三角函数及解三角形常用公式

2R
2R
2R
（3）a : b : c sin A : sin B : sin C
a sin A a sin A b sin B (4) , ,
b sin B c sin C c sin C
2、正弦定理适用情况：
（1）已知两角及任一边
（2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）
已知 a，b 和 A，求 B 时的解的情况:
2
2
2
6、解三角形中常用结论
（1） a b c,b c a, a c b(即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）
（2） 在ABC中，A B a b sin A sin B(即大边对大角，大角对大边）
（3）在△ABC 中，A+B+C=π，所以 sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；tan(A+B)=
如果 sinA≥sinB，则 B 有唯一解；如果 sinA<sinB<1，则 B 有两解；
如果 sinB=1，则 B 有唯一解；如果 sinB>1，则 B 无解.
3、余弦定理及其推论
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B c2 a2 b2 2ab cos C
（2）函数 y A tan(x ) 和 y Acot(x ) 的周期都是T
（3）五点法作 y Asin(x ) 的简图，设 t x ，取 0、 、 、
2
3 、 2 来求相应 x 的值以及对应的 y 值再描点作图。
2
（4）关于平移伸缩变换可具体参考函数平移伸缩变换，提倡
先平移后伸缩。切记每一个变换总是对字母 x 而言，即图像变换
平移b 个单位（上加下wk.baidu.com）
【函数的伸缩变换】：
① y f (x) y f (wx)(w 0) 将 y f (x) 图像纵坐标不变，横坐 标缩到原来的 1 倍（ w 1缩短， 0 w 1伸长）
w
② y f (x) y Af (x)( A 0) 将 y f (x) 图像横坐标不变，纵坐
三角函数常用公式
1、两角和与差的三角函数关系
sin( )=sin ·cos cos ·sin
cos( )=cos ·cos sin ·sin
tan tan tan( )
1 tan tan
2、倍角公式
sin2 =2sin ·cos cos2 =cos2 -sin2
=2cos2 -1 =1-2sin2
3、降幂升角公式 1+cos = 2 cos2
2
1-cos = 2sin2
2
4、引入辅助角。
cos2 1 cos 2
2
sin2 1 cos 2
2
y a sin b cos a 2 b2 sin( ) a 2 b2 cos( ) ，
这里辅助角 所在象限由 a、b 的符号确定，
4、余弦定理适用情况：
b2 c2 a2 cos A
2bc
a2 c2 b2 cos B
2ac
a2 b2 c2 cos C
2ab
（1）已知两边及夹角；
（2）已知三边。
5、常用的三角形面积公式
1 （1） SABC 底 高 ；
2
1
1
1
（2） SABC absin C bc sin A ca sin B （两边夹一角）；
角的值由 tan b 确定
a
5、三角函数的图像和性质：（其中 k z ）
y sin x
三角函
数
y cos x
y tan x
图像
定义域 （-∞，+∞） （-∞，+∞）
x k
2
值域
[-1,1]
[-1,1]
（-∞，+∞）
最小正 周期
T 2
T 2
T
奇偶性
奇
偶
奇
单调性
单 调
[2k ,2k ]
要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。
【函数的平移变换】：
① y f (x) y f (x a)(a 0) 将 y f (x) 图像沿 x 轴向左（右）
平移 a 个单位（左加右减）
② y f (x) y f (x) b(b 0) 将 y f (x) 图像沿 y 轴向上（下）
标伸长到原来的 A 倍（ A 1伸长， 0 A 1缩短）
解三角形常用公式
1、正弦定理及其变形
abc 2R (R为三角形外接圆半径）
sin A sin B sin C
（1）a 2R sin A,b 2R sin B, c 2R sin C (边化角公式）
a
b
c
（2）sin A ,sin B ,sin C (角化边公式）
2
2
[(2k 1) ,2k ] 单 调 (k ,k ) 单 调
2
2
递增
递增
递增
单 调
3
[2k ,2k ]
2
2
[(2k , (2k 1) ] 单 调
递减
递减
对称性
零值点 最值点
对称轴：x k
2
对称中心： (k ,0)
x k
x 2k , ymax 1
2 x 2k , ymax 1 2
对称轴： x k
对称中心：
(k ,0)
2
x k 2
x 2k , ymax 1
x (2k 1) , ymax 1
对称中心：
k ( ,0)
2
x k
无
6、函数 y Asin(x ) 的图像与性质：
（本节知识考察一般能化成形如 y Asin(x ) 图像及性质）
（1）函数 y Asin(x ) 和 y Acos(x ) 的周期都是T 2
AB
C AB
C
－tanC。 sin
cos , cos
sin
2
2
2
2