湖北省黄冈中学高中数学竞赛(预赛)真题训练(六)

湖北省黄冈中学高中数学竞赛（预赛）真题训练（六）

姓名： 班级 ： 分数 ：

一、填空题（本题满分56分，每小题7分。）

1．已知复数m 满足11=+m m ，则=+200920081m

m ． 2．设2cos sin 23cos 21)(2++=

x x x x f ，]4

,6[ππ-∈x ，则)(x f 的值域为 ． 3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若0,01615<>S S ，则

15

152211,,,a S a S a S 中最大的是 ． 4．已知O 是锐角△ABC 的外心，10,6==AC AB ，若y x +=，且5102=+y x ，则=∠BAC cos ．

5．已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，O 为底面ABCD 的中心，M ，N 分别是棱A 1D 1和CC 1的中点．则四面体1MNB O -的体积为 ．

6．设}6,5,4,3,2,1{=C B A ，且}2,1{=B A ，C B ⊆}4,3,2,1{，则符合条件的),,(C B A 共有 组．（注：C B A ,,顺序不同视为不同组．）

7．设x x x x x x y csc sec cot tan cos sin +++++=，则||y 的最小值为 ．

8．设p 是给定的正偶数，集合},3,22|{1N ∈=<<=+m m x x x A p p p 的所有元素的和是 ．

二、解答题（本题满分64分，第9题14分，第10题15分，第11题15分，第12题20分。）

9．设数列)0}({≥n a n 满足21=a ，)(2

122n m n m n m a a n m a a +=+-+-+，其中n m n m ≥∈,,N ．

（1）证明：对一切N ∈n ，有2212+-=++n n n a a a ；

（2）证明：11112009

21<+++a a a ．

10．求不定方程21533654321=+++++x x x x x x 的正整数解的组数．

11．已知抛物线C ：22

1x y =与直线l ：1-=kx y 没有公共点，设点P 为直线l 上的动点，过P 作抛物线C 的两条切线，A ，B 为切点．

(1)证明：直线AB 恒过定点Q ；

12．设d c b a ,,,为正实数，且4=+++d c b a ．证明：

22

222)(4b a a

d d c c b b a -+≥+++．

湖北省黄冈中学高中数学竞赛（预赛）真题训练（六）

详细解答

一、填空题（本题满分56分，每小题7分。）

1．已知复数m 满足11=+m m ，则=+200920081m

m 0 ． 2．设2cos sin 23cos 21)(2++=x x x x f ，]4

,6[ππ-∈x ，则)(x f 的值域为3[2,2]4．

3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若0,01615<>S S ，则15152211,,,a S a S a S 中最大的是88

S a ． 4．已知O 是锐角△ABC 的外心，10,6==AC AB ，若y x +=，且5102=+y x ，则=∠BAC cos 13

． 5．已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，O 为底面ABCD 的中心，M ，N 分别是棱A 1D 1和CC 1的中点．则四面体1MNB O -的体积为748

． 6．设}6,5,4,3,2,1{=C B A ，且}2,1{=B A ，C B ⊆}4,3,2,1{，则符合条件的),,(C B A 共有 1600 组．（注：C B A ,,顺序不同视为不同组．）

7．设x x x x x x y csc sec cot tan cos sin +++++=，则||y 的最小值

为1．

8．设p 是给定的正偶数，集合},3,2

2|{1N ∈=<<=+m m x x x A p p p 的所有元素的和是21122p p ---． 二、解答题（本题满分64分，第9题14分，第10题15分，第11题15分，第12题20分。）

9．设数列)0}({≥n a n 满足21=a ，)(2

122n m n m n m a a n m a a +=+-+-+，其中

n m n m ≥∈,,N ．

（1）证明：对一切N ∈n ，有2212+-=++n n n a a a ；

（2）证明：11112009

21<+++a a a ． 证明 （1）在已知关系式)(2

122n m n m n m a a n m a a +=+-+-+中，令n m =，可得00=a ；

令0=n ，可得

m a a m m 242-= ①

令2+=n m ，可得

)(2

12242222n n n a a a a +=-+++ ② 由①得)1(24122+-=++n a a n n ，62412=-=a a ，)2(24242+-=++n a a n n ，n a a n n 242-=，

代入②，化简得2212+-=++n n n a a a ． ------------------------------------------7分

（2）由2212+-=++n n n a a a ，得2)()(112+-=-+++n n n n a a a a ，故数列}{1n n a a -+是首项为201=-a a ，公差为2的等差数列，因此221+=-+n a a n n ．

于是∑∑==-+=+=+-=n

k n k k k n n n k a a a

a 1101)1(0)2()(． 因为)1(1

11)1(11≥+-=+=n n n n n a n ，所以 12010

11)2010120091()3121()211(111200921<-=-++-+-=+++ a a a ．

------------------------------------------14分

10．求不定方程21533654321=+++++x x x x x x 的正整数解的组数．

解 令x x x x =++321，y x x =+54，z x =6，则1,2,3≥≥≥z y x ．

先考虑不定方程2153=++z y x 满足1,2,3≥≥≥z y x 的正整数解．