在平面直角坐标系中,已知椭圆C

在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C :22221x y a b +=(a >b >0)

的离心率为2

,椭圆C 截直线y =1

所得线段的长度为(Ⅰ)求椭圆C 的方程；

(Ⅱ)动直线l :y =kx +m (m ≠0)交椭圆C 于A ,B 两点,交y 轴于点M .点N 是M 关于O 的对称点,⊙N 的半径为|NO |. 设D 为AB 的中点,DE ,DF 与⊙N 分别相切于点E ,F ,求∠EDF 的最小值.

解：（Ⅰ）

，得222=2()-a a b ， 又当y=1时，222

2=-a x a b ，得2

222-=a a b ， 所以2=4a ，2=2b . 因此椭圆方程为22

142

+=x y .

(II) 设11(,)A x y , 22(,)B x y .

联立方程22=+,+2=4,

⎧⎪⎨⎪⎩y kx m x y 得222(2+1)+4+2-4=0kx x kmx m ， （Ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y ，

联立方程2224

y kx m x y =+⎧⎨+=⎩ 得222(21)4240k x kmx m +++-=， 由0∆> 得2242m k <+ （*） 且122421

km x x k +=

+ ， 因此122221

m y y k +=+ ， 所以222(,)2121km m D k k -++ ， 又(0,)N m - ， 所以222222()()2121km m ND m k k =-

++++ 整理得：224222

4(13)(21)m k k ND k ++=+ ， 因为NF m = 所以2422222224(31)831(21)(21)ND k k k k k NF

+++==+++ 令283,3t k t =+≥ 故21214

t k ++= 所以22216161+11(1)2ND

t t NF t t

==++++ 令 21

1,1y t y t

t =+=-，所以

当 ,30t y ≥>时， 从而1

y t t

=+在[)3+∞，上单调递增， 因此1103

y t t =+≥ 等号当且仅当3t =时成立，此时0k = 所以 221+3=4

ND

NF ≤

由（*）得 m <且0m ≠， 故12

ND

NF ≥， 设2EDF θ∠=， 则1sin 2

NF

ND θ=≥ ， 所以θ得最小值为6

π. 从而EDF ∠的最小值为3

π，此时直线l 的斜率时0.

综上所述：当0k =，(m ∈⋃时，EDF ∠取得最小值为

3π.