初高中数学衔接教材-§3.2-三角形(含答案)

3.2 三角形

3．2．1 三角形的“四心”

三角形是最重要的基本平面图形，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题。

如图3.2-1 ，在三角形ABC

∆中，有三条边,,

AB BC CA，三个角C

B

A∠

∠

∠,

,，三

个顶点,,

A B C，在三角形中，角平分线、中线、高（如图3.2-2）是三角形中的三种重要线

段。

三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心。三角形的重心在三角形

的内部，恰好是每条中线的三等分点。

例1求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2：1。

已知:D、E、F分别为ABC

∆三边BC、CA、AB的中点，

求证:AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成2：1。

证明连结DE，设AD、BE交于点G，

ΘD、E分别为BC、AE的中点，则DE//AB，且

1

2

DE AB

=，

GDE

∆

∴∽GAB

∆，且相似比为1：2，

GE

BG

GD

AG2

,

2=

=

∴。

设AD、CF交于点'

G，同理可得，'2','2'.

AG G D CG G F

==

则G与'

G重合，∴AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成2:1。

三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心。三角形的内心在三角形的内部，

它到三角形的三边的距离相等。（如图3.2-5）

例2已知ABC

∆的三边长分别为,,

BC a AC b AB c

===，I为

图3.2-1 图3.2-2

图3.2-3

图3.2-4

图3.2-5

ABC ∆的内心，且I 在ABC ∆的边BC AC AB 、、上的射影分别为D E F 、、，求证：2

b c a

AE AF +-==

。 证明:作ABC ∆的内切圆，

则D E F 、、分别为内切圆在三边上的切点，

AF AE ,Θ为圆的从同一点作的两条切线，

AF AE =∴，

同理，BD=BF ，CD=CE 。

CD BD CE AE BF AF --+++=-+∴a b c

AE AF AE AF 22==+=

即2

b c a

AE AF +-==

。 例3 若三角形的内心与重心为同一点，求证：这个三角形为正三角形。 已知:O 为ABC ∆的重心和内心。 求证: ABC ∆为等边三角形。 证明:如图，连AO 并延长交BC 于D 。 O 为三角形的内心，故AD 平分BAC ∠，

DC

BD

AC AB =

∴

（角平分线性质定理） O 为三角形的重心，D 为BC 的中点，即BD =DC 。

1=∴AC

AB ，即AB AC =。 同理可得，AB =BC 。

ABC ∆∴为等边三角形。

三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心。锐角三角形的垂心一定

图3.2-6

图3.2-7

图3.2-8

在三角形的内部，直角三角形的垂心为它的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部。（如图3.2-8）

例4求证：三角形的三条高交于一点。

已知:ABC ∆中，，于于E AC BE D BC AD ⊥⊥,AD 与BE 交于H 点。 求证:AB CH ⊥。 证明:以CH 为直径作圆，

,,E AC BE D BC AD 于于⊥⊥Θ

︒=∠=∠∴90HEC HDC

E D 、∴在以CH 为直径的圆上，DEH FCB ∠=∠∴。

同理，E 、D 在以AB 为直径的圆上，

可得BAD BED ∠=∠。BCF BAD ∠=∠∴，

又ABD ∆与BCF ∆有公共角DBF ∠，︒=∠=∠90ADB BFC ，即AB CH ⊥。 过不共线的三点A 、B 、C 有且只有一个圆，该圆是ABC ∆的外接圆，圆心O 为三角形的外心。三角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平分线的交点。

练习1 1.求证：若三角形的垂心和重心重合，求证：该三角形为正三角形。

2．（1）若∆ABC 的面积为S ，且三边长分别为a b c 、、，则∆的内切圆的半径是 。并请说明理由。

（2）若∆t R 三边长分别为a b c 、、（其中c 为斜边长），则∆的内切圆的半径是 。 并请说明理由。

3.2.2 几种特殊的三角形

等腰三角形底边上三线（角平分线、中线、高线）合一。因而在等腰ABC ∆中，三角形的内心I 、重心G 、垂心H 必然在一条直线上。

例5在ABC ∆中，3, 2.AB AC BC ===求:（1）ABC ∆的面积及AC 边上的高BE ；（2）ABC ∆的内切圆的半径r ；（3）ABC ∆的外接圆的半径R 。

解:（1）如图，作AD BC ⊥于D 。

,AB AC D =∴Q 为BC 的中点， 2222=-=

∴BD AB AD ,

222222

1

=⨯⨯=

∴∆ABC S 又BE AC S ABC •=

∆2

1

,解得423BE =。 （2）如图，I 为内心，则I 到三边的距离均为r ，连,,IA IB IC ，

IAC IBC IAB ABC S S S S ∆∆∆∆++=，

即111

22222

AB r BC r CA r =

⋅+⋅+⋅， 解得22

r =

。 （3）ABC ∆是等腰三角形，∴外心O 在AD 上，连BO ， 则OBD R ∆t 中，,OD AD R =-2

2

2

,OB BD OD =+

图3.2-10 图3.2-13

图3.2-11 图3.2-12