数列求和的七种基本方法

数列求和的七种基本方法

甘志国部分内容(已发表于数理天地(高中)，2014(11) : 14-15)

数列求和是数列问题中的基本题型，但具有复杂多变、综合性强、解法灵活等特点，本文将通过例题(这些例题涵盖了2014年高考卷中的数列求和大题)简单介绍数列求和的七种基本方法.

1运用公式法

很多数列的前n项和S n的求法，就是套等差、等比数列S n的公式，因此以下常用公式

应当熟记:

L 1

123n n(n

2

1) 135L(2n1) n2 1222L2n1 2n1

111

L 11

1

22232n2

还要记住一些正整数的幕和公式：

2 2 2 2 1

1 2 3 n n(n 1)( 2n 1)

6

小3 小3 3 1 2 “八2

1 2 3 n n (n 1)

4

例1已知数列｛a n｝的前n项和S n32n n2，求数列｛a n｝的前n项和T n.

(1) 所以

2

由S n 32n n ,可得a n

16 时,T n=S n

17时，

T n

T n

求S n 1

33 2n, a n 0 16，所以:

32n

a1

(a1

S]6

2S16

2

n

32

n

2

n

a2

a2

(S n

S n

32n

n2

32n

2 (n 1)

a n

a®

S6)

512

512

3 (n 2)

(ai7 a18 a n)

(n

(n

1,2,L

17,且n N )

,16)

k(n 1 k) k(n 1) k2，本题即求数列｛a/的前n项和.解设a k

S n (12 3 n)(n 1) (12

22 32 n 2)

1

1

n(n 1) (n 1) n(n 1)(2n 1) 2 6 1

：n(n 1)(n 2) 6

答案：S n n 2.

答案：S n n 3n .

(1)

求 a n ； ⑵设b h log 3a n ，求数列｛bj 的前n 项和S n .

答案：

（1）

2

n 1

n n

a n 3

； (2) S n

2

. 咼考题4 （2014年高考重庆卷文科第 16题）已知a n 是首项为1,公差为2的等差数

列，S n 表示a n 的前n 项和.

(1)求 a n 及 S n ；

2

（2）设b n 是首项为2的等比数列，公比 q 满足q @4 1）q S 4 0，求b n 的通 项公式及其前n 项和T n .

答案：（1） a n 2n 1,S n n 2

； （2） b n 22n1

,T n 2

（4n 1）.

3

2倒序相加法

事实上，等差数列的前 n 项和S n 的公式推导方法就是倒序相加法

•

例3 求正整数 m 与n （m n ）之间的分母为3的所有既约分数的和 S . 解显然，这些既约分数为：

1 2

4 4 2 1 m ,m ,m , ,n ,n ,n 3

3 3 3 3

3

高考题1 （2014年高考浙江卷文科第

19题（部分））求数列2n 1的前n 项和S n .

高考题2 （2014年高考四川卷理科第

19题（部分））求数列2n 4的前n 项和S n .

咼考题3

（2014年咼考福建卷文科第 17题）在等比数列｛a n ｝中，a 2 3,a 5 81.

3裂项相消法

a 1 10

， a 2为整数，且5 S 4. (1)求｛a n ｝的通项公式；

有

1

2

4

4

2

S (m 3

)

(m 3)

(m

3 (n

3)

(n

(n

也有

S (n

2

(n

才

4

(n

3)

4

(m 3)

(m 1) (m

所以

2S (m

n) 2(n m) 2(n 2 2

m ),S 2

n

m

2

例4设f (x)

4x 4x

，求

和

2

1

2002

2 f

3 L f 2001

2002 2002 2002

解可先证得f (x)

f(1 x) 1，由此结论用倒序相加法可求得答案为

2001 2 例5若｛a n ｝是各项均不为0的等差数列,

1 1

1

n

求证：

a 〔a 2 a ?a 3

a n a n 1

a 1a n 1

证明 设等差数列 ｛a n ｝的公差为d :

1 1

和―

a 〔 a ? a ? a 3

a n a n 1

1 1 1 1 1 1 1

— (- ) (- ) ( d a 1 a 2 a 2 a 3 a n a n

1 1 1

1 nd

n

d a 1

a n 1

d

a 1 a n 1

a 1 a n 1

1 T T 1

2 1

2

L

1

—2(n

N 且n 2)

1 2

3

n

证明

1

1

2

1

-2

n

1 (n 1) n

高考题5

(2014年高考全国大纲卷理科第

18题)等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，已知

要证结论显然成立; 0,得

若 d

1 1

1

证明

-)

1 a n

a n 1

a n a n 1