⨯=⨯⨯，解得1r =. 所以()1,1I ，()()3,0,0,4AB AC ==.依题意点(),P x y 在三角形IBC 的内部（不含边界）. 因为(,)AP AB AC R λμλμ=+∈， 所以()()()(),3,00,43,4x y λμλμ=+=，所以133414x x y yλλμμ⎧=⎪=⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩，令1134z x y λμ=+=+， 则443y x z =-+， 由图可知，当443y x z =-+过()1,1I 时，min 117113412z =⨯+⨯=. 当443y x z =-+，过()0,4C ，即为直线BC 时，max 1104134z =⨯+⨯=.所以λμ+的取值范围时7(,1)12.故答案为：7(,1)12【点睛】本小题主要考查向量坐标的线性运算，属于中档题. 13．A 【解析】cos ,a b a b a b ⋅=⋅，由已知得cos ,1a b =，即,0a b =，//a b .而当//a b 时，,a b还可能是π，此时a b a b ⋅=-，故“a b a b ⋅=”是“//a b ”的充分而不必要条件，故选A.考点：充分必要条件、向量共线. 14．D根据数列极限的概念求出数列{},{S }n n a 的极限值可的结果. 【详解】因为20191lim lim 02n n n n a -→∞→∞⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以数列{}n a 的极限存在且极限值为0，当12019n ≤≤时，1111(1)nn S =-+-+-+-[1(1)]1(1)n ---=--1(1)2n-+-=， 当2019n >时，20191(1)2n S -+-=+201911122112n -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-20191112n -⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭201912n -⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 所以20191lim lim 02n n n n S -→∞→∞⎡⎤⎛⎫=-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以数列{}n S 的极限存在且极限值为0.故选：D. 【点睛】本题考查了求数列的极限，考查了等比数列的前n 项和公式，属于中档题. 15．B 【分析】设出直线方程的截距式，把点（1，3）代入直线方程，变形得 3a ＝（a ﹣1）b ，检验a ＝1时的情况，当a ≥2时，根据b ＝331a +- 求a 、b 的值． 【详解】∵直线l 过点（a ，0）和（0，b ），可设直线l 的方程为：x ya b+=1， ∵直线l 过点（1，3），∴13a b+=1，即 3a ＝（a ﹣1）b ，又a ∈N *，b ∈N *， ∴当 a ＝1时，此时，直线和x 轴垂直，和y 轴无交点，直线不过（0，b ），故a ＝1时不满足条件． 当 a ≥2时，b 31a a ==-331a +-①， 当 a ＝2时，b ＝6，当 a ＝4时，b ＝4，当a ＞4时，由①知，满足条件的正整数b 不存在， 综上，满足条件的直线有2条，【点睛】本题考查直线的截距式方程的应用，把可作出的l 的条数问题转化为求a 、b 的值的个数问题，体现了分类讨论和转化的数学思想． 16．A 【解析】根据题中示例可知：之所以可以表示为()281650y x x -+-+--=之所以可以表示线段AB .因为方程等价于801650y x x -=⎧⎨-+--=⎩，即816y x =⎧⎨≤≤⎩，即为线段AB .由此可得题中线段CD 的方程为：3024x y x -+=⎧⎨≤≤⎩，等价于()232420x y x x -++-+--=.故选A.17．（1）1(,0),2⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭；（2）43a ≤． 【分析】（1）先化简整理()f x 解析式，令()0f x ≤，解不等式即可得解集. （2）不等式()f x a x ≥-在[2,3]x ∈上恒有解，等价于12a x x≤+-在[2,3]x ∈上恒有解，令1()2g x x x=+-，只需max ()a g x ≤，即可得a 的取值范围. 【详解】（1）()121()01011113322x x x f x xx=+⨯-==-+ 令()f x =120x -≤，即()2100x x x ⎧-≥⎨≠⎩ ，解得：0x <或12x ≥所以不等式()0f x ≤的解集为：1(,0),2⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭（2）()f x =12a x x-≥-在[2,3]x ∈上恒有解， 即12a x x ≤+-在[2,3]x ∈上恒有解， 令1()2g x x x =+-，只需max ()a g x ≤ ，因为1()2g x x x=+-在[2,3]x ∈单调递增，所以max 14()(3)3233g x g ==+-=所以43a ≤.【点睛】本题主要考查了分式不等式的解法，函数有解问题求参数的范围，涉及行列式的计算，对勾函数的单调性，属于中档题.18．（1）1x =-；（2 【分析】（1）由数量积为0可求得x ；（2）由2c c =，化为关于x 的函数后由二次函数性质可求得最小值． 【详解】（1）∵a c ⊥，∴2[(1)](1)105(1)550a c a xa x b xa x a b x x x ⋅=⋅+-=+-⋅=+-=+=，解得1x =-；（2）2222022[(1)]2(1)(1)c c xa x b x a x x a b x b==+-=+-⋅+-2221010(1)5(1)555x x x x x =+-+-=+≥，∴5c ≥，0x =时等号成立，故c 的最小值是 【点睛】本题考查向量垂直的向量表示，考查向量模的数量积运算，掌握数量积的定义是解题关键． 19．（1）证明见解析，(6,3)；（2）124190x y --=. 【分析】(1)由PA PB PC PD ===知，点P 为四边形ABCD 外接圆的圆心，算出,AB BC ， 根据0AB BC ⋅=，得出P 为AD 的中点，进而求解(2)利用两点间距离公式可得，8AB =，BC CD ==10AD =，再根据过C 点的直线l 将四边形ABCD 分成周长相等的两部分列方程求解即可 【详解】(1)由PA PB PC PD ===知，点P 为四边形ABCD 外接圆的圆心，(8,0),(0,)AB BC b ==，0AB BC ∴⋅=，AB BC ∴⊥，四边形ABCD 外接圆的圆心且为AD 的中点，∴点P 的坐标为(6,3)(2)由两点间距离公式可得，8AB =，BC CD =10AD =，过C 点的直线l 将四边形ABCD 分成周长相等的两部分，故在线段AD 上取一点E ， 令9ED AE =，即可得三角形ECD 的周长等于四边形AECB 的周长 设E 的坐标为(,)x y ，则(10,6)ED x y =--，(2,)AE x y =-，14109(2)5935x x x b y y y ⎧=⎪-=-⎧⎪∴⇒⎨⎨-=⎩⎪=⎪⎩，∴点E 的坐标为143,55⎛⎫ ⎪⎝⎭， 则该直线l 的方程为：124190x y --= 【点睛】本题考查向量的坐标运算，属于基础题20．（1）；（2）（3）证明见解析，定点坐标为38⎛ ⎝⎭.【分析】（1）当直线AB 斜率不存在时，求出B 点坐标得三角形面积，当AB 斜率存在时，设直线AB为(3)y k x -=-，由题意可得0k ≠，然后求出A x ，B y ，由0,0A B x y >>得k 的取值范围，计算出面积12A B S x y =，令1t =-，换元后利用函数的性质求得S 取最小值时的k 值；（2）设2,03OAB πθθ⎛⎫∠=<<⎪⎝⎭，则23OBA πθ∠=-，用正弦定理表示出,OA OB ，把OABS表示为θ的函数，由三角函数知识求得最大值；（3）写出,A B 坐标，(,0)A a，1()2B b ，AB 斜率不存在进写出AB 方程，AB 斜率存在时，写出AB 方程，可得AB 斜率不存在时方程也适合此式，代入114b a=-，化方程为1a的方程，由它关于a 恒成立可得定点坐标． 【详解】解：（1）因为O 为坐标原点且60AOB ∠=︒，则OB所在直线方程为y =， 当直线AB 斜率不存在时，直线AB 方程为3x =，点B坐标为，OAB， 当直线AB 斜率存在时，设直线AB为(3)y k x -=-，由题意可得0k ≠， 令0y =，解得3A x =+，联立y =，可得B y =， 由0A x >得k 0<或k >0B y >得k <或k >k 0<或k > 所以OAB的面积1111)3222A B S x y k k ⎛-=⋅=⋅-= ⎝⎭22=令1t =-，则(,1)(2,)t ∈-∞-⋃+∞，则22222111221222221191248t t S t t t t t t t ==⋅==+----⎛⎫---++ ⎪⎝⎭因为11(1,0)0,2t⎛⎫∈-⋃ ⎪⎝⎭，所以当114t =-时，面积最小， 此时4t =-14-=-，则k =OAB 的面积的最小值时AB 所在的直线的斜率为（2）下面用弧度表示角，设2,03OAB πθθ⎛⎫∠=<<⎪⎝⎭，则23OBA πθ∠=-， 由正弦定理得2sin sin sin 33ABOBOA ππθθ==⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以2,3OA OB πθθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，因此12sin sin 233OKESOA OB ππθθ⎛⎫=⋅⋅=⋅- ⎪⎝⎭1sin 322θθθ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭21cos sin 322θθθ⎫=+⎪⎝⎭1cos24θ⎫-=+⎪⎝⎭2sin 216πθ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 当262ππθ-=即3πθ=时，OAB的面积的最大，最大值为（3）因为,,3OA a OB b AOB π==∠=，所以(,0),2b A a B ⎛ ⎝⎭，所以当直线AB 斜率不存在时，即2ba =时，直线AB 方程为x a =（①）， 当直线AB 斜率存在时，即2b a ≠时，直线AB方程为2()2y x a b a =--，整理可得0222y ay x b ab ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭（②）（①满足②，所以对0,0a b >>②都成立）， 同时除以ab得110222y y x b a ⎛⎫⋅+-⋅-= ⎪⎝⎭③， 又因为114a b+=，所以114b a =-代入③整理得3140222x y y a ⎛⎫-⋅+-= ⎪⎝⎭，对于任意0a >都成立，所以30240y y -=⎨⎪-=⎪⎩，解得388x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以直线AB过定点，定点坐标为38⎛ ⎝⎭. 【点睛】本题考查直线的斜率，直线过定点问题，三角形面积的最值问题，掌握直线方程是解题关键．与三角形面积有关的问题，一般先把面积表示出来，可表示为直线斜率k 的函数，也可引入点的坐标，线段的长度，或角度为参数，用参数表示出三角形面积，再根据函数的性质或基本不等式求得最值及取得最值时的参数值．定点问题，首先由参数写出直线方程，然后把直线方程转化为关于参数的恒等式，利用恒等式知识可得． 21．（1）2；（2）（3）①正确，②错误，③错误，理由见解析 【分析】（1）直接根据新定义计算；（2）不妨取Q 点为原点，求出所有到定点(,)Q a b 的“曼哈顿距离”均为2的动点围成的图形，然后再求图形的周长．（3）用“曼哈顿距离”表示出三个命题的条件，代入检验判断三个命题是否正确． 【详解】（1）因为(,)M x y 在线段2(,0)x y x y +=≥上，所以0,0x y ≥≥，002MO x y x y =-+-=+=；（2）不妨设Q 点就是原点（否则把Q 到平移到原点，不改变图形的周长），若(,)M x y 在第一象限（含,x y 轴正半轴），则002MO x y x y =-+-=+=，因此点(,)M x y在线段2(,0)x y x y +=≥上，其长度为象限、第四象限的部分（含相应坐标轴上的点）都是一条线段，长度均为，所以总长度为4=．（3）对平面上任意三点112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，“曼哈顿距离”为：1212AB x x y y =-+-，1313AC x x y y =-+-，2323BC x x y y =-+-①由绝对值的性质显然有231312x x x x x x -+-≥-,231312y y y y y y -+-≥-, 所以AC BC AB +≥，132x x x ≤≤且132y y y ≤≤（或不等号全部改变方向）时等号成立．①正确；②22212121212()()2()()AB x x y y x x y y =-+-+--，2222221323132313231323()()()()2()()2()()AC BC x x x x y y y y x x x x y y y y +=-+-+-+-+--+--12122()()x x y y --与132313232()()2()()x x x x y y y y --+--不一定相等，因此不能得出“欧几里得距离”这个传统意义上的勾股定理的形式，不能判断ABC 是直角三角形．②错误；③不妨设11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,)P x y ，由PA PB =得1122x x y y x x y y -+-=-+-，平方后得222211112222()()2()()()()2()()x x y y x x y y x x y y x x y y -+-+--=-+-+--，显然112()()x x y y --＝222()()x x y y --不一定成立，因此22221122()()()()x x y y x x y y -+-=-+-也不一定成立，即不能得出“欧几里得距离”相等，P 不一定在线段AB 的垂直平分线上．③错误．【点睛】本题考查新运算与绝对值的结合，应注意点C 不同位置，弄清新命题的运算规则，是本题的关键，设出各点坐标，代入关系式计算，根据计算结果判断是解题基础．。
2020-2021学年上海市复旦附中青浦分校高一(上)月考数学试卷(10月份)(附答案详解)
2020-2021学年上海市复旦附中青浦分校高一（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题（本大题共4小题，共20.0分）1. 设不等式√f(x)>g(x)的解集为M ，不等式组{g(x)≥0f(x)>g 2(x)的解集为N ，则M 、N 之间的关系为( )A. M =NB. M ⊇NC. M ⊆ND. M 、N 互不包含2. 已知a 1，a 2，b 1，b 2均为非零实数，集合A ={x|a 1x +b 1>0}，B ={x|a 2x +b 2>0}，则“a 1a 2=b1b 2”是“A =B ”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 著名的孪生素数猜想指出：“存在无穷多个素数p ，使得p +2是素数”，用反证法研究该猜想，对于应假设的内容，下列说法正确的是( )A. 只有有限多个素数p ，使得p +2是合数B. .存在无穷多个素数p ，使得p +2是合数C. 对任意正数n ，存在素数p >n ，使得p +2是合数D. 存在正数n ，对任意素数p >n ，p +2是合数4. 设a ∈R ，若不等式|x 2+1x |+|x 2−1x |+ax ≥4x −8恒成立，则实数a 的取值范围是( )A. [−2,12]B. [−2,10]C. [−4,4]D. [−4,12]二、单空题（本大题共12小题，共60.0分）5. 若集合A ={y|y =x 2−1}，B ={y|y =−x 2−2x}，则A ∩B =______．6. 设集合A ={x|x ∈N|65−x ∈N}，则集合A 的子集的个数是 ． 7. 若a ，b ∈R ，则“(a −b)a 2>0”是“a >b ”的______条件．8. 设a ，b ，c ∈R ，已知不等式ax 2+bx +c <0解集为(2,3)，则不等式cx 2−bx −a >0的解集为______．9. 不等式(2x +1)(x +3)(5−x)>0的解集为______． 10. 不等式(x+7)2x−2≥0的解集为______．11.不等式|2x2−x |≥2xx−2的解集为______．12.不等式(x−1)√x2−x−2≤0的解集为______．13.若不等式x2+mx>x+m对任意m∈(−3,1)恒成立，则实数x的取值范围是______．14.已知集合M={x|ax−5x2−a<0}，若3∈M，5∉M，则实数a的取值范围是______．15.已知−1<a<b<2，则2b−a2的范围是______．16.设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数).若不等式f(x)≥2ax+b的解集为R，则b2a2+c2的最大值为______ ．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.设集合A={x|x2−3x+2=0}，B={x|x2+2(a+1)x+(a2−5)=0}(1)若A∩B={2}，求实数a的值；(2)若A∪B=A，求实数a的取值范围；(3)若U=R，A∩(∁U B)=A，求实数a的取值范围．18.设f(x)=(m+1)x2−mx+m−1，m∈R．(1)若方程f(x)=0有实根，求实数m的取值范围；(2)若不等式f(x)>0的解集为⌀，求实数m的取值范围；(3)若不等式f(x)>0对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．19.某品牌饮料原来每瓶成本为10元，售价为15元，月销售8万瓶．(1)据市场调查，若售价每提高1元，月销售量将相应减少2000瓶，要使月总利润不低于原来的月总利润(月总利润=月销售总收入−月总成本)，该饮料每瓶售价最多为多少元？(2)为提高月总利润，厂家决定下月进行营销策略改革，计划每瓶售价x(x≥16)元，并投入334(x−16)万元作为营销策略改革费用．据市场调查，每瓶售价每提高1元，月销售量将相应减少0.45(x−15)2万瓶，则当每瓶售价x为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月最大总利润．20.已知关于x的不等式(kx−k2−5)(x−4)>0，(k∈R)设Z为整数集．(1)求不等式的解集A；(2)对于上述集合A，设B=A∩Z，探究B能否为有限集？若能，求出使B元素个数最少时的k的所有取值，及此时的集合B，若不能，请说明理由．21.已知U⊆R为一个数集，集合A={s2+3t2|s,t∈U}．(1)设U={1,3,5}，求集合A的元素个数；(2)设U=Z，证明：若x∈A，则7x∈A；(3)设U=R，x，y∈A，且x=m2+3n2，y=p2+3q2，若mp−3nq=√3，求x+y+mq+np的最小值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：不等式组{g(x)≥0f(x)>g 2(x)等价于{g(x)≥0√f(x)>g(x)，因为不等式√f(x)>g(x)的解集为M ，不等式组{g(x)≥0f(x)>g 2(x)的解集为N ，所以M ⊇N ． 故选：B ．将不等式组等价转化为{g(x)≥0√f(x)>g(x)，结合子集的定义，判断即可．本题考查了不等式的解法，解题的关键是将不等式组进行等价转化，考查了逻辑推理能力，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：∵a 1a 2=b1b 2∴取a 1=1，a 2=−1，b 1=−1，b 2=1，A ≠B而A =B ⇒a 1a 2=b1b 2∴“a 1a 2=b1b 2”是“A =B ”的必要不充分条件故选B先根据a 1a 2=b1b 2，进行赋值说明此时A ≠B ，然后根据“M ⇒N ，M 是N 的充分不必要条件，N 是M 的必要不充分条件”，进行判定即可．本题主要考查了以不等式为载体考查两集合相等的充要条件，以及赋值法的运用，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：∵存在无穷多个素数p ，使得p +2是素数的否定为存在正数n ，对任意素数p >n ，p +2是合数，∴应假设存在正数n ，对任意素数p >n ，p +2是合数． 故选：D ．根据已知条件，结合反证法的定义，即可求解．本题主要考查反证法的应用，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：|x2+1x |+|x2−1x|+ax≥4x−8恒成立，即为|x2+1x |+|x2−1x|+8≥(4−a)x恒成立，当x>0时，可得4−a≤|x+1x2|+|x−1x2|+8x的最小值，由|x+1x2|+|x−1x2|+8x≥|x+1x2+x−1x2|+8x=2x+8x≥2√2x⋅8x=8，当且仅当x=2取得最小值8，即有4−a≤8，则a≥−4；当x<0时，可得4−a≥−[|x+1x2|+|x−1x2|−8x]的最大值，由|−x+1x2|+|−x−1x2|−8x≥−2x−8x≥2√2x⋅8x=8，当且仅当x=−2取得最大值−8，即有4−a≥−8，则a≤12，综上可得−4≤a≤12．故选：D．由题意可得|x2+1x |+|x2−1x|+8≥(4−a)x恒成立，讨论x>0，x<0，运用基本不等式，可得最值，进而得到所求范围．本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和分类讨论思想，以及基本不等式，考查转化思想和运算能力，属于难题．5.【答案】[−1,1]【解析】解：集合A={y|y=x2−1}={y|y≥−1}，B={y|y=−x2−2x}={y|y=−(x+1)2+1}={y|y≤1}，则A∩B=[−1,1]，故答案为：[−1,1]．求函数的值域得出集合A、B，再根据交集的定义求A∩B．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．6.【答案】8【解析】【分析】由题意，可求集合A中有2，3，4三个元素．进而可得正确答案．本题考查集合的子集个数问题，对于集合的子集问题：一般来说，若集合中有n个元素，则集合的子集共有2n个．【解答】∈N，则5−x必为6的正约数，解：由于65−x∴5−x=1，2，3，6，∴x=4，3，2，−1；又x∈N，∴x=4，3，2．故集合A={2,3,4}，所以集合A子集个数为8个．故答案为：8．7.【答案】充分不必要【解析】解：∵(a−b)a2>0，又∵a2>0，∴a−b>0，即a>b，故(a−b)a2>0能推出a>b，令a=0，b=−1，满足a>b，但(a−b)a2=0，故a>b不能推出(a−b)a2>0，综上所述，“(a−b)a2>0”是“a>b”的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．根据已知条件，结合不等式的性质，即可求解．本题主要考查充分性和必要性，以及不等式的性质，属于基础题．,+∞)8.【答案】(−∞,−1)∪(16【解析】解：∵不等式ax2+bx+c<0解集为(2,3)，∴a>0，且{−ba=5 ca=6，∴b=−5a，c=6a，∴不等式cx2−bx−a>0可化为6ax2+5ax−a>0，又∵a>0，∴6x2+5x−1>0，解得x<−1或x>16，即不等式cx2−bx−a>0的解集为(−∞,−1)∪(16,+∞)．故答案为：(−∞,−1)∪(16,+∞)．根据题意结合韦达定理可知a>0，且b=−5a，c=6a，代入所求不等式，解出x的取值范围即可．本题主要考查了解一元二次不等式，考查了韦达定理的应用，是基础题．9.【答案】(−∞,−3)∪(−12,5)【解析】解：由简单的高次不等式的解法——穿根法可知，不等式(2x+1)(x+3)(5−x)>0的解集为(−∞,−3)∪(−12,5)．故答案为：(−∞,−3)∪(−12,5)．直接利用简单的高次不等式的解法——穿根法，求解即可．本题考查了简单的高次不等式的解法，考查了逻辑推理能力，属于基础题．10.【答案】{x|x=−7或x>2}【解析】解：不等式(x+7)2x−2≥0等价于{(x+7)2(x−2)≥0x−2≠0，解得x=−7或x>2，所以不等式的解集为{x|x=−7或x>2}．故答案为：{x|x=−7或x>2}．先将分式不等式进行等价转化，然后由简单的高次不等式的解法求解即可．本题考查了分式不等式以及简单的高次不等式的解法，考查了逻辑推理能力，属于基础题．11.【答案】(−∞,2)∪(2,+∞)【解析】解：由|2x2−x |≥2xx−2，得|2xx−2|≥2xx−2， ∴2xx−2∈R ，即x ≠2．∴不等式|2x2−x |≥2xx−2的解集为(−∞,2)∪(2,+∞)． 故答案为：(−∞,2)∪(2,+∞)．由题意可知2x x−2∈R ，再由分母不为0得答案．本题考查绝对值不等式的解法，考查转化思想方法，是基础题．12.【答案】(−∞,−1]【解析】解：不等式(x −1)√x 2−x −2≤0等价于{x 2−x −2≥0x −1≤0，解得x ≤−1，所以不等式的解集为(−∞,−1]． 故答案为：(−∞,−1]．将不等式进行等价转化，得到{x 2−x −2≥0x −1≤0，求解即可．本题考查了不等式的解法，解题的关键是将不等式进行等价转化，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．13.【答案】(−∞,−1]∪[3,+∞)【解析】解：由不等式x 2+mx >x +m 对任意m ∈(−3,1)恒成立， 得(x −1)m +x 2−x >0对任意m ∈(−3,1)恒成立，令g(m)=(x −1)m +x 2−x ，得{g(−3)=−3(x −1)+x 2−x ≥0g(1)=x −1+x 2−x ≥0，即{x 2−4x +3≥0x 2−1≥0，解得x ≤−1或x ≥3． ∴实数x 的取值范围是(−∞,−1]∪[3,+∞)． 故答案为：(−∞,−1]∪[3,+∞)．把已知不等式变形，可得(x −1)m +x 2−x >0对任意m ∈(−3,1)恒成立，令g(m)=(x −1)m +x 2−x ，得{g(−3)≥0g(1)≥0，得到关于x 的不等式组求解．本题考查函数恒成立问题，考查化归与转化思想，更换主元是关键，是中档题．14.【答案】[1,53)∪(9,25]【解析】解：∵集合M ={x|ax−5x 2−a <0}， 得(ax −5)(x 2−a)<0， 当a =0时，显然不成立， 当a >0时，原不等式可化为 (x −5a )(x −√a)(x +√a)<0，若√a <5a 时，只需满足 {√a <3<5a a ≥1， 解得1≤a <53； 若√a >5a ，只需满足 {5a <3<√a √a ≤5， 解得 9<a ≤25，当a <0时，不符合条件， 综上，故答案为[1,53)∪(9,25]．根据分式不等式的解法，对实数a 进行分类讨论，然后结合条件3∈M ，5∉M 进行求解． 本题重点考查分式不等式的解法，不等式的性质及其应用和分类讨论思想的灵活运用，属于中档题．15.【答案】(−3,4)【解析】解：在平面直角坐标系中画出−1<a <b <2的可行域，如图，令z =2b −a 2，可得b =12a 2+12z ，它表示开口向上的二次函数，对称轴为b 轴，二次函数经过A ，B时，取得最值，A(0,2)，B(−1,−1)，所以2b −a 2的最大值为：4，最小值为：−3，因为A 、B 不在可行域内，所以2b −a 2的范围是：(−3,4)．故答案为：(−3,4)．画出−1<a <b <2不表示的可行域，然后利用2b −a 2的几何意义求解范围即可． 本题考查线性规划的实际应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．16.【答案】2√2−2【解析】解：ax 2+(b −2a)x +c −b ≥0(a >0)，△=(b −2a)2−4a(c −b)≤0，即b 2+4a 2−4ac ≤0，b 2≤4ac −4a 2，∴b 2a 2+c 2≤4ac−4a 2a 2+c 24ac −4a 2≤b 2，∴c ≥a ，求最大值、不妨令c =ka(k >1)∴4ac−4a 2a 2+c 2=4ka 2−4a 2k 2a 2+a 2=4k−1k 2+1(k >1)令k −1=t ，4ac−4a 2a 2+c 2=4t(t+1)2+1=41t+2t +2≤42√2+2=2√2−2即b 2a 2+c 2≤2√2−2，故答案为：2√2−2．根据不等式恒大于等于0，求出c ≥a ，令c =ka(k >1)，再根据基本不等式的性质求出代数式的最大值即可．本题考查了二次函数的性质，考查基本不等式的性质以及转化思想，是一道中档题．17.【答案】解：(1)∵A ∩B ={2}，∴2∈B ，代入B 中方程得a 2+4a +3=0，所以a =−1或a =−3(2分)当a=−1时，B={−2,2}，满足条件；当a=−3时，B={2}，也满足条件综上得a的值为−1或−3；(4分)(2)∵A∪B=A，∴B⊆A(5分)①当△=4(a+1)2−4(a2−5)=8(a+3)<0，即a<−3时，B=⌀满足条件②当△=0即a=−3时，B={2}，满足要求(6分)③当△>0，即a>−3时，B=A={1,2}才能满足要求，不可能故a的取值范围是a≤−3.(9分)(3)∵A∩(C U B)=A，∴A⊆(C U B)，∴A∩B=⌀(10分)①当△<0，即a<−3时，B=⌀，满足条件②当△=0即a=−3时，B={2}，A∩B={2}不适合条件③当△>0，即a>−3时，此时只需1∉B且2∉B将2代入B的方程得a=−1或a=−3将1代入B的方程得a=−1±√3∴a≠−1,a≠−3,a≠−1±√3(12分)综上，a的取值范围是a<−3或−3<a<−1−√3或−1−√3<a<−1或或−1< a<−1+√3或a>−1+√3(14分)【解析】(1)由题目中条件：“A∩B={2}”，知2是方程的一个根，由此可得实数a的值；(2)由题目中条件：“A∪B=A，”，知B⊆A，由此可得实数a的取值范围；(3)由题目中条件：“A∩(C U B)=A，”，知A∩B=⌀，由此可得实数a的取值范围．本题主要综合考查集合的交、并、补以及集合间的包含关系，属于中档题，解题时要善于进行转化．18.【答案】解：(1)若方程f(x)=0有实根，当m+1=0，即m=−1时，f(x)=x−2，f(x)=0有解；当m+1≠0，即m≠−1时，Δ=m2−4(m+1)(m−1)≥0，解得−2√33≤m≤2√33，且m≠−1．综上可得，m的取值范围是[−2√33,2√33]；(2)若m +1=0，即m =−1时，f(x)=x −2，f(x)>0的解为x >2，不符题意；若不等式f(x)>0的解集为⌀，只需m +1<0，且Δ=m 2−4(m +1)(m −1)≤0，解得m ≤−2√33，即m 的取值范围是(−∞,−2√33]； (3)若m +1=0，即m =−1时，f(x)=x −2，f(x)>0的解为x >2，不符题意；若不等式f(x)>0对一切实数x 恒成立，只需m +1>0，且Δ=m 2−4(m +1)(m −1)<0，解得m >2√33．即m 的取值范围是(2√33,+∞)．【解析】(1)考虑二次项系数是否为0，以及二次方程有实根的条件，解不等式可得所求范围；(2)考虑二次项系数是否为0，结合二次函数的图像和判别式的符号，解不等式可得所求范围；(3)考虑二次项系数是否为0，结合二次函数的图像和判别式的符号，解不等式可得所求范围．本题考查二次函数的图像和性质，以及不等式恒成立问题和方程有解问题，考查分类讨论思想和运算能力，属于中档题．19.【答案】解：(1)设每瓶定价为t 元，依题意，有[8−(t −15)×0.2](t −10)≥5×8，整理得t 2−65t +750≤0，解得15≤t ≤50．因此要使销售的总收入不低于原收入，每瓶定价最多为50元．(2)设每瓶定价为x(x ≥16)元，月总利润为f(x)，则f(x)=(x −10)[8−(x −15)0.45(x−15)2]−334(x −16) =(x −10)[8−0.45(x−15)]−334x +132 =−14(x −15+15)−0.45(x−15+15)x−15+ 4.5x−15+52 =−[14(x −15)+2.25x−15]+47.8≤−2√14(x−15)2.25x−15+47.8=46.3当且仅当，当且仅当14(x−15)= 2.25x−15，即(x−15)2=9，∴x−15=3或x−15=−3(舍去)，所以x=18，因此当每瓶售价18元时，下月的月总利润最大，最大总利润为46.3万元．【解析】(1)设每瓶定价为t元，依题意列出[8−(t−15)×0.2](t−10)≥5×8，求解即可．(2)设每瓶定价为x(x≥16)元，月总利润为f(x)，得到函数的解析式，化简利用基本不等式求解最值即可．本题考查函数问题的实际应用，函数的解析式的求法以及基本不等式求解最值的方法的应用，是中档题．20.【答案】解：(1)当k=0时，A=(−∞,4]，当k>0，A=(−∞,4)∪(k+5k,+∞)，当k<0时，A=(k+5k,4)，(2)由(1)知，当k≥0时，集合B中的元素个数无限，当k<0时，集合B中的元素的个数有限，此时集合B为有限集k<0时，k+5k≤−2√5，当且仅当k=−√5时取等号，又k∈Z，得k+5k∈[−4,4)，B={−4,−3,−2,−1,0,1,2,3}．【解析】(1)对k的讨论是本题解题的关键，考虑到方程类型，最高次项系数的正负及根的大小等因素，(2)由(1)的讨论为基础，继续分析B中元素的个数并比较元素最少的情况．本题考查的分类讨论的思想，这也是高中数学中经常考查的思想内容，属于容易题．21.【答案】解：(1)解：∵U ⊆R 为一个数集，集合A ={s 2+3t 2|s,t ∈U}． U ={1,3,5}，∴当s =t =1时，s 2+3t 2=1+3=4，当s =1，t =3时，s 2+3t 2=1+27=28，当s =3，t =1时，s 2+3t 2=9+3=12，当s =1，t =5时，s 2+3t 2=1+75=76，当s =5，t =1时，s 2+3t 2=25+3=28，当s =3，t =5时，s 2+3t 2=9+75=84，当s =5，t =3时，s 2+3t 2=25+27=52，当s =t =3时，s 2+3t 2=9+27=36，当s =t =5时，s 2+3t 2=25+75=100，∴A ={4,12,28,36,52,76,84,100}，8个．(2)证明：∵U =Z ，x ∈A ，∴x =s 2+3t 2，∴7x =7(s 2+3t 2)=7s 2+21t 2=(2s +3t)2+3(s −2t)2∈A ．∴7x ∈A ．(3)解：xy =(m 2+3n 2)(p 2+3q 2)=3(mq +np)2+(mp −3nq)2=3(mq +np)2+3， 设mq +np =6，∴y =3b 2+3x ，x +y +mq +np =x +3b 2+3x +b ≥2√3b 2+3+b ，设2√3b 2+3+b =t ，整理得11b 2+2bt +12−t 2=0，判别式法，△=4b 2−44(12−t 2)≥0，得t ≥√11，即(x +y +mq +np)min =√11．∴x +y +mq +np 的最小值为√11．【解析】(1)分别求出s =t =1、s =1，t =3、s =3，t =1、s =1，t =5、s =5，t =1、s =3，t =5、s =5，t =3、s =t =3、s =t =5时，s 2+3t 2的值，由此能求出集合A ．(2)由U =Z ，x ∈A ，求出x =s 2+3t 2，从而推导出7x =7(s 2+3t 2)=(2s +3t)2+3(s −2t)2，由此能证明7x ∈A ．(3)求出xy =(m 2+3n 2)(p 2+3q 2)=3(mq +np)2+3，设mq +np =6，推导出x +y +mq +np =x +3b 2+3x +b ≥2√3b 2+3+b ，设2√3b 2+3+b =t ，得11b 2+2bt +12−t 2=0，利用判别式法，能求出x +y +mq +np 的最小值．本题考查集合的求法，考查元素是集合中的元素的证明，考查代数式的最小值的求法，考查元素与集合的关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．。
2020-2021学年上海市复旦附中青浦分校高一(上)月考数学试卷(10月份)(附答案详解)
2020-2021学年上海市复旦附中青浦分校高一（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题（本大题共4小题，共20.0分）1. 设不等式√f(x)>g(x)的解集为M ，不等式组{g(x)≥0f(x)>g 2(x)的解集为N ，则M 、N 之间的关系为( )A. M =NB. M ⊇NC. M ⊆ND. M 、N 互不包含2. 已知a 1，a 2，b 1，b 2均为非零实数，集合A ={x|a 1x +b 1>0}，B ={x|a 2x +b 2>0}，则“a 1a 2=b1b 2”是“A =B ”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 著名的孪生素数猜想指出：“存在无穷多个素数p ，使得p +2是素数”，用反证法研究该猜想，对于应假设的内容，下列说法正确的是( )A. 只有有限多个素数p ，使得p +2是合数B. .存在无穷多个素数p ，使得p +2是合数C. 对任意正数n ，存在素数p >n ，使得p +2是合数D. 存在正数n ，对任意素数p >n ，p +2是合数4. 设a ∈R ，若不等式|x 2+1x |+|x 2−1x |+ax ≥4x −8恒成立，则实数a 的取值范围是( )A. [−2,12]B. [−2,10]C. [−4,4]D. [−4,12]二、单空题（本大题共12小题，共60.0分）5. 若集合A ={y|y =x 2−1}，B ={y|y =−x 2−2x}，则A ∩B =______．6. 设集合A ={x|x ∈N|65−x ∈N}，则集合A 的子集的个数是 ． 7. 若a ，b ∈R ，则“(a −b)a 2>0”是“a >b ”的______条件．8. 设a ，b ，c ∈R ，已知不等式ax 2+bx +c <0解集为(2,3)，则不等式cx 2−bx −a >0的解集为______．9. 不等式(2x +1)(x +3)(5−x)>0的解集为______． 10. 不等式(x+7)2x−2≥0的解集为______．11.不等式|2x2−x |≥2xx−2的解集为______．12.不等式(x−1)√x2−x−2≤0的解集为______．13.若不等式x2+mx>x+m对任意m∈(−3,1)恒成立，则实数x的取值范围是______．14.已知集合M={x|ax−5x2−a<0}，若3∈M，5∉M，则实数a的取值范围是______．15.已知−1<a<b<2，则2b−a2的范围是______．16.设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数).若不等式f(x)≥2ax+b的解集为R，则b2a2+c2的最大值为______ ．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.设集合A={x|x2−3x+2=0}，B={x|x2+2(a+1)x+(a2−5)=0}(1)若A∩B={2}，求实数a的值；(2)若A∪B=A，求实数a的取值范围；(3)若U=R，A∩(∁U B)=A，求实数a的取值范围．18.设f(x)=(m+1)x2−mx+m−1，m∈R．(1)若方程f(x)=0有实根，求实数m的取值范围；(2)若不等式f(x)>0的解集为⌀，求实数m的取值范围；(3)若不等式f(x)>0对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．19.某品牌饮料原来每瓶成本为10元，售价为15元，月销售8万瓶．(1)据市场调查，若售价每提高1元，月销售量将相应减少2000瓶，要使月总利润不低于原来的月总利润(月总利润=月销售总收入−月总成本)，该饮料每瓶售价最多为多少元？(2)为提高月总利润，厂家决定下月进行营销策略改革，计划每瓶售价x(x≥16)元，并投入334(x−16)万元作为营销策略改革费用．据市场调查，每瓶售价每提高1元，月销售量将相应减少0.45(x−15)2万瓶，则当每瓶售价x为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月最大总利润．20.已知关于x的不等式(kx−k2−5)(x−4)>0，(k∈R)设Z为整数集．(1)求不等式的解集A；(2)对于上述集合A，设B=A∩Z，探究B能否为有限集？若能，求出使B元素个数最少时的k的所有取值，及此时的集合B，若不能，请说明理由．21.已知U⊆R为一个数集，集合A={s2+3t2|s,t∈U}．(1)设U={1,3,5}，求集合A的元素个数；(2)设U=Z，证明：若x∈A，则7x∈A；(3)设U=R，x，y∈A，且x=m2+3n2，y=p2+3q2，若mp−3nq=√3，求x+y+mq+np的最小值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：不等式组{g(x)≥0f(x)>g 2(x)等价于{g(x)≥0√f(x)>g(x)，因为不等式√f(x)>g(x)的解集为M ，不等式组{g(x)≥0f(x)>g 2(x)的解集为N ，所以M ⊇N ． 故选：B ．将不等式组等价转化为{g(x)≥0√f(x)>g(x)，结合子集的定义，判断即可．本题考查了不等式的解法，解题的关键是将不等式组进行等价转化，考查了逻辑推理能力，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：∵a 1a 2=b1b 2∴取a 1=1，a 2=−1，b 1=−1，b 2=1，A ≠B而A =B ⇒a 1a 2=b1b 2∴“a 1a 2=b1b 2”是“A =B ”的必要不充分条件故选B先根据a 1a 2=b1b 2，进行赋值说明此时A ≠B ，然后根据“M ⇒N ，M 是N 的充分不必要条件，N 是M 的必要不充分条件”，进行判定即可．本题主要考查了以不等式为载体考查两集合相等的充要条件，以及赋值法的运用，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：∵存在无穷多个素数p ，使得p +2是素数的否定为存在正数n ，对任意素数p >n ，p +2是合数，∴应假设存在正数n ，对任意素数p >n ，p +2是合数． 故选：D ．根据已知条件，结合反证法的定义，即可求解．本题主要考查反证法的应用，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：|x2+1x |+|x2−1x|+ax≥4x−8恒成立，即为|x2+1x |+|x2−1x|+8≥(4−a)x恒成立，当x>0时，可得4−a≤|x+1x2|+|x−1x2|+8x的最小值，由|x+1x2|+|x−1x2|+8x≥|x+1x2+x−1x2|+8x=2x+8x≥2√2x⋅8x=8，当且仅当x=2取得最小值8，即有4−a≤8，则a≥−4；当x<0时，可得4−a≥−[|x+1x2|+|x−1x2|−8x]的最大值，由|−x+1x2|+|−x−1x2|−8x≥−2x−8x≥2√2x⋅8x=8，当且仅当x=−2取得最大值−8，即有4−a≥−8，则a≤12，综上可得−4≤a≤12．故选：D．由题意可得|x2+1x |+|x2−1x|+8≥(4−a)x恒成立，讨论x>0，x<0，运用基本不等式，可得最值，进而得到所求范围．本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和分类讨论思想，以及基本不等式，考查转化思想和运算能力，属于难题．5.【答案】[−1,1]【解析】解：集合A={y|y=x2−1}={y|y≥−1}，B={y|y=−x2−2x}={y|y=−(x+1)2+1}={y|y≤1}，则A∩B=[−1,1]，故答案为：[−1,1]．求函数的值域得出集合A、B，再根据交集的定义求A∩B．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．6.【答案】8【解析】【分析】由题意，可求集合A中有2，3，4三个元素．进而可得正确答案．本题考查集合的子集个数问题，对于集合的子集问题：一般来说，若集合中有n个元素，则集合的子集共有2n个．【解答】∈N，则5−x必为6的正约数，解：由于65−x∴5−x=1，2，3，6，∴x=4，3，2，−1；又x∈N，∴x=4，3，2．故集合A={2,3,4}，所以集合A子集个数为8个．故答案为：8．7.【答案】充分不必要【解析】解：∵(a−b)a2>0，又∵a2>0，∴a−b>0，即a>b，故(a−b)a2>0能推出a>b，令a=0，b=−1，满足a>b，但(a−b)a2=0，故a>b不能推出(a−b)a2>0，综上所述，“(a−b)a2>0”是“a>b”的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．根据已知条件，结合不等式的性质，即可求解．本题主要考查充分性和必要性，以及不等式的性质，属于基础题．,+∞)8.【答案】(−∞,−1)∪(16【解析】解：∵不等式ax2+bx+c<0解集为(2,3)，∴a>0，且{−ba=5 ca=6，∴b=−5a，c=6a，∴不等式cx2−bx−a>0可化为6ax2+5ax−a>0，又∵a>0，∴6x2+5x−1>0，解得x<−1或x>16，即不等式cx2−bx−a>0的解集为(−∞,−1)∪(16,+∞)．故答案为：(−∞,−1)∪(16,+∞)．根据题意结合韦达定理可知a>0，且b=−5a，c=6a，代入所求不等式，解出x的取值范围即可．本题主要考查了解一元二次不等式，考查了韦达定理的应用，是基础题．9.【答案】(−∞,−3)∪(−12,5)【解析】解：由简单的高次不等式的解法——穿根法可知，不等式(2x+1)(x+3)(5−x)>0的解集为(−∞,−3)∪(−12,5)．故答案为：(−∞,−3)∪(−12,5)．直接利用简单的高次不等式的解法——穿根法，求解即可．本题考查了简单的高次不等式的解法，考查了逻辑推理能力，属于基础题．10.【答案】{x|x=−7或x>2}【解析】解：不等式(x+7)2x−2≥0等价于{(x+7)2(x−2)≥0x−2≠0，解得x=−7或x>2，所以不等式的解集为{x|x=−7或x>2}．故答案为：{x|x=−7或x>2}．先将分式不等式进行等价转化，然后由简单的高次不等式的解法求解即可．本题考查了分式不等式以及简单的高次不等式的解法，考查了逻辑推理能力，属于基础题．11.【答案】(−∞,2)∪(2,+∞)【解析】解：由|2x2−x |≥2xx−2，得|2xx−2|≥2xx−2， ∴2xx−2∈R ，即x ≠2．∴不等式|2x2−x |≥2xx−2的解集为(−∞,2)∪(2,+∞)． 故答案为：(−∞,2)∪(2,+∞)．由题意可知2x x−2∈R ，再由分母不为0得答案．本题考查绝对值不等式的解法，考查转化思想方法，是基础题．12.【答案】(−∞,−1]【解析】解：不等式(x −1)√x 2−x −2≤0等价于{x 2−x −2≥0x −1≤0，解得x ≤−1，所以不等式的解集为(−∞,−1]． 故答案为：(−∞,−1]．将不等式进行等价转化，得到{x 2−x −2≥0x −1≤0，求解即可．本题考查了不等式的解法，解题的关键是将不等式进行等价转化，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．13.【答案】(−∞,−1]∪[3,+∞)【解析】解：由不等式x 2+mx >x +m 对任意m ∈(−3,1)恒成立， 得(x −1)m +x 2−x >0对任意m ∈(−3,1)恒成立，令g(m)=(x −1)m +x 2−x ，得{g(−3)=−3(x −1)+x 2−x ≥0g(1)=x −1+x 2−x ≥0，即{x 2−4x +3≥0x 2−1≥0，解得x ≤−1或x ≥3． ∴实数x 的取值范围是(−∞,−1]∪[3,+∞)． 故答案为：(−∞,−1]∪[3,+∞)．把已知不等式变形，可得(x −1)m +x 2−x >0对任意m ∈(−3,1)恒成立，令g(m)=(x −1)m +x 2−x ，得{g(−3)≥0g(1)≥0，得到关于x 的不等式组求解．本题考查函数恒成立问题，考查化归与转化思想，更换主元是关键，是中档题．14.【答案】[1,53)∪(9,25]【解析】解：∵集合M ={x|ax−5x 2−a <0}， 得(ax −5)(x 2−a)<0， 当a =0时，显然不成立， 当a >0时，原不等式可化为 (x −5a )(x −√a)(x +√a)<0，若√a <5a 时，只需满足 {√a <3<5a a ≥1， 解得1≤a <53； 若√a >5a ，只需满足 {5a <3<√a √a ≤5， 解得 9<a ≤25，当a <0时，不符合条件， 综上，故答案为[1,53)∪(9,25]．根据分式不等式的解法，对实数a 进行分类讨论，然后结合条件3∈M ，5∉M 进行求解． 本题重点考查分式不等式的解法，不等式的性质及其应用和分类讨论思想的灵活运用，属于中档题．15.【答案】(−3,4)【解析】解：在平面直角坐标系中画出−1<a <b <2的可行域，如图，令z =2b −a 2，可得b =12a 2+12z ，它表示开口向上的二次函数，对称轴为b 轴，二次函数经过A ，B时，取得最值，A(0,2)，B(−1,−1)，所以2b −a 2的最大值为：4，最小值为：−3，因为A 、B 不在可行域内，所以2b −a 2的范围是：(−3,4)．故答案为：(−3,4)．画出−1<a <b <2不表示的可行域，然后利用2b −a 2的几何意义求解范围即可． 本题考查线性规划的实际应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．16.【答案】2√2−2【解析】解：ax 2+(b −2a)x +c −b ≥0(a >0)，△=(b −2a)2−4a(c −b)≤0，即b 2+4a 2−4ac ≤0，b 2≤4ac −4a 2，∴b 2a 2+c 2≤4ac−4a 2a 2+c 24ac −4a 2≤b 2，∴c ≥a ，求最大值、不妨令c =ka(k >1)∴4ac−4a 2a 2+c 2=4ka 2−4a 2k 2a 2+a 2=4k−1k 2+1(k >1)令k −1=t ，4ac−4a 2a 2+c 2=4t(t+1)2+1=41t+2t +2≤42√2+2=2√2−2即b 2a 2+c 2≤2√2−2，故答案为：2√2−2．根据不等式恒大于等于0，求出c ≥a ，令c =ka(k >1)，再根据基本不等式的性质求出代数式的最大值即可．本题考查了二次函数的性质，考查基本不等式的性质以及转化思想，是一道中档题．17.【答案】解：(1)∵A ∩B ={2}，∴2∈B ，代入B 中方程得a 2+4a +3=0，所以a =−1或a =−3(2分)当a=−1时，B={−2,2}，满足条件；当a=−3时，B={2}，也满足条件综上得a的值为−1或−3；(4分)(2)∵A∪B=A，∴B⊆A(5分)①当△=4(a+1)2−4(a2−5)=8(a+3)<0，即a<−3时，B=⌀满足条件②当△=0即a=−3时，B={2}，满足要求(6分)③当△>0，即a>−3时，B=A={1,2}才能满足要求，不可能故a的取值范围是a≤−3.(9分)(3)∵A∩(C U B)=A，∴A⊆(C U B)，∴A∩B=⌀(10分)①当△<0，即a<−3时，B=⌀，满足条件②当△=0即a=−3时，B={2}，A∩B={2}不适合条件③当△>0，即a>−3时，此时只需1∉B且2∉B将2代入B的方程得a=−1或a=−3将1代入B的方程得a=−1±√3∴a≠−1,a≠−3,a≠−1±√3(12分)综上，a的取值范围是a<−3或−3<a<−1−√3或−1−√3<a<−1或或−1< a<−1+√3或a>−1+√3(14分)【解析】(1)由题目中条件：“A∩B={2}”，知2是方程的一个根，由此可得实数a的值；(2)由题目中条件：“A∪B=A，”，知B⊆A，由此可得实数a的取值范围；(3)由题目中条件：“A∩(C U B)=A，”，知A∩B=⌀，由此可得实数a的取值范围．本题主要综合考查集合的交、并、补以及集合间的包含关系，属于中档题，解题时要善于进行转化．18.【答案】解：(1)若方程f(x)=0有实根，当m+1=0，即m=−1时，f(x)=x−2，f(x)=0有解；当m+1≠0，即m≠−1时，Δ=m2−4(m+1)(m−1)≥0，解得−2√33≤m≤2√33，且m≠−1．综上可得，m的取值范围是[−2√33,2√33]；(2)若m +1=0，即m =−1时，f(x)=x −2，f(x)>0的解为x >2，不符题意；若不等式f(x)>0的解集为⌀，只需m +1<0，且Δ=m 2−4(m +1)(m −1)≤0，解得m ≤−2√33，即m 的取值范围是(−∞,−2√33]； (3)若m +1=0，即m =−1时，f(x)=x −2，f(x)>0的解为x >2，不符题意；若不等式f(x)>0对一切实数x 恒成立，只需m +1>0，且Δ=m 2−4(m +1)(m −1)<0，解得m >2√33．即m 的取值范围是(2√33,+∞)．【解析】(1)考虑二次项系数是否为0，以及二次方程有实根的条件，解不等式可得所求范围；(2)考虑二次项系数是否为0，结合二次函数的图像和判别式的符号，解不等式可得所求范围；(3)考虑二次项系数是否为0，结合二次函数的图像和判别式的符号，解不等式可得所求范围．本题考查二次函数的图像和性质，以及不等式恒成立问题和方程有解问题，考查分类讨论思想和运算能力，属于中档题．19.【答案】解：(1)设每瓶定价为t 元，依题意，有[8−(t −15)×0.2](t −10)≥5×8，整理得t 2−65t +750≤0，解得15≤t ≤50．因此要使销售的总收入不低于原收入，每瓶定价最多为50元．(2)设每瓶定价为x(x ≥16)元，月总利润为f(x)，则f(x)=(x −10)[8−(x −15)0.45(x−15)2]−334(x −16) =(x −10)[8−0.45(x−15)]−334x +132 =−14(x −15+15)−0.45(x−15+15)x−15+ 4.5x−15+52 =−[14(x −15)+2.25x−15]+47.8≤−2√14(x−15)2.25x−15+47.8=46.3当且仅当，当且仅当14(x−15)= 2.25x−15，即(x−15)2=9，∴x−15=3或x−15=−3(舍去)，所以x=18，因此当每瓶售价18元时，下月的月总利润最大，最大总利润为46.3万元．【解析】(1)设每瓶定价为t元，依题意列出[8−(t−15)×0.2](t−10)≥5×8，求解即可．(2)设每瓶定价为x(x≥16)元，月总利润为f(x)，得到函数的解析式，化简利用基本不等式求解最值即可．本题考查函数问题的实际应用，函数的解析式的求法以及基本不等式求解最值的方法的应用，是中档题．20.【答案】解：(1)当k=0时，A=(−∞,4]，当k>0，A=(−∞,4)∪(k+5k,+∞)，当k<0时，A=(k+5k,4)，(2)由(1)知，当k≥0时，集合B中的元素个数无限，当k<0时，集合B中的元素的个数有限，此时集合B为有限集k<0时，k+5k≤−2√5，当且仅当k=−√5时取等号，又k∈Z，得k+5k∈[−4,4)，B={−4,−3,−2,−1,0,1,2,3}．【解析】(1)对k的讨论是本题解题的关键，考虑到方程类型，最高次项系数的正负及根的大小等因素，(2)由(1)的讨论为基础，继续分析B中元素的个数并比较元素最少的情况．本题考查的分类讨论的思想，这也是高中数学中经常考查的思想内容，属于容易题．21.【答案】解：(1)解：∵U ⊆R 为一个数集，集合A ={s 2+3t 2|s,t ∈U}． U ={1,3,5}，∴当s =t =1时，s 2+3t 2=1+3=4，当s =1，t =3时，s 2+3t 2=1+27=28，当s =3，t =1时，s 2+3t 2=9+3=12，当s =1，t =5时，s 2+3t 2=1+75=76，当s =5，t =1时，s 2+3t 2=25+3=28，当s =3，t =5时，s 2+3t 2=9+75=84，当s =5，t =3时，s 2+3t 2=25+27=52，当s =t =3时，s 2+3t 2=9+27=36，当s =t =5时，s 2+3t 2=25+75=100，∴A ={4,12,28,36,52,76,84,100}，8个．(2)证明：∵U =Z ，x ∈A ，∴x =s 2+3t 2，∴7x =7(s 2+3t 2)=7s 2+21t 2=(2s +3t)2+3(s −2t)2∈A ．∴7x ∈A ．(3)解：xy =(m 2+3n 2)(p 2+3q 2)=3(mq +np)2+(mp −3nq)2=3(mq +np)2+3， 设mq +np =6，∴y =3b 2+3x ，x +y +mq +np =x +3b 2+3x +b ≥2√3b 2+3+b ，设2√3b 2+3+b =t ，整理得11b 2+2bt +12−t 2=0，判别式法，△=4b 2−44(12−t 2)≥0，得t ≥√11，即(x +y +mq +np)min =√11．∴x +y +mq +np 的最小值为√11．【解析】(1)分别求出s =t =1、s =1，t =3、s =3，t =1、s =1，t =5、s =5，t =1、s =3，t =5、s =5，t =3、s =t =3、s =t =5时，s 2+3t 2的值，由此能求出集合A ．(2)由U =Z ，x ∈A ，求出x =s 2+3t 2，从而推导出7x =7(s 2+3t 2)=(2s +3t)2+3(s −2t)2，由此能证明7x ∈A ．(3)求出xy =(m 2+3n 2)(p 2+3q 2)=3(mq +np)2+3，设mq +np =6，推导出x +y +mq +np =x +3b 2+3x +b ≥2√3b 2+3+b ，设2√3b 2+3+b =t ，得11b 2+2bt +12−t 2=0，利用判别式法，能求出x +y +mq +np 的最小值．本题考查集合的求法，考查元素是集合中的元素的证明，考查代数式的最小值的求法，考查元素与集合的关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．。
上海市复旦附中2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题
【全国百强校】上海市复旦附中2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．直线2310x y 的倾斜角是____________.2．若矩阵110A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，()121B =，则AB =__________．3．行列式43125142k--的元素3-的代数余子式的值为7，则k =______． 4．已知,x m y t =⎧⎨=⎩是增广矩阵为3122012-⎛⎫ ⎪⎝⎭的二元一次方程组的解，则m t +=________5．直线3:14l y x =-的一个单位方向向量．．．．．．是________. 6．已知直线12:(1)30,:(1)(23)20l kx k y l k x k y +--=-++-=，若12l l ⊥，则______k =.7．已知点P 在直线6014x y -=-上，且点P 到()2,5A 、()4,3B 两点的距离相等，则点P 的坐标是__________.8．若112lim 22n nn n n t t +-→+∞-=+ ，则实数t 的取值范围是_____________. 9．已知a R ∈ ，则“16a =”是“两直线1:210l x ay +-=与()2:3110l a x ay ---=平行”的___________条件（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）.10．过点()3,2P - 且与直线2x+y-1=0 的夹角为1arctan2的直线的一般式方程．．．．．是____________.11．已知实数1122,,,a b a b 满足：112210,10a b a b -+=-+=，且)1212a ab b+=其中12a a>，则以向量()11,a b为法向量的直线的倾斜角的取值范围是__________.12．如图，边长为4的正方形ABCD中，半径为1的动圆Q的圆心Q在边CD和DA 上移动（包含端点A,C,D），P是圆Q上及其内部的动点，设，(),BP mBC nBA m n R=+∈则m n+的取值范围是_____________.二、单选题13．函数()y f x=的图像如图所示，在区间[],a b上可找到(2)n n≥个不同的数12,,,nx x x，使得1212()()()nnf xf x f xx x x===，则n的取值范围为（）A．{}2,3B．{}2,3,4C．{}3,4D．{}3,4,514．给出下列命题:①非零向量,a b满足a b a b==-，则a和a b+的夹角为30°；②将函数1y x=-的图像按向量()a1,0=-平移，得到函数y x=的图像；③在三角形ABC中，若()0AB AC BC+⋅=，则三角形ABC为等腰三角形；其中正确命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3 15．在平面直角坐标系xOy中,()()()1,0,1,0,0,1A B C-经过原点的直线l将ABC∆分成左、右两部分,记左、右两部分的面积分别为12,S S ,则()222111S S +-取得最小值时,直线l 的斜率（ ）A ．等于1B ．等于1-C ．等于12D ．不存在16．如图所示，已知()()010,0,4,0A A ，对任何n N ∈，点2n A +按照如下方式生成：121211,32n n n n n n n A A A A A A A π+++++∠== ，且12,,,n n n A A A ++按逆时针排列，记点n A 的坐标为()(),n n a b n N ∈，则(lim ,lim )n n n n a b →∞→∞为（ ）A ．207⎛ ⎝⎭B ．3⎛⎝⎭ C ．3⎛⎝⎭ D ．207⎛ ⎝⎭三、解答题17．已知m R ∈，直线1l 的方程为()()1213m x m y m +--=，直线2l 的方程为()()314154m x m y m +--=+.当m 变化时，（1）分别求直线1l 和2l 经过的定点坐标；（2）讨论直线1l 和2l 的位置关系.18．已知直线l 过点()1,3，且与x 轴、y 轴都交于正半轴，当直线l 与坐标轴围成的三角形面积取得最小值时，求：（1）直线l 的方程； （2）直线l 关于直线m:y=2x-1对称的直线方程.19．类似于平面直角坐标系，我们可以定义平面斜坐标系：设数轴,x y 的交点为O ，与,x y 轴正方向同向的单位向量分别是,i j ，且i 与j 的夹角为θ，其中022ππθπ⎛⎫⎛⎫∈⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，．由平面向量基本定理，对于平面内的向量OP ，存在唯一有序实数对(),x y ，使得OP xi yj =+，把(),x y 叫做点P 在斜坐标系xOy 中的坐标，也叫做向量OP 在斜坐标系xOy 中的坐标．在平面斜坐标系内，直线的方向向量、法向量、点方向式方程、一般式方程等概念与平面直角坐标系内相应概念以相同方式定义，如45θ=时，方程x-2y-1=4-5表示斜坐标系内一条过点(2,1)，且方向向量为(4,-5)的直线．（1）若1arccos 3θ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()()2,1,,6a b m == ，且a 与b 的夹角为锐角，求实数m 的取值范围；（2）若60θ=，已知点()2,1A 和直线:320l x y -+= ①求l 的一个法向量；②求点A 到直线l 的距离．20．在平面直角坐标系中，O 为原点，两个点列12,.....A A 和12,.....B B 满足：①()()1212145,0,4,0,5n n n n A A A A A A +++=；②()()()*111,1,1,1n n B B B n N +=∈ （1）求点3A 和3B 的坐标；(2)求向量,n n OA OB 的坐标； （3）对于正整数k ，用k a 表示无穷数列{}n OA 中从第k+1项开始的各项之和，用k b 表示无穷数列11O n n B OB +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭中从第k 项开始的各项之和，即123.....k k k k a OA OA OA +++=+++,11211.....k k k k k b OB OB OB OB +++=++⋅⋅ 若存在正整数k 和p ，使得k k a b p =，求k,p 的值.21．已知点P 和非零实数λ，若两条不同的直线12,l l 均过点P ，且斜率之积为λ，则称直线12,l l 是一组“P λ共轭线对”，如直121:2,:2l y x l y x ==-是一组“1O -共轭线对”，其中O 是坐标原点.（1）已知12,l l 是一组“3O -共轭线对”，求12,l l 的夹角的最小值；（2）已知点A(0,1)、点()1,0B -和点C(1,0)分别是三条直线PQ,QR,RP 上的点（A,B,C 与P,Q,R 均不重合），且直线PR,PQ 是“1P 共轭线对”，直线QP,QR 是“4Q 共轭线对”，直线RP ，RQ 是“9R 共轭线对”，求点P 的坐标；（3）已知点(1,Q - ，直线12,l l 是“2O -共轭线对”，当1l 的斜率变化时，求原点O 到直线12,l l 的距离之积的取值范围.参考答案1．2arctan3π-【分析】先求直线2x+3y﹣1＝0的斜率，进而转化为倾斜角，【详解】解：直线2x+3y﹣1＝0的斜率为k＝﹣23，倾斜角为α，所以tanα＝﹣23，则α＝π﹣arctan 23，故答案为π﹣arctan 23．【点睛】本题关键是倾斜角以及反三角函数的问题，考查计算能力．2．121 121 000⎛⎫ ⎪--- ⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】根据矩阵的乘法运算法则，计算积矩阵中的每一项即可．【详解】解：矩阵11A⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭，B＝（1 2 1），则AB＝121 121 000⎛⎫⎪---⎪⎪⎝⎭．故答案为121 121 000⎛⎫⎪---⎪⎪⎝⎭．【点睛】本题考查了矩阵的乘法运算问题，是基础题．3．3【解析】【分析】根据余子式的定义可知，M12＝﹣212k-,求出其表达式列出关于x的方程解之即可．【详解】解：由题意得M12＝﹣212k-＝﹣（﹣4﹣k）＝7，解得：k＝3．故答案为3．【点睛】此题考查学生掌握三阶行列式的余子式的定义，会进行行列式的运算，是一道基础题．4．10【解析】【分析】首先根据二元一次方程组的增广矩阵，写出二元线性方程组的表达式，然后根据方程求解m，t即可；【详解】解：,x my t=⎧⎨=⎩是增广矩阵为3122012-⎛⎫⎪⎝⎭的二元一次方程组的解，则3222m tt-=⎧⎨=⎩,解得m＝8，t＝2，则m+t＝10，故答案为10．【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的矩阵形式，计算量小，解答的关键是理解二元线性方程组的增广矩阵的含义，并由此写出二元线性方程组的表达式．5．43,55⎛⎫± ⎪⎝⎭【分析】取直线的方向向量：a＝±（1,34）．利用该直线的单位方向向量d＝aa即可得出．【详解】解：取直线的方向向量：a＝±（1,34）.∴该直线的单位方向向量d＝aa=4355⎛⎫± ⎪⎝⎭，,故答案为4355⎛⎫± ⎪⎝⎭，.【点睛】本题考查了直线的方向向量、单位向量，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．1或-3【解析】【分析】利用l1⊥l2，得出k•（k﹣1）+（1﹣k）•（2k+3）＝0，求出k的值即可．【详解】解：因为l1⊥l2，所以k•（k﹣1）+（1﹣k）•（2k+3）＝0，解得k＝1或k＝﹣3故答案为1或﹣3【点睛】本题考查直线的垂直条件的应用，考查计算能力．7．（1,2）【解析】【分析】由二项展开式性质得点P在直线4x+y﹣6＝0，设P（a，﹣4a+6），由点P到A（2，5）、B（4，3）两点的距离相等，能求出点P的坐标．【详解】解：∵点P 在直线614xy --=0上，∴点P 在直线4x +y ﹣6＝0，设P （a ，﹣4a +6），∵点P 到A （2，5）、B （4，3）两点的距离相等，，解得a ＝1，∴点P 的坐标是（1，2）．故答案为（1，2）．【点睛】本题考查点的坐标的求法，考查行列式、直线方程、两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8．[)2,2-【分析】 利用数列的极限的运算法则，转化求解即可．【详解】解：当|t |≥2时，n+1nn n-1n 2-t lim =22+t →∞， 可得2n 22()11t lim 2121n t t t→∞⨯--==⎛⎫+ ⎪⎝⎭ ，可得t ＝﹣2． 当|t |＜2时，n+1n n n-1n 2-t lim =22+t →∞可得： 22()2lim 211?()2n n t t t →∞+=+ ， 综上可得：实数t 的取值范围是：[﹣2，2）．故答案为[﹣2，2）．【点睛】本题考查数列的极限的运算法则的应用，考查计算能力．9．_充分非必要 【解析】 【分析】由两直线l 1：x +2ay ﹣1＝0与l 2：（3a ﹣1）x ﹣ay ﹣1＝0平行列式求得a 值，再由充分必要条件的判定得答案．【详解】解：由两直线l 1：x +2ay ﹣1＝0与l 2：（3a ﹣1）x ﹣ay ﹣1＝0平行，可得()23101310a a a a ⎧---=⎨-+-≠⎩ ，即a ＝0或a ＝16 . ∴“a ＝16”是“两直线l 1：x +2ay ﹣1＝0与l 2：（3a ﹣1）x ﹣ay ﹣1＝0平行”的充分非必要条件． 故答案为充分非必要．【点睛】本题考查充分必要条件的判定，考查两直线平行与系数的关系，是基础题．10．30,3410x x y -=+-= 【解析】 【分析】由题意，设夹角为为θ，可得tan θ＝12，利用夹角公式求解k 可得方程； 【详解】解：由题意，设夹角为为θ，可得tan θ＝12当k 存在时，设过点P （3，﹣2）直线斜率为k ，直线2x +y +1＝0的斜率为-12由tan θ＝12＝12112k k +- , 解得：k ＝34- ；当k 不存在时，x ＝3．此时两直线夹角tan θ＝12， ∴所求的直线方程为：x ﹣3＝0或3x +4y ﹣1＝0； 故答案为x ﹣3＝0或3x +4y ﹣1＝0；【点睛】本题主要考查直线方程的求解，结合直线夹角公式利用待定系数法是解决本题的关键11．3024，，πππ⎡⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭【分析】由已知可得，向量OA ＝（a 1，b 1）的终点在直线x ﹣y +1＝0上，向量OB ＝（a 2，b 2）的终点在直线x ﹣y +1＝0上，把已知等式变形求得,OA ,OB 的夹角为4π，再由a 1＞a 2可得A 的位置，数形结合可得以向量（a 1，b 1）为法向量的直线的倾斜角的取值范围．【详解】解：向量OA ＝（a 1，b 1）的终点在直线x ﹣y +1＝0上，向量OB ＝（a 2，b 2）的终点在直线x ﹣y +1＝0上，1212)a a b b +=2=, 即向量OA 与向量OB 的夹角为4π ， 又a 1＞a 2，可得点A 在曲线x ﹣y +1＝0（x ＞﹣1）上， 如图，则OA 所在直线的斜率为（﹣∞，0）∪（1，+∞），∴以向量（a 1，b 1）为法向量的直线的斜率为（0，+∞）∪（﹣1，0）， 倾斜角的范围为（0，2π）∪（34π ，π）， 当A 为（0，1）时，以向量（a 1，b 1）为法向量的直线的倾斜角为0． ∴以向量（a 1，b 1）为法向量的直线的倾斜角的范围为[0，2π）∪（34π，π）， 故答案为 [0，2π）∪（34π，π）. 【点睛】本题考查由数量积求向量的夹角，考查数形结合的解题思想方法．12．1-2+44⎡⎢⎣⎦【分析】建立如图所示平面直角坐标系，可得()0,4BA =,BC ＝（ 4，0），()()()4,00,44,4BP m n m n =+=.由图可知，当动圆Q 的圆心经过点D 时，P(442++.此时m +n 取得最大值：4m +4n ＝，可得m +n ＝ ．当动圆Q 的圆心为点C 或点A 时，利用三角函数求m +n 的最小值．【详解】解：如图所示，边长为4的长方形ABCD 中，动圆Q 的半径为1，圆心Q 在边CD 和DA 上移动（包含端点A ，C ，D ），P 是圆Q 上及内部的动点， 向量BP mBC nBA =+ （m ，n 为实数），BA =（0，4），BC ＝（ 4，0），可得BP ＝（ 4m ，4n ）． 当动圆Q 的圆心经过点D 时，如图：P (44)22++. 此时m +n 取得最大值：4m +4n ＝8+ ，可得m +n ＝． 当动圆Q 的圆心为点C 时，BP 与⊙C 相切且点P 在x 轴的下方时，BP ＝（4+cos θ，sin θ），此时，4m +4n ＝4sin （θ+4π），m +n 取得最小值为：1﹣4，此时P （ 4﹣2，﹣2）． 同理可得，当动圆Q 的圆心为点A 时，BP 与⊙A 相切且点P 在y 轴的左方时， m +n 取得最小值为：1﹣4，此时P （-2，4﹣2）． ∴则m +n的取值范围为12⎡-⎢⎣⎦故答案为12⎡+⎢⎣⎦.【点睛】本题考查了向量的坐标运算、点与圆的位置关系，考查了分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力． 13．B 【详解】1111()()0f x f x x x -=-表示11(,())x f x 到原点的斜率； 1212()()()n nf x f x f x x x x ===表示1122(,())(,())(,())n n x f x x f x x f x ，，，与原点连线的斜率，而1122(,())(,())(,())n n x f x x f x x f x ，，，在曲线图像上， 故只需考虑经过原点的直线与曲线的交点有几个，很明显分别有2、3、4个，故选B. 【考点定位】考查数学中的转化思想，对函数的图像认识. 14．D 【分析】①由加法的平行四边形法则可知为菱形，又菱形对角线平分对角可得结论； ②根据图象平移的口诀左加右减，得到的是函数y ＝|x ﹣2|的图象； ③由加法的平行四边形法则可知为菱形，可得结论． 【详解】解：①∵||||||a b a b ==-，∴所对应的平行四边形是菱形，∴a 与a +b 的夹角为30°；②将函数y ＝|x ﹣1|的图象按向量a ＝（1，0）平移，得到函数y ＝|x ﹣2|的图象；③在△ABC 中，若()0AB AC BC +=，则以AB 、AC 为邻边所作的平行四边形是菱形，∴△ABC 为等腰三角形； 故选C ．【点睛】本题以命题的真假判断为载体，考查了向量的基本运算，图象的平移，难度不大，属于基础题． 15．D 【分析】方法一:根据四个选项可知,分别计算1k =,1k =-,12k =,和k 不存在时()222111S S +-的值,比较大小即可;方法二:讨论斜率0k >,k 0<,k 不存在三种情况,在三种情况下分别求出12,S S ,代入表达式()222111S S +-,化简比较大小即可.【详解】方法一:因为,()()()1,0,1,0,0,1A B C - 所以1121122ABC S AB OC ∆=⨯⨯=⨯⨯= 当1k =时,l y x =： ,此时21414ABC S S ∆==,134S =,∴()2122149115s s +=-当1k =-时, l y x =-：,此时,114S =,234S =,∴()212211257s s +=-当12k =时, 12l y x =：,此时, 216S =,156S =,∴()21221121135s s +=-当k 不存在时, 0l x =：,此时, 1212S S ==,∴()2122131s s +=-综上比较可知,当k 不存在时,()222111S S +-的值最小故选:D方法二: 因为,()()()1,0,1,0,0,1A B C - 所以1121122ABC S AB OC ∆=⨯⨯=⨯⨯= 当0k >时,直线l 的方程为y kx = 直线BC 的方程为1y x =-+此时直线与BC 相交,设交点为E,则1y kxy x =⎧⎨=-+⎩解方程可得E 点坐标为1,11k k k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭则211122122E k kS OB y k k =⨯⨯=⨯⨯=++ 所以122112222k k S S k k +=-=-=++则()()()22222221222113442233138422122k S k k S k k k k kk +⎛⎫+ ⎪+++⎝⎭===+>-+++-⎛⎫- ⎪+⎝⎭当k 0<时, 直线l 的方程为y kx = 直线AC 的方程为1y x =+ 此时直线与AC 相交,设交点为F,则1y kxy x =⎧⎨=+⎩解方程可得F 点坐标为1,11k k k ⎛⎫ ⎪--⎝⎭则111122122F k kS AO y k k =⨯⨯=⨯⨯=-- 所以212112222k k S S k k -=-=-=--则()()()()22212222221132422331342222122k S k k S k k k k k k ⎛⎫+ ⎪+--⎝⎭===+>------⎛⎫- ⎪-⎝⎭当k 不存在时0l x =：,此时, 1212S S ==,∴()2122131s s +=-综上可知, 当k 不存在时,()222111S S+-的值最小故选:D 【点睛】本题考查了直线方程的简单应用,三角形面积是求法.根据选项来判断解的方法在选择题中是常用方法,分类讨论思想的综合应用,属于中档题题. 16．A 【分析】利用向量的定义，推导知112231n n n OA OA A A A A A A -=+++的向量坐标，然后求出a n ，b n 的表达式，然后进行计算即可．【详解】由题意可知，1,4731,,k A A A A + （k ≥ 0）都是在上一个点的基础上横坐标发生变化，纵坐标不变.25832,,,k A A A A + （k ≥ 0）都是在上一个点的基础上横坐标减小，纵坐标增加. 36933,,,k A A A A +（k ≥ 0）都是在上一个点的基础上横坐标减小，纵坐标也减小.又112231n n n OA OA A A A A A A -=+++，所以123n a a a a =+++=4-11112cos601cos60cos60cos6024816-⋅+--+=344111111421222222-⨯-⨯+--++=3691113222⎛⎫-+++⎪⎝⎭=3-11112088317718n ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪=-= ⎪- ⎪⎝⎭123n b b b b =+++=1102sin 601sin 600sin 60sin 60048+-⋅++-++=11112148326411128641118118877n ⎫-+-+-+⎪⎝⎭⎫=+++⎪⎝⎭⎫⎛⎫⋅- ⎪⎪⎝⎭⎪=⎪- ⎪⎝⎭==所以选A. 【点睛】本题是新定义题目，首先读懂新定义的实质，转化成我们已有的知识并解决．本题实质考查向量的坐标运算，几何运算，难度较大．17．(1) 直线1l 过定点()-11， ；同理，直线2l 过定点（3,1）；(2)见解析.【分析】（1）将直线l 1的方程改写为m （x ﹣2y ﹣3）+（x +y ）＝0，令2300x y x y --=⎧⎨+=⎩，求解x ，y 的值，可得答案；同理，直线l 2一样求法；（2）联立方程，得()1(21)3(31)(41)54m x m y mm x m y m ⎧+--=⎨+--=+⎩求解交点D ，讨论即可；【详解】（1）将直线1l 的方程改写为()()230m x y x y --++= ， 令2300x y x y --=⎧⎨+=⎩得直线1l 过定点(1,-1)；同理，直线2l 过定点（3,1）；（2）联立方程，得()1(21)3(31)(41)54m x m y m m x m y m ⎧+--=⎨+--=+⎩D=2m(m-2),D x =-2(m-1)(m-2),D y =-2(2m+1)(m-2) 当m 0≠ 和2时，D 0≠ ，两直线相交； 当m=0时，D=0,0x D ≠ ，两直线平行； 当m=2时，0x y D D D === ，两直线重合． 【点睛】本题主要考查两条直线平行、垂直、相交的判定方法，属于基础题．18．（1）:360l x y +-=；（2）直线为x-3y+4=0. 【分析】（1）利用斜率设出直线方程，求出与x 轴、y 轴的交点坐标，计算三角形的面积，求出最小值以及对应的斜率k ，写出直线方程；（2）显然所求直线的斜率存在，利用对称关系列方程求出斜率和交点坐标，再写出所求的直线方程．【详解】（1）由已知，直线l 的斜率存在，且小于0， 设直线y-3=k(x-1)，其中k<0 与x 轴交于点31,0k ⎛⎫-⎪⎝⎭, 与y 轴交于点(0,3-k),故()()1319(1)36622s k k k k ⎡⎤=--=+-+≥⎢⎥-⎣⎦，等号成立的条件是k=-3, 相应地，:360l x y +-=；（2）显然所求直线的斜率存在，设为k ， 则()32213212k k ---=+-⨯+ 得13k =又由36021x y y x +-=⎧⎨=-⎩ 得l 与m 的交点为79,55⎛⎫⎪⎝⎭ ，该点也在所求直线上，故所求直线为x-3y+4=0； 【点睛】本题考查了直线方程应用问题，也考查了直线关于直线对称的应用问题，是中档题．19．（1）6,12;5m m >-≠（2）()7,5-. 【分析】（1）根据条件，2,6a i j b mi j =+=+，根据a b ⋅夹角为锐角，得出a b ⋅>0，从而得出6,5m >-a b 与同向时，可得到存在t ，使得()6=t 2i mi j j ++，从而求出m ＝12，这样即可得出实数m 的取值范围； （2）①先把直线l 的方程写成0213x y --=，从而得出直线l 的方向向量为()1,3d =，可设法向量为(),n a b =，可由0n d ⋅=即可得到5a +7b ＝0，从而可取a ＝﹣7，b ＝5，从而得出l 的一个法向量为()7,5n =-;②可取直线l 上一点B （0，2），从而得到()2,1BA =-，从而得出点A 到直线l 的距离为BA n n⋅.【详解】（1）由已知2,6a i j b mi j =+=+，且a b ⋅=2m+6+（12+m ）(i j ⋅ )=5203m +> ，得65m >-; 若a 和b 同向，则存在正数t ，使得()26t i j mi j +=+ , 由i 和j 不平行得，26t mt =⎧⎨=⎩得m=12，故所求为6,125m m >-≠;（2）①方程可变形为0213x y --=，方向向量为()1,3d =, 设法向量为(),n a b =，由0n d ⋅= 得()157330222a b a b a b +++=+=,令()7,5,7,5a b n =-=-=-;②取直线l 上一点B(0,2)，则()2,1BA =- ，所求为(19177397BA n i jn⋅-+⋅==- 【点睛】考查对斜坐标系的理解，共线向量基本定理，以及平面向量基本定理，点到直线距离求法，直线的方向向量和法向量的概念．20．（1）316,05A ⎛⎫⎪⎝⎭,()33,3B ；（2）145,05n -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,(),n n ；（3）见解析【分析】（1）求出231244,055A A A A ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，从而32416,0,055OA OA ⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()23121,1B B B B ==，由此能求出点A 3和B 3的坐标．（2）由A n A n +1＝（45）n ﹣1A 1A 2＝（﹣（45）n ﹣1，0），得到112231n n n OA OA A A A A A A -=+++,由此能求出向量n OA ，n OB 的坐标．（3）由|n OA |＝5(45）n ﹣1，得4545254515kkk a ⎛⎫⎪⎛⎫⎝⎭== ⎪⎝⎭-，112k b k =⨯，从而25（45）k＝2kp ，由此能求出结果．【详解】 （1）231244,055A A A A ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，故32416,0,055OA OA ⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即316,05A ⎛⎫ ⎪⎝⎭；()23121,1B B B B == ，故()()3121,13,3OB OB =+=，即()33,3B（2）由已知，1111244,055n n n n A A A A --+⎛⎫⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故112231n n n OA OA A A A A A A -=+++=()224445,01,0555n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=145,05n -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭而()112231,n n n OB OB B B B B B B n n -=+++=；（3）1455n n OA -⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1111112121n n n n n n OB OB +⎛⎫==- ⎪++⋅⎝⎭，故4545254515kkk a ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭== ⎪⎝⎭-，112k b k =⨯， 由已知，42525kkp ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以，左边为正整数，故k=1或2； 当k=1时，2p=20，得p=10; 当k=2时，4p=16，得p=4. 【点睛】本题考查点的坐标、向量的坐标、实数值的求法，考查向量运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．21．（1）最小值为3π；（2）P(3,3)或33,55P ⎛⎫⎪⎝⎭；（3）⎡⎣. 【分析】（1）设l 1的斜率为k ，则l 2的斜率为3k-，两直线的夹角为α，利用夹角公式及基本不等式求最值，即可得到l 1，l 2的夹角的最小值；（2）设直线PR ，PQ ，QR 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，可得1223311,4,9,k k k k k k =⎧⎪=⎨⎪=⎩，求解可得k 1，k 2，k 3的值，进一步得到直线PR 与直线PQ 的方程，联立得P 的坐标； （3）设l 1：()1:1l y k x =+,()22:1l y x k-+=+，其中k ≠0，利用两点间的距离公式可得原点O 到直线l 1，l 2的距离，变形后利用基本不等式求解．【详解】（1）设1l 的斜率为k ，则2l 的斜率为3k-，两直线的夹角为a ， 则()313tan 132k k a k k --⎛⎫==+≥ ⎪ ⎪+-⎝⎭，等号成立的条件是k =3π； （2）设直线,,RP PQ QR 的斜率分别为123,,k k k ，则1223311,4,9,k k k k k k =⎧⎪=⎨⎪=⎩ 得12332,,623k k k ===或12332,,623k k k =-=-=-.当12332,,623k k k ===时，直线RP 的方程为y=3(1)2x -，直线PQ 的方程为y=213x +，联立得，P(3,3)； 当12332,,623k k k =-=-=-时，，直线的方程为y=3(1)2x --，直线PQ 的方程为y=-213x +，联立得，33,55P ⎛⎫⎪⎝⎭； 故所求为P(3,3)或33,55P ⎛⎫⎪⎝⎭；（3）设()1:1l y k x =+，()22:1l y x k-=+，其中k 0≠，故12d d =====由于22459k k++≥（等号成立的条件是22k =），故[)22910,145k k-∈++，12d d ⎡∈⎣.【点睛】本题考查两直线夹角与到角公式的应用，考查点到直线距离公式的运用，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．。
2020-2021学年上海市青浦高中高二上学期10月月考数学试题(解析版)
2020-2021学年上海市青浦高中高二上学期10月月考数学试题一、单选题1．有矩阵32A ⨯、23B ⨯、33C ⨯，下列运算可行的是（ ） A ．AC B ．BACC ．ABCD ．AB -AC【答案】C【解析】利用矩阵乘法的运算法则即可得出答案. 【详解】由矩阵乘法的运算法则可得：AB=32A ⨯23B ⨯=33D ⨯，ABC=33D ⨯33C ⨯=33E ⨯，运算可行则C 选正确；AC=32A ⨯33C ⨯运算不可行，则A 项和D 项都不正确；BA=23B ⨯32A ⨯=22F ⨯，但是22F ⨯33C ⨯运算不可行，则B 选项不正确，所以C 选项正确. 故选：C. 【点睛】本题考查了矩阵乘法的运算法则的应用，属于基础题. 2．下列三阶行列式可展开为a b b c a c deefdf+-的是（ ）A ．111ab c de f - B ．111ab c de f- C ．111ab c de f- D ．111ab c def 【答案】D【解析】根据三阶行列式的求解方法，逐个计算，即可求得结论． 【详解】解：根据三阶行列式的求解方法，可得 111a b cab bc acde ef dfde f-=--- 111ab bc a c a b c de ef d fde f-=-+-111a b ca b b c a cd e fd e e f d f=-+--111a b ca b b c a cd e fd e e f d f=+-故选：D．【点睛】本题考查三阶行列式的求解，解题的关键是掌握三阶行列式的求解方法，属于基础题．3．若()1,2,3,,iA i n=⋯是AOB所在平面内的点，且iOA OB OA OB⋅=⋅，给出下列说法：（1）123||||||||nOA OA OA OA===⋯=；（2）||iOA的最小值一定是||OB；（3）点A和点i A一定共线；（4）向量OA及iOA在向量OB方向上的投影必定相等；其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】根据两个向量的数量积的定义,iOA OB OA OB⋅=⋅为定值,可得③、④正确,而①、②不一定成立,从而得到答案.【详解】解：根据两个向量的数量积的定义,iOA OB OA OB⋅=⋅为定值,而||||cos||=||cosi i i iiOA OBOA OB OA OB OA OB OAOB OA OB⋅⋅=⋅<⋅>∴<⋅>,故①不一定成立,②也不一定成立.向量OA及iOA在向量OB的方向上的投影为||OA OBOB⋅,故④正确.()00,i i i iOA OB OA OB OA OA OB AA OB AA OB⋅=⋅∴-⋅=∴⋅=⊥,即点iA A、在一条直线上，如图,故③正确.故选：B. 【点睛】本题主要考查两个向量的数量积的定义,一个向量在另一个向量上的投影的定义,属于中档题.4．已知向量a 、b ，||1a =，||2b =，若对任意单位向量e ，均有||||6a e b e ⋅+⋅≤，则a b ⋅的最大值为（ ） A ．12B ．22C ．1D ．2【答案】A【解析】由|()|||||||6a b e a e b e a e b e +⋅=⋅+⋅≤⋅+⋅≤，得到|()6a b e +⋅≤∣恒成立，进而求得||6a b +≤，再结合2222a b a b a b +=++⋅，即可求解.【详解】由|()|||||||6a b e a e b e a e b e +⋅=⋅+⋅≤⋅+⋅≤，所以|()6a b e +⋅≤∣恒成立，又由|()cos ,6a b ea b e a b e +⋅=++≤∣，可得||6a b +≤，则2222526a ba b a b a b +=++⋅=+⋅≤，可得12a b ⋅≤. 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算公式及其应用，其中解答中熟练向量的数量积的运算公式，结合向量的运算法则求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.二、填空题5．方程组：3232410x y x y -=-⎧⎨++=⎩的增广矩阵是_______【答案】324132---⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】利用增广矩阵的定义求解． 【详解】解：方程组3232410x y x y -=-⎧⎨++=⎩323241x y x y -=-⎧∴⎨+=-⎩的增广矩阵是：324132---⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 故答案为324132---⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【点睛】本题考查增广矩阵的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意增广矩阵的定义的合理运用．6．已知(5,4)a =，(3,2)b =，则23a b -的同向单位向量为____________________.【答案】55【解析】先求出向量23a b -的坐标，再计算出模，用23a b -除以它的模可得与它同向的单位向量． 【详解】由题意23a b -(1,2)=，235a b -=，∴23523ab a b-==-．故答案为：． 【点睛】本题考查单位向量的概念，考查向量共线．与向量n 共线的单位向量有两个，一个是同向的n n，另一个是它的相反向量n n-．7．三阶行列式42354112k--的第2行第1列元素的代数余子式的值为10-，则k =_________【答案】14-【解析】根据余子式的定义可知，在行列式中划去第2行第1列后所余下的2阶行列式带上符号(1)i j +-为21M ，求出其表达式列出关于k 的方程解之即可． 【详解】解：由题意得3212(1)2211012M k k =-=⨯+⨯=--解得：14=-k ． 故答案为：14-． 【点睛】本题考查学生掌握三阶行列式的余子式的定义，会进行矩阵的运算，属于基础题． 8．已知(3,1)a =-，(1,3)b =-，则向量a 在b 方向上的投影为_________【解析】根据平面向量投影的定义，求出a 在b 方向上的投影即可． 【详解】 解：(3a =，1)-，(1,3)b =-，∴a 在b 方向上的投影为||cos ,||||||a b a a b a a b <>=⨯⨯||a bb ===【点睛】本题考查了平面向量投影的应用问题，解题时应根据向量投影的定义进行计算即可，属于基础题．9．点P 分有向线段12PP 成定比λ，若1122PP PP =，则λ=_________ 【答案】23-【解析】由题可得()1122PP PP PP -=+，即可求出λ.【详解】∵1122PP PP =，∴()1122PP PP PP -=+，∴1223PP PP =-，∴23λ=-.故答案为：23-. 【点睛】本题考查向量的共线定理应用，属于基础题.10．已知直角坐标平面内的两个向量()()1,2,1,3a b m m ==-+，使平面内的任意一个向量c 都可以唯一分解成c a b λμ=+，则m 的取值范围是___________ 【答案】{|5}m m ≠【解析】根据已知条件可知, 向量,a b 不共线,从而m 应满足1(3)2(1)0m m ⨯+-⨯-≠,解之可得m 的取值范围. 【详解】因为平面内的任意一个向量c 都可以唯一分解成c a b λμ=+, 所以根据平面向量基本定理可知,向量,a b 不共线, 所以1(3)2(1)0m m ⨯+-⨯-≠,所以5m ≠,所以m 的取值范围是{|5}m m ≠. 故答案为: {|5}m m ≠. 【点睛】本题考查了平面向量基本定理,向量不共线的坐标表示,属于基础题.11．∆ABC 的AB 边中点为D ，AC =1，BC =2，则AB CD ⋅的值为_______________. 【答案】32【解析】如图所示，利用向量的运算法则，将向量AB 和CD 都用CB 和CA 来表示，然后展开即可得出答案. 【详解】如图所示：在△ABC 中，有AB CB CA =-，由D 是AB 边的中点，则有CB CACD 2+=， 又因AC =1，BC =2，所以()()()2222CB CA 113AB CD CB CA CB CA 212222+⋅=-⋅=-=-=.故答案为：32. 【点睛】本题考查了向量的运算法则的应用，能够把向量AB 和CD 进行有效的转化是解题的关键，属于一般难度的题.12．非零向量AB 与AC 满足0AB AC BC AB AC ⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪⎝⎭，且12AB AC AB AC ⋅=，则ABC 的形状为____________． 【答案】等边三角形【解析】由0AB AC BC AB AC ⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪⎝⎭得到ABC 为等腰三角形，由12AB AC AB AC ⋅=得到角3A π=，从而得到ABC 的形状为等边三角形.【详解】在ABC ∆中，AD 为角A 的平分线，AB AB为AB 方向上的单位向量，AC AC为AC 方向上的单位向量，所以(0)AB AC AD AB AC λλ⎛⎫⎪+=> ⎪⎝⎭， 因为0AB AC BC AB AC ⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭，所以AD BC ⊥， 因为AD 既是高，又是角平分线，所以AB AC =， 因为12AB AC ABAC⋅=11||||cos cos 22AB AC AB AC θθ⇒=⇒=，解得：3A π=，所以ABC 为等边三角形，故填：等边三角形.【点睛】本题综合考查单位向量、向量数量积、及平面几何知识的应用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，同时注意向量加法法则的应用.13．如图，在梯形ABCD 中，AB //DC ，AD AB ⊥，122AD DC AB ===，点N 是CD 边上一动点，则AN AB ⋅的最大值为 ．【答案】8【解析】试题分析：由平面向量数量积知识得，cos '248AN AB AN AB NAB AM AB AM AB ⋅=⋅⋅∠=⋅≤⋅=⨯=【考点】1.平面向量数量积的概念.14．已知点O 是三角形 ABC 的外接圆圆心，且3,4AB AC ==．若存在非零实数,x y ，使得AO x AB y AC =+，且 21x y +=，则cos BAC ∠= .【答案】【解析】【详解】设AC 中点为M ，AO =222ACxAB y xAB y AM +=+, 所以B,O,M 三点共线，因为O 是三角形ABC 的外接圆圆心 所以BM AM ⊥,cos BAC ∠=223ACAMAB AB ==． 15．设 a b c ，，是平面内互不平行的三个向量，x ∈R ，有下列命题：①方程20ax bx c ++=不可能有两个不同的实数解；②方程20ax bx c ++=有实数解的充要条件是240b a c -⋅≥；③方程22220a x a bx b +⋅+=有唯一的实数解bx a=-；④方程22220a x a bx b +⋅+=没有实数解，其中真命题有_______________.(写出所有真命题的序号) 【答案】①④【解析】利用共面向量定理以及共线向量的性质一一判断即可得出答案. 【详解】因为a b c ，，是平面内互不平行的三个向量，x ∈R ，则由共面向量定理可得：a b c ，，共面时，有且仅有一对有序实数对(),m n 使得c ma nb =+成立；则由①可化简为()()2c xa xb =-+-，且a bc ，，共面可得有序实数对()2,x x --有唯一解，即方程20ax bx c ++=有唯一实数解，则①方程20ax bx c ++=不可能有两个不同的实数解正确；由①的分析可得方程20ax bx c ++=有唯一实数解，则②的说法方程20ax bx c ++=有实数解的充要条件是240b a c -⋅≥不正确；化简22220a x a bx b +⋅+=可得()20ax b+=，则()20ax b+=即得b xa =-，因为向量a b ，不共线，所以b xa =-无实数解，即方程22220a x a bx b +⋅+=无实数解，所以③不正确，④正确. 综上可得：①④正确. 故答案为：①④. 【点睛】本题考查了共面向量定理和共线向量的性质的应用，属于一般难度的题. 16．非零向量,m n 的夹角为3π，且满足()0n m λλ=>，向量组123,,x x x 由一个m 和两个n 排列而成，向量组123,,y y y 由两个m 和一个n 排列而成，若112233x y x y x y ⋅+⋅+⋅所有可能值中的最小值为24m ，则λ=__________．【答案】83. 【解析】分析：列出向量组的所有排列，计算所有可能的值，根据最小值列出不等式组求出结果.详解：2cos602m n m n m λ⋅=⨯⨯︒=，222n m λ=，向量组123,,x x x 共有三种情况，即(,,),(,,),(,,)m n n n m n n n m ， 向量组123,,y y y 共有三种情况，即(,,),(,,),(,,)m m n m n m n m m ， 所以112233⋅+⋅+⋅x y x y x y 所有可能值有2种情况，即2222(1)m n m n m λλ++⋅=++，2332m n m λ⋅=， 所以112233⋅+⋅+⋅x y x y x y 所有可能值中的最小值为24m ，所以2231214λλλλλ⎧++≤⎪⎨⎪++=⎩或2312342λλλλ⎧++≤⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 解得83λ=. 故答案为83.点睛：该题考查的是有关向量的数量积的定义式的运算公式，在解题的过程中，需要将向量组的所有排列都找出来，将所有对应 值都找出来，根据题中所给的条件，列出相应的式子，从而求得结果.三、解答题17．上海市旅游节刚落下帷幕，在旅游节期间，甲、乙、丙三位市民顾客分别获得一些景区门票的折扣消费券，数量如表1，已知这些景区原价和折扣价如表2（单位：元）. 表1：表2：（1）按照上述表格的行列次序分别写出这三位市民获得的折扣消费券数量矩阵A和三个景区的门票折扣后价格矩阵B；（2）利用你所学的矩阵知识，计算三位市民各获得多少元折扣？【答案】（1）022301410A⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，406080B⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭；（2）三位市民各获得140、100和110元折扣.【解析】本题第（1）题可根据题中的表格写出相应的矩阵；第（2）题可先设三个景区的门票折扣价格矩阵C，然后用这三位市民获得的折扣消费券数量矩阵去乘矩阵C即可得出．【详解】解：（1）由题意，可知：这三位市民获得的折扣消费券数量矩阵022301410A⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，三个景区的门票折扣后价格矩阵406080B⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭；（2）由题意，可设三个景区的门票折扣价格矩阵203040C⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，则022201403013010041040110A C⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪==⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．即三位市民各获得140、100和110元折扣．【点睛】本题第（1）题主要考查联系实际写出相关矩阵；第（2）题主要考查矩阵的运算．本题属基础题．18．利用行列式解关于,x y 的二元一次方程组1323mx y mx my m +=-⎧⎨-=+⎩. 【答案】当0m =，无解；当3m =-，无穷解；当0m ≠且3m ≠-，唯一解，1x m=，2y =-.【解析】先求出系数行列式,,x y D D D ，然后讨论m ，从而确定二元一次不等式组的解的情况. 【详解】 依题意()21333m D m m m m m m ==--=-+-，11323x D m m m-==--+-，()212623323y mD m m m m m m -==+=++.（1）当0m ≠且3m ≠-时，0D ≠，原方程组有唯一解，11x x D D m=⨯=，12y y D D=⨯=-. （2）当0m =时，0,30x D D ==-≠，原方程组无解. （3）当3m =-时，0,0,0x y D D D ===，原方程组有无穷组解.综上所述，当0m =，无解；当3m =-，无穷解；当0m ≠且3m ≠-，唯一解，1x m=，2y =-.【点睛】本小题主要考查二元一次不等式组的矩阵形式的解法以及应用，解题时要注意系数矩阵的性质的合理运用.19．已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中()1,2a =. （1）若25c =，且//c a ，求c 的坐标；（2）若()1,1b =，a 与a b λ+的夹角为锐角，求实数λ的取值范围. 【答案】（1）()2,4c =或()2,4-- （2）()5,00,3λ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭【解析】（1）由向量共线的坐标运算及模的运算即可得解；（2）由向量数量积的坐标运算即可，特别要注意向量a 与a λb +不能共线. 【详解】解：（1）因为()1,2a =，且//c a ， 则(,2)c a λλλ==，又25c =，所以22(2)20λλ+=，即2λ=±，故2,4c或()2,4--；（2）由()1,1b =，则()1,2a λb λλ+=++，由()1(1)2(2)0a a λb λλ⋅+=⨯++⨯+>，解得53λ>-， 又a 与a λb +不共线，则1(2)2(1)λλ⨯+≠⨯+，解得0λ≠，故a 与a λb +的夹角为锐角时，实数λ的取值范围为：()5,00,3⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了向量共线的坐标运算及数量积的坐标运算，重点考查了运算能力，属基础题. 20．在ABC ∆中，2AC =，6BC =，60ACB ∠=︒，点O 为ABC ∆所在平面上一点，满足OC mOA nOB =+（,m n ∈R 且1m n +≠）． （1）证明：11m nCO CA CB m n m n =++-+-；（2）若点O 为ABC ∆的重心，求m 、n 的值； （3）若点O 为ABC ∆的外心，求m 、n 的值．【答案】（1）证明见解析；（2）1m =-，1n =-；（2）3757m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩．【解析】（1）根据条件OC mOA nOB =+,结合向量的加法运算,化简即可证明. （2）根据重心的向量表示为0OA OB OC ++=,即可求得m 、n 的值. （3）根据点O 为ABC ∆的外心,求得21||2CO CB CB ⋅=,21||2CO CA CA ⋅=,CA CB ⋅,再根据已知分别求得CO CB ⋅,CO CA ⋅,结合平面向量基本定理即可求得m 、n 的值.【详解】（1）CO mAO nBO =+()()m AC CO n BC CO =+++mAC mCO nBC nCO =+++即CO mAC mCO nBC nCO =+++ 所以CO mCO nCO mAC nBC --=+ 则()1m n CO mAC nBC --=+ 所以11m nCO CA CB m n m n =++-+-；（2）若点O 为ABC ∆的重心 则0OA OB OC ++= 因为OC mOA nOB =+ 所以0mOA nOB OC --+= 则1m =-,1n =-（3）由O 是ABC 的外心 得21||182CO CB CB ⋅==,21||22CO CA CA ⋅==,6CA CB ⋅=, 所以,1111m n CO CB CA CB CB CB m n m n m n CO CA CA CA CB CAm n m n ⎧⋅=⋅+⋅⎪⎪+-+-⎨⎪⋅=⋅+⋅⎪+-+-⎩即23321m n m n -=⎧⎨+=-⎩,解得3757m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩．【点睛】本题考查了平面向量加法和减法的运算,三角形重心和外心的向量表示,对向量线性运算的化简要熟练掌握,属于中档题.21．设x 轴、y 轴正方向上的单位向量分别是,i j ，坐标平面上点列()n n A B n N *∈、分别满足下列两个条件：①1OA j =且1n n A A i j +=+；②14OB i =且114(1)n n B B i n n +=⨯+；（1）写出2OA 及3OA 的坐标，并求出n OA 的坐标（2）若1n n OA B +∆的面积是n a ，求()n a n N *∈的表达式（3）对于（2）中的n a ，是否存在最大的自然数M ，对一切n *∈N 都有n a M ≥成立？若存在，求出M ，若不存在，说明理由 【答案】（1）()1,2，()2,3，()1,n n -.（2）()2211n n n ++（3）3【解析】（1）利用向量的加法运算写出2OA 和3OA 的坐标，并求出n OA 的坐标；（2）应用向量积来计算三角形的面积，即可求出n a 的表达式；（3）用函数的单调性来算出自然数M 的最大值。
2020-2021学年上海市华东师大二附中高二上学期10月月考数学试题(解析版)
2020-2021学年上海市华东师大二附中高二上学期10月月考数学试题一、单选题1．点(),a b 关于直线1x y +=的对称点的坐标是（ ） A ．()1,1b a -- B ．()1,1a b --C ．(),a b --D ．(),b a --【答案】A【分析】设对称点坐标为(),x y ，由对称点连线与对称轴垂直和对称点连线段中点在对称轴上列出方程组可解得,x y ．【详解】解：点(),a b 关于直线1x y +=对称的点为(),x y ，则1122b ya xa xb y -⎧=⎪⎪-⎨++⎪+=⎪⎩，解得： 11x b y a =-⎧⎨=-⎩，故选：A ．【点睛】本题考查点关于直线对称问题．掌握对称的特征是解题关键．即若,P Q 关于直线l 对称 则PQ l ⊥，PQ 的中点在直线l 上． 2．在下列四个命题中，正确的共有（ ） ①坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率； ②直线的倾斜角的取值范围是[0,]π；③若一条直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为α； ④若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α． A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个【答案】A【分析】根据倾斜角与斜率定义与关系进行判断选择.【详解】由于和x 轴垂直的直线的倾斜角为90︒，而此直线没有斜率，故①不正确； 直线的倾斜角的取值范围是[)0,180︒，故②不正确；若一条直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为180k βα=+⨯︒，k Z ∈，且0180β︒≤≤︒，故③不正确；若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率不一定为tan α，如当90α=︒时，tan α不存在，故④不正确．综上可知，四种说法全部不正确．选A.【点睛】本题考查斜率与倾斜角关系，考查基本分析判断能力，属基础题.3．设θ为两个非零向量a 、b 的夹角,已知当实数t 变化时||a tb +的最小值为2,则（ ）A ．若θ确定,则||a 唯一确定B ．若θ确定,则||b 唯一确定C ．若||a 确定,则θ唯一确定D ．若||b 确定,则θ唯一确定【答案】A【分析】画图利用点与直线上的点的距离大小关系,以及向量的加减法性质判定即可. 【详解】如图,记OA a =、AB b =、A H tb =,则OH a tb =+, 当()b a tb ⊥+时,||a tb +取得最小值, 若θ确定,则||a 唯一,||b 不确定,若||a 确定,θ可能有两解（图中OA a =或OA a '=）, 若||b 确定,则a 不确定,从而θ也不确定.故选：A ．【点睛】本题主要考查了平面向量的图形表示,需要结合点到直线的距离最值以及平面向量的加法性质分析.属于中档题.4．在ABC 中，2AB =，3AC =，4BC =，若点M 为边BC 所在直线上的一个动点，则432MA MB MC ++的最小值为（ ）A ．36B ．66C ．32498D ．3152【答案】D【分析】以B 为原点，BC 所在直线为x 轴，建立坐标系.由余弦定理可求出11cos 16ABC ∠=，结合同角三角函数的基本关系可求出sin ABC ∠=，从而可求出()0,0B ，()4,0C ，118A ⎛ ⎝⎭，设(),0M x ，用x 表示向量432MA MB MC ++的坐标，从而可求出432MA MB MC ++的表达式，进而可求出最小值.【详解】解：由余弦定理可知22222224311cos 222416AB BC AC ABC AB BC +-+-∠===⋅⋅⨯⨯，所以sin 16ABC ∠===， 如图，以B 为原点，BC 所在直线为x 轴，建立坐标系，则()0,0B ，()4,0C ，设(),0M x ，因为1111cos 2168AB ABC ⋅∠=⨯=，sin 2AB ABC ⋅∠=⨯=则11,88A ⎛ ⎝⎭，所以11,88MA x ⎛=- ⎝⎭，(),0MB x =-，()4,0MC x =-，因为()()11274324982x x x x ⎛⎫-+-+-=- ⎪⎝⎭，4302082⨯+⨯+⨯=所以2743292MA MB MC x ⎛++=- ⎝⎭， 则27432MA MB MC ⎛++= 227902x ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，当32x =时等号成立，所以315432MA MB MC ++≥ 故选:D.【点睛】本题考查了余弦定理，考查了同角三角函数的基本关系，考查了向量的线性坐标运算，考查了向量模的坐标表示.本题的关键是通过建立坐标系，用一个未知数表示所求模长.二、填空题5．已知直线l 的一个方向向量是(1,2)，则它的斜率为______________. 【答案】2【分析】根据直线方向向量与直线斜率关系求斜率即可. 【详解】直线l 的一个方向向量是(1,2)，则直线的斜率为：2=21故答案为：2【点睛】本题考查直线方向向量以及直线斜率，考查基本分析求解能力，属基础题. 6．平面直角坐标系中点（1,2）到直线210x y ++=的距离为_________ 5【分析】根据点到直线的距离公式完成计算即可. 【详解】因为点为()1,2，直线为210x y ++=， 所以点到直线的距离为：22221521d ++==+5【点睛】本题考查点到直线距离公式的运用，难度较易.已知点()00,P x y ，直线0Ax By C ++=，则点P到直线的距离为：d =.7．已知直线l 过点()1,2P ，法向量()3,4=-，则其点法向式方程为________ 【答案】()()31420x y ---=【分析】根据直线方程的点法向式方程的写法,可直接得点法向式方程. 【详解】由点法向式方程的定义, 直线l 过点()1,2P ，法向量()3,4=- 则点法向式方程为:()()31420x y ---= 故答案为:()()31420x y ---=【点睛】本题考查了直线的方程表示形式, 点法向式方程的定义即方程写法,属于基础题. 8．已知单位向量,a b ，若a b ⊥，则3a b +与a 的夹角为__________. 【答案】3π【分析】根据向量数量积的运算翻法则，先得到()3a b a +⋅，再由向量夹角公式，即可得出结果.【详解】因为,a b 为单位向量，a b ⊥， 所以0a b ⋅=，1==a b ，因此()2331a b a a a b +⋅=+⋅=， 即向量3a b +与a 的夹角为θ，则2231cos 2432331a b aa b aa ab b θ+⋅====++⋅+⨯， 所以3πθ=.故答案为：3π. 【点睛】本题主要考查求向量的夹角，熟记向量的夹角公式，以及向量的数量积运算法则即可，属于基础题型.9．点(,)P x y 在直线40x y +-=上，则22x y +最小值是____________.【答案】8 【分析】22xy +就是(,)P x y 到原点距离的平方，只需求出原点到直线的距离即可.【详解】22xy +就是(,)P x y 到原点距离的平方，(,)P x y 到原点距离的最小值为222d == 22x y+最小值为()2228=，故答案为8.【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式，考查了转化思想的应用，属于基础题. 10．直线l 过原点，且平分ABCD 的面积，若B(1, 4)、D(5, 0)，则直线l 的方程是 ．【答案】；【详解】试题分析：直线l 过原点且平分平行四边形ABCD 的面积，则直线过BD 的中点（3，2），所以直线斜率为202303-=-，由斜截式可得直线l 的方程为2y x 3=． 【解析】本题主要考查直线方程的求法．点评：注意数形结合，分析图形的特征，探求解题方法．11．若某直线被两平行线1:10l x y -+=与2:30l x y -+=所截得的线段的长为22则该直线的倾斜角大小为_______. 【答案】15︒和75︒【分析】先由两平行直线的距离公式得直线1l 与2l 的距离为2d =平行线所截得的线段的长为2，求得该直线与直线1l 所成角30︒，然后结合直线1l 的倾斜角为45︒求解即可.【详解】解：由两平行直线的距离公式可得： 直线1:10l x y -+=与2:30l x y -+=的距离为3122d -==又直线被两平行线1:10l x y -+=与2:30l x y -+=所截得的线段的长为2 即该直线与直线1l 所成角30︒， 又直线1l 的倾斜角为45︒，则该直线的倾斜角大小为15︒和75︒， 故答案为：15︒和75︒.【点睛】本题考查了两平行直线的距离公式及直线的倾斜角，重点考查了运算能力，属基础题.12．经过()1,2P 的直线l 与两直线1:3100l x y -+=和2:280l x y +-=分别交于1P 、2P 两点，且满足123PP PP =，则直线l 的方程为_________. 【答案】241800x y -+=【分析】设()1,P a b ，可得3100a b -+=，由123PP PP =可得4828033a b--⨯+-=，联立方程可得3412,77a b =-=，即可求出直线方程. 【详解】设()1,P a b ，则3100a b -+=（1），()1,2P ，123PP PP =， ()()221,231,2P P a b x y ∴--=--，则2248,33P P a b x y --==代入2l 得4828033a b --⨯+-=（2）， 联立（1）（2）解得3412,77a b =-=， 则12227344117l k -==--，故直线l 的方程为22(1)41y x -=-， 即241800x y -+=. 故答案为：241800x y -+=【点睛】关键点睛：本题考查直线方程的求解，解题的关键是求出()1,P a b 的坐标，通过条件建立其关于,a b 的两个方程3100a b -+=和4828033a b--⨯+-=，解出()1,P a b 即可得出方程.13．123PP P 是边长为1的正三角形，则12(,1,2,3,)i j PP PP i j i j ⋅=≠取值集合为__________． 【答案】111,,,122⎧⎫--⎨⎬⎩⎭【分析】根据数量积的定义，分别求2112PP PP ⋅、1122PP P P ⋅、1213PP PP ⋅、1132PP P P ⋅、3122PP P P ⋅、2132PP P P ⋅，即可得12(,1,2,3,)i j PP PP i j i j ⋅=≠取值集合. 【详解】如图：由向量数量积的定义得：11212122cos01111PP PP PP PP ⋅==⨯⨯=； ()12122121cos1801111PP P P PP P P ⋅==⨯⨯-=-； 1212131311cos601122PP PP PP PP ⋅==⨯⨯=； 3112123111cos1201122PP P P PP P P ⎛⎫⋅==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭； 2312122311cos1201122PP P P PP P P ⎛⎫⋅==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭； 1212323211cos601122PP P P PP P P ⋅==⨯⨯=. 故构成的集合为：111,,,122⎧⎫--⎨⎬⎩⎭ 【点睛】本题主要考查了向量数量积的定义，属于基础题.14．在平面直角坐标系中，已知向量(2,1)a =，O 是坐标原点，M 是曲线||2||2x y +=上的动点，则a OM --→⋅的取值范围为__________. 【答案】[]4,4-【分析】先作出曲线||2||2x y +=对应的图像，再结合简单的线性规划问题，观察图像即可得解.【详解】解：曲线||2||2x y +=对应的图像为如图所示的菱形ABCD ， 设00()M x y ，则()00,OM x y =，因为M 是曲线||2||2x y +=上的动点， 则00||2||2x y +=，又向量(2,1)a =，则002z a OM x y --→=⋅+=，由图可知：目标函数2z x y =+过点(2,0)A -时，函数取最小值2(2)104⨯-+⨯=-，过点(2,0)C 时，函数取最大值22104⨯+⨯=， 即a OM --→⋅的取值范围为[]4,4-，故答案为：[]4,4-.【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，重点考查了数形结合的数学思想方法，属中档题.15．定义：对于实数m 和两定点,M N ，在某图形上恰有()*n n N ∈个不同的点i P ，使得()·1,2,3i iPM PN m i n ==，称该图形满足“n 度契合”.若边长为4的正方形ABCD 中，2,3BC BM DN NA ==，且该正方形满足“4度契合”，则实数m 的取值范围是__________． 【答案】14m =-或26m << 【解析】分析：根据定义，分类讨论P 点在四条边上的不同情况；转化成m 的表达式后，利用二次函数求得m 的范围；分析在四种情况下，哪个符合有4个解，即可得到m 的取值．详解：以AB 为x 轴，AD 为y 轴，A 为原点建立平面直角坐标系．所以(4,2),(0,1)M N ．因为P 点位置不确定，所以分四种情况讨论：当P 点在AB 上时，设(,0)P t ，(04)t ≤≤ 所以()()4,2,1PM PN t t m ⋅=--= 所以()224222m t t t =-+=--根据二次函数的图像可知，当2m =- 时，有1个解 当22m -<≤ 时，有2个解（2）当P 点在BC 上时，设(4,)P t ，(04)t ≤≤ 所以()()0,24,1PM PN t t m ⋅=---= 所以22323124m t t t =-+⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 根据二次函数的图像可知，当14m =- 时，有1个解 当124m -<≤ 时，有2个解 当26m << 时，有1个解（3）当P 点在CD 上时，设(,4)P t ，(04)t ≤≤ 所以()()4,24,3PM PN t t m ⋅=----= 所以()224622m t t t =-+=-+根据二次函数的图像可知，当2m = 时，有1个解 当26m << 时，有2个解（4）当P 点在AD 上时，设(0,)P t ，(04)t ≤≤ 所以()()4,20,1PM PN t t m ⋅=--= 所以22323124m t t t =-+⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 根据二次函数的图像可知，当14m =- 时，有1个解 当124m -<≤ 时，有2个解 当26m << 时，有2个解由（1）可知，当22m -<≤ 时，有2个解．所以当14m =- 时，也有2个解 综上所述，当14m =-或26m <<有4个解，满足“4度契合”． 点睛：本题考查了新定义问题，利用分类讨论思想求得参数取值范围，向量的数量积坐标表示等，分析量、计算量、都很大，需要细致分析才能解决问题，对思维有很高要求，属于难题．16．已知点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上运动，且23AOB π∠=，若OC OA OB x y =+，则23x y +的取值范围为________.【答案】 【分析】设OA 为直角坐标系的x 轴，建立平面直角坐标系.记OC 与OA 夹角为203πθθ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭,求出三个向量坐标,进而利用同角三角函数的平方关系,可得到()233x y θϕ+=+(其中tan 4ϕ=),结合三角函数的图象和性质,可得答案. 【详解】设OA 为直角坐标系的x 轴,建立平面直角坐标系如下图所示，记OC 与OA 夹角为203πθθ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭,则(cos ,sin ),(1,0)OC OA θθ==，12OB ⎛=-⎝⎭，代入OC OA OB x y =+,有(cos ,sin )(,0)2y x θθ⎛=+- ⎝⎭,∴cos sin 2y x θθ-==，∴cos ,x y θθθ=+=，故()233x y θϕ+=+(其中tan 4ϕ=),203πθ≤≤,23πϕθϕϕ∴≤+≤+，而sin 19ϕ=，2sin 33819πϕ⎛⎫+=> ⎪⎝⎭,当2πθϕ+=时，23x y +，当θϕϕ+=,即0θ=时,23x y +取最小值2，∴23x y +的取值范围为[2,3，故答案为: .【点睛】本题考查向量的线性关系,运用三角函数的恒等变换和性质求最值,关键在于建立合适的平面直角坐标系,将所求的式子转化为关于角的三角函数,属于中档题.三、解答题17．已知点()1,2A 、()5,1B -，且A ，B 两点到直线l 的距离都为2，求直线l 的方程. 【答案】3410x y +-=或34210y +-=或3x =或7320244x y --=. 【分析】此题需要分为两类来研究，一类是直线L 与点()1,2A 和点()5,1B -两点的连线平行，一类是线L 过两点()1,2A 和点()5,1B -中点，分类解出直线的方程即可. 【详解】∵()()2251125AB =-+--=，122AB >， ∴A 与B 可能在直线l 的同侧，也可能直线l 过线段AB 中点， ①当直线l 平行直线AB 时：123514AB k --==--，可设直线l 的方程为34y x b =-+32429116b--+=+，解得：214b =或14b =， 故直线l 的方程为：3410x y +-=或34210y +-= ②当直线l 过线段AB 中点时：AB 的中点为13,2⎛⎫ ⎪⎝⎭， 当直线斜率不存在时：直线l ：3x =，符合题意； 当直线斜率存在时，可设直线l 的方程为()132y k x -=- 243244k k +=+，解得：724k =， 故直线l 的方程为：3x =或7320244x y --=. 综上所述：直线方程为：3410x y +-=或34210y +-=或3x =或7320244x y --=. 【点睛】本题考查点到直线的距离公式，求解本题关键是掌握好点到直线的距离公式与中点坐标公式，对空间想像能力要求较高，考查了对题目条件分析转化的能力.18．已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中()1,2a =. （1）若25c =，且//c a ，求c 的坐标；（2）若()1,1b =，a 与a b λ+的夹角为锐角，求实数λ的取值范围. 【答案】（1）()2,4c =或()2,4-- （2）()5,00,3λ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）由向量共线的坐标运算及模的运算即可得解；（2）由向量数量积的坐标运算即可，特别要注意向量a 与a λb +不能共线. 【详解】解：（1）因为()1,2a =，且//c a ， 则(,2)c a λλλ==，又25c =，所以22(2)20λλ+=，即2λ=±，故2,4c或()2,4--；（2）由()1,1b =，则()1,2a λb λλ+=++，由()1(1)2(2)0a a λb λλ⋅+=⨯++⨯+>，解得53λ>-， 又a 与a λb +不共线，则1(2)2(1)λλ⨯+≠⨯+，解得0λ≠，故a 与a λb +的夹角为锐角时，实数λ的取值范围为：()5,00,3⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了向量共线的坐标运算及数量积的坐标运算，重点考查了运算能力，属基础题.19．已知直线1:230l x y -+=及点(2,0)P ． （1）求点P 关于直线1l 对称的点Q 的坐标； （2）求过点P 且与直线1l 夹角为4π的直线2l 的方程． 【答案】（1）(0,4)Q ；（2）360x y --=和320x y +-=．【分析】(1)设()00,Q x y ,再根据直线PQ 与1l 垂直,且,P Q 的中点在直线1l 上列式求解即可.(2)利用两直线夹角的斜率公式求解直线2l 的斜率,再利用点斜式求解直线2l 的方程即可.【详解】(1) 设()00,Q x y ,因为,P Q 关于直线1l 对称,故0000202302201122x y y x ++⎧-⋅+=⎪⎪⎨-⎪⋅=--⎪⎩ ,即000028024x y y x -+=⎧⎨=-+⎩ ,解得004x y =⎧⎨=⎩,故(0,4)Q .(2)设直线1l 的倾斜角为θ,1tan 2θ=.则直线2l 的倾斜角为4πθ+或4πθ-. 当直线2l 的倾斜角为4πθ+时, 2l 的斜率tan 1tan 341tan πθθθ+⎛⎫+== ⎪-⎝⎭,故直线2l 的方程为()032y x -=-,化简得360x y --=. 当直线2l 的倾斜角为34πθ+时, 2l 的斜率3tan 11tan 41tan 3πθθθ-⎛⎫+==- ⎪+⎝⎭,故直线2l 的方程为()1023y x -=--,化简得320x y +-=. 所以直线2l 的方程为360x y --=和320x y +-=.【点睛】本题主要考查了求点关于直线对称点的坐标,同时也考查了求与已知直线呈一定夹角的直线的方程.属于中档题.20．一束光从从光源(1,2)C 射出，经x 轴反射后（反射点为M ），射到线段,[3,5]y x b x =-+∈上N 处.（1）若(3,0)M ，7b =，求光从C 出发，到达点N 时所走过的路程； （2）若8b =，求反射光的斜率的取值范围；（3）若6b ≥，求光从C 出发，到达点N 时所走过的最短路程.【答案】（1）（2）57[,]42（3）77b S b ≤≤=> 【分析】（1）求出()1,2C 关于x 轴的对称点C '，进而可以求出反射光线所在直线C M l '，从而可以求出()5,2N ，求出C N '即可；（2）将8b =代入线段[],3,5y x b x =-+∈中，结合()1,2C 关于x 轴的对称点C '，可求出反射光斜率的取值范围；（3）分析可知反射光与直线y x b =-+垂直时，光所走过的路程最短，可求出反射光线所在直线的方程，进而求出反射直线与y x b =-+的交点，然后分别讨论交点在线段上与不在线段上，可求出对应的最短路程．【详解】（1）()1,2C 关于x 轴的对称点()1,2C '-，:3C M l y x '=-[]353,57y x x y x =-⎧⇒=∈⎨=-+⎩，则此时()5,2N所以光所走过的路程即C N '=（2）对于线段[]8,3,5y x x =-+∈，令其端点()()3,5,5,3A B 则75,24C A C B k k ''==， 所以反射光斜率的取值范围是57,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦（3）若反射光与直线y x b =-+垂直，光所走过的路程最短，则由332y x b b x y x =-+⎧+⇒=⎨=-⎩ ①当[]33,52b x +=∈，即67b ≤≤时，光所走过的最短路程为点C '到直线y x b =-+的距离，所以路程S ==； ②当()35,2b x +=∈+∞，即7b >时，光所走过的最短路程为线段C B '，其中()5,5B b -所以C B S ==='综上：77b S b ⎧≤≤⎪=>【点睛】本题考查了直线的方程，考查了点关于直线的对称问题，考查了斜率问题，距离问题，属于中档题．21．如图，已知直线1:0l kx y +=和直线2:0(0,0)l kx y b b k ++=>≥点O 为坐标原点，()4,2P ，()4,4Q --，点A 、B 分别是直线1l 、2l 上的动点，直线1l 和2l 之间的距离为3.（1）求直线OP 和直线OQ 的夹角的余弦值；（2）已知A 、B 中点为M ，若||8PA PB +=，求PA PB ⋅的最大值； （3）若0k =，2AB l ⊥，求||||||PA AB BQ ++的最小值. 【答案】（1310（2）554；（3733. 【分析】（1）根据向量夹角公式先求出cos ,||||OP OQOP OQ OP OQ ⋅<>=⋅，即可得出结果；（2）PA PB ⋅=216MA -，只需求出MA 最小值即可； （3）作P 关于直线32y =-的对称点P '，可得()4,5P '-，作Q 关于3y =-的对称点Q '，可得()4,2Q '--，则可得()()minmin||||||||||33PA AB BQ P B BQ P Q '''++=++=+.【详解】（1）根据题意，(4,2)OP =，(4,4)OQ =--，所以310cos ,10||||2042OP OQ OP OQ OP OQ ⋅<>===-⋅⨯，直线夹角的范围是090⎡⎤⎣⎦，，故直线OP 和直线OQ 310（2）2PA PB PM +=，4PM ∴=，()()PA PB PM MA PM MB ∴⋅=+⋅+ ()2PMPM MA MB MA MB =+⋅++⋅216+=16MA MB MA =⋅-，则当MA 取最小值时，PA PB ⋅取最大，1l 与2l 的距离为3，M 是AB 中点，MA ∴的最小值为32，PA PB ∴⋅的最大值为23551624⎛⎫-= ⎪⎝⎭. （3）0k =，直线1:0l y =，直线2:30l y +=，如图所示，2AB l ⊥，可知3AB =，故要使||||||PA AB BQ ++的值最小，只需||||PA BQ +的值最小， 作P 关于直线32y =-的对称点P '，可得()4,5P '-， 则PA P B '=，故||||||||PA BQ P B BQ '+=+， 作Q 关于3y =-的对称点Q '，可得()4,2Q '--， 则BQ BQ '=，故||||||||PA BQ P B BQ ''+=+， 通过图形观察可得()()minmin||||||||||33PA AB BQ P B BQ P Q '''++=++=+,()()22445273P Q ''=++-+=所以||||||PA AB BQ ++733.【点睛】关键点睛：第二问中求最大值的关键是利用柯西不等式建立关系求解；第三问中的关键是利用对称将问题进行转化，关键是作P 关于直线32y =-的对称点P '，作Q 关于3y =-的对称点Q '，化为()()minmin||||||||||33PA AB BQ P B BQ P Q '''++=++=+求解.。
高二数学10月月考试题_1_1(共5页)
2021-2021学年高二数学(sh ùxu é)10月月考试题〔无答案〕时间是：120分钟 满分是：150分一、选择题：〔每一小题5分，一共60分〕 1．直线的斜率为，在轴上的截距为，那么〔 〕A.B.C.D 。
2.坐标原点必位于圆：的( )A ．内部 B. 圆周上 C. 外部 D. 均有可能 “假设，那么〞为真时，以下命题中一定为真的是〔 〕A. 假设q ，那么pB. 假设，那么C. 假设q ⌝，那么p ⌝D. 假设p ⌝，那么q 4．在空间坐标系中，,,在轴找一点,使,那么M 的坐标为〔 〕 A.B. C. D.p ：，，p ⌝为〔 〕A.,22nn > B. ,C.,22n n ≤ D.n N ∃∈,6.：命题p ：假设函数是偶函数，那么；命题q ：，关于x 的方程有解．在①；②；③；④中为真命题的是〔 〕A ．②③B ．②④C ．③④D ．①④ 7．，点是圆内一点，直线是以点为中点的弦所在的直线，直线的方程是，那么以下结论正确的选项是〔 〕A．B．C．D．8．圆M: 截直线(zhíxiàn)所得线段的长度是，那么圆M与圆:的位置关系是( )9．某几何体的三视图如下图，那么该几何体的外表积为( )A．54 B．60 C．66 D．7210．设圆：，过坐标原点作圆C的任意弦，那么所作弦的中点的轨迹方程为〔〕A. B.C. D.11.命题p：函数为上单调减函数，实数m满足不等式．命题q：当，函数。
假设命题p是命题q的充分不必要条件，务实数的取值范围〔〕A. B. C. D.，为该圆的两条切线，为两切点，那么的最小值为〔〕A． B. C. D.二、填空题：〔每一小(yī xiǎo)题5分，一共20分〕 13．点关于点的对称点的坐标为14．圆:和圆:相交于两点，那么公一共弦=_______________15．有以下命题：①在函数的图象中，相邻两个对称中心的间隔 为；②函数的图象关于点对称；③“且〞是“〞的必要不充分条件；④命题p ：对任意的，都有，那么是：存在x R ，使得；⑤在中，假设，，那么角等于或者.其中所有真命题的有__________．16．在平面直角坐标系中，圆，圆2C ：.假设圆2C 上存在一点，使得过点P 可作一条射线与圆1C 依次交于点，满足，那么半径的取值范围是________三、解答题：〔一共6小题，一共70分〕 17．〔1〕求两条平行直线与间的间隔〔2〕一条直线从点射出，与x 轴相交于点,经x 轴反射，求入射光线和反射光线所在直线的方程18．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧棱底面ABCD ,且侧棱的长是2，点分别是的中点。
上海复旦附属中学2020-2021学年高二年级第一学期10月月考数学试卷答案
上海复旦附属中学2021-2021学年高二年级第一学期10月份月考数学试卷答案时间：120分钟；总分值：150分一、 填空题：54分2310x y +-=的倾斜角为 【答案】2arctan 3π- 3162223x y z x ay z x y z -+=⎧⎪++=⎨⎪+-=⎩有无穷多解，那么a =【答案】2-1:320l x y ++=与直线2:230l x y --=的夹角α= 【答案】4π 4.如图，在ΔABC 中，2,CD DA E =是BD 上一点，且1()7AE AB AC R λλ=+∈, 那么λ的值等于 【答案】47 1,2,,a b a b ==的夹角为060,那么a b +在a 上的投影是【答案】2P 在直线1:210l x y +-=上，点Q 在直线2:230,l x y PQ ++=的中点为00(,)M x y ,且0017y x ≤-≤,那么00y x 的取值范围是 【答案】2,05⎡⎤-⎢⎥⎣⎦1:260l ax y ++=与直线22:(1)(1)0l x a y a +-+-=平行，那么a =【答案】1-,a b R ∈假设直线230x y ++=与直线(1)2a x by -+=互相垂直，那么ab 的最大值等于【答案】18(5,2)到直线(1)(21)5m x m y m -+-=-的距离的最大值为【答案】13111011n n n n x x y y ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭为向量(,)n n n OP x y =到向量111(,)n n n OP x y +++=的一个矩阵变换，其中n N ,O +∈是坐标原点，1(2,0)OP =,那么2020OP 的坐标为 【答案】(2,4038)2(2)0x y y λ++-=与两坐标轴围成一个三角形，该三角形的面积记为()S λ;当(1,)λ∈+∞时，()S λ的最小值为【答案】8ABC ∆中，3,4,5,AB AC BC I ===是ABC ∆的内心〔即三个内角平分线所在直线的交点〕，P 是C IB ∆内部〔不含边界〕的动点，假设(,)AP AB AC R λμλμ=+∈, 那么λμ+的取值范围是 【答案】2(,1)3二、 选择题：20分 ,a b 是非零向量，“a b a b ⋅=〞是“//a b 〞的〔 )条件．【答案】A{}n a 的通项公式2019(1)(12019)1()(2019)2n n n n a n -⎧-≤≤⎪=⎨>⎪⎩，前n 项和为n S , 那么关于数列{}n a 的极限，下面判断正确的选项是〔 〕{}n a 的极限不存在，{S }n 的极限存在；{}n a 的极限存在，{}n a 的极限不存在；{},{S },n n a 的极限均存在，但极限值不相等；{},{S },n n a 的极限均存在，且极限值相等；【答案】C(1,3)P 作直线,l l 经过点(,0)A a 和(0,)B b ,且,a b N +∈,那么这样的直线l 的条数为〔 ) A. 1 B. 2 C 【答案】B 16.在某型号的图像计算器中，输入曲线方程28(165)0y x x -+-+--=,计算器显示下列图中的线段AB ,那么线段CD 的曲线方程为〔 ) A. 23(242)0x y x x -++-+--=； B. 23(242)0x y x x +++-+--=；C.23(242)0x y x x -++-+-+= ；D. 23(242)0x y x x +++++--=； 【答案】A三、解答题：76分〔1)求不等式()0f x ≤的解集；〔2)假设不等式()f x a x ≥-在[]2,3x ∈上恒有解，求实数a 的取值范围．【答案】〔1)1(,0),2x ⎡⎫∈-∞+∞⎪⎢⎣⎭；〔2〕43a ≤ (3,1),5,(1)a a b c xa x b=-⋅==+-； 〔1)假设a c ⊥，求实数x 的值； 〔2)假设5b =,求c 的最小值．【答案】〔1)13x =；〔2〕1c = XOY 中，点(2,0),(10,0),C(11,3),D(10,6)A B〔1)证明：存在点P 使得PA PB PC PD ==+,并求P 的坐标；〔2)过点C 的直线l 将四边形ABCD 分成周长相等的两局部，求该直线l 的方程.【答案】〔1)(6,3)；〔2〕124190x y --=20.如图，平面直角坐标系内，O 为坐标原点，点A 在x 轴正半轴上，点B 在第一象限内，060AOB ∠=.〔1)假设AB 过点3)M ,当ΔOAB 的面积取最小值时，求直线AB 的斜率； 〔2)假设4AB =,求ΔOAB 的面积的最大值；〔3)设,,OA a OB b ==假设114a b +=,求证：直线AB 过一定点，并求出此定点坐标.【答案】〔1)32〕33〕33()8 21.在平面直角坐标系内，对于任意两点1122(,),(,)A x y B x y ,定义它们之间的“曼哈顿距离〞为1212AB x x y y =-+-.〔1)求线段2(,0)x y x y +=≥上一点(,)M x y 到原点O(0,0)的“曼哈顿距离〞；〔2)求所有到定点(,)Q a b 的“曼哈顿距离〞均为2的动点围成的图形的周长；〔3)众所周知，对于“欧几里得距离〞221212()(y y )AB x x =-+-有如下三个正确的结论：①对于平面上任意三点,,A B C ,都有AB AC CB ≤+;②对于平面上不在同一直线上的任意三点,,A B C ,假设222AB AC CB =+,那么ABC ∆是以C ∠为直角的直角三角形；③对于平面上两个不同的定点,A B ,假设动点P 满足PA PB =,那么动点P 的轨迹是线段,A B 的垂直平分线；上述结论对于“曼哈顿距离〞是否依然正确？说明理由。
2020-2021学年上海市某校高二(上)月考数学试卷(10月份)(有答案)
2020-2021学年上海市某校高二（上）月考数学试卷（10月份）一.填空题1. 若直线了l经过点P(2, −3)，且与向量＝(2, −3)垂直，则l的点方向式方程为________．2. 两条平行直线3x−4y−1＝0和mx−2y+5＝0之间的距离是________．3. 已知点A(2, −1)，B(−3, −2)，若直线l:x+2ay+1＝0与线段AB相交，则a的取值范围是________．4. 方程(2x+3y−1)（−1)＝0表示的曲线是________．5. 平面上到两定点(4, 0)与(−4, 0)的距离之和为8的动点的轨迹方程为________．6. 设m∈R，则直线(m2−1)x+y−m＝0的倾斜角α的取值范围是________．7. 如图所示，在平面直角坐标中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，边AB、AD分别在x轴、y轴的正半轴上，点A与坐标原点重合，将矩形折叠，使点A落在线段DC上，若折痕所在直线的斜率为k，则折痕所在的直线方程为________＝或________＝________++（-2≤________<0）．8. 已知点A(4, 5)，点B在x轴上，点C在2x−y+2＝0上，则△ABC的周长最小值为________，此时点C的坐标为________．9. 在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点．定义P(x1, y1)，Q(x2, y2)两点之间的“直角距离”为d(P, Q)=|x1−x2|+|y1−y2|．已知B(1, 1)，点M为直线x−y+4=0上的动点，则d(B, M)的最小值为________．10. 已知点P(−2, 2)，直线l ：(λ+2)x −(λ+1)y −4λ−6＝0，则点P 到直线l 的距离的取值范围为________．11. 已知实数x ，y 满足{x −y +6≥0x +y ≥0x ≤3，z =ax +y 的最大值为3a +9，最小值为3a −3，则实数a 的取值范围为________．12. 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C:x 2+y 2＝4+|x|y 就是其中之一．曲线C 对应的图象如图所示，下列结论：①直线AB 的方程为：x +y +2＝0；②曲线C 与圆x 2+y 2＝8有2个交点；③曲线C 所围成的“心形”区域的面积大于12；④曲线C 恰好经过4个整点（即横、纵坐标均为整数的点）．其中正确的是：________．（填写所有正确结论的编号）二.选择题定义点P(x 0, y 0)到直线l:ax +by +c ＝0(a 2+b 2≠0)的有向距离为d ＝，已知点P 1、P 2到直线l 的有向距离分别是d 1、d 2，以下命题正确的有（ ）①若d 1−d 2＝0，则直线P 1P 2与直线l 平行；②若d 1+d 2＝0，则直线P 1P 2与直线l 平行；③若d 1+d 2＝0，则直线P 1P 2与直线l 垂直；④若d 1d 2<0，则直线P 1P 2与直线l 相交．A.1B.2C.3D.4若abc ≠0，a +b +c ≠0，且＝＝＝k ，则直线kx −y +k ＝0必不过（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限三.解答题已知定点A(2, 4)，抛物线y 2=2x 上有一动点B ，点P 为线段AB 的中点，求点P 的轨迹方程．△ABC 的顶点A(4, 3)，AC 边上的中线所在的直线为4x +13y −10＝0，∠ABC 的平分线所在直线方程为x +2y −5＝0，求：AC 边所在直线的方程．对于曲线C:f(x, y)=0，若存在非负实数M 和m ，使得曲线C 上任意一点P(x, y)，m ≤|OP|≤M 恒成立（其中O 为坐标原点），则称曲线C 为有界曲线，且称M 的最小值M 0为曲线C 的外确界，m 的最大值m 0为曲线C 的内确界．（1）写出曲线x +y =1(0<x <4)的外确界M 0与内确界m 0；（2）曲线y 2=4x 与曲线(x −1)2+y 2=4是否为有界曲线？若是，求出其外确界与内确界；若不是，请说明理由；（3）已知曲线C 上任意一点P(x, y)到定点F 1(−1, 0)，F 2(1, 0)的距离之积为常数a(a >0)，求曲线C 的外确界与内确界．二、附加题：已知平面直角坐标系内定点A(1, 1)，动点B 满足|AB →|＝2，动点C 满足|CB →|＝3，则点C 在平面直角坐标系内覆盖的图形的面积为________．参考答案与试题解析2020-2021学年上海市某校高二（上）月考数学试卷（10月份）一.填空题1.【答案】＝【考点】直线的点斜式方程【解析】先设直线上任一点的坐标M(x, y)，根据法向量的概念，易得⊥，根据向量垂直的条件得点法向式直线方程．【解答】设直线上任一点的坐标M(x, y)．直线l过点P(2, −3)，且与向量＝(2, −3)垂直，根据法向量的概念，易得：得⊥，根据向量垂直的条件得：•＝0，即＝，2.【答案】【考点】两条平行直线间的距离【解析】由题意利用两条直线平行的性质，求得m的值，再利用两条平行直线间的距离公式，求得结果．【解答】根据两条平行直线3x−4y−1＝0和mx−2y+5＝0，可得＝≠，求得m＝，∴mx−2y+5＝0，即3x−4y+10＝0，∴两条平行直线3x−4y−1＝0和mx−2y+5＝0之间的距离是＝，3.【答案】[-，]【考点】直线的斜率两条直线的交点坐标【解析】直线l:x+2ay+1＝0与线段AB相交，说明A，B在直线的两侧（或其中一点在直线上），由此可得关于a的不等式求解．【解答】直线l:x+2ay+1＝0过定点P(−1, 0)，点A(2, −1)，B(−3, −2)，如图：要使直线l:x+2ay+1＝0与线段AB相交，则(2−2a+1)(−3−4a+1)≤0，解得．∴a的取值范围是[-，]．4.【答案】一条直线和一条射线【考点】曲线与方程【解析】利用曲线方程判断x的范围，然后转化求解即可．【解答】方程(2x+3y−1)（−1)＝0，可知x≥3，所以曲线为：或，前者表示一条射线，后者表示x＝4是直线，所以方程(2x+3y−1)（−1)＝0表示的曲线是：一条直线和一条射线．5.【答案】y＝0，(x∈[−4, 4])【考点】轨迹方程【解析】利用椭圆的定义：平面上到两个定点的距离之和为常数，且大于两定点的距离的动点的轨迹．只要判断两定点的距离与距离之和之间的关系即可得出．【解答】设动点为M，由于|MF1|+|MF2|＝8＝|F1F2|，故动点M为线段F1F2上任意一点，即动点M的轨迹是线段F1F2．轨迹方程为：y＝0，(x∈[−4, 4])6.【答案】[0，]∪（，π)【考点】直线的倾斜角【解析】由倾斜角的范围可得0≤α<π，进而可得l的斜率为k＝1−m2，进而可得K的范围，由倾斜角与斜率的关系，可得tanα≤1，进而由正切函数的图象分析可得答案．【解答】由倾斜角的范围可得0≤α<π，根据斜率的计算公式，可得l的斜率为k＝1−m2，由二次函数的性质易得k≤1，由倾斜角与斜率的关系，可得tanα≤1，由正切函数的图象，可得α的范围是0∘≤α≤45∘或90∘<α<180∘，7.【答案】y,y,kx,k【考点】直线的一般式方程与直线的性质【解析】因为折叠过程中，A点落在线段DC上，特别的如果折叠后AD重合，这时候折痕所在直线的斜率为0，若AD不重合，这时候折痕所在直线的斜率不为0，然后根据A点和对折后的对应点关于直线折痕对称，可以求出直线方程．【解答】当k＝0时，此时A点与D点重合，折痕所在的直线方程y＝．当k≠0时，将矩形折叠后A点落在线段CD上的点为G(a, 1)(0<a≤2)，所以A与G关于折痕所在的直线对称，有k OG⋅k＝−1，k＝−1⇒a＝−k．故G点坐标为G(−k, 1)(−2≤k<0)．从而折痕所在的直线与OG的交点坐标（线段OG的中点）为M(−，）．折痕所在的直线方程y−＝k(x+），即y＝kx++(−2≤k<0)．∴折痕所在的直线方程为：k＝0时，y＝；k≠0时，y＝kx++(−2≤k<0)．8.【答案】4,(1, 4)【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程【解析】利用对称知识求出C关于直线y＝x的对称点，利用点到直线的距离说明最小值的位置，求解即可．【解答】按题意画图设B点的坐标(m, 0)，A点关于2x−y+2＝0直线的对称点D的坐标为(a, b)，则AD的中点E（，），则满足，即，解得，即D(0, 7)，A关于x轴对称的坐标为P(4, −5)，则当D，B，C，P四点共线时，△ABC的周长最小为|DP|＝＝4，直线DP为＝，即3x−y+7＝0，联立，解得C(1, 4)，9.【答案】4【考点】两点间的距离公式【解析】由直角距离的定义d(P, Q)=|x1−x2|+|y1−y2|求出d(B, M)的值，由绝对值的意义求出d(B, M)的最小值即可．【解答】解：∵B(1, 1)，点M为直线x−y+4=0上动点，设M(x, y)，则d(B, M)=|x1−x2|+|y1−y2|=|x−1|+|(x+4)−1|=|x−1|+|x+3|，而|x −1|+|x +3|表示数轴上的x 到−3和1的距离之和，其最小值为4．故答案为：4．10.【答案】[0，4]【考点】点到直线的距离公式【解析】先求出直线经过定点M ，当点P(−2, 2)在直线上，点P 到直线l 的距离最小为0；PM 和直线l 垂直时，点P 到直线l 的距离最大为PM ，由此求出点P 到直线l 的距离的取值范围．【解答】直线l ：(λ+2)x −(λ+1)y −4λ−6＝0，即 λ⋅(x −y −4)+2x −y −6＝0， 该直线经过x −y −4＝0 和2x −y −6＝0的交点M( 2, −2)，当点P(−2, 2)在直线l ：(λ+2)x −(λ+1)y −4λ−6＝0上，点P 到直线l 的距离最小为0；当PM 和直线l 垂直时，点P 到直线l 的距离最大为PM ＝＝4，故点P 到直线l 的距离的取值范围为[0，4]， 11.【答案】[−1, 1]【考点】简单线性规划【解析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC 及其内部，再根据题意建立关于a 的不等式组，解之即可得出实数a 的取值范围．【解答】 解：作出不等式组{x −y +6≥0x +y ≥0x ≤3表示的平面区域，得到如图的△ABC 及其内部，其中A(3, −3)，B(3, 9)，C(−3, 3)，设z =F(x, y)=2x −y ，把A 、B 、C 坐标分别代入得F(3, −3)=3a −3，F(3, 9)=3a +9，F(−3, 3)=−3a +3结合题意，可得{3a +9≥−3a +3−3a +3≥3a −3，解之得−1≤a ≤1． ∴ 实数a 的取值范围为[−1, 1]故答案为：[−1, 1]12.【答案】①②③【考点】命题的真假判断与应用【解析】①由曲线方程求出A，B两点坐标，求得直线AB的方程即可判断；②曲线C:x2+y2＝4+|x|y与圆x2+y2＝8联立，求出交点坐标即可判断；③采用放缩的思维，先算出规则图形五边形ACDEF的面积，再结合图形即可判断．④结合曲线C的方程，求出所有的整点数，即可判断．【解答】对于①，曲线C:x2+y2＝4+|x|y，令x＝0，则y＝±2，令y＝0，则x＝±2，由图象可知A(2, 0)，B(0, 2)，所以直线AB的方程为x/2+y/2＝1，即x+y−2＝0，故①正确；对于②，曲线C:x2+y2＝4+|x|y与圆x2+y2＝8联立，解得x＝2，y＝2，x＝−2，y＝2，即曲线C与圆x2+y2＝8的交点为(2, 2)，(−2, 2)，有2个，故②正确；对于③，如图所示，图中五边形ACDEF的面积为4×2+×4×2＝12，显然“心形”区域的面积大于五边形ACDEF的面积，故③正确；对于④，曲线C经过的整点有(±2, 0)，(0, ±2)，(±2, 2)，恰有6个，故④错误．二.选择题【答案】A【考点】点到直线的距离公式进行简单的合情推理【解析】根据题意，依次分析4个命题，即可得答案．【解答】根据题意，设P1(x1, y1)，P2(x2, y2)，依次分析4个命题：对于①，若d1−d2＝0，即d1＝d2，若d1＝d2＝0时，P1、P2在直线l上，此时直线P1P2与直线l重合，①错误，对于②，当d1＝d2＝0时，满足d1+d2＝0，P1、P2在直线l上，此时直线P1P2与直线l 重合，②错误，对于③，当d1＝d2＝0时，满足d1+d2＝0，P1、P2在直线l上，此时直线P1P2与直线l 重合，③错误，对于④，若d1⋅d2<0，即(ax1+by1+C)(ax2+by2+c)<0，此时点P1，P2分别位于直线l的两侧，直线P1P2与直线l相交，④正确．4个命题中，只有④正确，【答案】D【考点】确定直线位置的几何要素【解析】把所给的等式变形，求得k＝2，直线即y＝2x+2，从而得出结论．【解答】∵abc≠0，a+b+c≠0，且＝＝＝k，∴a+b＝ck，b+c＝ak，a+c＝bk，∴2(a+b+c)＝(a+b+c)k，∴a+b+c＝k，k＝2，则直线kx−y+k＝0，即2x−y+2＝0，即y＝2x+2，故直线不经过第四象限，三.解答题【答案】(y−2)2=x−1．【考点】轨迹方程【解析】设B(m, n)，即有n2=2m，AB的中点P为(x, y)，运用中点坐标公式，以及代入法，即可得到所求轨迹方程．【解答】解：设B(m, n)，即有n2=2m，AB的中点P为(x, y)，即有2x=2+m，2y=4+n，即m=2x−2，n=2y−4，即有(2y−4)2=4x−4，即(y−2)2=x−1．【答案】∵△ABC的顶点A(4, 3)，AC边上的中线所在的直线为4x+13y−10＝0，∠ABC的平分线所在直线方程为x+2y−5＝0，故由求得，可得点B(9, −2)．设点A(4, 3)关于∠ABC的平分线所在直线x+2y−5＝0的对称点A′( a, b)，由，求得，可得A′( 2, −1)，再根据A′( 2, −1)在直线BC上：y+1＝(x−2)上，直线BC即：x+7y+5＝0．设点C(m, n)，则AC的中点H（，）在AC边上的中线所在的直线为4x+13y−10＝0上，由，求得，可得点C(−12, 1)．故AC边所在直线的方程为＝，即x−8y+20＝0．【考点】两直线的夹角【解析】由题意先求出B的坐标，求出点A(4, 3)关于∠ABC的平分线的对称点A′的坐标，根据A′在BC直线上，求出BC直线的方程．设出C的坐标，则AC的中点H在AC边上的中线所在的直线上．联立方程组求出C的坐标，再用两点式求出直线AC的方程．【解答】∵△ABC的顶点A(4, 3)，AC边上的中线所在的直线为4x+13y−10＝0，∠ABC的平分线所在直线方程为x+2y−5＝0，故由求得，可得点B(9, −2)．设点A(4, 3)关于∠ABC的平分线所在直线x+2y−5＝0的对称点A′( a, b)，由，求得，可得A′( 2, −1)，再根据A′( 2, −1)在直线BC上：y+1＝(x−2)上，直线BC即：x+7y+5＝0．设点C(m, n)，则AC的中点H（，）在AC边上的中线所在的直线为4x+13y−10＝0上，由，求得，可得点C(−12, 1)．故AC边所在直线的方程为＝，即x−8y+20＝0．【答案】解．（1）曲线x+y=1(0<x<4)的外确界M0=5与内确界m0=√2．2（2）对于曲线y2=4x，设P(x, y)为曲线上任意一点|OP|=√x2+y2=√x2+4x=√(x+2)2−4(x≥0)，∴|OP|∈[0, +∞)，∴曲线y2=4x不是有界曲线．对于曲线(x−1)2+y2=4|OP|=√x2+y2=√x2+4−(x−1)2=√2x+3(−1≤x≤3)，∴|OP|∈[1, 3]，∴曲线(x−1)2+y2=4是有界曲线，外确界M0=3与内确界m0=1．（3）由已知得：√(x−1)2+y2×√(x+1)2+y2=a√x2−2x+1+y2×√x2+2x+1+y2=√(x2+y2+1)2−4x2=a，∴(x2+y2+1)2−4x2=a2，∴y2=√4x2+a2−(x2+1)，∵y2≥0，∴√4x2+a2≥x2+1，∴(x2+1)2≤4x2+a2，∴(x2−1)2≤a2，∴1−a≤x2≤a+1，∵|OP|=√x2+y2=√√4x2+a2−1若0<a<1，则√1−a≤√√4x2+a2−1≤√a+1，外确界M0=√a+1，内确界m0=√1−a若a≥1，0≤x2≤a+1，则√a−1≤√√4x2+a2−1≤√a+1，外确界M0=√a+1，内确界m0=√a−1综合得：外确界M0=√a+1，内确界m0=√|a−1|．【考点】函数的最值及其几何意义【解析】（1）由外确界与内确界的概念，结合曲线方程，即可求出答案．（2）由外确界与内确界的概念，结合曲线方程，即可求出答案．（2）由题意求出曲线C的方程，进一步得到x的范围，把x2+y2转化为含有x的代数式，分类讨论得答案．【解答】．解．（1）曲线x+y=1(0<x<4)的外确界M0=5与内确界m0=√22（2）对于曲线y2=4x，设P(x, y)为曲线上任意一点|OP|=√x2+y2=√x2+4x=√(x+2)2−4(x≥0)，∴|OP|∈[0, +∞)，∴曲线y2=4x不是有界曲线．对于曲线(x−1)2+y2=4|OP|=√x2+y2=√x2+4−(x−1)2=√2x+3(−1≤x≤3)，∴|OP|∈[1, 3]，∴曲线(x−1)2+y2=4是有界曲线，外确界M0=3与内确界m0=1．（3）由已知得：√(x−1)2+y2×√(x+1)2+y2=a√x2−2x+1+y2×√x2+2x+1+y2=√(x2+y2+1)2−4x2=a，∴(x2+y2+1)2−4x2=a2，∴y2=√4x2+a2−(x2+1)，∵y2≥0，∴√4x2+a2≥x2+1，∴(x2+1)2≤4x2+a2，∴(x2−1)2≤a2，∴1−a≤x2≤a+1，∵|OP|=√x2+y2=√√4x2+a2−1若0<a<1，则√1−a≤√√4x2+a2−1≤√a+1，外确界M0=√a+1，内确界m0=√1−a若a≥1，0≤x2≤a+1，则√a−1≤√√4x2+a2−1≤√a+1，外确界M0=√a+1，内确界m0=√a−1综合得：外确界M0=√a+1，内确界m0=√|a−1|．二、附加题：【答案】24π【考点】轨迹方程【解析】本题先将B 固定，得到C 的轨迹，C 的轨迹随着B 的动点而运动从而形成一个圆环，即C 在平面直角坐标系内覆盖的图形．【解答】因为动点B 满足|AB →|＝2，所以B 点的轨迹是以A 为圆心，2为半径的一个圆， 又因为动点C 满足|CB →|＝3，所以C 点轨迹是以B 为圆心，3为半径的一个圆， 当B 点在圆上运动时，C 点在平面直角坐标系内覆盖的图形如下图所示即C 在平面直角坐标系内覆盖的图形为一个圆环，其中大圆的半径为5，小圆的半径是1，所以C 在平面直角坐标系内覆盖的图形的面积为52π−12π＝24π．。
上海市华东师大二附中2020-2021学年高二上学期10月月考数学试题含答案
若存在 t ,使 a t a b ， t 0
a b 1, 2 1,1 (1 , 2 ) 则 1,2 t(1 ,2 ) ,
t t 1 2t t
2
，解得：
t 1 0
，所以
5 3
x
2
,化简得
x
3
y
2
0
。
所以直线 l2 的方程为 3x y 6 0 和 x 3y 2 0.
20.解:（1） C(1,2) 关于 x 轴的对称点 C ' (1,2)， lC'M : y x 3 ………1 分
y x 3
y
x
7
x 5 [3,5]
，
则
此
时
N (5,2)
…
…
1
分所以光所走过的路程即
的取值范围.
,且 与 的夹角为锐角,求实数
19. 已知直线 l1 : x 2y 3 0 及点 P(2,0) .
（1）求点
P
关于直线
l1
对称的点
Q
的坐标;（2）求过点
P
且方程。
20. 一束光从光源 C(1,2) 射出,经 x 轴反射后(反射点为 M ）,射到线段 y x b ，x[3,5] 上 N 处. （1）若 M (3,0) ， b 7 ,求光从 C 出发，到达点 N 时所走过的路程； （2）若 b 8，求反射光的斜率的取值范围；（3）若 b 6，求光从 C 出发,到达点 N 时所走过的最短路程。
=﹣ ，可设直线 l 的方程为 y=﹣ x+b
依题意得:
=2，解得：b= 或 b= ，故直线 l 的方程为：3x+4y﹣1=0 或
2020-2021学年上海市复旦附中高二(上)期末数学试卷
2020-2021学年上海市复旦附中高二（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共4小题，共20.0分） 1. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 29=1(a >0)左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交双曲线C 的左支于A ，B两点，且|AB|=6，若△ABF 2的周长为28，则双曲线C 的渐近线方程为( ) A. 3x ±4y =0 B. 4x ±3y =0 C. 3x ±8y =0 D. 8x ±3y =0 2. 已知互异的复数a ，b 满足ab ≠0，集合{a,b}={a 2,b 2}，则a +b =( )A. 2B. 1C. 0D. −13. 已知定圆M ：(x −3)2+y 2=16，点A 是圆M 所在平面内一定点，点P 是圆M 上的动点，若线段PA的中垂线交直线PM 于点Q ，则点Q 的轨迹可能是：①椭圆；②双曲线；③抛物线；④圆；⑤直线；⑥一个点.其中所有可能的结果有( ) A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 4. 已知三角形ABC 的三个顶点都在椭圆x 24+y 23=1上，设它的三条边AB 、BC 、AC 的中点分别为D 、E 、M ，且三条边所在直线的斜率分别为k 1、k 2、k 3，且k 1、k 2、k 3均不为0.O 为坐标原点，若直线OD 、OE 、OM 的斜率之和为1.则1k 1+1k 2+1k 3=( )A. −43B. −3C. −1813D. −32二、单空题（本大题共12小题，共54.0分） 5. 若复数z 满足z 2+4=0，则z =______． 6. 已知抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，点A 为抛物线C 上一点，若|AF|=3，则点A 的横坐标为______ ． 7. 若复数z 满足∣∣∣i 1+2i 1z ∣∣∣=0，其中i 是虚数单位，则z 的虚部为______． 8. 焦点在x 轴上的双曲线3x 2−y 2=m 焦距长为4，则实数m 的值为______ ．9. 已知直线{x =1−t y =7−2t (t 为参数，t ∈R)和圆C ：{x =4cosθy =4sinθ(θ为参数，θ∈R)交于P ，Q 两点，则|PQ|的长为______ ．10. 已知关于x 的实系数方程x 2−2ax +a 2−4a +4=0的两虚根为x 1、x 2，且|x 1|+|x 2|=3，则实数a的值为______ ．11. 若复数z 1，z 2满足|z 1|=|z 2|=3，|z 1+z 2|=3√2，则|2z 1−z 2|的值是______ ．12. 设P(x,y)是曲线C ：√x 225+√y 29=1上的点，F 1(−4,0)，F 2(4,0)，则|PF 1|+|PF 2|的最大值=______．13. 如果M 是椭圆C 1：x 216+y 29=1上的动点，N 是椭圆C 2：x 264+y 236=1上的动点，那么△OMN 面积的最大值为______ ．14. 设复数z 满足|z|=1，且使得关于x 的方程zx 2+2z −x +3=0有实根，则这样的复数z 的和为______ ． 15. 已知方程√1−x 2=x +a 有两个不等的实根，则实数a 的取值范围为______ ．16. 已知A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)为圆M ：x 2+y 2=4上的两点，且x 1x 2+y 1y 2=−12，设P(x 0,y 0)为弦AB 上一点，且AP⃗⃗⃗⃗⃗ =2PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则|3x 0+4y 0−10|的最小值为______ ． 三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17. 已知圆C ：(x −1)2+(y +2)2=20，点P(−3,0)为圆C 上一点．(1)过点P 的直线l 与圆C 相切，求直线l 的方程；(2)Q 是圆C 上一动点(异于点P)，求PQ 中点M 的轨迹方程．18. 已知点A(−1,0)和点B 关于直线l ：x +y −1=0对称．(1)若直线l 1过点B ，且使得点A 到直线l 1的距离最大，求直线l 1的方程；(2)若直线l 2过点A 且与直线l 交于点C ，△ABC 的面积为2，求直线l 2的方程． 19. i 为虚数单位，z =a +bi(a,b ∈R)且z −1z 是纯虚数．(1)求|z −2|的取值范围；(2)若a ≠0,u =1−z 1+z ,v =z +1z ，求4v −u 2的最小值．20. 如图，已知椭圆M ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)经过圆N ：x 2+(y +1)2=4与x 轴的两个交点和与y 轴正半轴的交点．(1)求椭圆M 的方程；(2)若点P 为椭圆M 上的动点，点Q 为圆N 上的动点，求线段PQ 长的最大值；(3)若不平行于坐标轴的直线l 交椭圆M 于A 、B 两点，交圆N 于C 、D两点，且满足AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求证：线段AB 的中点E 在定直线上．21.设抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，过F且垂直于x轴的直线与抛物线交于P1，P2两点，已知|P1P2|=8．(1)求抛物线C的方程；(2)设m>0，过点M(m,0)作方向向量为d⃗=(1,√3)的直线与抛物线C相交于A，B两点，求使∠AFB为钝角时实数m的取值范围；(3)①对给定的定点M(3,0)，过M作直线与抛物线C相交于A，B两点，问是否存在一条垂直于x轴的直线与以线段AB为直径的圆始终相切？若存在，请求出这条直线；若不存在，请说明理由．②对M(m,0)(m>0)，过M作直线与抛物线C相交于A，B两点，问是否存在一条垂直于x轴的直线与以线段AB为直径的圆始终相切？(只要求写出结论，不需用证明)答案和解析1.【答案】A【解析】解：由双曲线的定义可得|AF 2|−|AF 1|=|BF 2|−|BF 1|=2a ， 则|AF 2|+|BF 2|−(|AF 1|+|BF 1|)=4a ，∵|AB|=|AF 1|+|BF 1|=6，∴|AF 2|+|BF 2|=4a +6，∵△ABF 2的周长为28，∴|AB|+|AF 2|+|BF 2|=28，得|AF 2|+|BF 2|=22， 则4a +6=22，解得a =4，又b =3，且双曲线的焦点在x 轴上， ∴双曲线C 的渐近线方程为y =±34x ，即3x ±4y =0．故选：A ．由双曲线的定义推出|AF 2|+|BF 2|−(|AF 1|+|BF 1|)=4a ，结合|AB|=|AF 1|+|BF 1|=6，利用△ABF 2的周长为28，转化求解双曲线C 的实半轴长，则渐近线方程可求．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查双曲线定义的应用，考查运算求解能力，是中档题． 2.【答案】D【解析】解：根据集合相等的条件可知，若{a,b}={a 2,b 2}，则{a =a 2b =b 2 ①或{b =a 2a =b2 ②， 由①得{a =0或a =1b =0或b =1，∵ab ≠0，∴a ≠0且b ≠0，即a =1，b =1，此时集合{1,1}不满足条件．由②得，若b =a 2，a =b 2，则两式相减得a 2−b 2=b −a ，即(a −b)(a +b)=−(a −b)， ∵互异的复数a ，b ，∴a −b ≠0，即a +b =−1， 故选：D ．根据集合相等的条件，得到元素关系，即可得到结论．本题主要考查集合相等的应用，根据集合相等得到元素相同是解决本题的关键，注意要进行分类讨论． 3.【答案】C【解析】解：∵Q 是线段PA 的中垂线上的点，∴QA =PQ ， (1)若A 在圆M 内部，则MA <4，QM +QA =QM +QP =4， ∴Q 点轨迹是以M ，A 为焦点的椭圆．(2)若A 在圆M 外部，则|QA −QM|=|PQ −QM|=PM =4，MA >4， ∴Q 点轨迹是以A ，M 为焦点的双曲线．(3)若A 在圆M 上，则PA 的中垂线恒过圆心M ， 即Q 的轨迹为点M ．(4)若A 为圆M 的圆心，即A 与M 重合时，Q 为半径PM 的中点， ∴Q 点轨迹是以M 为圆心，以2为半径的圆． 综上，Q 点轨迹可能是①②④⑥四种情况． 故选：C ．Q 是线段PA 的中垂线上的点，可得QA =PQ.对点A 的位置分类讨论，利用线段垂直平分线的定义与性质、圆锥曲线的定义即可判断出结论．本题考查了线段垂直平分线的性质定理、圆锥曲线的定义、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 4.【答案】A【解析】解：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，C(x 3,y 3)， 把A ，B 两点代入椭圆方程可得：x 124+y 123=1，x 224+y 223=1，两式作差可得：(x 1−x 2)(x 1+x 2)4+(y 1−y 2)(y 1+y 2)3=0，则x 1+x 2y1+y 2=−43⋅y 2−y 1x 2−x 1，所以1kAB=−43k OD ，同理可得：1kAC=−43k OM ，1kBC=−43k OE ，所以1k 1+1k 2+1k 3=−43(k OD +k OM +k OE )=−43，故选：A ．设出A ，B ，C 的坐标，通过平方差法转化为求解斜率，然后求出结果即可． 本题考查了椭圆的性质，考查了学生的运算转化能力，属于中档题． 5.【答案】±2i【解析】解：设复数z =a +bi(a,b ∈R)满足z 2+4=0， ∴(a +bi)2+4=0，化为a 2−b 2+4+2abi =0， ∴a 2−b 2+4=0，2ab =0， 解得{a =0b =±2．∴z =±2i ．故答案为：±2i ．设复数z =a +bi(a,b ∈R)满足z 2+4=0，代入化为a 2−b 2+4+2abi =0，利用复数相等即可得出． 本题考查了复数的运算性质、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 6.【答案】2【解析】解：设A(m,n)，由抛物线的方程可知：p =2， 则由抛物线的定义可得：|AF|=m +p2=m +1=3， 所以m =2， 故答案为：2．设出点A 的坐标，利用抛物线的方程以及定义即可求解． 本题考查了抛物线的方程以及定义，属于基础题． 7.【答案】−1【解析】解：由∣∣∣i 1+2i 1z ∣∣∣=0，得zi −1−2i =0， ∴z =1+2i i=(1−2i)(−i)−i 2=−2−i ，∴z 的虚部为−1． 故答案为：−1．由已知可得zi −1−2i =0，变形后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 8.【答案】3【解析】解：∵双曲线3x 2−y 2=m 的焦点在x 轴上，∴m >0， 化双曲线方程为x 2m 3−y 2m =1，则a 2=m3，b 2=m ，即c =√a 2+b 2=√m 3+m =√4m3，∴2√4m 3=4，得√m3=1，即m =3．故答案为：3．由题意画双曲线方程为标准方程，求得a 2，b 2的值，进一步求得c ，结合焦距长为4求解m 的值． 本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的几何性质，是基础的计算题． 9.【答案】2√11【解析】解：直线{x =1−ty =7−2t (t 为参数，转换为直角坐标方程为2x −y +5=0， 圆C ：{x =4cosθy =4sinθ(θ为参数，θ∈R)转换为直角坐标方程为x 2+y 2=16， 所以圆心(0,0)到直线2x −y +5=0的距离d =√22+12=√5，所以|PQ|=2√42−(√5)2=2√11．故答案为：2√11．直接利用转换关系，把参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用点到直线的距离和垂径定理的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．10.【答案】12【解析】解：∵关于x 的实系数方程x 2−2ax +a 2−4a +4=0的两虚根为x 1、x 2， ∴△=4a 2−4(a 2−4a +4)=16(a −1)<0，解得a <1． x 1+x 2=2a ，x 1x 2=a 2−4a +4≥0． 设x 1=m +ni ，x 2=m −ni(m,n ∈R)．∴{2m =2a m 2+n 2=a 2−4a +4∵|x 1|+|x 2|=3， ∴2√m 2+n 2=3．∴m 2−4m +4=94，m <1， 解得m =12． 故答案为：12．关于x 的实系数方程x 2−2ax +a 2−4a +4=0的两虚根为x 1、x 2，可得△<0，解得a <1.利用根与系数的关系x 1+x 2=2a ，x 1x 2=a 2−4a +4≥0.设x 1=m +ni ，x 2=m −ni(m,n ∈R).则{2m =2a m 2+n 2=a 2−4a +4，利用|x 1|+|x 2|=3，可得2√m 2+n 2=3.解出即可． 本题考查了实系数一元二次方程的虚根成对原理、判别式、根与系数的关系、复数的模的计算公式，考查了推理能力和计算能力，属于中档题． 11.【答案】3√5【解析】解：设z 1=a +bi ，z 2=c +di ， ∵|z 1|=|z 2|=3，∴a 2+b 2=c 2+d 2=9，∵|z 1+z 2|=3√2，∴√(a +c)2+(b +d)2=3√2， ∴a 2+2ac +c 2+b 2+2bd +d 2=18， ∴18+2(ac +bd)=18，∴ac +bd =0，∴|2z 1−z 2|=√2(a +bi)−(c +di)=√(2a −c)2+(2b −d)2=√4(a 2+b 2)+(c 2+d 2)−4(ac +bd)=√45=3√5， 故答案为：3√5．设z 1=a +bi ，z 2=c +di ，求出a 2+b 2=c 2+d 2=9以及ac +bd =0，再得到|2z 1−z 2|的值即可． 本题考查了复数求模问题，考查方程思想和转化思想，是一道基础题． 12.【答案】10【解析】解：曲线C 可化为：|x|5+|y|3=1，它表示顶点分别为(±5,0)，(0,±3)的平行四边形，根据图形的对称性可知|PF 1|+|PF 2|的最大值为10，当且仅当点P 为(0,±3)时取最大值， 故答案为10．先将曲线方程化简，再根据图形的对称性可知|PF 1|+|PF 2|的最大值为10． 本题主要考查曲线与方程之间的关系，考查图形的性质，属于基础题． 13.【答案】12【解析】解：△OMN 面积S =12|OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |sin∠MON =12√(|OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2−(OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2 =12√(|OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |)2−(OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2， 设OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1)，ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2,y 2)， 可得(|OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |)2−(OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=(x 12+y 12)(x 22+y 22)−(x 1x 2+y 1y 2)2=x 12y 22+x 22y 12−2x 1x 2y 1y 2=(x 1y 2−x 2y 1)2， 所以S =12|x 1y 2−x 2y 1|，由题意可设M(4cosα,3sinα)，N(8cosβ,6sinβ)， 则S =12|24cosαsinβ−24sinαcosβ|=12|sin(α−β)|，当sin(α−β)=±1时，即α−β=2kπ±π2，k ∈Z 时，S 取得最大值12．故答案为：12．借助椭圆的参数方程，和平面向量的数量积的坐标表示，通过三角函数的有界性可求结果．本题考查椭圆的简单几何性质，以及椭圆的参数方程的运用平面面向量的数量积运算，属于中档题．14.【答案】−74【解析】解：设z =a +bi(a,b ∈R)， 由|z|=1得，a 2+b 2=1，zx 2+2z −x +3=0，则(a +bi)x 2+2(a −bi)x +3=0， 即ax 2+2ax +3+(bx 2−2bx)i =0，所以{ax 2+2ax +3=0bx 2−2bx =0，若b =0，则a =1或a =−1，检验得，a =1时，得x =−1±√2i(舍)， 当a =−1时，x =1或x =−3，z =−1， 当b ≠0时，得x =0或x =2，当b ≠0，x =0时，此时x 不存在， 当b ≠0，x =2时，a =−38，b =±√558，此时z =−38±√558i ，故−1−38+√558i −38−√558i =−74．故答案为：−74．先设z =a +bi(a,b ∈R)，代入方程后结合复数相等条件可求a ，b ，进而可求． 本题主要考查了复数相等条件的应用，考查了数学运算的核心素养． 15.【答案】(1,√2)【解析】解：根据题意画出图形，如图所示： y =x +a 表示一条直线，方程右边y =√1−x 2， 当直线与半圆相切时，圆心到直线的距离d =r ，即√2=1，解得：a =√2或a =−√2(舍去)， 则当直线与半圆有两个公共点，即方程方程√1−x 2=x +a 有两个不等的实根， 此时a 的取值范围为(1,√2). 故答案为：(1,√2).设方程左边为y =x +a 表示一条直线，方程右边y =√1−x 2为圆心为坐标原点，半径为1的半圆，根据题意画出图形，当直线与半圆相切时，圆心到直线的距离d =r ，利用点到直线的距离公式列出关于a 的方程，求出此时a 的值结合图形求解即可．此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式，一次函数解析式的确定，以及方程与函数的关系，利用了数形结合的思想，其中根据题意画出相应的图形是解本题的关键． 16.【答案】10−5√2【解析】解：由题设可得：AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0−x 1,y 0−y 1)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2−x 0,y 2−y 0)， ∵AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴{x 0−x 1=2(x 2−x 0)y 0−y 1=2(y 2−y 0)，即{3x 0=x 1+2x 23y 0=y 1+2y 2，∴9(x 02+y 02)=(x 1+2x 2)2+(y 1+2y 2)2=(x 12+y 12)+4(x 22+y 22)+4(x 1x 2+y 1y 2)，∵A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)为圆M ：x 2+y 2=4上的两点，且x 1x 2+y 1y 2=−12，∴9(x 02+y 02)=4+4×4−2=18，即x 02+y 02=2， ∴点P 的轨迹为圆x 2+y 2=2，又|3x 0+4y 0−10|=500√32+42，其几何意义为圆x 2+y 2=2上一点到直线3x +4y −10=0的距离的5倍，又∵圆x 2+y 2=2的圆心(0,0)到直线3x +4y −10=0的距离d =√32+42=2， ∴圆x 2+y 2=2上一点到直线3x +4y −10=0的距离的最小值为d −r =2−√2， ∴|3x 0+4y 0−10|=5×00√32+42≥5(2−√2)=10−5√2，故答案为：10−5√2．先由题设条件得到：{3x 0=x 1+2x 23y 0=y 1+2y 2，进而得到：x 02+y 02=2，从而有点P 的轨迹为圆x 2+y 2=2，再由|3x 0+4y 0−10|=500√32+42，其几何意义为圆x 2+y 2=2上一点到直线3x +4y −10=0的距离的5倍，结合直线与圆的位置关系分析可得00√32+42的最小值，计算即可得答案．本题主要考查直线与圆的位置关系，涉及点的轨迹方程的分析计算，属于中档题． 17.【答案】解：(1)圆C ：(x −1)2+(y +2)2=20的圆心为C(1,−2)，半径r =√20， 因为(−3−1)2+(0+2)2=20，所以点P(−3,0)在圆C 上，所以l ⊥PC ， 因为k PC =−12，所以k l =2，所以直线l 的方程为y −0=2(x +3)，即y =2x +6． (2)设M(x,y)，则Q(2x +3,2y)，因为点Q 在圆C 上，代入圆的方程可得(2x +3−1)2+(2y +2)2=20， 整理得(x +1)2+(y +1)2=5，故PQ 中点M 的轨迹方程为(x +1)2+(y +1)2=5．【解析】(1)由题意可得点P 在圆上，则l ⊥PC ，可得直线l 的斜率，由点斜式即可求得切线方程； (2)设点M 的坐标，转移到Q 点，代入圆C 的方程即可得解．本题主要考查了圆的切线方程、点的轨迹方程的求法，属于中档题．18.【答案】解：(1)由题意设B(m,n)，由题意可得{nm+1=1m−12+n2−1=0，解得：m =1，n =2，即B(1,2)，当直线l 1⊥AB 时，A 到直线l 1的距离最大，所以k l 1=−k AB =−21+1=−1， 所以直线l 1的方程为：y −2=−(x −1)， 即直线l 1的方程为：x +y −3=0．(2)因为AB ⊥l ，设线段AB 的中点为D ，由(1)可得|AB|=√(1+1)2+22=2√2， 则D(0,1)，则CD ⊥AB ， 由题意设C(x 0,−x 0+1)，所以S △ABC =12|AB|⋅|CD|=12×2√2⋅|CD|=2，所以|CD|=√2，而|CD|=√x 02+(−x 0+1−1)2=√2x 02 所以x 02=1，所以x 0=±1， 即C(1,0)或(−1,2)，所以直线l 2的方程为：x =−1或y =0．【解析】(1)由点关于直线的对称点的求法求出点B 的坐标，当AB 与过B 的直线垂直时，点A 到l 1的距离最大，可得直线l 1的方程； (2)由(1)可得线段AB 的长，设C 的坐标，由面积可得C 到线段AB 的中点D 的距离，鸡儿求出C 的坐标，正确直线AC 的方程．本题考查求点关于直线的对称点的坐标，及直线垂直的性质，所以中档题． 19.【答案】解：(1)∵z =a +bi(a,b ∈R)，且z −1z =a +bi −1a+bi =a +bi −a−bia 2+b 2=(a −aa 2+b 2)+(b +ba 2+b 2)i 是纯虚数， ∴a −a a 2+b 2=0，且b +b a 2+b 2≠0，∴a =0或a 2+b 2=1，且b ≠0．若a =0，则z =bi ，满足z −1z =bi −1bi =(b +1b )i 为纯虚数． 此时，|z −2|=|bi −2|=√4+b 2>2，即|z −2|∈(2,+∞)． 若a 2+b 2=1，则|z|=1，∵|z|−2≤|z −2|≤|z|+2，即0≤|z −2|≤|3， 故|z −2|的范围为[0,3)．综上，当a =0时，|z −2|的范围为(2,+∞)； 当a 2+b 2=1时，|z −2|的范围为[0,3)．(2)因为a 2+b 2=1，所以a ≠0,u =1−z1+z =1−a−bi1+a+bi =bia+1， v =z +1z =a +bi +1a+bi =2a ，所以4v −u 2=8a +b 2(a+1)2=8a +2a+1−1=8(a +1)+2a+1−9 ≥2√16−9=−1，(当且仅当a =−12时，等号成立)．故最小值为−1．【解析】(1)根据题意可得a =0或a 2+b 2=1，且b ≠0，然后再分别讨论，由复数的模的计算公式即可求出|z −2|的范围；(2)直接利用复数的化简和均值不等式，求出最小值．本题考查的知识要点：复数的运算，复数的分类，纯虚数的定义，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．20.【答案】解：(1)在方程x 2+(y +1)2=4中，令y =0，x >0，解得x =√3， ∴a =√3.令x =0，y >0，解得y =1，∴b =1． ∴椭圆M 方程为：x 23+y 2=1；(2)因为|PQ|≤|PN|+|NQ|=|PN|+2，设P(x,y)，N(0,−1)，则|PN|=√x 2+(y +1)2=√3−3y 2+(y +1)2=√−2y 2+2y +4=√−2(y −12)2+92，∴y =12时，|PN|max =32√2，∴|PQ|max =32√2+2；(3)解法一：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，C(x 3,y 3)，D(x 4,y 4)， AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 3−x 1,y 3−y 1),DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2−x 4,y 2−y 4)，∵AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴x 3−x 1=x 2−x 4，y 3−y 1=y 2−y 4∴x 1+x 2=x 3+x 4，y 1+y 2=y 3+y 4， 设l ：y =kx +m(k ≠0)，代入x 23+y 2=1得：x 23+(kx +m)2=1即：(k 2+13)x 2+2kmx +m 2−1=0，∴x 1+x 2=−2kmk 2+13，代入x 2+(y +1)2=4得：x 2+(kx +m +1)2=4，即(k 2+1)x 2+2k(m +1)x +(m +1)2−4=0，∴x 3+x 4=−2k(m+1)k 2+1，∴−2kmk 2+13=−2k(m+1)k 2+1，∴k 2+13=23m ∴x 1+x 2=−2km k 2+13=−2km23m =−3k ，∴y 1+y 2=k(x 1+x 2)+2m =−3k 2+2m =−3(23m −13)+2m =1，∴x E =−32k,y E =12， 所以中点E 在直线y =12上．解法二：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，C(x 3,y 3)，D(x 4,y 4)， AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 3−x 1,y 3−y 1),DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2−x 4,y 2−y 4)∵AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴x 3−x 1=x 2−x 4，y 3−y 1=y 2−y 4， ∴x 1+x 2=x 3+x 4，y 1+y 2=y 3+y 4，∴E 也是弦CD 的中点，∵EN ⊥DC ，∴EN ⊥AB ，∴|AN|=|BN|∴x 12+(y 1+1)2=x 22+(y 2+1)2， ∵x 12=3−3y 12,x 22=3−3y 22， 代入化简，得：(y 1−y 2)(y 1+y 2−1)=0，∵y 1−y 2≠0，∴y 1+y 2=1， ∴y E =12(y 1+y 2)=12， 所以点E 在直线y =12上．【解析】(1)由圆N 的方程可得x ，y 轴的交点坐标，再由题意椭圆过圆Nx ，y 轴的交点，求出a ，b 的值，进而求出椭圆的方程；(2)因为|PQ|≤|PN|+|NQ|=|PN|+2，求出PN 的最大值即可，因为N 的坐标(0,−1)，设P 的坐标，代入椭圆的方程，求出P 的横纵坐标的关系，求出PN 的表达式，由P 的纵坐标的范围求出PN 的最大值，进而求出PQ 的最大值；(3)设直线l 的方程，及A ，B ，C ，D 的坐标，联立直线与椭圆，与圆的方程，求出两根之和，及两根之积，因为AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得A ，B ，C ，D 的坐标之间的关系，可得AB 的中点E 的坐标，可得中点E 在直线y =12上． 本题考查椭圆、圆的性质，及直线与椭圆的综合，和直线过定点的求法，属于中难题． 21.【答案】解：(1)由条件得2p =8，∴抛物线C 的方程为y 2=8x ；….(4分) (2)直线方程为y =√3(x −m)代入y 2=8x 得3x 2−(6m +8)x +3m 2=0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，F(2,0)，则FA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−2,y 1)，FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2−2,y 2)， ∴x 1+x 2=6m+83,x 1x 2=m 2.….(6分)∵∠AFB 为钝角，∴FA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FB ⃗⃗⃗⃗⃗ <0，∴(x 1−2)(x 2−2)+y 1y 2<0， 即x 1x 2−2(x 1+x 2)+4+3[x 1x 2−m(x 1+x 2)+m 2]<0， ∴4x 1x 2−(2+3m)(x 1+x 2)+4+3m 2<0，….(8分) 因此3m 2−36m −4<0，∴18−4√213<m <18+4√213， 又由m >0，则综上可得m ∈(0,2)∪(2,18+4√213).….(10分) (3)①设过M 所作直线方程为y =k(x −3)代入y 2=8x 得ky 2−8y −24k =0，….(11分) 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则y 1+y 2=8k ,y 1y 2=−24， ∴y 1+y 22=4k,x 1+x 22=4k2+3，∴AB 中点(4k 2+3,4k)，….(12分) ∴|AB|=√1+1k 2|y 1−y 2|=4√1+k 2⋅√4+6k 2k 2.….(13分)设存在直线x =x 0满足条件，则|4k 2+3−x 0|=2√1+k 2⋅√4+6k 2k 2，….(14分)∴(3−x 0)2k 4+8(3−x 0)k 2+16=24k 4+40k 2+16对任意k 恒成立， ∴{(3−x 0)2=248(3−x 0)=40无解，∴这样的直线不存在． ….(16分) ②当m =2时，存在直线x =−2满足条件；….(17分) 当m ≠2且m >0时，直线不存在． ….(18分)【解析】(1)根据|P 1P 2|=8，可得2p =8，从而可得抛物线C 的方程；(2)直线方程代入y 2=8x 得一元二次方程，用坐标表示向量，利用∠AFB 为钝角，可得FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FB ⃗⃗⃗⃗⃗ <0，从而可得不等式，由此可求实数m 的取值范围；(3)①设过M 所作直线方程为y =k(x −3)代入y 2=8x ，求出|AB|，设存在直线x =x 0满足条件，则可得(3−x 0)2k 4+8(3−x 0)k 2+16=24k 4+40k 2+16对任意k 恒成立，此时直线不存在；②对参数m 讨论，可得结论．本题考查抛物线的标准方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，正确运用韦达定理是关键．。
上海市复旦附中2020-2021学年高三上学期第一次月考数学试题
上海市复旦附中2020-2021学年高三上学期第一次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题 1．设集合1{|0}x A x x a-=≥-，集合{}21B x x =->，且B A ⊆，则实数a 的取值范围是 （） A ．1a ≤ B ．3a ≤C ．13a ≤≤D ．3a ≥2．条件甲：函数满足()1()f x f x -=；条件乙：函数是偶函数，则甲是乙的 （ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件3．关于函数()()4f x x x x x R =+∈的反函数，正确的是 （） A ．有反函数()12,02,0x fx x -≥=< B ．有反函数()12,020x fx x -≥=<⎪⎩C ．有反函数()12,02,0x f x x -≥=< D ．无反函数4．定义“正对数”：0,01ln ln ,1x x x x +<<⎧=⎨≥⎩，现有四个命题：①若0a >，0b >，则()ln lnln ab a b +++=+；②若0a >，0b >，则l ln n b a b a ++=； ③若0a >，0b >，则n n ln l l a a b b +++⎛⎫≥- ⎪⎝⎭； ④若0a >，0b >，则()ln ln n l l 2na b a b +++++≤++.则所有真命题的序号为 （） A ．①②③ B ．①②④C ．③④D ．②③④二、填空题5．已知全集U R =，{}2A |30x x x =-<,{}B 2x x =则A UC B ⋂=_________． 6．在复数集上，方程2220x x ++=的根是______． 7．方程()()lg 525lg 41xx⋅-=-的解是x =______．8．已知AB 为抛物线2x y =的弦，如果此弦的垂直平分线的方程是3y x =-+，则弦AB 所在直线的方程是______．9．函数y =______．10．设a 、b R +∈，则()lim nnn a a b →∞=+______．11．若函数()()()2log 41xf x kx x R =++∈是偶函数，则k 的值为________.12．正方体的体对角线与面对角线所成的角α的集合是______．13．某班级有38人，现需要随机抽取2人参加一次问卷调查，那么甲同学选上，乙同学未选上的概率是 （用分数作答）． 14．观察下列等式:211=22123-=- 2221236-+= 2222123410-+-=-…照此规律, 第n 个等式可为 .15．已知二次函数()y f x =的图像为开口向下的抛物线，且对任意x ∈R 都有(1)(1)f x f x -=+．若向量(,1)a m =-，(,2)b m =-，则满足不等式()(1)f a b f ⋅>-的m 的取值范围为 ．16．某班共有50名学生，已知以下信息： ①男生共有33人； ②女团员共有7人； ③住校的女生共有9人； ④不住校的团员共有15人； ⑤住校的男团员共有6人；⑥男生中非团员且不住校的共有8人； ⑦女生中非团员且不住校的共有3人． 根据以上信息，该班住校生共有______人.三、解答题17．已知集合{122n n n P x x +=<<且}73,,x m m n N*=+∈．（1）用列举法写出集合4P ；（2）是否存在自然数n ，使得2019n P ∈，若存在，求出n 的值，并写出此时集合n P 的元素个数；若不存在，请说明理由．18．设函数()y f x =是由曲线()22:104x C y xy -=≥确定的．（1）写出函数()y f x =，并判断该函数的奇偶性； （2）求函数()y f x =的单调区间并证明其单调性．19．中国古建筑中的窗饰是艺术和技术的统一体，给人于美的享受．如图（1）为一花窗；图（2）所示是一扇窗中的一格，呈长方形，长30 cm ，宽26 cm ，其内部窗芯（不含长方形边框）用一种条形木料做成，由两个菱形和六根支条构成，整个窗芯关于长方形边框的两条对称轴成轴对称．设菱形的两条对角线长分别为x cm 和y cm ，窗芯所需条形木料的长度之和为L ．（1）试用x ，y 表示L ；（2）如果要求六根支条的长度均不小于2 cm ，每个菱形的面积为130 cm 2，那么做这样一个窗芯至少需要多长的条形木料（不计榫卯及其它损耗）？20．定义在R 上的奇函数()f x 有最小正周期4，且()0,2x ∈时，()241xx f x =+（1）判断并证明()f x 在()0,2上的单调性，并求()f x 在[]22-,上的解析式；（2）当λ为何值时，关于x 的方程()f x λ=在[]2,6上有实数解？21．已知()f x=()g x =．（1）分别求()f x 、()g x 的定义域，并求()()⋅f x g x 的值； （2）求()f x 的最小值并说明理由；（3）若a =，b =，1c x =+，是否存在满足下列条件的正数t ，使得对于任意的正数x ，a 、b 、c 都可以成为某个三角形三边的长？若存在，则求出t 的取值范围；若不存在，请说明理由．参考答案1．C 【解析】 【分析】先求出集合B ，比较a 与1的大小关系，结合B A ⊆，可求出实数a 的取值范围. 【详解】解不等式21x ->，即21x -<-或21x ->，解得1x <或3x >，{1B x x ∴=<或}3x >. ①当1a =时，{}1A x x =≠，则B A ⊆成立，符合题意； ②当1a <时，{A x x a =<或}1x ≥，B A ⊄，不符合题意；③当1a >时，{1A x x =≤或}x a >，由B A ⊆，可得出3a ≤，此时13a .综上所述，实数a 的取值范围是13a ≤≤. 故选：C. 【点睛】本题考查集合之间关系的判断，涉及分式、绝对值不等式的解法，解分式不等式一般要转化为整式不等式，有参数时，一般要分类讨论． 2．A 【详解】条件甲:函数()f x 满足()1()f x f x -=, 即()()f x f x -=可以得到函数是一个偶函数 条件乙:函数()f x 是偶函数,一定要满足()()f x f x =-, 但是不能保证两边同除以()f x 有意义, 所以条件甲是条件乙的充分非必要条件, 所以A 选项是正确的，故选A. 3．B 【分析】将函数()y f x =表示为分段函数的形式，判断该函数为增函数，然后分0x ≥和0x <解出该函数的反函数.()224,04,0x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-+<⎩，作出函数()y f x =的图象如下图所示：由图象可知，函数()y f x =在R 上为增函数，该函数存在反函数. 当0x ≥时，由()22424y x x x =+=+-，得2x =-当0x <时，由()22424y x x x =-+=--+，得2x =因此， ()12,020x f x x --≥=-<⎪⎩，故选B. 【点睛】本题考查反函数解析式的求解，在判断函数的存在性时，还应考查函数的单调性，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 4．D 【分析】对于①，通过举反例说明错误；对于②，由“正对数”的定义分别对a 、b 分01a <<，0b >；1a ≥，0b >两种情况进行推理；对于③④，分别从四种情况，即当01a <<，0b >时；当1a ≥，01b <<时；当01a <<，1b ≥时；当1a ≥，1b ≥时进行推理．对于①，当14a =，2b =时，满足0a >，0b >，而()1ln ln02ab ++==， 1ln a ln b ln ln 2ln24+++++=+=，()ln ln ln ab a b +++∴≠+，命题①错误；对于②，当01a <<，0b >时，有01b a <<， 从而()ln0ba +=，ln00b a b +=⨯=，()ln ln b a a b ++∴=；当1a ≥，0b >时，有1b a >，从而()lnln ln bba ab a +==，ln ln b a b a +=，()ln ln b a b a ++∴=.∴当0a >，0b >时，()ln ln b a b a ++=，命题②正确；对于③，由“正对数”的定义知，ln 0x +≥且ln ln x x +≥． 当01a <<，01b <<时，ln ln 000a b ++-=-=，而ln 0a b +⎛⎫≥⎪⎝⎭，则n n ln l l a a b b +++⎛⎫≥- ⎪⎝⎭；当1a ≥，01b <<时，有1ab>，ln ln ln 0ln a b a a +++-=-=，而ln ln ln ln a a a b b b +⎛⎫==- ⎪⎝⎭，ln 0b <，则n n ln l l a a b b +++⎛⎫≥-⎪⎝⎭． 当01a <<，1b ≥时，有01a b <<，ln ln 0ln ln 0a b b b +++-=-=-<，而ln 0a b +⎛⎫= ⎪⎝⎭，则n n ln l l a a b b +++⎛⎫≥- ⎪⎝⎭．当1a ≥，1b ≥时，ln ln ln ln lna ab a b b ++-=-=，则n n ln l l a a b b +++⎛⎫≥- ⎪⎝⎭． ∴当0a >，0b >时，n n ln l l a a b b +++⎛⎫≥- ⎪⎝⎭，命题③正确；对于④，由“正对数”的定义知，当12x x ≤时，有12ln ln x x ++≤.当01a <<，01b <<时，有02a b <+<， 从而()lnln 2ln 2a b +++<=，ln ln ln 200ln 2ln 2a b +++++=++=，()ln ln ln ln 2a b a b ++++∴+≤++；当1a ≥，01b <<时，有1a b +>，从而()()()lnln ln ln 2a b a b a a a ++=+<+=，ln ln ln 2ln 0ln 2ln 2a b a a +++++=++=，()lnln ln ln 2a b a b ++++∴+≤++；当01a <<，1b ≥时，有1a b +>，从而()()()lnln ln ln 2a b a b b b b ++=+<+=，ln ln ln 20ln ln 2ln 2a b b b +++++=++=，()lnln ln ln 2a b a b ++++∴+≤++；当1a ≥，1b ≥时，()()lnln a b a b ++=+，()ln ln ln 2ln ln ln 2ln 2a b a b ab +++++=++=，()()()2110ab a b ab a ab b a b b a -+=-+-=-+-≥，2ab a b ∴≥+，从而()ln ln n l l 2na b a b +++++≤++，命题④正确．∴正确的命题是②③④．故选：D ． 【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查新定义，解答的关键是对“正对数”定义的理解与应用，考查运算能力和逻辑推理能力，属于难题． 5．(]0,2 【解析】试题分析：根据条件得到集合A ，集合B 的补集，再由集合的交集运算得到最终结果. 详解:根据条件得到{}A |03x x =<<,{}B 2x x =,{}|2UC B x x =≤, 则{}A |02U C B x x ⋂=<≤． 故答案为{}|02x x <≤.点睛：这个题目考查的是集合的交集，补集的概念和运算，计算时注意观察集合的代表元素的特点，有无特殊的范围要求. 6．1i -± 【分析】将方程配方得出()2211x i +=-=，由此得出该方程的虚根. 【详解】将方程配方变形得()211x +=-，即()221x i +=，解得1x i =-±. 因此，方程2220x x ++=的根是1i -±. 故答案为1i -±. 【点睛】本题考查了一元二次方程根的求解，属于基础题，当根的判别式小于0时，方程有一对共轭的虚数根. 7．2 【分析】由题意得出52541x x ⋅-=-，换元2x t =，根据410->x ，得出0x >，则21x t =>，得出2540t t -+=，解出t 的值，即可得出x 的值. 【详解】()()lg 525lg 41x x ⋅-=-，52541x x ∴⋅-=-，由410->x ，得0x >，换元21x t =>. 由52541x x ⋅-=-，可得出45240x x -⋅+=，则有2540t t -+=， 解得4t =或1t =（舍去），24x ∴=，解得2x =. 故答案为：2. 【点睛】本题考查对数的性质和运算法则的应用，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答，易错点是容易产生增根． 8．20x y -+= 【分析】设点()11,A x y 、()22,B x y ，线段AB 的中点为()00,M x y ，由直线AB 的斜率为1，结合点差法求出线段AB 的中点M 的坐标，再利用点斜式可得出直线AB 的方程.【详解】设点()11,A x y 、()22,B x y ，线段AB 的中点为()00,M x y ，由211222x y x y ⎧=⎨=⎩，两式作差得221212x x y y -=-，即()()121212x x x x y y -+=-， 12120122y y x x x x x -∴=+=-，线段AB 的垂直平分线的方程是3y x =-+，所以，直线AB 的斜率为1201221y y x x x -==-，012x ∴=，则00532y x =-+=，所以，点M 的坐标为15,22⎛⎫ ⎪⎝⎭. 又直线AB 的斜率为1，因此，弦AB 所在的直线方程为5122y x -=-，即20x y -+=. 故答案为：20x y -+=. 【点睛】本题考查直线与抛物线位置关系的应用，训练了利用“点差法”求解中点弦问题，是中档题． 9．[)1,+∞ 【分析】分析内层函数1t x =-和外层函数y =函数y =.【详解】令1,111,1x x t x x x -<⎧=-=⎨-≥⎩，则内层函数1t x =-的递减区间为(),1-∞，递增区间为[)1,+∞.外层函数y=由复合函数“同增异减”原则可知，函数y =的递增区间是[)1,+∞.故答案为[)1,+∞. 【点睛】本题考查函数单调区间的求解，考查复合函数单调区间的求解，解题的关键就是分析出内层函数和外层函数的单调性，利用同增异减法得出函数的单调区间，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 10．0 【分析】由0a a b <<+，可得出01aa b <<+，从而计算出()lim n n n a a b →∞+的值. 【详解】a 、b R +∈，0a a b ∴<<+，01a a b ∴<<+，因此，()lim lim 0nn n n n a a a b a b →∞→∞⎛⎫== ⎪+⎝⎭+. 故答案为：0. 【点睛】本题考查了极限及其运算，考查了极限思想，属简单题． 11．1- 【解析】函数()()()241xf x log kx x R =++∈是偶函数，()()f x f x ∴-=即()()()224141xx log k x log kx -++-=++()()2241412x x log log kx -∴+-+=化简得：22x kx -=即()220k x +=，220k +=，解得1k =-12．90,arctan 2⎧⎪⎨⎪⎪⎩⎭【分析】利用正方体的性质、线面垂直的判定与性质以及线面角的定义即可得出． 【详解】 如下图所示，连接AC 、11A C ，则BD AC ⊥，1CC BD ⊥．1ACCC C =，BD ∴⊥平面11ACC A ，1AC ⊂平面11ACC A ，1BD AC ∴⊥.∴体对角线1AC 与面对角线BD 所成角为90.设正方体的棱长为1，则AC =1AC =，11tan 2CC CAC AC ∴∠==.∴体对角线1AC 与面对角线AC 所成角为．∴正方体的体对角线与面对角线所成的角α的集合是90⎧⎪⎨⎪⎪⎩⎭.故答案为90,arctan 2⎧⎪⎨⎪⎪⎩⎭.【点睛】本题考查正方体的性质、线面垂直的判定与性质，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题． 13．【解析】分析：确定基本事件总数，甲同学选上，乙同学未选上的情况种数，由此即可求得概率．详解：由题意，基本事件总数为238 703C =，甲同学选上，乙同学未选上共有36种 故甲同学选上，乙同学未选上的概率是36703.故答案为36703. 点睛：本题考查古典概型概率的计算，解题的关键是确定基本事件总数，属于基础题． 14．2222121(1)1234(1)(1)()2n n n n n n N ++*+-+-+⋅⋅⋅+-=-⋅∈， 【解析】观察上式等号左边的规律发现：左边的项数依次加1，故第n 个等式左边有n 项，每项所含的底数的绝对值也增加1，依次为1,2,3,n ⋅⋅⋅指数都是2，符号成正负交替出现可以用1(1)n +-表示；等式的右边数的绝对值是左边项的底数的和，故等式的右边可以表示为，所以第n 个式子可为：2222121(1)1234(1)(1)()2n n n n n n N ++*+-+-+⋅⋅⋅+-=-⋅∈．解题的关键在于：1．通过四个已知等式的比较发现隐藏在等式中的规律； 2．符号成正负交替出现可以用1(1)n +-表示；3．表达的完整性，不要遗漏了n N *∈．【考点定位】本题考查观察和归纳推理能力．属于中等题．15．01m <≤ 【解析】略 16．24 【分析】通过分类讨论得出如下表格即可求出答案． 【详解】（1）女生共有503317-=人，其中住校的有9人，则不住校的有8人，而不住校的非团员共有3人，∴不住校的团员有5人，由女团员共有7人，∴住校的女团员2人；（2）由不住校的团员共有15人，而其中女团员5人，∴不住校的男团员有10人，又男生中非团员且不住校的共有8人；综上可知：①不住校的男团员有10人，女团员5人；②不住校的男非团员8人，女非团员3人．即不住校的学生共有1058326+++=人，因此该班住校生共有24人． 故答案为：24． 【点睛】本题考查简单的合情推理，熟练掌握分类讨论的思想方法是解题的关键，考查推理能力，属于中等题.17．（1）{}17,24,31；（2）存在，10n =，n P 中共有元素147个. 【分析】（1）当4n =时，{41632P x x =<<且}73,,x m m n N*=+∈，进而可得答案；（2）由1011220192<<，且201928873=⨯+，可得102019P ∈，求出n P 中元素的最值，结合各元素之间公差为7，可得元素个数． 【详解】（1）当4n =时，{41632P x x =<<且}{}73,,17,24,31x m m n N *=+∈=；（2）1011220192<<，且201928873=⨯+，故102019P ∈，此时10P 中最小的元素为：1025，最大的元素为：2047，2047102511477-+=，故此时10P 中共有元素147个． 【点睛】本题考查的知识点是等差数列的应用，集合的表示法，集合元素的个数，难度中档．18．（1）()22x f x x ≥=⎨⎪≤-⎪⎩，函数()y f x =为奇函数；（2）函数()y f x =的单调递增区间为(],2-∞-、[)2,+∞，证明见解析. 【分析】（1）根据题意，分析可得函数的定义域，结合0xy ≥可得函数的解析式，结合函数奇偶性定义分析可得答案；（2）根据题意，由作差法结合单调性的定义即可进行证明. 【详解】（1）根据题意，()y f x =是由曲线()22:104x C y xy -=≥确定的，其定义域为(][),22,-∞-+∞.由2214x y -=，得2224144x x y -=-=. 当2x -≤时，则0y ≤，得y =，即()f x =；当2x ≥时，则0y ≥，得2y =，即()2f x =. 所以，()22,22x f x x ≥⎪⎪=⎨⎪-≤-⎪⎩. 当2x -≤时，2x -≥，则()2f x =-，()()2f x f x -===-. 当2x ≥时，2x -≤-，则()2f x =，()()f x f x -===-.综上所述，函数()y f x =为奇函数；（2）函数()y f x =的单调递增区间为(],2-∞-、[)2,+∞，证明如下：先证明函数()y f x =在区间(],2-∞-上的单调性，设122x x <≤-，则()()12f x f x ⎛⎛ -=-= ⎝⎭⎝⎭22222144xx x x x x ----+===，又由122x x <≤-，则210x x ->，210x x +<，则()()12f x f x <，则函数()y f x =在(],2-∞-为增函数； 再证函数()y f x =在[)2,+∞上的单调性，设122x x ≤<，则()()2222121244x x f x f x ----===x x x x -+=，又由122x x ≤<，则120x x +>，120x x -<，则()()12f x f x <，所以，函数()y f x =在[)2,+∞为增函数. 【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的判断与证明，关键是确定函数的解析式，并注意利用定义来证明函数的奇偶性与单调性，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 19．（1）822()L x y =++（2）16+【解析】试题分析：（1）由条件可先求水平方向每根支条长15x -，竖直方向每根支条长为132y-，因此所需木料的长度之和L 2(15)4(13)82y x =-+-+=822()x y ++（2）先确定范围由152,{132,2x y -≥-≥可得1301311x ≤≤，再由面积为130cm2，得1132xy =，转化为一元函数260822()L x x=++，令260t x x =+，则82L =+在372[33,]11t ∈上为增函数，解得L有最小值16+试题解析：（1）由题意，水平方向每根支条长为302152xm x -==-cm ，竖直方向每根支条长为261322y y n -==-cm=cm ．从而，所需木料的长度之和L 2(15)4(13)82y x =-+-+=822()x y ++cm ． （2）由题意，1132xy =，即260y x =，又由152,{132,2x y-≥-≥可得1301311x ≤≤．所以260822()L x x=++． 令260t x x=+，其导函数226010x -<在1301311x ≤≤上恒成立，故260t x x =+在130[,13]11上单调递减，所以可得372[33,]11t ∈．则26082()]L x x=++82]t =+=82+．因为函数y =y =372[33,]11t ∈上均为增函数，所以82L =+在372[33,]11t ∈上为增函数，故当33t =，即13,20x y ==时L有最小值16+答：做这样一个窗芯至少需要16+长的条形木料． 考点：函数应用题20．（1）单调递减，()2,02410,0,22,2041xxxx x f x x x ⎧<<⎪+⎪⎪==±⎨⎪⎪--<<⎪+⎩；（2）{}1441,0,217172λ⎛⎫⎛⎫∈--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】分析：（1）()f x 在区间()0,2上单调递减，通过取值、作差、化简、下结论等步骤得函数单调性，由()f x 奇函数，易得()00f =，通过在()2,0-上取变量，转化到()0,2上，根据()()f x f x -=-得在区间()2,0-上解析式，再由最小正周期为4，得到()2f -和()2f 的值，综合即可得到结论；（2）根据条件把问题转化为求函数()f x 在[]22-,上的值域问题即可．详解：（1）()f x 在()0,2上为减函数，证明如下：设1202x x <<<，则12220x x -<，12120x x +-<，()()1241410x x++>，∴()()121212224141x x x x f x f x -=-++()()()()121212221204141x x x x x x +--=>++ ∴()()12f x f x >，∴()f x 在()0,2上为减函数．当20x -<<时，02x <-<，()224141x xx xf x ---==++， 又()f x 为奇函数，∴()()241xxf x f x =--=-+， 当0x =时，由()()()0000f f f -=-⇒=∵()f x 有最小正周期4，∴()()()()()2242220f f f f f -=-+=⇒-==综上()2 ,02410,022 ,2041xx x x x f x x x ⎧<<⎪+⎪⎪==±⎨⎪⎪--<<⎪+⎩，（2）()f x 周期为4的周期函数，关于方程()f x λ=在[2]6，上有实数解的λ的范围即为求函数()f x 在[]22-,上的值域， 当()02x ∈，时由（1）知，()f x 在()0,2上为减函数，∴()()()41 20172f f x f =<<<， 当()20x ∈-，时，()14 217f x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，， 当{}202x ∈-，，时，()0f x =，∴()f x 的值域为{}1441,0,217172⎛⎫⎛⎫--⋃⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴{}1441,0,217172λ⎛⎫⎛⎫∈--⋃⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时方程方程()f x λ=在[2]6，上有实数解 点睛：本题主要考查利用函数的奇偶性求对称区间上的解析式，特别注意端点问题，还考查了用定义证明单调性求分段函数值域问题．21．（1）()f x 、()g x 的定义域均为()0,∞+；()()1f x g x ⋅=；（2）()min 2f x =理由详见解析；（3）存在(2t ∈+，满足题设条件. 【分析】（1）利用被开方数大于0可求函数的定义域，直接相乘化简即可； （2()y f x =的最小值；（3）利用构成三角形的条件，两边之和大于第三边转化为恒成立问题，利用（1）（2）的结论可得出实数t 的取值范围． 【详解】（1）由0110x x x >⎧⎪⎨++>⎪⎩得0x >，则函数()y f x =和()y g x =的定义域都为()0,∞+， ()()21111211f x g x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=-++=++-++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； （22≥=1x =时，等号成立.≥=，当且仅当1x=时，等号成立.因此，()()min12f x f==；（3）21a xx c=+=+=，∴若能构成三角形，只需11xx>++>则tt⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩恒成立.由（1）知，()()1f x gx⋅=，()()1g xf x∴=.()2f x≥()()12g xf x∴=≤=-22t∴<<+综上，存在(2t∈，满足题设条件.【点睛】本题主要考查利用基本不等式求函数的最值，另外就是将题中的参数问题转化为恒成立问题，并利用参变量分离法求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.。