浙江专升本高等数学-例题解析
2019年浙江专升本《高等数学》真题卷+答案
浙江省2019年选拔优秀高职高专毕业生进入本科学习统一考试高等数学请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。
2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题号的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号。
不能答在试卷上。
选择题部分注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。
2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
不能答在试题卷上。
一、选择题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设a x n n =∞→lim 则说法不正确的是（）（A）对于正数2，一定存在正整数N ，使得当n>N 时，都有2X <-a n （B）对于任意给定的无论多么小的正数ε，总存在整数N ，使得当n>N 时，不等式ε<-a n X 成立（C）对于任意给定的a 的邻域()εε+-a a ,，总存在正整数N ，使得当n>N 时，所有的点n x 都落在()εε+-a a ,内，而只有有限个（至多只有N 个）在这个区间外（D）可以存在某个小的正数0ε，使得有无穷多个点0ε落在这个区间()00,εε+-a a 外2.设在点0x 的某领域内有定义，则在点0x 处可导的一个充分条件是（）（A）hx f h x f h )()2(lim000-+→存在（B）hh x f x f h )()(lim 000---→存在（C）hh x f h x f h )()(lim000--+→存在（D）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++∞→)()1(lim 00x f h x f h h 存在3.⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++++∞→n n n n n x πππsin 1...2sin 1sin 11lim 等于（）（A）dxx ⎰10sin π（B）dxx ⎰+1sin 1π（C）dxx ⎰+10sin 1（D）dxx ⎰+1sin 1π4.下列级数或广义积分发散的是（）.（A）∑∞=-+-11100n 1n n ）（（B）∑∞=12cos n n（C）dxx ⎰212-41（D）dx x ⎰+∞+12211）（5.微分方程044=+'-''y y y 的通解是（）（A）x e c x c x y 221)(-+=（B）()x e x c c x y 221)(-+=（C）()xe x c c x y 221)(+=（D）()xxe x c c x y 221)(-+=非选择题部分二、填空题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
2010年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学(一)》试卷答案解析
2010年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学（一）》参考答案选择题部分一、选择题:本大题共5小题,每小题4分,共20分。
题号12345答案DBDCC1.D 解析:A 选项：xx y 2=的定义域是{}0≠x x ，而x y =的定义域是{}R x x ∈，所以函数不相等。
B 选项：x y =的定义域是{}0≥x x ，而x y =的定义域是{}R x x ∈，所以函数不相等。
C 选项：x y =的定义域是{}R x x ∈，而2)(x y =的定义域是{}0≥x x ，所以函数不相等。
D 选项：x y =的定义域是{}R x x ∈，而2x y =的定义域是{}R x x ∈，且2x x y ==，所以该函数相等。
因此选项D 正确。
2.B 解析:因为∞==→→x e x f xx x 00lim )(lim ，所以该函数有一条垂直渐近线：0=x ，因为0lim )(lim ==-∞→-∞→xe xf xx x ，所以该函数有一条左水平渐近线：0=y ，因为xe xf x x x +∞→+∞→=lim )(lim +∞====+∞→xx e lim 洛，综上所以：该函数既有水平又有垂直渐近线，因此选项D 正确。
3.D 解析:由一般型可知，该面积可知⎰-=badx x g x f S )()(，因此选项D 正确。
4.C 解析:由yzx ln=可知：y e z x ⋅=，所以x ye x z =∂∂，因此选项C 正确。
5.C 解析:根据比较判别法的极限形式：3113lim 1131lim =+=+∞→∞→n n nn n n ，级数∑∞=+2131n n 和级数∑∞=11n n 是同敛散性的，由于当1=P 是发散的，因此级数∑∞=+2131n n 是发散的，不选A。
根据积分判别法：∞==∞++∞⎰e e x dx x x )ln(ln ln 1，因此反常积分⎰+∞e dx xx ln 1是发散的，由于⎰+∞e dx x x ln 1和级数∑∞=1ln 1n n n 是同敛散性的，因此∑∞=1ln 1n nn 是发散的，不选B。
浙江专升本(高等数学)模拟试卷3(题后含答案及解析)
浙江专升本（高等数学）模拟试卷3(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 4. 解答题 5. 综合题选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．已知当x→0时，x2ln(1+x2)是sinnx的高阶无穷小，而sinnx又是1一cosx的高阶无穷小，则正整数n等于( )A．1B．2C．3D．4正确答案：C解析：由=0知n＞2；故n=3．2．设函数f(x)=｜x3－1｜φ(x)，其中φ(x)在x=1处连续，则φ(1)=0是f(x)在x=1处可导的( )A．必要但不充分条件B．充分必要条件C．充分但非必要条件D．既非充分也非必要条件正确答案：B解析：因为(x2+x+1)φ(x)＝－3φ(1)，(x2+x+1)φ(x)=3φ(1)，所以f(x)在x=1处可导的充分必要条件为一3φ(1)=3φ(1)，即φ(1)=0，选项B正确．3．直线l：与平面π：4x一2y一2z一3=0的位置关系是( )A．平行B．垂直相交C．直线l在π上D．相交但不垂直正确答案：A解析：直线的方向向量为(一2，一7，3)，平面π的法向量为(4，一2，一2)．(一2)×4+(一7)×(一2)+3×(一2)=0，且直线l：上的点(一3，一4，0)不在平面：4x一2y一2z一3=0上，所以直线与平面平行．4．设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，则必有( )A．F(x)是偶函数f(x)是奇函数B．F(x)是奇函数f(x)是偶函数C．F(x)是周期函数f(x)是周期函数D．F(x)是单调函数f(x)是单调函数正确答案：A解析：记G(x)=f(t)dt，则G(x)是f(x)的一个原函数，且G(x)是奇(偶)函数f(x)是偶(奇)函数，又F(x)=G(x)+C，其中C是一个常数，而常数是偶函数，故由奇、偶函数的性质知应选A．5．如果级数un(un≠0)收敛，则必有( )A．级数(一1)nun收敛B．级数｜un｜收敛C．级数发散D．级数收敛正确答案：C解析：因为un(un≠0)收敛，所以=∞，故发散，C正确．填空题6．函数f(x)=的第一类间断点为__________．正确答案：x=1，x=－1解析：求极限可得f(x)=f(x)=1，f(x)=0，f(x)=－1，f(x)=0，所以函数f(x)的第一类间断点为x=1，x=－1．7．已知y=lnsin(1—2x)，则y′=___________．正确答案：－2cot(1－2x)解析：y=lnsin(1－2x)y′==－2cot(1－2x)．8．设函数x=x(y)是由方程yx+x+y=4所确定，则=__________．正确答案：-3解析：利用隐函数求导法和对数求导法可得x′lny++x′+1=0，再由x(1)=2可得=－3．9．已知=3，则常数a=__________，b=___________．正确答案：a＝－1，b＝－2解析：因为＝3a ＝－1，再由22+2a+b＝0可知b＝－2．10．dx=___________．正确答案：π解析：11．设f(x)=，要使f(x)在x=0处连续，则k=___________．正确答案：k=0解析：根据函数连续的定义：f(x)=f(0)，因xsin=0，则k=f(0)=0．12．使得函数f(x)=适合Roll(罗尔)定理条件的闭区间是：____________．正确答案：[0，1]解析：根据罗尔定理的条件：只需函数在闭区间连续，开区间可导，并且在区间端点处的函数值相等即可．如：[0，1]．13．函数y=ex+arctanx的单调递增区间是：___________．正确答案：(一∞，+∞)解析：由于y′=ex+＞0，因而函数的单调递增区间为(－∞，＋∞) 14．∫sec4xdx＝___________．正确答案：tanx+tan3x+C解析：∫sec4xdx=∫sec2xdtanx=∫(1+tan2x)dtanx=tanx+tan3x+C15．幂级数x2n－1的收敛半径为__________．正确答案：解析：利用比值判别法的思想，x2n＋1.x2＜1，所以收敛区间为x∈()因此，收敛半径为R＝．解答题解答时应写出推理、演算步骤。
2012年浙江专升本(高等数学)真题试卷(题后含答案及解析)
2012年浙江专升本（高等数学）真题试卷(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 4. 解答题 5. 综合题选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．函数f(x)=在x∈(一∞，+∞)上为( )A．有界函数B．奇函数C．偶函数D．周期函数正确答案：A解析：因为=0，故函数f(x)有界，答案A正确；可验证f(x)非奇非偶函数，所以答案B，C错误，也明显不是周期函数．2．已知f′(x0)=2，当△x→0时，dy为△x的( )A．同阶无穷小B．等价无穷小C．高阶无穷小D．低阶无穷小正确答案：A解析：=f′(x0)=2，所以当△x→0时，dy为△x 的同阶无穷小，即A答案正确．3．设函数f(x)满足f(0)=1，f(2)=3，f′(2)=5，f″(x)连续，则xf″(x)dx ( )A．10B．9C．8D．7正确答案：C解析：xf″(x)dx=xdf′(x)=xf′(x)f′(x)dx=2f′(2)一f(x)=2f′(2)一f(2)+f(0)=10—3+1=8，选项C正确．4．由y=，y=1，x=4围成的图形的面积为( )A．B．C．D．正确答案：B解析：画图并利用定积分的几何意义，可知所围图形的面积A=dx－3=，因此答案B正确．5．已知二阶微分方程y″+2y′＋2=e－xsinx，则设其特解y*= ( ) A．e－x(acosx+bsinx)B．ae－xcosx+bxe－xsinxC．xe－x(acosx+bsinx)D．axe－xcosx＋be－xsinx正确答案：C解析：二阶微分方程y″+2y′+2=e－xsinx的特征方程为r2+2r+2=0，解得r1＝－1+i，r2＝－1－i，又因λ+ωi＝－1+i是特征方程的根，故取k=1，Rm(x)=1，因此y″+2y′+2=e－xsinx具有的特解形式可设为y*=xe－x(acosx+bsinx)，答案C正确．填空题6．－(x+1)]=___________．正确答案：2解析：－(x+1)]===2 7．函数y=sin的连续区间为___________．正确答案：[，1]解析：该函数在定义域内处处连续，所以解不等式组，解得定义域为x∈[－，1]．因此所求函数的连续区间为x∈[－，1]8．已知f′(3)=2，则=___________．正确答案：一4解析：由导数定义可得=－4．9．若函数y=y(x)由方程y=1+xey所确定．则y′=___________．正确答案：y′=解析：隐函数方程求导，y′=ey+xey.y′，解得y′=10．dx=___________．正确答案：ln｜cscx－cotx｜＋cosx＋C解析：dx=∫cscxdx－∫sinxdx=ln｜cscx－cotx｜＋cosx＋C11．极限表示的定积分为___________．正确答案：dx解析：利用定积分定义求极限，=，此极限为函数f(x)=在x∈[0，1]上的定积分，即12．级数的收敛区间为___________．正确答案：(－1，1)解析：因为ρ＝＝1，所以幂级数的收敛半径R==1，故收敛区间为(一1，1)．13．一阶线性微分方程y′+P(x)y=Q(x)的通解为___________．正确答案：y=e∫－P(x)dx[∫Q(x)e∫P(x)dxdx+C]解析：由一阶线性微分方程y′+P(x)y=Q(x)的通解公式y=e∫－P(x)dx[∫Q(x)e∫P(x)dxdx+C]．14．在xOy平面上与向量a=(4，一3，7)垂直的单位向量是___________．正确答案：b=解析：设所求向量b=(x，y，0)，则x2+y2=1 ①；且a.b=0，即4x－3y=0②由①和②解得，即b=，0)15．平面2x+y一z一1=0到平面2x+y一z＋3=0的距离为___________．正确答案：解析：可以判断两平面平行，故平面2x+y—z一1=0到平面2x+y—z+3=0的距离可以转换为平面2x+y－z－1=0上任一点到平面2x＋y－z＋3=0的距离，即d=解答题解答时应写出推理、演算步骤。
2022年浙江成人高考专升本高等数学(一)真题及答案
2022年浙江成人高考专升本高等数学(一)真题及答案1. 【选择题】当x→0时，ln(1+x2)为x的( )A. 高阶无穷小量B. 等价无穷小量C. 同阶但不等价无穷小量D. 低阶无穷小量正确答案：A参考解析：2. 【选择题】A.B.C.D.正确答案：C参考解析：3. 【选择题】设y(n-2)=sinx，则y(n)=A. cosxB. -cosxC. sinxD. -sinx正确答案：D参考解析：4. 【选择题】设函数f(x)=3x3+ax+7在x=1处取得极值，则a=A. 9B. 3C. -3D. -9正确答案：D参考解析：函数f(x)在x=1处取得极值，而f'(x)=9x2+a，故f'(1)=9+a=0，解得a=-9．5. 【选择题】A.B.C.D.正确答案：B参考解析：6. 【选择题】A. sin2xB. sin2xC. cos2xD. -sin2x正确答案：B参考解析：7. 【选择题】A.B.C.D.正确答案：D参考解析：8. 【选择题】函数f(x，y)=x2+y2-2x+2y+1的驻点是A. (0，0)B. (-1，1)C. (1，-1)D. (1，1)正确答案：C参考解析：由题干可求得f x(x，y)=2x-2，f y(x，y)=2y+2，令f x(x，y)=0，f y(z，y)=0，解得x=1，y=-1，即函数的驻点为(1，-1)．9. 【选择题】下列四个点中，在平面x+y-z+2=0上的是A. (-2，1，1)B. (0，1，1)C. (1，0，1)D. (1，1，0)正确答案：A参考解析：把选项中的几个点带入平面方程，只有选项A满足方程，故选项A是平面上的点．10. 【选择题】A.B.C.D.正确答案：B 参考解析：11. 【填空题】参考解析：12. 【填空题】参考解析：13. 【填空题】参考解析：14. 【填空题】参考解析：15. 【填空题】参考解析：16. 【填空题】参考解析：17. 【填空题】参考解析：18. 【填空题】参考解析：19. 【填空题】参考解析：20. 【填空题】过点(1，0，-1)与平面3x-y-z-2=0平行的平面的方程为____.参考解析：平面3x-y-z-2=0的法向量为(3，-1，-1)，所求平面与其平行，故所求平面的法向量为(3，-1，-1)，由平面的点法式方程得所求平面方程为3(x-1)-(y-0)-(z+1)=0，即3x-y-z-4=0．21. 【解答题】参考解析：22. 【解答题】参考解析：23. 【解答题】求函数f(x)=x3-x2-x+2的单调区间．参考解析：24. 【解答题】求曲线y=x2在点(1，1)处的切线方程．参考解析：25. 【解答题】参考解析：26. 【解答题】参考解析：27. 【解答题】参考解析：28. 【解答题】证明：当x>0时，e x>1+x．参考解析：设f(x)=e x-1-x，则f'(x)=e x-1．当x>0时，f'(x)>0，故f(x)在(0，+∞)单调递增．又因为f(x)在x=0处连续，且f(0)=0，所以当x>0时，f(x)>0．因此当x>0时，e x-1-x>0，即e x>1+x．。
浙江省专升本高等数学考试极限题分析初探
76 浙江省专升本高等数学考试极限题分析初探金友良从2005年起，我们浙江省专升本考试独立组卷，至今已有14年。
通过专升本考试，选拨普通高等学校高职高专应届优秀毕业生到本科院校进一步深造学习，为高职高专人才培养构建立交桥模式做出了贡献。
我们学校每年都进行专升本考试复习辅导，本人开设高等数学专升本复习多年，一直对高等数学专升本考试进行研究，对高等数学每部分的考试题目都进行了系统地、针对性地归纳及总结。
由于极限是高等数学中最重要的一个概念，极限思想始终贯穿整个微积分学，极限运算是微积分运算中最基础的部分，有着重要的地位。
本文就浙江省高等数学专升本考试第一部分极限题进行了收集、分析、归纳，整理了几种常考的极限运算基本方法，试图使学生从中掌握解题规律，提高运算能力。
1 精细解读浙江省专升本高等数学教学大纲，明确极限题考试的基本要求1）理解极限的概念（只要求极限的描述性定义），能根据极限概念描述函数的变化趋势。
理解函数在一点处极限存在的充分必要条件，会求函数在一点处的左极限与右极限。
2）理解极限的唯一性、有界性和保号性，掌握极限的四则运算法则。
3）理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质，无穷小与无穷大的关系。
会利用等价无穷小替换求极限。
4）理解夹逼定理与单调有界准则，掌握两个重要极限，并能利用这两个重要极限公式求极限。
5）会利用初等函数的连续性求函数的极限。
6）掌握洛必达法则，会利用洛必达法则求各种未定式的极限。
7）理解导数定义与定积分定义，并会利用两个定义求极限。
2 分析历年试题，筛查考试热点1）利用极限的四则运算法则求极限。
2）利用左右极限求函数在某一点处的极限。
3）利用两个重要极限公式求极限。
4）利用导数的定义求极限。
5）利用洛必达法则求极限。
6）利用等价无穷小量求极限。
7）利用定积分概念求极限。
3 典型试题解析1）利用极限的四则运算法则求极限。
利用极限的四则运算法则求极限是极限运算中最基础的方法之一，我们教师一定要强调要用这四则运算法则的一个前提条件是要保证每个极限都存在，且求商的极限时，分母极限不能为零，同时根据不同的题型，熟练掌握不同的解题方法。
浙江省专升本高等数学考试定积分部分内容解析
浙江省专升本高等数学考试定积分部分内容解析
浙江省专升本高等数学考试中，定积分是其中的一个重要部分，考察学生对定积分的理解和运用能力。
定积分是确定函数在一定区间内的面积或者曲线长度的一种方法，是微积分中的重要概念。
定积分的求解方法主要有三种：几何意义法、代数意义法和微元法。
几何意义法是通过利用图形的几何特征，将定积分转化为求图形面积的问题，例如长方形的面积、梯形的面积等。
代数意义法是将定积分转化为代数式，通过求不定积分和利用定积分的性质来求解，例如利用换元法、分部积分等方法来求解。
微元法是通过将定积分看作是一个极限过程，将区间划分为无穷小的小区间，然后求各个小区间的面积之和，最后由极限求和得到定积分的值。
在考试中，定积分的题目形式多样，可以是求定积分的值，也可以是根据已知定积分的性质来求解其他问题。
考生需要掌握定积分的基本性质和常用公式，熟练运用定积分的求解方法。
计算定积分需要注意积分的上限和下限、被积函数的连续性等条件，考生需要正确运用这些条件来求解定积分。
定积分的应用广泛，可以用来计算面积、体积、质量、功等物理量，也可以用来求解曲线的弧长、曲率等几何问题。
在解题过程中，考生需要了解函数与定积分之间的关系，把握问题的本质，找到正确的求解方法。
定积分是专升本高等数学考试中的一个重点和难点，考生需要具备扎实的数学基础，熟练掌握定积分的定义和性质，熟练运用定积分的求解方法，并能够灵活应用定积分解决实际问题。
只有通过不断的练习和积累，才能在考试中取得好成绩。
2019年浙江省专升本高等数学真题参考答案
2019年专升本<<高等数学>>真题答案解析一、选择题：本题共有5个小题，每小题4分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.1.D【解析】极限精确定义，若存在a x n n =∞→lim ，则对于ε<->∃>∀a x N n a n ,,0.2.A【解析】B 应改为0→h ，C 是可导的必要条件，D 改为∞→h .3.B【解析】原式=⎰∑+=⋅+=∞→101sin 11sin1limdx x n n i ni n ππ4.B【解析】A.条件收敛B.0cos lim 2≠∞→n n 发散C.2=x 为瑕点，D.令t x tan =,则()20323arctan 442sin 2(22cos 1sec 11123arctan 23arctan 23arctan 2322+-=-=+==+⎰⎰⎰∞+ππππt t dt t dt tdx x 5.C 【解析】由044=+'-''y y y ，特征方程0442=+-r r ，即()022=-r ，所以()xe x c c y 221+=二、填空题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.6.解：ee e e nn nnn nn n n n n n n n ====+=+∞→∞→⋅⋅⋅∞→∞→111sin lim1sin lim 1sin 1sin 1)1sin 1(lim 1sin 1(lim 7.解：10)5(,2)(-='-='h t t h 8.解：x e a e a x xe a x x x x x x x x 2lim )(21lim )()1ln(cos 1lim 032030-=-=-+-→→→极限存在且不等于0，且02lim 0=→x x ，1,01)(lim 0=∴=-=-∴→a a e a xx ，且212lim 0-=-→x e a x x .362122arcsin41212πππ=-==-⎰x dx x9.t t t t t t dtdx dt dx dy d dx y d ttt dx dy t dt dx t dt dy 33222cos 1sec cos sec cos )tan ((tan cos sin ,cos ,sin -=-=-='-==-=-==-=解：10.解：222011000sin ()sin lim lim lim lim (0,)xn n n n x x x x t dt g x x x C x xnx nx --→→→→====≠≠∞⎰所以12,3n n -==即.11.解：由定积分的几何意义可得，定积分为41圆的面积，211144ππ=⋅⋅=⎰.12.解：方程两边分别对x 求导得，(1)()0x yey y xy +''+-+=所以x yx y y e y e x ++-'=-,所以dy dx ++--==--x y x y y e y xy e x xy x.13.解:(),x ∈-∞+∞236,66,y x x y x '''=+=+令0,1y x ''==-解得当1,0x y ''<-<时;1,0x y ''>->时所以，拐点为(1,2)-.14.解:222221111322x V dx xdx x ππππ====⎰⎰.15.解:2()39,9(ln 9)9(2ln 3)====x x n x n x ny y 三、计算题：本大题共8小题，其中16—19小题每小题7分，20—23小题每小题8分，共60分.16.解：原式00011(1)11111lim lim lim 222(1)2x x x x x x x x x →→→-+--++====-+.17.解:()ln(2cos )x y x x x π=++=ln ln(2cos )xx x e π++ln ln(2cos )x xx e π=++ln sin (ln 1)2cos x x x y e x x πππ-'=+++sin (ln 1)2cos x xx x xπππ-=+++(1)1y '=1(1)x dyy dx dx ='==.18.解:2,,2t x t dx tdt===则sin 22(cos )2(cos cos )2(cos sin )+Ct tdt td t t t tdt t t t =⋅=-=--=--⎰⎰⎰原式sin C =-+.19.解:当02x π≤<时，000()()cos sin sin x x xp x f t dt tdt tx ====⎰⎰；当2x ππ≤<时，222000221()()cos sin 2x x p x f t dt tdt tdt tt πππππ==+=+⎰⎰⎰221128x π=+-；22sin ,[0,)2()()11,[,]282ππππ⎧∈⎪⎪∴==⎨⎪+-⎪⎩⎰xx x p x f t dt x 20.解:距离为8s =⎰2,1,2u t u dt udu ==-=则，当0,1;8,3t u t u ====时当时283320113313=26(1)16()403s udu u duu u u =⋅=-=-=⎰⎰⎰（u -1）物体运动到8秒时离开出发点的距离为40米.21.解:2lim ()lim ()x x f x x a a --→→=+=0lim ()lim (1)0ax x x f x e ++→→=-=若2,0()1,0axx a x f x e x ⎧+≤=⎨->⎩在0x =处可导，则它在0x =处一定连续，所以0lim ()x f x -→=0lim ()(0)x f x f +→=，所以(0)0f a ==200()(0)(0)lim lim 0x x f x f x f x x ---→→-'===00()(0)0(0)lim lim 0x x f x f f xx +++→→-'===所以当0a =时，(0)0f '=，也就是函数2,0()1,0axx a x f x e x ⎧+≤=⎨->⎩在0x =处可导.22.解:平面1π的法向量为(1,1,1)=-1n ，平面2π的法向量为2(1,0,1)=-n ，所求直线的方向向量为111211⨯=-=++-12i j ks =n n i j k 又已知所求直线过点(1,0,2)A ，所以，所求直线方程为12121x y z --==.22.解：11lim lim 11n n n n n nu x nx u n x +-→∞→∞=⋅=<+收敛区间为(-1,1)当1=x 时，级数11n n ∞=∑发散；当1-=x 时，级数11(1)n n n -∞=-∑收敛；所以，收敛域为)1,1[-令111()n n S x x n ∞-==∑,则11()nn x S x xn∞=⋅=∑111(())1n n x S x x x∞-='⋅==-∑0001()ln(1)1ln(1)0()0ln(1)(0)lim ()lim1ln(1),[1,0)(0,1)()1,0xx x x S x dt x tx x S x xx x S S x xx x S x xx →→∴⋅==-----∴≠==--===--⎧∈-⋃⎪=⎨⎪=⎩⎰当时，当时，由和函数在收敛域内连续可导得，综上，11111()2ln 222-∞=⎛⎫∴== ⎪⎝⎭∑n n S n 四、综合题：本大题共3小题，每小题10分，共30分.24.解:32(4)1,(),()263OBPMBPN xy x S x S f t dt y x +'=⋅==+⎰322()41()263()4()()22214()()x f x x x f t dt f x x x f x f x f x f x x x x+⋅+=++'+-='-=-⎰由题意，化简，即，1124()(())4((1))dxdx xxf x ex e dx c xx dx c x ---⎰⎰=-+=-+⎰⎰224()4(2)0,4()44=++=++=∴=-∴=-+ 又x x c xx cx f c f x x x 25.解：成本为32()2123021c x x x x =-++323222()60()()()60(2123021)2123021,(0)()624306(45)()0,51r x x y x r x c x x x x x x x x x y x x x x x x y x x x ==-=--++=-++-≥'=-++=---'===-收入为利润为令得：或（舍）x （0,5）5（5，+∞）()y x '+0-()y x 179所以，5x =是利润()y x 的极大值点，又因为5x =是()y x 的唯一驻点，所以5x =是利润()y x 的最大值点.(5)179=y .因此公司应生产5千件产品时，公司取得最大利润，并且最大利润为179万元.26.解：（1）2()()(0)(0),02f f x f f x x x ξξ'''=++<<（2）证明：()[1,1]f x M m ''- 在上有最大值和最小值，[][]2111211111()()1()(0)21,1()()()()(0)0233(),1,1()333()33m f x Mf f x f x x f f f f x dx f xdx x dx m f x M x m f M m Mf x dx ξξξξξ----''∴≤≤'''=+-'''''''=+=+=''≤≤∈-''∴≤≤∴≤≤⎰⎰⎰⎰而由（）知对上式进行积分即而(3)证明：由（2）可知11()33m Mf x dx -≤≤⎰，所以113()m f x dx M-≤≤⎰[][]11()1,1()3(),1,1f x f f x dx ηη--''∴=∈-⎰ 在上只有二阶连续导数，由介值定理知，。
浙江专升本(高等数学)模拟试卷10(题后含答案及解析)
浙江专升本（高等数学）模拟试卷10(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 4. 解答题 5. 综合题选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．已知函数y=f(x)在点x0处可导，当自变量x由x0增加到x0＋△x时，记△y为函数f(x)的增量，dy为函数f(x)的微分，则当△x→0时( ) A．△y一dy是比△x高阶的无穷小B．△y一dy是比△x低阶的无穷小C．△y一dy与△x是同阶无穷小，但不是等价无穷小D．△y一dy与△x是等价无穷小正确答案：A解析：由微分和增量的定义及其关系可知，=f′(x0)一[f′(x0)+]=0，因此A 答案正确．2．若f(x)=xln2x，且f′(x0)=2，则x0= ( )A．1B．C．D．e正确答案：B解析：由于f(x)=xln2x，所以f′(x)=ln2x＋x..2=ln2x+1，且f′(x0)=ln2x0+1=2，即ln2x0=1故2x0=e，解得x0=，可见选项B正确．3．下列哪个函数不是的原函数的是( )A．arcsin(2x一1)B．arccos(1—2x)C．2arctanD．2arctan正确答案：D解析：根据原函数的基本概念可知，若F′(x)=，则F(x)是的一个原函数，而(2arctan，因此选项D中函数2arctan不是的一个原函数．4．由曲线y=x2—2x，x轴，x=1，x=3所围成的图形面积为( ) A．B．C．2D．正确答案：C解析：画图可知所围图形的面积为两部分之和，即A=(2x—x2)dx+(x2－2x)dx=(x2－x3)=2．5．设直线L：及平面π：4x一2y+z一2=0，则( )A．L∥πB．LπC．L⊥πD．L与π斜交正确答案：C解析：直线L的方向向量为S=n1×n2==－7(4i－2j＋k)，而已知平面π的法向量为n=(4，－2，1)所以S／／n，故L⊥π，可见选项C正确填空题6．设且f(x)存在，则a＝____________．正确答案：π解析：=a；=π，由f(x)存在得充要条件可知a=π．7．一x)＝____________．正确答案：解析：8．设函数φ(x)＝ln(1+t)dt，则φ″(1)＝____________．正确答案：2+2ln2解析：φ′(x)=ln(1+x2).2xφ″=+2ln(1+x2)．所以φ″(1)=2+2ln2．9．曲线y＝的水平渐近线为____________．正确答案：y=解析：由于所以曲线y=的水平渐近线为y=．10．设参数方程＝____________．正确答案：1解析：=3t．，又因当x=1时，t=1，y=5．所以=111．设f(x)=1+｜x一1｜sin(x一1)，则f′(1)＝____________．正确答案：0解析：f′(1)=｜x－1｜=0．12．已知函数y＝xe－(x2＋1)，则dy｜x＝0＝____________．正确答案：dy｜x=0＝e－1dx解析：y′＝e-(x2＋1)(1一2x2)，y′(0)=e－1，所以dy｜x=0=y′(0)dx=e －1dx．13．在空间直角坐标系中，以点A(0，一4，1)，B(一1，一3，1)，C(2，一4，0)为顶点的△ABC的面积为__________．正确答案：解析：=(一1，1，0)，=(3，一1，一1)，S△ABC＝=14．dx＝____________．正确答案：0解析：因为f(x)=x2ln(x+)为奇函数，故dx=0．15．已知函数f(x)的一个原函数为x3cosx，则∫xf′(x)dx＝____________．正确答案：2x3cosx－x4sinx+C解析：据题意，∫f(x)dx=x3cosx+C，所以f(x)=3x2cosx—x3sinx．∫xf′(x)dx=∫xdf(x)=xf(x)－∫f(x)dx=2x3cosx－x4sinx+C．解答题解答时应写出推理、演算步骤。
2019年浙江专升本高等数学真题与答案解析(详细)
浙江省2019年高职高专毕业生进入本科学习统一考试高等数学一、选择题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 1、设lim x→0x n =a 则说法不正确的是（ ）A 、对于正数2，一定存在正整数N ，使得当n >N 时，都有|x n −a |<2.B 、对于任意给定的无论多么小的正数ε，总存在整数N ，使得当n >N 时，不等于|x n −a |<ε成立.C 、对于任意给定的a 的邻域(a −ε,a +ε), 总存在整数N ，使得当n >N 时，所有的x n 都落在(a −ε,a +ε)内,而只有有限个（至多只有N 个）在这个区间外.D 、可以存在某个小的正数ε0，使得有无穷多个点ε0落在区间(a −ε0,a +ε0)外. 2、设在点x 0的某邻域内有定义，则在点x 0处可导的一个充分条件是（ ） A 、lim ℎ→0f (x 0+2ℎ)−f(x 0)ℎ存在 B 、lim ℎ→0−f (x 0)−f(x 0−ℎ)ℎ存在C 、limℎ→0f (x 0+ℎ)−f(x 0−ℎ)ℎ存在 D 、lim ℎ→+∞ℎ[f (x 0+1ℎ)−f (x 0)]存在3、limx→+∞1n[√1+sin πn +√1+sin 2πn +⋯+√1+sinnπn]等于（ ）A 、∫√sin πx dx 10B 、∫√1+sin πx dx 10 C 、∫√1+sin x dx 10 D 、π∫√1+sin x dx 10 4、下列级数或广义积分发散的是（ ） A 、∑(−1)n−1n+100∞n=1 B 、∑cos 2n ∞n=1 C 、∫√21D 、∫1(1+x 2)2dx +∞15、微分方程y ′′−4y ′+4y =0的通解为（ ） A 、y =c 1x +c 2e −2x B 、y =(c 1+c 2x)e −2x C 、y =(c 1+c 2x)e 2x D 、y =(c 1+c 2x)xe −2x二、填空题（只要在横线上直接写出答案，不必写出计算过程，每小题4分，共40分）6、极限lim x→∞(1+sin 1n )n =7、设一雪堆的高度ℎ与时间t 的关系为ℎ(t )=100−t 2，则雪堆的高度在时刻t =5时的变化率等于8、当a = 时，极限lim x→01−cos xln (1+x 3)(a −e x )存在且不等于0.9、设 ，则d 2ydx 2=10、设g (x )=∫sin t 2dx x0，且当x →0时，g (x )与x n 是同阶无穷小，则n = 11、定积分∫√1−x 2dx 10 =12、设函数y =y (x )由方程e x+y −xy =0确定，则dydx = 13、曲线y (x )=x 3+3x 2的拐点是14、由曲线y =√x ,x =1 ,x =2及x 轴围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周而成的旋转体体积等于15、设y =32x ，则y (n)=三、计算题（本大题共8小题，其中16-19题每小题7分，20-23小题每小题8分，共60分） 16、求极限lim x→0ln (1+x )−xx 2.17、设y (x )=ln(2+cos πx)+x x ，求函数y (x )在x =1处的微分.18、求不定积分∫sin √x dx .19、设f (x )= ，求p (x )=∫f(t)xdt 在[0,π]上的表达式.x =sin t y =cos tcos x ,x ∈[0,π)x ,x ∈[π,π]20、一物体由静止到以速度v (t )=3t√t+1(m/s)作直线运动，其中t 表示运动的时间，求物体运动到8秒时离开出发点的距离。
浙江省专升本高等数学考试定积分部分内容解析
浙江省专升本高等数学考试定积分部分内容解析浙江省专升本考试中，高等数学的定积分部分是比较重要的一个考题，涉及到熟练掌握定积分的定义、计算方法和应用能力等方面。
下面我们就来分析一下这部分的具体内容。
1. 定积分的定义定积分是高等数学中最基本、最重要的概念之一。
在考试中，考生需要熟练掌握定积分的定义及其意义。
定积分的定义比较简单，就是通过无穷小的加和来表达一个函数在某个区间上的“和”，具体定义如下：∫a^bf(x)dx=limΔx→0 Σk=1n f(xi)Δx其中，a和b是定义域的两个端点，f(x)是函数，xi是区间[a,b]的各个分点，Δx是区间的长度，Σk=1n f(xi)Δx表示小矩形的面积之和，Δx→0表示小矩形的个数无穷大。
2. 定积分的计算方法掌握定积分的计算方法是考试的重点之一，包括基本积分公式、换元积分法、分部积分法、分式分解等常用方法。
以下是一些常用的计算方法：（1）基本积分公式：① ∫nxndxxn+1+C，其中n不等于-1②∫esxdxeSx+C③∫xadxx2/2+C（2）换元积分法：如果被积函数可以表示为一些函数的复合形式，那么可以通过换元积分法来求解。
换元积分法的核心是利用代数运算，将原函数转化为一个新函数，从而把原来难以计算的积分转化为新函数的积分。
常用的换元公式包括：u代替x、三角函数代替x、logx代替x 等。
分部积分法主要应用于含有两个函数积分的情况，通过把式子变形，从而将原积分转化成一个容易计算的式子。
常用的公式为：∫u'vdx=uv-∫uv'dx（4）分式分解：分式分解可以把复杂的含分式的定积分转化为简单的积分。
分式分解的基本思路就是将一个分式拆分成几个比较简单的分式，然后再通过换元或者分部积分的方法求出其原函数。
3. 定积分的应用能力除了以上两个方面外，专升本考试还会出一些与定积分相关的应用题，要求考生能够灵活运用所学知识，应用到实际问题中。
浙江省2021年专升本：高等数学考试真题与答案解析
浙江省2021年专升本：高等数学考试真题与答案解析一、选择题本大题共5小题，每小题4分，共20分。
1、设，则在内（ C ）⎪⎩⎪⎨⎧≤>=00,,sin )(x x xx x x f )(x f )1,1(-A 、有可去间断点B 、连续点C 、有跳跃间断点D 、有第二间断点解析：1sin lim )(lim ,0lim )(lim 0====++--→→→→xxx f x x f x x x x ，但是又存在，是跳跃间断点)(lim )(lim 0x f x f x x +-→→≠ 0=∴x 2、当时，是的（ D ）无穷小0→x x x x cos sin -2x A 、低阶B 、等阶C 、同阶D 、高阶解析：高阶无穷小02sin lim 2sin cos cos lim cos sin lim0020==+-=-→→→xx x x x x x x x x x x x ⇒3、设二阶可导，在处，，则在处（ B ）)(x f 0x x =0)(0<''x f 0)(lim 0=-→x x x f x x )(x f 0x x =A 、取得极小值B 、取得极大值C 、不是极值D 、是拐点())(0,0x f x 解析：，则其，0000)()(lim)(,0)(lim00x x x f x f x f x x x f x x x x --='∴=-→→ 0)(,0)(00=='x f x f 为驻点，又是极大值点。
0x 000)(x x x f =∴<'' 4、已知在上连续，则下列说法不正确的是（ B ）)(x f []b a ,A 、已知，则在上，⎰=ba dx x f 0)(2[]b a ,0)(=x f B 、，其中⎰-=xx x f x f dt t f dx d 2)()2()([]b a x x ,2,∈C 、，则内有使得0)()(<⋅b f a f ()b a ,ξ0)(=ξfD 、在上有最大值和最小值，则)(x f y =[]b a ,M m ⎰-≤≤-baa b M dx x f a b m )()()(解析：A.由定积分几何意义可知，，为在上与轴围成的面积，0)(2≥x f dx x f ba)(2⎰)(2x f []b a ,x 该面积为0，事实上若满足⇒0)(2=x f )(x f )(0)(0)(b x a x f dx x f ba≤≤=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⎰非负连续B.)()2(2)(2x f x f dx x f dx d xx-=⎰C.有零点定理知结论正确D.由积分估值定理可知，，，()b a x ,∈M x f m ≤≤)(则)()()()(a b M dx x f a b m Mdx dx x f mdx babababa-≤≤-⇒≤≤⎰⎰⎰⎰5、下列级数绝对收敛的是（ C ）A 、B 、∑∞=-+-111)1(n n n ∑∞=-+-11)1ln()1(n n n C 、D 、∑∞=+139cos n n n ∑∞=11n n解析：A.，由发散发散1111lim =+∞→nn n ∑∞=11n n 11+⇒n B.，由发散发散011lim )1ln(lim )1ln(11lim =+=+=+∞→∞→∞→n n n n n n n n ∑∞=11n n ∑∞=+⇒1)1ln(1n n C.，而=1，由收敛收敛收敛919cos 22+≤+n n n232191lim n n n +∞→∑∞=1231n n ⇒912+n ⇒9cos 2+n n D.发散∑∞=11n n二、填空题6、axx e x a =+→1)sin 1(lim 解析：axa x a xx a x a xx xx e e e ex a x x ====+⋅+++→→→→1cos sin 11lim )sin 1ln(lim )sin 1ln(11000lim )sin 1(lim 7、，则3sin )23()3(lim=--→xx f f x 23)3(='f 解析：3)3(22)3()23(lim 2sin )23()3(lim00='=---=--→→f xf x f x x f f x x 8、若常数使得，则b a ,5)(cos sin lim 20=--→b x ae xx x 9-=b 解析：5)(cos lim )(cos sin lim2020=--=--→→ae b x x b x a e x x x x x 所以根据洛必达法则可知：1,01==-a a 212cos lim 2)(cos lim00b b x x b x x x x -=-=-→→9,521-==-b b9、设，则⎩⎨⎧-=+=tt y t x arctan )1ln(11==t dx dy 解析：，2221)1(11111t t t tt dtdxdt dydx dy++=++-=11==t dx dy 10、是所确定的隐函数，则)(x f y =0122=--y x 32222y x y dx y d -=解析：方程两边同时求导，得：，，022='-y y x yx y ='方程同时求导，得：，将带入，022='-y y x 0)(12=''-'-y y y yxy ='则得，，0(12=''--y y y x 32232221y x y y x y y dx y d -=-=''=11、求的单增区间是21x xy +=)1,1(-解析：，令，则，2222222)1(1)1(21x x x x x y +-=+-+='0>'y 12<x 11<<-x 12、求已知，则 ⎰+=C e dx x f x 2)(=⋅∑==∞→)(1lim 10n kf nn k n 1-e 解析：1)()()((1lim 10101012-=+===⋅⎰⎰∑==∞→e C e dx x f dx x f n kf n x n k n 13、=⎰+∞dx x x e2)(ln 11解析：1ln 1ln )(ln 1)(ln 122=-==∞++∞+∞⎰⎰ee exx d x dx x x 14、由：围成的图形面积为2x y =2,1==x y 34解析：34)31()1(212132=-=-=⎰x x dx x A 15、常系数齐次线性微分方程的通解为（为任意常数）02=+'-''y y y x e x C C y )(21+=21C C 解析：特征方程：，特征根：0122=+-r r 121==r r 通解为（为任意常数）x e x C C y )(21+=21C C三、计算题本大题共8小题，其中16-19小题每小题7分，20-23小题每小题8分，共60分。
2019年专升本高数真题答案解析(浙江)
17. 解: y ( x) ln( 2 cos x) x x ln( 2 cos x) e x ln x ，因此：
y
2
1 cos x
(2
cos x)
e x ln x (ln
x
1)
2
sin x cos x
x x (ln
x
1)
，故
y x1 1，所以 dy x1 dx
18. 解: 令 t x ， x t 2 ， dx 2tdt ，故：原式 sin t 2tdt 2 t sin tdt
24. 解:由题意可知： ( f (x) 4)x 2 f (t)dt 1 x3 1 ，初值条件为： f (2) 0
2
x
63
两边对 x 求导得： 1 xf (x) 1 f (x) 2 f (x) 1 x2 ，
2
2
2
整理得到： f (x) 1 f (x) x 4 ，故 P(x) 1 ， Q(x) x 4 ，
x
x
x
x
故：
f
(x)
e
(
1 x
) dx
[
x
4
e
(
1 x
) dx
dx
C]
x[
x
1
4 x2
dx
C]
x
x
4 x
C
x2 4 Cx ，由于初值条件为： f (2) 0 ，因此 C 4 ，即： f (x) x2 4x 4 y
M
P
x
O
BN
25. 解:设利润为 f (x) ，由题意可得：
x0
x2 nxn1
A
此： n 1 2 ，故 n 3
(A 0, A ) ，因
浙江专升本高等数学习题详解-第5章_不定积分
1．写出下列函数的一个原函数：(1) 52x ； (2) cos x -；(3)；(4)解：（1）651()23x x '=， ∴613x 是52x 的一个原函数．(2) (sin )cos x x '-=-，∴sin x -是cos x -的一个原函数．(3) '=∴的一个原函数．(4)(2arcsin )x '-=，∴2arcsin x -是2．根据不定积分的定义验证下列等式：(1) 2311d 2-=-+⎰x x C x ； (2)(sin cos )cos sin x x dx x x C +=-++⎰．解：(1) 因为2311()2x x -'-=，所以23112dx x C x -=-+⎰． (2) 因为(cos sin )sin cos x x x x '-+=+，所以(sin cos )cos sin x x dx x x C +=-++⎰．3．根据下列等式，求被积函数()f x ．(1)()ln(f x dx x C =+⎰； (2)()f x dx C =+⎰．解：(1)等式两边求导得：()(ln(f x x x ''=+=+=+=(2)等式两边求导得：3223221()(1)22(1)x f x x x x -'==-+⋅=-+． 4．设曲线通过点(0,1)，且其上任一点(,)x y 处的切线斜率为xe -，求此曲线方程． 解 设所求曲线方程为()yf x =，由题设有()xf x e -'=，()x x f x e dx e C --∴==-+⎰又曲线过点(0,1)，故(0)1f =，代入上式得2C =，所以,所求曲线方程为：2x y e -=-+．1． 求下列不定积分：(1)24)x dx -；(2) 2； (3) 2xxe dx ⎰； (4) 23523x xxdx ⋅-⋅⎰； (5) 221(1)dx x x +⎰； (6) 421x dx x +⎰；(7) sec (sec tan )x x x dx -⎰； (8)11cos 2dx x +⎰； (9) 2cos 2sin x dx x ⎰； (10) 2sin 2x dx ⎰； (11) 22cos 2cos sin x dx x x⎰； (12) 2(tan cot )x x dx +⎰． 解：(1)5151732222222284)(4)473x dx x x dx x dx x dx x x C -=-=-=-+⎰⎰⎰．(2) 11322222(2)x x x dx -==-+⎰⎰ 1132222x dx x dx x dx -=-+⎰⎰⎰35224235x x C =++.(3) 122(2)(2)ln(2)1ln 2x x xxxxe e dx e dx e C C e ==+=++⎰⎰. (4) 235222[25()]25()333x x x xx dx dx dx dx ⋅-⋅=-⋅=-⎰⎰⎰⎰ 125225()223(ln 2ln 3)3ln()3xx x x C x C ⋅=-⋅+=-+-. (5) 22221111()arctan (1)1dx dx x C x x x x x =-=--+++⎰⎰. (6) 44232221111(1)arctan 1113x x dx dx x dx x x x C x x x -+==-+=-+++++⎰⎰⎰. (7) 2sec (sec tan )(sec sec tan )tan sec x x x dx x x x dx x x C -=-=-+⎰⎰. (8)221111sec tan 1cos 22cos 22dx dx xdx x C x x ===++⎰⎰⎰. (9) 2222cos 212sin 1(2)cot 2sin sin sin x x dx dx dx x x C x x x-==-=--+⎰⎰⎰.(10) 21cos 11sinsin 2222x x dx dx x x C -==-+⎰⎰. (11) 22222222cos 2cos sin (csc sec )cos sin cos sin x x x dx dx x x dx x x x x-==-⎰⎰⎰ 22csc sec cot tan xdx xdx x x C =-=--+⎰⎰.(12)22222(tan cot )(tan cot2)(sec csc )x x dx x x dx x x dx +=++=+⎰⎰⎰tan cot x x C =-+. 2． 解答下列各题：(1) 设3()1x xf e e '=+,且(0)1f =,求()f x ；(2) 设sin x 为()f x 的一个原函数，求'()f x dx ⎰；(3) 已知()f x 的导数是cos x ，求f (x )的一个原函数；(4) 某商品的需求量Q 是价格P 的函数，该商品的最大需求量为1000(即0P =时1000Q =),已知需求量的变化率(边际需求)为1()1000()ln 33P Q P '=-,求需求量与价格的函数关系．解 (1) 由33()11()xxx f e ee '=+=+,得3()1f x x '=+；所以341()(1)4f x x dx x x C =+=++⎰， 因为(0)1f =，代入上式得1C =，所以41()14f x x x =++． (2) 由题意有(sin )()x f x '=,即()cos f x x =,故()sin f x x '=-,所以()sin sin cos d d d f x x x x x x x C '=-=-=+⎰⎰⎰(3) 依题意有()cos f x x '=，所以1()cos sin f x xdx x C ==+⎰， 于是 112()(sin )cos f x dx x C dx x C x C =+=-++⎰⎰其中12,C C 为任意常数,取120C C ==,得()f x 的一个原函数为cos x -． (4) 由1()1000()ln 33PQ P '=-得111()[1000()ln 3]1000ln 3()1000().333P P P Q P dp dp C =-=-⋅=⋅+⎰⎰将0P =时, 1000Q =代入上式得0C =；所以需求量与价格的函数关系是1()1000()3PQ P =．习题5-31．在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数，使等式成立：(1) dx = (51)d x -； (2) xdx = 2(2)d x -；(3) 3x dx = 4(32)d x + (4) 2xe dx -= 2()xd e-(5) 219dx x =+ (arctan 3)d x ； (6) 212dxx =+ )d ； (7) 2(32)x dx -= 3(2)d x x -； (8) dx x= (3ln )d x ；= (2arcsin )d x -； = ． 解(1) 1(51)5,(51)5d x dx dx d x -=∴=-；(2) 221(2)2,(2)2d x xdx xdx d x -=-∴=--；(3) 43341(32)12,(32)12d x x dx x dx d x +=∴=+；(4) 22221()2,()2x x x x d e e dx e dx d e ----=-∴=-；(5)22311(arctan 3),(arctan 3)19193d x dx dx d x x x =∴=++；(6)22),)1212dx d dx x x =∴=++； (7) 3223(2)(32),(32)(2)d x x x dx x dx d x x -=--∴-=--(8) 311(3ln ),(3ln )3d x dx dx d x x x =∴=； (9)(2arcsin )(2arcsin )d x d x -==--(10)212)d x x dx -=-==-2．求下列不定积分：(1) 3xa dx ⎰； (2) 32(32)x dx -⎰；(3)12dxx-⎰； (4) 12xe dx x ⎰；(5)⎰； (6) ln dx x x ⎰；(7)1x x e dx e +⎰； (8) 11x dx e+⎰；(9)211x dx x --⎰； (10) tan ⎰(11)e e x xdx-+⎰； (12) ； (13) 3431x dx x-⎰； (14) 4cos xdx ⎰； (15)； (16) 324x dx x +⎰； (17)26dx x x --⎰； (18) 245dx x x ++⎰；(19) 2cos ()x dx ωϕ+⎰； (20) 2cos ()sin()x x dx ωϕωϕ++⎰；(21)； (22) ；(23) 4tan xdx ⎰； (24) 3tan sec x xdx ⎰．解 (1)33311(3)33ln xx x a dx a d x a C a==+⎰⎰； (2)33522211(32)(32)(32)(32)25x dx x d x x C -=---=--+⎰⎰；(3) 1(12)1ln 12122122dx d x x C x x -=-=--+--⎰⎰；(4) 11121xxx e dx e d e C x x=-=-+⎰⎰；(5) 2C==-⎰；(6)ln ln ln ln ln dx d xx C x x x ==+⎰⎰；(7) 1(1)ln(1)11x x x x x e dx d e e C e e=+=++++⎰⎰； (8) 11(1)ln(1)111x x x x x x xe e d e dx dx dx x e C e e e +-+==-=-+++++⎰⎰⎰⎰； (9) 211(1)ln 11(1)(1)1x x d x dx dx x C x x x x --+===++-+-+⎰⎰⎰；(10) 2==⎰⎰⎰ln C =-+(11) 22arctan 11+()x x xxx x x dx e dx de e C e e e e -===+++⎰⎰⎰；(12221126C ==-=；(13) 3444444333(1)3ln 1141414x dx d x dx x C x x x -==-=--+---⎰⎰⎰； (14) 4221cos 21cos ()(12cos 2cos 2)24x xdx dx x x dx +==++⎰⎰⎰1111cos 41111sin 2sin 2cos 4(4)444244832x x x dx x x x xd x +=++=+++⎰⎰311sin 2sin 48432x x x C =+++(15)22()1128d x =+=⎰⎰12arcsin()23x C =+ (16) 322222222221144112(4)4242424x x x dx dx dx dx d x x x x x+-===-+++++⎰⎰⎰⎰⎰ 2212ln(4)2x x C =-++；(17) 211113()ln 653252dx x dx C x x x x x -=-=+---++⎰⎰； (18)22(2)arctan(2)451(2)dx d x x C x x x +==++++++⎰⎰；(19)21cos(22)cos ()2x x dx dx ωϕωϕ+++=⎰⎰ 11cos(22)(22)24x x d x ωϕωϕω=+++⎰ 11sin(22)24x x C ωϕω=+++； (20) 221cos ()sin()cos ()cos()x x dx x d x ωϕωϕωϕωϕω++=-++⎰⎰31cos ()3x C ωϕω=-++；(21)22==⎰2C =+；(22)2arcsin 1(arcsin )arcsin d x C x x==-+⎰； (23) 42242tan (sec 1)(sec 2sec 1)xdx x dx x x dx =-=-+⎰⎰⎰2312tan (1tan )tan tan tan 3x x x d x x x x C =-++=-++⎰； (24) 32231tan sec tan sec (sec 1)sec sec sec 3x xdx xd x x d x x x C ==-=-+⎰⎰⎰． 3．求下列不定积分： (1)⎰； (2) ；(3)2,(0)a >； (4)(5)； (6) ⎰；(7)； (8)⎰；(9)； (10) ．解 (1) t =,则23,2t x dx tdt +==,所以 1(1)ln(1)11tdt dt t t C t t ==-=-++++⎰⎰1)C =+；(2) 令sin ()22x t t ππ=-<<，则cos dx tdt =，所以22cos csc cot sin cos tdt tdt t C C t t x ===-+=-+⋅⎰⎰； (3) 令sin ()22x a t t ππ=-<<，则cos dx a tdt =，所以222222sin 1cos 2cos sin 2cos 224a t t a a a tdt a dt t t C a t -===-+⎰⎰222sin cos arcsin 222a a a x t t t C C a =-+=-；2223sec cos sin sec tdt tdt t C C t ===+=+⎰⎰； (5) 令3sec (0)2x t t π=<<，则3sec tan dx t tdt =，所以，当3x >时，23tan 3sec tan 3(sec 1)3sec t t tdt t dt t=⋅=-⎰⎰⎰33(tan )3arccos t t C C x=-+=+；当3x <-时，同理可得：33arccos C x=+-⎰，综合起来，有：33arccos C x=+； (6) 令sin ()22x t t ππ=-<<，则cos dx tdt =，所以cos 1(sin cos )(sin cos )sin cos 2sin cos t t t t t dt dt t t t t+--==++⎰⎰ 1sin cos (sin cos )(1)2sin cos 2sin cos t t t d t t dt t t t t-+=-=+++⎰⎰11(ln sin cos )(arcsin ln 22t t t C x x C =+++=++；(7) 令sin ()22x t t ππ=-<<，则cos dx tdt =，所以2()cos 12(1)1cos 1cos cos 2td tdt dt t t t t ==-=-++⎰⎰⎰tan arcsin 2t t C x C =-+=+； (8) 令tan ()22x t t ππ=-<<，则2sec dx tdt =，所以234442sec cos 11()sin tan sec sin sin sin tdt tdt d t t t t t t ===-⎰⎰⎰3113sin sin C C t t =-++=+；222222cos 2cos (csc 1)cot 4sin t dx tdt t dt t t C xt =⋅=-=--+⎰⎰⎰arcsin 2xC x =--+；(10) t =，则222ln(1),1tdtx t dx t =+=+，所以 222212(1)22arctan 11t dt dt t t C t t ==-=-+++⎰⎰C =．习题5-41．求下列不定积分：(1) sin x xdx ⎰； (2) x xe dx -⎰；(3) arcsin xdx ⎰； (4) cos xexdx -⎰；(5) 2sin d 2xxex -⎰； (6) 2tan x xdx ⎰；(7) 2t te dt -⎰； (8)2(arcsin )x dx ⎰；(9)cos(ln )x dx ⎰； (10)2(1)sin 2xxdx -⎰；(11)ln(1)x x dx -⎰； (12)22cos2xx dx ⎰； (13)32ln xdx x ⎰； (14)sin cos x x xdx ⎰；(15) 23sin cos xdx x⎰； (16)2(1)x xe dx x +⎰． 解 (1) sin cos cos cos cos sin x xdx xd x x x xdx x x x C =-=-+=-++⎰⎰⎰.(2) xx x x x x xedx xde xe e dx xe e C ------=-=-+=--+⎰⎰⎰.(3) 21arcsin arcsin arcsin (1)2xdx x x x x x x =-=+-⎰⎰arcsin x x C =． (4) cos cos cos (sin )xx x x exdx xde e x e x dx ----=-=-+-⎰⎰⎰cos sin cos sin cos xx x x x ex xde e x e x e xdx -----=-+=-+-⎰⎰12cos (sin cos )xxx x x x C --∴=-+⎰e d e(sin cos )cos 2x xx x x x C ---∴=+⎰e e d . (5) 22221111sin sin sin cos 22222222xxx x x x x xe dx de e e dx ----=-=-+⋅⎰⎰⎰2211sin cos 2282x xx x e de --=--⎰2221111sin cos (sin )2282822x x x x x xe e e dx ---=--+-⎰222111sin cos sin 2282162x x x x x xe e e dx ---=---⎰ 22211711sin sin cos 1622282x x x x x xe dx e e C ---∴=--+⎰222sin (cos 4sin )21722xx x x x e dx e C --∴=-++⎰.(6) 22221tan (sec )sec 2x xdx x x x dx x xdx x =-=-⎰⎰⎰2211(tan )tan tan 22xd x x x x xdx x =-=--⎰⎰21tan ln cos 2x x x C x =+-+.(7) 2222221111122224t tt t t t te dt tde te e dt te e C ------=-=-+=--+⎰⎰⎰.(8) 22(arcsin )(arcsin )2arcsin x dx x x x x =-⋅⎰⎰2(arcsin )2arcsin x x =+⎰2(arcsin )2x x x =+-2(arcsin )2x x x dx =+-⎰2(arcsin )2x x x x C =+-+.(9) 1cos(ln )cos(ln )(sin(ln ))cos(ln )sin(ln )x dx x x x x dx x x x dx x=--⋅=+⎰⎰⎰ 1cos(ln )sin(ln )cos(ln )x x x x x x dx x=+-⋅⎰所以 cos(ln )[cos(ln )sin(ln )]2xx x x x C =++⎰d(10) 22(1)sin 2sin 2sin 2x xdx x xdx xdx -=-⎰⎰⎰211cos 2sin 2(2)22x d x xd x =--⎰⎰211cos 2cos 2cos 222x x x xdx x =-++⎰ 2111cos 2cos 2sin 2222x x x xd x =-++⎰2111cos 2cos 2sin 2sin 22222x x x x x xdx =-++-⎰2111cos 2cos 2sin 2cos 22224x x x x x x C =-++++213()cos 2sin 2222xx x x C =--++.(11) 2221ln(1)ln(1)()ln(1)2221x x x x x dx x d x dx x -=-=---⎰⎰⎰222111111ln(1)ln(1)(1)2212221x x x x dx x x x dx x x -+=--=--+---⎰⎰⎰d 22111ln(1)()ln 12222x x x x C x =--+-+- 22111(1)ln(1)242x x x x C =----+.(12) 222221cos 11cos cos 2222x x x dx x dx x dx x xdx +=⋅=+⎰⎰⎰⎰32321111sin sin sin 6262x x d x x x x x xdx =+=+-⎰⎰32321111sin cos sin cos cos 6262x x x xd x x x x x x xdx =++=++-⎰⎰ 3211sin cos sin 62x x x x x x C =++-+.(13) 333222ln 111ln ()ln 3ln x dx xd x xdx x x x x=-=-+⎰⎰⎰3232211131ln 3ln ()ln ln 6ln x xd x x xdx x x x x x =--=--+⎰⎰32131ln ln 6ln ()x x xd x x x =---⎰3221361ln ln ln 6x x x dx x x x x =---+⎰321366ln ln ln x x x C x x x x =----+321(ln 3ln 6ln 6)x x x C x=-++++.(14) 11sin cos sin 2cos 224x x xdx x xdx xd x ==-⎰⎰⎰ 11cos 2cos 2cos 2cos 2(2)4448x x x xdx x xd x =-+=-+⎰⎰1cos 2sin 248x x x C =-++.(15) 2233sin tan sec tan (sec )tan sec sec cos x dx x xdx xd x x x xdx x=⋅==-⎰⎰⎰⎰22233cos sin sin tan sec tan sec sec cos cos x x x x x dx x x xdx dx x x+=-=--⎰⎰⎰23sin tan sec ln sec tan cos xx x dx x x x=--+⎰ 于是 213sin 2tan sec ln sec tan cos xdx x x C x x x =-++⎰ 所以 23sin 11tan sec ln sec tan cos 22x dx x x C x x x =-++⎰. (16) 211()(1)111x x x x xe xe dx xe d d xe x x x x=-=-+++++⎰⎰⎰ 1(1)111x x xx xe xe x e dx e C x x x=-++=-+++++⎰. 复习题5（A ）1、 求下列不定积分：（1）x xdxe e --⎰； （2）3(1)x dx x -⎰； （3）1cos sin x dx x x ++⎰； （4）4sin cos 1sin x x dx x +⎰；（5）(0)a>； （6）； （7）6(4)dx x x +⎰； (8) 2sin cos dxx x ⎰； (9)21ln (ln )x dx x x +⎰； (10) sin cos x xe dx ⎰；(11)； (12)；(13)2252()dxa x -⎰； (14)⎰；(15) ；(16) arctan ⎰； (17) 2(1)x dxe +⎰； (18) sin(ln )x dx ⎰；(19) 2(sin )x x dx ⎰； (20) 2(1)xx xe dx e +⎰． 解 (1) 2211ln 1()121x x x x xx x x dx e dx de e C e e e e e --===+---+⎰⎰⎰. (2) 令1x t -=；则dx dt =-，所以3332221111111()(1)22(1)1x t dx dt dt C C x t t t t t x x-=-=--=-+=-+---⎰⎰⎰． (3)1cos (sin )ln sin sin sin x d x x dx x x C x x x x ++==++++⎰⎰．(4) 22444sin cos sin 1sin 1sin arctan(sin )1sin 1sin 21sin 2x x x d x dx d x x C x x x ===++++⎰⎰⎰．(5) 2212a ==-arcsin x a C a=．(6)2C ==+．(7) 56666666611111()ln (4)(4)644244dx x dx x dx C x x x x x x x ==-=+++++⎰⎰⎰． (8)22222cos sin sin cos sin cos sin (1sin )dx xdx d xx x x x x x ==-⎰⎰⎰2211111sin ()sin ln sin 1sin sin 21sin xd x C x x x x-=+=-++-+⎰． (9)221ln (ln )1(ln )(ln )ln x d x x dx C x x x x x x +==-+⎰⎰．(10) sin sin sin cos sin xx x xedx e d x e C ==+⎰⎰．(11)21arcsin arcsin arcsin 2xd x x C ==+⎰．(12)22==⎰2C =+(13) 令sin ()22x a t x ππ=-<<，则cos dx a tdt =，所以 4222525544cos 11sec (tan 1)tan ()cos dx a tdt tdt t d t a x a t a a===+-⎰⎰⎰⎰3344422324221211tan tan 33()()x x t t C C a a a a x a a x =++=++--． (14) 令1x t =，则21dx dt t=-，所以C C x=-==+． (15) 令tan ()22x a t x ππ=-<<，则2sec dx a tdt =，所以2222222sec sec sin tan sin cos sin (1sin )a t a tdt dt d tdx x a t t t t t ⋅===-⎰⎰⎰⎰ 22sin sin 111sin ln sin 1sin sin 21sin d t d t tC t t t t +=+=-++--⎰⎰ln(x C =+++．(16) t =，则2dx tdt =，所以22221arctan arctan 1tdt t t tdt t ==-+⎰⎰⎰ 2221arctan (1)arctan arctan 1t t dt t t t t C t=--=-+++⎰arctan x C =．(17) 令ln x t =，则222111(1)(1)1(1)x dx dt dt e t t t t t ⎡⎤==--⎢⎥++++⎣⎦⎰⎰⎰ 11ln ln(1)ln(1)11x xt t C x e C t e=-+++=-+++++． (18)1sin(ln )sin(ln )cos(ln )x dx x x x x dx x=-⋅⋅⎰⎰ 1sin(ln )cos(ln )(sin(ln ))x x x x x x dx x=-+⋅-⋅⎰12sin(ln )sin(ln )cos(ln )x dx x x x x C ∴=-+⎰11sin(ln )sin(ln )cos(ln )22x dx x x x x C ∴=-+⎰(19)22321cos 211(sin )sin 2264x x x dx x dx x x d x -=⋅=-⎰⎰⎰ 231sin 21sin 22644x x x x xdx =-+⋅⎰ 231sin 21cos 2644x x x xd x =--⎰ 231sin 2cos 21cos 26444x x x x x xdx =--+⎰ 231sin 2sin 21sin 26448x x x x x x C =--++． (20) 21(1)111x x x x x xe x dx dx xd e e e e =-=-+++++⎰⎰⎰ ln(1)111x xx x xx de x e C e e e--=--=--+++++⎰． (B) 1、填空题：(1) 若xe 是()f x 的一个原函数,则2(ln )x f x dx =⎰.(2) 设222(sin )cos tan ,(0)0f x x x f '=+=,则()f x = . (3) 设32()3f x x '=,则()f x = .(4) 若()f x 有原函数ln x x ,则()xf x dx ''=⎰. (5) 设()arcsin xf x dx x C =+⎰,则()dxf x =⎰. (6) 设()f x 的一个原函数为sin xx,则(2)xf x dx '=⎰ . (7) 若()1x f e x '=+,则()f x = .(8) 已知()f x 的一个原函数为(1sin )ln x x +,则()xf x dx '=⎰.解 (1) 因为xe 是()f x 的一个原函数,所以ln ()(),(ln )xxxf x e e f x ex '====,于是2341(ln )2x f x dx x dx x C ==+⎰⎰. (2) 由222222sin (sin )cos tan 1sin 1sin xf x x x x x'=+=-+-,得: 1()111x f x x x x x '=-+=-+--， 所以21()()ln 112x f x x dx x C x =-+=---+-⎰， 再由(0)0f =，得0C =，因此 2()ln 12x f x x =--- ．(3)3232()33()f x x x '==， 23()3f x x '∴=，所以2539()35f x x dx x C ==+⎰．(4) ()()()()()()xf x dx xdf x xf x f x dx xf x f x C ''''''==-=-+⎰⎰⎰，而1()(ln )ln 1,()f x x x x f x x''==+=，所以1()ln 1ln xf x dx x x C x C x''=⋅--+=-+⎰(5) 由已知条件得：()(arcsin )xf x x ==1()f x =2232111(1)(1)()23dx x x C f x ==--=--+⎰⎰． (6)111(2)(2)(2)(2)222xf x dx xdf x xf x f x dx '===-⎰⎰⎰ 11sin 2(2)242xxf x C x =-⋅+，而2sin cos sin ()()x x x xf x x x-'==，所以 212cos 2sin 21sin 2(2)2(2)42x x x xxf x dx x C x x-'=⋅-⋅+⎰ 11cos 2sin 244x x C x=-+． (7) 由()11ln x xf e x e '=+=+，可得()1ln f x x '=+，所以()(1ln )ln f x x dx x x C =+=+⎰．(8) ()()()()()(1sin )ln xf x dx xdf x xf x f x dx xf x x x C '==-=-++⎰⎰⎰，而1sin ()((1sin )ln )cos ln xf x x x x x x+'=+=⋅+，所以 ()cos ln sin (1sin )ln f x x x x x x x C =+-++2、计算下列不定积分：(1) 22arctan 1x xdx x +⎰； (2) arctan xx e dx e ⎰；． (3) 2(arcsin )x dx ⎰； (4)'⎰； (5)2ln (1)xdx x -⎰； (6) 22arctan (1)xdx x x +⎰；(7)⎰；(8)x； (9) arctan 232(1)x xe dx x +⎰；(10) ； (11)sin ln(tan )x x dx ⎰；(12) ；(13) 881(1)x dx x x -+⎰； (14) sin 1cos x x dx x++⎰． 解 (1) 2221arctan (1)arctan arctan arctan arctan 11x xdx xdx xdx xd x x x=-=-++⎰⎰⎰⎰ 221arctan arctan 12x x x dx x x =--+⎰ 2211arctan ln(1)arctan 22x x x x C =-+-+．(2) arctan arctan arctan 1x x x x x x xx xe e dx e de e e e dx e e--=-=-+⋅+⎰⎰⎰ 1(1)arctan arctan 11x x x xxx xx xe e d e e e dx e e x e e --+-+=-+=-+-++⎰⎰arctan ln(1)xx x e e x e C -=-+-++．(3)22(arcsin )(arcsin )x dx x x =-⎰2(arcsin )2arcsin x x =+⎰2(arcsin )2x x x x C =+-+． (4)ln (ln )x x C ''===⎰．(5)2ln 1ln 11ln (1)111x x dx xd dx x x x x x==-⋅----⎰⎰⎰ ln 11ln ()ln 1111x x xdx C x x x x x=-+=-+----⎰． (6)2222arctan arctan arctan (1)1x x x dx dx dx x x x x =-++⎰⎰⎰1arctan arctan arctan xd xd x x =--⎰⎰22arctan 1arctan (1)2x dx x x x x =-+-+⎰ 2222arctan 1111()arctan 212x dx x x x x =-+--+⎰ 222arctan 11arctan ln 221x x x C x x =--+++． (7)t =，则2dx tdt =，所以222arcsin arcsin tdt t t ==-⎰⎰再令sin t u =，则22sin 1cos 2cos cos 2u uudu du u -==⎰⎰111sin 2arcsin 2422u u C t C =-+=-，所以1(2x C =-⎰． (8)t =，则222ln(1),1tdt x t dx t=+=+，所以2222(1)ln(1)22ln(1)1xt t tdt t dt t t ++=⋅=++⎰⎰ 22222ln(1)42ln(1)44arctan 1t t t dt t t t t C t=+-=+-+++⎰2C =．(9) 令tan x t =，则2arcsin ,sec x t dx tdt ==，所以arctan 22323tan sec sin (1)sec x t txe e t dx tdt e tdt x t ==+⎰⎰⎰，而sin sin sin cos sin cos tt tt tte tdt tde e t e tdt e t tde ==-=-⎰⎰⎰⎰sin cos sin ttte t e t e tdt =--⎰， 解得1sin (sin cos )2t t e tdt e t t C =-+⎰，所以arctan arctan 2321(1)2x x xe dx e C x =++⎰． (10) 令tan x t =，则2sec dx tdt =，于是222cos cos (2tan 1)2sin cos dt tdtt t t t==++⎰⎰2sin arctan(sin )1sin d t t C C t ==+=++⎰． (11)sin ln(tan )ln(tan )cos x x dx x d x =-⎰⎰21cos ln(tan )cos sec tan x x x xdx x=-+⋅⎰cos ln(tan )csc x x xdx =-+⎰cos ln(tan )ln csc cot x x x x C =-+-+．(12)ln(x =⎰x =+-⎰x x C =-+．(13) 87788881(1)(1)1x x x dx dx dx x x x x x-=-+++⎰⎰⎰ 888881111()8181dx dx x x x =--++⎰⎰ 81ln ln(1)2x x C =-++． (14) 2sin sin sin tan 1cos 1cos 21cos 2cos2x x xdx xdx x xdx dx xd x x x x +=+=-+++⎰⎰⎰⎰⎰tan tan tan 222x x xx dx dx =-+⎰⎰tan 2xx C =+．。
浙江省专升本高等数学考试定积分部分内容解析
浙江省专升本高等数学考试定积分部分内容解析1. 引言1.1 考试背景浙江省专升本高等数学考试是为了选拔适合升入本科阶段学习的学生而设立的考试。
这项考试的背景是为了帮助那些想要进入大学深造但没有本科学历的学生实现自己的梦想，为他们提供一个接受高等教育的机会。
通过考试，学生可以证明自己在数学领域的能力，为自己的学业之路打下坚实的基础。
1.2 考试目的考试目的是通过对学生对定积分相关知识的掌握情况进行考核，评判学生在高等数学领域的学习成果和能力水平。
通过考试可以促使学生深入学习定积分的概念、性质和计算方法，提高他们的数学分析和解决问题的能力。
考试目的还包括检验学生在解题时的灵活运用能力，培养他们的数学思维和创新意识。
定积分部分的考试目的是为了帮助学生建立扎实的数学基础，提高他们的数学素养和解决实际问题的能力，为他们未来的学习和职业发展打下坚实的基础。
2. 正文2.1 定积分的概念定积分是微积分中的重要概念之一，它是反常积分的基础，也是微积分的一个重要分支。
在数学上，定积分是对一个函数在一个区间上的积分，表示函数在该区间上的总体积或总面积。
定积分的概念最初由牛顿和莱布尼兹提出，是微积分的基础之一。
在几何学中，定积分可以用来求解曲线下面积、曲线长度、曲面面积及体积等问题。
在物理学中，定积分可以用来表示质点的位移、速度、加速度以及作用力等物理量。
在工程学中，定积分可以用来描述电磁场分布、液体流动、结构力学等问题。
数学家们通过严谨的数学推导和定义，将定积分的概念完善并系统化。
对于一般函数，可以用黎曼和来定义定积分，而对于特殊的函数，可以使用其他方法如变限积分、广义积分等来求解定积分。
定积分是微积分中的重要概念，具有广泛的应用领域，可以帮助我们更好地理解和应用数学知识。
在专升本高等数学考试中，对定积分的掌握非常重要，考生需要深入理解定积分的概念和性质，掌握定积分的计算方法，并能灵活运用定积分解决实际问题。
2.2 定积分的性质定积分是微积分中的重要概念，具有许多特殊的性质。
浙江专升本高等数学考试微分中值定理试题分析
浙江专升本高等数学考试微分中值定理试题分析作者：董飞来源：《科技资讯》2019年第32期摘; 要：微分中值定理是高等数学教学与专升本考试的重点，该文分析了2005—2019年浙江专升本高等数学考试中需要应用微分中值定理解决的综合题，总结出了3类题型的解决方法，为浙江专升本学生提供参考。
关键词：专升本; 微分中值定理; 浙江; 考试中图分类号：O13 ; ;文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2019）11（b）-0192-02對于高职高专院校计划进入本科学习的毕业生，全日制专升本可以称为人生的第二次高考。
自2005年起，浙江专升本开始由浙江考试院独立组织考试，报考人数逐年增多，而省重点建设高校却逐年减少招生计划以至停止招生，本科公办院校招生计划也在减少;与此同时，本科独立院校、民办院校招生计划逐年增加，专升本学生想进入一个好的本科院校难度越来越大。
对于学习理工、经管、农学、医学大类的学生，高等数学则是必考科目。
在专升本高等数学试卷中微分中值定理通常作为压轴题出现在最后一题。
笔者通过对2005—2019年的浙江省高等数学试卷中的微分中值定理部分进行分析研究、归纳整理，希望对于浙江专升本的学生有所帮助。
微分中值定理是研究函数性质的重要工具之一，包括费马定理、罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒中值定理[1]。
关于微分中值定理的应用有一些学者进行过研究[2-3]，下面该文将通过真题实例给出微分中值定理在解决专升本数学综合题中的应用。
1; 证明方程根的存在性这类题目通常让证明“至少存在一点ξ∈（a，b），使得f'（ξ）+g（ξ）=0成立”，一般运用罗尔中值定理去证明。
证明方程根的存在性，核心环节是根据结论构造辅助函数，下面是证明这类问题的步骤。
（1）从题目中“使得”后面的式子入手，将后面式子化为f'（ξ）+g（ξ）=0这种方程形式，等号的左边式子即为需要构造新函数导数在ξ处的值，即F'（ξ），把ξ换成得到F'，通过F'找其原函数，即为构造的函数。
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习题1-11. 求下列函数的定义域： (1) 21xy x =- ;(2) 2112++-=x xy ；(3) y(4) lg(2)y x =-.解：⑴ 要使式子有意义，x 必须满足210x -≠，由此解得1x ≠±，因此函数的定义域是(,1)(1,1)(1,)-∞--+∞ 。
⑵ 要使式子有意义，x 必须满足210,20 ,x x ⎧-≠⎨+≥⎩ 即1,2 ,x x ≠±⎧⎨≥-⎩因此函数的定义域是[2,1)(1,1)(1,)---+∞ 。
⑶ 要使式子有意义，x 必须满足2sin 0,160 ,x x ≥⎧⎨-≥⎩即2(21),4 4 ,k x k x ππ≤≤+⎧⎨-≤≤⎩因此函数的定义域是[4,][0,]ππ-- 。
⑷ 要使式子有意义，x 必须满足220,320 ,x x x ->⎧⎨+-≥⎩即2,1 3 ,x x <⎧⎨-≤≤⎩因此函数的定义域是[1,2)-2. 判断下列各组函数是否相同?(1) 2142x y x -=-，22y x =+；(2) 21lg y x =，22lg y x =,(3) ()sin 21y x =+，()sin 21u t =+； (4) ()1f x =, ()22sec tan g x x x =-．解：(1) 因为1y 的定义域是(,2)(2,)-∞+∞ ，但是2y 的定义域是R ，两个函数的定义域不同，所以两个函数不同。
(2) 因为1y 的定义域是(,0)(0,)-∞+∞ ，但是2y 的定义域是(0,)+∞，两个函数的定义域不同，所以两个函数不同。
(3) 两个函数的定义域相同，对应法则也相同，所以两个函数相同。
(4) 因为()f x 的定义域是R ，但是()g x 的定义域是,2x x k x R ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，两个函数的定义域不同，所以两个函数不同。
3. 若()232f x x x =-+，求()1f ，()1f x -. 解：()10f =，()221(1)3(1)256f x x x x x -=---+=-+4. 若()2132f x x x +=-+，求()f x , ()1f x -.解：令1x t +=.则1x t =-,从而()()()22131256f t t t t t =---+=-+，所以()256f x x x =-+，()21(1)5(1)6f x x x -=---+ 2712x x =-+。
5. 设1()1xf x x-=+，求()0f ，()f x -，1f x ⎛⎫ ⎪⎝⎭。
解：(0)1f =，1()1x f x x +-=-，1111()111x x f x x x--==++。
6. 设1,20,()1,02x x f x x x --≤<⎧=⎨+≤≤⎩，求f （-1）, f （0）, f （1）, f （x -1）.解： (1)112f -=--=-，(0)011f =+=，(1)112f =+=(1)1,210(1)(1)1,012x x f x x x ---≤-<⎧-=⎨-+≤-≤⎩2,11,13x x x x --≤<⎧=⎨≤≤⎩ 7．作出下列函数的图形：(1) 242x y x -=+； （2） 1y x =-； (3) ()1,02;0,0 2.x x f x x x ⎧-≤≤⎪=⎨<>⎪⎩或8. 某运输公司规定货物的吨公里运价为: 在a 公里以内,每公里k 元, 超过部分公里为34k 元. 求运价m 和里程s 之间的函数关系. 解：由题意可得,0,3(),4ks s a m ka k s a s a <≤⎧⎪=⎨+->⎪⎩,0,31,44ks s a ks ka s a <≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩ 9.火车站收取行李费的规定如下：当行李不超过50千克时，按基本运费计算.如从上海到某地每千克以0.15元计算基本运费，当超过50千克时，超重部分按每千克0.25元收费.试求上海到该地的行李费y （元）与重量x （千克）之间的函数关系式，并画出函数的图像. 解：由题意可得0.15,050,0.15,050,0.15500.25(50),500.255,50x x x x y x x x x <≤<≤⎧⎧==⎨⎨⨯+->->⎩⎩习题1-21. 指出下列函数中哪些是奇函数，哪些是偶函数，哪些是非奇非偶函数？(1) ()3cos f x x x =； (2) 2x xe e y -+=；（3）sin cos y x x =+. (4) ()sin x x f x x e e -=+- 解：(1) ()3cos f x x x =的定义域是(,)-∞+∞，()()33()cos()cos f x x x x x f x -=--=-=- ， ()f x ∴是奇函数。
(2) 2x xe e y -+=的定义域是(,)-∞+∞，()22x x x xe e e e ----++= ， y ∴是偶函数。
⑶ sin cos y x x =+的定义域是(,)-∞+∞，()()y x y x -≠ ，且()()y x y x -≠-，y ∴既不是奇函数也不是偶函数。
(4) ()sin x x f x x e e -=+-的定义域是(,)-∞+∞，()()()sin()sin x x x x f x x e e x e e f x -----=-+-=-+-=- ，()f x ∴是奇函数。
2. 设下列函数的定义域均为,(,)a a -证明：(1) 两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；(2) 两个奇函数的积是偶函数，一奇一偶的乘积为奇函数； (3) 任一函数都可表示为一个奇函数与一个偶函数的和. 证明：(1)设()f x 、()g x 是奇函数，令()()()F x f x g x =+，()f x 、()g x 是奇函数，即()(),()()f x f x g x g x -=--=-，()()()()[()][()()]()F x f x g x f x g x f x g x F x ∴-=-+-=-+-=-+=-，因此两个奇函数的和仍为奇函数。
设()f x 、()g x 是偶函数，令()()()F x f x g x =+，()f x 、()g x 是偶函数，即()(),()()f x f x g x g x -=-=，()()()()()()F x f x g x f x g x F x ∴-=-+-=+=，因此两个偶函数的和仍为偶函数。
(2) 设()f x 、()g x 是奇函数，令()()()F x f x g x =，()f x 、()g x 是奇函数，即()(),()()f x f x g x g x -=--=-，()()()[()][()]()()()F x f x g x f x g x f x g x F x ∴-=--=--==，因此两个奇函数的积为偶函数。
设()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，令()()()F x f x g x =+，()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，即()(),()()f x f x g x g x -=--=， ()()()()()()F x f x g x f x g x F x ∴-=--=-=-，因此一奇一偶的乘积为奇函数。
(3) 设()f x 是任一函数，令1()[()()]2g x f x f x =+-，1()[()()]2h x f x f x =--，11(){()[()]}[()()]()22g x f x f x f x f x g x -=-+--=-+= ，即()g x 是偶函数111(){()[()]}[()()][()()]()222h x f x f x f x f x f x f x h x -=----=--=---=-，即()h x 是奇函数，又 ()()()f x g x h x =+，∴任一函数都可表示为一个奇函数与一个偶函数的和。
3. 证明函数1xy x=-在(1,)+∞内是单调增加的函数.. 证明：在(1,)+∞内任取两点任取两点,,21x x 且,21x x <则)1)(1(11)()(2121221121x x x x x x x x x f x f ---=---=- 因为21,x x 是),1(∞+内任意两点,所以,01,0121<-<-x x又因为,021<-x x 故0)()(21<-x f x f ，即)()(21x f x f < 所以xxx f -=1)(在),1(+∞-内是单调增加的. 4. 设函数)(x f 是周期T 的周期函数，试求函数(23)f x +的周期. 解：因为)(x f 是周期T 的周期函数，所以(23)(23)f x T f x ++=+，即(2()3)(23)2T f x f x ++=+，因此(23)f x +的周期2T 。
5．已知函数)(x f 的周期为2，并且()0,10;,0 1.x f x x x -<<⎧=⎨≤≤⎩试在),(+∞-∞上作出函数()y f x =的图形.6．验证函数xx f 1)(=在开区间(0,1) 内无界，在开区间(1,2) 内有界.解：因为对任意0M >，存在01(0,1)1x M =∈+，使得0()1f x M M =+>，所以x x f 1)(=在开区间(0,1) 内无界。
因为12x <<，所以1112x <<，即1()12f x <<，因此()f x 在开区间(1,2) 内有界。
习题1-31. 求下列函数的反函数及其定义域： (1) 11xy x-=+； (2) 312x y +=； （3）221x x y =+； (4) 101011010x xx xy --+=+-．解：(1) 由11x y x -=+解得11yx y-=+，故所求反函数为11x y x -=+， 反函数的定义域为(,1)(1,)-∞--+∞ 。
(2) 由312x y +=解得31(log 1)3x y =-，故所求反函数为31(log 1)3y x =-， 反函数的定义域为(0,)+∞。
（3）由221x x y =+解得21xy y =-，可得2log 1y x y =-，故所求反函数为2log 1x y x =-，反函数的定义域为(0,1)。
(4) 由101011010x xx x y --+=+-解得222102*********x xx x x y -⨯⨯==--，可得1lg 22y x y =-， 故所求反函数为1lg 22xy x =-，反函数的定义域为(,0)(2,)-∞+∞ 。