弹性力学---第2章边界条件(6-7)

fYyn
注意：以上在推导时，斜 面上的应力px,py采用矢量 符号规定－与面力相同。
应力边界条件的写法是：左端为边界上微元体的 应力分量；右端为面力分量。可以各自采用各 自的符号规定。但需要用边界的方向余弦
特例--边界面与坐标轴平行时 (1).左右两面
x yx
xy y
s
l m
f f
yx
s
f
x
o
x
上面：l=0，m=-1
左面：
右面：
l=-1
l=1
m=0
m=0
下面：l=0，m=1 y
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边界条件有三类：位移、应力、混合边界条件
一.位移边界条件
在位移边界问题中，物体在全部边界上的位移
分量是已知的，即： 式中：
us
u , vs
v （２～１４）
us、vs —是位移的边界值；
u、v — 边界上坐标的已知函数或边界上
已知的位移分量。
二、应力边界条件
边界上面力分量为已知。建立边界上微元体的应 力分量与面力分量的关系
x
O
xy x0 0
n
y
2）左边界（x=y×tg）
cosn, x cos
y
m cosn, y cos( )
2
sin
y
f x 0, f y 0
由：
x n
x
s
m xy
s
fx
xy s m y s f y
O
y
y
l cos m sin
x yx
二、应力边界条件
在边界上的楔形体（单位厚度）如图所示：
弹性体内单元体斜面上的 应力分量与坐标面应力的
y
关系有(静力平衡)
yx
px py
x yx
xy l
y
m
x
xy
Xf xn
单元体斜面恰为边界面则
面力分量与坐标面应力的
关系有应力边界条件
yxx
xy y
s
l m
f f
x y
2
悬臂梁的例子：
y
y
h
2 h
y
2
x
h
2 h
x
2
L
L
P
对边界条件的积分为： (P.23 (b))：
h
h
x xl fx
2 h
x
xldy
2 h
f x dy
2
2
h
h
y xl f y
2 h
y
dy
xl
2 h
f ydy
2
2
根据圣维南原理，同时还要考虑等效力矩：
h
h
y
线性分布的边界力所形
h 2 h 2
L
y
M 成的力偶等于M x 由材力弯曲公式：
Myy
Iz
严格面力
fx
Myy Iz
h
f y 0
2
y
h 2
x 严格边界条件
L
x
xL
Myy Iz
只有在右端弯矩是由线性分布的外力引起时， xy xL 0
材料力学的公式才在右端附近严格成立。
悬臂梁的例子： 边界的积分式
x y
l
1 (
)
x
s
fx
m
0 (
)
xy
s
f
y
(2).上下两面
l 0 ( y)s f y
m
1 (
)
yx
s
f
x
o
x
上面：l=0，m=-1
左面：
右面：
l=-1
l=1
m=0
m=0
下面：l=0，m=1 y
边界面于坐标轴平行时的简单写法: 每个边界条件只含有一个应力分量(l=0 or m=0) 边界上的面力按应力分量的符号规定，不考虑l,m
l
(
x
)
y
s
f y
(
)
x
s
、(
)
yx
s
为应力的边界值
2.特例--边界面与坐标轴平行时
x yx
xy y
s
l m
f f
x y
(1).左右两面：
l 1 ( x)s fx
m
0 (
xy)s
f
y
(2).在上下两面:
l 0 ( y)s f y
m
1 (
)
• 证明概要：只要证明在体力和面力都为零的情况 下，边值问题只可能有零解(应力、应变和位移 全为零)。后者则需要用到应变能的概念。
• 据此，任何一组应力应变和位移，如果它们确能 满满足方程和边界条件，就肯定是该问题的解。
叠加原理
• 叠加原理：两组外力同时作用在物体上 所产生的结果等于他们分别作用产生的 结果之和。
2 h
x
xl ydy
2 h
f x ydy
2
2
平面问题小结
一. 平面问题基本未知量
平面应力问题
1、应力分量
平面应变问题
x x, y, y (x, y),
x, y
xy
x x, y, y x, y, xy x, y, z
（3个）
2、应变分量
独立的（3个）
x, y, x
x, y,
• 证明概要：只需注意方程都是线性的， 同时边界条件也是线性的即可。
• 推广：以上两组外力可以推广到n组外力。 • 分解原理：根据叠加原理，可以把原问
题分解成几个简单的问题单独求解。
§2-7.圣维南原理(局部性原理)
一.圣维南原理的叙述
描述－1、如果把物体的一小部分边界上 的面力以等效力系（主矢及主矩均为相同） 代换，则在加载附近的的应力发生显著变 化，而在稍远处的影响可忽略不计，亦即 与载荷在边界上的作用形式无关。 描述－2、如果物体在一小部分边界上的 面力是一个平衡力系（主矢及主矩均为 零），则面力就只会使近处产生显著的应 力，远处的应力可忽略不计。
y y f y 0
2、几何方程（3个）
（2-2）
u x x
v y y
v u xy x y
(2 8)
平面应变问题 同左
同左
3、物理方程（3个）
x y
1 E 1 E
( (
x y
y) x)
(2～12）
xy
1
G
xy
2
1
(
)
x E
x 1 y
2
1 yE
(
y 1
2 h
x
2
L
P
根据圣维南原理，把给出的面力化成合力和合力矩
h
2 h
f xdy Fx ,
2
h
2 h
f ydy
Fy ,
2
h
2 h
f x ydy M
2
则边界条件可以写成(P.23 (b))：
h
2 h
x
xldy Fx ,
2
h
2 h
xy
dy
xl
Fy ,
2
h
2 h
x
xl ydy M
• 在小边界上，如果不能严格满足边界条件，可 以用圣维南原理在静力等效意义上满足(积分 意义上的)边界条件。
• 根据这个原理：两组面力其分布尽管不同，但 如果两者的合力与合力矩相同(静力等效)，此 时它们所产生的作用结果仅仅在局部有比较大 的差异，远离这个局部，结果基本相同。
静力等效边界条件：对于严格要求的条件在局部放松
§2－6.边界条件
对于上述所谈及的两种平面问题：
平衡方程（2~2） ——2个
几何方程（2~8） ——3个
八个方程
物理方程（2~12）——3个
含 、 、 、 、 、 、u、v
x
y
xy
x
y
xy
共计八个未知函数
注:虽然八个方程可解八个未知函数,但由于求解时会 产生待定函数(常数);所以要想得出具体的解答还 必需利用边界条件来确定待定函数。
)
xy
s
0
左 : (
)
x
Hale Waihona Puke Baidu
s
q, (
)
xy
s
0
上 : (
y)s q, (
y
)
x
s
0
下: (
)
y
s
q, (
y
)
x
s
0
三、混合边界条件 1、在一部分边界上的位移分量为已知，另一
部分边界上应力分量已知。 2、在同一边界上，已知一个位移分量和一个
应力分量。 图(b)
图(a)
o
x
x
y
us u 0
图中的面力采用矢量 符号规则
举例：
X 0,Y q
l 0; m 1
X q Y 0
y
X 0,Y q
x
X q Y 0
(1).左右 (2).上下
l
1 (
)
x
s
fx
m
0 (
)
xy
s
f
y
l 0 ( )y s Y m 1 ( yx)s X
右 : (
)
x
s
q, (
y
xy x, y, z
x, y, x, y, x, y
x
y
xy
独立的（3个）
（3个）
3、位移分量f
ux, y, vx, y, w 独立的（2个） ux, y, vx, y（2个）
二. 平面问题基本方程
平面应力问题
1、平衡微分方程 （2个）
x x
yx
y
fx
0
xy x
二. 圣维南原理的应用条件
1、必须用等效力系代替。
2、载荷区域必须比物体的最小尺寸为小（小边界上)
举例 P
P 图(a)
q P A
q
图(b)
P
（1）以(b)代(a)应力边界条件可以近似满足。 （2）以(b)代(c)应力边界条件可以近似满足,但
位移边界条件不能完全满足。
图(c)
圣维南原理的应用
• 所得到的应力分量必须在所有边界上各点处严 格满足应力边界条件，才是所论问题的解答。
)
x
2(1 )
xy
E
xy
(２13)
x
E 2(
x
)
y
1
y
E 2(
y
) （2 ~ 12a）
x
1
E
xy 2(1 )
xy
用下式代换：
E
E
1
2
,
1
１、在边界上取楔形研究（单位厚度）
如图所示：
y yx
D
B
由 Fx 0 :
X 1 ds x 1l ds yx 1 m ds
X 1 l ds m ds＝０
x
fx
xy
fy
C
A
fy
fx
n
2
化简得:
xl
yxm
fx
fx
lm 2
ds
AB ds
DA DB
lm d ds s lm ccoos(sn(n, x, )y)
namely
l (
x)s m(
)
yx
s
fx (2 15)
m(
)
y
s
h
2 h
x
xldy 0
2
h
2 h
x
xl ydy M
2
h
2 h
xy
dy
xl
0
2
设中性轴为z
y xdA z 1
自由端边界条件：
y
h
2 h
x
xl dy 0
2
h
h
2 h
x
2 h
x
xl ydy 0
2
2
h
L
P
2 h
xy
dy P
x l
2
y
用积分表达的边界条件
h
x
xy
fx
由
x
s
m xy
s
fx
P
n
xy s m y s f y
y
fy
x s
cos
yx
s in
s
0
xy
cos
s
y
s in
s
0
x
s
ytg 2
p
A y
tg
2
xy
s
ytg
p
Ay
tg
[例] 写出应力边界条件。设液体比重为
解：1）右边界（x=0） x x0 y
xy
fy
0
y
(
x)s fx 0
vs v 0
例1：小锥度杆承受轴向拉力。利用边界条件证明，横截面上，
除与正应y力的关y 系外。，(还假有设剪任应何力界面 x上y 。y方并向确的定正边应界力上均匀 分x 、布) xy
o
y
解：
y
P A( y)
y
yx
l cosn, x cos
m cosn, y sin
xy y
s
l m
f f
x y
x s cos
xy
sin
s
0
xy
cos
s
y
sin
s
0
y
唯一性定理
• 表述－1：在没有初始应力的情况下，如果边界 条件足以确定全部刚体位移，则弹性力学边值问 题的解答是唯一的。
• 表述－2：在没有初始应力的情况下，弹性力学 边值问题的解在相差一组刚体位移的意义下是唯 一的。