二元一次方程组复习(带解析)

二元一次方程组复习
一、知识要点 1、二元一次方程组的有关概念
I ．二元一次方程
(1)概念：含有______未知数，并且未知数的项的次数都是____，这样的整式方程叫做二元一次方程．
(2)一般形式：ax ＋by ＝c(a≠0，b≠0)．
(3)使二元一次方程两边的值______的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．
(4)解的特点：一般地，二元一次方程有无数个解．由这些解组成的集合，叫做这个二元一次方程的解集．
II ．二元一次方程组
(1)概念：具有相同未知数的______二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组．
(2)一般形式：⎩⎨⎧=+=+2
22111c y b x a c y b x a (a 1，a 2，b 1，b 2均不为零)．
(3)二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的________，叫做二元一次方程组的解．
2、二元一次方程组的解法
解二元一次方程组的基本思想是______，即化二元一次方程组为一元一次方程，主要__________消元法．
不要漏掉括号
x (或y )的代数式表示出y (或x )，即变成y ＝ax ＋b (或x ＝ay ＋b )的形式；
(2)将y ＝ax ＋b (或x ＝ay ＋b )代入另一个方程，消去y (或x )，得到关于x (或y )的一元一次方程；
(3)解这个一元一次方程，求出x (或y )的值；
y ＝ax ＋b (或x ＝ay ＋b )中，求y (或x )的值．
不要漏乘
在二元一次方程组中，若有同一个未知数的系数相同(或互为相反数)，则可以直接相减(或相加)，消去一个未知数；
(2)在二元一次方程组中，若不存在(1)中的情况，可选一个适当的数去乘方程的两边，使其中一个未知数的系数相同(或互为相反数)，再把方程两边分别相减(或相加)，消去一个未知数；
(3)解这个一元一次方程；
(4)将求出的一元一次方程的解代入原方程组中系数比较简单的方程内，求出另一个未知数．
二、典型例题
考点一 ：二元一次方程概念与解法
例1．已知⎩
⎨⎧==12y x 是二元一次方程组⎩⎨⎧=-=+18my nx ny mx 的解，则2m －n= .
例2．小明和小佳同时解方程组⎩⎨⎧=-=+1325ny x y mx ，小明看错了m ，解得⎪⎩⎪⎨⎧-==2
27y x ，小华看错
了n ，解得⎩
⎨⎧-==73y x ，你能知道原方程组正确的解吗
总结分析：灵活学会“方程解”概念解题.
【巩固】已知方程组⎩⎨⎧-=--=+4652by ax y x 和方程组⎩⎨⎧-=+=-8
1653ay bx y x 的解相同，求
2017)2(b a +的值.
【变式】已知关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+f by ex c by ax 的解为⎩⎨⎧==1
3y x ，你能求
得关于x ，y 的二元一次方程组⎩
⎨⎧=++-=++-f y x b y x e c y x b y x a )()()()(的解吗
★剖析总结★：灵活学会“方程解”概念解题，利用解相同，可以将方程重新组合，换位联立；在解题过程中，常常运用类比的思想【巩固2】.
考点二：解决实际问题
列方程(组)解应用题的一般步骤
1、审：有什么，求什么，干什么；
2、设：设未知数，并注意单位；
3、找：等量关系；
4、列：用数学语言表达出来；
5、解：解方程(组)；
6、验：检验方程(组)的解是否符合实际题意．
7、答：完整写出答案(包括单位)．
列方程组思想：
找出相等关系“未知”转化为“已知”.有几个未知数就列出几个方程，所列方程必须满足：
(1)方程两边表示的是同类量；(2)同类量的单位要统一；(3)方程两边的数值要相等.
列二元一次方程----解决实际问题
类型：（1）方案问题：（2）行程问题;（3）工程问题;（4）数字问题;（5）年龄问题;（6）分配问题;（7）销售利润问题;（8）和差倍分问题; （9）几何问题; （10）表格或图示问题; （11）古代问题;（12）优化方案问题. 题型一 二元一次方程组的应用 - 方案问题
典例1 （2020·监利县期中）1400元奖金要分给22名获奖员工，其中一等奖每人200元，二等奖每人50元。

试问经理，该怎样分发这1400元奖金？
【答案】一等奖2人，二等奖20人
【详解】
解：设一等奖x 人，二等奖y 人，由题意可得：
22200501400
x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解得：220x y =⎧⎨=⎩
， 答：一等奖2人，二等奖20人即可分发这1400元奖金．
变式1-1（2018·大石桥市期末）已知用2辆A 型车和1辆B 型车装满货物一次可运货10吨;用1辆A 型车和2辆B 型车装满货物一次可运货11吨.某物流公司现有31吨货物，计
划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物.根据以上信息，解答下列问题：
①1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？
②请你帮该物流公司设计租车方案．
【答案】（1）1辆A型车一次可运货3吨，一辆B型车一次可运货4吨；（2）三种方案：①A型车1辆；B型车7辆；②A型车5辆；B型车4辆；③A型车9辆；B型车1辆．
【详解】
（1）设1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货x吨，y吨，
根据题意得：
2x y10
x2y11
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，解得：
3
4
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
．
答：1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货3吨，4吨．（2）由题意可得：3a+4b=31，
∴b=313a
4
-
．
∵a，b均为整数，
∴有
1
7
a
b
=
⎧
⎨
=
⎩
、
5
4
a
b
=
⎧
⎨
=
⎩
和
9
1
a
b
=
⎧
⎨
=
⎩
三种情况．
故共有三种租车方案，分别为：①A型车1辆，B型车7辆；
②A型车5辆，B型车4辆；③A型车9辆，B型车1辆．
变式1-2（2019·贵港市期末）某中学组织学生春游，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满，已知45座客车每日每辆租金为220元，60座客车每日每辆租金为300元．试问：
（1）春游学生共多少人，原计划租45座客车多少辆？
（2）若租用同一种车，要使每位同学都有座位，怎样租车更合算．
【答案】（1）春游学生共240人，原计划租45座客车5辆；（2）租用4辆60座客车更合算．
【详解】
解：（1）设参加春游的学生共x人，原计划租用45座客车y辆．
根据题意，得
()4515601y x y x +⎧⎨-⎩
＝＝， 解这个方程组，得
2405x y ⎧⎨⎩
＝＝． 答：春游学生共240人，原计划租45座客车5辆；
（2）租45座客车：240÷45≈5.3（辆），所以需租6辆，租金为220×
6=1320（元）， 租60座客车：240÷
60=4（辆），所以需租4辆，租金为300×4=1200（元）． 答：租用4辆60座客车更合算．
题型二 二元一次方程组的应用 – 行程问题
典例2（2018·广州市期末）从甲地到乙地的路有一段上坡与一段平路，如果保持上坡每小时走3km ，平路每小时走4km ，下坡每小时走5km ，那么从甲地到乙地用54分钟，从乙地到甲地用42分钟，甲地到乙地的全程是多少．
【答案】3.1
【详解】
解：设从甲地到乙地的上坡路为xkm ，平路为ykm ， 依题意得543460424560
x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 解之得 1.51.6
x y =⎧⎨=⎩， ∴x+y=3.1km ，
答：甲地到乙地的全程是3.1km ．
变式2-1（2020·辉县市期中）一列快车长230米，一列慢车长220米，若两车同向而行，快车从追上慢车时开始到离开慢车，需90秒钟；若两车相向而行，快车从与慢车相遇时到离开慢车，只需18秒钟，问快车和慢车的速度各是多少？
【答案】快车的速度是15米/秒，慢车的速度是10米/秒.
【详解】
设快车的速度是x 米/秒，慢车的速度是y 米/秒，
90902202301818220230x y x y -=+⎧⎨+=+⎩
， 解得1510
x y =⎧⎨=⎩，
答：快车的速度是15米/秒，慢车的速度是10米/秒.
变式2-2（2019·许昌市期末）为提高学生综合素质，亲近自然，励志青春，某学校组织学生举行“远足研学”活动，先以每小时6千米的速度走平路，后又以每小时3千米的速度上坡，共用了3小时；原路返回时，以每小时5千米的速度下坡，又以每小时4千米的速度走平路，共用了4小时，问平路和坡路各有多远. 【答案】平路有
443千米，坡路有53
千米 【详解】
解：设平路有x 千米，坡路有y 千米. 由题意可知 363445x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 解得44353x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
答：平路有443千米，坡路有53
千米 题型三 二元一次方程组的应用 – 工程问题
典例3（2020·甘南县期中）一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元，若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元，问：
(1)甲，乙两组工作一天，商店各应付多少钱?
(2)已知甲单独完成需12天，乙单独完成需24天，单独请哪个组，商店所需费用最少?
(3)若装修完后，商店每天可贏利200元，你认为如何安排施工更有利于商店?请你帮助商店决策.(可用(1)(2)问的条件及结论)
【答案】（1）甲、乙两组工作一天，商店各应付300元和140元；（2）单独请乙组需要的费用少；（3）甲乙合作施工更有利于商店.
【详解】
解：(1)设：甲组工作一天商店应付x 元，乙组工作一天商店付y 元.
由题意得：
883520 6123480
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
解得：
300
140 x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
答：甲、乙两组工作一天，商店各应付300元和140元
(2)单独请甲组需要的费用：300×12=3600元.
单独请乙组需要的费用：24×140=3360元.
答：单独请乙组需要的费用少.
(3)请两组同时装修，理由：
甲单独做，需费用3600元，少赢利200×12=2400元，相当于损失6000元；
乙单独做，需费用3360元，少赢利200X24=4800元，相当于损失8160元；
甲乙合作，需费用3520元，少赢利200×8=1600元，相当于损失5120元；
因为5120<6000<8160，所以甲乙合作损失费用最少，
答：甲乙合作施工更有利于商店.
变式3-1（2020·成都市期末）某汽车制造厂生产一款电动汽车，计划一个月生产200辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人，他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车．
（1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？
（2）若工厂现在有熟练工人30人，求还需要招聘多少新工人才能完成一个月的生产计划？
【答案】（1）每名熟练工每月可以按装4辆电动汽车，每名新工人每月可以按装2辆电动汽车；（2）40名
【详解】
解：（1）设每名熟练工每月可以按装x辆电动汽车，每名新工人每月可以按装y辆电动汽车，
依题意，得：
28 2314 x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，
解得：
4
2 x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
．
答：每名熟练工每月可以按装4辆电动汽车，每名新工人每月可以按装2辆电动汽车．（2）设还需要招聘m名新工人才能完成一个月的生产计划，
依题意，得：4×30+2m＝200，
解得：m＝40．
答：还需要招聘40名新工人才能完成一个月的生产计划．
变式3-2（2019·成都市期末）某工程队承包了某标段全长1755米的过江隧道施工任务，甲、乙两个班组分别从东、西两端同时掘进．已知甲组比乙组平均每天多掘进0．6米，经过5天施工，两组共掘进了45米．
（1）求甲、乙两个班组平均每天各掘进多少米?
（2）为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲组平均每天能比原来多掘进0．2米，乙组平均每天能比原来多掘进0．3米．按此旄工进度，能够比原来少用多少天完成任务?
【答案】（1）甲班组平均每天掘进4.8米，乙班组平均每天掘进4.2米；
（2）少用10天完成任务．
【详解】
（1）设甲、乙班组平均每天掘进x米，y米，
得
x-y=0.6
{
5x+y=45
（）
，解得
x=4.8
{
y=4.2
．
∴甲班组平均每天掘进4.8米，乙班组平均每天掘进4.2米．
（2）设按原来的施工进度和改进施工技术后的进度分别还需a天，b天完成任务，则
a=（1755﹣45）÷（4.8+4.2）=190（天）
b=（1755﹣45）÷（4.8+0.2+4.2+0.3）=180（天）
∴a﹣b=10（天）
∴少用10天完成任务．
题型四二元一次方程组的应用–数字问题
典例4（2019·靖远县期末）一个两位数，个位数字与十位数字的和为8，个位数字与十位数字互换位置后，所得的两位数比原两位数小18，则原两位数是多少？
【答案】原两位数是53．
【详解】
解：设原两位数的个位数字为x ，十位数字为y ，
根据题意得：()8101018x y y x x y +=⎧⎨+-+=⎩
解得：35x y =⎧⎨=⎩ ∴10y+x ＝53．
答：原两位数是53．
变式4-1（2020·海淀区期末）小明和小亮做加减法游戏，小明在一个加数后面多写了一个0，得到的和为242，而小亮在另一个加数后面多写了一个0，得到的和为341。

原来两个加数是多少？
【答案】21,32;
【解析】
设一个加数为x ，另一个加数为y ．
根据题意得1024210341x y x y +⎧⎨+⎩＝＝ 解得2132x y ⎧⎨⎩
＝＝． 答：原来两个加数分别是21，32．
变式4-2（2020·阳谷县期中）列二元一次方程组解应用题.
已知一个两位数，它的十位上的数字与个位上的数字的和为12，•若对调个位与十位上的数字，得到的新数比原数小18，求原来的两位数．
【答案】原来的两位数为75.
【解析】
设个位数字为,十位数字为
. 根据题意得：()()12
{101018
x y y x x y +=+-+= 解得: 5
{7x y ==
答：原来的两位数为75.
题型五 二元一次方程组的应用 – 年龄问题
典例5（2019·南阳市期中）一名34岁的男子带着他的两个孩子一同进行晨跑，下面是两个孩子与记者的对话：
根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出哥哥和妹妹的年龄．
【答案】妹妹的年龄是6岁，哥哥的年龄是10岁．
【详解】
解：设妹妹的年龄是x 岁，哥哥的年龄是y 岁，
依题意，得：63(2)(2)342x y x y +=⎧⎨+++=+⎩
， 解得： 610
x y =⎧⎨=⎩．
答：妹妹的年龄是6岁，哥哥的年龄是10岁．
变式5-1（2020·江北市期末）4月9日上午8时，2017 徐州国际马拉松赛鸣枪开跑，一名
岁的男子带着他的两个孩子一同参加了比赛，下面是两个孩子与记者的对话：
根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出哥哥和妹妹的年龄.
【答案】今年妹妹6岁，哥哥10岁．
【详解】
试题分析：设今年妹妹的年龄为x 岁，哥哥的年龄为y 岁，根据两个孩子的对话，即可得出关于x 、y 的二元一次方程组，解之即可得出结论．
试题解析：设今年妹妹的年龄为x 岁，哥哥的年龄为y 岁，
根据题意得：
()()16322342x y x y +=⎧⎨+++=+⎩
解得：610x y =⎧⎨=⎩ ． 答：今年妹妹6岁，哥哥10岁．
变式5-2（2019·绍兴市期末）师生对话，师：我像你这么大的时候，你才1岁，你到我这样大的时候，我已经40岁了，问老师和学生现在各几岁？
【答案】老师和学生现在的年龄分别为27岁和14岁
【详解】
设老师的年龄是x 岁，学生的年龄是y 岁，由题意得：根据题意列方程组得：
140x y y x x y --⎧⎨+-⎩＝＝，解得2714x y ⎧⎨⎩＝＝
． 答：老师和学生现在的年龄分别为27岁和14岁．
题型六 二元一次方程组的应用 – 分配问题
典例6（2020·许昌市期末）某校的大学生自愿者参与服务工作,计划组织全校自愿者统一乘车去某地．若单独调配36座客车若干辆,则空出6个座位,若只调配22座客车若干辆,则用车数量将增加3辆,并有12人没有座位．
(1)计划调配36座客车多少辆?该大学共有多少名自愿者?(列方程组解答)
(2)若同时调配36座和22座两种车型,既保证每人有座,又保证每车不空座,则两种车型各需多少辆?
【答案】（1）计划调配36座客车6辆，该大学共有210名自愿者；（2）需调配36座新能源客车4辆，22座新能源客车3辆
【详解】
解：（1）设计划调配36座新能源客车x 辆，该大学共有y 名自愿者，则根据题意得 36622(3)12x y x y -=⎧⎨++=⎩，解得：6210
x y =⎧⎨=⎩. 答：计划调配36座新能源客车6辆，该大学共有210名自愿者。

（2）设需调配36座新能源客车m 辆，22座新能源客车n 辆，根据题意得
3622210m n +=，∴1051811
m n -=. 又∵m n 、为正整数，∴43m n =⎧⎨=⎩
. 答：需调配36座新能源客车4辆，22座新能源客车3辆。

变式6-1（2020·宁波市期中）某铁件加工厂用如图所示的长方形和正方形铁片(长方形的宽与正方形的边长相等)加工成如图．所示的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器．(加工时接缝材料不计)
(1)如果加工竖式铁容器与横式铁容器各 1 个，则共需要长方形铁片 张，正方形铁片 张．
(2)现 有长方形铁片 2017 张，正方形铁片 1178 张，如果加工成这两种铁容器，刚好铁片全部用完，那加工的竖式铁容器、横式铁容器各有多少个？
(3)把长方体铁容器加盖可以加工成为铁盒．现用 35 张铁板做成长方形铁片和正方形铁片，已知每张铁板可做成 3 个长方形铁片或 4 个正方形铁片，也可以将一张铁板裁出 1 个长方形铁片和 2 个正方形铁片．若充分利用这些铁板加工成铁盒，则最多可以加工成多少个铁盒？
【答案】（1）7，3 （2）加工的竖式铁容器有100个，横式铁容器各有539个 （3）最多可加工铁盒19个
【详解】
（1）如图，加工1个竖式铁容器需要长方形铁片4张，正方形铁片1 张；加工1个横式铁容器需要长方形铁片3张，正方形铁片2 张．
故如果加工竖式铁容器与横式铁容器各 1 个，则共需要长方形铁片7张，正方形铁片3 张．
（2）设加工的竖式铁容器有x 个，横式铁容器各有y 个，由题意得
43201721178x y x y +=⎧⎨+=⎩解得100539x y =⎧⎨=⎩
故加工的竖式铁容器有100个，横式铁容器各有539个．
（3）设做长方形铁片的铁板m 张，做正方形铁片的铁板n 张，由题意得
35324m n m n +=⎧⎨=⨯⎩解得525116
911m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
∴在这35张铁板中，25张做长方形铁片可做25375⨯=（片），9张做正方形铁片可做9436⨯=（片），剩1张可裁出1个长方形铁片和2个正方形铁片
共可做长方形铁片75+176=（片），正方形铁片36238+=（片）
∴可做铁盒76419÷=（个）
答：最多可加工铁盒19个．
变式6-2（2019·泉州市期中）根据小敏、小聪、小东、小强四人的对话内容，请你设计一下，分别安排多少立方米木料做桌面，多少立方米木料做桌腿，才能使得生产出来的桌面和桌腿及库存的桌腿恰好全部配套？
【答案】应安排3.5立方米木料做桌面，2立方米木料做桌腿，才能使得生产出来的桌面和桌腿及库存的桌腿恰好全部配套．
【详解】
解：设安排x 立方米木料做桌面，y 立方米木料做桌腿，依题意得：
5.5450300100x y x y +=⎧⎨⨯=+⎩，解得： 3.52
x y =⎧⎨=⎩. 答：应安排3.5立方米木料做桌面，2立方米木料做桌腿，才能使得生产出来的桌面和桌腿及库存的桌腿恰好全部配套．
题型七 二元一次方程组的应用 – 销售、利润问题
典例7（2019·绍兴市期中）现有A，B两种商品，买2件A商品和1件B商品用了90元，买3件A商品和2件B商品用了160元．求A，B两种商品每件各是多少元？
【答案】A种商品每件20元，B种商品每件50元；
【详解】
解：设A商品1件x元，B商品1件y元，
由题意得：
290
32160
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，解得：
20
50
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
，
答：A种商品每件20元，B种商品每件50元；
变式7-1（2020·锦州市期末）某校组织“大手拉小手，义卖献爱心”活动，计划购买黑白两种颜色的文化衫进行手绘设计后出售，并将所获利润全部捐给山区困难孩子．已知该学校从批发市场花4800元购买了黑白两种颜色的文化衫200件，每件文化衫的批发价及手绘后的零售价如表：
(1)学校购进黑.白文化衫各几件？
(2)通过手绘设计后全部售出，求该校这次义卖活动所获利润．
【答案】(1)学校购进黑文化衫160件，白文化衫40件；(2)该校这次义卖活动共获得3800元利润．
（2）根据总利润=每件利润×数量，即可求出结论．
【详解】
解：(1)设学校购进黑文化衫x件，白文化衫y件，
依题意，得：
200
25204800
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，解得：
160
40
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
．
答：学校购进黑文化衫160件，白文化衫40件．(2)(45-25)×160+(35-20)×40＝3800(元)．
答：该校这次义卖活动共获得3800元利润．
变式7-2（2019·嘉兴市期中）随着中国传统节日“端午节”的临近，东方红商场决定开展“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，对部分品牌粽子进行打折销售，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折，已知打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需600元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元．
（1）打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元？
（2）阳光敬老院需购买甲品牌粽子80盒，乙品牌粽子100盒，问打折后购买这批粽子比不打折节省了多少钱？
【答案】（1）打折前甲品牌粽子每盒70元，乙品牌粽子每盒80元．（2）打折后购买这批粽子比不打折节省了3120元．
【解析】
1）设打折前甲品牌粽子每盒x 元，乙品牌粽子每盒y 元，
根据题意得：
63600500.8400.755200x y x y +⎧⎨⨯+⨯⎩＝＝，解得：40120x y ⎧⎨⎩
＝＝． 答：打折前甲品牌粽子每盒40元，乙品牌粽子每盒120元．
（2）80×
40+100×120-80×0.8×40-100×0.75×120=3640（元）． 答：打折后购买这批粽子比不打折节省了3640元．
题型八 二元一次方程组的应用 – 和差倍分问题
典例8（2019·泰安市期末）学校准备购进一批甲、乙两种办公桌若干张，并且每买1张办公桌必须买2把椅子，椅子每把100元，若学校购进20张甲种办公桌和15张乙种办公桌共花费24000元；购买10张甲种办公桌比购买5张乙种办公桌多花费2000元．求甲、乙两种办公桌每张各多少元？
【答案】甲400元，乙600元
【详解】
解：设甲种办公桌每张x 元，乙种办公桌每张y 元，
根据题意，得：201570002400010510002000x y x y ++=⎧⎨-+=⎩
， 解得：400600
x y =⎧⎨=⎩， 答：甲种办公桌每张400元，乙种办公桌每张600元；
变式8-1（2018·鞍山市期末）某停车场的收费标准如下：小型汽车10元/辆，中型汽车15元/辆，现停车场共有50辆中、小型汽车，共缴纳停车费560元，中、小型汽车各有多少辆？
【答案】小型车有38辆，中型车有12辆
【详解】
解：设小型车有x 辆，中型车有y 辆，
根据题意得：
501015560x y x y +=⎧⎨+=⎩解得：3812x y =⎧⎨=⎩
， 答：小型车有38辆，中型车有12辆．
变式8-2（2019·烟台市期中）某快递公司有甲、乙两个仓库，各存有快件若干件，甲仓库发走80件后余下的快件数比乙仓库原有快件数的2倍少700件；乙仓库发走560件后剩余的快件数比甲仓库余下的快件数的15
还多210件．求甲、乙两个仓库原有快件各多少件． 【答案】甲仓库原有快件1480件、乙仓库原有快件1050件．
【详解】
解：设甲、乙两个仓库原有快件分别有x 件和y 件． 由题意8027001560(80)2105x y y x -=-⎧⎪⎨-=-+⎪⎩
，解得14801050x y =⎧⎨=⎩， 答：甲、乙两个仓库原有快件分别有1480件1050件.
题型九 二元一次方程组的应用 – 几何问题
典例9（2018·合肥市期中）“光明”中学为了改善校园建设，计划在长方形的校园中间修一个正方形的花坛，预计正方形花坛的边长比场地的长少10米，比它的宽少8米，并且场地的总面积比花坛的面积大116平方米，求长方形的长和宽．
【答案】长方形的长是12米，宽是10米
【详解】
设长方形的长和宽分别为x 米，y 米，根据题意得：
()()108108116x y xy x y -=-⎧⎨=--+⎩
解得12,10x y ==
答：长方形的长是12米，宽是10米．
变式9-1（2019·泉州市期末）如图，用10块相同的小长方形地砖拼成一个宽是60厘米的大长方形，用列方程或方程组的方法，求每块小长方形地砖的长和宽分别是多少厘米?
【答案】小长方的长为36cm ，小长方的宽为12cm ．
【详解】
解：设小长方形的长为xcm ，小长方的宽为ycm
依题意，得26023x y x x y +=⎧⎨=+⎩∴3612
x y =⎧⎨=⎩ 答：小长方的长为36cm ，小长方的宽为12cm ．
变式9-2（2020·渭南市期末）某居民小区为了绿化小区环境，建设和谐家园，准备将一块周长为76米的长方形空地，设计成长和宽分别相等的9块小长方形，如图所示，计划在空地上种上各种花卉，经市场预测，绿化每平方米空地造价210元，请计算，要完成这块绿化工程，预计花费多少元？
【答案】要完成这块绿化工程，预计花费75600元．
【详解】
设小长方形的长为x 米，宽为y 米，
由题意得，
522(22)76y x x x y =⎧⎨++=⎩，解得：104x y =⎧⎨=⎩
， 则大长方形的长为20米，宽为18米，面积为：20×
18=360平方米， 预计花费为：210×
360=75600(元)，
答：要完成这块绿化工程，预计花费75600元．
题型十二元一次方程组的应用–表格或图示问题
典例10（2019·长春市期末）五月份的第二个星期天是母亲节．如图，母亲节那天，很多同学给妈妈准备了鲜花和礼盒，根其图中提供信息，求每束鲜花和每个礼盒的价格．
【答案】每束鲜花12元，每个礼盒20元.
【详解】
解：设每束鲜花x元，每个礼盒y元.
依题意得
2384
3276
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
解这个方程组得
12
20
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
经检验，符合题意
答：每束鲜花12元，每个礼盒20元．
变式10-1（2018·南阳市期末）芳芳妈对家里的经济收支情况有记帐的好习惯．下表记录的是她家2018年第一季度水表、电表的读表数和所缴水电费的情况：
(1)请你根据表中提供的信息求出水、电的收费单价(即每吨水的收费标准和每度电的收费标准)；
(2)今年4月份芳芳家水表读数为574(吨)，电表读数为1340(度)，那么芳芳家本月水电费应缴多少元？
【答案】（1）水3.5元/吨，电0.8元/度；（2）84元
【详解】
(1)由图表可知，2月份的所用水：538-528=10吨；所用电为：1265-1235=30度；3月份的所用水：558-538=20吨；所用电为：1305-1265=40度；
设水x元/吨，电y元/度，
则
103059
2040102
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，解得：
3.5
0.8
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
；
答：水、电的收费单价分别是3.5元和0.8元；
(2) 4月芳芳家的水电费：(574558) 3.5(13401305)0.884
-⨯+-⨯=元，
答：4月芳芳家的水电费为84元．
变式10-2（2019·濮阳市期中）为鼓励居民节约用电，我市自2012年以来对家庭用电收费实行阶梯电价，即每月对每户居民的用电量分为三个档级收费，第一档为用电量在180千瓦时（含180千瓦时）以内的部分，执行基本价格；第二档为用电量在180千瓦时到450千瓦时（含450千瓦时）的部分，实行提高电价；第三档为用电量超出450千瓦时的部分，执行市场调节价格．我市一位同学家今年2月份用电330千瓦时，电费为213元，3月份用电240千瓦时，电费为150元．已知我市的一位居民今年4、5月份的家庭用电量分别为160和410千瓦时，请你依据该同学家的缴费情况，计算这位居民4、5月份的电费分别为多少元?
【答案】96，269.
【详解】
解：设基本电价为x元/千瓦时，提高电价为y元/千瓦时，
由题意得，
180150213
18060150
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，解得：
0.6
0.7
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
，
则四月份电费为：160×0.6=96（元），
五月份电费为：180×0.6+230×0.7=108+161=269（元）．
答：这位居民四月份的电费为96元，五月份的电费为269元．
题型十一二元一次方程组的应用–古代问题
典例11（2019·龙岩市期末）《九章算术》是中国古代数学专著，在数学上有其独到的成就，不仅最早提到了分数问题，也首先记录了“盈不足”等问题．如有一道阐述“盈不足”的问题，原文如下：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数、鸡价各几。