初中培优竞赛 第4讲 因式分解
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1. (1 、 2)
（数学、初中数学竞赛、因式分解、 选择题） ( )
若 m = 20062 +20062 × 20072 +20072 ，则 m A. 是 完 全 平 方 数 ， 还 是 奇 数 C. 不是完全平方数，但是奇数 B. 是 完 全 平 方 数 ， 还 是 偶 数 . D. 不是完全平方数，但是偶数
8.
(2 、 3) （数学、初中数学竞赛、因式分解、解答题）
3 1
证明n3 + 2 n2 + 2 n对于： (1) 任何自然数 n 都是整数； (2) 任何自然数 n 都是 3 的倍数. 分析：为了证明结论，我们先对原式进行因数分解，再观察即可解题. 证明： (1) 设 N = n3 + n2 +
分 析 ： 因为20062 的个位数字为偶数，20072 的个位数字为奇数，所以 m 为奇数， 原式 = 20062 − 2 × 2006 × 2007 + 20072 +20062 × 20072 + 2 × 2006 × 2007 + 1 − 1 = (2006 − 2007)2 + 2006 × 2007 + 1
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3. (2 、 3)
（数学、初中数学竞赛、因式分解、选择题）
满足等式 x y + y x − 2003x − 2003y + 2003xy = 2003的 正 整 数 对 ( x ， y ) 的 个 数是 A. 1 B.2 C.3 D.4 ( )
证明：原等式通过移项可化为 ( xy − 2003)( x + y + 2003) = 0， 又因为 x + y + 2003>0，故 xy − 2003 = 0, 所以 xy = 2003.又因为 2003 为质数，所 以必有 x=1 x = 2003 或 y = 2003 y = 1
2
−1
= (2006 × 2007 + 1)2 ，则 m 也是完全平方数. 答案：A 技巧：观察题意，用添项法组成完全平方公式解题.
2.
(1 、 2)
（数学、初中数学竞赛、因式分解、 选择题） ( )
若 M = 3x2 −8xy + 9y 2 − 4x + 6y + 13(x, y是实数 ） ，M 的 值 一 定 是 A.正 数 B.负 数 C.零 D.整 数
2 3 n 2
= =
n 2n2 + 3n + 1 2
n(n+1)(2n+1) 2
.因
因为 n， n+l 是连续自然数，必有一个是偶数，所以 N 一定是整数 . (2) 当n = 3k（k 是自然数）时，N 是 3 的倍数；当n = 3k + 1（k 是自然数）时， 2n + 1 = 3(2k + 1)，N 是 3 的倍数；当n = 3k + 2（k 是自然数）时， n + 1 = 3(k + 1)，N 是 3 倍 数. 综上所述，对任何自然数 n ， N 都是 3 的倍数 . 技巧：我们把原式因式分解，再分情况讨论，能很简便解题.
7.
(2 、 3) （数学、初中数学竞赛、因式分解、解答题）
若x 3 +3x2 − 3x + k 有一个因式是 x + 1, 求 k 的值 分析：因为x 3 +3x2 − 3x + k有一个因式是x + 1，那么我们分组分解，保证每一个组里都含 有因式x + 1. 详解： x 3 +3x2 − 3x + k = x 3 + x 2 +2x2 + 2x − 5x − 5 + 5 + k = x 2 x + 1 + 2x x + 1 = (x + 1)(x2 + 2x − 5) + (k + 5). 所 以 k = −5. 技巧：原式有一个因式，那么我们保证含有未知数的几组中都含有这个因式，得解.
9. (2 、 3) （数学、初中数学竞赛、因式分解、解答题） 如果 x 3 + α x 2 + bx + 8有两个因式 x+1 和 x + 2 ， 求 a + b 的 值 分析： 因为x + 1, x + 2是x 3 +ax2 + hx + 8的因式， 所以当x = −1和−2时， x 3 +ax 2 + bx + 8的 值为 0.代入解方程即可得解. 详解： 因为原式含有 x+1 和 x + 2 两个因式， 所以 x = −1和x = −2， 是x 3 + α x 2 + bx + 8=0 的两个解，即： −1 + a − b + 8 = 0 a=7 .解得 . b = 14 −8 + 4a − 2b + 8 = 0 所以a + b = 21. 答：a + b 的 值 为 2 1 . 技巧：如果原式中有已知的因式，那么当因式等于 0 时，那么原式也等于 0. 易错点：解方程要仔细认真，不要出错.
答案：B 技巧：此题我们可以先移项，再通过合并同类项从而因式分解，然后根据题意分析. 易错点：得到结果后，x、y 的结果可以互换，所以答案不能为 A.
4. (3 、 4)
（数学、初中数学竞赛、因式分解、 填空题） .
把(a + b + c + d)(b + c − a − d)(c + a − b − d)(a + b − c − d) + 16abcd 因 式 分 为 原式= （a + b）
5. (1)
（数学、初中数学竞赛、因式分解、 填空题） .
在实数范围内分解因式：x 4 +x 3 −3x2 − 4x − 4 = 详解：原式= x 2 x2 + x + 1 − 4 x2 + x + 1 = x2 − 4 x2 + x + 1 = x + 2 x − 2 x2 + x + 1 技巧：根据各项的系数，增补分组进行因式分解。
6.
(2 、 3) （数学、初中数学竞赛、因式分解、填空题） .
分解因式： 2x 2 −xy − 6y 2 + 7x + 7y + 3 = 分 析 ： 因 为 2x2 −xy − 6y 2 = (x − 2y)(2x + 3y)， 所 以 可 设
2x 2 −xy − 6y 2 + 7x + 7y + 3 = (x − 2y + a)(2x + 3y + b), a, b为待定系数， 因此有2a + b = 7,3a − 2b = 7, ab = 3. 解 得 a = 3, b = 1，所 以 原 式 = (x − 2y + 3)(2x + 3y + 1). 答案：2x2 −xy − 6y 2 + 7x + 7y + 3 = (x − 2y + 3)(2x + 3y + 1) 技巧：因式的连乘积与原式恒等，然后根据恒等原理，建立待定系数的方程组，最后 解方程组即可求出待定系数的值 .
分 析 ： 因 为 M = 3x 2 −8xy + 9y 2 − 4x + 6y + 13 = 2(x − 2y)2 + (x − 2)2 + (y + 3)2 ≥ 0, 因为 x − 2y, x − 2, y + 3这三个数不能同时为 0，所以 M > 0. 答案：A 技巧：用裂项法，把原式拆为 3 个完全平方式即可解题。
（数学、初中数学竞赛、因式分解、 选择题） ( )
若 m = 20062 +20062 × 20072 +20072 ，则 m A. 是 完 全 平 方 数 ， 还 是 奇 数 C. 不是完全平方数，但是奇数 B. 是 完 全 平 方 数 ， 还 是 偶 数 . D. 不是完全平方数，但是偶数
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(2 、 3) （数学、初中数学竞赛、因式分解、解答题）
3 1
证明n3 + 2 n2 + 2 n对于： (1) 任何自然数 n 都是整数； (2) 任何自然数 n 都是 3 的倍数. 分析：为了证明结论，我们先对原式进行因数分解，再观察即可解题. 证明： (1) 设 N = n3 + n2 +
分 析 ： 因为20062 的个位数字为偶数，20072 的个位数字为奇数，所以 m 为奇数， 原式 = 20062 − 2 × 2006 × 2007 + 20072 +20062 × 20072 + 2 × 2006 × 2007 + 1 − 1 = (2006 − 2007)2 + 2006 × 2007 + 1
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3. (2 、 3)
（数学、初中数学竞赛、因式分解、选择题）
满足等式 x y + y x − 2003x − 2003y + 2003xy = 2003的 正 整 数 对 ( x ， y ) 的 个 数是 A. 1 B.2 C.3 D.4 ( )
证明：原等式通过移项可化为 ( xy − 2003)( x + y + 2003) = 0， 又因为 x + y + 2003>0，故 xy − 2003 = 0, 所以 xy = 2003.又因为 2003 为质数，所 以必有 x=1 x = 2003 或 y = 2003 y = 1
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−1
= (2006 × 2007 + 1)2 ，则 m 也是完全平方数. 答案：A 技巧：观察题意，用添项法组成完全平方公式解题.
2.
(1 、 2)
（数学、初中数学竞赛、因式分解、 选择题） ( )
若 M = 3x2 −8xy + 9y 2 − 4x + 6y + 13(x, y是实数 ） ，M 的 值 一 定 是 A.正 数 B.负 数 C.零 D.整 数
2 3 n 2
= =
n 2n2 + 3n + 1 2
n(n+1)(2n+1) 2
.因
因为 n， n+l 是连续自然数，必有一个是偶数，所以 N 一定是整数 . (2) 当n = 3k（k 是自然数）时，N 是 3 的倍数；当n = 3k + 1（k 是自然数）时， 2n + 1 = 3(2k + 1)，N 是 3 的倍数；当n = 3k + 2（k 是自然数）时， n + 1 = 3(k + 1)，N 是 3 倍 数. 综上所述，对任何自然数 n ， N 都是 3 的倍数 . 技巧：我们把原式因式分解，再分情况讨论，能很简便解题.
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(2 、 3) （数学、初中数学竞赛、因式分解、解答题）
若x 3 +3x2 − 3x + k 有一个因式是 x + 1, 求 k 的值 分析：因为x 3 +3x2 − 3x + k有一个因式是x + 1，那么我们分组分解，保证每一个组里都含 有因式x + 1. 详解： x 3 +3x2 − 3x + k = x 3 + x 2 +2x2 + 2x − 5x − 5 + 5 + k = x 2 x + 1 + 2x x + 1 = (x + 1)(x2 + 2x − 5) + (k + 5). 所 以 k = −5. 技巧：原式有一个因式，那么我们保证含有未知数的几组中都含有这个因式，得解.
9. (2 、 3) （数学、初中数学竞赛、因式分解、解答题） 如果 x 3 + α x 2 + bx + 8有两个因式 x+1 和 x + 2 ， 求 a + b 的 值 分析： 因为x + 1, x + 2是x 3 +ax2 + hx + 8的因式， 所以当x = −1和−2时， x 3 +ax 2 + bx + 8的 值为 0.代入解方程即可得解. 详解： 因为原式含有 x+1 和 x + 2 两个因式， 所以 x = −1和x = −2， 是x 3 + α x 2 + bx + 8=0 的两个解，即： −1 + a − b + 8 = 0 a=7 .解得 . b = 14 −8 + 4a − 2b + 8 = 0 所以a + b = 21. 答：a + b 的 值 为 2 1 . 技巧：如果原式中有已知的因式，那么当因式等于 0 时，那么原式也等于 0. 易错点：解方程要仔细认真，不要出错.
答案：B 技巧：此题我们可以先移项，再通过合并同类项从而因式分解，然后根据题意分析. 易错点：得到结果后，x、y 的结果可以互换，所以答案不能为 A.
4. (3 、 4)
（数学、初中数学竞赛、因式分解、 填空题） .
把(a + b + c + d)(b + c − a − d)(c + a − b − d)(a + b − c − d) + 16abcd 因 式 分 为 原式= （a + b）
5. (1)
（数学、初中数学竞赛、因式分解、 填空题） .
在实数范围内分解因式：x 4 +x 3 −3x2 − 4x − 4 = 详解：原式= x 2 x2 + x + 1 − 4 x2 + x + 1 = x2 − 4 x2 + x + 1 = x + 2 x − 2 x2 + x + 1 技巧：根据各项的系数，增补分组进行因式分解。
6.
(2 、 3) （数学、初中数学竞赛、因式分解、填空题） .
分解因式： 2x 2 −xy − 6y 2 + 7x + 7y + 3 = 分 析 ： 因 为 2x2 −xy − 6y 2 = (x − 2y)(2x + 3y)， 所 以 可 设
2x 2 −xy − 6y 2 + 7x + 7y + 3 = (x − 2y + a)(2x + 3y + b), a, b为待定系数， 因此有2a + b = 7,3a − 2b = 7, ab = 3. 解 得 a = 3, b = 1，所 以 原 式 = (x − 2y + 3)(2x + 3y + 1). 答案：2x2 −xy − 6y 2 + 7x + 7y + 3 = (x − 2y + 3)(2x + 3y + 1) 技巧：因式的连乘积与原式恒等，然后根据恒等原理，建立待定系数的方程组，最后 解方程组即可求出待定系数的值 .
分 析 ： 因 为 M = 3x 2 −8xy + 9y 2 − 4x + 6y + 13 = 2(x − 2y)2 + (x − 2)2 + (y + 3)2 ≥ 0, 因为 x − 2y, x − 2, y + 3这三个数不能同时为 0，所以 M > 0. 答案：A 技巧：用裂项法，把原式拆为 3 个完全平方式即可解题。