垂直平分线的性质与判定
垂直平分线的性质与判定教案
教学目标：1. 理解垂直平分线的定义及其性质。
2. 学会如何判定一条线段垂直平分线。
3. 能够运用垂直平分线的性质解决实际问题。
教学重点：1. 垂直平分线的定义及其性质。
2. 判定一条线段垂直平分线的方法。
教学难点：1. 理解和运用垂直平分线的性质。
2. 判定一条线段垂直平分线的方法。
教学准备：1. 教学课件或黑板。
2. 尺子、圆规、直尺等绘图工具。
教学过程：第一章：垂直平分线的定义1.1 引入：通过展示一些线段垂直平分线段的例子，引导学生思考垂直平分线的特点。
1.2 讲解：垂直平分线是指一条直线，它垂直于线段所在的平面，并且将线段平分成两个相等的部分。
1.3 练习：让学生自己画出一些线段的垂直平分线，并验证其是否满足垂直平分线的定义。
2.1 引入：通过展示一些垂直平分线的性质，引导学生思考垂直平分线的特点。
2.2.1 垂直平分线垂直于线段所在的平面。
2.2.2 垂直平分线将线段平分成两个相等的部分。
2.2.3 垂直平分线上的任意一点到线段的两个端点的距离相等。
2.3 练习：让学生运用垂直平分线的性质解决一些实际问题。
第三章：判定一条线段的垂直平分线3.1 引入：通过展示一些线段的垂直平分线，引导学生思考如何判定一条线段的垂直平分线。
3.2 讲解：判定一条线段的垂直平分线的方法如下：3.2.1 作线段的两个端点的垂直平分线，它们相交于点P。
3.2.2 点P到线段的两个端点的距离相等。
3.2.3 点P所在的直线就是线段的垂直平分线。
3.3 练习：让学生自己判定一些线段的垂直平分线，并验证其是否满足判定方法。
第四章：垂直平分线的应用4.1 引入：通过展示一些垂直平分线的应用，引导学生思考垂直平分线的作用。
4.2 讲解：垂直平分线在几何和实际生活中有广泛的应用，例如：4.2.1 在几何中，垂直平分线可以用来证明线段相等、平行等问题。
4.2.2 在实际生活中，垂直平分线可以用来解决一些测量和建筑问题，例如确定线段的中点、测量角度等。
13.1.2线段垂直平分线的性质和判定
？
)
∴AB,BC,AC的垂直平分线相交于点P.
你能依据例1得到什么结论？ 结论： 三角形三边垂直平分线交于一点， 这一点到三角形三个顶点的距离相等。
线段的垂直平分线
一、性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端 点的距离相等。 二、判定：到线段两个端点距离相等的点，在这条 线段的垂直平分线上。
点P在线段 AB的垂直 平分线上
E
线段垂直平分线的性质：
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端 点的距离相等。
∵点P在线段AB的垂直平分线上
∴ PA=PB 反过来，如果PA =PB，那么点P 是否在线段AB 的 垂直平分线上呢？
逆命题
到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的 垂直平分线上。
P
成立吗？
A
C
B
继续探究，证明判定
证明：“到线段两个端点距离相等的点，在这条 线段的垂直平分线上。”
线段的垂直平分线
教学目标：
1.理解线段垂直平分线的性质和判定． 2.能运用线段垂直平分线的性质和判定
解决实际问题．
复习回顾：
什么是线段的垂直平分线？
经过线段中点并且垂直于这条线段
的直线，叫做这条线段的垂直平分线.
探究1：线段的垂直平分线的性质
动手操作：作线段AB的垂直平分线l ， 垂足为C；在l上任取一点P，连结PA、PB；
l
量一量：PA、PB的长，你能发现什么？
PA=PB P1A=P1B
P
……
由此你能得出什么结论？
线段垂直平分线上的点到这 条线段两个端点的距离相等。A 你能用验证这一结论吗？
P1 B
C
验证猜想，证明性质
证明：“线段垂直平分线上的点到这条线段 两个端点的距离相等。”
时线段的垂直平分线的性质与判定课件
学习垂直平分线的注意事项
理解定义
要深入理解垂直平分线的定义，掌握其几何意义 和性质。
掌握性质
要牢记垂直平分线的性质，并能够灵活运用。
培养能力
要通过练习培养自己的分析问题和解决问题的能力。
如何更好地掌握垂直平分线的知识
垂直平分线的定理
定理1
如果一条直线是线段AB的垂直平 分线，那么这条直线上的任意一 点到A和B的距离相等。
定理2
如果一条直线不是线段AB的垂直 平分线，那么这条直线上任意一 点到A和B的距离之差与到AB的距 离相等。
02 线段垂直平分线 的画法
利用尺规作图
确定线段中点
首先确定线段的中点，标记为C。
垂直平分线的数学表示
假设线段AB，点C是AB的中点，那么 AC和BC的垂直平分线就是直线CB。
垂直平分线的性质
性质1
垂直平分线上的任意一点到线段 两端点的距离相等。
性质2
线段两端点关于其垂直平分线对称。
性质3
垂直平分线是线段最短的路径。即 在给定两点A和B的情况下，AC和 BC的垂直平分线是A和B之以线段的中点 C为起点，绘制直线。
确定垂直平分线
以中点C为圆心，以线段长度为 半径，画一个圆。与第一步绘制 的直线相交于两点A和B。连接这 两点，得到的直线即为线段的垂
直平分线。
利用计算机软件作图
选择绘图软件 绘制线段
选择一个具有绘图功能的计算机软件，如Microsoft Visio、 AutoCAD等。
在物理学中的应用
力学
在物理学中，垂直平分线被广泛应用于力学中。例如，在研究物体的运动时，垂 直平分线可以用于确定物体的重心和转动惯量。
垂直平分线性质与判定应用
几何语言:如图，∵⊥AB，AC＝BC，点P在上，∴PA＝PB
例题讲解
如图，在△ 中，的垂直平分线分别交、于、两点，＝4，
△ 的周长是25，则△ 的周长为（ ）
. 13
. 15
. 17
. 19
解题方法
根据线段垂直平分线性质得出＝，＝＝4，求出＝8， +
上，作∠ = 90°，且 = ，过点作//，且 = ，
联结，CE．
（1）求证： ⊥ ；
（2）如果 = ，求证：点在线段的垂直平分线上
课堂小结
课堂大总结
垂直平分线性质：
垂直平分线判定：
帮助每一个孩子成就最好的自己！
∴∠ = ∠ = 70°，
∵是的垂直平分线，
∴ = ，
∴∠ = ∠ = 40°，
∴∠ = ∠ − ∠ = 30°
应用练习
如图，在△ 中，∠ = 90°，垂直平分，平分∠，
则∠ =
. 30°
. 35°
. 45°
. 60°
∠ = ∠
=
∴△ ≅△ ，
∴ = ，
∴点在线段的垂直平分线上．
应用练习
已知，如图， = ， = ， ⊥ 于点， ⊥ 于点，
（1）求证： = ．
（2）连接，求证：线段垂直平分线段．
应用练习
如图，已知在△ 中，∠ = 90°， = ，点在边
垂直平分线性质与判定
√
√
思维导图
课程目标
掌握并能运用垂直平分线性质求边长以及角度
掌握并能运用垂直平分线判定进行证明
能灵活应用判定和性质解决综合题
知识讲解
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.
八年级数学上册《线段的垂直平分线的性质和判定定理》教案、教学设计
2.加强直观演示，利用教具、多媒体等教学手段，帮助学生形象地理解线段垂直平分线的性质和判定定理。
3.引导学生主动参与课堂，鼓励学生提问、发表见解，培养学生的自主学习能力和思考习惯。
4.拓展课堂练习，设计具有梯度、挑战性的习题，使学生在解决问题的过程中，巩固所学知识，提高综合运用能力。
（二）过程与方法
1.通过实际操作、观察和分析，引导学生发现线段垂直平分线的性质和判定定理。
-教师可以组织学生进行小组讨论、合作探究，通过观察线段垂直平分线的实例，引导学生发现性质和判定定理。
-学生在自主探究过程中，培养观察、分析、总结的能力。
2.运用数形结合的方法，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
5.练习巩固，拓展提高。
-设计形式多样的练习题，包括基础题、提高题和拓展题，以满足不同层次学生的学习需求。
-通过练习，让学生在巩固知识的同时，提高解决问题的能力，拓展思维深度和广度。
6.反馈评价，总结反思。
-教学结束后，组织学生进行自我评价和同伴评价，反思学习过程中的收获和不足。
-教师根据学生的反馈，进行教学反思，调整教学策略，以促进教学效果的提升。
-学生可以通过写学习心得、画思维导图等方式，对自己的学习进行梳理和总结。
6.预习任务：
-布置下一节课的预习任务，让学生提前了解下节课将要学习的内容，为课堂学习做好准备。
2.提高题：设置一些有一定难度的题目，让学生在小组内合作完成，培养学生的团队协作能力。
3.拓展题：设计一些富有挑战性的题目，激发学生的思维潜能，提高学生的创新能力。
（五）总结归纳
1.学生总结：教师引导学生回顾本节课所学内容，让学生用自己的话总结线段垂直平分线的性质和判定定理。
垂直平分线的判定和性质
垂直平分线的判定和性质
垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段，垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等。
判定方法：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线是线段的垂直平分线，到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
（即线段垂直平分线可以看成到线段两端点距离相等的点的集合）。
注意事项：
要证明一条线为一个线段的垂直平分线，应证明两个点到这条线段的距离相等且这两个点都在要求证的直线上才可以证明通常来说，垂直平分线会与全等三角形来使用。
在线段的中心找到这条线段的中点通过这个点做这条线段的垂线段，分别以线段的两个端点为圆心，以大于线段的二分之一长度为半径画弧线，得到两个交点(两交点交与线段的同侧)。
《线段的垂直平分线的性质与判定》案例
《线段的垂直平分线的性质与判定》案例教学目标：1、掌握线段垂直平分线的性质和判定。
2、理解线段垂直平分线的性质的推导过程。
3、培养学生逆向思维能力和严谨的学习品质。
重点与难点：重点：线段垂直平分线的性质与判定。
难点：理解线段垂直平分线的性质的推导过程。
教学过程：＜一＞创设情境线段AB的垂直平分线与线段AB的对称轴有什么关系？＜二＞探究新知1.直线I是线段AB的垂直平分线，P是I上一点，试观察PA.PB的长度有什么关系？2.不论P点在直线I上怎样移动，上述结论还成立吗？你能说一说理由说明：1、因为I是线段AB的直平分线，从而点A与点B关于直线I对称,于是沿I折叠时A与B重合，又P对称在对称轴I上，所以PA=PB.2、在探究新知问题2的过程要培养学生用运动的、变化观点来分析事物，让P 点在L上移动，在这个过程中采用让学生量一量，测一测，运用由“特殊”到“一般”的思维方法来实现这一教学目标。
3、通过上述分析，你能得出什么结论？由此得出：线段垂直平分线上任意一点到线段两端点的端点的距离相等。
阅读与分析反过来，和两点A，B的距离相等的点是否在线段的直平分线上？设P点和A，B两点的距离相等，作/ APB的平分线PC(由折叠得到)。
在关于直线PC的轴反射下，射线PB与PA重合，又由于PA= PB因此B点与A重合。
从而A, B两点关于直线PC对称，因此PC是线段AB的垂直平分线。
(1)你能根据上述短文画出几何图形？(2)通过上述的阅读与分析你得到什么结论？由此得出：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。
＜三〉应用新知1.尺规作图是把限定用直尺和圆规来画图F面是用尺规作图的方法作线段AB的垂直平分线的步骤。
(1)分别以点A和B为圆心，以大于1/2AB的长度为半径作弧，两弧相交于点C和Do(2)作直线CD直线CD就是线段AB的垂直平分线。
问题＜一＞:请根据上述步骤作出AB的垂直平分线。
问题＜二＞:你能说出上述作图的根据吗？理由：因为两点确定一条直线，所以要作出线段AB的垂直平分线，只要找出线段AB的垂直平分线上任意两点就可以了。
垂直平分线定义性质及判定
2、如图; NM是线段AB的中垂线
下列说法正确的有：①②③&
①AB⊥MN,②AD=DB， ③
MN⊥AB， ④MD=DN，⑤AB是
A
MN的垂直平分线
A
D
C
M
D
B
N
如图;若AC=12，BC=7，AB的垂直平分
线交AB于E，交AC于D，求△BCD的周长
A
& 解： ∵ED是线段AB的垂直平分线
在何处？你的方案是什么?
B
P30：7题
L
高速公路
7、如图;已知∠AOB和定点P、Q，求作：点M，使 PM=MQ，且点M到∠AOB两边的距离相等&
思考：生活中的数学
某区政府为了方便居民的生 活;计划在三个住宅小区A、B、 C之间修建一个购物中心，试问， 该购物中心应建于何处，才能 使得它到三个小区的距离相等&
l是AB的垂直平分线;观察P1A和
P3
P1B，P2A和P2B，P3A和P3B之
P2
间的关系？
P1
A
B
l
求证：
线段垂直平分l 线上的点到这条线段两端的距离相等
P
A C
能不能写出已知求证并 B 证明呢？
已知：直线m是线段AB的垂直平分线;
P为直线m上的任意一点；
m
P
求证：PA=PB.
证明：通过证明两个三角形全等．
与一条线段两个端点距离相 等的点;在这条线段的垂直平分 线上&
点P在线段 AB的垂直 平分线上
线段垂直平分线上的点 和这条线段两个端点的 距离相等（性质
点到线段两个 端点距离相等
PA=PB
P 与一条线段两个端点距离相 等的点;在这条线段的垂直平 分线上（判定
垂直平分线的性质与判定教案
垂直平分线的性质与判定教案第一章：垂直平分线的定义与性质1.1 垂直平分线的定义介绍线段垂直平分线的概念，即垂直平分线是线段所在的直线，且垂直平分线上的每一点到线段的两个端点的距离相等。
1.2 垂直平分线的性质性质1：线段的垂直平分线垂直于线段所在的直线。
性质2：线段的垂直平分线上的每一点到线段的两个端点的距离相等。
性质3：线段的垂直平分线段将线段平分成两个相等的部分。
第二章：垂直平分线的判定2.1 线段垂直平分线的判定条件判定1：如果一条直线垂直于线段所在的直线，并且通过线段的中点，这条直线是线段的垂直平分线。
判定2：如果一条直线上的每一点到线段的两个端点的距离相等，这条直线是线段的垂直平分线。
2.2 垂直平分线的判定方法方法1：使用直角三角形的性质，通过构造直角三角形来判断直线是否为垂直平分线。
方法2：使用尺规作图，通过作图来判断直线是否为垂直平分线。
第三章：垂直平分线与线段的关系3.1 垂直平分线与线段的交点介绍垂直平分线与线段的交点，即垂直平分线与线段相交的点，这个点到线段的两个端点的距离相等。
3.2 垂直平分线与线段的垂直关系介绍垂直平分线与线段的垂直关系，即垂直平分线与线段所在的直线垂直。
3.3 垂直平分线与线段的中点介绍垂直平分线与线段的中点的关系，即垂直平分线通过线段的中点，并且将线段平分成两个相等的部分。
第四章：垂直平分线的应用4.1 垂直平分线在几何作图中的应用介绍垂直平分线在几何作图中的应用，例如利用垂直平分线来作图求解几何问题。
4.2 垂直平分线在证明中的应用介绍垂直平分线在几何证明中的应用，例如利用垂直平分线的性质和判定来证明几何定理。
4.3 垂直平分线在实际问题中的应用介绍垂直平分线在实际问题中的应用，例如利用垂直平分线来解决生活中的问题。
第五章：总结与拓展5.1 垂直平分线的性质与判定的总结对垂直平分线的性质和判定进行总结，加深学生对垂直平分线的理解。
5.2 垂直平分线的拓展与应用介绍垂直平分线的拓展与应用，例如垂直平分线在平面几何中的重要作用，以及与垂直平分线相关的其他几何概念。
线段的垂直平分线的性质和判定公开课教案
线段的垂直平分线的性质和判定公开课教案第一章：引言1.1 课程导入利用多媒体展示线段的垂直平分线的实例，引导学生观察和思考。
提问：什么是线段的垂直平分线？它有什么特殊的性质和应用？1.2 学习目标让学生了解线段的垂直平分线的定义和性质。
培养学生运用线段的垂直平分线解决实际问题的能力。
第二章：线段的垂直平分线的性质2.1 性质1：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等通过实际例子，引导学生发现并证明线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。
2.2 性质2：垂直平分线与线段垂直通过几何画图软件展示垂直平分线与线段的垂直关系，引导学生理解和证明。
2.3 性质3：垂直平分线上的任意一点到线段的另一端点的距离等于线段的长度的一半通过实际例子，引导学生发现并证明垂直平分线上的任意一点到线段的另一端点的距离等于线段的长度的一半。
第三章：线段的垂直平分线的判定3.1 判定1：如果一条直线垂直平分一条线段，这条直线是该线段的垂直平分线通过实际例子，引导学生理解和证明判定1。
3.2 判定2：如果一条直线与一条线段垂直且通过线段的中点，这条直线是该线段的垂直平分线通过实际例子，引导学生理解和证明判定2。
第四章：线段的垂直平分线的应用4.1 应用1：线段的长度计算引导学生运用线段的垂直平分线的性质计算线段的长度。
4.2 应用2：线段的垂直平分线与线段的交点求解引导学生运用线段的垂直平分线的性质求解线段的垂直平分线与线段的交点。
第五章：总结与拓展5.1 总结让学生回顾本节课学习的线段的垂直平分线的性质和判定，巩固知识点。
5.2 拓展引导学生思考线段的垂直平分线在实际问题中的应用，提升学生的解决问题的能力。
第六章：例题解析6.1 例题1：已知线段AB，求其垂直平分线的方程引导学生利用性质1和性质2，通过给定的线段AB的两个端点坐标，求出其垂直平分线的方程。
6.2 例题2：已知线段AB的垂直平分线方程，求线段AB的中点坐标引导学生利用判定1和判定2，通过已知的线段AB的垂直平分线方程，求出线段AB的中点坐标。
垂直平分线的性质与判定教案
垂直平分线的性质与判定教案教学对象：八年级教学课时：2课时教学目标：1. 知识与技能：（1）掌握垂直平分线的定义及其性质；（2）学会运用垂直平分线判定线段垂直平分线的方法。
2. 过程与方法：（1）通过观察、分析、推理等过程，探索垂直平分线的性质；（2）运用性质证明和解决问题。
3. 情感态度价值观：培养学生的逻辑思维能力，提高学生对几何图形的认识和审美能力。
教学重点：垂直平分线的定义及其性质。
教学难点：垂直平分线的判定方法。
教学准备：几何画板、直尺、圆规、三角板等。
教学过程：第一课时一、导入（5分钟）1. 复习线段的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等。
2. 提问：线段的垂直平分线还有哪些性质？今天我们来学习垂直平分线的性质与判定。
二、探究垂直平分线的性质（15分钟）1. 学生分组讨论，观察垂直平分线上的点到线段两端点的距离是否相等。
3. 利用几何画板演示垂直平分线的性质，让学生加深理解。
三、课堂练习（10分钟）1. 学生独立完成练习题，巩固垂直平分线的性质。
2. 教师挑选部分学生进行讲解，检查掌握情况。
2. 教师强调垂直平分线性质的重要性，为下一节课的学习做准备。
第二课时一、导入（5分钟）1. 复习垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等。
2. 提问：如何判断一条线段是否是垂直平分线？二、探究垂直平分线的判定（15分钟）1. 学生分组讨论，尝试找出判定垂直平分线的方法。
3. 利用几何画板演示垂直平分线的判定过程，让学生加深理解。
三、课堂练习（10分钟）1. 学生独立完成练习题，巩固垂直平分线的判定。
2. 教师挑选部分学生进行讲解，检查掌握情况。
2. 教师强调垂直平分线判定方法的应用，鼓励学生在实际问题中运用所学知识。
教学反思：通过两节课的学习，学生掌握了垂直平分线的性质与判定，能够在实际问题中运用所学知识。
但在课堂练习中，部分学生对垂直平分线的判定方法掌握不够熟练，需要在今后的教学中加强练习和指导。
垂直平分线的性质与判定教案
垂直平分线的性质与判定教案第一章：垂直平分线的定义与性质1.1 导入：引入线段的垂直平分线的概念，让学生直观地了解垂直平分线的作用和意义。
1.2 教学内容：1.2.1 垂直平分线的定义：介绍线段的垂直平分线的定义，即垂直平分线是线段上一点到线段两端点的距离相等的直线。
1.2.2 垂直平分线的性质：引导学生探究垂直平分线的性质，如垂直平分线上的任意一点到线段两端点的距离相等，垂直平分线与线段垂直相交等。
1.3 教学活动：1.3.1 实例分析：让学生观察和分析一些实例，加深对垂直平分线概念的理解。
1.3.2 小组讨论：让学生分组讨论垂直平分线的性质，并找出相关的证据和证明方法。
1.4 作业布置：布置一些有关垂直平分线性质的练习题，巩固所学知识。
第二章：垂直平分线的判定2.1 教学内容：2.1.1 垂直平分线的判定方法：介绍垂直平分线的判定方法，即如果一条直线垂直平分一条线段，则该直线满足一定的条件。
2.1.2 判定条件的应用：引导学生理解和掌握判定条件，并能够运用到实际问题中。
2.2 教学活动：2.2.1 实例分析：让学生观察和分析一些实例，加深对垂直平分线判定方法的理解。
2.2.2 小组讨论：让学生分组讨论垂直平分线的判定条件的应用，并找出相关的证据和证明方法。
2.3 作业布置：布置一些有关垂直平分线判定的练习题，巩固所学知识。
第三章：垂直平分线的性质与判定综合应用3.1 教学内容：3.1.1 综合应用：引导学生将垂直平分线的性质与判定方法综合运用到实际问题中，解决一些与垂直平分线相关的问题。
3.1.2 问题解决：让学生尝试解决一些与垂直平分线相关的问题，如寻找线段的垂直平分线、判断直线是否为线段的垂直平分线等。
3.2 教学活动：3.2.1 实例分析：让学生观察和分析一些实例，理解综合应用的意义和方法。
3.2.2 小组讨论：让学生分组讨论如何综合运用垂直平分线的性质与判定方法解决实际问题，并找出相关的证据和证明方法。
第1课时 线段的垂直平分线的性质与判定
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的
距离相等. 思路分析：图中有两个直角三角形，△APC
和△BPC，只要证明这两个三角形全等，便可得
PA=PB.
写出已知，求 证.
已知：MN ⊥AB，垂足为点C，
AC=BC，点P是直线MN上任意一点.
求证：PA=PB.
探究新知
已知：MN ⊥AB，垂足为点C，AC=BC，点P
求证：P点在AB的垂直平分线上.
证法三 过P作∠APB的平分线.
在△APC和△BPC中
｛PA=PB ∠1= ∠2 △APC≌△BPC （SAS）
∴ AC=BC, ∠PCA=∠PCB (全等三角形对应边相等，
对应角相等）
又∵∠PCA+∠PCB=180° ∴ ∠PCA=∠PCB =90° ∴P点在AB的垂直平分线上.
小结： 线段垂直平分线上的点与
这条线段两个端点的距离相等.
探究新知
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的 距离相等.
思考：上述问题用数学语言可以如何表示？
如右图，设直线MN是线段AB的 垂直平分线，点C是垂足，点P是直 线MN上任意一点，连接PA，PB，我 们要证明的是PA=PB.
如何证明呢？
探究新知
已知：直线AB和AB外一点C. 求作：AB的垂线，使它经过点C.
作法演示：（超链接）
探究新知
思考:为什么直线CF 就是所求作的垂线？
证明：∵ CD=CE，DF=EF
∴C，F都在AB的垂直平分线上
（线段垂直平分线的判定）
∴CF就是线段AB的垂直平分线
（两点确定一条直线）
思考：我们除了用刻度尺找 线段的中点外，还有其他的 方法吗？
求证：P点在AB的垂直平分线上. 证法一 过点P作已知线段AB的垂线PC.
垂直平分线的定义和性质
垂直平分线的定义经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）（英文：perpen dicul ar bisect or）。
垂直平分线，简称“中垂线”，是初中几何学科中占有绝大部分的非常重要的一部分。
垂直平分线的性质1.垂直平分线垂直且平分其所在线段。
2.垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。
3.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心（circum cente r），并且这一点到三个顶点的距离相等。
垂直平分线的逆定理到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
如图：直线MN即为线段AB的垂直平分线。
注意：要证明一条线为一个线段的垂直平分线，应证明两个点到这条线段的距离相等且这两个点都在要求证的直线上才可以证明通常来说，垂直平分线会与全等三角形来使用。
垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。
巧计方法：点到线段两端距离相等。
可以通过全等三角形证明。
垂直平分线的尺规作法方法之一：（用圆规作图）1、在线段的中心找到这条线段的中点通过这个点做这条线段的垂线段。
2、分别以线段的两个端点为圆心，以大于线段的二分之一长度为半径画弧线。
得到一个交点(两交点交与线段的同侧)。
3、连接这两个交点。
原理：等腰三角形的高垂直等分底边。
方法之二：1、连接这两个交点。
原理：两点成一线。
等腰三角形的性质：1、三线合一( 等腰三角形底边上的高线、底边上的中线、顶角平分线相互重合。
)练习：（1）根据线段垂直平分线的性质解答即可；（2）依据角平分线的性质解答；（3）连接BD、CD，利用角平分线及线段垂直平分线的性质可求出B D=DH，DG=DC，依据HL定理可判断出R t△BDG≌Rt△CDH，根据全等三角形的性质即可得出结论．解答：解：（1）相等．∵D是线段BC垂直平分线上的一点，∴D点到B、C两点的距离相等；（2）相等．∵点D在∠BAC的角平分线上，∴D点到∠BAC两边的距离相等；（3）BG=CH．连接BD、CD，∵D是线段BC垂直平分线上的点，∴BD=DH，。
16线段的垂直平分线性质及判定
一、课题名称线段的垂直平分线性质及判定 二、学习目标1、掌握角线段的垂直平分线的性质及判定定理；2、能利用线段的垂直平分线的性质及判定解决问题。
三、教学过程 1、“顾”——知识回顾。
1、线段垂直平分线的性质（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.定理的数学表示：如图1，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若点C 在直线m 上，则AC ＝BC.定理的作用：证明两条线段相等 （2）线段关于它的垂直平分线对称. 2、线段垂直平分线性质定理的逆定理 （1）线段垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.定理的数学表示：如图2，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若AC ＝BC ，则点C 在直线m 上.定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上. 3、关于三角形三边垂直平分线的定理 （1）关于三角形三边垂直平分线的定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.定理的数学表示：如图3，若直线,,i j k 分别是△ABC 三边AB 、BC 、CA 的垂直平分线，则直线,,i j k 相交于一点O ，且OA ＝OB ＝OC.定理的作用：证明三角形内的线段相等.（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部.反之，三角形三边垂直平分线的交点在三角形内部，则该三角形是锐角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形的边上，则该三角形是直角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部，则该三角形是钝角三角形.m图1DABCm图2DABCj ik图3O B CA2、“析”——例题辨析。
垂直平分线的性质与判定教案
垂直平分线的性质与判定教案第一章：垂直平分线的定义与性质1.1 引入：通过实际问题，引导学生思考线段垂直平分线的概念。
1.2 垂直平分线的定义：介绍线段的垂直平分线的定义，即垂直于线段并且将线段平分的直线。
1.3 性质1：线段的垂直平分线垂直于线段。
1.4 性质2：线段的垂直平分线将线段平分，即线段的两个端点到垂直平分线的距离相等。
第二章：垂直平分线的判定2.1 引入：通过实际问题，引导学生思考如何判定一条直线是线段的垂直平分线。
2.2 判定1：若一条直线垂直于一条线段，并且将线段平分，则该直线是线段的垂直平分线。
2.3 判定2：若一条直线与一条线段相交，并且交点将线段平分，则该直线是线段的垂直平分线。
第三章：垂直平分线的应用3.1 引入：通过实际问题，引导学生思考垂直平分线在几何中的应用。
3.2 应用1：利用垂直平分线证明线段相等。
3.3 应用2：利用垂直平分线证明直角三角形。
3.4 应用3：利用垂直平分线解决线段比例问题。
第四章：垂直平分线的作图4.1 引入：通过实际问题，引导学生思考如何作一条线段的垂直平分线。
4.2 作图方法1：利用直尺和圆规作图。
4.3 作图方法2：利用直尺和圆规作图的变体。
4.4 作图方法3：利用尺规作图的其他方法。
第五章：垂直平分线的综合应用5.1 引入：通过实际问题，引导学生思考垂直平分线在不同情境下的应用。
5.2 综合应用1：在几何题目中综合运用垂直平分线的性质与判定。
5.3 综合应用2：解决实际问题中涉及垂直平分线的问题。
5.4 拓展思考：探讨垂直平分线在其他数学领域中的应用。
第六章：线段垂直平分线与圆的关系6.1 引入：通过实际问题，引导学生思考线段垂直平分线与圆的关系。
6.2 性质3：线段的垂直平分线上的任意一点到线段两端点的距离相等。
6.3 判定3：若一条直线上的任意一点到线段两端点的距离相等，则该直线是线段的垂直平分线。
6.4 应用4：利用线段垂直平分线性质解决与圆相关的问题。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
12.1.2轴对称—垂直平分线的性质与判定
一、知识回顾：
1．垂直平分线的定义：
经过线段并且这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线
二、探究新知：
2、已知：如下图，直线l垂直平分线段AB，垂足为c，点p是直线l任一点
求证：PA＝PB
证明：
线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离3．思考：反过来，如果PA＝PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上？
已知：如图，PA＝PB
求证：点P在线段AB的垂直平分线上（提示：做辅助线，构造全等三角形）证明：线段垂直平分线的判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的上。
练习
三、例题评析：
例1 如图，已知DE是AC的垂直平分线，AB=10cm，BC=11cm，求ΔABD的周长？
A
E 若AB=AC,则点A
在线段的
若直线ED是线段BC
的垂直平分线,则图
例2、三角形中，分别画出边AB ,BC的垂直平分线，若这两条垂直平分线交于点O，则点O是否在AC的垂直平分线上。
说明理由。
四、课堂练习：
1、△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，△ABD的周长为13cm，求△ABC的周长。
2、如图，AB=AC，MB=MC．直线AM是线段BC的垂直平分线吗？
五、课后作业：
1、如图所示，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修
建一个购物超，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（
）
A.在AC、BC两边高线的交点处
B.在AC、BC两边中线的交点处
C.在AC、BC两边垂直平分线的交点处
D.在A、B两内角平分线的交点处
C B
A
2．下列语句正确的有（）句
①关于一条直线对称的两个图形一定能重合；②两个能重合的图形一定关于某条直线对称；③两个图形关于某条直线对称，对称点一定在直线的两侧；④两个轴对称图形对应点连线的垂直平分线就是它的对称轴。
A、1句
B、2句
C、3句
D、4句
3．设A，B关于直线MN对称，则垂直平分。
4．如果O是线段AB的垂直平分线与AB的交点，那么= 。
5．设MN是线段AB的垂直平分线，当点P在MN上运动时，PA，PB的长度都随之变
化，但总保持。
6、如右图所示，△ABC中，BC＝10，边BC的垂直平分线分别交AB、BC于点E、D，BE＝6，求△BCE的周长。
7．如下图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，AB、AC、CE的长度有什么关系？AB+BD与DE有什么关系？六、应用与拓展：
1、如图，△ABC中，AB＝AC＝18cm，BC＝10cm，AB的垂直平分线ED交AC于D 点，求：△BCD的周长。