相似三角形动点问题精选

动点问题答案：1．如图①，点A '，B '的坐标分别为（2，0）和（0，4-），将A B O ''△绕点O 按逆时针方向旋转90°后得ABO △，点A '的对应点是点A ，点B '的对应点是点B ．（1）写出A ，B 两点的坐标，并求出直线AB 的解析式； （2）将ABO △沿着垂直于x 轴的线段CD 折叠，（点C 在x 轴上，点D 在AB 上，点D 不与A ，B 重合）如图②，使点B 落在x 轴上，点B 的对应点为点E ．设点C 的坐标为（0x ，），CDE △与ABO △重叠部分的面积为S ． i ）试求出S 与x 之间的函数关系式（包括自变量x 的取值范围）；ii ）当x 为何值时，S 的面积最大？最大值是多少？iii ）是否存在这样的点C ，使得ADE △为直角三角形？若存在，直接写出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．1．答案解：（1）(02)(40)A B ，，， ························ （2分） 设直线AB 的解析式y kx b =+，则有240b k b =⎧⎨+=⎩ 解得122k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴直线AB 的解析式为122y x =-+ ··················· （3分）（2）i ）①点E 在原点和x 轴正半轴上时，重叠部分是CDE △．则1111(4)22222CDE S CE CD BC CD x x ⎛⎫===--+ ⎪⎝⎭△·· 21244x x =-+ 当E 与O 重合时，12242CE BO x ==∴<≤ ············· （4分） ②当E 在x 轴的负半轴上时，设DE 与y 轴交于点F ，则重叠部分为梯形CDFO.（第26题图）OFE OAB △∽△ 1122OF OA OF OE OE OB ∴==∴=， 又42OE x =-1(42)22OF x x ∴=-=-213222224CDFO x S x x x x ⎡⎤⎛⎫∴=-+-+=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦四边形· ············ （5分）当点C 与点O 重合时，点C 的坐标为(0,0)02x ∴<< ······························ （6分）综合①②得22124(24)432(02)4x x x S x x x ⎧-+<⎪⎪=⎨⎪-+<<⎪⎩≤ ··············· （7分）ii ）①当24x <≤时，221124(2)44S x x x =-+=- ∴对称轴是4x = 抛物线开口向上，∴在24x <≤中，S 随x 的增大而减小∴当2x =时，S 的最大值＝21(24)14⨯-= ··············· （8分）②当02x <<时，22334424433S x x x ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭∴对称轴是43x =,抛物线开口向下 ∴当43x =时，S 有最大值为43····················· （9分）综合①②当43x =时，S 有最大值为43················· （10分）iii ）存在，点C 的坐标为302⎛⎫ ⎪⎝⎭，和502⎛⎫ ⎪⎝⎭， ················· （14分） 附：详解：①当ADE △以点A 为直角顶点时，作AE AB ⊥交x 轴负半轴于点E ，AOE BOA △∽△,12EO AO AO BO ∴==;21AO EO =∴=,∴点E 坐标为（1-，0）∴点C 的坐标为302⎛⎫⎪⎝⎭，②当ADE △以点E 为直角顶点时,同样有AOE BOA △∽△,12OE OA AO BO ==1(10)EO E ∴=∴，,∴点C 的坐标502⎛⎫ ⎪⎝⎭，,综合①②知满足条件的坐标有302⎛⎫ ⎪⎝⎭，和502⎛⎫⎪⎝⎭，．3．直线)0(≠+=k b kx y 与坐标轴分别交于A 、B 两点，OA 、OB 的长分别是方程048142=+-x x 的两根（OB OA >），动点P 从O 点出发，沿路线O →B →A 以每秒1个单位长度的速度运动，到达A 点时运动停止．（1）直接写出A 、B 两点的坐标；（2）设点P 的运动时间为t (秒)，OPA ∆的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式（不必写出自变量的取值范围）；M ，使以O 、M 的坐标；若不存在，请说(1) )6,0(),0,8(B A ……………………….各1分 (2)∵8=OA ，6=OB ，∴10=AB当点P 在OB 上运动时，t OP =1，t t OP OA S 4821211=⨯⨯=⨯=；..............1分 当点P 在BA 上运动时，作OA D P ⊥2于点D ， 有ABAP BO D P 22= ∵t t AP -=-+=161062，∴53482tD P -=………………………1分 ∴51925125348821212+-=-⨯⨯=⨯⨯=t t D P OA S ……………………1分（3）当124=t 时，3=t ，)3,0(1P ，………………………………1分此时，过AOP ∆各顶点作对边的平行线，与坐标轴无第二个交点，所以点M 不存在；……………………………………………………………………………1分当125192512=+-t 时，11=t ，)3,4(2P ，........................1分 此时，)3,0(1M 、)6,0(2-M (1)4．如图1，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，四边形ABCO 是菱形，点A 的坐标为（－3，4），点C 在x 轴的正半轴上，直线AC 交y 轴于点M ，AB 边交y 轴于点H ． （1）求直线AC 的解析式；（2）连接BM ，如图2，动点P 从点A 出发，沿折线ABC 方向以2个单位／秒的速度向终点C 匀速运动，设△PMB 的面积为S （S ≠0），点P 的运动时间为t 秒，求S 与t 之间的函数关系式（要求写出自变量t 的取值范围）；（3）在（2）的条件下，当 t 为何值时，∠MPB 与∠BCO 互为余角，并求此时直线OP 与直线AC 所夹锐角的正切值．5．（2009年浙江丽水）已知直角坐标系中菱形ABCD 的位置如图，C ，D 两点的坐标分别为(4,0)，(0,3).现有两动点P ,Q 分别从A ,C 同时出发，点P 沿线段AD 向终点D 运动，点Q 沿折线CBA 向终点A 运动，设运动时间为t 秒. (1)填空：菱形ABCD 的边长是 ▲ 、面积是 ▲ 、 高BE 的长是 ▲ ； (2)探究下列问题：①若点P 的速度为每秒1个单位，点Q 的速度为每秒2个单位.当点Q 在线段BA 上时，求△APQ 的面积S 关于t 的函数关系式，以及S的最大值。

②若点P 的速度为每秒1个单位，点Q 的速度变为每秒k 个单位，在运动过程中,任何时刻都有相应的k 值，使得△APQ 沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形.请探究当t =4秒时的情形，并求出k 的值.5题解（1）5 , 24,524 （2）①由题意，得AP =t ，AQ =10-2t.如图1,过点Q 作QG ⊥AD ，垂足为G ，由QG ∥BE 得△AQG ∽△ABE ,∴BAQABE QG =, ∴QG =2548548t-, ∴t t QG AP S 5242524212+-=⋅=(25≤t ≤5).……1分Oxy ABC DE(第24题)∵6)25(25242+--=t S (25≤t ≤5). ∴当t =25时，S 最大值为6 ② 要使△APQ 沿它的一边翻折，翻折前后的两个三角形组成的四边形为菱形，根据轴对称的性质，只需△APQ 为等腰三角形即可. 当t =4秒时，∵点P 的速度为每秒1个单位，∴AP =4 以下分两种情况讨论:第一种情况：当点Q 在CB 上时, ∵PQ ≥BE >PA ，∴只存在点Q 1,使Q 1A =Q 1P .如图2,过点Q 1作Q 1M ⊥AP ，垂足为点M ，Q 1M 交AC 于点F ,则AM =122AP =.由△AMF ∽△AOD ∽△CQ 1F ,得4311===AO OD CQ F Q AM FM , ∴23=FM , ∴103311=-=FM MQ F Q .∴CQ 1=QF 34=225.则11CQ APt k t =⋅⨯, ∴11110CQ k AP == 第二种情况：当点Q 在BA 上时,存在两点Q 2,Q 3,分别使A P = A Q 2,PA =PQ 3.①若AP =A Q 2，如图3,CB +BQ 2=10-4=6. 则21BQ CB APt k t +=⋅⨯,∴232CB BQ k AP +==.……1分②若PA =PQ 3，如图4,过点P 作PN ⊥AB ，垂足为N ，由△ANP ∽△AEB ,得AB AP AE AN =. ∵AE =5722=-BE AB , ∴AN ＝2825.∴AQ 3=2AN=5625, ∴BC+BQ 3=10-251942556=则31BQ CB APt k t +=⋅⨯.∴50973=+=AP BQ CB k . 综上所述，当t = 4秒，以所得的等腰三角形APQ 沿底边翻折，翻折后得到菱形的k 值为1011或23或5097.6（2009年浙江宁波）．如图1，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为（－8，0），直线BC 经过点B （－8，6），将四边形OABC 绕点O 按顺时针方向旋转α度得到四边形OA ′B ′C ′，此时声母OA ′、直线B ′C ′分别与直线BC 相交于P 、Q ．（1）四边形的形状是 ，当α=90°时，BPPQ的值是 ． （2）①如图2,当四边形OA ′B ′C ′的顶点B ′落在y 轴正半轴上时,求的值;②如图3,当四边形OA ′B ′C ′的顶点B ′落在直线BC 上时,求ΔOPB ′的面积． （3）在四边形OABC 旋转过程中,当000180α<≤时，是否存在这样的点P 和点Q ，使BP=12BQ ？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。