面与面垂直的判定定理
1.面与面垂直的判定定理是什么？
答：（1）判定定理：一个面如果过另外一个面的垂线,那么这两个面相互垂直。即一个平面过另一平面的垂线,则这两个平面相互垂直。（2）判定定理：一个面如果过另外一个面的垂线，那么这两个面相互垂直。即一个平面过另外一个平面的垂线，则这两个平面相互垂直。（3）面面垂直的性质定理：在一个面中做一条垂直于两面交线的直线，则这条直线垂直于另一个面。
平面与平面垂直的性质和判定
判定定理：如果一个平面经过另一个平面的 ，那么这两个平面互相垂直。 性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。 面面垂直的判定方法 ① 面面垂直的定义：两个平面相交所成的二面角是 ②面面平行的性质结论：γαβα⊥,//⇒βγ⊥ 平面与平面垂直的性质 一、 选择题： 1、下列命题中，不正确的是（ ） A. 一条直线垂直于平面内无数条直线，则这条直线垂直于这个平面 B. 平面的垂线一定与平面相交 C. 过一点有且只有一条直线与已知平面垂直 D. 过一点有且只有一个平面与已知直线垂直 2、已知平面a ⊥平面β，l =βα ，点P ∈l ，则给出下面四个结论： ①过P 和l 垂直的直线在平面α内； ②过P 和平面β垂直的直线在平面α内； ③过P 和l 垂直的直线必与β垂直； ④过P 和平面β垂直的平面必与l 垂直。其中真命题是：（ ） A. ② B. ③ C. ①、④ D. ②、③ 3、夹在直二面角两个半平面间的一条线段与两个平面所成的角分别是30°和45°，如果这条线段的长是5，则它在二面角棱上的射影长为（ ） A. 2.5 B. 5 C. 10 D. 8 4、关于直线m 、n 与平面α、β，有下列四个命题： ①βα//,//n m 且βα//，则n m //； ②βα⊥⊥n m ,且βα⊥，则n m ⊥； ③βα//,n m ⊥且βα//，则n m ⊥； ④βα⊥n m ,//且βα⊥，则n m //. 其中真命题的序号是（ ） A. ①、② B. ③、④ C. ①、④ D. ②、③ 5、设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面.考查下列命题，其中正确的命题是（ ）
面面垂直线面垂直的判定定理
面面垂直线面垂直的判定定理 一、引言 在几何学中，面面垂直是一个基本的概念。当两个平面垂直时，我们 称它们是面面垂直的。本文将介绍面面垂直线面垂直的判定定理。 二、定义 1. 面：在三维空间中，由无数条线段组成的平坦曲面。 2. 平行：两条线或两个平面在同一平面内，且不相交。 3. 垂直：两条线或两个平面相交于一个角度为90度的交点。 4. 面面垂直：当两个平面相互垂直时，它们被称为“面面垂直”。 三、定理 如果一条直线同时与两个不同的平面相交，并且这条直线与其中一个 平面的交线是另一个平面上的一条直线，则这两个平面是“面面垂直”的。 四、证明
假设有两个不同的平面A和B，并且这两个平面相互垂直。我们需要证明如果一条直线同时与这两个不同的平面相交，并且这条直线与其中一个平面A的交线是另一个平面B上的一条直线，则这两个平面是“ 面面垂直”的。 首先，我们需要证明这条直线存在。假设这两个平面A和B相交于一条直线L。因为这两个平面相互垂直，所以它们的交角为90度，因此直线L与平面A和平面B的交线都是垂直的。 接下来，我们需要证明这条直线与平面A和平面B的交线是垂直的。假设这条直线与平面A的交点为P，与平面B的交点为Q，并且PQ 在平面B上。我们需要证明AP和BQ是垂直的。 由于PQ在平面B上，所以PQ与平面A的交线PA也在平面B上。因此，我们可以得到三角形APQ和三角形BPQ共享一个角度PQB，并且它们有一个共同边界PQ。 根据余弦定理： cos(APQ) = (AQ² + PQ² - AP²) / (2 * AQ * PQ) cos(BPQ) = (BQ² + PQ² - BP²) / (2 * BQ * PQ) 由于AP = BQ（因为它们都等于L），所以AP² = BQ²。将其代入上
平面与平面垂直的判定定理
2023年度：平面与平面垂直的判定定理 一、定义 在三维空间中，如果两个平面之间的夹角为90度，则称这两个平面是垂直的。 二、定理 两个平面垂直的充分必要条件是：它们的法向量互相垂直。 证明： 设两个平面分别为平面P1和平面P2，它们的法向量分别为n1和n2，夹角为α。则有： cosα = n1·n2 / |n1||n2| 其中，·表示向量的点积，|n1|和|n2|表示向量n1和n2的模。 当两个平面垂直时，α=90°，则有：
cos90°=0 即： n1·n2 = 0 即两个平面的法向量互相垂直。 反之，若两个平面的法向量互相垂直，则有：n1·n2 = 0 即： cosα = n1·n2 / |n1||n2| = 0 / (|n1||n2|) = 0 即两个平面的夹角为90度，证毕。 三、应用 该定理可以用来解决以下问题：
1. 判断两个平面是否垂直。 给定两个平面的法向量，在计算它们的点积和模的前提下，判断它们是否垂直即可。 2. 求两个平面的交线。 对于两个不相交的平面，它们的交线可以通过它们的法向量和一个公共点求解得到。 3. 求一个平面在另一个平面上的投影。 将需要投影的平面的法向量沿着另一个平面的法向量分解，得到该平面在另一个平面上的投影向量。 4. 计算两个平面的夹角。 给定两个平面的法向量，在计算它们的点积和模的前提下，计算它们的夹角即可。 总结
1. 本文档所涉及简要注释如下： - 平面：指在三维空间中，由无数个相互平行的直线组成的集合。 - 夹角：指两条直线或两个平面之间的夹角。 - 法向量：指垂直于平面的向量，其长度等于平面到原点的距离。 2. 本文档所涉及的法律名词及注释： - 三维空间：指以任意三个互不共线的点为基准点所构成的空间。 - 点积：指向量的数量积，是指两个向量对应分量的乘积之和。 - 模：指向量的长度，是指向量末尾点到原点的距离。 - 公共点：指两个平面的交线上的任意一个点。 3. 本文档执行过程中可能出现的纠纷问题及解决方案： 1. 如何处理平面法向量计算错误的问题？ 解决方案：应当检查计算步骤是否正确，如有必要可以请数学专业人员协助。 2. 如何处理平面的法向量不唯一的问题？ 解决方案：应当通过平面上的一些确定点来求解法向量，确保法向量的唯一性。 3. 如何处理平面交线不存在的问题？ 解决方案：如果两个平面不相交，则它们没有交线。 4. 如何处理平面交线无限延长的问题？
面面垂直的判定及性质
E D C B A P A B C D A B C D E F 线面垂直、线面夹角 垂直关系的判定和性质定理 ①线面垂直判定定理和性质定理 判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。 性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。 ②面面垂直的判定定理和性质定理 判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。 性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。 线线垂直⇒线面垂直⇒面面垂直 例1. 如图：已知四棱锥P ABCD -中，,PD ABCD ABCD ⊥平面是正方形，E 是PA 的中点. 求证：(1)//PC 平面EBD (2)平面PBC ⊥平面PCD 例2．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 为棱AD 、AB 的中点．求证：（1）EF ∥平面CB 1D 1；（2）平面CAA 1C 1⊥平面CB 1D 1． 例3. 如图，⊥PA 平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，PA AD =，,M N 分别是PC AB , 的中点. 求证：（1）//MN 平面PAD .（2）求证：平面⊥MND 平面PCD . 二面角 例4. 在正方体1111ABCD A B C D -中，找出下列二面角的平面角并计算大小： （1）二面角1D AB D --和1A AB D --；（2）二面角1C BD C --和1C BD A --. 例5. 如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC=60°，PA=AB=BC ，E 是PC 的中点， （1）证明CD ⊥AE ；（2）证明AE ⊥平面PDC ；（3）求二面角A-PD-C 的正弦值 D N C B M A P
证明面面垂直的方法及定理
证明面面垂直的方法及定理 证明面面垂直的方法及定理 面面垂直可不好证明，这是要合适的证明方法的，不然证明就会出错。下面就是店铺给大家整理的证明面面垂直的方法内容，希望大家喜欢。 证明面面垂直的方法 #CD=#BD-#BC,#AC=#BC-#BA,#AD=#BD-#BA. 对角线的点积：#AC·#BD=(#BC-#BA)·#BD=#BC·#BD-#BA·#BD 两组对边平方和分别为： AB2+CD2=AB2+(#BD-#BC)2=AB2+BD2+BC2-2#BD·#BC AD2+BC2=(#BD-#BA)2+BC2=BD2+BA2+BC2-2#BD·#BA 则AB2+CD2=AD2+BC2等价于#BD·#BC=#BD·#BA等价于#AC·#BD=0 所以原命题成立，空间四边形对角线垂直的充要条件是两组对边的平方和相等 证明一个面上的一条线垂直另一个面;首先可以转化成 一个平面的'垂线在另一个平面内,即一条直线垂直于另一个平面 然后转化成 一条直线垂直于另一个平面内的两条相交直线 也可以运用两个面的法向量互相垂直。 这是解析几何的方法。 面面垂直学生如何证明 一、初中部分 1利用直角三角形中两锐角互余证明 由直角三角形的定义与三角形的内角和定理可知直角三角形的两个锐角和等于90° ，即直角三角形的两个锐角互余。 2勾股定理逆定理 3圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角，一个三角形的一
边中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形。 二、高中部分 线线垂直分为共面与不共面。不共面时，两直线经过平移后相交成直角，则称两条直线互相垂直。 1向量法两条直线的方向向量数量积为0 2斜率两条直线斜率积为-1 3线面垂直，则这条直线垂直于该平面内的所有直线 一条直线垂直于三角形的两边，那么它也垂直于另外一边 4三垂线定理在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 5三垂线定理逆定理如果平面内一条直线和平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。 3高中立体几何的证明主要是平行关系与垂直关系的证明。方法如下(难以建立坐标系时再考虑)： Ⅰ.平行关系： 线线平行：1.在同一平面内无公共点的两条直线平行。2.公理4(平行公理)。3.线面平行的性质。4.面面平行的性质。5.垂直于同一平面的两条直线平行。 线面平行：1.直线与平面无公共点。2.平面外的一条直线与平面内的一条直线平行。3.两平面平行，一个平面内的任一直线与另一平面平行。 面面平行：1.两个平面无公共点。2.一个平面内的两条相交直线分别与另一平面平行。 Ⅱ.垂直关系： 线线垂直：1.直线所成角为90°。2.一条直线与一个平面垂直，那么这条直线与平面内的任一直线垂直。 线面垂直：1.一条直线与一个平面内的任一直线垂直。2.一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直。3.面面垂直的性质。4.两条平行直线中的一条垂直与一个平面，那么另一直线也与此平面垂直。5.一条直线垂直与两个平行平面中的一个，那么这条直线也与另一平面垂
高中数学总结归纳 点击面面垂直的判定与性质
点击面面垂直的判定与性质 一、面面垂直的判定与性质 1.两个平面垂直的定义：如果两个平面所成的二面角是直二面角，那么这两个平面互相垂直. 2.两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直. 3.两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么过其中一个平面内的一点作它的交线的垂线与另一个平面垂直. 二、证明面面垂直的基本方法有： （1）利用定义证明，即利用两平面相交成直二面角来证明； （2）利用面面垂直的判定定理证明，即若a ⊥β，a α⊂，则α⊥β 在证明两平面垂直时，一般方法是先从现有的直线中寻找平面的垂线，若没有这样的直线，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论根据并且要有利于证明，不能随意添加.在有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直.解决这类问题的关键是熟练掌握“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”间的转化条件和转化应用. 三、典例选析 例1．如下图，过S 引三条长度相等但不共面的线段SA 、SB 、SC ，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°，求证：平面ABC ⊥平面BSC. 剖析：本题是面面垂直的证明问题.一条是从定义出发的思路，即先证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线.但图中似乎没有现成的这样的直线，故作辅助线.根据已知条件的特点，取BC 的中点O ，连结AO 、SO ，既可证明AO ⊥平面BSC ，又可证明SO ⊥平面ABC.另一条是从定义出发的思路，即证明两个平面所成的二面角是直二面角，注意到∠AOS 是二面角A —BC —S 的平面角，转化为证明∠AOS 是直角. 证法一：取BC 的中点O ，连结AO 、SO.∵AS=BS=CS ，SO ⊥BC ， 又∵∠ASB=∠ASC=60°，∴AB=AC ，从而AO ⊥BC. 设AS=a ，又∠BSC=90°，则SO= 2 2 a.又AO=22BO AB -=2221a a -=
面面垂直判定定理的证明
面面垂直判定定理的证明 一、引言 面面垂直判定定理是平面几何中的一个重要定理，它用于判断两个面是否垂直。本文将对面面垂直判定定理进行证明，并详细探讨其原理和应用。 二、面面垂直判定定理的定义 面面垂直判定定理是指：如果两个平面相交于一条直线，且这两个平面与另一平面的两个相交线都是垂直的，那么这两个平面是垂直的。 三、证明过程 为了证明面面垂直判定定理，我们需要先证明两个命题： 1. 命题一：两个平面与同一平面的两个相交线垂直 假设两个平面P和Q相交于直线l，且P与平面R的两个相交线m和n都与l垂直。 首先，我们可以得出m和l在P平面上的一个交点A，以及n和l在Q平面上的一 个交点B。由于m都与P平面垂直，那么P平面上的任意一条直线都与m垂直。同理，n与Q平面垂直，那么Q平面上的任意一条直线都与n垂直。 考虑平面R上的一条直线s，它与m交于点C，与n交于点D。由于m与l垂直， 所以线段AC与线段AD是两条垂直直线上的线段，即AC和AD垂直。又因为n与l 垂直，所以线段AD与线段BD也是两条垂直直线上的线段，即AD和BD垂直。 由于AC和AD垂直，且AD和BD垂直，根据垂直的传递性，可以得出AC和BD垂直。 综上所述，我们可以得到结论：平面P上的任意一条直线与平面Q上的任意一条直线都垂直。即命题一得证。 2. 命题二：两个平面与同一平面的两个相交线垂直，那么这两个平面是垂直的 假设两个平面P和Q相交于直线l，且P与平面R的两个相交线m和n都与l垂直。
为了证明P和Q是垂直的，我们假设有一条直线s在平面P上，且与平面Q相交于点E。要证明P和Q是垂直的，我们需要证明s与l垂直。 通过平面P上s与l的交点F，我们可以找到平面R上与F相交的一条直线g。由 命题一可知，直线g与平面Q的两个相交线都是与l垂直的，即g与平面Q垂直。 考虑平面Q上的一条直线h，它与g交于点I。由于g与平面Q垂直，所以平面R 上与I相交的一条直线j也与g垂直。 假设j与平面Q相交于点K，我们可以发现线段FK和线段IK是相互垂直的。由于 线段FK在平面P上，线段IK在平面Q上，根据垂直传递性，可以得出FK与IK垂直。 综上所述，我们证明了P与Q是垂直的。 四、面面垂直判定定理的应用 面面垂直判定定理在几何学中有广泛的应用，特别是在三维几何中。它允许我们通过一些已知条件来推断两个平面是否垂直，从而简化了很多几何证明的过程。 此外，面面垂直判定定理也为我们提供了一种方法来判断三维物体的垂直关系。我们可以通过判断两个平面与另一平面的两个相交线是否垂直，来确定两个平面是否在垂直的方向上。 五、总结 通过本文的论述，我们证明了面面垂直判定定理，并探讨了该定理的原理和应用。面面垂直判定定理在几何学中有着重要的地位，它为我们提供了一种简便的方法来判断平面的垂直关系。在实际应用中，我们可以利用该定理来简化几何证明的过程，并判断物体之间的垂直方向关系。
面与面垂直的判定定理的证明
面与面垂直的判定定理的证明 面与面垂直的判定定理是几何学中非常重要的一个定理，它可以帮助我们判断两个面是否垂直。在实际应用中，这个定理被广泛应用于建筑、机械制造、航空航天等领域。下面我将为大家介绍面与面垂直的判定定理的证明过程。 首先，我们需要了解一些基本概念。在三维空间中，两个面的法向量分别为n1和n2，如果它们垂直，则它们的点积为0，即n1·n2=0。因此，我们只需要证明n1·n2=0时，两个面垂直即可。 接下来，我们假设两个面分别为平面ABC和平面DEF，它们的法向量分别为n1和n2。我们可以通过向量叉积的方式求出n1和n2，即n1=AB×AC，n2=DE×DF。其中，×表示向量叉积运算。 由于向量叉积的性质，我们可以得到以下结论： 1.向量叉积的结果与向量的顺序有关，即AB×AC=-AC×AB。 2.向量叉积的结果与向量的长度和夹角有关，即 |AB×AC|=|AB||AC|sin∠BAC。
3.向量叉积的结果垂直于参与运算的两个向量，即AB×AC垂直于平面ABC。 基于以上结论，我们可以得到以下证明过程： n1·n2=(AB×AC)·(DE×DF) =(AB·DE)(AC·DF)-(AB·DF)(AC·DE) 由于向量叉积的结果垂直于参与运算的两个向量，因此AB×AC垂直于平面ABC，DE×DF垂直于平面DEF。因此，(AB·DE)(AC·DF)表示平面ABC和平面DEF的夹角余弦值，(AB·DF)(AC·DE)表示平面ABC 和平面DEF法向量在平面ABC上的投影和在平面DEF上的投影的乘积。由于平面ABC和平面DEF垂直，因此它们的夹角余弦值为0，即(AB·DE)(AC·DF)=(AB·DF)(AC·DE)。 因此，n1·n2=(AB·DE)(AC·DF)-(AB·DF)(AC·DE)=0。 因此，当n1·n2=0时，平面ABC和平面DEF垂直。 综上所述，面与面垂直的判定定理得证。通过这个定理，我们可以方便地判断两个面是否垂直，为实际应用提供了便利。
高中面面垂直的判定定理
高中面面垂直的判定定理 高中面面垂直的判定定理 在平面直角坐标系中，如果两条直线的斜率之积为-1，则这两条直线 互相垂直。这就是高中数学中常见的“面面垂直”的判定定理。下面 将从定义、证明、应用三个方面详细介绍这一定理。 一、定义 在平面直角坐标系中，如果有两条不重合的直线L1和L2，它们的斜 率分别为k1和k2，且k1×k2=-1，则称L1与L2互相垂直。 二、证明 要证明“斜率之积为-1时，两条直线互相垂直”，我们需要用到向量 的知识。设向量a=(x1,y1)和向量b=(x2,y2)，则a·b=x1x2+y1y2表 示向量a和向量b的数量积。同时，向量a和向量b垂直可表示为a·b=0。 现在考虑两条不重合的直线L1:y=k1x+b1和L2:y=k2x+b2 （k1≠k2）。分别取L1上一点A(x0,y0)和L2上一点B(x3,y3)，则有：
AB^→=AO^→+OB^→=(x0-b1,y0)-(x3-b2,y3)=(x0-x3-b1+b2,y0-y3) 其中，^→表示向量，O为坐标系原点。由于L1和L2垂直，所以向量AB^→与向量L1的方向向量a=(1,k1)垂直，即： AB^→·a=0 展开得： (x0-x3-b1+b2)+k1(y3-y0)=0 将L2的斜率k2=-1/k1代入得： (x0-x3-b1+b2)-(y3-y0)/k2=0 也就是： (x0-x3-b1+b2)+k2(y3-y0)=0 这表明向量AB^→与向量L2的方向向量b=(1,k2)垂直。因此，L1和L2互相垂直。
三、应用 面面垂直定理在高中数学中经常用于解决两条直线是否垂直的问题。例如，在解决平面几何中的证明题目时，我们需要判断两条线段是否相互垂直。此时，可以通过计算两条线段所在的直线的斜率之积是否为-1来判定它们是否垂直。 同时，在解决函数图像问题时，也需要运用面面垂直定理。例如，在求解过给定点且与一条已知直线垂直的函数图像时，可以通过计算该函数图像所在直线与已知直线斜率之积是否为-1来确定该函数图像的斜率。 总之，面面垂直定理是高中数学中非常重要的定理之一，它不仅在解决平面几何问题时有广泛应用，在函数图像问题中也有着重要作用。
(完整版)面面垂直的判定+性质定理(例题)
面面垂直的判定 1、 如图,棱柱111C B A ABC -的侧面11B BCC 是菱形，且11B C A B ⊥ 证明：平面1AB C ⊥平面11A BC 2、如图，AB 是 ⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O 所在的平面，C 是 圆周上不同于A ，B 的任意一点,求证：平面PAC ⊥平面PBC. 3、如图所示，四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是菱形，∠BCD ＝60°，E 是CD 的中点，PA ⊥底面ABCD ，求证：平面PBE ⊥平面PAB ； 4、如图，在四面体ABCD 中，CB ＝CD ，AD ⊥BD ,点E 、F 分别是AB 、BD 的中点．求证：(1）直线EF ∥平面ACD ；(2）平面EFC ⊥平面BCD .
5、如图,在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是正方形,SA⊥底面ABCD，SA=AB，点M是SD的中点，AN⊥SC，且交SC于点N. (I）求证:SB∥平面ACM；（II）求证:平面SAC⊥平面AMN. 面面垂直的性质 1、S是△ABC所在平面外一点，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC，求证AB ⊥BC.
2、 在四棱锥中,底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形, 平面VAD ⊥底面ABCD 证明:AB ⊥平面VAD 3、如图,平行四边形ABCD 中，60DAB ︒∠=,2,4AB AD ==将CBD ∆沿BD 折起到EBD ∆的位置，使平面EDB ⊥平面ABD 。求证:AB DE ⊥ w 。w 。w 。k 。s 。5.u 。c 。o 。m 4、如图，在四棱锥ABCD P -中,平面PAD ⊥平面ABCD ，AB=AD ， ∠BAD=60°，E 、F 分别是AP 、AD 的中点 求证：（1）直线EF ‖平面PCD ；（2）平面BEF ⊥平面PAD V D C B A S A C B
面面垂直的判定5个条件
面面垂直的判定5个条件 一、引言 在几何学中，垂直是一个重要的概念。当平面或直线与另一平面或直线垂直时，它们被称为面面垂直或线面垂直。面面垂直的判断条件可以帮助我们解决几何学问题，并深入理解空间中不同几何对象之间的关系。 二、面面垂直的定义 面面垂直是指两个平面之间的垂直关系。当两个平面的法线向量垂直时，这两个平面被认为是面面垂直的。两个平面的法线向量的点积为0时，即可判定两个平面垂直。 三、面面垂直的判定条件 判定两个平面是否面面垂直，我们可以根据以下五个条件进行判断： 1.条件一：两个平面互相垂直的法线向量 –按一定方法找出两个平面的法线向量； –计算两个法线向量之间的点积； –若点积为0，则两个平面面面垂直。 2.条件二：直线与平面垂直的法线向量 –首先找出直线上的两个点； –找出直线的方向向量； –找出所给平面的法线向量； –计算直线的方向向量和平面的法线向量的点积； –若点积为0，则直线与平面垂直。 3.条件三：两个平面的法线与直线垂直 –首先找出直线上的一点； –找出直线的方向向量； –找出两个平面的法线向量； –分别计算直线的方向向量和两个平面法线向量的点积； –若两个点积都为0，则两个平面的法线与直线垂直。 4.条件四：两个平面的夹角为直角
–找出两个平面的法线向量； –计算两个法线向量的点积； –若点积为0，则两个平面的夹角为直角。 5.条件五：两个垂直平面的公共直线 –找出两个平面的法线向量； –求解两个法线向量的向量积，得到一条直线； –若该直线与两个平面都相交，则该直线为两个平面的公共直线，两个平面是垂直的。 四、面面垂直的应用举例 面面垂直的判断条件在几何学中有广泛的应用。下面将举例说明面面垂直的应用场景： 1.平面几何中的垂足定理 在平面直角坐标系中，平面上的一个点到直线的距离最短当且仅当从该点到 直线上的垂线段垂直于直线。 2.空间几何中的曲面垂直 在三维空间中，两个曲面在某一点处的法线向量垂直，可以判定这两个曲面 在该点处垂直。例如，球面和切平面在切点处垂直。 3.物理学中的力分析 在物理学中，垂直方向的力可以分解为水平和垂直的力。通过判断两个力的 方向是否垂直，可以更好地分析力的作用效果。 4.工程学中的三维模型重叠检测 在工程学中，判定两个三维模型是否重叠是一个重要的问题。通过对两个模 型的各个面进行面面垂直的判断，可以快速而准确地检测模型是否存在重叠。 结论 面面垂直是几何学中的一个重要概念，通过判定两个平面是否垂直，我们可以解决许多几何学问题。使用面面垂直的判定条件，我们可以确定平面与平面、直线与平面、平面与直线、平面与曲面之间的垂直关系。面面垂直的判断条件在几何学、物理学和工程学等领域都有广泛的应用。通过深入理解面面垂直的概念和判定条件，我们可以更好地解决几何学问题，并且应用到实际生活中的工程和物理问题中。
面面垂直的性质定理和结论
面面垂直的性质定理和结论 一、面面垂直的性质定理和结论 1、二面角 （1）半平面：平面内的一条直线把平面分成两部分，每一部分都叫做半平面。 （2）二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。 （3）二面角的表示方法 ①棱为$AB$，面分别为$α$，$β$的二面角记作二面角$α—AB—β$。 ②棱为$l$，面分别为$α$，$β$的二面角记作二面角$α—l—β$。 ③棱为$AB$，若在$α$，$β$面内分别取不在棱上的点$P$，$Q$，这个二面角可记作二面角$P—AB—Q$。 （4）二面角的平面角 在二面角$α—l—β$的棱$l$上任取一点$O$，以点$O$为垂足，在半平面$α$和$β$内分别作垂直于棱$l$的射线$OA$和$OB$，则射线$OA$和$OB$构成的∠$AOB$叫做二面角的平面角。 二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度。平面角是直角的二面角叫做直二面角。 二面角的平面角的取值范围为$[0°,180°]$。 2、平面与平面垂直 定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直，记作$α⊥β$。 判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。 性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 平面与平面垂直的一般性质和结论 （1）如果两个平面互相垂直，那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面。
（2）如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一 个平面内。 （3）如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面。 （4）三个两两垂直的平面的交线也两两垂直。 二、面面垂直的性质定理的相关例题 已知三棱锥$P-ABC$，平面$PAB⊥$ 平面$ABC$，$PA=PB=4$，$AB=4\sqrt{3}$， $∠ACB=120°$，则三棱锥$P-ABC$外接球的表面积为___ A．20π B．32π C．64π D．80π 答案：D 解析：设$△PAB$的外接圆的圆心为$O_1$，半径为$r_1$，$△ABC$的外接圆的圆心为$O_2$，半径为$r_2$，三棱锥$P-ABC$外接球球心为$O$，半径为$R$，过点$P$作$PD⊥AB$，因为平面$PAB⊥$ 平面$ABC$，所以$PD⊥$ 平面$ABC$，又因为$PA=PB=4$，所以$O_1$在$PD$上，因为$AB=4\sqrt{3}$，所以$AD=2\sqrt{3}$，$PD=2$，所以$\cos ∠PAD=\frac{AD}{PD}=\frac{2\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，又$∠PAD∈(0,π)$，所以$∠PAD=\frac{π}{6}$，所以$2r_1=\frac{PB}{\sin ∠PAD}=\frac{4}{\frac{1}{2}}=8$，则$r_1=O_1P=4$，所以$O_1D=2$，$OO_2=O_1D=2$， 所以$2r_2=\frac{AB}{\sin ∠ACB}=\frac{4\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=8$，则 $r_2=O_2A=4$，所以$R=\sqrt{OO^2_2+O_2A^2}=2\sqrt{5}$，所以三棱锥$P-ABC$外接球 的表面积$S=4πR^2=$$4π×$$(2\sqrt{5})^2=$$80π$。故选D。 感谢您的阅读，祝您生活愉快。
证明面面垂直的方法及定理五篇
证明面面垂直的方法及定理五篇 证明面面垂直的方法1 CD=BD-BC,AC=BC-BA,AD=BD-BA. 对角线的点积：AC·BD=(BC-BA)·BD=BC·BD-BA·BD 两组对边平方和分别为： AB2+CD2=AB2+(BD-BC)2=AB2+BD2+BC2-2BD·BC AD2+BC2=(BD-BA)2+BC2=BD2+BA2+BC2-2BD·BA 则AB2+CD2=AD2+BC2等价于BD·BC=BD·BA等价于AC·BD=0 所以原命题成立，空间四边形对角线垂直的充要条件是两组对边的平方和相等 证明一个面上的一条线垂直另一个面;首先可以转化成 一个平面的'垂线在另一个平面内，即一条直线垂直于另一个平面 然后转化成 一条直线垂直于另一个平面内的两条相交直线 也可以运用两个面的法向量互相垂直。 这是解析几何的方法。 平面平行与平面垂直的知识点2 1. 空间两个平面的位置关系：相交、平行。 2. 平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，哪么这两个平面平行。(“线面平行，面面平行”) 推论：垂直于同一条直线的两个平面互相平行;平行于同一平面的两个平面平行。 [注]：一平面间的任一直线平行于另一平面。 3. 两个平面平行的性质定理：如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们交线平行。(“面面平行，线线平行”) 4. 两个平面垂直性质判定一：两个平面所成的二面角是直二面角，则两个平面垂直。 两个平面垂直性质判定二：如果一个平面与一条直线垂直，那么经过这条
直线的平面垂直于这个平面。(“线面垂直，面面垂直”) 注：如果两个二面角的平面对应平面互相垂直，则两个二面角没有什么关系。 5. 两个平面垂直性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面。 推论：如果两个相交平面都垂直于第三平面，则它们交线垂直于第三平面。 证明：如图，找O作OA、OB分别垂直于， 因为则。 6. 两异面直线任意两点间的距离公式：(为锐角取加，为钝取减，综上，都取加则必有) 面面垂直学生如何证明3 一、初中部分 1利用直角三角形中两锐角互余证明 由直角三角形的定义与三角形的内角和定理可知直角三角形的两个锐角和等于90° ，即直角三角形的两个锐角互余。 2勾股定理逆定理 3圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角，一个三角形的一边中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形。 二、高中部分 线线垂直分为共面与不共面。不共面时，两直线经过平移后相交成直角，则称两条直线互相垂直。 1向量法两条直线的方向向量数量积为0 2斜率两条直线斜率积为-1 3线面垂直，则这条直线垂直于该平面内的所有直线 一条直线垂直于三角形的两边，那么它也垂直于另外一边 4三垂线定理在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。