高等流体力学讲义
高等计算流体力学讲义(3)
高等计算流体力学讲义（3）§2 Riemann 问题1．预备知识：Euler 方程解的结构我们讨论Euler 方程解的结构。
在上一节，我们已经得到，在均熵流动条件下，有const R =±，沿au dt dx±= （1） 其中 a u R 12-±=±γ。
且全场 S const =。
（2）在这种情况下，Euler 方程的光滑解有如下几种可能。
1）在求解域中，Riemann 不变量a u R 12-±=±γ均不为常数。
这是最一般的情况，Euler 方程的解比较复杂，通常无解析解。
2）均匀流：Riemann 不变量a u R 12-±=±γ均为常数。
此时，令R R ±±=， 有：0000()/21()4u R R a R R γ+-+-=+-=-，可见，此时流动是均匀的。
3）简单波：有一个Riemann 不变量在某区域内为常数（00R R or R R ++--==）。
以0R R ++=的情况为例。
此时021R u a R γ++=+=-。
（3） 且沿dxu a dt=-，有 21u a const γ-=-。
这个常数具体的数值与特征线的起点有关。
由此我们知道，沿dxu a dt=-，有00()/21()4u R const a R const γ++=+-=-。
这说明，沿dxu a dt=-，u 和a 均为常数，即特征线是直线。
由均熵条件，密度ρ和压力p 沿特征线dx u a dt =-也为常数。
参见上图，由于u a u -<，所以流线dx u dt=（或流体质点）从左侧穿过特征线dxu a dt=-，这种简单波称为左简单波或向后简单波。
简单波可以分为压缩波和稀疏波（膨胀波）两类。
设流线与dxu a dt=-交点处，流线的切线方向为ξ 。
把（3）式沿ξ求方向导数，得：201u a ξγξ∂∂+=∂-∂ 当0uξ∂>∂，有()0,0,0,0a p u c ρξξξξ∂∂∂∂-<<<>∂∂∂∂。
高等流体力学讲义课件_第四章二维势流4.4
l 4c
翼型厚度
t
dy 2 4 0 sin 2 1 cos cos 0 cos 2 cos 0, , d 3 3
0 y 0 ，是为翼型后沿最小厚度；
2 4 , 3 3 y 3 3 c 2
， 是为翼型最厚处 y 坐标；
W U (e
i
c2
ei ) 2
i 1 2
圆柱表面
cei
i c 2 i 2i i ei i i i W U e 2 e e Ue Ue i e c 2 c 2 c i i i 2iU sin e u iu e R 2 c
4.17 圆弧翼型
平面偏心圆变换为 z 平面圆弧翼型
z
22 2
1
h
2c
2
1
l
21 2
2c
m
a
c
2
c
2
ζ 平面圆心在 ζ=im .
由茹柯夫斯基变换性质知， z 平面 z 2c 点将分别对应于 平面的 c ， 且 z 平面上一点与 2c 点连线的夹角是 平面上相应点与 c 点连线夹角的两 倍。 设 平面实轴上部圆弧上的一点 映射为 z 平面实轴以上半平面内的点 z ，则 z 与 2c 连线夹角应为 21 2 ，为常数，因此 平面上部该段圆弧变换 为 z 平面上的一段圆弧。 设 平面实轴下部圆弧上的一点映射为 z 平面实轴以下半平面内的 z 点，则该 点与 2c 连线夹角应为 22 2 ，为常数，可见 平面下部此段圆弧变 换为 z 平面上的同一段圆弧。
高等流体力学讲义二维势流
在不可压缩流体条件下Φ满足拉普拉斯方程
势流基本方程组
2Φ = 0 Φ + p + 1 Φ Φ + gz = f(t) t ρ 2
边界条件
在静止固壁上 ，
Φ = 0 n
无穷远处， r , u u
势流方程组与一般理想不可压缩流动方程组相比在数学上有了较大旳简化：
•后者有四个方程，而前者只有两个方程。
ln
z
-
z0
点汇
以－m 替代 m 就得到点汇旳复位势，
F(z) -m ln z 2π
或
F( z )
-m 2π
ln
z
-
z0
4.4 点源（汇）和点涡
点涡：势函数 流函数
F(z) ic ln z ic ln(Reiθ )
cθ ic ln R
Φ = c θ Ψ = - c ln R 等势线 c ， 从圆点出发旳射线族； 流线 R＝c， 同心圆族。
点源： 速度场
4.4 点源（汇）和点涡
W(z) =
dF dz
=
c z
=
c R
e-iθ
=
uR
-i
uθ
e-iθ
uR
=
c R
uθ = 0
可看作在原点有一点源释放流体向四面均匀流出，速度只有R方向分量，离 开原点愈远速度愈小。根据连续方程，经过每个同心圆旳流体流量相等。
原点是奇点，速度无穷大 R 0, uR
F(z)=Φ+ iψ
z= x + i y F(z) 旳实数部分是速度势函数Φ，虚数部分是流函数Ψ。 Φ,Ψ 满足柯西－黎曼条件，根据复变函数理论，F(Z) 是解析函数。
高等流体力学讲义6
——源或汇的单位强度
（2）无涡条件中的奇点 流线呈圆周形的流动统称为涡。流线为同心圆周，而流速与半径成反比， 质点没有旋转（中心点除外）的流动称为自由涡流（Free Vortex）。 自由涡流的流速分布可表示为，
u
, wz 0 2r
流速势
流函数 得流速分量
Ax 2 y 2
2 Axy
u=2Ax. V= -2Ay
V u 2 v2 2 A r
2
(原点为驻点 )
流线方程式
dy v y dx u x
xy=const
任意拐角绕流
对于边界任意角α的平面势流，其流速势及流函数可用极坐标表示为
Ar 2 cos Ar n cos n
（ii）求流函数——Dirichlet问题
（iii）求复势W（z）函数
有势流动中的奇点 不可压缩流体有势流动的两个基本条件是各点流速的散度为零， 各处涡量为零。 其中一个条件被破坏的点或线称为奇点或奇线 （1）连续条件中的奇点· 源和汇 m r 流速矢量V=gradφ与 φ=const的表面垂直，流动系径向流动，
通过停滞点的流线为
Vr sin
Q Q 2 2
则
Q 2 r V sin
——半体外形的公式
均匀流和源及汇的叠加 均匀流上叠加一个源，得半体的绕流。如在半体尾部再加一个汇，则可得
Rankine体的绕流。 设源位于x=－α处，汇位于x=+α处。流场任一点p到源的矢径为r1， 极角为θ1 ；到汇的矢径为r2，极角为θ2 ，则叠加后的流函数为
2
2
( )
γ
的流速势 si
高等流体力学 讲义
0.01775
式中水温t /s计 式中水温t以°C计，ν以cm2/s计
前进
牛顿流体与非牛顿流 （3）牛顿流体与非牛顿流体 一般把符合牛顿内摩擦定律的流体称为牛顿流 一般把符合牛顿内摩擦定律的流体称为牛顿流体（属于水力学 研究的范畴），反之称为非牛顿流体（属于流变学研究的范畴）。 研究的范畴），反之称为非牛顿流体（属于流变学研究的范畴）。 ），反之称为非牛顿流体 A线为牛顿流体，当流体种类一定、温 线为牛顿流体，当流体种类一定、
前进
Hale Waihona Puke 绪 论主要内容： 主要内容：
气体、 气体、液体和固体 连续介质 作用于流体上的力 流体的传递特性 液体的表面特性 边界条件
前进 结束
固体、液体、 固体、液体、气体
固体：具有固定的形状和体积。 ◆宏观状态的不同 固体：具有固定的形状和体积。 液体：具有固定的体积，没有固定的形状。 液体：具有固定的体积，没有固定的形状。 气体：没有固定的形状和体积。 气体：没有固定的形状和体积。 凝聚态
根据理论力学（ 根据理论力学（Shamed,1966）得 ）
M z = I z a z + ω xω y ( I y − I x )
式中:Mz为各作用力对 轴的力矩；Ix、Iy、Iz为隔离体对 为各作用力对z轴的力矩 为隔离体对x,y,z 式中 为各作用力对 轴的力矩； 为隔离体对 轴的惯性矩； 为隔离体的角加速度在 方向分量； 和 为隔离体的角加速度在z方向分量 轴的惯性矩；az为隔离体的角加速度在 方向分量；ωx和ωy 为隔离体角速度在x和 轴的分量 轴的分量。 为隔离体角速度在 和y轴的分量。
以δxδyδz 除之,上式可简化成 除之 上式可简化成
(δx) 2 + (δy ) 2 (δx) 2 + (δy ) 2 τ xy − τ yx = ρ az + ρω xω y 12 12
高等计算流体力学讲义(1)
(8)
∂φ ∂φ ∂ 2φ ∂ 2φ ∂ 2φ ∂ 2φ = ξ xx + η xx + ξ x [ 2 ξ x + ηx ] +ηx[ ξx + 2 ηx ] ∂ξ ∂η ∂ξ ∂ξ∂η ∂ξ∂η ∂η ∂φ ∂φ ∂ 2φ ∂ 2φ ∂ 2φ 2 = ξ xx + η xx + 2 (ξ x ) + 2 ξ xη x + 2 (η x ) 2 ∂ξ ∂η ∂ξ ∂ξ∂η ∂η
2、度量系数及其计算方法
在导数的坐标变换公式中涉及到下列坐标变换系数： ξ x , ξ y ,η x ,η y 。这些系数 称为坐标变换公式(5)对应的度量系数（metrics）。我们看到，为了求解计算平 面中的偏微分方程，如(9)式，必须确定度量系数（有时还包括 ξ xx , ξ xy , ξ yy ,η xx ,η xy ,η yy 等）的离散值。那么，这些度量系数如何计算呢？由于一 般情况下，我们只知道坐标变换关系(5)、(6)的离散表达式，度量系数一般也要 通过有限差分方法近似计算。但是，直接构造 ξ x , ξ y ,η x ,η y 的差分近似是不容易 的。以 ξ x 为例，根据偏导数的意义， ξ x 为 y 保持不变时 ξ 随 x 的变化，如图 2 所示，网格点 P 处的 ξ x 的计算公式应为：
不计质量力的情况下，在直角坐标系中，守恒型 N－S 方程可以写为下列 向量形式： ∂U ∂ ( F − Fv ) ∂ (G − G v ) ∂ ( H − H v ) + + + =0， (1) ∂t ∂x ∂y ∂z 其中
ρu ρv ρw ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 ⎜ ρu + p ⎟ ⎜ ρ vu ⎟ ⎜ ρ uw ⎟ F = ⎜ ρ uv ⎟ G = ⎜ ρ v 2 + p ⎟ H = ⎜ ρ vw ⎟ ， ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 ⎜ ρ uw ⎟ ⎜ ρ vw ⎟ ⎜ ρw + p ⎟ ⎜ ( ρ E + p)u ⎟ ⎜ ( ρ E + p )v ⎟ ⎜ ( ρ E + p) w ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 0 ⎛ ⎞ 0 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ τ xy τ xx ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ τ ⎜ ⎟ τ xy yy G = Fv = ⎜ v ⎜ ⎟， ⎟ τ τ yz xz ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ T ∂ ∂T ⎜ uτ xy + vτ yy + wτ yz + k ⎟ ⎜ uτ xx + vτ xy + wτ xz + k ⎟ ∂y ⎠ ∂x ⎠ ⎝ ⎝ 0 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ τ xz ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ τ zy Hv = ⎜ ⎟。 τ zz ⎜ ⎟ ⎜ ∂T ⎟ ⎜ uτ xz + vτ zy + wτ zz + k ⎟ ∂z ⎠ ⎝ 如果忽略 N－S 方程中的粘性和热传导，得到的简化方程为 Euler 方程：
高等流体力学：01第1讲_绪论
Reynolds O. 1895. On the dynamical theory of incompressible viscous fluids and determination of the criterion. Philos. Trans. R. Soc. 186: 123-164
普朗特
33
1883年《在平行槽道中，决定水流为直线或弯曲运动的条 件以及阻力定律的实验研究》，以实验表明流动分为层流 与湍流两种形态，提出以无量纲数Re作为判据
1895年《关于不可压缩粘性流体的动力学理论和准则的确 定》，在湍流中引入平均量和脉动量，以及有关雷诺应力 的概念．
Reynolds O. 1883. An experimental investigation of the circumstances which determine whether the motion of water in parallel channels shall be direct or sinuous and of the law of resistance in parallel channels. Philos. Trans. R. Soc. 174: 935-982
高等流体力学 讲义
•按短程力的作用方向分 按短程力的作用方向分
法向应力 σnn 切向应力 τnt
σ xx τ xy τ xz − − x平面上的应力 τ yx σ yy τ yz − − y平面上的应力 τ zx τ zy σ zz − − z平面上的应力
返回
δxδyδz
6
aN
现让四面体在维持原有形状下无限缩小，趋近于 点为极限 点为极限。 现让四面体在维持原有形状下无限缩小，趋近于O点为极限。 则，
σ NN = σ xxl 2 + σ yy m2 + σ zz n 2 + 2τ xylm + 2τ yz mn +上的法向应力之和不随坐标的旋转而
单位面积上的内摩擦力 H
u y
U
流速梯度
du dy
实验表明，内摩擦应力（粘滞应力） 实验表明，内摩擦应力（粘滞应力） τ ∝ 牛顿内擦定律
τ =η
du dy
动力粘度， 动力粘度，简称粘 度
作层流运动的液体， 作层流运动的液体，相邻液层间单位面积上所作用的 内摩擦力与流速梯度成正比，同时与液体的性质有关。 内摩擦力与流速梯度成正比，同时与液体的性质有关。
根据理论力学（ 根据理论力学（Shamed,1966）得 ）
M z = I z a z + ω xω y ( I y − I x )
式中:Mz为各作用力对 轴的力矩；Ix、Iy、Iz为隔离体对 为各作用力对z轴的力矩 为隔离体对x,y,z 式中 为各作用力对 轴的力矩； 为隔离体对 轴的惯性矩； 为隔离体的角加速度在 方向分量； 和 为隔离体的角加速度在z方向分量 轴的惯性矩；az为隔离体的角加速度在 方向分量；ωx和ωy 为隔离体角速度在x和 轴的分量 轴的分量。 为隔离体角速度在 和y轴的分量。
高等流体力学第二部分讲义
p y
dxdydz
z方向，微元流体所受合压力
C
D.Βιβλιοθήκη NBp zdxdydz
微元流体所受合压力
A ZY
∂p ∂p ∂p
X
- ( ∂xi + ∂yj+ ∂zk)dxdydz
G
H
.M
.
OF
E
第二章 流体静力学
2、微元体所受的质量力：
F=F i +F j+F k=(Xi +Yj+Zk)ρdxdydz
绝对真空
则：绝对压强=相对压强＋大气压强 p´=p+pa
第二章 流体静力学
绝对压强总是≥0，但相对压强不一定。若某流体
点处在B点，从图可知，B点相对压强为负。
pv=pa- p´
p
2、压强的度量单位
（1） 以压强的基本定义出
A.
. A点相对压强 大气压强pa
B
真空度
发即单位面积上的压力，单位 A点绝对压强 B点绝对压强 绝对真空
hD hC h
o α
a y
左侧受水压力，水面大 气压强为pa，在平板表面所在 y b 的平面上建立坐标，原点o取在平板
. .dA C
.
yC yD
x
D
表面与液面的交线上，ox轴与交线重合，oy轴沿平
板向下。
第二章 流体静力学
则微元面dA所受压强p=γh
压力dP=pdA=γhdA=γysinαdA
整个平面由无数dA组成， 则整个平板所受水静压力 由dP求和得到。
第二章 流体静力学
第五节 压强的计算基准和度量单位
1、 计算基准
（1) 绝对压强：
以无一点气体存在的绝对真空为零点起算的压
高等流体力学讲义流体力学基本方程(课堂PPT)
.
10
2.2 动量守恒定理
守恒形式的动量方程
D p v D n V tn v σ u d , v n vσ S p d nS d s V σ f d d V v
S
V
V ( tu v ) u v u v d v V σ d v Vf v d v
.
6
2.2 动量守恒定理
.
7
2.2 动量守恒定理
积分形式的动量方程
系统中流体动量的变化率等于作用在该系统上的质量力和表面力之和。
系统的动量， 作用在系统上的质量力
Vu dv Vf dv
作用在系统上的表面力
pnds S
由动量定理得积分形式的动量方程
D DV tu d vS p nd sV f dv
高斯定理
S u v p v n d s S u v n v σ d s S n v σ u v d s V σ u r d v
nqds qdv
S
V
D e 1 u u d v σ u d v u f d v q dv
一个确定的流体团也可看作一个热力学系统，流体质 点总在流动中，设该系统偏离平衡态不远：系统总能量 的变化率（包括内能和动能）等于外力对系统的作功功 率与通过导热向系统的传热功率之和。
.
13
2.3 能量方程
积分形式的能量守恒方程
任取流动系统体积V，外表面S，表面外法线单位矢量为 n
系统总能量， e1uudv， e 为单位质量流体的内能； V 2
D 0
Dt
上述定义并不要求这个流体质点与
另一个流体质点的密度相等，即不
高等流体力学讲义课件-流体力学基本概念
和对流导数联系起来。
1.2 欧拉和拉格朗日参考系
例1. 拉格朗日变数 (x0,y0,z0) 给出的流体运动规律为 x x0e2t , y y0 (1 t)2 ,
z z0e2t (1 t)2
1) 求以欧拉变数描述的速度场； 2) 问流动是否定常； 3) 求加速度。
解: 1) 设速度场的三个分量是 u, v, w
t
d
CV
undA
CS
CV
t
d
undA
CS
D Dt
V dV
V [ t
(u)]dV
D
Dt
dV
V
V
[ tห้องสมุดไป่ตู้
（ xk
uk
)]dV
高斯公式，
undA (u)dV
CS
CV
1 . 3 雷诺输运定理
例2. 一流场中流体的密度为 1,速度分布为 u ax, v ay, w 2az
t t 时刻， (x x, y y, z z,t t)
泰勒级数展开，
(x x, y y, z z,t t)
(x, y, z,t) t x y z
t x
y
z
D lim 1 (x x, y y, z z,t t) (x, y, z,t)
(x, y, z,t) x(x0, y0, z0,t), y(x0, y0, z0,t), z(x0, y0, z0,t),t
D
x
x y
z
Dt
t x0 , y0 ,z0
t x t y t z t x,y,z
y , z ,t
x0 , y0 ,z0
x , z ,t
x0 , y0 ,z0
1.1 连续介质假说
高等流体力学讲义课件-流体力学基本概念共103页
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡学基本 概念
1、战鼓一响，法律无声。——英国 2、任何法律的根本；不，不成文法本 身就是 讲道理 ……法 律，也 ----即 明示道 理。— —爱·科 克
3、法律是最保险的头盔。——爱·科 克 4、一个国家如果纲纪不正，其国风一 定颓败 。—— 塞内加 5、法律不能使人人平等，但是在法律 面前人 人是平 等的。 ——波 洛克
高等计算流体力学讲义(4)
高等计算流体力学讲义（4）§5. Riemann 问题的近似求解器(Ⅰ)：HLL 方法一．Godunov 格式和Riemann 问题考虑下列Euler 方程：()0t x U F U += （1）要求在适当的初边值条件下求（1）式的数值解。
前面已经讲过，求解(1)式的显式格式可以写为：11221n ni i ii t U U F F x ++-∆⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦∆ （2） 在采用Godunov 格式时：()1122(0)i i F F U ++= （3）其中12(0)i U +是Riemann 问题的精确解12(/)i U x t +在/0x t =时的值。
而12(/)i U x t +是下列初值问题（Riemann 问题）的解：()00(,0)0t x LR U F U U ifx U x U ifx +=⎫⎪<⎧⎬=⎨⎪>⎩⎭（4）在采用零阶重构时：1,i L i R U U U U +== （5） 为了使以后的讨论适用于多维问题，我们考虑多维问题的x-分裂形式，即在（1）中，认为：2u u u p U F v uv E uH ρρρρρρρρ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+ ⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （6）（这里只考虑二维问题，但容易推广到三维问题）。
由于Riemann 问题须迭代求解计算量很大；而且一般的非线性双曲型守恒律的Riemann 问题可能不存在解析解，所以有必要发展Riemann 问题的近似解法。
近似解法可以分为两大类（1）在Riemann 问题的提法是准确的条件下求近似解；（2）求近似的Riemann 问题的精确解。
二．Riemann 问题的HLL 近似(Harten-Lax-van Leer)Harten 等提出，（4）式的解可以近似写为下列形式：(,)xtLL hll x t L Rx tRRU if D U x t U if D D U ifD ⎧≤⎪=≤≤⎨⎪≤⎩ （7）其中L D 、R D 是Riemann 问题的解中左波和右波运动速度的近似值。
高等流体力学讲义流体力学基本概念
dt
k V udV
F
D Dt
V
udV
1 . 3 雷诺输运定理
对系统体积分的随体导数
设 (r ,t)是单位体积流体的物理分布函数，而
体积内包含的总物理量，则
N V dv
是系统
DN Dt
D Dt
V dv
, u, 1 u u
2 N M (质量), k (总动量), G(总动能)
公式推导
系统和CV 在初始时刻 重合，CV固定不动
t
)
CSIII
u
ndA
DN d undA undA
Dt t CV
CS1
CSIII
CSIII
CS1 CSIII CS
DN d undA
Dt t CV
CS
CSI
I
dA1
t
n
II III
u
dA3
u
n
t t
1 . 3 雷诺输运定理
CSIII
物理意义
CSI
II III
DN d undA
n
1.1 连续介质假说
n为单位体积的分子数（特征微观尺度是分子自由程）， L为最小宏观尺度。
在通常温度和压强下，边长2微米的立方体中大约包含 2×108 个 气体分子或 2×1011 液体分子；在日常生活和工程中，绝大多数 场合均满足上述条件。 连续介质方法无论对气体和液体都适用。
1.1 连续介质假说
某一空间点上的流体速度随时间的变化，称当地导 数或局部导数。
拉格朗日参考系： u u(x0 , y0 , z0 , t)
u
t x0 , y0 ,z0
流体质点的速度随时间变化，即加速度。
高等计算流体力学讲义(5)
（15）
（14）式可以改写为：
ˆ Δu 1 uin +1 = uin − C i−
2
（16）
ˆ = C − D / r , r = Δu 1 Δ u 1 C i− i+
2
2
Harten 的 TVD 条件此时为：
1 O ≤ c[1 + ( β 0 − 1)ψ i − 1 + β1ψ i + 1 ] ≤ 1 2 2 r
2
2
（14）
C = c[α 0 + ( β 0 − α 0 )φ i − 1 ]
2
D = −c[α 1 + ( β 1 − α 1 )φ i − 1 ]
2
5
Δu i − 1 = u in − u in−1
2
Δu i + 1 = u in+1 − u in
2
由（14）式，我们希望选取适当的 α0、β0、φ，使得 TVD 条件（7）式得到满足，且格 式为二阶精度。
uin +1 = ∑ bk uin+ k
k = kl kr
（2）
是单调格式的充分必要条件是 ∀k ， bk ≥ 0 。 ★ Godunov 定理 5．保单调性 线性单调格式最多能达到一阶精度。
假定 ui 是单调的，如果通过（1）式得到的 ui
{ }
n
{ }具有与 {u } 相同的单调性，则说差
n +1 n i
f jn+1/ 2 = f jn−1/ 2
+1 un − un j j
a n 1 n (u j +1 + u n (u j +1 − u n j)− j) 2 2λ a n n = (u n (u n j + u j −1 ) − j − u j −1 ) 2 2λ
高等计算流体力学讲义(2)
⎧1 ⎪1 − x ⎪ u ( x, t ) = ⎨ ⎪1− t ⎪ ⎩0
参见图 1
x≤t t < x ≤1 x >1
u
t=1/2
t=1
5
即t → 1时
⎧1, x < 1 u ( x, t ) |t →1 = ⎨ ⎩0, x > 1
可见,对于非线性问题,即使初始值是连续的,其解仍然可能出现间断。 对于 Euler 方程， 其解的结构中可能出现激波或接触间断，此时，不存在古典意义下的解（古典解要求解是充 分光滑的） 。为此，必须拓展双曲型守恒律解的概念。 定义（广义解或弱解） ： 设 U( x , t )是分片连续可微的函数，在 t ≥ 0 的半平面，如果对于与 U( x , t )的间断线 只有有限个交点的任意分段光滑的闭曲线 Γ ，都有:
S = const
4. 广义解(弱解)
考虑 Bergers 方程
ut + uu x = 0
G x ∈ R, t > 0
(26)
u ( x, 0) = u0 ( xx) = ⎨1 − x ⎪0 ⎩
当存在连续解时,
x≤0 0 < x ≤1 x >1
u ( x, t ) = u ( x − ut , 0) = u0 ( x − ut )
特征相容关系为
Dp Du ± ρa = 0， Dt Dt dx =u±a dt
（24）
4
DS =0， Dt
dx =u dt
（25）
其中 S = C v ln
p
ργ
为熵。对于均熵流动， （24）式可以积分出：
R ± = const ，沿 dx =u±a dt
其中 R ± = u ±
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高等流体力学授课提纲第一章概论§1.1 流体力学的研究对象§1.2 流体力学发展简史§1.3 流体力学的研究方法§1.3.1 一般处理途径§1.3.2 应用数学过程§1.3.3 流体力学方法论：一般方法§1.3.4 流体力学方法论：特殊方法●Lagrange描述和Euler描述●无量纲化●线性化●分离变量法●积分变换法●保角映射法●奇点法（孤立奇点法、分布奇点法、Green函数法）●控制体积法●微元法第一章概论§1.1 流体力学的研究对象（1）物质四态：●四态：固态—液态—气态—等离子态；等离子体=电离气体●界限：彼此无明确界限（高温下的沥青；冰川），取决于时间尺度；●流体力学的具体研究对象：液体、气体、等离子体（电磁流体力学、等离子体物理学）；●液体与气体的差别：液体—有固定容积、有自由面、不易压缩、有表面张力；气体—无固定容积、无自由面、易压缩、无表面张力。
（2）流体的基本性质：易流动性：静止流体无剪切抗力；压缩性（膨胀性）：压差、温差引起的体积改变，判据：马赫数；粘性：运动流体对剪切的抗力，判据：雷诺数；热传导性：温差引起的热量传递，普朗特数。
（3）流体的分类：i）按有无粘性、热传导性分：真实流体（有粘性、有热传导、与固体有粘附性无温差）；理想流体（无粘性、无热传导、与固体无粘附性有温差）；ii）按压缩性分：不可压缩流体，可压缩流体；iii）按本构关系分：牛顿流体（牛顿粘性定律成立），非牛顿流体（牛顿粘性定律不成立），下分纯粘性流体（拟塑性流体，涨塑性流体）；粘塑性流体（非宾汉流体、宾汉流体）；时间依存性流体（触变流体、振凝流体）；粘弹性流体拟塑性流体（剪切流动化流体）：剪切应力随剪切速度增加而减小，如淀粉浆糊、玻璃溶液、高分子流体、纤维树脂；涨塑性流体（剪切粘稠化流体）：剪切应力随剪切速度增加而减小，如淀粉中加水、某些水-砂混合物；粘塑性（非宾汉和宾汉流体）：存在屈服应力，小于该应力无流动，如粘土泥浆、沥青、油漆、润滑脂等，所有粘塑性流体为非宾汉流体，宾汉流体为近似；触变流体（摇溶流体）：粘性或剪切应力随时间减小，如加入高分子物质的油、粘土悬浊液；振凝流体：粘性或剪切应力随时间增大，如矿石浆料、膨润土溶胶、五氧化钒溶液等；粘弹性流体：兼有粘性和弹性性质的流体，能量不像弹性体守恒，也不像纯粘性体全部耗散。
（4）流体力学学科的研究对象流体力学——研究流体的机械运动以及它与其它运动形态相互作用的科学。
其它运动形态：固体运动－与界面的相互作用；热运动－传热、传质；电磁－电磁流体力学。
§1.2 流体力学发展简史流体力学大事年表公元前3世纪阿基米德（287－212BC）发现浮力定律（阿基米德原理）；发明阿基米德螺旋提水机；1644 托里拆里（E.Torricelli,1608-1647）制成气压计；导出小孔出流公式；1650 帕斯卡（B.Pascal,1623-1662）提出液体中压力传递的帕斯卡原理；1662 波义尔（R.Boyle,1627-1691）建立气体的波义尔定律；1668马略特（E.Mariotte，1620－1684），出版专著《论水和其它流体的运动》奠定流体静力学和流体运动学的基础；1678 牛顿（I.Newton,1642-1727）研究在流体中运动物体所受的阻力，并建立牛顿粘性定律；1732 皮托（H.Pitot,1695-1771）发明测量流体压力的皮托管；1738丹尼尔·伯努利（D.Bernoulli,1700-1782）出版《流体动力学》，将力学中的活力（能量）守恒原理引入流体力学，建立伯努利定理（伯努利方程）；1752 达朗贝尔（J. le R. D’Alembert,1717-1783）提出理想流体运动的达朗贝尔佯谬；1755欧拉（L.Euler,1707-1783）导出流体平衡方程和流体运动方程（欧拉方程）；1763 玻尔达（J-C.Borda,1733-1799）进行流体阻力试验，给出阻力公式，开粘性流体力学研究先河；1777 玻素（C.Bossut,1730-1814）等完成第一个船池船模试验；1802 盖·吕萨克（J.L.Gay-Lussac,1778-1850）建立完全气体的状态方程；1809 凯利（G.Cayley,1773-1858）建立航空飞行器概念；1822 纳维（C-L-M-H.Navier,1785-1836）导出粘性流体动力学的动量方程；1822 傅立叶（J-B-J Fourier,1768-1830）建立傅立叶导热定律; 1834 罗素（J,S.Russell）在苏格兰的联合运河上发现孤立波；1839 哈根（G.H.L.Hagen,1797-1884）和泊肃叶（J.L.M.Poiseuille, 1797-1969）研究圆管内的粘性流动给出哈根－泊肃叶公式；1845 斯托克斯（G.G.Stokes,1819-1903）更简洁严谨地导出粘性流体动力学的动量方程（纳维－斯托克斯方程）；1845 亥姆霍兹（H. von Helmholtz,1821-1894）建立涡旋的基本概念，奠定涡动力学基础；1851 斯托克斯研究小球在粘性流体中的运动，给出斯托克斯阻力公式；1860 亥姆霍兹建立流体运动的速度分解定理；1878 兰姆（mb,1849-1934）出版流体力学经典著作《流体运动的数学理论》,1895年增订再版时改名《流体动力学》；1878 瑞利（Lord Rayleigh,1842-1919）研究有环量的圆柱绕流问题，发现升力，从理论上解释了马格努斯效应；1883 雷诺（O.Reynolds,1842-1912）完成著名的雷诺转捩实验，提出雷诺数（Sommerfeld于1908年命名）；1887 马赫（E.Mach,1838-1916）提出马赫数的概念1891 兰彻斯特（nchester,1868-1946）提出速度环量概念，建立升力理论，并发展了有限翼展理论；1895 科特沃赫（D.J.Korteweg）和德弗里斯(G.de Vries)建立KdV方程；1901 贝纳尔（H.Benard）研究对流传热稳定性，发现贝纳尔腔；1902－儒科夫斯基（N.E.Joukovsky,1847-1921）导出儒科夫斯基公式，奠定机翼理论基础；1902 库塔（M.W.Kutta,1867-1944）提出机翼流动的库塔条件；1902 瑞利建立流体力学的量纲分析和相似理论；1903 莱特兄弟（W.Wright,1867-1912;O.Wright,1871-1948）人类第一次飞行成功；1903 齐奥尔可夫斯基（K.A.Tsiolkovsky,1857-1835）导出火箭运动基本公式和第一宇宙速度；1904 普朗特（L.Prandtl,1875-1953）建立边界层理论；1905 普朗特建成超音速风洞（马赫数为1.5）；1910 冯卡门（Th.von Karman,1881-1963）建立卡门涡街理论；1908 瑞利和索末费尔德（A.Sommerfeld,1868-1951）研究平行流的稳定性，导出索末费尔德方程；1921 泰勒（G.I.Taylor,1886-1975）提出湍流统计理论基本概念；1923 泰勒研究同心圆筒间旋转流动稳定性，发现泰勒涡；1940 周培源（1902－1993）创建湍流模式理论；1926 普朗特提出湍流的混合长度理论；1941 钱学森（1911－）和冯卡门导出机翼理论的卡门－钱公式；1963 洛伦兹（E.Lorenz）发现混沌和奇怪吸引子。
§1.3 流体力学的研究方法§1.3.1 一般处理途径（1）实验途径（2）分析途径（3）数值模拟途径§1.3.2 应用数学过程实验、实测结果—>数学、物理建模—>寻找工具、求解—>结果检验—>总结规律。
§1.3.3 流体力学方法论：一般方法●实验观察实验目的：1）观察迄今未知或未加解释的新事实（例如雷诺实验、普朗特的边界层实验、法拉第实验）；2）检验新的假说、理论和结果（例如儒科夫斯基升力实验）。
实验手段：实验室实验（缩尺实验）、现场实验（原型实验）、现场观测。
实验步骤：1）制定详尽的实验方案；2）准备相应的设备和仪器；3）科学地记录数据；4）数据处理；5）制作图表；6）理论分析。
实验要领：1）有目的性和限定性；2）有准确性和排他性；3）有简单性和可行性；4）有再现性和鲁棒性；5）注意结果的正常性和反常性。
●发现机遇机遇无处不在。
机遇只垂青于有准备的头脑。
抓住机遇的必要条件：1）扎实的知识基础（如卡门涡街的发现）；2）对反常现象的迅速反应能力（如孤立波的发现、内波的发现）；3）充分的发散思维能力。
●提出假说假说是研究工作中最重要的智力活动手段，没有大胆的猜测就没有伟大的发现。
假说要领：1）发挥想象能力，大胆假设（例如各向同性湍流理论）；2）尊重科学事实，求真务实（例如孤立波理论）；3）运用各种技巧，小心求证（例如奇怪吸引子假设）；4）随时摒弃谬误，服从真理（例如湍流拟序结构）；5）不断更新观念，修正设想（例如相对论流体力学）；6）及时总结经验，推陈出新。
●大胆想象想象=创造性思考创造力=知识量×发散型思维想象的来源：1）困难的刺激；2）好奇心的激励；3）锲而不舍的思考；4）讨论的启迪。
●细致推理推理的种类：1）演绎型推理（纯数学推理大多如此）：假设—公理—命题—引理—定理—推论；2）归纳型推理（流体力学问题大多如此）：观察事实—归纳—定理或定律—求证—验证—总结。
3）类比型推理；4）証谬型推理。
推理要领：1）有充分的事实基础；2）基于正确的假设；3）基于正确的逻辑；4）分清事实和对事实的解释。
●总结规律总结规律是掌握并推进流体力学学科的关键步骤。
总结的要领：1）基于经过证明或验证的事实；2）提炼最基本的函数关系或因果关系或数值结果；3）论述准确、清晰、简练。
§1.3.4 流体力学方法论：特殊方法●Lagrange描述和Euler描述Lagrange描述：基于流体质点运动轨迹的描述；Euler描述：基于场论的描述。
●无量纲化量纲分析：流体力学的基础；流体力学的基本量纲：时间、长度、质量、温度；无量纲化：解决一切已建模的流体力学问题的首要步骤。
无量纲化的主要步骤：1）确定问题中的特征量；2）给出所有物理量（自变量、因变量）的无量纲形式；3）将问题中的方程无量纲化；4）提炼无量纲方程和定解条件中的无量纲组合（无量纲数）；5）对问题做简化或直接求解。
实例：Navier-Stokes 方程的无量纲化：0=⋅∇vv k v v v 21∇+∇--=∇⋅+∂∂νρp g t 1）引进特征量：特征时间T ，特征长度L ，特征速度V ，特征压力P ；2）给出无量纲量：t ’=t/T ，L r r ='，v ’=v /V ，p ’=p/P ；3）基本方程无量纲化：0''=⋅∇v''Re1''1'''''2v k v v v ∇+∇--=⋅∇+∂∂p E Fr t St 4）提炼无量纲数：Strouhal 数：VT L St /=，表征问题的非定常性；Froude 数： gL V Fr /2=，表征惯性力与重力之比；Euler 数：2/V P E ρ=，表征压力与动能之比；Reynolds 数：ν/Re VL =，表征惯性力与粘性力之比。