切线的判定和性质

例 如图，△ABC 内接于大⊙O ，∠B ＝∠C ，小⊙O 与AB 相切于点D ．求证：AC 是小圆的切线．

分析 AC 与小⊙O 的公共点没有确定，故应过O 作AC 的垂线段OE ．再证明OE 等于小圆半径，用“到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线”来判定AC 是小圆的切线． 证明 连结OD ，作OE ⊥AC 于E ． ∵∠B ＝∠C ，∴AB=AC ．

又AB 与⊙O 小相切于D ，∴OD ⊥AB ． ∵OE ⊥AC ，∴OD=OE ．

即小⊙O 的圆心O 到AC 的距离等于半径，所以AC 是小圆的切线． 说明：（1）本题为证明切线的两个常见方法（①连半径证垂直；②作垂直证半径．）之一；（2）本题为基本题型，但应用到切线的性质和判定；（3）本题为教材110页例4的变形题．

例 （大连市，l 999）阅读：“如图△ABC 内接于⊙O ，∠CAE=∠B ． 求证：AE 与⊙O 相切于点A ． 证明：作直径AF ，连结FC ，则∠ACF ＝90°．

∴ ∠AFC+∠CAF ＝90°． ∵∠B ＝∠AFC ． ∴ ∠B+∠CAF ＝90°． 又∵ ∠CAE=∠B ，

∴ ∠CAE+∠CAF ＝90°． 即AE 与⊙O 相切于点A ．

问题：通过阅读所得到的启示证明下题(阅读题中的结论可以直接应用)．

问题：通过阅读所得到的启示证明下题(阅读题中的结论可以直接应用)．

如图，已知△ABC 内接于⊙O ．P 是CB 延长线上一点，连结AP ．且PA 2＝PB ·PC ． 求证：PA 是⊙O 的切线． 证明：∵PA 2＝PB ·PC ，∴PA

PB

PC PA ． 又∵ ∠P=∠P ，∴△PAB ∽△PCA ．

∠PAB=∠C ． 由阅读题的结论可知，PA 是⊙O 的切线． 说明：（1）此题的阅读材料来源于教材第117页B 组第1题；（2）应用“连半径证垂直”证明切线．

例 （西宁，1999）已知：如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，以AB 为直径的⊙O 交斜边AB 于E ，OD ∥AB ． 求证：（1）ED 是⊙O 的切线；（2）2 DE 2＝BE ·OD

证明：（1）连结OE 、CE ，则CE ⊥AB ． 在Rt △ABC 中，∵OA=OC ，OD ∥AB ，

∴D 为BC 的中点，∴DE=CD ， 又∵OC=OE ，OD=OD ，

∴△COD ≌△EOD ，∴∠OED=∠OCD=90°，

∴ED 是⊙O 的切线．

（2）在Rt △ABC 中，CE ⊥AB ，∴△CBE ∽△ABC ，∴CB 2＝BE ·AB ， ∵OD 为△ABC 的中位线，∴AB=2OD ，BC=2ED ，∴（2ED ）2＝BE ·2OD 即2 DE 2＝BE ·OD

说明：此题为综合题，主要应用切线的性质定理、判定定理、射影定理、中位线定理等知识．

B

C

典型例题四

例 （北京市西城区试题，2002）已知：AB 为⊙O 的直径，P 为AB 延长线上的一个动点，过点P 作⊙O 的切线，设切点为C.

（1）当点P 在AB 延长线上的位置如图1所示时，连结AC ，作APC ∠的平分线，交AC 于点D ，请你测量出CDP ∠的度数；

（2）当点P 在AB 延长线上的位置如图2和图3所示时，连结AC ，请你分别在这两个图中用尺规作APC ∠的平分线（不写做法，保留作图痕迹），设此角平分线交AC 于点D ，然后在这两个图中分别测量出CDP ∠的度数；

猜想：

CDP ∠的度数是否随点P 在AB 延长线上的位置的变化而变化？请对你的猜想加以证明.

解：（1）测量结果：︒=∠45CDP . （2）作图略.

图2中的测量结果：︒=∠45CDP . 图3中的测量结果：︒=∠45CDP .

猜想：︒=∠45CDP 为确定的值，CDP ∠的度数不随点P 在AB 延长线上的位置的变化而变化.

证法一：连结BC .

∵ AB 是⊙O 的直径， ∴ ︒=∠90ACB .

∵ PC 切⊙O 于点C ，

∴ A ∠=∠1.

∵ PD 平分APC ∠，

.

454,3,2143

2︒=∠=∠∴∠+∠=∠∠+∠=∠∠=∠∴CDP A CDP

∴ 猜想正确. 证法二：连结OC .

∵ PC 切⊙O 于点C ，

.

901.︒=∠+∠∴⊥∴CPO OC PC

∵ PD 平分APC ∠，

.45)1(2

1

2.12

1,31.3,.2

1

2︒=∠+∠=

∠+∠=∠∴∠=

∠∴∠+∠=∠∠=∠∴=∠=∠∴CPO A CDP A A A OC OA CPO

∴ 猜想正确.

典型例题五

例 （北京市崇文区，2002）已知：ABC

∆≌C B A '''∆，

3,5,90==︒='''∠=∠AC AB B C A ACB ，对应边AC 与C A ''重合，如图（1）.若将C B A '

''∆沿CB 边按箭头所示方向平移，如图（2），使边AB 、B A ''相交于点D ，边C A ''交AB 于点E ，边AC 交B A ''于点F ，以C C '为直径在五边形CF C DE '内作半圆O ，设C B '的长为x ，半圆O 的面积为y .

1．求y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围； 2．连结EF ，求EF 与半圆O 相切时的x 的值.

解：1．∵ ABC ∆≌C B A '''∆，3,5,90==︒='''∠=∠AC AB B C A ACB ，

,

4,.

4x C B BC C C x C B BC -='-='∴='∴=∴

ππππ28

)24(212

2+-=-=∴x x x y .

以C C '为直径在五边形内作半圆，依题意，在运动过程中C A ''、AC 与⊙O 始终相切，故只需考虑AB 与⊙O 相切的