浙江专升本高等数学-例题解析

习题1-1

1. 求下列函数的定义域： (1) 2

1

x

y x =

- ;

(2) 211

2

++-=

x x

y ；

(3) y

(4) lg(2)y x =-.

解：⑴ 要使式子有意义，x 必须满足2

10x -≠，由此解得1x ≠±，因此函数的定义域是

(,1)(1,1)(1,)-∞--+∞ 。

⑵ 要使式子有意义，x 必须满足210,20 ,x x ⎧-≠⎨+≥⎩ 即1,

2 ,x x ≠±⎧⎨≥-⎩

因此函数的定义域是

[2,1)(1,1)(1,)---+∞ 。

⑶ 要使式子有意义，x 必须满足2

sin 0,

160 ,

x x ≥⎧⎨-≥⎩即2(21),

4 4 ,

k x k x ππ≤≤+⎧⎨

-≤≤⎩因此函数的定义域

是[4,][0,]ππ-- 。

⑷ 要使式子有意义，x 必须满足2

20,

320 ,

x x x ->⎧⎨

+-≥⎩即2,

1 3 ,

x x <⎧⎨

-≤≤⎩因此函数的定义域是

[1,2)-

2. 判断下列各组函数是否相同?

(1) 214

2

x y x -=-，22y x =+；

(2) 2

1lg y x =，22lg y x =,

(3) ()sin 21y x =+，()sin 21u t =+； (4) ()1f x =, ()2

2

sec tan g x x x =-．

解：(1) 因为1y 的定义域是(,2)(2,)-∞+∞ ，但是2y 的定义域是R ，两个函数的定义域不同，所以两个函数不同。

(2) 因为1y 的定义域是(,0)(0,)-∞+∞ ，但是2y 的定义域是(0,)+∞，两个函数的定义域不同，所以两个函数不同。

(3) 两个函数的定义域相同，对应法则也相同，所以两个函数相同。

(4) 因为()f x 的定义域是R ，但是()g x 的定义域是,2x x k x R π

π⎧⎫

≠+

∈⎨⎬⎩

⎭

，两个函数的定义域不同，所以两个函数不同。

3. 若()2

32f x x x =-+，求()1f ，()1f x -. 解：()10f =，()22

1(1)3(1)256f x x x x x -=---+=-+

4. 若()2

132f x x x +=-+，求()f x , ()1f x -.

解：令1x t +=.则1x t =-,从而()()()2

2

131256f t t t t t =---+=-+，

所以()256f x x x =-+，

()21(1)5(1)6f x x x -=---+ 2712x x =-+。

5. 设1()1x

f x x

-=

+，求()0f ，()f x -，1f x ⎛⎫ ⎪⎝⎭

。 解：(0)1f =，1()1x f x x +-=-，1

111()11

1x x f x x x

-

-==++。 6. 设1,20,

()1,02

x x f x x x --≤<⎧=⎨

+≤≤⎩，求f （-1）, f （0）, f （1）, f （x -1）.

解： (1)112f -=--=-，(0)011f =+=，(1)112f =+=

(1)1,210(1)(1)1,012x x f x x x ---≤-<⎧-=⎨

-+≤-≤⎩2,11

,13

x x x x --≤<⎧=⎨

≤≤⎩ 7．作出下列函数的图形：

(1) 242x y x -=+； （2） 1y x =-； (3) ()1,02;0,0 2.x x f x x x ⎧-≤≤⎪

=⎨<>⎪⎩

或

8. 某运输公司规定货物的吨公里运价为: 在a 公里以内,每公里k 元, 超过部分公里为

3

4

k 元. 求运价m 和里程s 之间的函数关系. 解：由题意可得,0,3(),4ks s a m ka k s a s a <≤⎧⎪=⎨+->⎪⎩,0,31

,44

ks s a ks ka s a <≤⎧⎪

=⎨+>⎪⎩ 9.火车站收取行李费的规定如下：当行李不超过50千克时，按基本运费计算.如从上海

到某地每千克以0.15元计算基本运费，当超过50千克时，超重部分按每千克0.25元收费.试求上海到该地的行李费y （元）与重量x （千克）之间的函数关系式，并画出函数的图像. 解：由题意可得0.15,050,0.15,050,

0.15500.25(50),500.255,50x x x x y x x x x <≤<≤⎧⎧==⎨

⎨

⨯+->->⎩⎩

习题1-2

1. 指出下列函数中哪些是奇函数，哪些是偶函数，哪些是非奇非偶函数？

(1) ()3

cos f x x x =； (2) 2

x x

e e y -+=；

（3）sin cos y x x =+. (4) ()sin x x f x x e e -=+- 解：(1) ()3cos f x x x =的定义域是(,)-∞+∞，

()()33()cos()cos f x x x x x f x -=--=-=- ， ()f x ∴是奇函数。

(2) 2x x

e e y -+=的定义域是(,)-∞+∞，

()22

x x x x

e e e e ----++= ， y ∴是偶函数。 ⑶ sin cos y x x =+的定义域是(,)-∞+∞，

()()y x y x -≠ ，且()()y x y x -≠-，y ∴既不是奇函数也不是偶函数。

(4) ()sin x x f x x e e -=+-的定义域是(,)-∞+∞，

()()()sin()sin x x x x f x x e e x e e f x -----=-+-=-+-=- ，()f x ∴是奇函数。 2. 设下列函数的定义域均为,(,)a a -证明：

(1) 两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；

(2) 两个奇函数的积是偶函数，一奇一偶的乘积为奇函数； (3) 任一函数都可表示为一个奇函数与一个偶函数的和. 证明：(1)设()f x 、()g x 是奇函数，令()()()F x f x g x =+，

()f x 、()g x 是奇函数，即()(),()()f x f x g x g x -=--=-，

()()()()[()][()()]()F x f x g x f x g x f x g x F x ∴-=-+-=-+-=-+=-，因此两个奇函数的

和仍为奇函数。

设()f x 、()g x 是偶函数，令()()()F x f x g x =+，

()f x 、()g x 是偶函数，即()(),()()f x f x g x g x -=-=，

()()()()()()F x f x g x f x g x F x ∴-=-+-=+=，因此两个偶函数的和仍为偶函数。

(2) 设()f x 、()g x 是奇函数，令()()()F x f x g x =，

()f x 、()g x 是奇函数，即()(),()()f x f x g x g x -=--=-，

()()()[()][()]()()()F x f x g x f x g x f x g x F x ∴-=--=--==，因此两个奇函数的积为偶函