第21章一元二次方程

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人教版初中数学九年级上册第二十一章:一元二次方程(全章教案)

人教版初中数学九年级上册第二十一章:一元二次方程(全章教案)

第二十一章一元二次方程本章的主要内容包括:一元二次方程及其有关概念,一元二次方程的解法(配方法、公式法、因式分解法),一元二次方程根与系数的关系,运用一元二次方程分析和解决实际问题.其中解一元二次方程的基本思路和具体解法是本章的重点内容.方程是科学研究中重要的数学思想方法,也是后续内容学习的基础和工具,本章是对一元一次方程知识的延续和深化,同时为二次函数的学习做好准备.联系一元二次方程和函数的基本知识,继续探索实际问题中的数量关系及其变化规律,让学生进一步体会“方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型”.本章是中考考查的重点内容,主要考查一元二次方程的解及其解法、一元二次方程根与系数的关系、建立一元二次方程模型解决实际问题.【本章重点】一元二次方程的解法及应用.【本章难点】1.一元二次方程根与系数的关系的应用.2.利用一元二次方程解决实际问题.【本章思想方法】1.体会和掌握转化法,如:在解一元二次方程时,利用转化法将一元二次方程转化为一元一次方程.2.掌握建模思想,如:在利用一元二次方程解决实际问题时,根据题意建立适当的一元二次方程,将实际问题转化为数学模型.21.1一元二次方程1课时21.2解一元二次方程4课时21.3实际问题与一元二次方程1课时21.1一元二次方程一、基本目标【知识与技能】1.理解一元二次方程及相关概念.2.掌握一元二次方程的一般形式.3.了解一元二次方程根的概念,会检验一个数是不是一元二次方程的解.【过程与方法】从实际问题中建立方程模型,体会一元二次方程的概念.【情感态度与价值观】通过从实际问题中抽象出方程模型来认识一元二次方程,培养学生良好的研究问题的习惯,使学生逐步提高自己的数学素养.二、重难点目标【教学重点】1.一元二次方程的概念及其一般形式.2.判断一个数是不是一元二次方程的解.【教学难点】能准确判断一元二次方程的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数及常数项.环节1自学提纲,生成问题【5 min阅读】阅读教材P1~P4的内容,完成下面练习.【3 min反馈】1.解决下列问题:问题1:如图,有一块矩形铁皮,长100 cm,宽50 cm,在它的四角各切去一个同样大小的正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积为3600 cm2,那么铁皮各角应切去多大的正方形?【解析】设切去的正方形的边长为x cm,则盒底的长为__(100-2x)_cm__,宽为__(50-2x)_cm__.列方程,得__(100-2x )(50-2x )=3600__, 化简,整理,得__x 2-75x +350=0__.①问题2:要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参赛?【解析】全部比赛的场数为__4×7=28(场)__.设应邀请x 个队参赛,每个队要与其他__(x -1)__个队各赛一场.因为甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛,所以全部比赛共__12x (x -1)__场.列方程,得__12x (x -1)=28__.化简、整理,得 __x 2-x -56=0__.②归纳总结:方程①②的共同特点是:方程的两边都是__整式__,只含有__一个__未知数,并且未知数的最高次数是__2__.2.一元二次方程的定义:等号两边都是__整式__,只含有__一__个未知数(一元),并且未知数的最高次数是__2__(二次)的方程,叫做一元二次方程.3.一元二次方程的一般形式是__ax 2+bx +c =0(a ≠0)__.其中__ax 2__是二次项,__a __是二次项系数,__bx __是一次项,__b __是一次项系数,__c __是常数项.环节2 合作探究,解决问题 【活动1】 小组讨论(师生互学)【例1】判断下列方程,哪些是一元二次方程? (1)x 3-2x 2+5=0; (2)x 2=1;(3)5x 2-2x -14=x 2-2x +35;(4)2(x +1)2=3(x +1); (5)x 2-2x =x 2+1; (6)ax 2+bx +c =0.【互动探索】(引发学生思考)要判断一个方程是一元二次方程,那么它应该满足哪些条件?【解答】(2)(3)(4)是一元二次方程.【互动总结】(学生总结,老师点评)判断一个方程是不是一元二次方程,首先看方程等号两边是不是整式,然后移项,使方程的右边为0,再观察左边是否只有一个未知数,且未知数的最高次数是否为2.【例2】将方程2x ⎝⎛⎭⎫12-x +2=5(x -1)化成一元二次方程的一般形式,并指出各项系数. 【互动探索】(引发学生思考)一元二次方程的一般形式是怎样的?【解答】去括号,得x-2x2+2=5x-5.移项,合并同类项,得一元二次方程的一般形式:2x2+4x-7=0.其中二次项系数是2,一次项系数是4,常数项是-7.【互动总结】(学生总结,老师点评)将一元二次方程化成一般形式时,通常要将二次项化负为正,化分为整.【例3】下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的解?-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4.【互动探索】(引发学生思考)你能类比判断一个数是一元一次方程的解的方法判断一元二次方程的解吗?【解答】将上面的这些数代入后,只有-2和-3满足等式,所以x=-2或x=-3是一元二次方程2x2+10x+12=0的解.【互动总结】(学生总结,老师点评)要判断一个数是否是方程的解,只要把这个数代入等式,看等式两边是否相等即可.若相等,则这个数是方程的解,若不相等,则这个数不是方程的解.【活动2】巩固练习(学生独学)1.下列方程是一元二次方程的是(D)A.ax2+bx+c=0 B.3x2-2x=3(x2-2)C.x3-2x-4=0 D.(x-1)2+1=02.已知x=2是一元二次方程x2-2mx+4=0的一个解,则m的值为(A)A.2B.0C.0或2D.0或-2【教师点拨】将x=2代入x2-2mx+4=0得,4-4m+4=0.再解关于m的一元一次方程即可得出m的值.3.把一元二次方程(x+1)(1-x)=2x化成二次项系数大于0的一般式是__x2+2x-1=0__,其中二次项系数是__1__,一次项系数是__2__,常数项是__-1__.【活动3】拓展延伸(学生对学)【例4】求证:关于x的方程(m2-8m+17)x2+2mx+1=0,不论m取何值,该方程都是一元二次方程.【互动探索】(引发学生思考)已知关于x的方程,且含有字母系数,要证明该方程是一元二次方程,则该方程的二次项系数必须满足什么条件?【证明】m2-8m+17=m2-8m+42+1=(m-4)2+1.∵(m-4)2≥0,∴(m-4)2+1>0,即(m-4)2+1≠0,∴不论m取何值,该方程都是一元二次方程.【互动总结】(学生总结,老师点评)要证明不论m 取何值,该方程都是一元二次方程,只需证明二次项系数恒不为0,即m 2-8m +17≠0.环节3 课堂小结,当堂达标 (学生总结,老师点评)1.一元二次方程⎩⎪⎨⎪⎧必须满足的三要素⎩⎪⎨⎪⎧ 是整式方程只有一个未知数未知数的最高次数是2一般形式:ax 2+bx +c =0(a ≠0)2.判断一个数是否是一元二次方程解的方法:将这个数分别代入方程的左右两边,如果“左边=右边”,则这个数是方程的解;如果“左边≠右边”,则这个数不是方程的解.请完成本课时对应练习!21.2解一元二次方程21.2.1配方法(第1课时)一、基本目标【知识与技能】1.理解一元二次方程“降次”转化的数学思想,并能应用它解决一些具体问题.2.理解并掌握直接开方法、配方法解一元二次方程的方法.【过程与方法】1.通过根据平方根的意义解形如x2=n(n≥0)的方程,迁移到根据平方根的意义解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程.2.通过把一元二次方程转化为形如(x-a)2=b的过程解一元二次方程.【情感态度与价值观】通过对一元二次方程解法的探索,体会“降次”的基本思想,培养学生良好的研究问题的习惯,使学生逐步提高自己的数学素养.二、重难点目标【教学重点】掌握直接开平方法和配方法解一元二次方程.【教学难点】把一元二次方程转化为形如(x-a)2=b的形式.环节1自学提纲,生成问题【5 min阅读】阅读教材P5~P9的内容,完成下面练习.【3 min反馈】1.一般地,对于方程x2=p:(1)当p>0时,根据平方根的意义,方程有两个不等的实数根,x1=__p__,x2=__-p __.(2)当p=0时,方程有两个相等的实数根x1=x2=__0__;(3)当p<0时,方程__无实数根__.2.用直接开平方法解下列方程:(1)(3x +1)2=9; x 1=23,x 2=-43.(2)y 2+2y +1=25. y 1=4,y 2=-6. 3.(1)x 2+6x +__9__=(x +__3__)2; (2)x 2-x +__14__=(x -__12__)2;(3)4x 2+4x +__1__=(2x + __1__)2.4.一般地,如果一个一元二次方程通过配方转化成(x +n )2=p 的形式,那么就有:(1)当p >0时,根据平方根的意义,方程有两个不等的实数根,x 1=,x 2=;(2)当p =0时,方程有两个相等的实数根x 1=x 2=__-n __; (3)当p <0时,方程__无实数根__. 环节2 合作探究,解决问题 【活动1】 小组讨论(师生互学) 【例1】用配方法解下列关于x 的方程: (1)2x 2-4x -8=0; (2)2x 2+3x -2=0.【互动探索】(引发学生思考)用配方法解一元二次方程的实质和关键点是什么? 【解答】(1)移项,得2x 2-4x =8. 二次项系数化为1,得x 2-2x =4.配方,得x 2-2x +12=4+12,即(x -1)2=5. 由此可得x -1=±5, ∴x 1=1+5,x 2=1- 5. (2)移项,得2x 2+3x =2.二次项系数化为1,得x 2+32x =1.配方,得⎝⎛⎭⎫x +342=2516. 由此可得x +34=±54,∴x 1=12,x 2=-2.【互动总结】(学生总结,老师点评)用配方法解一元二次方程的实质就是对一元二次方程进行变形,转化为开平方所需要的形式,配方法的一般步骤可简记为:一移,二化,三配,四开.【活动2】 巩固练习(学生独学)1.若x 2-4x +p =(x +q )2,则p 、q 的值分别是( B ) A .p =4,q =2 B .p =4,q =-2 C .p =-4,q =2D .p =-4,q =-22.用直接开平方法或配方法解下列方程: (1)3(x -1)2-6=0 ; (2)x 2-4x +4=5; (3)9x 2+6x +1=4; (4)36x 2-1=0; (5)4x 2=81; (6)x 2+2x +1=4. (1)x 1=1+2,x 2=1- 2. (2)x 1=2+5,x 2=2- 5. (3)x 1=-1,x 2=13.(4)x 1=16,x 2=-16.(5)x 1=92,x 2=-92.(6)x 1=1,x 2=-3.【活动3】 拓展延伸(学生对学)【例2】如果x 2-4x +y 2+6y +z +2+13=0,求(xy )z 的值.【互动探索】(引发学生思考)一个数的平方是正数还是负数?一个数的算术平方根是正数还是负数?几个非负数相加的和是正数还是负数?【解答】由已知方程,得x 2-4x +4+y 2+6y +9+z +2=0, 即(x -2)2+(y +3)2+z +2=0, ∴x =2,y =-3,z =-2. ∴(xy )z =[2×(-3)]-2=136.【互动总结】(学生总结,老师点评)若几个非负数相加等于0,则这几个数都等于0. 环节3 课堂小结,当堂达标 (学生总结,老师点评)用配方法解一元二次方程的一般步骤: 一移项→二化简→三配方→四开方请完成本课时对应练习!21.2.2 公式法(第2课时)一、基本目标 【知识与技能】1.理解一元二次方程求根公式的推导过程,了解公式法的概念. 2.会熟练运用公式法解一元二次方程. 【过程与方法】复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程,引入ax 2+bx +c =0(a ≠0)的求根公式的推导,并应用公式法解一元二次方程.【情感态度与价值观】在一元二次方程求根公式的推导过程中,激发学生兴趣,了解解决问题多样性. 二、重难点目标 【教学重点】求根公式的推导及用公式法解一元二次方程. 【教学难点】一元二次方程求根公式的推导.环节1 自学提纲,生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P9~P12的内容,完成下面练习. 【3 min 反馈】1.用配方法解下列方程: (1)x 2-5x =0; x 1=0,x 2=5. (2)2x 2-4x -1=0. x 1=1+62,x 2=1-62. 2.如果这个一元二次方程是一般形式ax 2+bx +c =0(a ≠0),你能否用上面配方法的步骤求出它的两根? x 1=-b +b 2-4ac 2a ,x 2=-b -b 2-4ac2a.【教师点拨】因为前面解具体数字的一元二次方程已做得很多,我们现在不妨把a 、b 、c 也当成一个具体数字,根据上面的解题步骤就可以一直推下去.3.一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的根由方程的系数a 、b 、c 而定.(1)解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式ax 2+bx +c =0.当b 2-4ac ≥0时,将a 、b 、c 代入式子x =-b ±b 2-4ac2a就得到方程的根.(2)这个式子叫做一元二次方程的__求根公式__. (3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫__公式法__.(4)由求根公式可知,一元二次方程最多有__2__个实数根,也可能__没有__实数根. (5)一般地,式子b 2-4ac 叫做方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的根的判别式,通常用希腊字母Δ表示,即Δ=__b 2-4ac __.当Δ__>__0时,方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)有两个不相等的实数根;当Δ__=__0时,方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)有两个相等的实数根;当Δ__<__0时,方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)没有实数根.4.不解方程,判断方程根的情况. (1)16x 2+8x =-3; (2)9x 2+6x +1=0; (3)2x 2-9x +8=0; (4)x 2-7x -18=0.解:(1)没有实数根. (2)有两个相等的实数根. (3)有两个不相等的实数根. (4)有两个不相等的实数根.【教师点拨】将方程化为一般形式,再用判别式进行判断. 环节2 合作探究,解决问题 【活动1】 小组讨论(师生互学) 【例1】用公式法解下列方程: (1)2x 2+1=3x ; (2)2x (x -1)-7x =2.【互动探索】(引发学生思考)用公式法解一元二次方程的步骤是怎样的? 【解答】(1)原方程整理,得2x 2-3x +1=0. 其中a =2,b =-3,c =1,则Δ=b 2-4ac =(-3)2-4×2×1=1>0. ∴x =-b ±b 2-4ac 2a =-(-3)±12×2,即x 1=12,x 2=1.(2)原方程整理,得2x 2-9x -2=0. 其中a =2,b =-9,c =-2,则Δ=b 2-4ac =(-9)2-4×2×(-2)=97>0. ∴x =-b ±b 2-4ac 2a =-(-9)±972×2,即x 1=9+974,x 2=9-974.【互动总结】(学生总结,老师点评)用公式法解一元二次方程的一般步骤:(1)把方程化为一般形式,确定a 、b 、c 的值;(2)求出Δ=b 2-4ac 的值;(3)当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根,即x 1=-b +b 2-4ac 2a ,x 2=-b -b 2-4ac2a ;当Δ=0时,方程有两个相等的实数根,即x 1=x 2=-b2a;当Δ<0时,方程没有实数根.【活动2】 巩固练习(学生独学)1.方程x 2-4x +4=0的根的情况是( B ) A .有两个不相等的实数根 B .有两个相等的实数根 C .有一个实数根 D .没有实数根2.如果方程5x 2-4x =m 没有实数根,那么m 的取值范围是__m <-45__.3.用公式法解下列方程:(1)2x 2-6x -1=0; (2)2x 2-2x +1=0; (3)5x +2=3x 2.解:(1)x 1=3+112,x 2=3-112.(2)方程没有实数根. (3)x 1=2,x 2=-13.【活动3】 拓展延伸(学生对学)【例2】已知a 、b 、c 分别是三角形的三边,试判断方程(a +b )x 2+2cx +(a +b )=0的根的情况.【互动探索】(引发学生思考)三角形的三边满足什么关系?是怎样根据一元二次方程的系数判断根的情况?【解答】∵a 、b 、c 分别是三角形的三边,∴a +b >0,c +a +b >0,c -a -b <0,∴Δ=(2c )2-4(a +b )·(a +b )=4(c +a +b )(c -a -b )<0,故原方程没有实数根.【互动总结】(学生总结,老师点评)解答本题的关键是掌握三角形三边的关系,即两边之和大于第三边,以及运用根的判别式Δ=b 2-4ac 判断方程的根的情况.环节3 课堂小结,当堂达标 (学生总结,老师点评)1.一元二次方程根的情况⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0⇔方程有两个不相等的实数根Δ=0⇔方程有两个相等的实数根Δ<0⇔方程没有实数根2.当Δ≥0时,方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的实数根为x =-b ±b 2-4ac2a.请完成本课时对应练习!21.2.3因式分解法(第3课时)一、基本目标【知识与技能】1.掌握用因式分解法解一元二次方程.2.能根据具体一元二次方程的特征,灵活选择方程的解法.【过程与方法】通过复习用配方法、公式法解一元二次方程,体会和探寻用更简单的方法——因式分解法解一元二次方程,并应用因式分解法解决一些具体问题.【情感态度与价值观】了解因式分解法是一元二次方程解法中应用较为广泛的简便方法,它避免了复杂的计算,提高了解题速度和准确程度,培养学生的应用意识和创新能力.二、重难点目标【教学重点】运用因式分解法解一元二次方程.【教学难点】选择适当的方法解一元二次方程.环节1自学提纲,生成问题【5 min阅读】阅读教材P12~P14的内容,完成下面练习.【3 min反馈】1.将下列各题因式分解:am+bm+cm=__m(a+b+c)__;a2-b2=__(a+b)(a-b)__;a2+2ab+b2=__(a+b)2__;x2+5x+6=__(x+2)(x+3)__;3x2-14x+8=__(x-4)(3x-2)__.2.按要求解下列方程:(1)2x2+x=0(用配方法);(2)3x2+6x-24=0(用公式法).解:(1)x 1=0,x 2=-12. (2)x 1=2,x 2=-4.3.对于一元二次方程,先将方程右边化为0,然后对方程左边进行因式分解,使方程化为两个一次式的乘积的形式,再使这两个一次式分别等于0,从而实现降次,这种解法叫做__因式分解法__.4.如果ab =0,那么a =0或b =0,这是因式分解法的根据.即:如果(x +1)(x -1)=0,那么x +1=0或 __x -1=0__,即x =-1或__x =1__.环节2 合作探究,解决问题 【活动1】 小组讨论(师生对学) 【例1】用因式分解法解下列方程: (1)x 2-3x -10=0; (2)5x 2-2x -14=x 2-2x +34;(3)3x (2x +1)=4x +2; (4)(x -4)2=(5-2x )2.【互动探索】(引发学生思考)用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是什么? 【解答】(1)因式分解,得(x +2)(x -5)=0. ∴x +2=0或x -5=0, ∴x 1=-2,x 2=5.(2)移项、合并同类项,得4x 2-1=0. 因式分解,得(2x +1)(2x -1)=0. ∴2x +1=0或2x -1=0, ∴x 1=-12,x 2=12.(3)原方程可变形为3x (2x +1)-2(2x +1)=0. 因式分解,得(2x +1)(3x -2)=0. ∴2x +1=0或3x -2=0, ∴x 1=-12,x 2=23.(4)移项,得(x -4)2-(5-2x )2=0. 因式分解,得(1-x )(3x -9)=0, ∴1-x =0或3x -9=0, ∴x 1=1,x 2=3.【互动总结】(学生总结,老师点评)用因式分解法解一元二次方程的步骤:(1)将一元二次方程化成一般形式,即方程右边为0;(2)将方程左边进行因式分解,将一元二次方程转化成两个一元一次方程;(3)对两个一元一次方程分别求解.【活动2】 巩固练习(学生独学) 1.解方程: (1)x 2-3x -10=0; (2)3x (x +2)=5(x +2); (3)(3x +1)2-5=0; (4)x 2-6x +9=(2-3x )2. 解:(1)x 1=5,x 2=-2. (2)x 1=-2,x 2=53.(3)x 1=-1+53,x 2=5-13.(4)x 1=-12,x 2=54.2.三角形两边的长是3和4,第三边的长是方程x 2-12x +35=0的根,求该三角形的周长.解:解x 2-12x +35=0,得x 1=5,x 2=7.∵3+4=7,∴x =5,故该三角形的周长=3+4+5=12. 【活动3】 拓展延伸(学生对学) 【例2】已知9a 2-4b 2=0,求代数式a b -b a -a 2+b 2ab的值. 【互动探索】(引发学生思考)a 、b 的值能求出来吗?a 、b 之间有怎样的关系?怎样将a 、b 的值与已知代数式联系起来.【解答】原式=a 2-b 2-a 2-b 2ab =-2ba .∵9a 2-4b 2=0, ∴(3a +2b )(3a -2b )=0, 即3a +2b =0或3a -2b =0, ∴a =-23b 或a =23b .当a =-23b 时,原式=-2b-23b =3;当a =23b 时,原式=-3.【互动总结】(学生总结,老师点评)要求a b -b a -a 2+b 2ab 的值,首先要对它进行化简,然后从已知条件入手,求出a 与b 的关系后代入,但也可以直接代入,因计算量比较大,容易发生错误.本题注意不要漏解.环节3课堂小结,当堂达标(学生总结,老师点评)用因式分解法解一元二次方程的一般步骤:先将方程一边化为两个一次因式相乘,另一边为0,再分别使各一次因式等于0.请完成本课时对应练习!*21.2.4一元二次方程的根与系数的关系(第4课时)一、基本目标【知识与技能】掌握一元二次方程的根与系数的关系.【过程与方法】利用求根公式得到一元二次方程的根,推导出根与系数的关系,体现了数学推理的严密性与严谨性.【情感态度与价值观】通过公式的引入,培养学生寻求简便方法的探索精神及创新意识,培养学生观察思考、归纳概括的能力.二、重难点目标【教学重点】理解一元二次方程的根与系数的关系.【教学难点】利用一元二次方程根与系数的关系解决问题.环节1自学提纲,生成问题【5 min阅读】阅读教材P15~P16的内容,完成下面练习.【3 min反馈】1.解下列方程,并填写表格:方程x1x2x1+x2x1·x2x2-2x=00220x2+3x-4=0-41-3-4x2-5x+6=0235 6(1)用语言描述你发现的规律:__一元二次方程的两根之和为一次项系数的相反数;两根之积为常数项__.(2)关于x的方程x2+px+q=0的两根为x1、x2,请用式子表示x1、x2与p、q的关系:__x1+x2=-p,x1x2=q__.2.解下列方程,并填写表格:(1)用语言描述你发现的规律:__两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数,两根之积为常数项与二次项系数之比__.(2)关于x 的方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两根为x 1、x 2,请用式子表示x 1、x 2与a 、b 、c 的关系:__x 1+x 2=-b a ,x 1x 2=ca__.3.求下列方程的两根之和与两根之积. (1)x 2-6x -15=0; (2)5x -1=4x 2; (3)x 2=4; (4)2x 2=3x .解:(1)x 1+x 2=6,x 1x 2=-15. (2)x 1+x 2=54,x 1x 2=14.(3)x 1+x 2=0,x 1x 2=-4. (4)x 1+x 2=32,x 1x 2=0.环节2 合作探究,解决问题 【活动1】 小组讨论(师生互学)【例1】x 1、x 2是方程2x 2-3x -5=0的两个根,不解方程,求下列代数式的值: (1)x 1+x 2 ; (2)1x 1+1x 2;(3)x 21+x 22; (4)x 21+3x 22-3x 2.【互动探索】(引发学生思考)根据一元二次方程的根与系数的关系可考虑将所求代数式转化为两根之和与两根之积的关系.【解答】(1)x 1+x 2=32,(2)∵x 1x 2=-52,∴1x 1+1x 2=x 1+x 2x 1x 2=-35.(3)x 21+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2=294. (4)x 21+3x 22-3x 2=(x 21 +x 22 ) +(2x 22 -3x 2 )=1214. 【互动总结】(学生总结,老师点评)解答这类问题一般先将求值式进行变形,使其含有两根的和与两根的积,再求出方程的两根的和与两根的积,整体代入即可求解.【活动2】 巩固练习(学生独学)1.不解方程,求下列方程的两根和与两根积. (1)x 2-5x -3=0; (2)9x +2=x 2; (3)6x 2-3x +2=0; (4)3x 2+x +1=0. 解:(1)x 1+x 2=5,x 1x 2=-3. (2)x 1+x 2=9,x 1x 2=-2. (3)方程无解. (4)方程无解.2.已知方程x 2-3x +m =0的一个根为1,求另一根及m 的值. 解:另一根为2,m =2.【教师点拨】本题有两种解法:一种是根据根的定义,将x =1代入方程先求m ,再求另一个根;另一种是利用根与系数的关系解答.3.若一元二次方程x 2+ax +2=0的两根满足:x 21 +x 22 =12,求a 的值.解:a =±4.【教师点拨】由x 21 + x 22 =(x 1+x 2)2-2x 1x 2=12,再整体代入方程的两根之和与两根之积得到答案.【活动3】 拓展延伸(学生对学)【例2】已知关于x 的方程x 2-(k +1)x +14k 2+1=0,且方程两实根的积为5,求k 的值.【互动探索】(引发学生思考)一元二次方程有根的条件是什么?一元二次方程两实根的积与什么有关?【解答】∵方程两实根的积为5,∴ ⎩⎨⎧Δ=[-(k +1)]2-4⎝⎛⎭⎫14k 2+1≥0,x 1x 2=14k 2+1=5,∴k ≥32,k =±4.故当k =4时,方程两实根的积为5.【互动总结】(学生总结,老师点评)根据一元二次方程两实根满足的条件,求待定字母的值,务必要注意方程有两实根的条件,即所求的值应满足Δ≥0.环节3 课堂小结,当堂达标 (学生总结,老师点评)一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两根x 1、x 2和系数的关系如下: x 1+x 2=-b a ,x 1x 2=ca.请完成本课时对应练习!。

人教版21章一元二次方程知识点总结

人教版21章一元二次方程知识点总结

21章一元二次方程知识点一、一元二次方程1、一元二次方程概念:等号两边是整式,含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程.注意:〔1〕一元二次方程必须是一个整式方程;〔2〕只含有一个未知数;〔3〕未知数的最高次数是2 ; 〔4〕二次项系数不能等于0 2、一元二次方程的一般形式:ax2 bx c 0〔a 0〕,它的特征是:等式左边是一个关于未知数x的二次三项式,等式右边是零,其中ax2叫做二次项,a叫做二次项系数;bx 叫做一次项,b叫做一次项系数;c叫做常数项.注意:〔1〕二次项、二次项系数、一次项、一次项系数,常数项都包括它前面的符号.〔2〕要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项,必须把它先化为一般形式.〔3〕形如ax2 bx c 0不一定是一元二次方程,当且仅当 a 0时是一元二次方程.二、一元二次方程的解使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解, 如:当x 2 . 2 2时,x 3x 2 0所以x 2是x 3x 2 0万程的解.一元二次方程的解也叫一元二次方程的根. 一元二次方程有两个根〔相等或不等〕三、一元二次方程的解法1、直接开平方法:直接开平方法理论依据:平方根的定义.利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法.根据平方根的定义可知,x a是b的平方根,当b 0日寸,x a Vb , x a屈,当b<0时,方程没有实数根.三种类型:(1) x2a a 0的解是x ja ;(2) x m 2n n 0的解是x 品 m ;(3) mx n 2c m 0,且 c 0 的解是x ————n. m2、配方法:配方法的理论根据是完全平方公式a2 2ab b2 (a b)2,把公式中的a看做未知数x,并用x代替,那么有x2 2bx b2 (x b)2.(一)用配方法解二次项系数为1的一元二次方程用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤:(1)把一元二次方程化成一般形式(2)在方程的左边加上一次项系数绝对值的一半的平方,再减去这个数;(3)把原方程变为x m2 n的形式.(4)假设n 0,用直接开平方法求出x的值,假设n<0,原方程无解.(二)用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程当一元二次方程的形式为ax2 bx c 0a 0,a 1时,用配方法解一元二次方程的步骤:(1)把一元二次方程化成一般形式(2) 先把常数项移到等号右边,再把二次项的系数化为1:方程的左、右两边同时除以二项的系数;(3)在方程的左、右两边加上一次项系数绝对值的一半的平方把原方程化为x m2 n的形式;(4)假设n 0,用直接开平方法或因式分解法解变形后的方程.3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法,它是解一元二次方程的一般方法.一i兀二次方程ax2 bx c 0〔a 0〕的求根公式: 2b b 4ac 2x ------------------------ 〔b 4ac 0〕2a用求根公式法解一元二次方程的步骤是:〔1〕把方程化为ax2 bx c 0 a 0的形式,确定的值a,b.c 〔注意符号〕;〔2〕求出b2 4ac的值;并判断方程根的情况;〔3 〕假设b2 4ac 0 ,那么把a,b,及b2 4ac的值代人求根公式b ' 4ac,求出x i,x2. 2a2x4、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段,求出方程的解的方法这种方法简单易行,是解一元二次方程最常用的方法.因式分解法的理论依据:如果两个因式的积等于0,那么这两个方程中至少有一个等于0,即假设pq=0时,那么p=0或q=0.用因式分解法解一元二次方程的一般步骤:〔1〕将方程的右边化为0 〔即化为一般式〕;〔2〕将方程左边分解成两个一次因式的乘积.〔3〕令每个因式分别为0,得两个一元一次方程.〔4〕解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解.关键点:〔1〕要将方程右边化为0 〔即化为一般式〕;〔2〕熟练掌握多项式因式分解的方法,常用方法有:提公式法,公式法〔平方差公式,完全平方公式〕、十字相乘法.注意:一元二次方程解法的选择,应遵循先特殊,再一般,即先考虑能否用直接开平方法或因式分解法, 不能用这两种特殊方法时,再选用公式法,没有特殊要求,一般不采用配方法,由于配方法解题比较麻烦.三、一元二次方程根的判别式一i兀二次方程ax2 bx c 0〔 a 0〕中,b2 4ac叫做一i元二次方程ax2 bx c 0〔a 0〕的根的判别式,通常用“ 〞来表示,即b2 4acI 当4>0时,一元二次方程有2个不相等的实数根;II 当4=0时,一元二次方程有2个相同的实数根;III 当△ <0时,一元二次方程没有实数根利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤:①把所有一元二次方程化为一般形式;②确定a,b.c的值;③计算b2 4ac的值;④根据b2 4ac的符号判定方程根的情况.根的判别式的逆用在方程ax2 bx c 0a 0中,(1)方程有两个不相等的实数根b2 4ac>0(2)方程有两个相等的实数根b2 4ac=0(3)方程没有实数根b2 4ac < 0注意:逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围, 但不能忽略二次项系数不为0这一条件.四、一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)如果方程ax2 bx c 0(a 0)的两个实数根是x1, x2 ,那么x i x2 b , x/2 -.a a也就是说,对于任何一个有实数根的一元二次方程, 两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数;两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.五、一元二次方程的应用知识点一列一元二次方程解应用题的一般步骤(1)审题,(2)设未知数,(3)列方程,(4)解方程,(5)检验,(6)作答.关键点:找出题中的等量关系.(1) “审〞指读懂题目、审清题意,明确和未知,以及它们之间的数量关系.这一步是解决问题的根底;(2) “设〞是指设元,设元分直接设元和间接设元,所谓直接设元就是问什么设什么,间接设元虽然所设未知数不是我们所要求的, 但由于对列方程有利,因此间接设元也十分重要.恰当灵活设元直接影响着列方程与解方程的难易;(3) “列〞是列方程,这是非常重要的步骤,列方程就是找出题目中的等量关系,再根据这个相等关系列出含有未知数的等式, 即方程.找出相等关系列方程是解决问题的关键;(4) “解〞就是求出所列方程的解;(5)检验应注意的是一元二次方程的解,有可能不符合题意,如线段的长度不能为负数,降低率不能大于100满等.因此,解出方程的根后,一定要进行检验.(6)作答知识点二用一元二次方程解与增长率(或降低率)有关的问题增长率问题的有关公式:增长数(增长了多少)=基数X增长率实际数(增长后的值)=基数+增长数增长率问题与降低率问题的数量关系及表示法:1, 假设基数为a,增长率X为,那么一次增长后的值为a 1 x , 两次增长后的值为al x2;2, 假设基数为a,降低率x为,那么一次降低后的值为al x , 两次降低后的值为al x2.两次增长后的总和等于基数+第一次降低后的值+第二次降低后的值知识点三用一元二次方程解与市场经济有关的问题与市场经济有关的问题:如:营销问题、水电问题、水利问题等.与利润相关的常用关系式有:(1)每件利润=销售价-本钱价;(2)利润率=(销售价一进货价)+进货价X 100%(3)销售额=售价X销售量知识点四数与数字的关系两位数=(十位数字)X10+个位数字三位数二(百位数字)X100+ (十位数字)X 10+个位数字连续的整数:设其中一数为x,另一数为x+1; (x-1 , x, x+1).连续的奇数:设其中一数为x,另一数为x+2; (x-2, x, x+2).连续的偶数:设其中一数为x,另一数为x+2; (x-2, x, x+2). 和一定的两数(和为a):设其中一数为x,另一数为a-x 差一定的两数(差为a):设其中一数为x,另一数为x+a 积一定的两数(积为a):设其中一数为x,另一数为a/x 商一定的两数(商为a):设其中一数为x,另一数为ax (x/a)知识点五传染问题:传染源:1个【每一轮1个可传染给x个】【前后轮患者数的比例为1: (1+x)】患者:第一轮后:共(1+x)个第二轮后:共1+ x + (1+x) x = (1+x) ? (1+x),即(1+x) 2个第三轮后:共(1+x) 2+ (1+x) 2? x = (1+x) 2? (1+x),即(1+x) 3个第n轮后:共(1+x) “个[注意:上面例举的是传染源为“ 1〞的情况得到的结论.假设传染源为a,那么第n轮后患者共为:a (1+X) n个]知识点六翻一番即表示为原量的2倍,翻两番即表示为原量的4倍.知识点七银行利率应用题〔含利滚利问题〕年利息=本金X 年利率〔年利率为 a%知识点八 几何类题:①等积变形,②动态几何问题,③梯子问题,④航海问题,⑤几何与图表信息,⑥探索存在问题,⑦平分几何图形 的周长与面积积问题,⑧利用图形探索规律最常见的如:求直角三角形的边.面积S 一定,两直角边和〔和为a 〕 一定:设其中一边为x,另一边为 a-x ,贝U l x 〔a-x 〕 =S 2面积S 一定,两直角边差〔差为a 〕 一定:设其中一边为x,另一边为 x+a 或〔X-a 〕贝U l x 〔x+a 〕 =$或1乂〔x-a 〕 =S 2 2 斜边c 一定,两直角边和〔和为a 〕 一定:设其中一边为x,另一边为 a-x ,那么 x 2+ 〔a-x 〕 2=c 2④斜边c 一定,两直角边差〔差为a 〕 一定:设其中一边为x,另一 边为 x+a 或 x-a 贝1J x 2+ 〔x+a 〕 2=c 2或 x 2+ 〔x-a 〕 2=c 2知识点九 赛制循环问题:【单循环比双循环少了一半】单循环:设参加的球队为x,那么全部比赛共1 [x 〔x-1 〕]场;双循环:设参加的球队为x,那么全部比赛共x 〔x-1 〕场;注:双循环公式X 〔X-1〕,单循环公式1X 〔X-1〕,其实也就可以理 2 解为单循环循环赛就是和每个对手比赛 1次〔对手数量=参赛队数量 -1〕,而每场比赛有2队参加,就得除以2.双循环比赛场次是单循存一年的本息和: 存两年的本息和: 存三年的本息和: 存n 年的本息和: 本金X 〔 1+年利率〕本金X 〔 1+年利率〕本金X 〔 1+年利率〕本金X 〔 1+年利率〕,即本金x ( 1+ a%) ,即本金x ( 1+a% ,即本金x ( 1+a% ,即本金x ( 1+a%环的2倍.类似于此题其它题型如:相互握手;铁路沿线有n个站点要设计多少种车票;一条线段上有n个点(含两个端点),①该线段上共有n (n-1)条有向线段,②该线段上共有:n (n-1)条线段、二次根式的相关概念1 .平方根:如果一个数的平方等于a,那么这个数就叫a的平方根,其中正的平方根而叫做a的算术平方根.2 .二次根式:形如a>0的式子叫做二次根式;3 .同类二次根式:二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,那么这几个二次根式称为同类二次根式.4 .最简二次根式:满足两个条件:①被开方数的因数是整数,因式是整式;②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.特别提示:二次根式,后有意义的条件是a>0 .二、二次根式的性质1. (1)三个非负性:①y>0(a>0);②册 2 a> 0(a> 0); 4a |a >0(a为任意实数).2.四个性质:_ 2① 4a a > 0(a > 0); =a (a>0)或-a(a <0)③ 7ab Va 而(a>0,b>0);④三、二次根式的运算:1 )二次根式的加减运算只需对同类二次根式进行合并;(2)二次根式的乘除法G x/b Vab(a > 0,b > 0) ^a^(a > 0,b>0)b特别提示:二次根式运算的结果应化为最简二次根式.。

人教版九年级上册数学第21章一元二次方程知识点复习总结

人教版九年级上册数学第21章一元二次方程知识点复习总结

一元二次方程知识点复习总结1. 一元二次方程的一般形式:a ≠0时,ax 2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式,研究一元二次方程的有关问题时,多数习题要先化为一般形式,目的是确定一般形式中的a 、 b 、c ;其中 a 、 b,、c 可能是具体数,也可能是含待定字母或特定式子的代数式.2. 一元二次方程的解法:一元二次方程的四种解法要求灵活运用,其中直接开平方法虽然简单,但是适用范围较小;公式法虽然适用范围大,但计算较繁,易发生计算错误;因式分解法适用范围较大,且计算简便,是首选方法;配方法使用较少.3. 一元二次方程根的判别式:当ax 2+bx+c=0 (a ≠0)时,Δ=b 2-4ac 叫一元二次方程根的判别式.请注意以下等价命题:Δ>0 <=> 有两个不等的实根;Δ=0 <=> 有两个相等的实根;Δ<0 <=> 无实根;Δ≥0 <=> 有两个实根(等或不等).4. 一元二次方程的根系关系:当ax 2+bx+c=0 (a ≠0) 时,如Δ≥0,有下列公式:.ac x x ab x x )2(a2ac4bbx )1(212122,1,;※ 5.当ax 2+bx+c=0 (a ≠0) 时,有以下等价命题:(以下等价关系要求会用公式acx x a bx x 2121,;Δ=b 2-4ac 分析,不要求背记) (1)两根互为相反数ab = 0且Δ≥0 b = 0且Δ≥0;(2)两根互为倒数a c =1且Δ≥0 a = c 且Δ≥0;(3)只有一个零根a c = 0且a b ≠0 c = 0且b ≠0;(4)有两个零根a c = 0且a b = 0c = 0且b=0;(5)至少有一个零根a c =0 c=0;(6)两根异号a c <0 a 、c 异号;(7)两根异号,正根绝对值大于负根绝对值a c <0且a b >0a 、c 异号且a 、b 异号;(8)两根异号,负根绝对值大于正根绝对值a c <0且a b <0a 、c 异号且a 、b 同号;(9)有两个正根a c >0,ab >0且Δ≥0 a 、c 同号, a 、b 异号且Δ≥0;(10)有两个负根ac >0,ab <0且Δ≥0 a 、c 同号, a 、b 同号且Δ≥0.6.求根法因式分解二次三项式公式:注意:当Δ< 0时,二次三项式在实数范围内不能分解.ax 2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) 或 ax 2+bx+c=a2ac4bb xa2ac4bb xa 22.7.求一元二次方程的公式:x 2-(x 1+x 2)x + x 1x 2 = 0.注意:所求出方程的系数应化为整数.8.平均增长率问题--------应用题的类型题之一(设增长率为x ):(1)第一年为 a , 第二年为a(1+x) , 第三年为a(1+x)2.(2)常利用以下相等关系列方程:第一年+第二年+第三年=总和.9.分式方程的解法:.0)1(),值(或原方程的每个分母验增根代入最简公分母公分母两边同乘最简去分母法.0.2分母,值验增根代入原方程每个换元凑元,设元,换元法)(10. 二元二次方程组的解法:.0)3(0)2(0)4(0)1(0)4(0)2(0)3(0)1(0)4)(3(0)2)(1()3(;02;1分组为应注意:的方程)()(中含有能分解为方程组)分解降次法(程中含有一个二元一次方方程组法)代入消元(※11.几个常见转化:;;或;;;)x x (x x 4)x x ()x x ()x x (x x 4)x x ()x x (x x 2)x1x(x1x2)x1x(x1xx x 4)x x ()x x (x x 2)x x (xx )1(2121221221212122122121222222212212212122122214x x .22x x 2x x .12x x )2(221212121)两边平方为(和分类为;.,)2(34x x 34x x )1()916x x (34x x )3(2121222121因为增加次数两边平方一般不用和分类为或;.0x ,0x :.1x x Bsin A cos ,1Acos Asin ,90BAB sin x ,A sin x )4(2122212221注意隐含条件可推出由公式时且如.0x ,0x :.x ,x ),,(,x ,x )5(212121注意隐含条件的关系式推导出含有公式等式面积例如几何定理,相似形系可利用图形中的相等关时若为几何图形中线段长.k ,)6(”辅助未知元“引入些线段的比,并且可把它们转化为某比例式、等积式等条件角三角形、三角函数、如题目中给出特殊的直.,;,)7(知数的关系但总可求出任何两个未般求不出未知数的值少一个时,一方程个数比未知数个数一般可求出未知数的值数时方程个数等于未知数个。

第21章 一元二次方程

第21章 一元二次方程

结合教材中的问题1、问题2,从实际问题出发列出方程【活动方略】教师演示,给出题目.请口答下面问题.(1)上面几个方程整理后含有几个未知数?(2)按照整式中的多项式的规定,它们最高次数是几次?(3)有等号吗?或与以前多项式一样只有式子?归纳:像这样的方程两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程,叫做一元二次方程.一般地,任何一个关于x的一元二次方程,•经过整理,•都能化成如下形式ax2+bx+c=0(a≠0).这种形式叫做一元二次方程的一般形式.一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0(a≠0)后,其中ax2是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项.8.关于x 的一元二次方程kx 2+2x -1=0有两个不相等的实数根,则k 的取值范围是( )A 、k>-1B 、k>1C 、k ≠0D 、k>-1且k ≠0 9.下列方程中有两个相等的实数根的是( ) A 、3x 2-x -1=0; B 、x 2-2x -1=0; C 、9x 2=4(3x -1);D 、x 2+7x +15=0.10.(m 2-n 2)(m 2-n 2-2)-8=0,则m 2-n 2的值是( ). A . 4或-2 B . -4或2 C . 4 D .-2三.简答题11.用公式法解方程(1)x 2+15x=-3x; (2)x 2+x-6=0; (3)3x 2-6x-2=0; (4)4x 2-6x=012.(8分)如图,是一个正方体的展开图,标注了字母A 的面是正方体的正面,如果正方体的左面与右面所标注代数式的值相等,求x 的值.13. (10分)已知等腰三角形的底边长为9,腰是方程210240x x -+=的一个根,求这个三角形的周长。

14.已知一元二次方程2-40x x k +=有两个不相等的实数根。

(1)求k 的取值范围;(2)如果k 是符合条件的最大整数,且一元二次方程2+-10x mx =与2-40x x k +=有一个相同的根,求此m 的值。

人教版初中数学第二十一章一元二次方程知识点

人教版初中数学第二十一章一元二次方程知识点

人教版初中数学第二十一章一元二次方程知识点-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN第二十一章 一元二次方程21.1一元二次方程1、一元二次方程:等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程。

形如:()200ax bx c a ++=≠ 例1.关于x 的方程(m -4)x2+(m+4)x+2m+3=0,当m__________时,是一元二次方程,当m__________时,是一元一次方程.【答案】≠4,=4【解析】试题分析:根据一元二次方程、一元一次方程的定义即可求得结果.由题意得当m≠4时,是一元二次方程,当m=4时,是一元一次方程.考点:一元二次方程,一元一次方程点评:熟练掌握各种方程的基本特征是学好数学的基础,很重要,但此类问题往往知识点比较独立,故在中考中不太常见,常以填空题、选择题形式出现,属于基础题,难度一般.例2.关于x 的方程(m2-m-2)x2+mx+n=0是一元二次方程的条件为___________.【答案】m ≠-1且m ≠2【解析】试题分析:一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0(a≠0),由a≠0即可得到m2-m-2≠0,从而得到结果。

由题意得m2-m-2≠0,解得m ≠-1且m ≠2.考点:本题考查的是一元二次方程成立的条件点评:解答本题的关键是掌握一元二次方程的一般形式:ax2+bx+c=0(a≠0),尤其注意a≠0.2、a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项3、使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解,一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根。

例1.一元二次方程3x2-6x+1=0中,二次项系数、一次项系数及常数项分别是 ( )A .3,-6,1B .3,6,1C .3x2,6x ,1D .3x2,-6x ,1【答案】A【解析】试题解析:3x2-6x+1=0的二次项系数是3,一次项系数是-6,常数项是1.故选A .考点:一元二次方程的一般形式.例2.若关于x 的方程0142=--x ax 是一元二次方程,则a 满足的条件是( )A .a >0B .0≠aC .0<aD .4≠a【答案】B【解析】试题分析:本题考查了一元二次方程的定义,注意:一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a b c 都是常数,且a ≠0).根据一元二次方程的定义得出a ≠0即可.考点:一元二次方程的定义.例3.请你写出一个有一根为1的一元二次方程____________________.【答案】(x+1)(x -1)=0(不唯一)【解析】试题分析:本题利用因式分解法,保证其中有一个解为x=1就可以.考点:一元二次方程的解.例4.关于x 的方程053)2(2=-+-x x m 是一元二次方程,则m 的取值范围是 .【答案】m ≠2.【解析】试题解析:由一元二次方程的定义可得m-2≠0,解得m ≠2.考点:一元二次方程的定义.例5.关于x 的方程221(1)50a a a xx --++-=是一元二次方程,则a=_________.【答案】3.【解析】试题分析:221(1)a a a x --+是方程二次项,即221210a a a ⎧--=⎨+≠⎩,解得:a=3.故答案为:3. 考点:一元二次方程的定义.21.2解一元二次方程21.2.1 配方法配方法:通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法。

人教版九年级初中数学上册第二十一章一元二次方程-解一元二次方程(配方法)PPT课件

人教版九年级初中数学上册第二十一章一元二次方程-解一元二次方程(配方法)PPT课件
2
B.x 2 6 x 8 0,x 2 6 x 9 8 9, x 3 1
2
2
2
2
7
7 7
7 7 97
C.2 x 7 x 6 0,x x 3, x 2 x 3 , x
第二十一章 一元二次方程
21.2.1 解一元二次方程
——配方法
人教版九年级(初中)数学上册
授课老师:XX
前 言
学习目标
1.理解配方法的概念,并运用配方法解一元二次方程。
2.掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤。
重点难点
重点:用配方法解一元二次方程。
难点:用配方法解一元二次方程的步骤。
新知探究
尝试写出解方程x2+6x+4=0的过程?
第二十一章 一元二次方程
课 程 结 束
人教版九年级(初中)数学上册
授课老师:XX
C.大于等于1
的值( C )
D.不大于1
【思路点拨】将二次三项式配方,然后根据平方大于等于0,求出最值。
【解题过程】 解:∵ 2 x 2 4 x 3
2 x 2 2 x 1 2 1 3
2 x 1 1。
2
2 x 1 0,
2
原式 1。
方”)
新知探究
通过配方法解一元二次方程的步骤
用配方法解一元二次方程
ax 2 bx c 0 a 0 的一般步骤:
(1)移项:将含有x的项移到方程的左边,常数项移到方程的右边;
(2)二次项系数化为1:两边同除以二次项的系数;
(3)配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方;

人教版九年级数学上册(RJ)第21章 一元二次方程 一元二次方程的根与系数的关系

人教版九年级数学上册(RJ)第21章 一元二次方程 一元二次方程的根与系数的关系

第二十一章一元二次方程21.2 解一元二次方程*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系学习目标:1.探索一元二次方程的根与系数的关系.2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题. 重点:探索一元二次方程的根与系数的关系.难点:不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.一、知识链接1.一元二次方程的求根公式是什么?2.如何用判别式b2-4ac来判断一元二次方程根的情况?算一算解下列方程并完成填空:(1)x2+3x-4=0; (2)x2-5x+6=0; (3)2x2+3x+1=0.想一想方程的两根x1,x2与系数a,b,c有什么关系?二、要点探究探究点1:探索一元二次方程的根与系数的关系猜一猜(1)一元二次方程 (x-x1)(x-x2) = 0 (x1,x2为已知数) 的两根是什么?若将此方程化为x2 + px + q = 0 的形式,你能看出 x1,x2与 p,q 之间的关系吗?(2)通过上表猜想,如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2,那么,你可以发现什么结论?证一证:x1 + x2= x1·x2=归纳总结:一元二次方程的根与系数的关系如果ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x 1、x2,那么12bx xa ,12cx xa.(前提条件是b2-4ac≥0).(1) x2–6x–15 = 0; (2) 3x2+7x-9 = 0; (3) 5x–1 = 4x2.归纳:在求两根之和、两根之积时,先把方程化为一般式,判别Δ≥0,如是则代入 a、b、c的值即可.例2 已知关于x的方程5x2+kx-6=0的一个根是2,求它的另一个根及k 的值.变式题已知关于的值.例3 不解方程,求方程2x2+3x-1=0的两根的平方和、倒数和.练一练设x1,x2为方程x2-4x+1=0的两个根,则:(1) 12x x , (2)12xx ,(3) 2212x x , (4)212()x x .归纳:求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入.常见的求值式子如下: 12111.x x +=22122.x x += 12213.=x x x x + 124.(1)(1)x x ++= 125.||=x x -例4 设x 1,x 2是方程 x 2-2(k -1)x + k 2 =0的两个实数根,且2212x x 4,求k 的值.方法总结:根据一元二次方程两实数根满足的条件,求待定字母的值时,务必要注意方程有两实数根的条件,即所求的字母代入方程中,方程应该满足Δ≥0 .2b x a,1c x a.2221212()2x x x x x 2221212)()4x x x x x122121x x x x x......1.如果-1是方程2x 2- = .2.已知一元二次方程x 2+px+q=0的两根分别为-2和1,则p = , q = .3.已知关于 的值.4.已知x 1,x 2是方程2x 2+2kx+k -1=0的两个根,且(x 1+1)(x 2+1)=4.(1)求k的值; (2)求(x1-x2)2的值.5.设x1,x2是方程3x2+4x-3 = 0的两个根.利用根系数之间的关系,求下列各式的值:(1) (x 1 + 1)(x2 + 1); (2)2112.x xx x拓展提升6. 当k为何值时,方程2x2-kx+1=0的两根之差为1.7.已知关于-2=0(1)若方程有实数根,求实数m的取值范围;(2)若方程两根x1,x2满足|x1-的值.242bb ac xa.时,方程有两个相12-132课堂探究二、要点探究探究点1:探索一元二次方程的根与系数的关系 猜一猜=b a,x 1x 2证一证:(注:b221242b b ac x x a +-+=2b b a -+--= 22b a -=.ba=- 1222b b x x a a•-+--⋅=()()22244b b ac a ---=244ac a=.ca =例1 解:(1) a=1 , b= – 6 , c= – 15. Δ = b 2– 4ac =( – 6 )2 – 4 × 1 ×(– 15) = 96 > 0. ∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是x 1,x 2,那么x 1 + x 2 = –( – 6 ) =6,x 1 x 2 = – 15 .(2)a = 3 , b =7, c = –9. Δ= b 2 - 4ac = 72 –4×3×(-9) =157 > 0,∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是x 1,x 2,那么x 1 + x 2 =73, x 1 x 2 =933.(3)方程可化为4x 2–5x +1 =0,a =4,b = – 5,c = 1.Δ = b 2- 4ac =(– 5)2 – 4×4×1=9>0.∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是x 1, x 2,那么x 1 + x 2 =5544,x 1 x 2 =1.4=6.5=3.5+ x 2=2+ 35=.5k 得k=答:方程的另一个根是3,5k=- 解:设方程的两个根分别是+ x 2=1+ x =5 .121231,.22x x x 222121122)2,x xx x x ∴22221212123113()22.224xxx x x x 121212131 3.22x x x x x练一练 (1)4 (2)1 (3)14 (4)12例4 解:由方程有两个实数根,得22221212()2x x x x x = 4(k 222x 4,得 2k +4 =4,解得k 1=0,k 2=4 . 当堂检测1.;-3. 2. 1 ; -2.1161.3c x a116.3x 12121,.2k x k x x 1()1 4.2kk 解得k = -7;4.-则222121212)()474(4)65.x x x x x12124, 1.3b c x x x aa)+1=441()1.33122221121221212()234.9x x x x x x x x x x x x 12121,.22kx x x 22121212()()4 1.x x x x x x 22141,3,2 3.222k k k7.解:(1)方程有实数根,所以Δ=b 2-4ac=(-2m)2-4·m·(m-2=4m 2-4m 2+8m=8m ≥0.∵m≠0,∴m 的取值范围为m >0. 121222,.m x x x m22121212()()4 1.x x x x x x 22241.m m解得m=8.经检验,解.。

九年级上册数学21章22章知识点

九年级上册数学21章22章知识点

九年级上册数学21章22章知识点第 21 章一元二次方程。

1. 一元二次方程的概念。

形如ax^2 + bx + c = 0(a≠0)的方程叫做一元二次方程,其中ax^2是二次项,a 是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项。

2. 一元二次方程的一般形式。

一般形式为ax^2 + bx + c = 0(a、b、c是常数,a≠0)3. 一元二次方程的解法。

- 直接开平方法:适用于形如(x + m)^2 = n(n≥0)的方程。

- 配方法:通过配方将方程化为完全平方式,再求解。

- 公式法:对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0(a≠0),其解为x = (-b ±√(b^2 - 4ac))/(2a),前提是b^2 - 4ac≥0。

- 因式分解法:将方程化为两个因式乘积等于 0 的形式,从而求解。

4. 一元二次方程根的判别式。

对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0(a≠0),Δ = b^2 - 4ac- 当Δ > 0时,方程有两个不相等的实数根;- 当Δ = 0时,方程有两个相等的实数根;- 当Δ < 0时,方程没有实数根。

5. 一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)若方程ax^2 + bx + c = 0(a≠0)的两根为x_1、x_2,则有x_1 + x_2 = -(b)/(a),x_1x_2 = (c)/(a)第 22 章二次函数。

1. 二次函数的概念。

形如y = ax^2 + bx + c(a、b、c是常数,a≠0)的函数叫做二次函数。

2. 二次函数的图象和性质。

- 图象是一条抛物线。

- 当a > 0时,抛物线开口向上,对称轴为x = -(b)/(2a),在对称轴左侧,y随x的增大而减小;在对称轴右侧,y随x的增大而增大。

- 当a < 0时,抛物线开口向下,对称轴为x = -(b)/(2a),在对称轴左侧,y随x的增大而增大;在对称轴右侧,y随x的增大而减小。

第21章 一元二次方程教案

第21章 一元二次方程教案

第二十一章一元二次方程课题课时1课时课型新授课学习目标1、理解一元二次方程的概念;2、知道一元二次方程的一般形式;会把一个一元二次方程化为一般形式;3、会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。

重点由实际问题列出一元二次方程和一元二次方程的概念。

判定一个数是否是方程的根;难点由实际问题列出一元二次方程。

准确理解一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数还有常数项。

考点一元二次方程的定义、一般式、系数。

导学流程【自主预习】------不议不讲(一)温故知新问题1如图,有一块长方形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各切去一个同样的正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2,那么铁皮各角应切去多大的正方形?分析:设切去的正方形的边长为x cm,则盒底的长为__________,宽为__________.得方程_____________________________整理得_____________________________ ②问题2 要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参赛?分析:全部比赛的场数为___________.设应邀请x个队参赛,每个队要与其他_________个队各赛1场,所以全部比赛共_________________场.列方程____________________________化简整理得________________________ ③(二)探索新知请回答下面问题:(1)方程①②中未知数的个数各是多少?(2)它们最高次数分别是几次?方程①②的共同特点是:这些方程的两边都是_________,只含有_______未知数(一元),并且未知数的最高次数是_____(二次)的方程.(三)、总结归纳1.一元二次方程:_____________________________________________.2.一元二次方程的一般形式:____________________________ .。

第二十一章 一元二次方程

第二十一章   一元二次方程

第二十一章 一元二次方程1.一元二次方程预习归纳1.等号两边都是整式,只含有一个 ,并且未知数的最高次数是 的方程,叫一元二次方程. 2.一元二次方程的解也叫做一元二次方程的 . 3.一元二次方程的一般形式是 .例题讲解【例】把方程(3x -2)(2x -3)=x 2-5化成一元二次方程的一般形式,并写出方程的二次项,一次项及常数项和二次项系数,一次项系数.基础训练1.下列方程是一元二次方程的是( )A .2110x x=++ B .2110x x=++ C .210xy -=D .220x xy y =-+ 2.方程()45x x -=化为一般形式为( ) A .2450x x =-+ B .2450x x =++ C .2450x x =-- D .2450x x =+- 3.方程23740x x =-+中二次项的系数,一次项的系数及常数项分别是( )A .3、7、4B .3、7、﹣4C .3、﹣7、4D .3、﹣7、﹣44.(2014菏泽)已知关于x 的一元二次方程x 2+ax +b =0有一个非零根-b ,则a -b 的值为( )A .1B .-1C .0D .-25.(2014哈尔滨)若x =-1是关于x 的一元二次方程x 2+3x +m +1=0的一个解,则m 的值为 . 6.把一元二次方程2(x 2+7)=x +2化成一般形式是 .7.下列数中-1,2,-3,-2,3是一元二次方程x 2-2x =3的根是 . 8.若方程x 2-2x +m =0的一个根是-1,求m 的值.9.(2013牡丹江)若关于x 的一元二次方程为ax 2+bx +5=0(a ≠0)的解是x =1,求2013-a -b 的值.中档题训练:10.将一元二次方程2514x x =-化成一般形式后,二次项系数和一次项系数分别为( ) A .5、-4 B .5、4 C .5x 2、4x D .5x 2、-4x 11.若0是一元二次方程22610x x m ++-=的一个根,则m 的取值为( ) A .1 B .-1 C .±1 D .以上都不是 12.已知关于x 的方程20x bx a =++有一个根是-a (a ≠0),则a -b 的值为( ) A .-1 B .0 C .1 D .2 13.若()1160m m xmx -+++2=是关于x 的一元二次方程,则m = .14.已知m 是方程x 2-x -2=0的一个根,求代数式4m 2-4m -2的值.15. 在一次同学聚会时,同学见面后每两人握一次手,共握手28次,求有多少同学参加了这次聚会?学习以下解答过程,并完成填空.解:设参加聚会的同学有x 人,每人共握手 次,握手的总次数用含x 的式子表示为 . 根据题意,可列出方程 . 整理,得 . 化为一般式,得 .二次项系数、一次项系数、常数项分别为 .综合训练题16.已知关于x 的方程(t 2—9)x 2+(t 十3)x -5=0.(1)当t 为何值时,此方程是一元一次方程?并求出此时方程的解.(2)当t 为何值时,此方程是一元二次方程?并写出这个方程的二次项系数、一次项系数及常数项.2.配方法——解一元二次方程(一)——直接开平方预习归纳1.若x 2=p (p ≥0),则x 1= ,x 2= .例题讲解【例】用直接开方法解方程.⑴9x 2=25 ⑵2x 2-98=0基础题训练1.16的平方根是( )A .4B .-4C .±4D .±8 2.方程x 2=9的解是( )A .x 1=x 2=3B .x 1=x 2=-3C .x 1=3,x 2=-3D .x =3 3.方程x 2=3的解是( )A .12x x ==B .12x x ==C .1x 2x =D .x =3 4.方程()210x -=的解是( )A .x 1=1,x 2=-1B .x 1=x 2=1C .x 1=x 2=-1D .x 1=1,x 2=-2 5.方程()219x -=的解是( )A .x 1=1,x 2=-3B .x 1=4,x 2=-4C .x 1=4,x 2=-2D .x =3 6.(2014济宁)若一元二次方程ax 2=b (ab >0)的两个根分别是m +l 与2m -4,则ba= . 7.用直接开方法解方程.⑴3(x -2)2=0 ⑵3(x -1)2=278.如果12x =是关于x 的方程22320x ax a -=+的根,求关于y 的方程23y a -=的解.中档题训练:9.(2013鞍山)已知b <0,关于x 的一元二次方程(x -1)2=6的根的情况是( ). A .有两个不相等的实数根 B .有两个相等的实数根 C .没有实数根 D .有两个实数根10.(2013丽水)一元二次方程(x +6)2=16可转化为两个一元一次方程,其中一个一元一次方程是x +6=4,则另一个一元一次方程是( ).A .x +6=-4B .x -6=4C .x +6=4D .x +6=-4 11.一元二次方程2+2990x x -=变形正确的是( )A .()2+1100x = B .()21100x =﹣ C .()2+2100x = D .()22100x -= 12.方程3x 2=2的根是___________. 13.解下列方程:⑴()22510x +-= ⑵()()11x x -+1=⑶()2531250x --= ⑷24415x x -+=综合题训练:14.已知x 、y 、z 满足2246130x x y y -=++,求关于m的方程2104m x y z -+-=的根.3.配方法——解一元二次方程(二)预习归纳1.通过配成 解一元二次方程的方法,叫配方法.例题讲解【例】用配方法解方程:⑴ x 2+2x -3=0 ⑵ x 2-2x -8=0基础题训练1.填空: (1) x 2-20x + = (x - )2(2) x 2+ x +81= (x + ) 2(3) x 2+5x + = (x + )22.用配方法解一元二次方程x 2-4x =1,配方后得到的方程是( )A .(x -2)2=1B .(x -2)2=4C .(x -2)2=5D .(x -2)2=3 3.(2013兰州)用配方法解方程x 2-2x -1=0时,配方后得到的方程为( ) A .(x +1)2=0 B .(x -1)2=0 C .(x +1)2=2 D .(x -1)2=2 4.(2014宁夏)一元二次方程x 2-2x -1=0的解是( )A .x1=x 2=1 B .x 1=1x 2=1-C .x1=1x 2=1D .x 1=1-x 2=1--5.用配方法解方程242203x x --=变形正确的是( ) A .21839x ⎛⎫- ⎪⎝⎭= B .2203x ⎛⎫- ⎪⎝⎭= C .211039x ⎛⎫ ⎪⎝⎭+= D .211039x ⎛⎫- ⎪⎝⎭= 6.填空:(1) x 2-4x + = (x - )2 (2) x 2+6x + = (x + )2(3) x 2-43x + = (x - ) 2 (4) x 2-3ax + = (x - ) 2 7.用配方法解下列方程:⑴2m2-6m+3=0 ⑵6x 2-x -12=0中档题训练:8.已知方程260x x q -=+可以配方成()27x p -=的形式,那么262x x q -=+可以配方成下列的( )A .()25x p -= B .()29x p -= C .()229x p -+= D .()225x p -+=9.关于x 的一元二次方程()211420m m xx =++++的解为( )A .x 1=1,x 2=-1B .x 1=x 2=1C . x 1=x 2=-1D .无解 10.添上适当的数,使下列等式成立:⑴22x x ++_____ =2(x + )2 ⑵2323x x -+2=(x +____)2-11.如果(x -y )2-2(x -y )+1=0,那么x 与y 的关系是 .12.用配方法解下列方程:⑴x 2-2x =5; ⑵2244y y -=13.已知实数x ,y 满足x 2+y 2+4x -6y +13=0,求y x 的值.综合题训练:14.试证明:不论x ,y 为何值,221x y x y -+++的值都为正数.专题配方法的应用一、配方法解方程⑴x2-3x-2=0⑵3x2-6x-1=0二、已知a2、b2配方求2ab.2.若代数式9x2+kx y+y2是完全平方式,则k的值为( )A.6B.±6C.±12D.12三、已知a2、2ab配方求b23.若代数式x2-5x+k是完全平方式,则k=.四、配方法求最值4.求多项式x2+3x-1的最小值.5.求多项式-2x2+5x+3的最大值.五、配方法比较大小6.求证:不论x为何值,多项式2x2-4x-1的值总比x2-6x-6的值大.六、配方法与非负数7.m2+n2+4m-2n+5=0,求3m2+5n2-4的值.82-+++=.求x-y+z的值.44410y x x4.公式法——解一元二次方程(一)——根的判别式预习归纳1.式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式,常用希腊字母“△”来表示.2.一元二次方程:ax2+bx+c=0,当____时,它有两个不等的实数根,当时,它有两个相等的实数根,当时,它无实数根.例题讲解【例】不解方程,判断下列一元二次方程的根的情况.(1) 3x2-2x-1=0; (2) 2x2-x+1=0.基础题训练1.(2013成都)一元二次方程x2+x-2=0的根的情况是( ).A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根2.方程x2+16=8x的根的情况为( ).A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根.C.有一个实数根D.没有实数根.3.(2014益阳)一元二次方程x2-2x+m=0总有实数根,则m应满足的条件是( ).A.m>1B.m=1C.m<1D.m≤14.(2014宁波)已知命题“关于x的一元二次方程x2+bx+1=0,当b<0时必有实数解”,能说明这个命题是假命题的一个反例可以是( ).A.b=-1B.b=2C.b=-2D.b=05.已知关于x的一元二次方程x2+kx+1=0有两个相等的实数根,则k=.6.(2014广东)关于x的一元二次方程x2-3x+m=0有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围为( ).A.m>94B.m<94C.m=94D.m<-947.不解方程,判断下列一元二次方程的根的情况.(1) 4x-x2=x2+2⑵3x-1=2x28.当m为何值时,方程2x2-(4m+1) x+2m2-1=0⑴有两个不相等的实数根?⑵有两个相等的实数根?⑶没有实数根?中档题训练:9.已知关于x的一元二次方程x2+bx+b=0有两个相等的实数根,则b的值是.10.已知关于x的一元二次方程(a-1)x2-2x+1=0有两个不相等的实数根,则a的取值范围是( ) A.a<2B.a>2C.a<2且a≠1D.a<-211.一元二次方程ax2+b x+c=0中a、c异号,则方程根的情况是( )A.有两个不相等实数根B.两个相等实数根C.没有实数根D.无法确定12.(2013潍坊)已知关于x的方程k x2+(1-k)x-1=0,下列说法正确的是( ).A.当k=0时,方程无解B.当k=1时,方程有一个实数解C.当k=-1时,方程有两个相等的实数解D.当k≠0时,方程总有两个不相等的实数解13.若关于x的一元二次方程mx2-(2m-2) x+m=0有实数根,则m的取值范围是.14.已知关于x的一元二次方程kx2-2x+1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围.15.已知关于x的一元二次方程(m-1)x2+x+1=0有实数根,求m的取值范围.综合题训练:16.已知关于x的一元二次方程(a+c) x2-2bx-a+c=0有两个相等的实数根,试求以a、b、c为边能否构成三角形?若能,请判断三角形的形状.专题 一元二次方程根的判别式一、已知常数系数直接判断方程根的情况1.不解方程直接判别下列方程根的情况.(1)2104x --= (2)3x 2-6x +3=0 (3) x (2x -4)=-5-8x 二、含字母系数时将△配方成a 2,-a 2,a 2+正数,-a 2-正数,来判断方程根的情况2.判别下列关于x 的一元二次方程的根的情况.(1)22125104x mx m -++= (2) x 2-4mx +4m 2= 0 (3) 211022x mx m -+-= (4) 21402x mx m -+-=三、“结合a ≠0”确定字母的取值范围3.关于x 的一元二次方程(a -5)x 2-4x -1=0有实数根,则a 满足( . A .a ≥1 B .a >1且a ≠5 C .a ≥1且a ≠5 D .a ≠54.当m 为何值时,关于x 的一元二次方程(m2-1)x 2+2(m-1)x +1=0,有两个不相等的实数根.四、判别式与隐含条件相结合5.已知关于x 的一元二次方程(1-k )x 2-2x -1=0有两个不相等的实数根,则k 的最大整数值是( ). A .2 B .1 C .0 D .-16.已知关于x 的一元二次方程kx 2-4kx +k -5=0有两个相等的实数根,求k 的值.7.(2013西宁)函数y=kx +b 的图象如图所示,试判断关于x 的方程x 2+x +k -1=0根的情况.5.公式法--解一元二次方程(二)预习归纳1.当△≥0时,一元二次方程20ax bx c ++=的求根公式是 .例题讲解【例】用公式法解方程:(1)2520x x -+=; (2)261x x =+基础题训练1.方程2230x x --=中,a = ,b = ,c = . 2.方程2515x x +=中的△=24b ac -= . 3.(2013.广西)一元二次方程2230x x --=的解是( ) A .121,3x x =-= B .121,3x x ==- C .121,3x x =-=- D .121,3x x == 4.方程210x x +-=的两根是( )A .1BC .1-D 5.方程232x x +=的正根是( )A B C D 6.用公式法解方程:(1)2230x x -=; (2)23650x x +-=(3)20.20.10.4x x -=; (4222x -=;(5)24352x x x --=-; (6)3(3)2(1)(1)x x x x -=-+;中档题训练7.(2014.荆门)已知a 是一元二次方程210x x --=较大的根,则下面对a 的估计正确的是( ) A .0<a <1 B .1<a <1.5 C .1.5<a <2 D .2<a <3 8.用适当方法解下列方程:(1)2(31)90x +-= (2)2410x x +-=(3)2324x x -= (4)2(2)12y y +=+9.已知一元二次方程2310x x m -+-=.(1)若方程有两个不相等的实数根,求实数m 的取值范围; (2)若方程有两个相等的实数根,求此方程的根.综合题训练10.(2013.北京)已知关于x 的一元二次方程22240x x k ++-=有两个不相等的实数根. (1)求k 的取值范围;(2)若k 为正整数,且该方程的根都是整数,求k 的值.6.因式分解法---解一元二次方程预习归纳1.用因式分解法要先将方程一边化为 ,另一边为0,再分别使各一次因式等于0.例题讲解【例】用因式分解法解下列方程:(1)20x x += (2)2940x -=基础题训练1.多项式25x x -因式分解结果为 .2.多项式2(3)5(3)x x x ---因式分解结果为 . 3.(2014.舟山)方程230x x -=的根为 .4.经计算整式x +1与x -4的积为234x x --,则2340x x --=的所有根为( ). A .121,4x x =-=- B .121,4x x =-= C .121,4x x == D .121,4x x ==- 5.(2013.河南)方程(2)(3)0x x -+=的解是( )A .x =2B .x =-3C .122,3x x ==-D .122,3x x =-= 6.(2013.宁夏)一元二次方程(2)2x x x -=-的根是( )A .-1B .2C .1和2D .-1和2 7.方程2520x x -=的根是( ) A .1225x x ==B .1225x x ==-C .1220,5x x ==D .1220,5x x ==- 8.用因式分解法解下列方程:(1)2(1)2(1)0x x ---= (2)2(31)40x --=(3)5(3)(3)(1)x x x x -=-+ (4)22(4)(52)0x x ---=中档题训练9. 若关于x 的一元二次方程的两根为121,2x x ==-,则这个方程可以是 .(任写一个即可) 10.a ,b ,c 为△ABC 的三边,且a ,b ,c 满足()()0a b b c --=,则△ABC 的形状是 角形. 11.三角形一边长为10,另两边长是方程(6)8(6)0x x x ---=的两实数根,则这是一个 三角形. 12.选择适当的方法解下列方程:(1)225x x -= (2)(2)(3)6x x -+=-(3)210x -= (4)3(21)42x x x +=+13.已知关于x 的一元二次方程240x x m ++=. (1)当m =1时,请用配方法求方程的根; (2)若方程没有实数根,求m 的取值范围.综合训练14.已知关于x 的一元二次方程210ax bx ++=中,1b m =+. (1)若a =4,求b 的值;(2)若方程210ax bx ++=有两个相等的实数根,求方程的根.专题 一元二次方程的解法一、一元二次方程和方程解的概念1.若方程||(2)310m m x mx ++-=是关于x 的一元二次方程,则m = . 2.已知x =1是一元二次方程210x mx -+=的一个解,则m 的值是( ) A .2 B . 0 C .0或2 D .-2二、用公式法解方程3.解方程:(1)210x x +-= (2)2310x x +-=三、用配方法解方程4.解方程:(1)(2)1x x += (2)25(3)125x -=四、用因式分解法解方程5.解方程:(1)(2)x x x -= (2)269x x -=-五、选择你喜欢的方法解方程6.解方程:(1)23(2)0x x +-= (2)(21)(3)4x x -+=(3)3(1)2(1)x x x -=- (4)22(21)(3)x x -=-专题 利用几何构建一元二次方程【方法归纳】:通过几何条件构建一元二次方程.一、利用面积构建一元二次方程1.如图,△ABC 中,∠C =90°,AC =6cm ,BC =8cm ,点P 从A 沿AC 边向C 点以1cm /s 的速度移动,在C 点停止,点Q 从C 点开始沿CB 边向点B 以2cm /s 的速度移动,在B 点停止. (1)如果点P 、Q 分别从A 、C 同时出发,经过几秒钟,使28QPC S cm ∆=?(2)如果点P 从点A 先出发2s ,点Q 再从点C 出发,经过几秒钟后24QPC S cm ∆=? (3)如果点P 、Q 分别从A 、C 同时出发,经过几秒后PQ =BQ ?二、利用勾股定理构建一元二次方程2.如图,在四边形ABCD 中,AB ∥CD ,∠A =90°,CD =2,AB =3,AD =7,点P 为线段AD 上一点,CP ⊥BP ,求DP 的长.PABCD3.如图,直角梯形AECD 中,AE ∥CD ,∠E =90°,AE =CE =12,M 为EC 上一点,若∠MAD =45°,DM =10,求EM 的长.AMEDC7.一元二次方程的根与系数的关系预习归纳1.一元二次方程20ax bx c ++=的两根1x 、2x 满足12x x += ,12x x = .例题讲解【例】若方程2310x x --=的两根为1x 、2x ,求1211x x +的值.基础题训练1.若1x 、2x 是一元二次方程2560x x -+=的两个根,则12x x +的值是( ) A .1 B .5 C .-5 D .62.(2014.昆明)已知1x 、2x 是一元二次方程2410x x -+=的两个根,则12x x ⋅等于( ) A .-4 B .-1 C .1 D .4 3.已知方程23570x x --=的两根为1x 、2x ,则下列各式中正确的是( ) A .125x x +=,127x x ⋅= B .125x x +=-,127x x ⋅=- C .1253x x +=,1273x x ⋅=- D .1253x x +=-,1273x x ⋅=- 4.(2014.攀枝花)若方程210x x +-=的两实根为α、β,那么下列说法不正确的是( )A .1αβ+=-B .1αβ=-C .223αβ+= D .111αβ+=-5.若0,-3是方程20x px q -+=的两个根,则αβ+= .6.(2013.雅安)已知1x 、2x 是一元二次方程220x x -=的两根,则12x x +的值是 .7.(2014.黄冈)若α、β是一元二次方程2260x x +-=的两根,则22αβ+=( ).A .-8B .3C .16D .40 8.若1x 、2x 是一元二次方程22310x x --=的两个根,求下列代数式的值.(1)12x x +; (2)12x x ⋅; (3)12123322x x x x ⋅++ ;(4)2211222x x x x ++; (5)1211x x + ; (6)2212x x +.中档题训练9.当m = 时,关于x 的方程222(4)0x m x --=的两根互为相反数.10.已知1x 、2x 是一元二次方程220x ax c +-=的两个实数根,则12122x x x x +-等于( ) A .2a c +B .2a c --C .2a c -+D .2a c - 11.一元二次方程2380x x m -+=的两根之比为3:1,则m 等于( ) A .4 B .-4 C .3 D .5 12.一元二次方程240x x c --=的一个根是2+c 的值.13.若1x 、2x 是一元二次方程的22310x x -++=两个根,求下列代数式的值. (1)212()x x - (2)2112x x x x +(3)12(2)(2)x x -- (4)12||x x -综合题训练14.若关于x 的一元二次方程2(1)40x m x m ++++=的两实数根的平方和为2,求m 的值.专题 一元二次方程的根与系数关系一、直接求两根之和与两根之积1.根据一元二次方程根与系数关系,求下列方程两个根1x 、2x 的和与积. (1)2320x x ++= (2)2550x x +-=(3)256x x x +=+ (4)27583x x -=-二、不解方程求对称式的值2.设1x 、2x 是一元二次方程22510x x --=的两根,求下列代数式的值.(1)221221x x x x + (2)2212123x x x x +-(3)2112x x x x + (4)12||x x -三、已知方程的一根求另一根及未知系数3.已知x =1是方程220x bx +-=的一个根,求方程的另一个根及b 的值.4.(2013.玉林)已知关于x 的方程20x x n ++=有两个实数根-2,m ,求m ,n 的值.四、已知方程的两根求新方程5.已知一元二次方程的两根为22,则该一元二次方程为 .五、与判别式结合求字母系数的值6.已知关于x 的一元二次方程2210mx x -+=. (1)若方程有两个实数根,求m 的范围;(2)若方程的两个实数根为1x 、2x ,且满足121212x x x x --=,求m 的值.7.已知关于x 的方程222(1)740x a x a a +-+--=的两根为1x 、2x ,且满足12123340x x x x --+=,求a 的值.六、与绝对值结合求字母系数的值8.已知关于x 的方程222(1)0x k x k +-+=有两个实数根1x 、2x . (1)求k 的取值范围;(2)若1212||1x x x x +=-,求k 的值.9.(2013.荆州)已知关于x 的方程2(31)2(1)0kx k x k --+-= (1)求证:无论k 为何实数,方程总有实数根;(2)若此方程有两个实数根1x 、2x ,且12||2x x -=,求k 的值.8.实际问题与一元二次方程(一)传播、循环、数字问题预习归纳1.有一个人患了流感,经过两轮传染后,共有100人患了流感,假设每轮传染中,平均一个人传染了几个人?例题讲解 【例】:九⑴班每个同学都能与全班同学交换小礼物一件,共计全班交换小礼物2550件,求九⑴班有多少个同学?基础题训练1.某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,若主干、支干和小分支的总数是73,设每个支干长小分支的个数为x ,则依题意可列为 . 2.要组织一次排球邀请赛,参赛的每个队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,设比赛组织者应邀请x 个对参赛,则x 满足的关系式为( ) A .28)1(21=+x x B .1(1)282x x -= C .(1)28x x += D .(1)28x x -= 3.两个连续奇偶数的积是323,那么这两个数是( )A .17,19B .-17,-19C .17,19或-17,-19D .17,-19 4.有一人患了流感,经过两轮传染后有64人患了流感. (1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人?(2)如果不及时控制,第三轮将又有多少人被传染?5.一个两位数等于它的个位数的平方,且个位数字比十位数字大3,求这个两位数为.中档题训练6.参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛,共要比赛90场,设共有x个队参加比赛,则依题意可列方程为_______________________.7.要参加一次篮球联赛,赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场),计划安排15场比赛,设共有x个队参加比赛,则依题意可列方程为_____________________.8.某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干,支干和是91,每个支干长出多少小分支?9.有一个人收到短信后,再用手机转发短消息,每人只转发一次,经过两轮转发后共有133人收到短消息,问每轮转发中平均一个人转发给几个人?综合题训练10.一个两位数,十位上的数字比个位上的数字的平方小2,如果把这个数的个位数字与十位数字交换,那么所得到的两位数比原来的数小36,求原来的两位数.9.实际问题与一元二次方程(二)增长率与利润问题归预习纳1.某厂今年一月的总产量为500吨,三月的总产量为720吨,平均每月增长率是x ,根据题意,可列方程________________.例题讲解【例】.2011年某新建小区一月份的新房均价为每平方米10000元,三月份此新房均价降为每平方米8100元,求二、三月份此新房均价的平均月下降率.基础题训练1.某药品经过两次降价,每瓶零售价由100元降为81元。

第二十一章21.1一元二次方程

第二十一章21.1一元二次方程

答案 2 易错警示 根据一元二次方程的定义求未知字母的值是常考题型.当二 次项系数中含有未知字母时,如果忽视隐含条件a≠0,也许就会导致解 题错误.如本题中,如果忽视这个条件,就会得出m有两个值,扩大m的取 值范围.
21.1 一元二次方程
栏目索引
知识点一 一元二次方程的定义及一般形式
1.(2019江西九江柴桑月考)下列方程属于一元二次方程的是 ( )
解析
① 3
x2-x= 5
1
符合一元二次方程的定义;②x= x 不是整式方程,故
不是一元二次方程;③由x(x-3)Байду номын сангаас(x-2)(x+2)化简得到-3x=-4,是一元一次方
程;④由(2x-1)(x+3)=2x-1化简得到2x2+3x-2=0,符合一元二次方程的定
义;⑤ax2+bx+c(a、b、c为常数,且a≠0)不是方程.综上所述,是关于x的一
定义
等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程,叫做一 元二次方程
一般形式 一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0),其中ax2是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b 是一次项系数;c是常数项
知识拓展 (1)构成一元二次方程的三个条件:①是整式方程;②只含有一个未知数;③未知数的最高次数是 2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程.(2)这里所说的整式是关于未知数的整 式,在有些含有字母系数的方程中,尽管分母中含有字母,但只要分母中不含未知数,这样的方程 仍是整式方程
正确理解题 目的含义
找出其中的数量 关系和等量关系
列出一元 二次方程
栏目索引

人教版数学九年级上册第二十一章《一元二次方程》简介

人教版数学九年级上册第二十一章《一元二次方程》简介

第二十一章“一元二次方程”简介课程教材研究所章建跃一元二次方程是刻画数量关系的重要数学模型。

一元二次方程的解法和实际应用是初中阶段的核心内容。

前面已经学习了一元一次方程、二元一次方程组以及分式方程等,本章学习一元二次方程的解法,讨论与方程的根有关的几个基本问题(判别式与方程的根、根与系数的关系等),在此基础上学习利用一元二次方程模型解决简单的实际问题。

本章的学习将为后续的勾股定理、二次函数等打下学习基础,在学生的“四基”、“四能”的发展,特别是在运算能力、推理能力、模型思想和应用意识的培养上可以发挥较大作用。

本章教学时间约需13课时,具体分配如下(仅供参考):21.1 一元二次方程1课时21.2 解一元二次方程 7课时21.3 实际问题与一元二次方程 3课时数学活动小结2课时一、教科书内容和本章学习目标1.本章知识结构现实生活中,许多问题中的数量关系可以抽象为一元二次方程。

因此,从深化数学模型思想、加强应用意识的角度看,从实际问题中抽象出数量关系,列出一元二次方程,求出它的根进而解决实际问题,是本章学习的一条主线。

学生已经学习一元一次方程的解法和实际应用,知道可以利用运算律、等式的基本性质,通过去括号、移项、合并同类项等求出它的解。

学生还学过二元一次方程组以及三元一次方程组的解法和实际应用,知道可以通过消元,将它们转化为一元一次方程。

从数学知识的内部发展看,二元、三元一次方程组可以看成是对一元一次方程在“元”上的推广。

自然地,如果在次数上做推广,首先就是一元二次方程。

类比二(三)元一次方程组的解法,可以想到:能否将一元二次方程转化为一元一次方程?如何转化?因此,利用什么方法将“二次”降为“一次”,这是本章学习的另一条主线。

与一元一次方程、二元一次方程组的解法相比,一元二次方程的解法涉及更多的知识,可以根据方程的具体特点,选择相关的知识和方法,对方程进行求解。

这是培养学生的思维品质,特别是思维的敏捷性、灵活性、深刻性的机会。

人教版九年级数学上册知识点总结:第二十一章一元二次方程

人教版九年级数学上册知识点总结:第二十一章一元二次方程

人教版九年级数学上册知识点总结第二十一章一元二次方程21.1 一元二次方程知识点一一元二次方程的定义等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程,叫做一元二次方程。

注意一下几点:①只含有一个未知数;②未知数的最高次数是2;③是整式方程。

知识点二一元二次方程的一般形式一般形式:ax2 + bx + c = 0(a ≠0).其中,ax2是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项。

知识点三一元二次方程的根使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解,也叫做一元二次方程的根。

方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。

典型例题:1、已知关于x的方程()x21m-+(m-3)-1=0是一元二次方程,求m的值。

21.2 降次——解一元二次方程21.2.1 配方法知识点一直接开平方法解一元二次方程(1)如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方,另一边是非负数,可以直接开平方。

一般地,对于形如x2=a(a≥0)的方程,根据平方根的定义可解得x1=a,x2=a-.(2)直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程,如果p≥0,就可以利用直接开平方法。

(3)用直接开平方法求一元二次方程的根,要正确运用平方根的性质,即正数的平方根有两个,它们互为相反数;零的平方根是零;负数没有平方根。

(4)直接开平方法解一元二次方程的步骤是:①移项;②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1;③两边直接开平方,使原方程变为两个一元二次方程;④解一元一次方程,求出原方程的根。

知识点二配方法解一元二次方程通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法,叫做配方法,配方的目的是降次,把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。

配方法的一般步骤可以总结为:一移、二除、三配、四开。

(1)把常数项移到等号的右边;(2)方程两边都除以二次项系数;(3)方程两边都加上一次项系数一半的平方,把左边配成完全平方式;(4)若等号右边为非负数,直接开平方求出方程的解。

九年级上册数学第二十一章-一元二次方程教案

九年级上册数学第二十一章-一元二次方程教案

第二十一章 一元二次方程21.1 一元二次方程1.通过类比一元一次方程,了解一元二次方程的概念及一般式ax 2+bx +c =0(a≠0),分清二次项及其系数、一次项及其系数与常数项等概念.2.了解一元二次方程的解的概念,会检验一个数是不是一元二次方程的解.重点]通过类比一元一次方程,了解一元二次方程的概念及一般式ax 2+bx +c =0(a≠0)和一元二次方程的解等概念,并能用这些概念解决简单问题.难点一元二次方程及其二次项系数、一次项系数和常数项的识别.活动1 复习旧知1.什么是方程你能举一个方程的例子吗2.下列哪些方程是一元一次方程并给出一元一次方程的概念和一般形式. (1)2x -1 (2)mx +n =0 (3)1x +1=0 (4)x 2=1·3.下列哪个实数是方程2x -1=3的解并给出方程的解的概念. A .0 B .1 C .2 D .3 活动2 探究新知 根据题意列方程.1.教材第2页 问题1. 提出问题:(1)正方形的大小由什么量决定本题应该设哪个量为未知数(2)本题中有什么数量关系能利用这个数量关系列方程吗怎么列方程^(3)这个方程能整理为比较简单的形式吗请说出整理之后的方程. 2.教材第2页 问题2. 提出问题:(1)本题中有哪些量由这些量可以得到什么(2)比赛队伍的数量与比赛的场次有什么关系如果有5个队参赛,每个队比赛几场一共有20场比赛吗如果不是20场比赛,那么究竟比赛多少场(3)如果有x 个队参赛,一共比赛多少场呢3.一个数比另一个数大3,且两个数之积为0,求这两个数. 提出问题: <本题需要设两个未知数吗如果可以设一个未知数,那么方程应该怎么列 4.一个正方形的面积的2倍等于25,这个正方形的边长是多少 活动3 归纳概念 提出问题:(1)上述方程与一元一次方程有什么相同点和不同点(2)类比一元一次方程,我们可以给这一类方程取一个什么名字 (3)归纳一元二次方程的概念.1.一元二次方程:只含有________个未知数,并且未知数的最高次数是________,这样的________方程,叫做一元二次方程. 】2.一元二次方程的一般形式是ax 2+bx +c =0(a≠0),其中ax 2是二次项,a 是二次项系数;bx 是一次项,b 是一次项系数;c 是常数项.提出问题:(1)一元二次方程的一般形式有什么特点等号的左、右分别是什么 (2)为什么要限制a≠0,b ,c 可以为0吗(3)2x 2-x +1=0的一次项系数是1吗为什么3.一元二次方程的解(根):使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解(根).活动4 例题与练习例1 在下列方程中,属于一元二次方程的是________. ,(1)4x 2=81;(2)2x 2-1=3y ;(3)1x 2+1x =2;(4)2x 2-2x(x +7)=0.总结:判断一个方程是否是一元二次方程的依据:(1)整式方程;(2)只含有一个未知数;(3)含有未知数的项的最高次数是2.注意有些方程化简前含有二次项,但是化简后二次项系数为0,这样的方程不是一元二次方程.例2 教材第3页 例题.例3 以-2为根的一元二次方程是( ) A .x 2+2x -1=0 B .x 2-x -2=0 C .x 2+x +2=0 D .x 2+x -2=0总结:判断一个数是否为方程的解,可以将这个数代入方程,判断方程左、右两边的值是否相等. ;练习:1.若(a -1)x 2+3ax -1=0是关于x 的一元二次方程,那么a 的取值范围是________. 2.将下列一元二次方程化为一般形式,并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项.(1)4x 2=81;(2)(3x -2)(x +1)=8x -3. 3.教材第4页 练习第2题.4.若-4是关于x 的一元二次方程2x 2+7x -k =0的一个根,则k 的值为________. 答案:≠1;2.略;3.略;=4. 活动5 课堂小结与作业布置 >课堂小结我们学习了一元二次方程的哪些知识一元二次方程的一般形式是什么一般形式中有什么限制你能解一元二次方程吗作业布置教材第4页 习题第1~7题. 解一元二次方程21. 配方法(3课时) 第1课时 直接开平方法:理解一元二次方程“降次”——转化的数学思想,并能应用它解决一些具体问题.提出问题,列出缺一次项的一元二次方程ax 2+c =0,根据平方根的意义解出这个方程,然后知识迁移到解a(ex +f)2+c =0型的一元二次方程.重点运用开平方法解形如(x +m)2=n(n≥0)的方程,领会降次——转化的数学思想. 难点通过根据平方根的意义解形如x 2=n 的方程,将知识迁移到根据平方根的意义解形如(x +m)2=n(n≥0)的方程.。

人教版数学九年级上册第21章 一元二次方程知识点汇总

人教版数学九年级上册第21章 一元二次方程知识点汇总

人教版数学九年级上册第21章 一元二次方程知识点汇总1. 一元二次方程的定义及一般形式:(1) 等号两边都是整式, 只含有一个未知数(一元) , 并且未知数的最高次数式2(二次)的方程,叫做一元二次方程。

2. 一元二次方程的解法(1)直接开平方法:形如 (x+a )²=b(b≥0) 的方程可以用直接开平方法解, 两边直接开平方得 x +a =√b 或者 x +a =−√b,∴x =−a ±√b 。

注意:若b<0, 方程无解(2) 因式分解法:一般步骤如下:①将方程右边得各项移到方程左边, 使方程右边为0:②将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式;③令每个因式分别为零, 得到两个一元一次方程;④解这两个一元一次方程, 他们的解就是原方程的解。

(3) 配方法:用配方法解一元二次方程 ax²+bx+c=0(a≠0) 的一般步骤①二次项系数化为1:方程两边都除以二次项系数;④用直接开平方法解变形后的方程。

注意: 当n<0时, 方程无解(4) 公式法:一元二次方程 ax²+bx+c=0(a≠0) 根的判别式: △=b²-4ac△>0⇔方程有两个不相等的实根: x =−b±√b 2−4ac 2a (b 2−4ac ≥0)f (x )的图像与x 轴有两个交点 (2) 一元二次方程的一般形式:ax²+bx+c=0(a≠0)。

其中a 为二次项系数,b 为一次项系数,c 为常数项。

注意:三个要点,①只含有一个未知数;②所含未知数的最高次数是2;③是整式方程。

②移项:使方程左边为二次项与一次项,右边为常数项;③配方:方程两边都加上一次项系数一般的平方,把方程化为(x+m)²=n(n≥0)的形式;。

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一元二次方程辅导教案
学生姓名性别年级学科
授课教师上课时间年月日第()次课
共()次课
课时:课时
科组长签名教学主任签名
教学课题九年级数学第一章一元二次方程
一、知识框架
1.1一元二次方程
1.一元二次方程的概念:
通过化简后,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程,叫做一元二次方程.
2.一元二次方程的一般形式:
一般地,任何一个关于x的一元二次方程,都能化成形如,这种形式叫做一元二次方程的一般形式.其中是二次项,是二次项系数;bx是一次项,b 是一次项系数;c是常数项.
3.一元二次方程的解:
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解,也叫做一元二次方程的根.
4.一元二次方程根的重要结论
(1)若a+b+c=0,则一元二次方程必有一根x=1;反之也成立,即若
x=1是一元二次方程的一个根,则a+b+c=0.
(2)若a-b+c=0,则一元二次方程必有一根x=-1;反之也成立,即若
x=-1是一元二次方程的一个根,则a-b+c=0.
(3)若一元二次方程有一个根x=0,则c=0;反之也成立,若c=0,
则一元二次方程必有一根为0.
1.2一元二次方程的解法
1.直接开方法解一元二次方程:
(1)直接开方法解一元二次方程:
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.
(2)直接开平方法的理论依据:
平方根的定义.
(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类:
①形如关于x的一元二次方程,可直接开平方求解.
若,则;表示为,有两个不等实数根;
若,则x=O;表示为,有两个相等的实数根;
若,则方程无实数根.
②形如关于x的一元二次方程,可直接开平方求解,两根是
.
2.配方法解一元二次方程:
(1)配方法解一元二次方程:
将一元二次方程配成的形式,再利用直接开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫配方法.
(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式:.
(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤:
①把原方程化为的形式;
②将常数项移到方程的右边;方程两边同时除以二次项的系数,将二次项系数化为1;
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方;
④再把方程左边配成一个完全平方式,右边化为一个常数;
⑤若方程右边是非负数,则两边直接开平方,求出方程的解;若右边是一个负数,则判定此方程无实数解.
3.公式法解一元二次方程
一元二次方程,当时,.
一元二次方程根的判别式:.
①当时,原方程有两个不等的实数根;
②当时,原方程有两个相等的实数根;
③当时,原方程没有实数根.
用公式法解关于x的一元二次方程的步骤:
①把一元二次方程化为一般形式;
②确定a、b、c的值(要注意符号);
③求出的值;
④若,则利用公式求出原方程的解;
若,则原方程无实根.
4.因式分解法解一元二次方程
用因式分解法解一元二次方程的步骤
(1)将方程右边化为0;
(2)将方程左边分解为两个一次式的积;
(3)令这两个一次式分别为0,得到两个一元一次方程;
(4)解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解.
常用的因式分解法
提取公因式法,公式法(平方差公式、完全平方公式),十字相乘法等.
基础上增长或降低两次.
(1)增长率问题:
平均增长率公式为(1)n
a x b
+=
(2)降低率问题:
平均降低率公式为(1)n
a x b
-=
3.利息问题
(1)概念:
本金:顾客存入银行的钱叫本金.
利息:银行付给顾客的酬金叫利息.
本息和:本金和利息的和叫本息和.
期数:存入银行的时间叫期数.
利率:每个期数内的利息与本金的比叫利率.
(2)公式:
利息=本金×利率×期数
利息税=利息×税率
本金×(1+利率×期数)=本息和
本金×[1+利率×期数×(1-税率)]=本息和(收利息税时)
4.利润(销售)问题
利润(销售)问题中常用的等量关系:
利润=售价-进价(成本)
总利润=每件的利润×总件数
5.形积问题
此类问题属于几何图形的应用问题,解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形,根据图形的面积或体积公式,找出未知量与已知量的内在关系并列出方程.
二、重点和难点 一元二次方程
1. 一元二次方程的概念:
通过化简后,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程,叫做一元二次方程. 2. 一元二次方程的一般式:
3.一元二次方程的解:
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解,也叫做一元二次方程的根.
一元二次方程的解法 1.基本思想
一元二次方程−−−
→降次
一元一次方程 2.基本解法
直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法. 3. 注意事项
解一元二次方程时,根据方程特点,灵活选择解题方法,先考虑能否用直接开平方法和因式分解法,再考虑用公式法.
一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 1.一元二次方程根的判别式
一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中,ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式,通常用“∆”来表示,即ac b 42-=∆ (1)当△>0时,一元二次方程有2个不相等的实数根; (2)当△=0时,一元二次方程有2个相等的实数根; (3)当△<0时,一元二次方程没有实数根. 2.一元二次方程的根与系数的关系
类型二、一元二次方程的解法
例2.用适当的方法解一元二次方程
(1) 0.5x2-=0;(2) (x+a)2=;
(3) 2x2-4x-1=0;(4) (1-)x2=(1+)x.
【答案与解析】
(1)原方程可化为0.5x2=
∴x2=
用直接开平方法,得方程的根为
∴x1=,x2=-.
(2)原方程可化为x2+2ax+a2=4x2+2ax+
∴x2=a2
用直接开平方法,得原方程的根为
∴x1=a,x2=-a.
(3) a=2,b=-4,c=-1
b2-4ac=(-4)2-4×2×(-1)=24>0
x=
∴x1=,x2=.
(4)将方程整理,得(1-)x2-(1+)x=0
用因式分解法,得x[(1-)x-(1+)]=0
∴ x1=0,x2=-3-2.
类型三、一元二次方程根的判别式的应用
例3.已知关于x 的一元二次方程(a ﹣l )x 2﹣2x +l =0有两个不相等的实数根,则a 的取值范围是( ) A 、a <2 B 、a >2 C 、a <2且a ≠l D 、a <﹣2
【答案】C ;
【解析】△=4﹣4(a ﹣1)=8﹣4a >0 得:a <2. 又a ﹣1≠0 ∴a <2且a ≠1. 故选C .
【总结升华】本题考查的是一元二次方程根的判别式,根据方程有两不等的实数根,得到判别式大于零,求出a 的取值范围,同时方程是一元二次方程,二次项系数不为零.
类型四、一元二次方程的根与系数的关系
例4.已知x 1、x 2是关于x 的方程2220x x t -++=的两个不相等的实数根,
(1)求t 的取值范围; (2)设22
12s x x =+,求s 关于t 的函数关系式.
【答案与解析】
(1)因为一元二次方程有两个不相等的实数根.所以△=(-2)2-4(t+2)>0,即t <-1. (2)由一元二次方程根与系数的关系知:122x x +=,1
22x x t =+,
从而22
12
s x x =+21212()2x x x x =+-222(2)2t t =-+=-,即2(1)s t t =-<-. 【总结升华】利用根与系数关系求函数解析式综合题.
类型五、一元二次方程的应用
例5.如图所示,在长为10cm ,宽为8cm 的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形,使得留下的图形(图中阴影部分)面积是原矩形面积的80%,求所截去的小正方形的边长.
【答案与解析】
11。

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