相似三角形动点问题精选

动点问题答案：

1．如图①，点A '，B '的坐标分别为（2，0）和（0，4-），将A B O ''△绕点O 按逆时针方向旋转90°后得ABO △，点A '的对应点是点A ，点B '的对应点是点B ．

（1）写出A ，B 两点的坐标，并求出直线AB 的解析式； （2）将ABO △沿着垂直于x 轴的线段CD 折叠，（点C 在x 轴上，点D 在AB 上，点D 不与A ，B 重合）如图②，使点B 落在x 轴上，点B 的对应点为点E ．设点C 的坐标为（0x ，）

，CDE △与ABO △重叠部分的面积为S ． i ）试求出S 与x 之间的函数关系式（包括自变量x 的取值范围）；

ii ）当x 为何值时，S 的面积最大？最大值是多少？

iii ）是否存在这样的点C ，使得ADE △为直角三角形？若存在，直接写出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．

1．答案

解：（1）(02)(40)A B ，，， ························ （2分） 设直线AB 的解析式y kx b =+，则有

240b k b =⎧⎨

+=⎩ 解得122

k b ⎧=-

⎪⎨⎪=⎩ ∴直线AB 的解析式为1

22

y x =-+ ··················· （3分）

（2）i ）①点E 在原点和x 轴正半轴上时，重叠部分是CDE △．

则1111(4)22222CDE S CE CD BC CD x x ⎛⎫=

==--+ ⎪⎝⎭

△·· 2

1244

x x =

-+ 当E 与O 重合时，1

2242

CE BO x =

=∴<≤ ············· （4分） ②当E 在x 轴的负半轴上时，设DE 与y 轴交于点F ，则重叠部分为梯形CDFO

.

（第26题图）

OFE OAB △∽△ 1122OF OA OF OE OE OB ∴==∴=， 又42OE x =-

1

(42)22

OF x x ∴=-=-

213222224CDFO x S x x x x ⎡⎤

⎛⎫∴=-+-+=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦

四边形· ············ （5分）

当点C 与点O 重合时，点C 的坐标为(0,0)

02x ∴<< ······························ （6分）

综合①②得2

2124(24)

4

32(02)

4

x x x S x x x ⎧-+<⎪⎪=⎨

⎪-+<<⎪⎩≤ ··············· （7分）

ii ）①当24x <≤时，2211

24(2)44

S x x x =

-+=- ∴对称轴是4x = 抛物线开口向上，∴在24x <≤中，S 随x 的增大而减小

∴当2x =时，S 的最大值＝21

(24)14

⨯-= ··············· （8分）

②当02x <<时，2

23344

24433

S x x x ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭

∴对称轴是4

3x =

,抛物线开口向下 ∴当43x =时，S 有最大值为4

3

····················· （9分）

综合①②当43x =时，S 有最大值为4

3

················· （10分）

iii ）存在，点C 的坐标为3

02⎛⎫ ⎪⎝⎭，

和502⎛⎫ ⎪⎝⎭

， ················· （14分） 附：详解：①当ADE △以点A 为直角顶点时，作AE AB ⊥交x 轴负半轴于点E ，

AOE BOA △∽△,1

2

EO AO AO BO ∴

==;21AO EO =∴=,∴点E 坐标为（1-，0）

∴点C 的坐标为302⎛⎫

⎪⎝⎭

，

②当ADE △以点E 为直角顶点时,同样有AOE BOA △∽△,

1

2

OE OA AO BO ==

1(10)EO E ∴=∴，,∴点C 的坐标502⎛⎫ ⎪⎝⎭，,综合①②知满足条件的坐标有302⎛⎫ ⎪⎝⎭，和502⎛⎫

⎪⎝⎭

，．

3．直线)0(≠+=k b kx y 与坐标轴分别交于A 、B 两点，OA 、OB 的长分别是方程048142=+-x x 的两根（OB OA >）

，动点P 从O 点出发，沿路线O →B →A 以每秒1个单位长度的速度运动，到达A 点时运动停止．

（1）直接写出A 、B 两点的坐标；

（2）设点P 的运动时间为t (秒)，OPA ∆的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式（不必写出自变量的取值范围）；

M ，使以O 、M 的坐标；若不存在，请说

(1) )6,0(),0,8(B A ……………………….各1分 (2)∵8=OA ，6=OB ，∴10=AB

当点P 在OB 上运动时，t OP =1，

t t OP OA S 482

1211=⨯⨯=⨯=

；..............1分 当点P 在BA 上运动时，作OA D P ⊥2于点D ， 有

AB

AP BO D P 2

2= ∵t t AP -=-+=161062，∴5

3482t

D P -=

………………………1分 ∴5

192

5125348821212+-=-⨯⨯=⨯⨯=t t D P OA S ……………………1分

（3）当124=t 时，3=t ，)3,0(1P ，………………………………1分