2020中考数学 压轴专题 动态几何之“双动点”问题(含答案)

2020中考数学 压轴专题 动态几何之“双动点”问题（含答案）

1. 已知，如图，在△ABC 中，已知AB =AC =5 cm ，BC =6 cm ．点P 从点B 出发，沿BA 方向匀速运动，

速度为1 cm /s ；同时，直线QD 从点C 出发，沿CB 方向匀速运动，速度为1 cm /s ，且QD ⊥BC ，与AC ，BC 分别交于点D ，Q ；当直线QD 停止运动时，点P 也停止运动．连接PQ ，设运动时间为t （0＜t ＜3）s ．解答下列问题： （1）当t 为何值时，PQ//AC ？

（2）设四边形APQD 的面积为y （cm 2），求y 与t 之间的函数关系式；

（3）是否存在某一时刻t ，使S 四边形APQD ：S △ABC =23：45？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．

第1题图

解：（1）当t s 时,PQ//AC ，

∵点P 从点B 出发，沿BA 方向匀速运动，速度为1 cm /s ；同时，直线QD 从点C 出发，沿CB 方向匀速运动，速度为1 cm /s ， ∴BP ＝t ，BQ ＝6−t ． ∵PQ//AC ， ∴△BPQ ∽△BAC ，

第1题解图

∴

C B Q B B A BP =，即665t t -=，解得t ＝11

30

s ． ∴当t 为

11

30

s 时，PQ//AC ；

（2）过点A 、P 作AN ⊥BC ，PM ⊥BC 于点N 、M ， ∵AB ＝AC ＝5cm ，BC ＝6cm ， ∴BN ＝CN ＝3cm ， ∴AN ＝

222235-=-BN AB ＝4cm ．

∵AN ⊥BC ，PM ⊥BC ， ∴△BPM ∽△BAN ， ∴

AN PM AB BP =

，即45PM t =，解得PM ＝t 5

4

， ∴S △BPQ ＝21BQ ·PM ＝21（6−t ）·t 5

4

＝t t 512522+-， ∵AB ＝AC ＝5cm ，AN=4cm ,CN=3cm ,DQ//AN , ∴△CDQ ∽△CAN ， ∴

CN CQ AN DQ =，即3

4t

DQ =，

∴DQ=

3

4

t , ∴S △CDQ ＝

21CQ ·DQ ＝32t 2． ∵S △ABC ＝

21BC ·AN =2

1

×6×4＝12， ∴y ＝S 四边形APQD ＝S △ABC −S △CDQ −S △BPQ ＝12−32t 2−（t t 512522+-）＝12−t t 5

12

1542-（0＜t ＜3）； （3）存在．

∵由（2）知，S 四边形APQD ＝S △ABC −S △CDQ −S △BPQ ＝12−21t 2−（t t 512522+-）＝12−t t 5

12

1542-，S △ABC ＝12， ∴

45

2312512

154122=-t t -，

解得t 1＝4114123-+

，t 2＝4114

123

--（舍去）． ∴当t ＝4114

123-+

s 时，S 四边形APQD ：S △ABC ＝23：45

．

2. 如图①，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，BC ＝6，点P 从点A 出发，沿折线AB −BC 向终点C 运

动，在AB 上以每秒5个单位长度的速度运动，在BC 上以每秒3个单位长度的速度运动，点Q 从点C 出发，沿CA 方向以每秒

3

4

个单位长度的速度运动，P 、Q 两点同时出发，当点P 停止时，点Q 也随之停止．设点P 运动的时间为t 秒．

（1）求线段AQ 的长；（用含t 的代数式表示）

（2）连接PQ ，当PQ 与△ABC 的一边平行时，求t 的值；

（3）如图②，过点P 作PE ⊥AC 于点E ，以PE ，EQ 为邻边作矩形PEQF ，点D 为AC 的中点，连接DF ．设矩形PEQF 与△ABC 重叠部分图形的面积为S ．

①当点Q 在线段CD 上运动时，求S 与t 之间的函数关系式；②直接写出DF 将矩形PEQF 分成两部分的面积比为1：2时t 的值．

第2题图

解：（1）在Rt △ABC 中，∵∠C ＝90°，AB ＝10，BC ＝6，由勾股定理得：AC ＝2222610-=-BC AB ＝

8，

∵点Q 在CA 上，以每秒

3

4

个单位移动， ∴CQ ＝

3

4t ， ∴AQ ＝AC -CQ =8−

3

4t ．

（2）∵P 点从AB -BC 总时间

3

6

510+=4s , ∵点P 在AB 或BC 上运动，点Q 在AC 上， ∴PQ 不可能与AC 平行， ①当点P 在AB 上，则PQ//BC ，

此时AC AQ AB AP =，即8

34810t 5t

-=，解得t =s 23; ②当点P 在BC 上,此时PQ//AB ，

∴CA CQ BC CP =，即4

6-3t 2368

t

-=（），解得t ＝3s ， 综上所述，t ＝

3

2

s 或3s 时，PQ 与△ABC 的一边平行； （3）①∵点D 是AC 的中点， ∴CD=4，当点Q 运动到点D 时，

t 3

4

＝4，解得t ＝3， 点Q 与点E 重合时，

t 316＝AC ＝8，得t ＝2

3

，分三种情况讨论如下： （i ）点Q 与点E 重合时，316t ＝AC ＝8，得t ＝23，当0≤t ≤2

3

，此时矩形PEQF 在△ABC 内，如解图①所示，

∵AP ＝5t ，易得AE ＝4t ，PE ＝3t ，∴EQ ＝AQ －AE ＝8－

34t －4t ＝8－3

16

t ， ∴S ＝PE ×EQ ＝3t （8－

3

16

t ）＝－16t ２＋24t ；

第２题解图