面与面垂直的判定定理
面面垂直判定定理
C D
面面 垂直
例1.A是Δ BCD所在平面外一点，AB=AD，BC=CD,E是BD 的中点，求证：平面AEC⊥平面BCD
A
B E
C
D
例2 如图,AB是 ⊙O的直径,PA垂直于⊙O 所在的平面,C是 圆周上不同于A,B的任意 一点,求证:平面PAC⊥平面PBC. 证明: 设已知⊙O平面为α PA 面 , BC 面
A A O
l
O B
B
哪个对?怎么画才对?
10
(4)二面角的范围
[0 ,180 ]
A
。
。
(5)直二面角 平面角为直角的二面角 叫做直二面角
B
归纳：求二面角大小的步骤为：
（1）找出或作出二面角的平面角；
（2）证明其符合定义(垂直于棱)；
（
两个平面相交,如果它们所成的二 面角是直二面角，就说这两个平面 相互垂直.
记作:
(1)除了定义之外,如何判定两个平面 互相垂直呢? (2)日常生活中平面与平面垂直的例子?
如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？
面面垂直的判定定理
如果一个平面经过另一个平面的一 条垂线，那么这两个平面互相垂直
l α l 符号表示： αβ B l β
面面垂直的判定定理
复 习
1．线面垂直的定义
如果直线 l 与平面内的任意一条直线都 垂直，则称直线 l 和平面 互相垂直． 记作：l⊥
2．线面垂直的判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交 直线都垂直，则该直线与此平面垂 直．
1 二面角及二面角的平面角
(1)半平面: 平面的一条直线把平面分 为两部分，其中的每一部 分都叫做一个半平面。 (2)二面角:从一条直线出发的两个半 平面所组成的图形叫做二 面角。
线面垂直的7种判定方法
线面垂直的7种判定方法
1.看线面的夹角：如果线面的夹角为90度，则可以判定为线面垂直。
2. 使用直角三角形定理：如果一条线与一面相交，且与该面的垂线长度为a，线的长度为b，面的长度为c，则如果a+b=c，则可以判定该线面垂直。
3. 使用垂线的特性：通过绘制垂线来判定线面的垂直关系。
如果垂线与面相交，且垂线与线垂直，则可以判定该线面垂直。
4. 使用水平仪：使用水平仪来测量线面的倾斜角度，如果倾斜角度为0度，则可以判定该线面垂直。
5. 使用测量工具：使用测量工具来测量线面的高度和长度，如果高度和长度相等，则可以判定该线面垂直。
6. 观察图形：观察线面的图形形状，如果线面呈现出一个直角，则可以判定该线面垂直。
7. 使用数学公式：如果线面的斜率相乘为-1，则可以判定该线面垂直。
例如，如果线的斜率为2，面的斜率为-1/2，则2*(-1/2)=-1，因此可以判定该线面垂直。
- 1 -。
线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定和性质
空间中的垂直关系1.线面垂直直线与平面垂直的判定定理:如果 ,那么这条直线垂直于这个平面。
推理模式:直线与平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线 。
2.面面垂直两个平面垂直的定义:相交成 的两个平面叫做互相垂直的平面。
两平面垂直的判定定理:(线面垂直⇒面面垂直)如果 ,那么这两个平面互相垂直。
推理模式:两平面垂直的性质定理:(面面垂直⇒线面垂直)若两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们的 的直线垂直于另一个平面。
一般来说,线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决,其关系为:线线垂直−−−→←−−−判定性质线面垂直−−−→←−−−判定性质面面垂直.这三者之间的关系非常密切,可以互相转化,从前面推出后面就是判定定理,而从后面推出前面就是性质定理.同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题.在空间图形中,高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系,下面举例说明.例题:1.如图,AB 就是圆O 的直径,C 就是圆周上一点,PA ⊥平面ABC.(1)求证:平面PAC ⊥平面PBC;(2)若D 也就是圆周上一点,且与C 分居直径AB 的两侧,试写出图中所有互相垂直的各对平面.2、如图,棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 就是菱形,11B C A B ⊥证明:平面1AB C ⊥平面11A BC3、如图所示,在长方体1111ABCD A B C D -中,AB=AD=1,AA 1=2,M 就是棱CC 1的中点 (Ⅰ)求异面直线A 1M 与C 1D 1所成的角的正切值;(Ⅱ)证明:平面ABM ⊥平面A 1B 1M 14、如图,AB 就是圆Ｏ的直径,Ｃ就是圆周上一点,PA ⊥平面ABC .若AE ⊥PC ,Ｅ为垂足,Ｆ就是PB 上任意一点,求证:平面AEF ⊥平面PBC .5、如图,直三棱柱ABC —A 1B 1C 1 中,AC ＝BC ＝1,∠ACB ＝90°,AA 1 ＝2,D 就是A 1B 1 中点.(1)求证C 1D ⊥平面A 1B ;(2)当点F 在BB 1 上什么位置时,会使得AB 1 ⊥平面C 1DF ？并证明您的结论6、S 就是△ABC 所在平面外一点,SA ⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC,求证AB ⊥BC 、7、在四棱锥中,底面ABCD 就是正方形,侧面VAD 就是正三角形,平面VAD ⊥底面ABCD证明:AB ⊥平面VAD8、如图,平行四边形ABCD 中,60DAB ︒∠=,2,4AB AD ==,将CBD ∆沿BD 折起到EBD ∆的位置,使平面EDB ⊥平面ABD 、求证:AB DE ⊥VDC B A SAB9、如图,在四棱锥ABCD P -中,平面PAD ⊥平面ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E 、F 分别就是AP 、AD 的中点求证:(1)直线EF ‖平面PCD;(2)平面BEF ⊥平面PAD10、如图,在三棱锥ABC S -中,平面⊥SAB 平面SBC ,AB AS BC AB =⊥,、过A 作SB AF ⊥,垂足为F ,点G E ,分别就是棱SC SA ,的中点。
线面垂直、面面垂直的性质与判定定理
a
l
a
a l
作用： 面面垂直线面垂直
垂直体系
判定
判定
线线垂
线面垂直 面面垂直
直
定义
性质
问题2 , a , a ,判断a与位置关系
α
a
a //
l
问题3： β
思考：已知平面，，直线a,且 , AB,
a //, a AB,试判断直线a与平面的位置关系。
α
Aa
β
a⊥β
符号语言：
ab
a ,b a / /b
α
线面垂垂直的性质
温故知新
面面垂直的判定方法： 1、定义法：
找二面角的平面角
说明该平面角是直角。
2、判定定理：
要证两平面垂直，只要在其中一个平面内找到 另一个平面的一条垂线。
（线面垂直面面垂直）
知识探究：
思考1:如果平面α与平面β互相垂直，
S
平面SAB∩平面SBC=SB，
∴AD⊥平面SBC
∵BC 平面SBC
A
C
∴AD⊥BC
∵SA⊥平面ABC，BC 平面ABC
B
∴SA⊥BC
“从已知想性质，从求证
∵SA∩AD=A，
想判定”这是证明几何问
∴BC⊥平面SAB
题的基本思维方法．
∵AB 平面ABC ∴AB⊥BC
课堂小结
1、证题原则：注从已意知想辅性助质，线从求的证作想判用定
B
例3 , a , a ,判断a与位置关系
证明：设 l
α a //
在α内作直线b⊥l
b
a
l
β
b
bl
l
b 又a
线面垂直
a // b 性质
面面垂直判定定理的证明
面面垂直判定定理的证明在几何学中，面面垂直判定定理是一个非常重要且基础的定理，它可以帮助我们判断两个平面是否垂直。
在这篇文章中，我们将详细证明这个定理，以便读者更好地理解和掌握这一概念。
我们来看一下面面垂直判定定理的表述：如果两个平面相交于一条直线，并且这两个平面与另一平面的截痕相互垂直，那么这两个平面就是垂直的。
这个定理的证明并不复杂，但需要一些基本的几何知识和推理能力。
为了证明这个定理，我们可以采用间接证明的方法。
假设两个平面A和B相交于一条直线l，并且这两个平面与另一平面C的截痕相互垂直。
我们假设平面A和平面C不垂直，即它们的截痕不垂直。
那么根据垂直平面的定义，平面A和平面C的截痕应该是平行的。
同理，我们假设平面B和平面C也不垂直，那么平面B和平面C的截痕也应该是平行的。
现在，我们来考虑平面A和平面B在直线l上的投影。
由于平面A 和平面B相交于直线l，它们在直线l上的投影是相交的。
而根据垂直平面的性质，如果两个平面在一条直线上的投影相交，那么这两个平面是垂直的。
因此，根据这一推理，我们可以得出结论：如果平面A和平面B与另一平面C的截痕相互垂直，那么平面A和平面B也是垂直的。
通过上面的推理过程，我们可以证明面面垂直判定定理的正确性。
这个定理在几何学中有着广泛的应用，能够帮助我们更好地理解空间中平面的关系。
希望通过这篇文章的介绍，读者能够对面面垂直判定定理有一个更清晰的认识，并能够灵活运用这一定理解决实际问题。
总的来说，面面垂直判定定理是几何学中一个基础且重要的定理，通过简单的推理和证明，我们可以得出结论：如果两个平面与另一平面的截痕相互垂直，那么这两个平面也是垂直的。
这个定理的证明并不复杂，但需要我们对几何学的一些基本概念有一定的了解和掌握。
希望本文能够帮助读者更好地理解面面垂直判定定理，并能够在实际问题中灵活运用这一定理。
线面、面面平行和垂直的八大定理
线面、面面平行和垂直的八大定理一、线面平行。
1、判定定理：平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行。
符合表示： βββ////a b a b a ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊄2、性质定理：如果一条直线与平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
符号表示：b a b a a a ////⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=⊂⊄βαβααI 二、面面平行。
1、判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。
符号表示： βα//////⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫==N n m M b a a m b n I I 2、性质定理：如果两个平面平行同时与第三个平面相交，那它们的交线平行。
符号表示： d l d l ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫==γβγαβαI I （更加实用的性质：一个平面内的任一直线平行另一平面）三、线面垂直。
1、判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。
符号表示： α⊥⇒⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫=⊥⊥a M c b b a c a I ＄：三垂线定理：（经常考到这种逻辑）在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
符号表示：PA a A oA a po oA a ⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=⊥⊥⊂⊂ααα2、性质定理：垂直同一平面的两条直线互相平行。
（更加实用的性质是：一个平面的垂线垂直于该平面内任一直线。
）四、面面垂直。
1、判定定理：经过一个平面的垂线的平面与该平面垂直。
βααβ⊥⇒⊂⊥a a ,2、性质定理：已知两个平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。
βαβαβα⊥⇒⊥⊂=⋂⊥a b a a b ,,，尽管人智慧有其局限，爱智慧却并不因此就属于徒劳。
智慧果实似乎是否定性：理论上——“我知道我一无所知”；实践上——“我需要我一无所需”。
然而，达到了这个境界，在谦虚和淡泊哲人胸中，智慧痛苦和快乐业已消融为了一种和谐宁静了。
线面、面面平行和垂直的八大定理-平面八大定理
线面、面面平行和垂直的八大定理之邯郸勺丸创作
一、线面平行。
1、判定定理：平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条
直线与这个平面平行。
符合暗示：
2、性质定理：如果一条直线与平面平行，经过这条直线的平面和
这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
符号暗示：
二、面面平行。
1、判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个
平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。
符号暗示：
2、性质定理：如果两个平面平行同时与第三个平面相交，那它们
的交线平行。
符号暗示：（更加实用的性质：一个平面内的任一直线平行另一平面）
三、线面垂直。
1、判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂
直，那么这条直线垂直这个平面。
符号暗示： α⊥⇒⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫=⊥⊥a M c b b a c a
＄：三垂线定理：（经常考到这种逻辑）在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
符号暗示： 2、性质定理：垂直同一平面的两条直线互相平行。
（更加实用的性质是：一个平面的垂线垂直于该平面内任一直线。
）
四、面面垂直。
1、判定定理：经过一个平面的垂线的平面与该平面垂直。
2、性质定理：已知两个平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。
βαβαβα⊥⇒⊥⊂=⋂⊥a b a a b ,,，。
线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定与性质
1．线面垂直 直线与平面垂直的判定定理：如果 ，那么这条直线垂直于这个平面。
推理模式：直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线 。
2．面面垂直两个平面垂直的定义：相交成 的两个平面叫做互相垂直的平面。
两平面垂直的判定定理：（线面垂直⇒面面垂直）如果 ，那么这两个平面互相垂直。
推理模式：两平面垂直的性质定理：（面面垂直⇒线面垂直）若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的 的直线垂直于另一个平面。
一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系为：线线垂直−−−→←−−−判定性质线面垂直−−−→←−−−判定性质面面垂直．这三者之间的关系非常密切，可以互相转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理．同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题．在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，下面举例说明．例题：1．如图，AB 是圆O 的直径，C 是圆周上一点，PA ⊥平面ABC ．（1）求证：平面PAC ⊥平面PBC ；（2）若D 也是圆周上一点，且与C 分居直径AB 的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面．2、如图，棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 是菱形，11B C A B ⊥证明：平面1AB C ⊥平面11A BC3、如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB=AD=1，AA 1=2，M 是棱CC 1的中点（Ⅰ）求异面直线A 1M 和C 1D 1所成的角的正切值；（Ⅱ）证明：平面ABM ⊥平面A 1B 1M 14、如图，AB 是圆Ｏ的直径，Ｃ是圆周上一点，PA ⊥平面ABC ．若AE ⊥PC ，Ｅ为垂足，Ｆ是PB 上任意一点，求证：平面AEF ⊥平面PBC ．5、如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1 中，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，AA 1 ＝2，D是A 1B 1 中点．（1）求证C 1D ⊥平面A 1B ；（2）当点F 在BB 1 上什么位置时，会使得AB 1 ⊥平面C 1DF 并证明你的结论6、S 是△ABC 所在平面外一点，SA ⊥平面ABC,平面SAB ⊥平面SBC,求证AB ⊥BC.7、在四棱锥中，底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形，平面VAD ⊥底面ABCD 证明:AB ⊥平面VAD8、如图，平行四边形ABCD 中，60DAB ︒∠=，2,4AB AD ==,将CBD ∆沿BD 折起到EBD ∆的位置，使平面EDB ⊥平面ABD .VDC BA SA求证：AB DE ⊥9、如图，在四棱锥ABCD P -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB=AD ，∠BAD=60°，E 、F 分别是AP 、AD 的中点求证：（1）直线EF ‖平面PCD ；（2）平面BEF ⊥平面PAD10、如图，在三棱锥ABC S -中，平面⊥SAB 平面SBC ,AB AS BC AB =⊥,.过A 作SB AF ⊥，垂足为F ,点G E ,分别是棱SC SA ,的中点。
线面垂直 面面垂直的性质与判定定理
A
又⊥β，∩β=AB
辅助线（面）：
所以b⊥β
发展条件的使解题过 程获得突破的
进而a⊥β
【课后自测】4、如图，已知SA⊥平面ABC，
平面SAB⊥平面SBC，求证：AB⊥BC
证明：过点A作AD⊥SB于D， ∵平面SAB⊥平面SBC，
S
平面SAB∩平面SBC=SB，
∴AD⊥平面SBC
符号语言：
ab
a ,b a//b
α
线面垂直关 系
线线平行关 系
平面与平面垂直的性质
温故知新
面面垂直的判定方法： 1、定义法：
找二面角的平面角
说明该平面角是直角。
2、判定定理：
要证两平面垂直，只要在其中一个平面内找到 另一个平面的一条垂线。
（线面垂直面面垂直）
知识探究：
思考1:如果平面α与平面β互相垂直，
a/ / ,aA,B 试判断 a与直 平 的 线 面 位置关
α
Aa
β
a⊥β
B
例3 ,a ,a ,判 断 a 与 位 置 关 系
证明：设 I l
α a //
在α内作直线b⊥l
b
a
l
β
I b b
l
l
b
α 发展条件
转化结论
CB
D β
E 证明：在平面β内过D作直线
A
DE ⊥AB
则 CD 是 E二面 -A B 角 的平面
由 ⊥β 得CD ⊥ DE
又CD ⊥ AB, 且DE ∩ AB =D
所以直线CD⊥平面β
平面与平面垂直的性质定理：
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线 的直线与另一个平面垂直。
如何证面面垂直的判定定理
如何证面面垂直的判定定理如何证面面垂直的判定定理一、引言在几何学中，面面垂直是一个重要的概念。
如果两个平面相互垂直，则它们的交线是一条直线，这条直线被称为它们的公垂线。
本文将介绍如何证明两个平面相互垂直的判定定理。
二、定义和性质1. 定义：如果两个平面相互垂直，则它们的交线是一条直线，这条直线被称为它们的公垂线。
2. 性质：（1）两个平面相互垂直，则它们的法向量也相互垂直；（2）两个平面相互垂直，则它们的法向量所在的直线也相互垂直；（3）如果一条直线与一个平面相交且与该平面上某一条不同于此交点处经过该点的另一条直线都垂直，则该交点在该平面上。
三、证明方法1. 方法一：向量法证明（1）已知两个平面 P1 和 P2，设它们分别由点 A、B、C 和 A、D、E 确定；（2）求出 P1 和 P2 的法向量 n1 和 n2；（3）如果n1 · n2 = 0，则 P1 和 P2 相互垂直；（4）否则，它们不相互垂直。
2. 方法二：点线面法证明（1）已知两个平面 P1 和 P2，设它们分别由点 A、B、C 和 A、D、E 确定；（2）求出线段 AB 和 DE 的交点 F；（3）如果 F 在 P1 上，则 DE 垂直于 P1；（4）如果 F 在 P2 上，则 AB 垂直于 P2；（5）否则，它们不相互垂直。
四、例题解析例题：已知三角形 ABC 中，AB = 3 cm，AC = 4 cm，BC = 5 cm。
在三角形 ABC 中作高 BD，过 D 分别作 BE、CF 垂直于 AC、AB。
求证：BE 垂直于 CF。
解析：根据勾股定理可知：BC² = AB² + AC²= 9 + 16= 25因此，三角形 ABC 是一个直角三角形。
设 BD 的长度为 h，则有：h² + 3² = 4²h² + 9 = 16h² = 7h ≈ 2.65 cm根据三角形相似可知：BE/CE = BD/CDBE/(4-h) = h/(3-h)BE = (4h - h²)/3BE ≈ 0.87 cm同理，有：CF = (3h - h²)/4CF ≈ 1.16 cm因此，BE² + CF² ≈ 2.02，BC² ≈ 25，且 BE 和 CF 的长度均为正数。
立体几何面面垂直判定定理
立体几何面面垂直判定定理
立体几何面面垂直判定定理是指，如果两个不共面的平面上的任意一条直线垂直于两个平面的交线，则这两个平面互相垂直。
这个定理可以帮助我们在解决立体几何问题时判断两个平面是否垂直。
要理解这个定理，首先需要明确什么是不共面的平面和交线。
不共面的平面是指两个平面不在同一个平面上，它们之间有一定的夹角。
交线是指两个平面的交集，通常是一条直线。
例如，有两个平面A和B，它们不在同一个平面上，它们的交线是直线L。
如果我们能够证明直线L垂直于平面A和平面B的交线，那么就可以得出平面A和平面B互相垂直的结论。
证明方法可以使用向量法或坐标法。
向量法是基于向量的投影和内积来判断平面的垂直关系，而坐标法则是基于平面的法向量来判断平面的垂直关系。
除了理论证明，这个定理还可以应用到实际问题中。
例如，在建筑设计中，如果需要在墙面上嵌入一个电视墙架，需要确保墙面和墙架垂直，否则会影响安装效果。
通过使用面面垂直判定定理，可以准确判断墙面和墙架之间的垂直关系，从而确保安装效果。
总之，立体几何面面垂直判定定理是一个重要的判定工具，可以帮助我们解决立体几何问题中的垂直关系。
熟练掌握这个定理，可以更快地解决立体几何问题，并在实际应用中提高工作效率。
- 1 -。
面面垂直的判定和性质定理
面面垂直的判定和性质定理面面垂直是几何学中一个重要的概念，它在几何证明和解题中扮演着重要的角色。
本文将介绍面面垂直的判定和性质定理，帮助读者更好地理解和应用这一概念。
一、面面垂直的判定面面垂直的判定有以下几种常见的方法：1. 垂直平分线判定法如果两个平面的垂直平分线相交于一点，那么这两个平面就是垂直的。
垂直平分线是指一个平面同时平分另外两个平面，并且相交于同一个点。
2. 垂直相交线判定法如果两个平面有一条相交线同时垂直于这两个平面，那么这两个平面就是垂直的。
垂直交线是指一个平面与另外两个平面相交，且与这两个平面的交线的方向垂直。
3. 法线向量判定法如果两个平面的法线向量互相垂直，那么这两个平面就是垂直的。
法线向量是指一个向量垂直于平面，其方向由平面的法线确定。
二、面面垂直的性质定理面面垂直的性质定理可以用于解决几何题目，以下是几个常见的定理：1. 两个垂直平面的截线是垂直的如果两个平面垂直，那么它们的任意一个截线与另一个截线的垂直切线是垂直的。
2. 两个垂直平面的夹角是锐角或钝角两个平面垂直的夹角是锐角或钝角，而不可能是直角或平角。
3. 直线与垂直平面的夹角等于直线与平面上法线的夹角如果一条直线与一个平面垂直，那么这条直线与平面上法线的夹角是相等的。
4. 直线与垂直平面的交点到平面的距离是最短的如果一条直线与一个平面垂直，那么直线上的任意一点到平面的距离都是最短的。
总结：面面垂直的判定包括垂直平分线判定法、垂直相交线判定法和法线向量判定法。
面面垂直的性质定理包括两个垂直平面的截线是垂直的、两个垂直平面的夹角是锐角或钝角、直线与垂直平面的夹角等于直线与平面上法线的夹角以及直线与垂直平面的交点到平面的距离是最短的。
这些定理在几何证明和解题中有着广泛的应用，对于深入理解和应用面面垂直概念非常有帮助。
结论：通过面面垂直的判定和性质定理，我们能够准确判断两个平面是否垂直，并且了解到垂直平面的一些重要性质。
高中面面垂直的判定定理
高中面面垂直的判定定理高中面面垂直的判定定理在平面直角坐标系中，如果两条直线的斜率之积为-1，则这两条直线互相垂直。
这就是高中数学中常见的“面面垂直”的判定定理。
下面将从定义、证明、应用三个方面详细介绍这一定理。
一、定义在平面直角坐标系中，如果有两条不重合的直线L1和L2，它们的斜率分别为k1和k2，且k1×k2=-1，则称L1与L2互相垂直。
二、证明要证明“斜率之积为-1时，两条直线互相垂直”，我们需要用到向量的知识。
设向量a=(x1,y1)和向量b=(x2,y2)，则a·b=x1x2+y1y2表示向量a和向量b的数量积。
同时，向量a和向量b垂直可表示为a·b=0。
现在考虑两条不重合的直线L1:y=k1x+b1和L2:y=k2x+b2（k1≠k2）。
分别取L1上一点A(x0,y0)和L2上一点B(x3,y3)，则有：AB^→=AO^→+OB^→=(x0-b1,y0)-(x3-b2,y3)=(x0-x3-b1+b2,y0-y3)其中，^→表示向量，O为坐标系原点。
由于L1和L2垂直，所以向量AB^→与向量L1的方向向量a=(1,k1)垂直，即：AB^→·a=0展开得：(x0-x3-b1+b2)+k1(y3-y0)=0将L2的斜率k2=-1/k1代入得：(x0-x3-b1+b2)-(y3-y0)/k2=0也就是：(x0-x3-b1+b2)+k2(y3-y0)=0这表明向量AB^→与向量L2的方向向量b=(1,k2)垂直。
因此，L1和L2互相垂直。
三、应用面面垂直定理在高中数学中经常用于解决两条直线是否垂直的问题。
例如，在解决平面几何中的证明题目时，我们需要判断两条线段是否相互垂直。
此时，可以通过计算两条线段所在的直线的斜率之积是否为-1来判定它们是否垂直。
同时，在解决函数图像问题时，也需要运用面面垂直定理。
例如，在求解过给定点且与一条已知直线垂直的函数图像时，可以通过计算该函数图像所在直线与已知直线斜率之积是否为-1来确定该函数图像的斜率。
怎么证明面面垂直的判定定理
怎么证明面面垂直的判定定理好啦，今天咱们来聊聊一个有趣的数学小话题，面面垂直的判定定理。
听起来好像很复杂，其实啊，想明白它，没那么难。
咱们就像聊天一样，把这个定理讲明白。
啥叫面面垂直呢？简单来说，就是两个平面相交的时候，形成的角度是直角。
想象一下，像是一个交叉的路口，两个方向的路在那儿相遇，彼此竖起来，没错，就是那种感觉。
这时候，咱们就得看看怎么去判定这些面到底是不是垂直的。
有些同学可能会说：“哎呀，这不就是用公式算嘛！”其实不然，咱们可以用更简单、更直观的方法。
咱们先说说面与面之间的关系。
比方说，咱们有两个平面，分别叫做平面A和平面B。
平面A上有一条直线，咱们叫它l。
如果这条直线在平面B上垂直，那么面A就跟面B垂直，咋样，是不是听起来很有道理？这就像是朋友之间的关系，一个人挺直了，另一个人自然就要跟着直起来。
这种直角的感觉，大家应该都能体会到。
怎么证明这一点呢？首先咱们得知道，面A和面B的法向量是啥。
法向量就像是面上的一根箭，指向面外的方向。
面A的法向量记作N1，面B的法向量记作N2。
你要是发现N1和N2之间的点积为零，那就是万事大吉，两个面就垂直了！这个道理听起来简单，但其实非常有用。
这就好比你跟朋友在一起，如果两个人的意见完全相反，根本没法和谐，大家都得分开走各自的路。
再说说，为什么点积为零能说明垂直呢。
想象一下，点积就像是一个评分系统，N1和N2之间的互动，如果互相不搭边，评分自然就低。
这样的情况下，它们之间的夹角就是直角，谁能反驳呢？不过呀，要是你觉得光靠公式不够直观，咱们可以用图形来帮助理解。
画个简单的立方体，把面A和面B画出来，看到它们是如何交叉的，尤其是在交点的地方，真的是很容易就明白了。
还有哦，面面垂直的判定不仅仅是在几何图形里，在我们的生活中也常常能看到这样的现象。
比如说，建筑物的墙面和地面的交角，要是垂直，那整栋楼看起来才会稳固，不然就会有倾斜的危险。
想象一下，如果一栋楼像斜塔一样，那绝对是个惊悚片，大家都会觉得心慌慌，还是得让它稳稳当当的。
两面垂直的判定定理
两面垂直的判定定理两面垂直的判定定理，又称为算术向量定理、向量积定理或克莱因定理，是几何学家卡尔·克莱因于1901年发现的定理。
它将两个垂直的边长向量当作输入，即给定的向量a 和b，结论是把向量a和b的积作为输出，即a x b，其输出的结果是一个垂直于这两个输入的向量，即a x b与a和b都是垂直的。
可以理解为，任意给定两个方向不同的向量，它们乘积的方向永远是垂直于两个输入向量。
由于在立体几何中，角度相关的问题往往需要判断多边形的边是否相交，又因为求一个垂直的边的积的过程需要大量的运算，所以，两面垂直的判断定理得到了广泛的应用。
它可以用来迅速地确定一条直线是否与其他直线垂直，或者两个向量是否是垂直的。
算术向量定理由乘积性质及向量组合原理所构成，经由素数分解后表示为：根据算术向量定理，可以迅速地确定一条直线是否与其他直线垂直（即，直角三角形），或者两个向量是否是垂直的。
首先，计算两条直线上的向量（a和b）的叉积，然后再检查叉积是否为零（即a x b = 0）。
如果结果为零，则说明两个向量是垂直的；否则，则说明这两个向量不是垂直的。
两面垂直的判定定理可以用于判断多边形是否具有很强的平行性，也可以用于判断距离是否是垂直距离。
即，通过计算两点之间的叉积，可以得出距离是否是垂直距离。
同样，可以使用两边垂直的判定定理来判断两个平行线段之间的距离是否是垂直距离。
最后，两边垂直的判定定理也可以用来判断两个点是否是垂直对称的。
两面垂直的判定定理所提出的概念应用在很多方面，特别是在计算和几何学，机器人学和智能控制的应用中，几何学的移动推理也经常使用它。
在数学中，两面垂直的判定定理可以用来判断两个函数的图像是否垂直相交，或者决定一个正方形是否正交。
可以迅速确定三角形不是直角，或者确定圆心与半径形成的圆曲线。
此外，算术向量定理还可以用来生成许多有用的几何图像，如圆锥、圆柱和球体等。
面面垂直的判定及性质
ED C BA PABCDABC DE F 线面垂直、线面夹角垂直关系的判定和性质定理 ①线面垂直判定定理和性质定理判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。
性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
②面面垂直的判定定理和性质定理判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。
线线垂直⇒线面垂直⇒面面垂直例1. 如图：已知四棱锥P ABCD -中，,PD ABCD ABCD ⊥平面是正方形，E 是PA 的中点. 求证：(1)//PC 平面EBD (2)平面PBC ⊥平面PCD例2．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 为棱AD 、AB 的中点．求证：（1）EF ∥平面CB 1D 1；（2）平面CAA 1C 1⊥平面CB 1D 1．例3. 如图，⊥PA 平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，PA AD =，,M N 分别是PC AB , 的中点. 求证：（1）//MN 平面PAD .（2）求证：平面⊥MND 平面PCD . 二面角例4. 在正方体1111ABCD A B C D -中，找出下列二面角的平面角并计算大小： （1）二面角1D AB D --和1A AB D --；（2）二面角1C BD C --和1C BD A --.例5. 如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC=60°，PA=AB=BC ，E 是PC 的中点， （1）证明CD ⊥AE ；（2）证明AE ⊥平面PDC ；（3）求二面角A-PD-C 的正弦值 DNCBMAP新课标高考真题例6. （2011.18．）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60DAB ∠=︒，2AB AD =，PD ⊥底面ABCD ．（I ）证明：PA BD ⊥； （II ）设PD=AD=1，求棱锥D-PBC 的高．例7. （2012全国）如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=12AA 1，D 是棱AA 1的中点（1）证明：平面BDC 1⊥平面BDC ；（2）平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比。