反比例函数教材分析
初中数学：反比例函数的应用教学设计学情分析教材分析课后反思
跨学科知识融合点挖掘
物理学科
在物理学科中，反比例关系广泛 存在于各种物理量之间，如速度 、密度等。通过学习反比例函数 ，可以帮助学生更好地理解和应
用这些物理概念。
化学学科
在化学学科中，反应速率与反应 物浓度的关系往往呈现反比例关 系。通过学习反比例函数，可以 帮助学生更好地理解和描述化学
反应的过程。
初中数学：反比例函数 的应用教学设计学情分 析教材分析课后反思
汇报人：XXX 2024-01-28
目录
• 教学目标与重点难点 • 学情分析与学生特点 • 教材分析与资源整合 • 教学过程与方法手段 • 课后反思与改进策略 • 总结与展望
01
教学目标与重点难点
知识与技能目标
掌握反比例函数的概念和性质 ，理解反比例函数与正比例函 数、一次函数的区别和联系。
重点：反比例函数的概念、性质和应 用。
难点：如何根据实际问题情境建立反 比例函数模型，并运用反比例函数的
知识解决问题。
解决策略
采用多种教学方法和手段，如讲解、 演示、实例分析等，帮助学生理解反 比例函数的概念和性质。
通过小组合作、探究学习的方式，引 导学生积极参与数学活动，提高学生 的合作意识和探究能力。
练习题难度不够
在课堂练习中，发现部分练习题难度较低，无法充分检验 学生的学习效果。未来可以适当增加难度，设计更具挑战 性的练习题。
学生自主学习能力有待提高
部分学生过于依赖教师的讲解和指导，缺乏自主学习的意 识和能力。可以通过布置探究性作业、引导学生使用学习 资源等方式，培养学生的自主学习能力。
未来发展趋势预测及应对策略
自我评价引导
引导学生对自己的学习情况进行自我 评价，包括知识掌握情况、解题能力 、学习态度等方面，帮助学生发现自 身不足并制定改进措施。
反比例函数教材分析
第十七章 反比例函数本章内容是在已经学习了平面直角坐标系和一次函数的基础上，再一次进入函数范畴，让学生进一步理解函数的内涵，并感受现实世界存在各种函数以及如何应用函数解决实际问题.反比例函数是最基本的函数之一，是学习后续各类函数的基础. 一、本章特点1．突出反比例函数与现实世界的联系. 2．注重数学思想方法的渗透.二、本章要求 1．知识结构框图2．课程学习目标⑴ 使学生理解并掌握反比例函数的概念，能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式xky =(k 为常数，k≠0)，能判断一个给定函数是否为反比例函数. ⑵ 能描点画出反比例函数的图象，会用代定系数法求反比例函数的解析式，进一步理解函数的三种表示方法，即列表法、解析式法和图象法的各自特点.⑶ 能根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数xky =(k 为常数，k≠0)的函数关系和性质，能利用这些函数性质分析和解决一些简单的实际问题.⑷ 再次经历“找出常量和变量，建立并表示函数模型，讨论函数模型，解决实际问题”的过程，进一步体会函数是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型. ⑸ 使学生在学习一次函数的基础上，进一步理解常量与变量的辨证关系和反映在函数概念中的运动变化观点，进一步认识数形结合的思想方法. 3．课时安排本章共安排了2小节以及2个选学内容，教学时间约需8课时，大体分配如下（仅供参考）.17.1 反比例函数 3课时17.2 实际问题与反比例函数 4课时小结 1课时三、对教学的几点建议1．注意做好与已学内容的衔接.2．加强反比例函数与正比例函数的对比.3．把突出函数中蕴涵的重要数学思想作为本章的主要线索. 4．密切反比例函数与现实世界的联系. 5．注意突破知识的难点和重点. 四、具体知识1．反比例函数的概念⑴ xk y =(k ≠0)可以写成1kx y -= (k ≠0)的形式，注意自变量x 的指数为-1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数k ≠0这一限制条件；⑵ xky = (k ≠0)也可以写成xy=k 的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k ，从而得到反比例函数的解析式；⑶ 反比例函数xky =的自变量x≠0，故函数图象与x 轴、y 轴无交点.2．反比例函数的图象在用描点法画反比例函数xky =的图象时，应注意自变量x 的取值不能为0，故x 应从1和-1开始对称取点.3当0k k 21<⋅当0k k 21>⋅ ⑶ 4．反比例函数x ky =⑴ 过双曲线xky =(k ≠0) 所得矩形的面积为k .⑵ 过双曲线xky =(k ≠0) 5．实际问题与反比例函数.⑴ ⑵ 6五、例题 [例1]⑴ 下列函数中，y 是x 的反比例函数的是（ ）A. y=3xB. y -3=2xC. 3xy=1D. y=x 2⑵ 下列函数中，y 是x 的反比例函数的是（ ）A.x 41y =B.2x 1y -=C.2x 1y -=D. x 11y +=[例2]⑴ k = 时，函数1k 2k 2x )2k (y -++=是反比例函数.⑵ 如果函数1k 2k2x )2k (y -++=的图象是双曲线，那么k=________.⑶ 如果函数3k k2x )1k (y -++=是反比例函数，且它的图象在第二、四象限内，那么k= . ⑷ 如果函数3k k 2x )1k (y -++=是反比例函数，且y 随x 的增大而减小，那么k= .[例3]⑴ 已知一次函数y=ax+b 的图象经过第一、二、四象限，则函数xaby =的图象位于第________象限.⑵ 已知反比例函数()0k xky ≠=，当0x <时，y 随x 的增大而增大，那么一次函数k kx y -= 的图象经过（ ）A. 第一、二、三象限B. 第一、二、四象限C. 第一、三、四象限D. 第二、三、四象限⑶ 若反比例函数xky =经过点(-1，2)，则一次函数y= -kx+2的图象一定不经过第 象限. ⑷ 已知a·b <0，点P （a ，b ）在反比例函数xay =的图象上，则直线b ax y +=不经过的象限是（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限⑸ 若P （2，2）和Q （m ，-m 2）是反比例函数xky =图象上的两点，则一次函数y=kx+m的图象经过（ ）A. 第一、二、三象限B. 第一、二、四象限C. 第一、三、四象限D. 第二、三、四象限⑹ 已知函数y=k (x -1)和xky -= (k ≠0)，它们在同一坐标系内的图象大致是（ ）[例4]⑴ 在反比例函数()0k xky <=的图象上有两点()11y ,x A ，()22y ,x B ，且0x x 21>>，则21y y -的值为（ ）A. 正数B. 负数C. 非正数D. 非负数⑵ 在函数x 1a y 2--=（a 为常数）的图象上有三个点)y ,1(1-，)y ,41(2-，)y ,21(3，则函数值1y 、2y 、3y 的大小关系是（ ）A.2y <3y <1yB.3y <2y <1yC.1y <2y <3yD.3y <1y <2y⑶ 在函数xky =(k>0)的图象上有三点A 1 (x 1，y 1)，A 2 (x 2，y 2)，A 3 ( x 3，y 3)，已知 x 1 < x 2 < 0 < x 3，则下列各式中正确的是（ ）A. y 1 < y 2 < y 3B. y 3 < y 2 < y 1C. y 2 < y 1< y 3D. y 3 < y 1 < y 2⑷ 下列四个函数中：①x 5y =；②x 5y -=；③x 5y =；④x5y -=.y 随x 的增大而减小的函数有（ ）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个⑸ 已知反比例函数xky =的图象与直线y=2x 和y=x+1的图象过同一点，则当x ＞0时，这个反比例函数的函数值y 随x 的增大而 （填“增大”或“减小”）[例5]y O x A y O x B y O x C y O x D⑴ 若成正比例与成反比例，与z1x x 1y ，则y 是z 的（ ） A 、正比例函数 B 、反比例函数 C 、一次函数 D 、不能确定⑵ 若正比例函数y=2x 与反比例函数xky =的图象有一个交点为 (2，m)，则m=_____，k=________，它们的另一个交点为 .⑶ 已知反比例函数x m y 2=的图象经过点()8,2--，反比例函数xmy =的图象在第二、四象限，求m 的值.⑷ 已知一次函数y=x+m 与反比例函数x1m y +=(m ≠-1)的图象在第一象限内的交点为P (x 0，3). (1) 求x 0的值；(2) 求一次函数和反比例函数的解析式.[例6] ⑴ 将32x =代入反比例函数x 1y -=得函数值记为y 2，再将x = y 2+1y 2005=_________. ⑵ 两个反比例函数x 3y =，x 6y =在第一象限内 的图象如图所示，点P 1，P 2，P 3，…，P 2005在反比例函数x6y =图象上，它们的横坐标 分别是x 1，x 2，x 3，…，x 2005，纵坐标分别是1，3，5，…，共2005个连续奇数，过点P 1，P 2，P 3，…，P 2005分别作y 轴的平行线，与x 3y =的图象交点依次是Q 1（x 1，y 1）， Q 2Q [例7]⑴ x A. C. ⑵ 如图，A ，B 是函数x1y =的图象上关于原点对称的任意两点， AC ∥y 轴，BC ∥x 轴，△ABC 的面积S A.S=1 B.1<S <2 C.S=2⑶ 如图，Rt △AOB 的顶点A 在双曲线xm y =， 且S △AOB =3，求m 的值.⑷ 已知函数x4y =的图象和两条直线y=x ，y=2x 在第一象限内分别相交于P 1和P 2两点，过P 1分别作x 轴、y 轴的垂线P 1Q 1，P 1R 1，垂足分别为Q 1，R 1，过P 2分别作x 轴、y 轴的垂线P 2Q 2，P 2R 2，垂足分别为Q 2，R 2，求矩形OQ 1P 1R 1和OQ 2P 2R 2的周长，并比较它们的大小.⑸ 如图，正比例函数y=kx （k ＞0）和反比例函数1y =的图象相交于A 、C 两点，过A 作x 轴垂线交x 轴于B ⑹ 如图在Rt △ABO 中，顶点A AB ⊥x 轴于B 且S △ABO =23.①求这两个函数的解析式；②求直线与双曲线的两个交点例7⑷ ⑺ 如图，已知正方形OABC 点B 在函数x k y =(k ＞0，x ＞上任意一点，过P 分别作x 设矩形OEPF 在正方形OABC ① 求B 点坐标和k 的值；② 当29S =时，求点P ③ 写出S 关于m [例8]⑴ 近视眼镜的度数y (度)0.25米，则眼镜度数y⑵ 甲、乙两地相距100千米，一辆汽车从甲地开往乙地，求汽车离开甲地所用的时间y （时）与汽车的平均速度x （千米/时）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围，画出图象的草图. ⑶ 平行四边形的面积不变，那么它的底与高的函数关系是（ ）A. 正比例函数B. 反比例函数C. 一次函数D. 二次函数 ⑷ 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内的气压P (千帕)是气球的体积V(米3)的反比例函数，其图 象如图所示 (千帕是一种压强单位). ① 求出这个函数的解析式；② 当气球的体积为0.8立方米时，气球内的气压是多少 千帕？③ 当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，为了 安全起见，气球的体积应不小于多少立方米？⑸ 为了预防“非典”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒. 已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间x (分钟)成正比例，药物燃烧完后，y 与x 成反比例(如图所示)，现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每 立方米的含药量为6毫克. 请根据题中所提供的信息解答 下列问题：① 药物燃烧时y 关于x 的函数关系式为__________ ___，自变量x 的取值范围是____________ ___；药物燃 烧后y 关于x 的函数关系式为_________________.② 研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过_______分钟后，学生才能回到教室；③ 研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10 分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？ [例9]⑴ 若函数y=k 1x （k 1≠0）和函数xk y 2=（k 2 ≠0）在同一坐标系内的图象没有公共点，则k 1和k 2（ ）A. 互为倒数B. 符号相同C. 绝对值相等D. 符号相反 ⑵ 如图，一次函数y=kx+b 的图象与反比例数xm y =的图象交于A 、B 两点：A (-2，1)，B (1，n). ① 求反比例函数和一次函数的解析式；② 根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数 的值的x 的取值范围. ⑶ 如图所示，已知一次函数y=kx+b (k ≠0)的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，且与反比例函数xmy = (m ≠0)yyO xBA的图象在第一象限交于C 点，CD 垂直于x若OA=OB=OD=1.① 求点A 、B 、D 的坐标；② 求一次函数和反比例函数的解析式.⑷ 如图，一次函数b ax y +=的图象与反比例函数xk y =的图象交于第一象限C ，D 两点，坐标轴交于A 、B 点，连结OC ，OD （O 是坐标原点）.① 利用图中条件，求反比例函数的解析式和m ② 双曲线上是否存在一点P ，使得△POC 和△POD 面积相等？若存在，给出证明并求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.⑸ 不解方程，判断下列方程解的个数. ① 0x 4x 1=+ ②0x 4x1=-。
第二十六章反比例函数教材分析
第二十六章反比例函数一、教材分析本章内容属于《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》中的“数与代数”领域，是在已经学习了平面直角坐标系和一次函数的基础上，再一次进入函数范畴，让学生进一步理解函数的内涵，并感受现实世界存在各种函数以及如何应用函数解决实际问题。
反比例函数是最基本的函数之一，是学习后续各类函数的基础。
它位居初中阶段三大函数中的第二，区别于一次函数，但又建立在一次函数之上，而又为以后更高层次函数的学习，函数、方程、不等式间的关系的处理奠定了基础。
函数本身是数学学习中的重要内容，而反比例函数则是基础函数，因此，本节内容有着举足轻重的地位。
由于初二学生是首次接触双曲线这种函数图象，所以教学时应注意引导学生抓住反比例函数图象的特征，让学生对反比例函数有一个形象和直观的认识。
二教科书内容分析（一）本章知识结构框图（二）教科书内容分析26.1 反比例函数3课时26.2 实际问题与反比例函数4课时数学活动小结 1课时 1本章的主要内容是反比例函数，教科书从几个学生熟悉的实际问题出发，引进反比例函数的概念，使学生逐步从对具体函数的感性认识上升到对抽象的反比例函数概念的理性认识。
第17.1节的内容是反比例函数的概念、图象和性质。
反比例函数（为常数，）的图象分布在两个象限，当时，图象分布在一、三象限，随的增大（减小）而减小（增大）；当时，图象分布在二、四象限，随的增大（减小）而增大（减小）。
第17.2节的内容是如何利用反比例函数解决现实世界的实际问题，以及如何用反比例函数解释现实世界中的一些现象。
本章主要涉及到如下的4个现实世界中的反比例函数模型：当圆柱体的体积V一定时，圆柱的底面积是高（深度）的反比例函数：；当工程总量一定时，做工时间是做工速度的反比例函数：；在使用杠杆时，如果阻力和阻力臂不变，则动力是动力臂的反比例函数：；电压一定，输出功率是电路中电阻的反比例函数：。
此外，本章还安排了两个选学内容：第17.1节的“信息技术应用”中安排了“探索反比例函数的性质”，第17.1节的“阅读与思考”中安排了“生活中的反比例关系”。
反比例函数教材分析 (课堂PPT)
y1＞. y2
20
2.已知点A(-2,y1),B(-1,y2)
都在反比例函数
y
y
k x
4 x
(的k＜图0)象上,则y1
与y2的大小关系(从大到小)为
.
y2＞ y1
21
3都.已在知反点比A例A((函-x21数,,yy11)),,yBBy((x-21xk,4xy,y(2的k)2＜且)图0x)象1＜上0＜,则x2y1
3
本章知识框架:
（数学问题）
现实世界中的 抽象
反比例关系
反比例函数
解 释
实际应用
应用 反比例函数的 图象和性质
（数学问题自身的特点）
4
二、本章的地位和作用：
函数是“数与代数”领域的重要内容
七年级下册第6章“平面直角坐标系”---函数学习的基础 八年级上册第14章“一次函数”---形成研究函数的模式
• 5.进一步理解常量与变量的辨证关系和反映在 函数概念中的运动变化观点，进一步认识数形 结合的思想方法。
10
2011版数学课程标准反比例函数的要求:
1.结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已 知条件确定反比例函数的表达式。
2.能画出反比例函数的图象，能根据图象和表达式
y k k 0
变化x情况。
xy＝k（k≠0的常数）的形式
运算的需要 判断的需要
14
xy＝k（k≠0的常数）的形式
例1： 反比例函数 y k 的图象经过（2，-1），则k
的值为
；x
例2： 反比例函数 y k 的图象经过点（2，5），若
点（1，n）在反比例函数图x 象上，则n（
）
A.10
B.5
C.2
初中数学_人教版数学九年级下册反比例函数教学设计学情分析教材分析课后反思
《反比例函数》教学设计学习目标1、理解并掌握反比例函数的概念。
2、能判断一个给定的函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求函数解析式。
3、能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，体会函数的模型思想。
学习重点：理解反比例函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式学习难点：理解反比例函数的概念。
学习准备：1、回忆一下什么是正比例函数、一次函数？它们的一般形式是怎样的？2、体育课上，老师测试了百米赛跑，那么，时间与平均速度的关系是怎样的？学习过程：一、探索研讨【活动1】问题：下列问题中，变量间的对应关系可用怎样的函数关系式表示？这些函数有什么共同特点？(1)京沪线铁路全程为1463km，乘坐某次列车所用时间t（单位:h）随该列车平均速度v（单位:km/h）的变化而变化；_________________（2）某住宅小区要种植一个面积为1000m2的矩形草坪，草坪的长为y随宽x的变化；_________________（3）已知北京市的总面积为1.68×104平方千米，人均占有的土地面积S(平方千米/人)随全市总人口数n（单位：人）的变化而变化。
_________________上面的函数关系式，都具有_____________的形式，其中_________是常数。
【活动2】下列问题中，变量间的对应关系可用这样的函数式表示吗？（1）一个游泳池的容积为2000m3,注满游泳池所用的时间随注水速度u的变化而变化；_________________（2）某立方体的体积为1000cm3，立方体的高h随底面积S的变化而变化；_________________（3）一个物体重100牛顿，物体对地面的压力p随物体与地面的接触面积S的变化而变化。
_________________概念：如果两个变量x,y 之间的关系可以表示成___________的形式，那么y 是x 的反比例函数，反比例函数的自变量x____为零。
反比例函数教案优秀7篇
反比例函数教案优秀7篇《反比例函数》教学设计篇一一、教材分析反比例函数是初中阶段所要学习的三种函数中的一种，是一类比较简单但很重要的函数，现实生活中充满了反比例函数的例子。
因此反比例函数的概念与意义的教学是基础。
二、学情分析由于之前学习过函数，学生对函数概念已经有了一定的认识能力，另外在前一章我们学习过分式的知识，因此为本节课的教学奠定的一定的基础。
三、教学目标知识目标：理解反比例函数意义；能够根据已知条件确定反比例函数的表达式。
解决问题：能从实际问题中抽象出反比例函数并确定其表达式。
情感态度：让学生经历从实际问题中抽象出反比例函数模型的过程，体会反比例函数来源于实际。
四、教学重难点重点：理解反比例函数意义，确定反比例函数的表达式。
难点：反比例函数表达式的确立。
五、教学过程（1）京沪线铁路全程为1463km，某次列车的平均速度v（单位：km/h）随此次列车的全程运行时间t（单位：h）的变化而变化；（2）某住宅小区要种植一个面积1000m2的矩形草坪，草坪的长y（单位：m）随宽x （单位：m）的变化而变化。
请同学们写出上述函数的表达式14631000（2）y=txk可知：形如y=（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数，其中xx （1）v=是自变量，y是函数。
此过程的目的在于让学生从实际问题中抽象出反比例函数模型的过程，体会反比例函数来源于实际。
由于是分式，当x=0时，分式无意义，所以x≠0。
当y=中k=0时，y=0，函数y是一个常数，通常我们把这样的函数称为常函数。
此时y 就不是反比例函数了。
举例：下列属于反比例函数的是（1）y=（2）xy=10（3）y=k—1x（4）y=—此过程的目的是通过分析与练习让学生更加了解反比例函数的概念问已知y与x成反比例，y与x—1成反比例，y+1与x成反比例，y+1与x—1成反比例，将如何设其解析式（函数关系式）已知y与x成反比例，则可设y与x的函数关系式为y=kx？1k已知y+1与x成反比例，则可设y与x的函数关系式为y+1=xkxkxkxkx2x已知y与x—1成反比例，则可设y与x的函数关系式为y=已知y+1与x—1成反比例，则可设y与x的函数关系式为y+1=kx？1此过程的目的是为了让学生更深刻的了解反比例函数的概念，为以后在求函数解析式做好铺垫。
初中数学_《反比例函数》教学设计学情分析教材分析课后反思
课题§5.1反比例函数课型新授课章节第五章年级九年级（上）教学目标重点难点及策略1、根据材料，从聚类辨析中回忆函数特点2、对函数关系式进行分类，从中找出反比例函数3、对反比例函数关系式进行聚类分析，归纳本质特点，进行命名4、能够从生活中的实例寻找反比例函数，感受其本质属性。
5、能够辨析反比例函数并求出k值。
【教学重点】通过聚类-分类-聚类的过程，感受反比例函数的本质属性，进行命名。
【教学难点】发现反比例函数的本质属性的过程【教学策略】上下位概念的迁移教学。
教材分析本节课是反比例函数的概念起始课。
对上承接函数概念，对下为反比例函数的图像和性质做好准备。
在研究函数、一次函数、正比例函数、反比例函数、二次函数的体系中，它的研究方法和过程具有长程两段教结构用结构的特点，是一种连续性教学过程。
学生分析学生在七下和八上分别学习过“变量之间的关系”和“一次函数”等内容，对函数概念已经有了初步的认识，并积累了一些研究函数的方法，和运用函数观念处理问题的经验。
学习函数概念时已经通过聚类辨析，感受过函数的三条特点。
也在概念课中学过分类辨析的方法，学习这节课有函数概念的引领，和聚类分类的方法基础。
教学过程设计教学环节教师活动学生活动设计意图第一环节：根据材料，聚类辨析，回忆函数特点：1.学生用关系式表示变量关系（一放）师：以前我们学习了函数，老师给出情境不同材料，这里有没有我们学过的函数？有的话能写出表达式吗？请同学们写下来并回忆函数的表现形式以及它的特点。
（学生写在活动单上）1.京沪高速公路全长约为1262km，汽车沿京沪高速公路从上海驶往北京，汽车行完全程所需的时间t（h）与行驶的平均速度v（km/h）之间有怎样的关系。
2.小明去批发铅笔，铅笔单价为0.3元，下面是购买铅笔的记录单：总价w＝单价×购买数量n问总价w和n之间关系3.面积为12平方厘米的矩形a与b关系4.青岛市某一天内的气温变化图T与t预设资源：（1）1262=v·t或vt1262=或tv1262=（2）w=0.3·n（3）12=a·b或ab12=或ba12=（4）图像（5）P=0.6·n（6）C=4·n（7）y=180-2x（8）表格（9）40=v·n或nv40=或vn40=将问题前置让学生通过观察学习上位概念函数时的例子，回忆两个变量之间确定与不确定的关系。
反比例函数教材分析
反比例函数教材分析简介本文旨在对反比例函数教材进行分析和评估。
反比例函数是数学中的重要概念，被广泛教授和应用于实际问题的解决中。
通过对教材的分析，我们可以了解到反比例函数在教学中的重要性和应用场景。
教材内容概述反比例函数教材通常包含以下内容：1. 定义和基本概念教材会介绍反比例函数的定义，即两个变量之间的相互关系，其中一个变量的值与另一个变量的倒数成反比。
同时，教材会介绍反比例函数的基本概念，如比例常数和比例关系。
2. 反比例函数图像教材会解释如何绘制反比例函数的图像，并介绍图像的特征和性质。
通过图像，学生可以更直观地理解反比例函数的关系。
3. 反比例函数的应用教材会给出反比例函数在实际问题中的应用案例，如速度和时间的关系，资源分配等。
通过这些案例，学生可以将数学知识应用于实际问题的求解中。
教材评估反比例函数教材在以下方面表现出色：1. 清晰易懂的解释教材对反比例函数的定义和基本概念进行了清晰易懂的解释，使学生能够迅速理解和掌握相关知识。
2. 实例演示和应用案例教材通过实例演示和应用案例，将抽象的数学概念与实际问题联系起来，增强了学生的研究兴趣和理解能力。
3. 图像辅助教学教材通过绘制反比例函数的图像，帮助学生直观地理解反比例函数之间的关系，并且图像的性质更容易记忆。
结论反比例函数教材在教学过程中起到了重要的作用。
它通过清晰易懂的解释、实例演示和图像辅助教学，使学生能够全面理解和应用反比例函数的概念。
我们建议教师们充分利用这些教材，帮助学生更好地研究和应用反比例函数相关的知识。
注: 以上内容为个人分析和观点，仅供参考。
反比例函数教材分析
逆
向
解
构
教学者的视角
典
型
考
题
逆
△PAN为等腰三角形
向
APN 90
解
PA PN
构
函数思想
yx
难点在哪？
2018考试说明
典 型 考 题 逆 向 解 构
三、教学目标分析与定位
《义务教育数学课程标准（2011年版）》
反比例函数 （1）结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件 确定反比例函数的表达式。 （2）能画出反比例函数的图象，根据图象和表达式 探索并理解k＞0和k＜0时，图象的变化情况。 （3）能用反比例函数解决简单实际问题。
专
题
内
函数的性质：
容 分
函数的两个变量间有规律的对应关系.
析
为什么研究具体函数的顺序是这样的？
专
题
内 单调性 对称性 连续性
容 分
变化的趋势（渐进性）
析 周期性 可微性 可积性 ……
为什么研究具体函数的顺序是这样的？
专
题
函数的单调性是函数的最基本的性质.
内
容
分
析
为什么研究具体函数的顺序是这样的？
x
学
“双曲线”
实
单调性：图象在第一、三象限内，在
施
每个象限内y随x的增大而减小
建
对称性：关于原点对称
议
连续性：不连续，在x=0处断开
渐进性：图象无限接近坐标轴但不与 坐标轴相交.
26.1.2 反比例函数图象和性质
教
反比例函数 y k (k 0)的图像和性质.
x
学
图象在第一、三象限内
实
施
北师大版九年级上数学《第6章 反比例函数》教案教案
北师大版九年级上数学《第6章反比例函数》教案教案一. 教材分析《第6章反比例函数》是北师大版九年级上数学的重要内容，本章主要让学生了解反比例函数的定义、性质及图象，掌握反比例函数的计算方法，并能解决一些实际问题。
通过本章的学习，学生能更好地理解函数的概念，培养其数学思维能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了函数、方程等基础知识，具备一定的逻辑思维能力和数学解题技巧。
但部分学生对抽象的函数概念理解不够深入，对反比例函数的图象和性质认识不足。
因此，在教学过程中，需要关注学生的认知差异，引导学生从实际问题中发现反比例函数的规律，提高其数学应用能力。
三. 教学目标1.理解反比例函数的定义，掌握反比例函数的计算方法。
2.了解反比例函数的性质和图象，能运用反比例函数解决实际问题。
3.培养学生的数学思维能力，提高其数学素养。
四. 教学重难点1.反比例函数的定义和性质。
2.反比例函数图象的特点。
3.反比例函数在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入反比例函数，激发学生的学习兴趣。
2.引导发现法：引导学生发现反比例函数的规律，培养学生独立思考的能力。
3.合作学习法：分组讨论，共同探究反比例函数的应用，提高学生的团队协作能力。
4.实践操作法：让学生动手绘制反比例函数的图象，加深对反比例函数的理解。
六. 教学准备1.准备相关的生活实例和图片，用于导入和巩固环节。
2.准备反比例函数的图象和性质的PPT，用于呈现和讲解。
3.准备一些实际问题，用于拓展环节。
4.准备黑板和粉笔，用于板书。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例引入反比例函数的概念，如：在一定时间内，行驶的路程与速度成反比。
引导学生从实际问题中发现反比例函数的规律，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（15分钟）利用PPT展示反比例函数的图象和性质，讲解反比例函数的定义和计算方法。
让学生直观地感受反比例函数的特点，理解反比例函数的概念。
（完整版）反比例函数教材分析
（完整版）反比例函数教材分析“第1章反比例函数”教材分析一、教材分析根据《数学课程课标》(实验稿)，与原教材相比本章内容要求有所提高，主要表现在：（1）性质的探索过程——根据图象和解析式探索并理解其性质；（2）在实际问题中的应用．这是符合新课改的理念，总的来说是探讨知识发生的过程，培养学生自己探索问题，同时联系实际，提高学生分析解决问题的能力．与原浙江版相比，降低的地方是删去了反比例函数图象的性质：图象的两个分支都无限接近但永远达不到x轴和y轴．因为从教学实践看，学生对此不易理解，这条性质实际应用意义也不大．假如学生程度较好，老师在这方面也可以适当拓展．从编排顺序来看，原来浙江版中，本章内容放在初二下的“函数及其图象”一章中，编排顺序是平面直角坐标系—函数—正比例函数—反比例函数．本套教科书采用分步到位、穿插编排的方式．在八年级上册安排了“图形与坐标”、“一次函数”．到九年级上册一开始就学习“反比例函数”．这样编排的好处是因为反比例函数思维要求比较高，图象分两支，且又是曲线，学生理解相对困难，略放后面与学生接受能力、认知水平相当，为学生探索理解反比例函数创造条件．缺点是与前面知识连贯性较差．本章的主要内容有反比例函数的概念、解析式、性质和图象．本章是在已经学习了图形与坐标和一次函数的基础上，再次进入函数范畴，使学生进一步理解函数的内涵，并感受世界存在的各种函数及应用函数来解决实际问题．反比例函数是最基本的函数之一，是后续学习各类函数的基础．二、重点难点反比例函数是继一次函数之后又一重要的基本函数，它为今后学习图象和曲线的关系（如二次函数）提供了研究方法．反比例函数本身在日常生活和生产中也有着许多直接应用，这对学生建模思想、数形结合思想等重要思想方法的形成，也会产生较大的影响，所以反比例函数是本章教学的重点．反比例函数图象的两个分支，给反比例函数的性质带来复杂性，学生不易理解，是本章教学的难点之一；综合运用反比例函数的解析式、图象和性质解决实际问题时，往往会遇到较复杂的问题情境，需要建模，利用图象以及综合运用方程、不等式及其他数学模型，所以综合运用反比例函数知识解较复杂的实际问题是本章教学又一主要难点．三、课时安排1.1 反比例函数2课时1.2 反比例函数的图象和性质 2 课时1.3 反比例函数的应用1课时复习、评价2课时，机动使用2课时，合计9课时．四、教学建议（1）反比例函数概念和形成过程，应充分利用学生的生活经验和背景知识．生活经验就是学生已经知道两个量成反比例的概念，建立反比例函数离不开反比例关系这个基础；背景知识是八年级上册的“图形与坐标”及“一次函数”．所以在学习本章内容前可先与学生一起回顾一下以上已学内容，对扫清障碍，理解接受新概念很有益处．（2）注重数学思想的渗透，从数学自身发展过程看，正是由于变量与函数概念的引入，标志着初等数学向高等数学迈进，尽管本章讲述的反比例函数仅是一种最基本、最初步的函数，但其中蕴涵的数学思想方法，对学生分析问题解决问题是十分有益的．教学中应让学生充分体会诸如变化与对应思想、数形结合思想，建模思想等．（3）本章是实践性、应用性很强的内容，联系“科学”的知识特别多．这一方面体现教材的横向联系，又体现本章内容的实用价值．如密度、压强与体积、杠杆原理、欧姆定理、电功率计算等．若学生在这方面有缺陷，则直接影响到本章的学习．建议老师在教前在同学中广泛了解学生的基础，若有问题应给予补充说明．（4）本章1.2节安排“合作学习”．在画反比例函数的图象时充分发挥“自主探索—合作学习”这种学习方式的作用．在按课本顺序指导学生画完图后，让学生回顾画图的全过程．体现课标要求“性质的探索过程——根据图象和解析表达式探索并理解其性质”．引导学生分清：①两个分支是一个函数的图象，不是函数有两个图象．②画曲线时，必须将自变量从小到大的顺序在各个象限里用光滑曲线连结起来，不能跨象限连结．③在图象所在的每个象限内，当k＞0时，函数值y 随自变量x 的增大而减小；当k ＜0时，函数值y 随自变量x 的增大而增大．（5）本套教科书在七年级下册就安排了“图形的变换”，目的是作为今后研究图形的工具．所以在教学中应充分利用，注意各章节之间的内在联系．在这里就尽量用图形变换的思想叙述性质、用图形变换的角度观察、分析图形之间的联系．如反比例函数的图象是关于原点成中心对称，利用这一性质可以简化画图过程；x y ＝1的图象与x y 1＝－的图象关于坐标轴对称，我们可以通过图形变换来作另一函数的图象．（6）本章还渗透了建模的思想．具体过程可概括为：由实验获得数据---用描点法画出图象---根据图象和数据判断或估计函数的类别---用待定系数法求出函数的关系式---用实验数据验证．随着社会的发展和科学技术的不断进步，数学的应用已越来越被人们所重视，培养学生分析问题、解决实际问题的能力已成为当今数学教育的主流．中学数学建模正顺应了这一时代发展的潮流，是对陈旧的数学教育观下的数学教育的有力冲击．中学数学建模从学生所经历，所接触到的客观实际中提出问题，对学生了解社会，认识社会都有积极作用．通过数学建模，对数学的广泛应用有了进一步认识，促使学生在积极思考中，在问题的解决中发现数学的价值与美．同时数学建模的复杂性，决不是凭个人的力量可以完美解决的，因此强调群体的协作．通过实际考察、实验统计、演义推理、总结提炼，最后又相互交流，共同探讨，共同解决．解决问题过程中充分体现高度的协作精神．教科书中的渗透正是体现了这种思想．。
人教版九年级数学下册：26.1.1《反比例函数》说课稿5
人教版九年级数学下册：26.1.1《反比例函数》说课稿5一. 教材分析《人教版九年级数学下册：26.1.1》这一节的内容，是在学生已经掌握了函数的基本概念和一次函数、二次函数的知识基础上进行教学的。
本节课的主要内容是引导学生理解反比例函数的概念，以及反比例函数的图像和性质。
在教材的编写上，通过生活中的实例引入反比例函数的概念，让学生感受到数学与生活的紧密联系。
接着，通过探究反比例函数的图像和性质，使学生掌握反比例函数的基本特征。
最后，通过巩固练习，使学生能够运用反比例函数解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的函数知识，对函数的概念和一次函数、二次函数有一定的了解。
但是，对于反比例函数的理解和应用，还需要通过本节课的学习来掌握。
此外，学生在学习过程中可能对反比例函数的图像和性质有一定的困惑，需要教师在教学中进行引导和解释。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生理解反比例函数的概念，掌握反比例函数的图像和性质。
2.过程与方法目标：通过实例引入反比例函数的概念，培养学生的抽象思维能力。
3.情感态度与价值观目标：让学生感受到数学与生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣。
四. 说教学重难点1.教学重点：反比例函数的概念，反比例函数的图像和性质。
2.教学难点：反比例函数图像的理解，反比例函数性质的掌握。
五. 说教学方法与手段在本节课的教学中，我将采用讲授法、引导发现法、小组合作学习法等教学方法。
同时，利用多媒体教学手段，如课件、图片等，为学生提供丰富的学习资源，提高学生的学习兴趣。
六. 说教学过程1.导入：通过生活中的实例，如盐水浓度问题，引入反比例函数的概念。
2.新课讲解：讲解反比例函数的定义，引导学生理解反比例函数的特点。
3.图像展示：利用多媒体展示反比例函数的图像，使学生直观地理解反比例函数的性质。
4.性质探究：引导学生分组讨论，发现反比例函数的性质。
5.巩固练习：布置一些相关的练习题，让学生运用所学知识解决问题。
初二数学《反比例函数》说课稿（通用5篇）
初二数学《反比例函数》说课稿初二数学《反比例函数》说课稿（通用5篇）作为一无名无私奉献的教育工作者，常常要根据教学需要编写说课稿，编写说课稿助于积累教学经验，不断提高教学质量。
写说课稿需要注意哪些格式呢？下面是小编为大家收集的初二数学《反比例函数》说课稿（通用5篇），仅供参考，大家一起来看看吧。
初二数学《反比例函数》说课稿1各位评委：大家好！今天我要说的课题是义务教育人教版初中八年级十七章第一节“反比例函数”。
我将从如下步骤进行。
一、说教材1、内容分析：本节课是“反比例函数”的第一节课，是继正比例函数、一次函数之后，二次函数之前的又一类型函数，本节课主要通过丰富的生活事例，让学生归纳出反比例函数的概念，并进一步体会函数是刻画变量之间关系的数学模型，从中体会函数的模型思想。
因此本节课重点是理解和领悟反比例函数的概念，所渗透的数学思想方法有：类比，转化，建模。
2、学情分析：对八年级学生来说，虽然他们已经对函数，正比例函数，一次函数的概念、图象、性质以及应用有所掌握，但他们面对新的一次函数时，还可能存在一些思维障碍，如学生不能准确地找出变量之间的自变量和因变量，以及如何从事例中领悟和总结出反比例函数的概念，因此，本节课的难点是理解和领悟反比例函数的概念。
二、说教学目标根据本人对《数学课程标准》的理解与分析，考虑学生已有的认知结构、心理特征，我把本课的目标定为：1、从现实的情境和已有的知识经验出发，讨论两个变量之间的相依关系，加深对函数概念的理解。
2、经历抽象反比例函数概念的过程，领会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念。
三、说教法本节课从知识结构呈现的角度看，为了实现教学目标，我建立了“创设情境→建立模型→解释知识→应用知识”的学习模式，这种模式清晰地再现了知识的生成与发展的过程，也符合学生的认知规律。
于是，从教学内容的性质出发，我设计了如下的课堂结构：创设出电流、行程等情境问题让学生发现新知，把上述问题进行类比，导出概念，获得新知，最后总结评价、内化新知。
人教版九年级数学下册：26.1.1《反比例函数》说课稿
人教版九年级数学下册：26.1.1《反比例函数》说课稿一. 教材分析《反比例函数》是人教版九年级数学下册第26章第一节的内容，本节课主要介绍了反比例函数的定义、性质及图象。
这部分内容是在学生已经掌握了函数的概念、正比例函数的知识基础上进行学习的，为后续学习二次函数打下基础。
反比例函数是实际应用中经常遇到的一种函数形式，对于学生来说，理解和掌握反比例函数的知识，能够提高他们解决实际问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的函数知识，对于正比例函数的概念和图象已经有了一定的了解。
但是，反比例函数的概念和性质相对复杂，学生可能难以理解和接受。
因此，在教学过程中，需要关注学生的认知水平，通过合适的教学方法，帮助学生理解和掌握反比例函数的知识。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生理解反比例函数的定义，掌握反比例函数的性质，能够绘制反比例函数的图象。
2.过程与方法目标：通过观察、分析、归纳等方法，让学生学会如何从实际问题中抽象出反比例函数模型。
3.情感态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣，提高学生解决实际问题的能力。
四. 说教学重难点1.教学重点：反比例函数的定义，反比例函数的性质，反比例函数图象的特点。
2.教学难点：反比例函数概念的理解，反比例函数性质的证明，反比例函数图象的绘制。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例分析法、小组合作学习法等，引导学生主动探究，培养学生的动手操作能力和思维能力。
2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型、反比例函数图象软件等，帮助学生直观地理解反比例函数的知识。
六. 说教学过程1.导入：通过展示实际问题，引导学生思考如何用数学模型来解决这些问题，从而引出反比例函数的概念。
2.新课讲解：讲解反比例函数的定义，通过示例让学生理解反比例函数的概念。
然后，引导学生通过观察、分析、归纳等方法，总结出反比例函数的性质。
3.实践操作：让学生利用反比例函数图象软件，绘制反比例函数的图象，观察图象的特点，进一步理解反比例函数的性质。
九年级下册第二十六章第一课时“反比例函数”教材分析
“反比例函数”教材分析报告一、教材的基本信息人教版数学九年级下册第二十六章第一课时“反比例函数”。
二、课标分析（一）课程目标分析1.掌握数与式的运算，能够解释运算结果的意义（P14）2.会用反比例函数描述现实问题中的数量关系和变化规律，形成合适的运算思路解决问题；形成抽象能力、模型观念，进一步发展运算能力（P14）3.探索在不同的情境中从数学的角度发现和提出问题，综合运用数学和其他学科的知识从不同的角度寻求分析问题和解决问题的方法，能运用几何直观、逻辑推理等方法解决问题，形成模型观念和数据观念（P15）4.关注社会生活中与数学相关的信息主动参与数学活动：在解决数学问题的过程中，能够克服困难，树立学好数学的信心，感受数学在实际生活中的应用，体会数学的价值，欣赏并尝试创造数学美；养成认真勤奋、独立思考，合作交流反思质疑的学习习惯（P15）（二）课程内容标准分析1.结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的表达式（P57）2.能画反比例函数的图象，根据图象和表达式)0(≠=k xk y 探索并理解0<k 和0>k 时图象的变化情况(P58)3.能用反比例函数解决简单实际问题(P58)（三）学业要求1.结合具体情境用实例体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的表达式（P61）2.会用描点法画出反比例函数的图像（P61）3.知道当0<k 和0>k 时反比例函数)0(≠=k xk y 图象的整体特征(P61) 4.能用反比例函数解决简单实际问题(P61)三、教材内容分析（一）知识的逻辑结构分析1.知识点在一般情况下，如果两个变量x ，y 之间的关系可以表示成)0(≠=k xk y (k 为常数，k ≠0，x ≠0），其中k 叫做反比例系数，x 是自变量，y 是x 的函数，x 的取值范围是不等于0的一切实数，且y 也不能等于0。
k>0时，图象在一、三象限。
反比例函数教材分析[上学期]浙教版
![反比例函数教材分析[上学期]浙教版](https://img.taocdn.com/s3/m/b181327d42323968011ca300a6c30c225901f095.png)
及时反馈与指导
根据观察结果，及时向学生提供反馈和指导，帮助他们改进学习 方法和态度。
课后作业批改评价法
作业完成情况检查
检查学生是否按时完成作业，以及作业的完成质量。
错误分析与指导
对学生作业中的错误进行分析，找出错误原因，并提供相应的指导 和帮助。
于点 $A(-2,1)$ 和 $B(1,n)$，求这两个函数的解析式。
解题思路与方法指导
对于反比例函数的解析式 $y = frac{k}{x}$，要求出 $k$ 的值， 通常是通过已知条件（如某点的
坐标）代入解析式求解。
在判断反比例函数图象上点的坐 标特征时，要注意分析 $x$ 和 $y$ 的变化情况，从而判断 $k$
实例丰富
教材中穿插了大量实例，帮助学生理 解反比例函数的概念和性质，同时增 强了教材的趣味性。
02 知识点梳理与解析
反比例函数定义及性质
定义：形如 $y = frac{k}{x}$ (其中 $k$ 是常数，且 $k neq 0$) 的函数称为反比 例函数。
在每个象限内，随着 $x$ 的增大，$y$ 的值逐渐减小。
案例分析教学法
选取具有代表性的反比例函数应用案例，引导学生进行分析 、讨论，加深对反比例函数的理解和应用。
通过案例分析，让学生感受数学在实际生活中的应用价值， 提高学生的数学应用意识和实践能力。
04 典型例题分析与解答技巧
典型例题选讲
01
例题1
已知反比例函数 $y = frac{k}{x}$ 的图象经过点 $A(2,3)$，求 $k$ 的
过程与方法
通过观察、思考、探究等 过程，培养学生的数学思 维和解决问题的能力。
新人教版九年级下册第二十六章“反比例函数”教材分析简介
新人教版九年级下册第二十六章“反比例函数”教材分析简介预览二、编写时考虑的几个问题1. 强调反比例函数是描述具有反比例关系问题的数学模型反比例函数是义务教育阶段学习的最后一类函数，函数是描述变化规律的数学模型．现实世界和数学中具有反比例关系的问题，我们可以用反比例函数描述．章引言中从路程一定的前提下，平均速度与时间的关系，引出反比例函数的内容．“26.1 反比例函数”通过“思考”中的三个具体问题，让学生发现每个问题中的两个变量，询问这两个变量具有什么关系，得出变量之间的表达式，指出它们的表达式具有相同形式，具有这类相同表达式的函数，我们称为反比例函数．“26. 2 实际问题与反比例函数”是现实世界中四个典型的实例，我们先把它们抽象为数学模型——反比例函数，它刻画了问题中的反比例关系，然后运用反比例函数的性质解决它们．在反比例函数概念的学习中，我们再次经历了概念学习的几个过程：（1）概念的引入——通过三个具体实例，反比例关系和函数的概念，引出反比例函数；（2）概念属性的归纳——对教科书中的三个实例进行分析、比较、综合，归纳三个实例的共同特征的形式；（3）概念的明确与表示——指出形如（k为常数，k≠0）的函数叫做反比例函数，并给出文字语言和数学符号语言的准确表示；（4）概念的辨析——在练习中，以实例为载体分析概念，并恰当使用反例，如“26.1.1 反比例函数”中的练习2和练习3；（5）概念的巩固应用——用概念解决简单问题，形成用概念作判断的具体步骤，如“26.1.1 反比例函数”的例1；（6）概念的“精致”——通过概念的综合应用，如“26.1.2反比例函数的图象和性质”，“26.2实际问题与反比例函数”，进一步认识反比例函数的概念，加深对反比例函数概念的理解．2. 类比正比例函数、一次函数和二次函数的研究方法，研究反比例函数预览二、编写时考虑的几个问题1. 强调反比例函数是描述具有反比例关系问题的数学模型反比例函数是义务教育阶段学习的最后一类函数，函数是描述变化规律的数学模型．现实世界和数学中具有反比例关系的问题，我们可以用反比例函数描述．章引言中从路程一定的前提下，平均速度与时间的关系，引出反比例函数的内容．“26.1 反比例函数”通过“思考”中的三个具体问题，让学生发现每个问题中的两个变量，询问这两个变量具有什么关系，得出变量之间的表达式，指出它们的表达式具有相同形式，具有这类相同表达式的函数，我们称为反比例函数．“26. 2 实际问题与反比例函数”是现实世界中四个典型的实例，我们先把它们抽象为数学模型——反比例函数，它刻画了问题中的反比例关系，然后运用反比例函数的性质解决它们．在反比例函数概念的学习中，我们再次经历了概念学习的几个过程：（1）概念的引入——通过三个具体实例，反比例关系和函数的概念，引出反比例函数；（2）概念属性的归纳——对教科书中的三个实例进行分析、比较、综合，归纳三个实例的共同特征的形式；（3）概念的明确与表示——指出形如（k为常数，k≠0）的函数叫做反比例函数，并给出文字语言和数学符号语言的准确表示；（4）概念的辨析——在练习中，以实例为载体分析概念，并恰当使用反例，如“26.1.1 反比例函数”中的练习2和练习3；（5）概念的巩固应用——用概念解决简单问题，形成用概念作判断的具体步骤，如“26.1.1 反比例函数”的例1；（6）概念的“精致”——通过概念的综合应用，如“26.1.2反比例函数的图象和性质”，“26.2实际问题与反比例函数”，进一步认识反比例函数的概念，加深对反比例函数概念的理解．2. 类比正比例函数、一次函数和二次函数的研究方法，研究反比例函数预览二、编写时考虑的几个问题1. 强调反比例函数是描述具有反比例关系问题的数学模型反比例函数是义务教育阶段学习的最后一类函数，函数是描述变化规律的数学模型．现实世界和数学中具有反比例关系的问题，我们可以用反比例函数描述．章引言中从路程一定的前提下，平均速度与时间的关系，引出反比例函数的内容．“26.1 反比例函数”通过“思考”中的三个具体问题，让学生发现每个问题中的两个变量，询问这两个变量具有什么关系，得出变量之间的表达式，指出它们的表达式具有相同形式，具有这类相同表达式的函数，我们称为反比例函数．“26. 2 实际问题与反比例函数”是现实世界中四个典型的实例，我们先把它们抽象为数学模型——反比例函数，它刻画了问题中的反比例关系，然后运用反比例函数的性质解决它们．在反比例函数概念的学习中，我们再次经历了概念学习的几个过程：（1）概念的引入——通过三个具体实例，反比例关系和函数的概念，引出反比例函数；（2）概念属性的归纳——对教科书中的三个实例进行分析、比较、综合，归纳三个实例的共同特征的形式；（3）概念的明确与表示——指出形如（k为常数，k≠0）的函数叫做反比例函数，并给出文字语言和数学符号语言的准确表示；（4）概念的辨析——在练习中，以实例为载体分析概念，并恰当使用反例，如“26.1.1 反比例函数”中的练习2和练习3；（5）概念的巩固应用——用概念解决简单问题，形成用概念作判断的具体步骤，如“26.1.1 反比例函数”的例1；（6）概念的“精致”——通过概念的综合应用，如“26.1.2反比例函数的图象和性质”，“26.2实际问题与反比例函数”，进一步认识反比例函数的概念，加深对反比例函数概念的理解．2. 类比正比例函数、一次函数和二次函数的研究方法，研究反比例函数。
反比例函数教材分析
第十七章反比例函数一、课标要求1．使学生理解并掌握反比例函数的概念，能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，能判断一个给定函数是否为反比例函数；2．能描点画出反比例函数的图象，会用待定系数法求反比例函数的解析式，进一步理解函数的三种表示方法，即列表法、解析式法和图象法的各自特点；3．能根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数的函数关系和性质，能利用这些函数性质分析和解决一些简单的实际问题；4．探索现实生活中数量间的反比例关系，在解决实际问题的过程中，进一步体会和认识反比例函数这种刻画现实世界中特定数量关系的数学模型；5．使学生在学习一次函数之后，进一步理解常量与变量的辨证关系和反映在函数概念中的运动变化观点，进一步认识数形结合的思想方法。
二、反比例函数中考要求三、课时安排（仅供参考）.17.1 反比例函数(3课时)１.反比例函数的意义２.反比例函数的图象和性质３.k的绝对值的几何意义．17.2 实际问题与反比例函数(4课时)1.实际问题与反比例函数2.一次函数与反比例函数3.用函数观点看方程和不等式小结（1课时）四、对教学的几点建议1．注意做好与已学内容的衔接.2．加强反比例函数与正比例函数的对比.3．把突出函数中蕴涵的重要数学思想作为本章的主要线索.4．反比例函数与现实世界的联系.5．注意突破知识的难点和重点.五、相关习题(一)反比例函数的概念[例1]1. 下列函数中，y是x的反比例函数的是（ C ）A. y =3xB. x y 11+=C. 3xy =1D. 21-=x y 2. 若y 与x 1成反比例，x 与z1成正比例，则y 是z 的（ B ） A. 正比例函数 B. 反比例函数C. 一次函数D. 不能确定3. 平面直角坐标系中有六个点(15)A ，，533⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ，，(51)--C ，，522⎛⎫- ⎪⎝⎭D ，，533⎛⎫ ⎪⎝⎭E ，，522⎛⎫ ⎪⎝⎭F ，，其中有五个点在同一反比例函数图象上，不在这个反比例函数图象上的点是（ B ） A ．点C B ．点D C ．点E D ．点F [例2]1. k = 0 时，函数122)2(-++=k k x k y 是反比例函数.2. 如果函数122)2(-++=k kx k y 的图象是双曲线，那么k = 0 .注：此类问题要同时考虑两个条件，①比例系数；②自变量的指数. (二)反比例函数的图象和性质 [例3]1.如果函数32)1(-++=k k x k y 是反比例函数，且它的图象在第二、四象限内，那么k = -2 . 2.如果函数32)1(-++=k kx k y 是反比例函数，且在每一象限内y 随x 的增大而减小，那么k = 1 .3．（2012•常德）对于函数xy 6=，下列说法错误．．的是 （ C ） A. 它的图像分布在一、三象限 B. 它的图像既是轴对称图形又是中心对称图形C. 当x>0时，y 的值随x 的增大而增大D. 当x<0时，y 的值随x 的增大而减小4．（2012•济宁）如图，是反比例函数y=的图象的一个分支，对于给出的下列说法：①常数k 的取值范围是k ＞2； ②另一个分支在第三象限；③在函数图象上取点A （a 1，b 1）和点B （a 2，b 2），当a 1＞a 2时，则b 1＜b 2； ④在函数图象的某一个分支上取点A （a 1，b 1）和点B （a 2，b 2），当a 1＞a 2时，则b 1＜b 2； 其中正确的是 ①②④． （在横线上填出正确的序号）[例4]利用图像比较函数值（或自变量）的大小1．（ 2012•广州）如图，正比例函数y 1=k 1x 和反比例函数y 2=的图象交于A （﹣1，2）、B （1，﹣2）两点，若y 1＜y 2，则x 的取值范围是（ D ． ）A ．x ＜﹣1或x ＞1B ．x ＜﹣1或0＜x ＜1C ．﹣1＜x ＜0或0＜x ＜1D ．﹣1＜x ＜0或x ＞1 2．（2012•兰州）在反比例函数()0〈=k xky 的图象上有两点(－1，y 1)，（2,41y -），则y 1－y 2的值是( A )A ． 负数B ． 非正数C ． 正数D ． 不能确定3．（2012•南通）已知点A (－1，y 1)、B (2，y 2)都在双曲线y ＝ 3＋2mx上，且y 1＞y 2，则m 的取值范围是（ A ）A ．m ＜0B ．m ＞0C ．m ＞－ 3 2D ．m ＜－ 3 2注：①反比例函数增减性问题可利用图象解决，数形结合，直观明了.②反比例函数的增减性注意是每一支双曲线上的增减性. [例5]k 的几何意义的应用---三角形的顶点落在双曲线上 1．如图，点1231,,,,,n n A A A A A -为x 轴正半轴上的一点，11223OA A A A A ===…11n n A A -==，分别以1231,,,,,n n A A A A A -为直角顶点作11Rt OA B ∆，122Rt A A B ∆，233Rt A A B ∆，…，1Rt n n n A A B -∆，它们的面积分别记为1231,,,,,n n S S S S S -，且11S =．双曲线恰好经过点1231,,,,,n n B B B B B -．（1）求双曲线和直线12A B 对应的函数解析式； （2）填空：10_____S =，_____n S =；101，n1 （3）若直线O B 1交双曲线于另一点P ，有三位同学在研究直线12A B 、直线23A B 、…、直线1n n A B -这系列直线，有如下发现：①小明说：“我发现直线12A B 经过P 点．”②小梁说：“我发现直线12A B 和直线23A B 都经过P 点．”③小朱说：“我发现直线12A B 、直线23A B 、…、直线1n n A B -都经过P 点．”请问：上述三位同学的发现，谁的更准确？③更准确2．如图，111222(,),(,)P x y P x y ，…，(,)n n n P x y 在函数4(0)y x x=>的图象上11POA ∆，212P A A ∆，323Rt P A A ∆，…，1n n n P A A -∆都是等腰直角三角形，斜边1OA 、12A A 、23A A 、…、1n n A A -都在x 轴上，3B2B3C2C1Cxy3A （1）点2A的坐标是____________；（2）点nA的坐标是；)0,24(2A)0,4(nAn（3）123ny y y y++++=．n23.如图，在x轴的正半轴上依次截取112233445OA A A A A A A A A====，过点12345A A A A A、、、、分别作x轴的垂线与反比例函数()2y xx=≠的图象相交于点12345P P P P P、、、、，得直角三角形1112233344455OPA A P A A P A A P A A P A2、、、、，并设其面积分别为12345S S S S S、、、、，则5S的值为 .514.(2010年南宁市)如图所示，点1A、2A、3A在x轴上，且11223OA A A A A==，分别过点1A、2A、3A作y轴的平行线，与反比例函数()8y xx=>的图象分别交于点1B、2B、3B，分别过点1B，2B，3B作x轴的平行线，分别与y轴交于点1C，2C，3C，连接1OB，2OB，3OB，那么图中阴影部分的面积之和为___________.499[例6] k的几何意义的应用---矩形的顶点落在双曲线上1. 如图，在反比例函数2yx=（0x>）的图象上，有点1234P P P P，，，，它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为123S S S，，，则123S S S++= 1.5 ．[例7]利用k的几何意义的应用----确定解析式1．（2012铜仁）如图，正方形ABOC的边长为2，反比例函数kyx=的图象过点A，则k的值是（ D ）2A ．2B ．﹣2C ．4D ．﹣4注：比例系数k 的值等于反比例函数图象上任意一点的横、纵坐标之积. 2．（2012•聊城）如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O ，且正方形的一组对边与x 轴平行，点P （3a ，a ）是反比例函数y=（k ＞0）的图象上与正方形的一个交点．若图中阴影部分的面积等于9，则这个反比例函数的解析式为 xy 3=．(三) 实际问题与反比例函数1. 求函数解析式的方法：①待定系数法；②根据实际意义列函数解析式.2. 注意学科间综合，但重点放在对数学知识的研究上，对跨学科问题不宜过难. [例8]1．（ 2012•南充）矩形的长为x ，宽为y ，面积为9，则y 与x 之间的函数关系用图像表示大致为（ C ）注：以上两题是根据题意直接列出的解析式. 在实际问题中应注意自变量的取值范围. 2．（2012•兰州）近视眼镜的度数y (度)与镜片焦距x (m)成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25m ，则y 与x 的函数关系式为(C )A ．B ．C ．D ．y ＝(四) 反比例函数与其它知识的综合应用 [例9] 找规律 1. 将32=x 代入反比例函数xy 1-=中，所得函数值记为y 1，又将x = y 1+1代入函数中，所得函数值记为y 2，再将x = y 2+1代入函数中，所得函数值记为y 3，如此继续下去，则y 2005=__-2. 分别是x 1，3，5P 2，P 3xy 3=Q 2（x 2，Q 2005（x 3.（内江市 ，n M MP S 211∆[例10] 用函数的方法解决方程、不等式的有关问题 1．(2012•连云港)如图，直线y ＝k 1x ＋b 与双曲线y ＝xk 2交于A 、B 两点，其横坐标分别为1和5，则不等式k 1x ＜xk 2＋b 的解集是 －5＜x ＜－1或x ＞0． ．2．（2012•梅州）在同一直角坐标系下，直线y=x+1与双曲线的交点的个数为（C ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．不能确定3．（2012•益阳）反比例函数的图象与一次函数y=2x+1的图象的一个交点是（1，k ），则反比例函数的解析式是．4．（2012泰安）如图，一次函数y kx b =+的图象与坐标轴分别交于A ，B 两点，与反比例函数ny x=的图象在第二象限的交点为C ，CD⊥x 轴，垂足为D ，若OB=2，OD=4，△AOB 的面积为1． （1）求一次函数与反比例的解析式；4y x=- （2）直接写出当0x <时，0kkx b x+->的解集． (当0x <时，0kkx b x+->的解集是4x <-．)注：函数与方程、不等式有着密切的联系，用函数图象解决方程、不等式的有关问题，直观简捷.[例11] 反比例函数与三角形1．（湖北省黄石市2012年）如图（5）所示，已知11(,)2A y ，2(2,)B y 为反比例函数1y x=图像上的两点，动点(,0)P x 在x 正半轴上运动，当线段AP 与线段BP 之差达到最大时，点P 的坐标是（ D ）A. 1(,0)2 B. (1,0)C. 3(,0)2D. 5(,0)22．(2012•云南)如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，一次函数与反比例函数的图象相交于A （2，1）、B （﹣1，﹣2）两点，与x 轴交于点C ．（1）分别求反比例函数和一次函数的解析式（关系式）； 答：反比例函数的解析式是y 2=，一次函数的解析式是y 1=x ﹣1． （2）连接OA ，求△AOC 的面积．3．（2012•德阳）已知一次函数y 1=x+m 的图象与反比例函数的图象交于A 、B 两点．已知当x ＞1时，y 1＞y 2；当0＜x ＜1时，y 1＜y 2．（1）求一次函数的解析式；一次函数的解析式为y 1=x+5；（2）已知双曲线在第一象限上有一点C 到y 轴的距离为3，求△ABC 的面积．214．(2012•扬州)如图，双曲线y ＝经过Rt△OMN 斜边上的点A ，与直角边MN 相交于点B ，已知OA ＝2AN ，△OAB 的面积为5，则k 的值是 12 ．第4题图 第5题图5.（2012湖北武汉）如图，点A 在双曲线y ＝ kx的第一象限的那一支上，AB 垂直于x 轴与点B ，点C 在x 轴正半轴上，且OC ＝2AB ，点E 在线段AC 上，且AE ＝3EC ，点D 为OB 的中点，若△ADE 的面积为3，则k 的值为 ．1636.（2012年山东省济南市）如图，已知双曲线ky x=，经过点D （6，1），点C 是双曲线第三象限上的动点，过C 作CA ⊥x 轴，过D 作DB ⊥y 轴，垂足分别为A ，B ，连接AB ，BC ． （1）求k 的值；6（2）若△BCD 的面积为12，求直线CD 的解析式；122y x =- （3）判断AB 与CD 的位置关系，并说明理由．AB ∥CD ．7.(2012•丽水)如图，等边△OAB和等边△AFE的一边都在x轴上，双曲线y ＝(k＞0)经过边OB的中点C和AE 的中点D．已知等边△OAB的边长为4．(1)求该双曲线所表示的函数解析式；y ＝(2)求等边△AEF的边长．4－8．8.（2012年北海市）如图，在平面直角坐标系中有Rt△ABC，∠A＝90°，AB＝AC，A（－2，0）、B（0，1）、C （d，2）。
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反比例函数教材分析文件编码（GHTU-UITID-GGBKT-POIU-WUUI-8968）
“第1章反比例函数”教材分析
一、教材分析
根据《数学课程课标》(实验稿)，与原教材相比本章内容要求有所提高，主要表现在：（1）性质的探索过程——根据图象和解析式探索并理解其性质；（2）在实际问题中的应用．这是符合新课改的理念，总的来说是探讨知识发生的过程，培养学生自己探索问题，同时联系实际，提高学生分析解决问题的能力．与原浙江版相比，降低的地方是删去了反比例函数图象的性质：图象的两个分支都无限接近但永远达不到x轴和y轴．因为从教学实践看，学生对此不易理解，这条性质实际应用意义也不大．假如学生程度较好，老师在这方面也可以适当拓展．从编排顺序来看，原来浙江版中，本章内容放在初二下的“函数及其图象”一章中，编排顺序是平面直角坐标系—函数—正比例函数—反比例函数．本套教科书采用分步到位、穿插编排的方式．在八年级上册安排了“图形与坐标”、“一次函数”．到九年级上册一开始就学习“反比例函数”．这样编排的好处是因为反比例函数思维要求比较高，图象分两支，且又是曲线，学生理解相对困难，略放后面与学生接受能力、认知水平相当，为学生探索理解反比例函数创造条件．缺点是与前面知识连贯性较差．本章的主要内容有反比例函数的概念、解析式、性质和图象．本章是在已经学习了图形与坐标和一次函数的基础上，再次进入函数范畴，使学生进一步理解函数的内涵，并感受世界存在的各种函数及应用函数来解决实际问题．反比例函数是最基本的函数之一，是后续学习各类函数的基础．
二、重点难点
反比例函数是继一次函数之后又一重要的基本函数，它为今后学习图象和
曲线的关系（如二次函数）提供了研究方法．反比例函数本身在日常生活和生产中也有着许多直接应用，这对学生建模思想、数形结合思想等重要思想方法的形成，也会产生较大的影响，所以反比例函数是本章教学的重点．反比例函数图象的两个分支，给反比例函数的性质带来复杂性，学生不易理解，是本章教学的难点之一；综合运用反比例函数的解析式、图象和性质解决实际问题时，往往会遇到较复杂的问题情境，需要建模，利用图象以及综合运用方程、不等式及其他数学模型，所以综合运用反比例函数知识解较复杂的实际问题是本章教学又一主要难点．
三、课时安排
1.1 反比例函数 2课时
1.2 反比例函数的图象和性质 2 课时
1.3 反比例函数的应用 1课时
复习、评价2课时，机动使用2课时，合计9课时．
四、教学建议
（1）反比例函数概念和形成过程，应充分利用学生的生活经验和背景知识．生活经验就是学生已经知道两个量成反比例的概念，建立反比例函数离不开反比例关系这个基础；背景知识是八年级上册的“图形与坐标”及“一次函数”．所以在学习本章内容前可先与学生一起回顾一下以上已学内容，对扫清障碍，理解接受新概念很有益处．
（2）注重数学思想的渗透，从数学自身发展过程看，正是由于变量与函数概念的引入，标志着初等数学向高等数学迈进，尽管本章讲述的反比例函数仅是一种最基本、最初步的函数，但其中蕴涵的数学思想方法，对学生分析问
题解决问题是十分有益的．教学中应让学生充分体会诸如变化与对应思想、数形结合思想，建模思想等．
（3）本章是实践性、应用性很强的内容，联系“科学”的知识特别
多．这一方面体现教材的横向联系，又体现本章内容的实用价值．如密度、压强与体积、杠杆原理、欧姆定理、电功率计算等．若学生在这方面有缺陷，则直接影响到本章的学习．建议老师在教前在同学中广泛了解学生的基础，若有问题应给予补充说明．
（4）本章1.2节安排“合作学习”．在画反比例函数的图象时充分发挥“自主探索—合作学习” 这种学习方式的作用．在按课本顺序指导学生画完图后，让学生回顾画图的全过程．体现课标要求“性质的探索过程——根据图象和解析表达式探索并理解其性质”．引导学生分清：①两个分支是一个函数的图象，不是函数有两个图象．②画曲线时，必须将自变量从小到大的顺序在各个象限里用光滑曲线连结起来，不能跨象限连结．③在图象所在的每个象限内，当k ＞0时，函数值y 随自变量x 的增大而减小；当k ＜0时，函数值y 随自变量x 的增大而增大．
（5）本套教科书在七年级下册就安排了“图形的变换”，目的是作为今后研究图形的工具．所以在教学中应充分利用，注意各章节之间的内在联系．在这里就尽量用图形变换的思想叙述性质、用图形变换的角度观察、分析图形之间的联系．如反比例函数的图象是关于原点成中心对称，利用这一性质可以简化画图过程；x
y ＝1的图象与x y 1＝－的图象关于坐标轴对称，我们可以通过图形变换来作另一函数的图象．
（6）本章还渗透了建模的思想．具体过程可概括为：由实验获得数据---用描点法画出图象---根据图象和数据判断或估计函数的类别---用待定系数法求出函数的关系式---用实验数据验证．随着社会的发展和科学技术的不断进步，数学的应用已越来越被人们所重视，培养学生分析问题、解决实际问题的能力已成为当今数学教育的主流．中学数学建模正顺应了这一时代发展的潮流，是对陈旧的数学教育观下的数学教育的有力冲击．中学数学建模从学生所经历，所接触到的客观实际中提出问题，对学生了解社会，认识社会都有积极作用．通过数学建模，对数学的广泛应用有了进一步认识，促使学生在积极思考中，在问题的解决中发现数学的价值与美．同时数学建模的复杂性，决不是凭个人的力量可以完美解决的，因此强调群体的协作．通过实际考察、实验统计、演义推理、总结提炼，最后又相互交流，共同探讨，共同解决．解决问题过程中充分体现高度的协作精神．教科书中的渗透正是体现了这种思想．。