高等传热学-傅立叶导热定律及导热方程
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高等传热学
导热微分方程及其推导
曾经的推导方式是怎样？
在具体坐标系下，对微元体(different element) 应用能量平衡原理 基于导热积分方程，利用散度定理 (divergence theorem) 推导
高等传热学
按散度定理，将对面积的积分(surface integral)改为对体积的积分 (volume integral)
( e)dV
将各项表达式代入热平衡式： V ( e)dV A q n dA V qV dV 上式称为导热方程的积分形式 integral form（注意：各向同 性，异性均适用）
导热积分方程
heat conduction integral equation
A
V
dv dA
按热平衡有：（针对控制容积control volume）
导入的净热流量 + 内热源发热量 = 内能增加量 导入的净热流量 net heat flow rate 内热源发热量
heat generation
q n dA
q
V
V
A
V
dV
内能增加量 intrinsic energy increasing
机械波的形成 Form of the mechanical wave
物体的振动(vibration)要与周围物质发生 相互作用，从而导致能量向四周传播 机械波正是这样一个机械振动的传播过程 机械波的形成需要两个条件：波源(source) 及传播振动的物质(media) 波源是引起波动的初始振动物体 传播振动的物质一般为弹性介质(elastic media)
去掉积分符号
上式为导热能量方程的微分形式 differential form
导热微分方程 heat conduction differential equation
上式进一步将内能用温度表示，热量用温度梯度表示，则：
( ct ) (t ) qV 0
即
( ct ) (t ) qV
高等传热学
经典傅立叶导热定律的适用条件
applicable condition of the Fourier’s low
经典的傅立叶导热定律针对稳态(steady state)观察所 得，没有考虑热的波动性 在稳态导热情况下，热量传递速度可以看成无限大
方程说明什么？各变量是何含义？ 在直角坐标系中，上式如何描述？
V
( e)dV q n dA qV dV A V
将内能与温度的关系e = ct和傅里叶定律
代入上式，则有：
q t
V
( c t )dV t n dA q v dV A V
这就是导热积分方程（integral equation），它针对物体内 任意区域。
梯度 (gradient) 一般表达式在附录(Appendix) 3 中式（9）
1 1 1 e1 e2 e3 H1 q1 H 2 q2 H 3 q3
按温度变量(variable)有：
1 t t ei i 1 H i xi
3
（a)
高等传热学
导热积分方程及其推导
heat conduction integral equation and its deduction
假设模型： Assumption 物体存在内热源， 其热源强度为qV， 所考虑控制容积为V， 边界面积为A。取微 元体容积为dV，其 边界面积为dA。
高等传热学
n q
f（ ,） G（x， ; ,）dd
( x )2 1 G( x, ; , ) exp 4 a 2 a
它代表在时间τ＝η＋0这一瞬时(moment)，作用在无限 大物体内x=η处的热源所引起的温度分布。 显然，当时间τ>η时，若内热源为放热源，则整个无限大 区域内的温度总是升高；反之则温度降低。 任何一点的温度都要受到瞬时热源的影响 这意味着热量传递速度无限大
energy balance for heat conduction and its mathematical form
导热方程式是以数学形式体现的在热传导过程中、特定考 虑区域内的能量守恒规律，即简化的热力学 thermodynamics 第一定律。 它揭示了温度场在时——空领域内的内在联系。
导热积分方程 integral equation 导热微分方程 differential equation 导热变分方程 variation equation
与一般的傅立叶导热定律有何区别 更多内容可参阅“热传导、质扩散与动量传 递中的瞬态冲击效应”一书，作者：姜任秋
高等传热学
各向异性介质中的导热
heat conduction in the anisotropic medium
何为各向异性？ 3 t qi ij x j j 1 下标 i,j 分别是何含义?
11 矩阵 [ ] Matrix 21 31
,
矢量
可以通过坐标变换(coordinate system transformation )，在一个确 定的坐标系（ξ1，ξ2， ξ3）下，
11 [] 21 31
12 22 32
t q gradt t n n
高等传热学
经典傅立叶导热定律所得出热量传递 速度无限大的证明(prove)
针对初始温度为0℃的无限大一维物体，突然有单位体积 (unit volume) 发热量(heat generation rate)为Q(x,τ) 的内热源(inner heat source)开始发热，按照经典的傅 立叶导热定律，其定解(unique solution)问题可以用以 下表达：
第一讲 导热的基本理论 Basic Theory Of Heat Conduction
导热的波动性(wave) 及傅立叶导热定律的修正(modification) 各向异性介质中的导热(anisotropic medium ) 热传导过程的能量平衡及其表现形式 导热微分方程在正交坐标系(ORTHOGONAL CURVILINEAR COORDINATE SYSTEM)表述
质点温度发生变化，则意味着内能发生变化 按热力学第一定律，必有热量进出该质点 结果表明瞬时热源的作用迅速传遍整个区域， 不论空间介质种类如何（热量传播速度无限 大） 温度出现不均匀的的原因是由于各点吸收的 份额不同 热传导微分方程是傅立叶导热定律结合能量 守恒原理而得 能量守恒定律只涉及能量在数值上的关系， 与能量传递过程中具体行为无任何联系 故可认定上述结论是傅立叶导热定律所导致
q n dA div q dV q dV
A V V
则积分形式成为：
或：
V
( e)dV q dV qV dV V V
( e) q qV dV 0 V
( e) q qV 0
高等传热学
以c代表热量传递速度，τ0代表驰豫时间，则在温度场重 新建立期间，热扰动传播的距离为δ＝c τ0，从热扩散率 角度来看，热扰动传播距离可以表示为δ＝a/c，从而：
c 0 a / c
则热量传播速度为
c
aLeabharlann Baidu
0
这说明热量传播速度随物体热扩散率增大而增大，随松 弛时间增大而减小。松弛时间大致为分子二次碰撞间的 时间间隔。氮：10－9s，铝：10－11s
考虑热传播速度的有限性 对于无源项情况， 型 hyperbola 偏微分方程）
1 2 t 1 t 2 t 2 2 （双曲线 a c
是对抛物线型parabolic偏微分方程的一种修 正
导热微分方程在正交坐标系(orthogonal curvilinear coordinates)中表述
由于滞后于热扰动温度场重新建立所需要 的热量
dq d
单位时间内某地的热量变化
dq 0 d
松弛时间某地的热量变化
变形：
a q 2 c
高等传热学
修正的傅立叶导热定律 modified Fourier’s low
a q q t 2 c
或：
q 0 q t
高等传热学
热的波动性wave of the heat
导热的微观机理根据物质形态的不同而有差 别 热传导过程的实现由两种相互独立的机制完 成（1）利用晶格(crystal lattice)波的振动 和声子(phonon)的运动；（2）自由电子 (free electron) 的平移移动 在导热时的能量传递是微观粒子的波动或运 动导致 导热时热量的传播速度不会以无限大的速度 (infinite speed) 进行
高等传热学
波的特征wave property
传播介质中的质点(particle)并未随机械波 的传播而迁移(move) 水波荡漾时水的质点正是在重力和水的张力 作用下上下振动，从而带动周边的质点一起 上下振动，此质点与周边质点的振动有一个 相位差(phase difference)，这种波称为横 波(transverse wave) 声波(sound wave )的实质与水波(water wave )完全一致，只是水波能看到，声波 看不到
热量实际的传播速度的确定
对于一个处于稳定状态的热传导系统，当系 统内部（interior）或边界（boundary） 出现一个热扰动时，原来的稳定状态便被破 坏(destroy) 通过一段时间的热量传递，系统将达到一个 新的稳定状态 有热扰动(heat disturbance)引起的瞬态 温度分布必将滞后于热扰动 温度场的重新建立滞后于热扰动的时间称为 松弛时间（或驰豫时间）relaxation time
i= 1,2,3
高等传热学
[ q ] [ ] t
其中: 矢量Vector
X
12 22 32 13 23 33
q1 [q ] q 2 , q 3
t x1 t t X x 2 t x 3
13 23 33
1 [ ] 0 0
0
2
0
0 0 3
坐标轴(coordinate axis) Oξ1，Oξ2，Oξ3称为导热系数主轴 (principal axis)，λ1，λ2，λ3成为主导热系数。
热传导过程的能量平衡及其表现形式
Hi称为拉梅(Lame)系数（或度规系数）
高等传热学
根据附录3式（10），得热流密度(heat flux)的散度：
t 2t ＝a 2 f ( x, ) x t ( x, ) 0 0
式中：
Q（x，） f（x，） c
高等传热学
按格林函数(Green function)法求解可得温度分布 (temperature distribution)：
t（x，）
其中，
0
（注意：只适用于各向同性材料）
高等传热学
各种常物性(constant property)材料的导热 微分方程
无内热源项： 稳态导热+无内热源：
1 t 2t a
（抛物线型偏微分方程）
2 qV t 0 ( 泊松方程） （椭圆型偏微分方程） 2t 0 （拉普拉斯方程）
导热微分方程及其推导
曾经的推导方式是怎样？
在具体坐标系下，对微元体(different element) 应用能量平衡原理 基于导热积分方程，利用散度定理 (divergence theorem) 推导
高等传热学
按散度定理，将对面积的积分(surface integral)改为对体积的积分 (volume integral)
( e)dV
将各项表达式代入热平衡式： V ( e)dV A q n dA V qV dV 上式称为导热方程的积分形式 integral form（注意：各向同 性，异性均适用）
导热积分方程
heat conduction integral equation
A
V
dv dA
按热平衡有：（针对控制容积control volume）
导入的净热流量 + 内热源发热量 = 内能增加量 导入的净热流量 net heat flow rate 内热源发热量
heat generation
q n dA
q
V
V
A
V
dV
内能增加量 intrinsic energy increasing
机械波的形成 Form of the mechanical wave
物体的振动(vibration)要与周围物质发生 相互作用，从而导致能量向四周传播 机械波正是这样一个机械振动的传播过程 机械波的形成需要两个条件：波源(source) 及传播振动的物质(media) 波源是引起波动的初始振动物体 传播振动的物质一般为弹性介质(elastic media)
去掉积分符号
上式为导热能量方程的微分形式 differential form
导热微分方程 heat conduction differential equation
上式进一步将内能用温度表示，热量用温度梯度表示，则：
( ct ) (t ) qV 0
即
( ct ) (t ) qV
高等传热学
经典傅立叶导热定律的适用条件
applicable condition of the Fourier’s low
经典的傅立叶导热定律针对稳态(steady state)观察所 得，没有考虑热的波动性 在稳态导热情况下，热量传递速度可以看成无限大
方程说明什么？各变量是何含义？ 在直角坐标系中，上式如何描述？
V
( e)dV q n dA qV dV A V
将内能与温度的关系e = ct和傅里叶定律
代入上式，则有：
q t
V
( c t )dV t n dA q v dV A V
这就是导热积分方程（integral equation），它针对物体内 任意区域。
梯度 (gradient) 一般表达式在附录(Appendix) 3 中式（9）
1 1 1 e1 e2 e3 H1 q1 H 2 q2 H 3 q3
按温度变量(variable)有：
1 t t ei i 1 H i xi
3
（a)
高等传热学
导热积分方程及其推导
heat conduction integral equation and its deduction
假设模型： Assumption 物体存在内热源， 其热源强度为qV， 所考虑控制容积为V， 边界面积为A。取微 元体容积为dV，其 边界面积为dA。
高等传热学
n q
f（ ,） G（x， ; ,）dd
( x )2 1 G( x, ; , ) exp 4 a 2 a
它代表在时间τ＝η＋0这一瞬时(moment)，作用在无限 大物体内x=η处的热源所引起的温度分布。 显然，当时间τ>η时，若内热源为放热源，则整个无限大 区域内的温度总是升高；反之则温度降低。 任何一点的温度都要受到瞬时热源的影响 这意味着热量传递速度无限大
energy balance for heat conduction and its mathematical form
导热方程式是以数学形式体现的在热传导过程中、特定考 虑区域内的能量守恒规律，即简化的热力学 thermodynamics 第一定律。 它揭示了温度场在时——空领域内的内在联系。
导热积分方程 integral equation 导热微分方程 differential equation 导热变分方程 variation equation
与一般的傅立叶导热定律有何区别 更多内容可参阅“热传导、质扩散与动量传 递中的瞬态冲击效应”一书，作者：姜任秋
高等传热学
各向异性介质中的导热
heat conduction in the anisotropic medium
何为各向异性？ 3 t qi ij x j j 1 下标 i,j 分别是何含义?
11 矩阵 [ ] Matrix 21 31
,
矢量
可以通过坐标变换(coordinate system transformation )，在一个确 定的坐标系（ξ1，ξ2， ξ3）下，
11 [] 21 31
12 22 32
t q gradt t n n
高等传热学
经典傅立叶导热定律所得出热量传递 速度无限大的证明(prove)
针对初始温度为0℃的无限大一维物体，突然有单位体积 (unit volume) 发热量(heat generation rate)为Q(x,τ) 的内热源(inner heat source)开始发热，按照经典的傅 立叶导热定律，其定解(unique solution)问题可以用以 下表达：
第一讲 导热的基本理论 Basic Theory Of Heat Conduction
导热的波动性(wave) 及傅立叶导热定律的修正(modification) 各向异性介质中的导热(anisotropic medium ) 热传导过程的能量平衡及其表现形式 导热微分方程在正交坐标系(ORTHOGONAL CURVILINEAR COORDINATE SYSTEM)表述
质点温度发生变化，则意味着内能发生变化 按热力学第一定律，必有热量进出该质点 结果表明瞬时热源的作用迅速传遍整个区域， 不论空间介质种类如何（热量传播速度无限 大） 温度出现不均匀的的原因是由于各点吸收的 份额不同 热传导微分方程是傅立叶导热定律结合能量 守恒原理而得 能量守恒定律只涉及能量在数值上的关系， 与能量传递过程中具体行为无任何联系 故可认定上述结论是傅立叶导热定律所导致
q n dA div q dV q dV
A V V
则积分形式成为：
或：
V
( e)dV q dV qV dV V V
( e) q qV dV 0 V
( e) q qV 0
高等传热学
以c代表热量传递速度，τ0代表驰豫时间，则在温度场重 新建立期间，热扰动传播的距离为δ＝c τ0，从热扩散率 角度来看，热扰动传播距离可以表示为δ＝a/c，从而：
c 0 a / c
则热量传播速度为
c
aLeabharlann Baidu
0
这说明热量传播速度随物体热扩散率增大而增大，随松 弛时间增大而减小。松弛时间大致为分子二次碰撞间的 时间间隔。氮：10－9s，铝：10－11s
考虑热传播速度的有限性 对于无源项情况， 型 hyperbola 偏微分方程）
1 2 t 1 t 2 t 2 2 （双曲线 a c
是对抛物线型parabolic偏微分方程的一种修 正
导热微分方程在正交坐标系(orthogonal curvilinear coordinates)中表述
由于滞后于热扰动温度场重新建立所需要 的热量
dq d
单位时间内某地的热量变化
dq 0 d
松弛时间某地的热量变化
变形：
a q 2 c
高等传热学
修正的傅立叶导热定律 modified Fourier’s low
a q q t 2 c
或：
q 0 q t
高等传热学
热的波动性wave of the heat
导热的微观机理根据物质形态的不同而有差 别 热传导过程的实现由两种相互独立的机制完 成（1）利用晶格(crystal lattice)波的振动 和声子(phonon)的运动；（2）自由电子 (free electron) 的平移移动 在导热时的能量传递是微观粒子的波动或运 动导致 导热时热量的传播速度不会以无限大的速度 (infinite speed) 进行
高等传热学
波的特征wave property
传播介质中的质点(particle)并未随机械波 的传播而迁移(move) 水波荡漾时水的质点正是在重力和水的张力 作用下上下振动，从而带动周边的质点一起 上下振动，此质点与周边质点的振动有一个 相位差(phase difference)，这种波称为横 波(transverse wave) 声波(sound wave )的实质与水波(water wave )完全一致，只是水波能看到，声波 看不到
热量实际的传播速度的确定
对于一个处于稳定状态的热传导系统，当系 统内部（interior）或边界（boundary） 出现一个热扰动时，原来的稳定状态便被破 坏(destroy) 通过一段时间的热量传递，系统将达到一个 新的稳定状态 有热扰动(heat disturbance)引起的瞬态 温度分布必将滞后于热扰动 温度场的重新建立滞后于热扰动的时间称为 松弛时间（或驰豫时间）relaxation time
i= 1,2,3
高等传热学
[ q ] [ ] t
其中: 矢量Vector
X
12 22 32 13 23 33
q1 [q ] q 2 , q 3
t x1 t t X x 2 t x 3
13 23 33
1 [ ] 0 0
0
2
0
0 0 3
坐标轴(coordinate axis) Oξ1，Oξ2，Oξ3称为导热系数主轴 (principal axis)，λ1，λ2，λ3成为主导热系数。
热传导过程的能量平衡及其表现形式
Hi称为拉梅(Lame)系数（或度规系数）
高等传热学
根据附录3式（10），得热流密度(heat flux)的散度：
t 2t ＝a 2 f ( x, ) x t ( x, ) 0 0
式中：
Q（x，） f（x，） c
高等传热学
按格林函数(Green function)法求解可得温度分布 (temperature distribution)：
t（x，）
其中，
0
（注意：只适用于各向同性材料）
高等传热学
各种常物性(constant property)材料的导热 微分方程
无内热源项： 稳态导热+无内热源：
1 t 2t a
（抛物线型偏微分方程）
2 qV t 0 ( 泊松方程） （椭圆型偏微分方程） 2t 0 （拉普拉斯方程）