回归模型的残差分析

合集下载

什么是残差分析如何利用残差分析来检验回归模型的适用性

什么是残差分析如何利用残差分析来检验回归模型的适用性残差分析是统计学中一种常用的方法，用于评估回归模型的适用性。

在回归分析中，我们希望通过建立数学模型来描述自变量与因变量之间的关系。

残差分析则是用来检验模型是否能准确地描述实际数据。

残差（residual）是指观测值与回归方程预测值之间的差异。

回归方程可以表示为：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ε，其中Y是因变量，X1、X2、...、Xn是自变量，β0、β1、β2、...、βn是回归系数，ε是误差。

残差计算公式为：残差 = 观测值 - 预测值。

当回归模型适用性良好时，残差应该随机分布在零附近，没有明显的模式或趋势。

接下来，我们将介绍如何利用残差分析来检验回归模型的适用性。

1. 绘制残差图（Residual Plot）残差图是一种展示残差分布的可视化方式。

在横轴上绘制观测值或预测值，纵轴上绘制残差。

如果残差图中的点随机分布在零附近，并且没有明显的模式，则说明回归模型适用性较好。

如果残差图中存在模式或趋势，那么回归模型可能存在问题，需要重新评估模型的可靠性。

2. 检查残差的正态性回归模型通常假设误差项（ε）满足正态分布。

我们可以通过绘制残差的直方图或概率图来检查残差是否服从正态分布。

如果残差近似服从正态分布，则说明回归模型的适用性较好。

3. 检查残差的独立性残差的独立性是指残差之间没有相关性。

我们可以通过绘制残差的自相关图（Autocorrelation Plot）来检验残差是否独立。

如果残差之间没有显示出明显的相关性，则说明回归模型的适用性较好。

4. 检查残差的等方差性等方差性是指残差的方差在自变量的不同取值范围内是恒定的。

我们可以绘制残差的散点图，以观察残差的方差是否与预测值相关。

如果散点图呈现出均匀分布且没有明显的锥形或漏斗形状，则说明回归模型的适用性较好。

总结来说，残差分析是用于检验回归模型适用性的重要方法。

残差分析

第四节残差分析、预报和控制
一、残差分析前面我们介绍了线性回归方程的建立和检验。在实际问题中，由于观察人员的粗心或偶然因素的干扰。常会使我们所得到的数据不完全可靠, 即出现异常数据。有时即使通过相关系数或 F 检验证实回归方程可靠，也不能排除数据存在上述问题。残差分析的目的就在于解决这一问题。所谓残差是指实际观察值与回归估计值的差，即
(2-1-26)
显然，有多少对数据，就有多少个残差。残差分析就是通过残差所提供的信息，分析出数据的可靠性、周期性或其它干扰。
首先介绍如何检查异常数据。异常数据是指与其它数据产生的条件有明显不同的数据，因此异常数据的残差会特别的大。一旦发现异常数据应及时剔除，用剩余数据重新建立回归方程，以提高回归方程的质量。发现异常数据主要从技术上找原因，当技术上无法找到原因时，就得借助于数理统计方法。由数理统计方法可以证明
(2-1-42)
的点大约有 95%。因此我们只要求解不等式组
便可得到 x 的取值范围(x1,x2)。
(2-1-43)
图 2-1-5 数据有周期性变化的残差图
图 2-1-6 数据有倾向性变化的残差图
有时我们还会发现数据有倾向性变化。在残差图上表现为前一部分数据的残差均为正值(或负值)，而后一部分数据的残差均为负值(或正
值)，如图 2-1-6 所示。遇到这种情况要仔细研究，找出原因。比如前后两部分数据是由两个人观测的，可能两人掌握尺度不同所造成的，也可能是外界条件产生了变化或系统本身的原因造成的。
(2-1-27)
或记为
(2-1-28)
这说明残差的方差 D(e)是 x 的函数，且二者呈曲线关系。以回归方
程
及方程
和
作图。

多元回归模型残差平方和

多元回归模型残差平方和
多元回归模型是一种常见的统计分析方法，用于研究多个自变量对于因变量的影响关系。

在建立多元回归模型时，我们希望通过最小化残差平方和来找到最佳的拟合曲线，以描述自变量和因变量之间的关系。

在多元回归模型中，我们通常假设自变量与因变量之间存在线性关系。

通过最小二乘法，我们可以找到使残差平方和最小的拟合曲线，从而得到最佳的参数估计值。

残差平方和是指实际观测值与模型预测值之间的差异的平方的总和。

通过最小化残差平方和，我们可以找到最佳的参数估计值，从而得到对因变量的最佳预测。

在多元回归模型中，我们需要考虑多个自变量对于因变量的影响。

通过计算每个自变量的系数估计值，我们可以了解每个自变量对于因变量的贡献程度。

通过检验系数的显著性，我们可以确定哪些自变量对于因变量的影响是显著的。

除了自变量的系数估计值，我们还可以通过残差分析来评估模型的拟合程度。

残差是指实际观测值与模型预测值之间的差异。

通过检验残差的正态性、独立性和同方差性，我们可以评估模型是否符合基本假设。

在进行多元回归分析时，我们需要注意避免多重共线性的问题。

多
重共线性是指自变量之间存在高度相关性，导致参数估计值不稳定或不可靠。

通过计算自变量之间的相关系数，我们可以评估是否存在多重共线性，并采取相应的措施进行处理。

多元回归模型的残差平方和是一个重要的评估指标，它反映了模型的拟合程度。

通过最小化残差平方和，我们可以得到最佳的参数估计值，并进行模型的检验和评估。

多元回归模型的应用广泛，可以用于解决各种实际问题，如经济学、金融学、社会科学等领域的研究。

高考复习资料：回归模型的残差分析

回归模型的残差分析山东胡大波判断回归模型的拟合效果是回归分析的重要内容，在回归分析中，通常用残差分析来判断回归模型的拟合效果。

下面具体分析残差分析的途径及具体例子。

一、残差分析的两种方法1、差分析的基本方法是由回归方程作出残差图，通过观测残差图，以分析和发现观测数据中可能出现的错误以及所选用的回归模型是否恰当；在残差图中，残差点比较均匀地落在水平区域中，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高，回归方程的预报精度越高。

2、可以进一步通过相关指数∑∑==---=niiniiiyyyyR1212^2)()(1来衡量回归模型的拟合效果，一般规律是2R越大，残差平方和就越小，从而回归模型的拟合效果越好。

二、典例分析：例1、某运动员训练次数与运动成绩之间的数据关系如下：次数/x 30 33 35 37 39 44 46 50成绩/y 30 34 37 39 42 46 48 51试预测该运动员训练47次以及55次的成绩。

解答：（1）作出该运动员训练次数x与成绩y之间的散点图，如图1所示，由散点图可知，它们之间具有线性相关关系。

次数ix成绩iy2ix2iyixiy30 30 900 900 90033 34 1089 1156 112235 37 1225 1369 129537 39 1369 1521 144339 42 1521 1764 163844 46 1936 2116 202446 48 2116 2304 220850 51 2500 26012550由上表可求得875.40,25.39==y x ，12656812=∑=i ix，13731812=∑=i i y ，1318081=∑=ii i yx ，所以∑∑==---=81281)())((i ii i ix xy y x xβ.0415.18812281≈--=∑∑==i ii ii xxy x yx00302.0-≈-=x y βα，所以回归直线方程为.00302.00415.1^-=x y（3）计算相关系数将上述数据代入∑∑∑===---=8181222281)8)(8(8i i i i i ii y y x x yx yx r 得992704.0=r ，查表可知707.005.0=r ，而05.0r r >，故y 与x 之间存在显著的相关关系。

简单线性回归模型与分析残差图

阿姆德连锁店的回归直线
估计参数
b1=5
250
季度销售收入/千美圆
b0=60
200 150
回归直线
100
yˆ 60 5x 你对系数的含义怎
50
0
0
5
10
15
20
25
30
学生人数/千人
么理解？
回归方程的判定系数
y的总变差的分解
SST ( yi y)2 ( yi yˆi yˆi y)2
简单线性回归模型与分析残差图
2021年8月2日星期一
建立两个变量X和Y间的关系模型，推断变量 Y如何依赖于变量X, 从而可以用X预测Y.
例：
广告费用和销售量公司的市值与CEO的年薪原始股的销售数量和期望价格证券市场收益率与某只股票的收益率商品价格和销售量装配线的速度和次品数量年收入与信用卡消费金额年龄与手机话费连锁店附近的人流与店的利润气温与滑雪场门票销量
两种区间的关系
均值的置信区间预测区间边界
xp
对模型作进一步的探讨
回忆我们使用的模型；对模型作了什么假定？逻辑问题：如何判断我们的问题符合这
些假定？分析的方案：残差分析
第i个残差： ˆi yi yˆi i 1,2,n
通过残差你能够了解什么？
对误差项作的假定适合吗？ 1）等方差； 2）相互独立； 3）正态分布；
30
学生人数/千人
根据这些你可以得到什么结论？
Types of Regression Models
Positive Linear Relationship
Relationship NOT Linear
Negative Linear Relationship

回归分析中的残差与离群值检测

回归分析中的残差与离群值检测回归分析是一种常用的统计分析方法，用于研究变量之间的关系。

在回归分析中，残差与离群值检测是两个重要的概念。

本文将详细介绍回归分析中的残差和离群值检测的概念、意义、计算方法和应用。

1. 残差的概念与意义残差是回归模型的预测值与实际观测值之间的差异。

在回归分析中，我们希望通过建立合适的回归模型来准确地预测因变量的值。

残差表示了模型无法解释的部分，即模型预测值与实际观测值之间的差异。

残差可以用来评估模型的拟合程度和预测效果，残差的均值应接近于0，残差的方差应接近于常数。

2. 残差的计算方法在回归分析中，残差可以通过实际观测值减去回归模型的预测值来计算得到。

具体计算方法如下：残差 = 实际观测值 - 回归模型的预测值3. 残差的应用残差在回归分析中有广泛的应用。

首先，残差可以用于评估回归模型的拟合程度。

如果残差的均值接近于0，方差接近于常数，说明模型的拟合效果较好；反之，则说明模型的拟合效果较差。

其次，残差还可以用于检测回归模型的假设条件是否满足。

例如，如果残差的分布不服从正态分布，可能意味着回归模型存在一些问题，需要进行相应的调整。

此外，残差还可以用于发现异常观测值或离群值。

如果某个观测值的残差远远大于其他观测值的残差，可能表示这个观测值存在异常或离群现象。

4. 离群值检测的概念与意义离群值是指与大多数观测值相比，具有显著偏离的观测值。

离群值检测是指通过统计方法判断某个观测值是否为离群值。

离群值的存在会对回归模型的拟合效果和预测结果产生较大影响，因此需要进行相应的检测和处理。

5. 离群值检测的方法在回归分析中，常用的离群值检测方法包括标准化残差法、Cook's距离法和学生化残差法等。

具体方法如下：(1) 标准化残差法：计算每个观测值的残差与残差的标准差的比值，如果该比值超过某个阈值，则认为观测值为离群值。

(2) Cook's距离法：计算每个观测值对回归模型参数的影响程度，如果某个观测值对参数的影响较大，则认为该观测值为离群值。

基于残差分析的线性回归模型的诊断与修正

DOI:10.13546/ki.t j y j c.2019.24.001基于残差分析的线性回归模型的诊断与修正胡菊华(江西农业大学理学院，南昌330045)摘要：残差蕴含了线性回归模型基本假定的许多重要信息，文章通过分析残差，探讨回归模型基本假定的适应性和模型的合理性问题。

以预测某一类型的肝手术病人的生存时间为例，利用残差的特点反推数据的适用性和模型的合理性。

通过相应的措施实施改进，建立“最优”回归模型，减少盲目尝试修改模型的做法，为模型优化提供方向，为问题解决提供有效途径。

关键词：残差分析；残差图；线性回归模型中图分类号:0221.1 文献标识码:A 文章编号：1002-6487(2019)24-0005-04〇引言随着统计软件的普及，回归分析再次受到人们的重视，它已成为各个领域中科技人员分析数据的一种常用工具，但在实际应用中往往对回归分析的适用性以及违反了模型假设条件的处理重视不够，简单套用的情况时有发生。

解决这一问题的方法就是进行回归诊断。

自19世纪 70年代起，F.J.Anscombe和J.W.Tukey等学者进行了回归诊断方面的研究，而残差分析在考察回归模型假设条件的合理性及模型的适应性方面有独特的优势。

£■(£,.)= 〇;③D(e,)= f f2 ,称之为齐方差性假定。

如果该项假定不满足，则称之为异方差问题；④C〇v(e,_，e;) =0，(!'#人~'=1，2，〜，《),如果不满足该项假定，称之为自相关问题。

如何考察数据是否满足这些基本假定呢？由于这些假设主要都是针对随机误差项e提出的，所以要从分析随机误差项e的估计量(残差)人手，通过对残差及残差图的分析来考察模型假设的适用性和模型的合理性。

2残差分析的相关理论1线性回归模型及其基本假定设线性回归模型的矩阵形式为:Y=Xp+eE(s)= 0,cov(e)= a2/ (1)在模型（l)中，称y为观测向量，称x为设计矩阵，称A为回归系数，称e为随机误差向量，称£(e)= 0和cov(e)= <j2/…为高斯-马可夫条件。

回归均方和残差均方

回归均方和残差均方
回归均方和残差均方是回归分析中常用的两个统计量。

回归均方是指回归平方和除以自由度的值，而残差均方是指残差平方和除以自由度的值。

下面将进一步介绍这两个统计量的含义和应用。

回归分析是一种用于研究两个或多个变量之间关系的方法。

在回归分析中，通常将一个或多个自变量作为输入变量，一个或多个因变量作为输出变量来建立模型。

模型的目标是根据已知的输入和输出数据，确定一个函数，该函数可以用来预测未知的输出值。

在回归分析中，有两个主要的统计量是回归均方和残差均方。

回归均方是反映因变量与自变量之间相关性强弱的指标，其值越大表示自变量与因变量之间相关性越强。

残差均方是反映模型预测误差大小的指标，其值越小表示模型的预测能力越强。

当回归均方和残差均方的值都很小时，就表明建立的回归模型很好地拟合了样本数据，可以对未知的数据进行比较准确的预测。

但是，如果回归均方的值很小而残差均方的值很大，就表明回归模型过度拟合了样本数据，不能很好地适应未知数据，称为“过度拟合”现象。

此时需要重新建立模型或调整模型参数以达到更好的预测效果。

相反，如果回归均方的值很大而残差均方的值很小，就表明回归模型
与数据之间的相关性比较弱，不能很好地解释数据。

此时需要重新选
择自变量或添加其他自变量，以建立更为准确和可靠的模型。

总之，回归均方和残差均方是在回归分析中常用的两个统计量，用于
评估模型对数据的拟合程度和预测能力。

了解它们的含义和应用，可
以帮助我们建立更好的回归模型，并对未来的数据进行更准确的预测。

ols回归结果的检验方法 -回复

ols回归结果的检验方法-回复OLS回归(Ordinary Least Squares Regression)是一种常用的统计分析方法，它通过最小二乘法来估计自变量与因变量之间的关系。

在进行OLS 回归分析后，为了验证回归结果的可靠性和有效性，需要进行一系列的检验方法。

本文将依次介绍OLS回归结果的多重共线性检验、残差分析、异方差性检验和自相关性检验等方法。

一、多重共线性检验多重共线性是指自变量之间存在高度相关性，即自变量之间存在线性关系，这将导致OLS回归结果的不稳定性和不可靠性。

因此，需要进行多重共线性的检验。

常用的多重共线性检验方法有两种：方差膨胀因子(VIF)和特征值检验。

1. 方差膨胀因子(VIF)方差膨胀因子是用于判断自变量之间是否存在多重共线性的常用指标。

对于给定的自变量，其方差膨胀因子的计算公式如下：VIFi = 1 / (1 - R2i)其中，VIFi表示第i个自变量的方差膨胀因子，R2i表示第i个自变量与其他所有自变量的R平方。

通常认为，如果方差膨胀因子大于等于10，表示自变量之间存在较强的多重共线性。

2. 特征值检验特征值检验是通过计算回归方程的特征值来判断多重共线性的一种方法。

具体步骤如下：1) 计算设计矩阵的转置矩阵的乘积：T = X' * X，其中X为设计矩阵；2) 计算矩阵T的特征值；3) 若特征值小于某个阈值（通常取1e-10），则认为存在多重共线性。

二、残差分析残差分析是用来检验OLS回归的模型拟合程度和残差的合理性的方法。

1. 残差图残差图是以自变量的取值为横坐标，残差值为纵坐标绘制的散点图。

通过观察残差图可以判断模型是否存在异方差、非线性和异常值等问题。

2. 残差的正态性检验在回归分析中，线性模型通常假设残差服从正态分布。

因此，我们需要进行残差的正态性检验，常见的方法包括柯莫哥罗夫-斯米尔诺夫检验、Lilliefors检验和Shapiro-Wilk检验等。

回归模型的残差分析

回归模型的残差分析回归模型的残差分析是评估回归模型表现的一种重要工具。

残差是指实际观测值与回归模型预测值之间的差异，它们表示了变量之间的未解释部分。

通过残差分析，可以检验回归模型是否适用于数据，以及进一步了解模型的有效性和弱点。

下面将详细介绍回归模型的残差分析，包括常见的统计检验和图形可视化。

一、残差检验残差检验是通过统计检验来评估残差的统计性质是否满足模型假设的重要工具。

下面是常见的残差检验方法：1. 正态性检验：使用诸如Shapiro-Wilk检验、Kolmogorov-Smirnov 检验或Anderson-Darling检验等统计检验方法，验证残差是否满足正态分布假设。

如果残差不符合正态分布，则可能存在模型的偏误。

2. 独立性检验：残差应该是相互独立的，这意味着它们之间应该没有明显的相关性。

可以通过Durbin-Watson检验或Ljung-Box检验等方法来检验残差之间的相关性。

3. 同方差性检验：残差应该具有恒定的方差，即同方差性。

常用的检验方法有Breusch-Pagan检验或White检验。

如果检验结果拒绝了同方差性假设，则说明模型不适用于数据。

4.线性性检验：残差应该与自变量之间没有明显的线性关系。

通过绘制残差与预测值、自变量的散点图或低阶多项式回归分析等方法来检验线性性。

5.异常值检测：有时残差会被异常值影响，可以使用统计方法识别和处理异常值，如标准化残差大于一些阈值或离群值距离大于一些阈值等。

通过以上的残差检验，可以获得对回归模型的可靠性的判断。

如果残差满足模型假设，可以认为模型是有效的；如果残差不满足一些假设，则需要考虑模型的修正或改进。

二、残差图形可视化除了统计检验，残差的图形可视化也是评估回归模型的重要手段。

常见的残差图形包括：1.散点图：绘制残差与预测值或自变量的散点图，观察是否存在明显的模式或关联性。

如果散点图中观察到的残差分布均匀、随机分布在0值附近，说明模型是良好的。

回归模型的残差分析

回归模型的残差分析回归模型的残差分析是指在进行回归分析后，对模型残差进行统计学和经济学的分析。

残差即为实际观测值与回归预测值之间的差异，残差分析是判断回归模型是否符合假设前提的重要方法。

残差分析可以帮助我们检查回归模型的合理性和准确性，评估模型的稳定性，并发现可能存在的问题和异常观测值。

残差分析的主要目的：1.检验回归模型的合理性和准确性：通过检查残差图表，判断模型是否存在违反线性关系、独立性、方差齐性和正态性等假设前提，如果不满足假设前提，可能需要进行模型修正或改进。

2.评估模型的稳定性：通过分析残差随时间或其他相关因素的变化，检查模型是否具有稳定的效应，或是否存在漏项变量或过度拟合等问题。

3.发现异常观测值：通过检查残差进行离群点或异常观测值分析，判断其对模型结果和统计推断的影响。

4.确定修正系数：通过观察残差分布和模型设定，发现变量之间的相关关系或非线性关系，以确定进一步修正模型的变量和系数。

在进行残差分析时，可以使用以下图表和方法：1.残差图：绘制残差与预测值之间的散点图，用于判断残差是否随预测值发生系统性的变化，以检验线性关系的假设。

如果残差无明显模式地分布在水平线附近，表明回归模型可能符合线性关系的假设。

2.偏差-方差图：绘制观测值与残差的散点图，用于检验方差齐性的假设。

如果散点图呈现出对称的瓶颈图形，表明方差齐性假设可能成立。

3.实际值-预测值图：绘制实际观测值与预测值的散点图，用于检查回归模型的准确性和稳定性。

如果散点图基本分布在一条直线附近，表明模型预测准确且稳定。

4.正态概率图：绘制残差的累积分布函数图，用于检验残差的正态性假设。

如果观测值近似于一条直线，表明残差满足正态分布。

5.杠杆影响图和离群点分析：通过计算观测值的杠杆值和离群度来判断异常观测值，并对其进行敏感性分析。

6.残差与时间或其他相关变量的图表：绘制残差随时间或其他相关变量的变化图表，用于判断模型的稳定性和可能存在的问题。

回归模型的残差分析

回归模型的残差分析残差分析是回归分析中十分重要的一环，它用于评估回归模型的适应性和假设的合理性。

在进行回归分析之后，我们得到了模型的参数估计值和拟合值，而残差则反映了模型拟合值与实际观测值之间的差异。

通过对残差进行分析，我们可以检验回归模型的显著性，评估模型的拟合程度，判断模型是否适合应用于未知数据，以及对模型的改进进行指导。

残差的计算方式为实际观测值减去预测值，即e = y - y_hat，其中e代表残差，y代表观测值，y_hat代表拟合值。

残差分析主要包括检验残差是否符合正态分布、是否存在异方差以及是否存在自相关等。

首先，我们进行残差的正态性检验。

正态性是许多统计分析的基础假设之一，因此我们需要确保残差服从正态分布。

可以通过绘制残差的直方图和正态概率图来检验其正态性。

如果直方图呈现钟形曲线且正态概率图上的点呈现线性分布，则残差可以被认为是近似正态分布的。

其次，我们需要检验残差是否存在异方差性。

异方差性指的是残差的方差在不同的自变量取值下不相等。

可以通过绘制残差与拟合值的散点图，观察其是否呈现出漏斗形状或者其他规律性变化。

此外，还可以使用Bartlett检验或Levene检验来定量地检验异方差性是否显著。

最后，我们需要检验模型中的残差是否存在自相关。

自相关性指的是残差之间存在线性相关关系，即残差在时间或空间上不是独立的。

可以通过绘制残差与时间（或其他自变量）的散点图来观察是否存在相关性。

此外，还可以使用Durbin-Watson统计量进行定量检验，该统计量范围在0到4之间，值越接近2则表示残差越具有独立性。

除了上述基本的残差分析方法，还可以进行一些拓展的分析。

例如，可以采用Cook's距离来识别离群点，即那些对模型具有很大影响的观测值。

另外，还可以利用像素密度图、局部回归图等图形工具来发现数据结构和模式。

需要注意的是，残差分析仅仅是检验模型的一个手段，不应该成为判断模型好坏的唯一标准。

回归模型的残差分析

回归模型的残差分析 The latest revision on November 22, 2020回归模型的残差分析山东胡大波判断回归模型的拟合效果是回归分析的重要内容，在回归分析中，通常用残差分析来判断回归模型的拟合效果。

下面具体分析残差分析的途径及具体例子。

2、可以进一步通过相关指数∑∑==---=n i ini i iy yy yR 1212^2)()(1来衡量回归模型的拟合效果，一般规律是2R 越大，残差平方和就越小，从而回归模型的拟合效果越好。

二、典例分析：解答：（1）作出该运动员训练次数x 与成绩y 之间的散点图，如图1所示，由散点图可知，它们之间具有线性相关关系。

由上表可求得875.40,25.39==y x ，12656812=∑=i ix ，13731812=∑=i i y ，1318081=∑=ii i yx ，所以∑∑==---=81281)())((i ii i ix xy y x xβ.0415.18812281≈--=∑∑==i ii ii xxy x yx00302.0-≈-=x y βα，所以回归直线方程为.00302.00415.1^-=x y （3）计算相关系数将上述数据代入∑∑∑===---=8181222281)8)(8(8i i i i i ii y y x x yx yx r 得992704.0=r ，查表可知707.005.0=r ，而05.0r r >，故y 与x 之间存在显着的相关关系。

（4）残差分析：作残差图如图2，由图可知，残差点比较均匀地分布在水平带状区域中，说明选用的模型比较合适。