北师大版九年级上册第五章投影与视图知识点归纳及例题
北师大版九年级数学期中期末考试满分全攻略 九年级上册第5章 投影与视图(知识清单)
九上第5章 投影与视图知识清单()⎧⎪⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎩⎩概率：由平行光线形成的投影叫平行投影平行线段的正投影：平行长不变，倾斜长缩短，垂直成一点投影太阳性质平面图形的正投影：平行形不变，倾斜形改变，垂直成线段正投影光与几何体的正投影：一个几何体在平面内的正投影是一个平面图形影子正投影作图投影概念：由点光源发出的光线形成的投影叫中心投影中心等高的物体垂直于地面放置时，离点光源近投影投(灯光特征影与影与子)视图⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩的影子短，离点光源远的影子长等长的物体平行于地面放置时，离点光源近的影子长，离点光源远的影子短点光源、物体上的点及影子上的对应点在同一条直线上当一个平面图形与投影面平行时，这个平面图形在投影面上的投影是与它相似的平面图形视图：物体的正投影叫做视图主视图：物体在竖直投影面内的正投影叫做主视图三视图俯视图：物体在水平投影视图⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎩⎩面内的正投影叫做俯视图左视图：物体在侧投影面内的正投影叫做左视图主、俯视图长对正由立体图形画三视图的原则主、左视图高平齐左、俯视图宽相等由三视图描述立体图形【考纲要求】1.通过实例了解平行投影和中心投影的含义及简单应用；2.会画基本几何体(直棱柱、圆柱、圆锥、球)的三视图(主视图，左视图、俯视图)，能根据三视图描述基本几何体或实物的原型．一、生活中的几何体1．常见的几何体的分类在丰富多彩的图形世界中，我们常见的几何体有长方体、正方体、棱柱体、棱锥体、圆柱体、圆锥体、球体、台体等．2．点、线、面、体的关系(1)点动成线，线动成面，面动成体；(2)面面相交成线，线线相交成点．要点诠释：体体相交可成点，不一定成线．3．基本几何体的展开图(1)正方体的展开图是六个正方形；(2)棱柱的展开图是两个多边形和一个长方形；(3)圆锥的展开图是一个圆和一个扇形；(4)圆柱的展开图是两个圆和一个长方形．二、投影1．投影用光线照射物体，在某个平面上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在平面叫做投影面．2．平行投影和中心投影由平行光线形成的投影是平行投影；由同一点(点光源)发出的光线形成的投影叫做中心投影．3．正投影投影线垂直投影面产生的投影叫做正投影．要点诠释：正投影是平行投影的一种．4.灯光下的影子与太阳光下的影子的区别（一）太阳光线是平行的，太阳光下的影子与物体的高度成比例；灯光光线是发散的，灯光下的影子与物体的高度不成比例.（二）同一时刻，太阳光下的影子都在同一方向，而灯光下的影子都在同一方向，而灯光下的影子则不一定.（三）灯光是从一点发出的，所有物体的顶端和影子的顶端所直线必过发光点；而太阳光是平行光三、物体的三视图1．物体的视图当我们从某一角度观察一个物体时，所看到的图象叫做物体的视图．我们用三个互相垂直的平面作为投影面，其中正对我们的叫做正面，正面下方的叫做水平面，右边的叫做侧面．一个物体在三个投影面内同时进行正投影，在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图．要点诠释：三视图就是我们从三个方向看物体所得到的3个图象．2．画三视图的要求(1)位置的规定：主视图下方是俯视图，主视图右边是左视图．(2)长度的规定：长对正，高平齐，宽相等．要点诠释：主视图反映物体的长和高，俯视图反映物体的长和宽，左视图反映物体的高和宽．3.常见几何体的三视图由视图现象实物时不像由实物到视图那样唯一确定，要借助于三个视图综合分析、想象，仅仅一个方向的视图只能了解物体的部分信息.由一个视图往往可以想象出多种形状的物体，根据视图只能描述物体的形状.注意三个视图的作用：由视图描述物体的形状，三个视图可以提供不同的信息.（一）主视图：由主视图可以分清物体的长和高，主要提供正面的形状.（二）左视图：由左视图可以分清物体的高和宽.（三）俯视图：由俯视图看不出高度，这一点认识很重要.由俯视图可以分清物体的长和宽.。
2016-2017新北师版九上数学 第五章视图与投影 知识点总结
新北师大版九上数学
第五章投影与视图概率和统计
知识点归纳
一、投影与视图
1、投影可以分为_______投影和______投影．探照灯、手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是__________，像这样的光线所形成的投影称为_____投影．太阳光线可以看成__________，像这样的光线所形成的投影称为________投影；若平行光线与投影面垂直，这种投影称为________．
平行投影与中心投影的区别：
用正投影的方法绘制的物体在投影面上的图形，称为物体的______．从正面得到的视图叫做______，从左面得到的视图叫做______，从上面得到的视图叫做_____．2、空心圆柱和圆锥的三视图
3、人眼睛的位置称为视点，由视点发出的线称为视线，看不到的地方称为盲区．
二、概率问题的处理思路
①确定模型：摸球模型（放回），摸球模型（不放回），面积模型；
②借助__________和_________分析可能出现的所有情况；
注：在分析时，需要结合实际情况来进行考虑．
③明确所求目标，计算．分析概率的两种方法：树状图法，列表法.
三、统计问题的处理思路
①梳理信息，明确对应关系：明确统计图（表），文字信息间的对应关系；
②计算求解，整理数据：通过求样本容量、个体数量（补全图形）、角度、百分比等方式，将所有数据补充完整；
③分析数据，决策总结：通过计算平均数、方差等估算总体情况后，结合实际情景进行判断．。
北师大版本九年级数学上册第五章投影和视图知识点解析含习题练习
北师大版本九年级数学上册第五章投影和视图知识点解析第01讲_投影与视图知识图谱投影知识精讲投影的定义1.一般地，用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影；照射光线叫做投影线；投影所在的平面叫做投影面．2.由平行光线（如太阳光线）形成的投影称为平行投影．3.由同一点发出的光线所形成的投影称为中心投影．4.在物体的平行投影中，投影线垂直于投影面，则该平行投影称为正投影．三点剖析一．考点：投影的定义二．重难点：投影的定义三．易错点：中心投影的光源为点光源，平行投影的光源为阳光；平行投影例题1、平行投影中的光线是（）A.平行的B.聚成一点的C.不平行的D.向四面八方发散的【答案】A 【解析】平行投影中的光线是平行的，如阳光等．例题2、下列说法正确的是（）A.物体在阳光下的投影只与物体的高度有关B.小明的个子比小亮高，我们可以肯定，不论什么情况，小明的影子一定比小亮的影子长C.物体在阳光照射下，不同时刻，影长可能发生变化，方向也可能发生变化D.物体在阳光照射下，影子的长度和方向都是固定不变的【答案】C【解析】平行投影的特点：在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同，不同时刻的同一物体在太阳光下的影子的大小也在变化．例题3、例已知：如图，AB 和DE 是直立在地面上的两根立柱，5AB m =，某一时刻，AB 在阳光下的投影4BC m =．（1）图中画出此时DE 在阳光下的投影；（2）AB 的投影长时，同时测出DE 在阳光下的投影长为6m ，请你计算DE 的长．【答案】（1）如图所示；（2）7.5m 【解析】（1）根据已知连接AC ，过点D 作DF AC ，即可得出EF 就是DE 的投影；（2）利用ABC DEF ∆∆ AB BC DE EF ∴=5AB m = ，4BC m =，6EF m =7.5DE m ∴=随练1、下列说法错误的是（）A.两人在太阳光下行走，同一时刻他们的身高与影长的比相等B.两人在同一灯光下行走，同一时刻他们的身高与其影长不一定相等C.一人在同乙灯光下不同地点的影长不一定相同D.一人在不同时间的阳光下同一地点的影长相等【答案】D【解析】暂无解析随练2、请指出下列小明的影子，平行投影的是__________，中心投影是__________.①一个晴天的上午，小明身后的影子；②一个晴天的中午，小明脚下的影子；③夜晚，小明在路灯下的影子；④小明在幻灯机前经过时投在屏幕上的影子【答案】①②；③④【解析】根据中心投影和平行投影的性质，中心投影的光源为灯光，平行投影的光源为阳光与月亮．随练3、某数学兴趣小组，利用树影测量树高，如图（1），已测出树AB 的影长AC 为12m ，并测出此时太阳光线与地面成30 夹角．（1）求出树高AB ；（2）因水土流失，此时树AB 沿太阳光线方向倒下，在倾倒过程中，树影长度发上了变化，假设太阳光线与地面夹角保持不变，求树的最大影长．【答案】（1）；（2）【解析】（1）3tan 3012)3AB AC m ==⨯=（2）如图2，112sin 45)2B N AN AB m ====11tan 60)NC NB m === ，11AC AN NC =+=+当树与地面成60 角时影长最大2AC ，222AC AB ==随练4、如图是两根标杆在地面上的影子，根据这些投影，在灯光下的影子是（）A.①和②B.②和④C.③和④D.②和③【答案】D【解析】根据物体的顶端和影子顶端的连线必经过光源从而可判断出答案.随练5、如图，小明和小燕在院子里玩捉迷藏游戏，院子里有三堵墙，现在小明站在O点，小燕如果不想被小明看到，则不应该站的区域是（）A.（1）B.（2）C.（3）D.（4）【答案】C【解析】∵（1）、（2）、（4）区域均为视力盲区∴站在（1）、（2）、（4）区域均不会被看见，而（3）区在视力范围内∴只要不站在（3）区就不会被看见．中心投影例题1、物体在光线的照射下，会在地面或墙壁上留下它的影子，这种现象就是__________现象，投影现象中，由阳光形成的影子是__________投影，由灯光形成的影子是__________投影，海滩上游人的影子是__________投影，晚上路旁栏杆的影子是__________投影．【答案】投影；平行；中心；平行；中心【解析】根据平行投影和中心投影的定义作答即可．例题2、四个直立在地面上的字母广告牌在不同情况下，在地面上的投影（阴影部分）效果如图．则在字母L、K、C的投影中，与字母N属同一种投影的有（）A.L、KB.CC.KD.L、K、C【答案】A【解析】根据平行投影和中心投影的特点和规律．“L”、“K”与“N”属中心投影．例题3、如图，我们常用“y随x的增大而增大”来表示两个变量之间的变化关系．有这样一个情境：如图，小王从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他与路灯C的距离y随他与点A之间的距离x的变化而变化．下列函数中y与x之间的变化关系，最有可能与上述情境类似的是（）y x=+A.y x=B.3C.3y x = D.()233y x =-+【答案】D【解析】从A 到路灯的正下方前他与路灯的距离逐渐减少，经过路灯后它与路灯的距离逐渐增加.随练1、如图，夜晚小亮从点A 经过路灯C 的正下方沿直线走到点B ，他的影长y 随他与点A 之间的距离x 的变化而变化，那么表示y 与x 之间的函数关系的图像大致是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】设身高GE h =，1CF =，AF a=当x a ≤时，OEG OFC∆∆ OE GE OF CF ∴=，即y h a x l =-h hay x l l∴=-+a 、h l 、均为常数∴这个函数图像是一次函数图像影长将随着离灯光越来越近而越来越短，到灯下的时候，将是一个点，进而随着离灯光的越来越远而影长将变大．正投影例题1、Rt ABC ∆斜边在平面α上，则ABC ∆在平面α的正投影（）A.一定不是钝角三角形B.一定不是直角三角形C.一定不是锐角三角形D.一定是三角形【答案】C【解析】当三角形所在的平面与平面α垂直时，三角形在平面上的正投影是一条线段；当三角形所在的平面与平面不垂直时，投影形成钝角三角形；当三角形在平面上时，形成投影是直角三角形.例题2、一根笔直的小木棒（记为线段AB ），它的正投影为线段CD ，则下列各式中一定成立的是（）A.AB CD =B.AB CD ≤C.AB CD >D.AB CD≥【答案】D【解析】根据正投影的定义，当AB 与投影面平行时，AB CD =；当AB 与投影面不平行时，AB CD >.视图知识精讲一．视图当我们从某一角度观察一个物体时，所看到的图像叫做物体的一个视图．视图也可以看做物体在某一角度的光线下的投影．二．常见立体图的三视图如图，我们用三个互相垂直的平面（例如墙角处的三面墙壁）作为投影面，其中正对着我们的叫做正面，正面下方的叫做水平面，右边的叫做侧面．一个物体在三个投影面内同时进行投影：在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图．三．三视图的做法：1.主视图与俯视图表示同一物体的长，主视图与左视图表示同一物体的高，左视图与俯视图表示同一物体的宽；主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高平齐，左视图与俯视图的宽相等．2.看得见部分的轮廓线画成实线；3.看不见部分的轮廓线画成虚线.一个投射面水平放置，叫做水平投射面，投射到这个面内的图形叫做俯视图；一个投射面放置在正前方，叫直立投射面，投射到此平面内的图形叫做主视图；和水平投射面、直立投射面都垂直的投射面叫做侧立投射面，通常把这个平面放在直立投射面的右面，投射到这个平面内的图形叫做左视图；三点剖析一．考点：立体图形三视图二．重难点：立体图形三视图及由三视图求解立体图形三．易错点：1.画三视图时看不见的线应该用虚线；2.利用三视图确定小立方体的个数立体图形的三视图例题1、下列几何体的主视图、左视图、俯视图的图形完全相同的是（）A.三棱锥B.长方体C.三棱柱D.球体【答案】D【解析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图．例题2、如图是一个底面为正三角形的直三棱柱，则这个几何体的主视图是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】从正面看是两个矩形，矩形的公共边是虚线，例题3、下面四个立体图形，从正面、左面、上面观察都不可能看到长方形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】A、主视图为长方形，左视图为长方形，俯视图为长方形，故本选项错误；B、主视图为长方形，左视图为长方形，俯视图为圆，故本选项错误；C、主视图为等腰三角形，左视图为等腰三角形，俯视图为圆，从正面、左面、上面观察都不可能看到长方形，故本选项正确；D、主视图为三角形，左视图为三角形，俯视图为有对角线的矩形，故本选项错误．例题4、如图是一个由若干个正方形搭建而成的几何体的主视图与左视图，那么下列图形中可以作为该几何体的俯视图的序号是：________________．【答案】①②③【解析】综合左视图跟主视图：从正面看，第一行第一列有3个正方形，第一行第二列有1个或第二行第2列有一个或都有一个.第二行第1列有2个正方体.随练1、如图①，这是一个正方体毛坯，将其沿一组对面的对角线切去一半，得到一个工件如图②，对于这个工件，左视图、俯视图正确的一组是（）①②a b c dA.a，bB.b，dC.a，cD.a，d【答案】D【解析】左视图、俯视图是分别从物体的侧面和上面看所得到的图形．由三视图求解立体图形例题1、若一个几何体的主视图、左视图、俯视图都是正方形，则这个几何体是（）A.正方体B.圆锥C.圆柱D.球【答案】A【解析】∵主视图和左视图都是正方形，∴此几何体为柱体，∵俯视图是一个正方形，∴此几何体为正方体．例题2、如图是由一些相同的小正方体构成的立体图形的三种视图．那么构成这个立体图形的正方体有多少个小立方块（）A.4个B.5个C.6个D.7个【答案】【解析】根据图形可得：最底层有4个小立方块，第二层有1个小立方块，所以构成这个立体图形的小立方块有5个．例题3、如图是某几何体的三视图，根据图中数据，求得该几何体的体积为（）A.60πB.70πC.90πD.160π【答案】B 【解析】观察三视图发现该几何体为空心圆柱，其内圆半径为3，外圆半径为4，高为10，所以其体积为22104370πππ⨯-=（），例题4、由一些大小相同的小正方体组成的简单几何体的主视图和俯视图．（如图）（1）请你画出这个几何体的一种左视图；（2）若组成这个几何体的小正方体的块数为n ，请你写出n 的所有可能值．【答案】（1）见解析；（2）8n =，9，10，11．【解析】（1）左视图有以下5种情形：（2）8n =，9，10，11．随练1、从一个边长为3cm 的大立方体挖去一个边长为1cm 的小立方体，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如图所示：∵从一个边长为3cm 的大立方体挖去一个边长为1cm 的小立方体，∴该几何体的左视图为：．随练2、如图所示的是某几何体的三视图，则该几何体的形状是（）A.长方形B.三棱柱C.圆柱D.正方体【答案】C 【解析】根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是圆可判断出这个几何体应该是圆柱．随练3、如图是由一些相同的小正方体组成的几何体的三视图，则组成该几何体的小正方体的个数最少为（）A.7个B.8个C.9个D.10个【答案】C 【解析】由俯视图可得底面有一排有6个小正方体；从主视图看，第二层最少有2个正方体，第3层最少有一个小正方体，组成该几何体的小正方体的个数为9个．随练4、如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的侧面积是（）A.πB.9πC.18πD.27π【答案】C 【解析】根据三视图可得：这个几何体为圆锥，∵直径为6，圆锥母线长为6，∴侧面积66218ππ=⨯⨯÷=；随练5、如右图，是一个由若干个小正方体搭建而成的几何体的主视图与左视图，那么下列图形中可以作为该几何体的俯视图的序号是___________．【答案】①②③【解析】根据几何的主视图和左视图即可判断．拓展1、给下列几种关于投影的说法，正确的是（）A.矩形的平行投影一定是矩形B.平行直线的平行投影仍是平行直线C.垂直于投影面的直线或线段的正投影是点D.中心投影的投影线是互相平行的【答案】C【解析】矩形的平行投影可能是平行四边形，也可能是线段；平行直线的平行投影可能是平行直线，也可能重合；垂直于投影面的直线或线段的正投影是点；中心投影的投影线是相交于一点的．2、李华的弟弟拿着一个菱形木框在阳光下玩，李华发现菱形木框在阳光照射下，在地面上形成了各种图形的阴影，但以下一种图形始终没有出现，没有出现的图形是（）A.B.C. D.【答案】D【解析】根据平行四边形投影的特点，在同一时刻不同物体的物高和影长成比例，所以不可能是梯形．3、如图，一根直立于水平地面上的木杆AB 在灯光下形成影子，当木杆绕点A 按逆时针方向旋转直至到达地面时，影子的长度发生变化．设AB 垂直于地面时的影长为AC （假定AC AB >）的最大值为m ，最小值为n ，那么下列结论：①m AC >；②m AC =；③n AB =；④影子的长度先增大后减小．其中，正确结论的序号是．【答案】①③④【解析】当木杆绕点A 按逆时针方向旋转时，如图所示当AB 与光线BC 垂直时，m 最大，则m AC >，①成立；最小值为AB 与底面重合，故n AB =；由上可知，影子的长度先增大后减小．4、如图，小军、小珠之间的距离为2.7m ，他们在同一盏路灯下的影长分别为1.8m ，1.5m ，已知小军、小珠的身高分别为1.8m ，1.5m ，则路灯的高为_________m ．【答案】3【解析】如图，∵CD ∥AB ∥MN ，∴△ABE ∽△CDE ，△ABF ∽△MNF ，∴CD DE =AB BE ，FN MN =FB AB ，即1.8 1.8=AB 1.8+BD ， 1.5 1.5=AB 1.5+2.7-BD，解得：AB=3m5、如图，在一间黑屋子里用一盏白炽灯照一个球，球在地面上的阴影的形状是一个圆，当把白炽灯向上远移时，圆形阴影的大小的变化情况是（）A.越来越小B.越来越大C.大小不变D.不能确定【答案】A【解析】灯光下，涉及中心投影，根据中心投影的特点灯光下影子与物体离灯源距离有关，此距离越大，影子才越小．6、如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小明从点A处沿AO所在的直线行走14m到点B时，人影长度（）A.变长3.5mB.变长2.5mC.变短3.5mD.变短2.5m【答案】C【解析】设小明在A处时影长为x，AO长为a，B处时影长为y．∵AC∥OP，BD∥OP，∴△ACM∽△OPM，△BDN∽△OPN，∴AC MAOP MO=，BD BNOP ON=，则1.68xx a=+，∴14x a=；1.6148yy a= +-，∴1 3.54y a=-，∴ 3.5x y-=，故变短了3.5米．7、如图所示零件的左视图是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】零件的左视图是两个竖叠的矩形．中间有2条横着的虚线8、如图是由一些相同的小正方体构成的立体图形的三种视图，那么构成这个立体图形的小正方体有（）A.4个B.5个C.6个D.7个【答案】B【解析】由俯视图易得最底层有4个正方体，第二层有1个正方体，那么共有4+1=5个正方体组成．故选B．9、如图所示的几何体是由五个小正方体组合而成的，它的左视图是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】从左边看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，10、与如图所示的三视图对应的几何体是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】根据主视图、左视图、俯视图判断即可得到.11、一张桌子上摆放有若干个大小、形状完全相同的碟子，现从三个方向看，其三种视图如图所示，则这张桌子上碟子的总数为（）A.11B.12C.13D.14【答案】B【解析】由俯视图可得：碟子共有3摞，由几何体的主视图和左视图，可得每摞碟子的个数，如下图所示：故这张桌子上碟子的个数为3+4+5=12个。
九年级数学上册5投影与视图小结与复习课件(新版)北师大版
【解析】所要画出的乙木杆的影子与甲木杆形成的影子是同 一时刻，根据同一时刻两物体的高度比等于其影长的比，同时， 在同一时刻太阳光线是互相平行的，平行移动乙杆，使乙杆顶端 的影长恰好抵达墙角．
解：(1)如图①，过E点作直线DD′的平行线，交AD′所在直 线于E′，则BE′为乙木杆的影子．
(2) 平 移 由 乙 杆 、 乙 杆 的 影 子 和 太 阳 光 线 所 构 成 的 图 形 ( 即 △BEE′)，直到其影子的顶端E′抵达墙角(如图②)．
方法总结 平时要多注意积累常见的几何体的三视图，并进行适当
的分类．如视图可能是圆的有球、圆柱、圆锥等，可能是三 角形的有圆锥、棱锥，可能是长方形的有长方体、圆柱等．
针对训练
4. 如图，是一个带有方形空洞和 圆形空洞的儿童玩具，如果用下列几 何体作为塞子，那么既可以堵住方形 空洞，又可以堵住圆形空洞的几何体 是（ B ）
二、平行投影和中心投影的区别 已知两棵小树在同一时刻的影子，你如何确定影子是在太阳
光线下还是在灯光的光线下形成的.
平行投影
中心投影
三、视图 三视图是 主视图 、 俯视图 、 左视图
Байду номын сангаас
的统称．
三视图位置有规定，主视图要在 左上方 ，它的下方应
是 俯视图
， 左视图
坐落在右边．
三视图的对应规律
主视图和俯视图 长对正 ；主视图和左视图 高平齐 ；
A．
B．
C．
D．
【解析】圆柱从上边看是一个圆，从正面看是一个正方 形，既可以堵住方形空洞，又可以堵住圆形空洞， 故选B．
考点五 由三视图确定立方体的个数
例5 由一些大小相同的小正方体组成的几何体三视图如 图所示，那么，组成这个几何体的小正方体的个数是( )
第5章投影与视图 题型解读1 利用影长测量物体高度题型-北师大版九年级数学上册
投影分类平行投影：1.光线是平行的。
如太阳光线2.等高物体垂直地面时，影子长度相同；等长物体平行地面时，影子长度相同；同一时刻，物体高度与物体影长成比例 3.可用平行投影确定物体的三视图中心投影：1.光线是相交的，由一点发出；2.等高物体垂放时，离光源距离与影长成正比；等长物体平放时，离称源距离与影长成反比，但物体长。
影随物体位置改变而改变；光源、物体边缘点、影子上的对应点在同一直线上3.注意与平行投影的区别视点：观测点的位置视线：由视点发出的线盲区：视线遇到障碍物形成观测不到的地方过视点与障碍物的边缘画射线，在障碍物后，视线达不到的地方即是盲区注意：涉及投影的应用题，需运用：1.方程思想与勾股定律；2.转化思想：立体图转化为平面3.相似三角形相关知识《投影与视图》题型解读1 利用影长测量物体高度题型【知识梳理】1.概念与定义2.解题方法（1）.同一时刻，不同物体的高度比会等于其影长比.（2）.解题关键：寻找相似的“A字模型”、“8字模型”，注意各物体是垂直于底面的平行线；（3）.注意影子部分不在地面，而在墙面及坡面情形的解法；注意：分两部分分别计算：平面与平面、坡面与坡面，均利用“同一时刻不同物体的高度与影长对应成比例”解题；【典型例题】例1．长方形的正投影不可能是（）A．正方形B．长方形C．线段D．梯形解析：在同一时刻，平行物体的投影仍旧平行．得到的应是平行四边形或特殊的平行四边形．故长方形的正投影不可能是梯形，故选：D．例2．下列光线所形成是平行投影的是（）A．太阳光线B．台灯的光线C．手电筒的光线D．路灯的光线解析：四个选项中只有太阳光可认为是平行光线；故太阳光线下形成的投影是平行投影．故选：A．例3．如图，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A处径直走到B处这一过程中，他在地上的影子（）A．逐渐变短B．先变短后变长C．先变长后变短D．逐渐变长解析：晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A处径直走到B处这一过程中，他在地上的影子先变短，再变长．故选：B．例4．如图，已知路灯离地面的高度AB为4.8m，身高为1.6m的小明站在D处的影长为2m，那么此时小明离电杆AB的距离BD为m．解析：∵DE∥AB，∴△CDE∽△CBA，∴＝，即＝，∴CB＝6，∴BD＝BC﹣CD＝6﹣2＝4（m）．例5．小华和小明在同一盏路灯下的影长如图所示，请找出路灯的位置．解析：如图，点P即为灯泡所在位置，例6.已知，如图1，AB和DE是直立在地面上的两根立柱.AB＝5m，某一时刻AB在阳光下的影长BC＝3m.⑴请你在图中画出此时DE在阳光下的影长；⑵在测量AB的影长时，同时测量出DE在阳光下的影长为6m，请你计算DE的长.图1 图2解：(1)如图2所示.(连结AC，过点D作DE//AC，交直线BC于点F，线段EF即为DE的投影)(2)因为AC//DF ，所以∠ACB ＝∠DFE.因为∠ABC ＝∠DEF ＝90°,所以△ABC ∽△DEF.,,所以DE ＝10(m).例7.一个人在两个路灯之间行走，那么他前后的两个影子的长度有什么关系？为什么？解：如图，人的身高AB ＝，路灯CD ＝EF ＝，两个路灯的间距为，BM 、BN 表示前后的两个影子。
北师大版九年级数学上册第五章 投影与视图(复习小结)
故答案为 3m．
10．在数学活动课上，老师带领数学小组测量大树 AB 的高度．如图，数学小组发现大树 离教学楼 5 m，大树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在教学楼的墙上，墙上的 影子 CD 长为 2 m，已知此时高 1.4 m 的竹竿在水平地面上的影子长 1 m，那么这棵大树 高________m．
， ， C C CAB CPO
， CAB ∽ CPO
，即 ，解得 m， AB PO AC PC
3 PO 4 46
PO 30 15 7.5 42
路灯高 PO的长是7.5m，
故选：C．
6．几个相同的正方体叠合在一起，该组合体的主视图与俯视图如图所示，那么组合体中 下正方体的个数最少有 _____个．
8．如图是一个“粮仓”从三个不同的方向看到的视图，则这个几何体的体积是_________ （答案保留 π ）
【答案】 45
【分析】根据三视图可知，这个几何体的上部分是一个圆锥，下部分是一个圆柱，据此
求解即可．
【详解】解：由题意得这个几何体的上部分是一个高为 7-4=3，底面圆直径为 6 的圆锥， 下部分是一个底面圆直径为 6，高为 4 的圆柱，
【答案】8 【分析】由所给视图可得此几何体有 3 列，3 行，2 层，分别找到第二层的最少个数，加 上第一层的正方体的个数即为所求答案． 【详解】解：第一层有 1+2+3＝6 个正方体，第二层最少有 2 个正方体，所以这个几何体 最少有 6+2＝8 个正方体组成． 故答案为：8．
7．用相同的小立方体搭一个几何体，从正面、上面看到的形状图如图所示，从上面看到 的形状图中小正方形的字母表示在该位置上小立方体的个数，那么这样的几何体最多由 _____几个小立方体搭成，最少由 _____几个小立方体搭成．
北师大版九年级数学上册第五章 投影与视图 投影的概念与中心投影
例2 一个广场中央有一盏路灯.
（1）高矮相同的两个人 在这盏路灯下的影子一定 一样长吗？如果不一定， 那么什么情况下他们的影 子一样长？
不一定一样长，只有当两人与路灯的距离相等时影子 才会一样长.
（2）高矮不同的两个人在这盏路灯下的影子有可 能一样长吗？请实际试试， 并与同伴交流.
有可能
结论 在灯光下，垂直于地面的物体离点光源距离近 时，影子短；离光源远时，影子长.
做一做
2 中心投影
取一些长短不等的小棒和三角形、矩形纸片，用
手电筒（或台灯）等去照射这些小棒和纸片，观察它
们的影子.
（1）固定手电筒（或台灯），改变小棒或纸片的摆放 的位置和方向，它们的影子分别发生了什么变化？
物体离光源越远，影子越大； 距离光源越近，影子越小.
（2）固定小棒或纸片，改变手电筒（或台灯）的摆 放位置和方向，它们的影子发生了什么变化？
改变手电筒的方向， 它们的影子的方向也 发生了变化.
知识要点 手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一个点发 出的，这样的光线所形成的投影称为中心投影．
例如：物体在灯泡发出的光的照射下形成影子就是 中心投影．
典例精析 例1 确定图中路灯灯泡所在的位置.
O 点 O 就是路过再影灯一过子灯根另的泡木一顶所杆根端在的木作的顶杆一位端的条置及顶 直. 其端 线影及 ，子其 两 的直顶线端交作于一一条点直O线
练一练
2. 如图，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由 A 处 径直走到 B 处这一过程中，他在地上的影子 ( B ) A.逐渐变短 B.先变短后变长 C.先变长后变短 D.逐渐变长
A
B
投影的 物体在光线的照射下，会在地面或其
概念
他平面上留下它的影子，这就是投影
北师大版九年级上册数学第五章第一节投影
感悟新知
知1－讲
2. 性质 (1)光线是沿直线照射的，因此可以由物体与它的投影确 定光线的方向. (2)不同时刻，物体的影子的方向和大小会发生变化；在 投影线和投影面相同的情况下，不同形状的物体的投 影一般不同.
感悟新知
知1－练
例 1 下列现象不属于投影的是( )
A．皮影
B．树影
C．手影
D．素描画
解题秘方：紧扣“同一时刻，平行的边的平行投 影是平行或重合的”这一特征解答.
感悟新知
知3－练
解：矩形木框在地面上形成的影子应是矩形或平行 四边形或一条线段，不会是梯形. 答案：A
感悟新知
知3－练
4-1. 小华在上午8时、上午9时、上午10时、中午12时四次
到室外的阳光下观察向日葵影子的变化情况，他发现
感悟新知
知4－练
6-1. 如图所示， 水杯的杯口与投影面平行，平行光线的方 向如箭头所示，它的正投影是( D )
课堂小结
投影
物体 的投
影
投影线 的特征
平行投影
投影线垂直 于投影面
正投影
中心投影
学习目标
课后作业
作业1 必做: 请完成教材课后习题 作业 EF
.
∵ AB=5m，BC=3m，EF=6m，
∴
DE=
AB·EF BC
=10
m.
感悟新知
知3－练
5-1. 小明和小丽要利用树影来测量树高，小明在某一时刻 测得长为1 m的标杆的影长为0.9m，同时小丽测量树 影，但因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上， 有一部分影子在墙上(如图所示)，她先测 得留在墙上的影高为1.2m，又测得地面上 的影长为2.7m，那么树高是多少米？
2024年北师大版九年级上册教学第五章 投影与视图视图
第1课时认识几何体的三种视图课时目标1.在具体活动中了解视图及主视图、左视图、俯视图的概念.2.通过实例认识圆柱、圆锥、球的三种视图.3.经历由实物抽象出几何体的过程,进一步发展空间观念.学习重点视图及主视图、左视图、俯视图的概念.学习难点认识圆柱、圆锥、球的三种视图.课时活动设计情境引入1.“横看成岭侧成峰,远近高低各不同.”一句中蕴含着怎样的数学道理?2.小明昨天买了一本字典(如图),假如有一束平行光线从正面、左面、上面照射这本字典,得到正投影图形是什么?设计意图:第1个活动通过学生感兴趣的事物入手,由文学诗歌引入数学概念,体现教师的亲和力和学科之间的联系性,展示了数学的深层价值.第2个活动旨在让学生意识到先把物体抽象成几何模型,既延续了上节课的内容,自然过渡到新课的学习,又让学生经历一个探索的过程,并在此过程中培养学生勇于探索、团结协作的精神.探究新知1.如图1,这个物体可以看做是由什么几何体组成的?图12.假如有一束平行光线从正面投射到图中的物体上,你能想象出它在这束平行光线下的正投影吗?把你想象的正投影试着画出来,并与同伴交流.3.如果平行光线从左面投射到图中的物体上,情况又如何?如果平行光线从上面投射到图中的物体上呢?图1物体的主视图、左视图和俯视图,如图2所示.图2小结:像这样,用正投影的方法绘制的物体在投影面上的图形,称为物体的视图.通常我们把从正面得到的视图叫做主视图,从左面得到的视图叫做左视图,从上面得到的视图叫做俯视图.设计意图:从想象物体的正投影入手,引入视图的概念.这一部分是对情境引入的深化,让学生经历从实物抽象成几何体的过程,在前面的基础上将长方体增加到大小不一的两个,培养学生的抽象能力和想象能力,并在情境引入的基础上,清楚长方体三种视图的特点,灵活运用所学得到两个长方体组合的三种视图,培养学生举一反三的能力.合作学习1.图中物体的形状分别可以看成什么样的几何体?解:圆柱、圆锥、球.2.在下图中分别找出上述几何体的主视图.(①,⑤,③)3.你能想象出图中各物体的左视图和俯视图吗?请你试着画出来,并与同伴交流.4.你能说出图中几何体的三种视图的特点吗?几何体主视图左视图俯视图设计意图:以问题串的形式引导学生逐步深入的思考并画出三种视图.问题1的设置让学生经历将实物抽象成几何体的过程,培养学生的抽象能力;问题2的设置帮助学生体会物体是曲面的,正投影变成平面,为完成问题3扫清障碍.在以上三个问题的铺设下,问题4的设置起到归纳总结的作用.巩固训练1.“圆柱与球的组合体”如图所示,则它的三种视图是( A )A BC D2.如图是冰激凌模型图,它的三种视图是(B)A BC D3.将两个圆盘、一个茶叶桶、一个皮球和一个蒙古包模型按如图所示的方式摆放在一起,其主视图是(D)A BC D4.找出图中每一个物品所对应的主视图.解:①——C,②——B,③——D,④——A.5.如图1是一个蒙古包的照片,小明认为这个蒙古包可以看成图2所示的几何体,你能帮小明画出这个几何体的三种视图吗?图1图2解:这个几何体的主视图、左视图和俯视图如图所示:设计意图:第1题主要是练习判断单独一个几何体的三种视图.第2,3,4题是简单的组合体,引导学生如何抽象出几何模型,综合运用几何体的三种视图知识分辨几何体的三种视图.第5题是多个几何体组合在一起,判断其主视图.练习设置由浅入深,对教材进行延伸和补充,满足不同学生的需求.课堂小结本节课你有哪些收获?你还有什么困惑吗?设计意图:引导学生养成总结的良好习惯,为以后的学习和钻研打下一定的基础.课堂8分钟.1.教材第137页习题5.3第1,2题.2.七彩作业.第1课时认识几何体的三种视图1.视图概念(1)视图;(2)主视图;(3)左视图;(4)俯视图.2.几何体主视图左视图俯视图教学反思第2课时直棱柱的三种视图课时目标1.会画直棱柱及其简单组合体的三种视图.2.了解同一个几何体三种视图之间的关系.3.能根据几何体的俯视图尝试画出它的主视图和左视图.4.在教学过程中培养学生的动手操作能力和合作交流意识.学习重点会画简单组合体的三种视图.学习难点了解同一个几何体三种视图之间的关系.课时活动设计知识回顾复习上一节课所学过的常见几何体三种视图的画法.1.请你找出下列物体所对应的主视图.解:①—D,②—A,③—B,④—C.2.画出下列几何体(如图)的三种视图.解:作图如下.设计意图:第1题通过常见几何体及其组合的主视图来回顾本节第1课时的知识,第2题通过画圆柱、圆锥和圆柱的组合体、长方体的三种视图回顾三种视图的画法,其中长方体是棱柱的一种,它的三种视图是第1课时之中没有画过的,学生在第1课时之中画的几何体的主视图和左视图都是一样的,而长方体的主视图与左视图的宽度是不同的,与下面将要绘制的普通棱柱视图类似,这也是为下面的教学作出铺垫.探究新知绘制三棱柱的三视图.如图1,出示一个正三棱柱(最好有实物模型).1.你能想象出这个正三棱柱的主视图、左视图和俯视图吗?你能画出它们吗?图1图22.小亮画出了这个正三棱柱的主视图、左视图和俯视图(如图2),你同意他的画法吗?3.你所画的主视图与俯视图中有哪些部分对应相等?主视图与左视图中有哪些部分对应相等?左视图与俯视图呢?与同伴交流.小结:在三种视图中,主视图反映物体的长和高,俯视图反映物体的长和宽,左视图反映物体的高和宽.因此在画三种视图时,对应部分的长度要相等,而且通常把俯视图画在主视图下面,把左视图画在主视图右面.设计意图:使学生掌握三棱柱三种视图的画法.首先引导学生观察并想象,怎样画出空间立体图形的三种视图,在收集学生有价值的数学资源的基础上进行讨论,给出小亮画的三种视图,归纳总结正确的画法,在此基础上,让学生展开讨论问题3,引导学生体会三种视图之间的关系.延伸提高直四棱柱三种视图的画法.图11.如图1,出示一个四棱柱(最好有实物模型).2.让学生先想象,然后动手画出四棱柱的主视图、左视图和俯视图.3.以小组为单位交流四棱柱的三种视图,看看谁画的最正确,并派代表向全班展示,说明画四棱柱三种视图的注意事项.图2教师巡视并搜集有价值的资源,例如,看不见的棱的问题,线与线之间的距离问题,三种视图之间相关联的量的问题,将这些资源在全班呈现,经过学生的讨论后统一认识,这样不仅得到了正确的结果(如图2),而且把容易出现的错误也一一列举出来,最后经过互相补充总结出了以下注意事项:1.看不见的棱用虚线,看得见的棱用实线,边框都是实线.2.主视图中两条虚线应与俯视图中四边形的两个顶点对齐.3.左视图中间的实线与左边实线的距离等于俯视图中上面两个顶点之间的垂直距离.4.在画图时最好先画俯视图,再根据俯视图画主视图和左视图.设计意图:使学生掌握四棱柱三种视图的画法和注意事项.采用上述设计是为了在学生已经学习了三棱柱三种视图的画法和注意事项的基础上,类比学习四棱柱三种视图的画法.巩固训练1.将上面画过的直三棱柱和直四棱柱翻放(横向旋转180°),由学生画出三种视图,与刚才所画进行对比,加深对本节课所学内容的认识.2.两个三棱柱的底面均为等腰直角三角形,它们的俯视图分别为图中的①②,画出它们的主视图和左视图,并与同伴进行交流.注意事项:在做第2题时,由于没有实物,学生产生了一定的困难,教师可作如下处理.(1)引导学生想象具体几何体的形状,区分能看得见的棱及看不见的棱,最好在画完图后利用实物进行对照.(2)由于不知道物体的高度,单纯根据俯视图无法准确画出几何体的主视图与左视图,所以答案不唯一,但应注意主视图与左视图的高度是相同的.设计意图:通过学生独立画出棱柱三种视图并进行交流讨论,巩固棱柱三视图的画法.课堂小结学生互相交流总结三种视图的特点,主视图、左视图、俯视图的区别与内在的联系及各自在合作交流学习过程中的体会与感受等.设计意图:引导学生养成总结的良好习惯,为以后的自学和钻研打下一定的基础.课堂8分钟.1.教材第140页习题5.4第1,2,3,4题.2.七彩作业.第2课时直棱柱的三种视图1.直三棱柱和直四棱柱的主视图、左视图和俯视图的画法.2.注意画三种视图时的几个问题:(1)看不见的棱用虚线,看得见的棱用实线.(2)在画几何体的三种视图时,主视图、俯视图要长对正;主视图、左视图要高平齐;左视图、俯视图要宽相等.教学反思第3课时由三种视图判断几何体课时目标1.通过操作或想象活动,探讨如何根据视图还原简单的几何体,并且能画出草图.2.进一步认识并初步掌握简单组合体的三种视图的画法.3.进一步理解三视图与几何体之间的联系,体验数学知识在生活中的应用,提升用数学问题观察生活的意识.学习重点根据三种视图还原简单几何体的形状,并且能画出草图.学习难点视图与几何体之间的联系.课时活动设计复习回顾复习上一节课所学过的三种视图的画法(教师提问,学生回答,教师订正并给出标准答案).1.如何画一个几何体的三种视图?(顺序和位置)答:应先确定主视图的位置,画出主视图,然后在主视图的下面画出俯视图,在主视图的右面画出左视图.2.三种视图分别反映几何体长、宽、高中的哪几方面?答:主视图反映长和高;俯视图反映长和宽;左视图反映高和宽.3.完成下列练习.(1)下列立体图形中,主视图是三角形的是(B)A. B. C. D.(2)如图所示是一个立体图形的三种视图,请根据视图说出立体图形的名称.解:圆锥(3)下列三种视图所对应的实物图是(C)A B C D设计意图:问题1,2是对第1,2课时的重点知识回顾,这也是本节课学习的基础,问题3设计的练习都是学生比较熟悉的简单几何体组合的三种视图,让学生初步体会由三种视图推断几何体,逐步还原立体图形或实物,进一步理解三种视图的位置与大小的对应关系,发展学生空间想象能力、逆向思维能力.探究新知观察图中的三种视图,你能找到与之对应的几何体吗?A B C D在回顾练习之后引入的探索活动应由浅入深,由简单到复杂,学生在观察与推理时有一定的难度,解决的办法可以先由主视图与实物对比,排除B,C,再由左视图和俯视图排除A,选择的过程就是空间想象能力的提升过程.延伸提高根据图中的三种视图,你能想象出相应几何体的形状吗?先独立思考,再小组交流.答:在图中,由俯视图可知,从上向下看,几何体成正方形形状;由主视图可知,从正面看,几何体成矩形形状,且中间的一条棱是可以看到的;左视图与主视图一样,说明这个几何体具有某种“对称性”.综合各视图可知,这个几何体是一个底面为正方形的长方体.设计意图:本环节主要是让学生进行更深层次的体验,脱离了实物的对比,学生完全靠想象在头脑中勾勒几何体的形状,更能激发学生的空间想象能力,可以将三种视图分开呈现,先出示主视图,让学生猜想几何体可能的形状,再依次出示左视图、俯视图,几何体的形状范围逐渐缩小,使学生更能理解三种视图与几何体之间的联系.巩固训练1.画出如图所示几何体的三种视图.解:如图所示.2.根据如图所示的三种视图你能想象出相应几何体的形状吗?(画出几何体的草图)解:作图如图所示.设计意图:第1题的练习,使学生不仅仅停留在画圆柱、圆锥、棱柱等基本几何体的三种视图上,而是尝试一些较为复杂的几何体视图的画法.第2题主要对“根据三种视图判断几何体的形状”这一知识点进行巩固.课堂小结谈谈今天的收获是什么?与同伴进行交流.(从数学知识、数学方法和数学思想方面引导学生思考)设计意图:通过开放式小结,使学生自主回顾、总结梳理所学知识,培养学生归纳、概括能力和表达能力.课堂8分钟.1.教材第142页习题5.5第1,2,3,4题.2.七彩作业.第3课时由三种视图判断几何体1.由三种视图确定几何体的步骤.根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的正面、上面和左面以及几何体的长、宽、高.从实线和虚线想象几何体看得见的部分和看不见部分的轮廓线.2.例题.教学反思。
北师版九上数学第五章章归纳总结
A
B
C
D
• 2.下列四幅图形中，表示两颗小树在同一 时刻阳光下的影子的图形可能是（ D）
•
解析：因为太阳光的光线是平行的. 过大
树的顶端及其影子的顶端作一条直线，再过小
树的顶端及其影子的顶端作一条直线，两直线
平行的就是阳光下的影子.因而选D.
• 3.已知，如图，AB和DE是直立在地面上的两根立 柱，请你在图中画出此时DE在阳光下的投影；
课后作业
1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题.
4.如何判断平行投影与中心投影
分别自两个物体的顶端及其影子的顶端作一条 直线，若两直线 平行 ，则为平行投影；若两直 线 相交 ，则为中心投影，其 交点 是光源的位置.
• (二)、视图
• 1.三种视图的内在联系：
• 主视图反映的是物体的 长和高 ；俯视图反映的是物体的 长和宽 ； 左视图反映的是物体的 高和宽 . 因此，在画三种视图时，主、俯视图 要长对正，主、左视图要高平齐，俯、左视图要宽相等.
本章归纳总结
北师大版 九年级上册
知识结构
三视图
左视图Leabharlann 复习旧知(一)投影 1.平行投影 太阳光线可以看成 平行 光线，像这样的光线所形
成的投影称为 平行投影 . 2.中心投影： 灯光的光线可以看成是从一点发出的（即为点光
源），像这样的光线所形成的投影称为 中心投影 .
3.产生中心投影光源的确定：分别自两个物体的顶 端及其影子的顶端作一条直线，这两条直线的交点 即为 光源 的位置.
• 2.三种视图的位置关系：
•
一般地，首先确定主视图的位置，画出主视图，然后在主视图的下
面画出俯视图，在主视图的左边画出左视图.
第五章 投影与视图(单元小结)九年级数学上册(北师大版)
考点专练
解：(1)作法：连接AC，过点D作DF∥AC，交直线BE于F 则EF就是DE的投影
(2)∵太阳光线是平行的 ∴AC∥DF ∴∠ACB＝∠DFE 又∵∠ABC＝∠DEF＝90° ∴△ABC∽△DEF ， ∴ AB BC
DE EF
∵AB＝5 m，BC＝4 m，EF＝6 m ∴ 5 4 ，∴DE＝7.5 m
知识专题
2.三视图作图规律： 画视图时， 主视图与俯视图的长对正， 主视图与左视图的高平齐， 左视图与俯视图的宽相等．
知识专题
3.常见几何体的三视图 几何体 主视图 左视图 俯视图
考点专练
考点1：投影 如图，AB和DE是直立在地面上的两根支柱，AB＝5 m，某 一时刻，AB在阳光下的投影BC＝4 m. (1)画出此时DE在阳光下的投影； (2)在测量AB的投影长时，同时测出DE在阳光下的投影长
DE 6
考点专练
考点2：物体↔三视图 如图是一个由多个相同小正方体搭成的几何体的俯
视图，图中所标数字为该位置小正方体的个数，画出这 个几何体的左视图．
解：如图所示：
考点专练
考点3：根据三视图进行相关计算 一个几何体的三视图如图所示，若其俯视图为正方形，
求这个几何体的全面积．
考点专练
解：∵俯视图为正方形，设正方形边长为a， ∴ a2 a2 2 ∴a＝ 2 S＝ 2 ×3×4＋ 2 × 2 ×2 ＝12 2＋4
中心投影
斜投影
正投影
平行投影
投影
知识专题
7.平行投影与中心投影的区别与联系
区别
投射线
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
物体与投影面 平行时的投影
联系
平行投影
(北师大版数学九上)第五章 投影与视图讲义
第五章投影与视图第4讲投影与视图一.知识梳理(一)投影【一般地，用光线照射物体，在某个平面(地面、墙壁等)上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面】1.中心投影(1)定义：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影，如物体在灯泡发出的光照射下形成影子就是中心投影.【在中心投影中，同一灯光下，改变物体的位置和方向，其投影也跟着发生变化；固定物体的位置和方向，改变灯光的位置，物体投影的方向和位置也要发生变化】(2)中心投影具有以下特点：①中心投影的投影线交于一点；②一个点光源把一个图形照射到一个平面上，这个图形的影子就是它在这个平面上的中心投影；③平面为投影面，各射线为投影线；④空间图形经过中心投影后，直线变成直线，但平行线可能变成了可以相交的直线；⑤中心投影后的图形与原图形相比虽然改变较多，但直观性强，看起来与人的视觉效果一致；⑥如果一个平面图形所在的平面与投射面平行，那么中心投影后得到的图形与原图形也是平行的，并且中心投影后得到的图形与原图形相似.名师点金：中心投影的三个特点：(1)等高物体垂直地面放置：①离点光源越近，影子越短；②离点光源越远，影子越长.(2)等长物体平行地面放置：①离点光源越近，影子越长；②离点光源越远，影子越短，但不会小于物体本身的长度.(3)点光源、物体边缘的点以及其在物体的影子上的对应点在同一条直线上.2.平行投影(1)定义：在一束平行光线(如阳光)照射下形成的投影叫做平行投影。
【在平行投影中，同一时刻改变物体的方向和位置，其投影也跟着发生变化】(2)分类平行投影法又分为斜投影法和正投影法。
①斜投影法：投射线倾斜于(＜90°)投影面，所得投影称为斜投影，如图所示.②正投影法：投射线垂直于投影面，所得投影称为正投影，如图所示.(3)性质①不垂直于投影面的直线或线段的正投影仍是直线或线段；②垂直于投影面的直线或线段的正投影是点；倾斜于投影面的线段，其正投影仍为线段，但比实际长度要短.③垂直于投影面的平面图形的正投影是直线或线段的一部分.(4)特点①平行直线的投影仍是平行或重合直线.②平行于投射面的线段，它的投影与这条线段平行且相等.③与投影面平行的图形，它的投影与这个图形全等；倾斜于投影面的平面图形，其投影仍为一平面图形.④在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比.名师点金：平行投影的特征及画法：(1)特征：①平行投影中，形成影子的光线是平行的，平行物体在地面上形成的影子平行或在同一直线上；②同一时刻，太阳光下，物高与影长成正比例；(2)画法：连接物体顶端与影子顶端得到形成影子的光线，过物体顶端作已知光线的平行线得到物体的影子.补充：在北半球，太阳一天中的朝向变化：东→东南→南→西南→西；在北半球，影子一天中的朝向变化和长短变化：朝向变化：西→西北→北→东北→东；长短变化：长→较长→短→较长→长.(二)三视图【能够正确反映物体长、宽、高尺寸的正投影工程图(主视图，俯视图，左视图三个基本视图)为三视图】•主视图—从正面看到的图左视图—从左面看到的图俯视图—从上面看到的图•画物体的三视图时,要符合如下原则:大小：长对正,高平齐,宽相等.•虚实:在画图时,看的见部分的轮廓通常画成实线,看不见部分的轮廓线通常画成虚线.二．实战演练考点一中心投影与平行投影（一）中心投影例1：(1)小刚走路时发现自己的影子越走越长，这是因为（）A.从路灯下走开，离路灯越来越远B.走到路灯下，离路灯越来越近C.人与路灯的距离与影子长短无关D.路灯的灯光越来越亮(2)如图，一球吊在空中，当发光的手电筒由远及近时，落在竖直木板上的影子会逐渐______.例2：某公司的外墙壁贴的是反光玻璃，晚上两根木棒的影子如图（短木棒的影子是玻璃反光形成的），请确定图中路灯灯泡所在的位置.例3：如图所示，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米,继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米．求路灯A的高度AB.典例分析（二）平行投影例1：如图：（A）（B）（C）（D）是一天中四个不同时刻的木杆在地面上的影子，将它们按时间先后顺序进行排列，为______．例2：已知两个电线杆在太阳光下形成两条不同的线段，那么这两条线段可能______，也可能______．例3：春分这一天，小彬上午9:00出去，测量了自己的影长，出去一段时间后回来时，发现这时的影长和上午出去时的影长一样长，则小明出去的时间大约为______小时．例4：某同学想测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.5米，在同时刻测量旗杆影长时，因旗杆靠近一幢楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上的影长为21米，留在墙上的影高为2米（如图），求旗杆的高度．例5：如图，某同学想测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长2米，在同时刻测量旗杆的影长时，旗杆的影子一部分落在地面上（BC），有一部分落在斜坡上（CD），他测得落在地面上影长为10米，留在斜坡上的影长为2米，∠DCE为45°，则旗杆的高度约为多少米？（参考数据：2≈1.4，3≈1.7）例6：如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上．已知铁塔底座宽CD＝12m，塔影长DE＝18m，小明和小华的身高都是1.6m，同一时刻，小明站在点E处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m和1m，那么塔高AB为____m.考点二视图例1：(1)如图是一个正方体被截去一个直三棱柱得到的几何体，则该几何体的左视图是（）(2)如图，图1是一个底面为正方形的直棱柱，现将图1切割成图2的几何体，则下列选项图是图2的俯视图是（）例2：画出如图所示几何体的三视图.例3：根据如图所示的三种视图，画出相应的几何体.例4：如图,给出的是一个由若干相同的小正体搭成的立体图形的主视图和左视图，则图中最少有___个小正方体，最多有___个小正方体.1.晚上，小华出去散步，在经过一盏路灯时，他发现自己的身影是（）A.变长B.变短C.先变长后变短D.先变短后变长2.某一同学在上午上学路上和下午放学路上都看不到自己的影子，则该同学的家在学校的（） A.东边 B.南边 C.西边 D.北边3.正方形纸片在阳光下的投影不可能是下列那些？①正方形②矩形③菱形④梯形⑤线段⑥平行四边形4.下列图中是在太阳光下形成的影子的是（）5.如图，是由三个相同的小正方体组成的几何体，该几何体的俯视图是（）课后作业6.由若干个小正方体构成的几何体的主视图和左视图都是如图所示，则该几何体最多有_____个小正方体，最少有_____个小正方体．7.兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.4米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.4米，则树高为（）A．11.5米 B．11.75米C．11.8米D．12.25米8.画出如图所示几何体的三视图.9.根据如图所示的三种视图，你能想象出相应几何体的形状吗？(画出几何体的草图)10.晚饭后，小聪和小军在社区广场散步，小聪问小军：“你有多高？”小军一时语塞，小聪思考片刻，提议用广场照明灯下的影长及地砖长来测量小军的身高，于是，两人在灯下沿直线NQ移动，如图，当小聪正好站在广场的A点（距N点5块地砖长）时，其影长AD恰好为1块地砖长；当小军正好站在广场的B点（距N点9块地砖长）时，其影长BF恰好为2块地砖长，已知广场地面由边长为0.8米的正方形地砖铺成，小聪的身高AC为1.6米，MN⊥NQ，AC⊥NQ，BE⊥NQ，请你根据以上信息，求出小军身高BE的长（结果精确到0.01米）11.“未爱广场”旗杆AB旁边有一个半圆的时钟模型，如图，时钟的9点和3点的刻度线刚好和地面重合，半圆的半径2米，旗杆的底端A到钟面9点刻度C的距离为5米，一天小明观察到阳光下旗杆顶端B的影子刚好投到时钟的11点的刻度上，同时测得一米长的标杆的影长1.6米，求旗杆AB的高度？1.在同一时刻，两根长度不等的竿子置于阳光之下，但看到它们的影长相等，那么这两根竿子的相对位置是（）A．两竿都垂直于地面 B．两竿平行斜插在地上C．两根竿子不平行D．一根竿倒在地上2.在同一时刻的阳光下，小明的影子比小强的影子长，那么在同一路灯下（）A.小明的影子比小强的影子长B.小明的影子比小强的影子短C.小明的影子和小强的影子一样长D.无法判断谁的影子长3.(1)如图，是一个由相同小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置上的小正方体的个数，则这个几何体的左视图是（）(2)如图，正四棱锥的俯视图是选项中的（）直击中考4.一个几何体的三视图如图所示，它的俯视图为菱形，，该几何体的侧面积是____cm².5.画出下列几何体的三视图6.已知某立体图形的三视图如下，请你画出这个立体图形.7.一天晚上，李明和张龙利用灯光下影子的长来测量一路灯D高度，如图，当李明走到点A 处时，张龙测得李明直立时身高AM与其影子长AE正好相等；接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子是线段AB，并测得AB=1.25m,已知李明直立时的身高为1.75m.求路灯的高CD的长.（结果精确到0.1m）。
北师大版九年级上册数学 第五章 投影与视图 复习 (共29张PPT)
回顾与思考
课前准备 构建知识框架
一、选择题： 1．下列命题正确的是【 C 】 A、三视图是中心投影 B、正方体的主视图一定是正方形 C、球的三视图均是半径相等的圆 D、阳光从矩形窗子里照射到地面上得到的光
区仍是矩形
2．平行投影中的光线是【 A 】
A、平行的
B、聚成一点的
C、不平行的 D、向四面八方发散的
A组：1、如图是一个几何体的实物图，则其主视图是 （）
A
B
C
D
2、小华为了测量所住楼房的高度，他请来同学帮忙， 测量了同一时刻他自己的影长和楼房的影长分别是 0.5米和15米，已知小华的身高为1.6米，那么他所住 的楼房的高度为______米
B组：3、画出下列几何体的三种视图。
C组：4、如图所示，这是圆桌正上方的灯泡（看 作一个点）发出的光线照射桌面后，在地面上 形成阴影（圆形）的示意图.
9、与一盏路灯相对，有一玻璃幕墙，幕墙 前面的地面上有一盆花和一棵树。 晚上，幕墙反射路灯灯光形成了那盆花的
影子(如图所示)，树影 P是路灯灯光形成
的。你能确定此时路灯光源的位置吗？
10、如图，粗线表示嵌在玻璃正方体内的一根 铁丝，请画出该正方体的三视图：
主视图 左视图
俯视图
11、下面是一天中四个不同时刻两座建筑物的影子， 将它们按时间先后顺序进行排列为
7、小亮在上午8时、9时30分、10时、12时四次
到室外的阳光下观察向日葵的头茎随太阳转动
的情况，无意之中，他发现这四个时刻向日葵
影子的长度各不相同，那么影子最长的时刻为
【】
A.上午12时
B.上午10时
C.上午9时30分 D.上午8时
8、对同一建筑物，相同时刻在太阳光下的影子 冬天比夏天【 】 A.短 B.长 C.看具体时间 D.无法比较
2024年北师大版九年级上册教学第五章 投影与视图投影
第1课时中心投影课时目标1.通过实例了解投影、中心投影的概念.2.在具体操作活动中,初步感受在点光源下物体影子的变化情况;在具体情境中了解在点光源下影响物体影子长度的一些因素;会进行中心投影的有关画图.3.通过相互间的合作与交流,进一步发展学生合作交流的能力和数学表达能力.学习重点中心投影的概念及相关画图.学习难点根据物体的影子找光源.课时活动设计情境引入成影现象调查(提前一周布置)以4人合作小组为单位,开展调查活动.(1)让学生尽可能多收集生活中各类成影现象(用电子图片形式呈现).(2)小组长整理所收集的图片(如图),统一规格要求,交给数学教师.要求学生通过观察真实成影现象(包括生活中观察的成影、视频看到的成影现象、上网调查的成影问题等),得到有关成影图片资源,收集的资源尽量多样化.在必要的情况下,教师可以对学生选择调查对象方面给予一定的指导,使调查更有实效性.小结:物体在光线的照射下,会在地面或其他平面上留下它的影子,这就是投影现象.影子所在的平面称为投影面.设计意图:通过调查活动,指导学生利用现有手段获取有效信息,培养学生善于观察生活、乐于探索研究的学习品质及与他人合作交流的意识;而在本节课和下节课的学习活动中,学生通过对他们自己收集且感兴趣的问题展开学习,将极大地激发学生学习的积极性与主动性,提高教学的实效性.做一做取一些长短不等的小棒和三角形、矩形纸片,用手电筒(或台灯)等去照射这些小棒和纸片,观察它们的影子.(1)固定手电筒(或台灯),改变小棒或纸片的摆放位置和方向,它们的影子分别发生了什么变化?(2)固定小棒或纸片,改变手电筒(或台灯)的摆放位置和方向,它们的影子分别发生了什么变化?小结:手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一个点发出的,这样的光线所形成的投影称为中心投影.设计意图:通过具体操作,使学生体会在点光源下物体影子的变化情况.在此基础上,引出中心投影的概念.典例精讲结合中心投影的特点,完成确定点光源方法的学习.例确定图中路灯灯泡所在的位置.教师:结合你们刚才对中心投影的理解,请在图中尝试找一下灯泡的位置.学生:动手探究.教师:走入学生巡视,捕捉教学资源,进行教学指导.根据学生反应情况,教师选择下列方式进行过程性点拨.1.在同一灯光下,物体的影子与物体上对应点的连线过灯泡所在的位置吗?2.如何找物体与影子上的对应点?3.找一对对应点可以确定灯泡的位置吗?4.能够找到灯泡位置的同学,请思考你确定灯泡位置的原理和刚才的具体操作步骤并尝试在图旁边写下来.根据学生反应的情况,教师使用实物投影展示,对下列情境进行过程性打断纠错.1.找错对应点.2.所画光线不进行适当延长,没有相交.3.所画光线不考虑实际背景,画入了地平线以下.4.找到灯泡位置,未用字母表示.待绝大多数学生正确完成灯泡位置的确定,大部分学生在思考原理及步骤,部分学生开始书写原理及步骤(确保学生有资源可以交流),教师适时打断,引导学生讨论确定灯泡位置方法的原理和具体操作的步骤,并要求小组派代表进行汇总发言(确保学生真正参与交流),使全班同学掌握作图原理及操作步骤,明确对应点的正确找取是确定灯泡位置的关键.注意事项:教师要注意欲速则不达,放手让学生进行探究,当出现较严重的知识性问题或较多学生出现错误时,再适时进行过程性的纠错和点拨,留更多的知识点、能力点让学生在探究和合作交流中得以自我发现学习.教师板书正确答案.解:如图,过一根木杆的顶端及其影子的顶端画一条直线,再过另一根木杆的顶端及其影子的顶端画一条直线,两线相交于点O.点O就是路灯灯泡所在的位置.设计意图:通过独立探究、合作交流,使学生对中心投影有更加深入的认识,并能够应用原理解决实际问题.议一议如图,一个广场中央有一盏路灯.(1)高矮相同的两个人在这盏路灯下的影子一定一样长吗?(2)高矮不同的两个人在这盏路灯下的影子有可能一样长吗?那么什么情况下他们的影子一样长呢?请实际试一试,并与同伴交流.解:(1)高矮相同的两个人在这盏路灯下的影子不一定一样长.(2)高矮不同的两个人在这盏路灯下的影子有可能一样长.当他们到这盏路灯的距离一样时,他们的影子一样长.设计意图:让学生了解在点光源下影响物体影子长度的一些因素.巩固训练练习1两棵小树在一盏路灯下的影子如图所示.(1)确定该路灯灯泡所在的位置;(如图点O即为灯泡所在的位置)(2)画出图中表示婷婷影长的线段.(如图线段AB即为婷婷的影长)练习2请同学们在图中画出小红在走向路灯时三个时刻的影子的情况,并思考在中心投影现象中,物体离光源的远近的变化会对影子的长短带来怎样的变化.通过作图,引导学生发现中心投影,物体与光源距离的远近影响投影的长短.设计意图:通过练习1,进一步巩固学生对中心投影特点的认识,熟练找光源的方法;通过练习2,引导学生思考中心投影的各种情况.学生经历实践、探索的过程,既培养了学生的动手实践能力,积累了数学活动经验,又加深了对中心投影的了解.课堂小结谈谈今天的收获是什么?与同伴进行交流.(从数学知识、数学方法和数学思想方面引导学生思考)设计意图:通过开放式小结,使学生自主回顾、总结梳理所学知识,培养学生归纳、概括能力和表达能力.课堂8分钟.1.教材第128页习题5.1第1,2,3题.2.七彩作业.第1课时中心投影1.投影:物体在光的照射下,在地面或其他平面上留下它的影子,就是投影.2.中心投影:从一个点出发的光线所形成的投影称为中心投影.3.例题、练习题.教学反思第2课时平行投影课时目标1.通过背景丰富的实例了解平行投影和正投影的概念.2.通过具体操作活动,初步感受太阳光下物体影子的变化情况;认识太阳光下物体影子的长短与方向的变化规律;能运用平行投影的基本规律解决一些简单问题.3.在具体情境中认识中心投影与平行投影的区别.4.经历操作、观察、分析、抽象、概括、想象、推理、交流等过程,进一步积累数学活动经验,增强动手实践能力,发展空间观念.学习重点通过具体操作和实际观察活动,认识太阳光下物体影子的长短与方向的变化规律;能运用平行投影的基本规律解决一些简单问题;在具体情境中认识中心投影与平行投影的区别.学习难点让学生经历操作与观察、演示与想象、直观与推理等过程,自己归纳总结出有关结论.课时活动设计情境引入太阳光成影现象调查(提前一周布置,利用周末时间完成)以4人合作小组为单位,开展调查活动.活动:取若干长短不等的小棒及三角形、矩形纸片,观察它们在太阳光下的影子.(1)固定投影面,改变小棒或纸片的摆放位置和方向,它们的影子分别发生了什么变化?(2)固定小棒或纸片,改变投影面的摆放位置和方向,它们的影子分别发生了什么变化?小结:太阳光线可以看成平行光线,平行光线所形成的投影称为平行投影.图1,图2表示的都是平行投影,其中图2中的平行光线与投影面垂直,这种投影称为正投影.图1图2注意事项:在体会物体在太阳光下形成的影子随着物体与投影面的相对位置关系的改变而改变时,尤其要让学生观察两类特殊位置时的情形:①小棒或纸片与投影面平行;②光线与投影面垂直.对于①,要让学生观察物体影子的形状和大小的特点(物体与其影子“全等”).对于②,要让学生观察“物体影子的形状和大小”随“物体与投影面的相对位置”变化而变化的规律,如当物体平行于投影面时情况如何,当物体倾斜于投影面时情况如何,当物体垂直于投影面时情况又如何等等.设计意图:通过具体操作,体会物体在太阳光下形成的影子随着物体与投影面的位置关系的改变而改变,在此基础上引出平行投影与正投影的概念.提高学生观察生活的能力以及合作能力.在中心投影的学习后,自然对比中心投影与平行投影的异同,为本节课的学习创设学习氛围,提升本节课的学习效果.议一议1.如图所示的三幅图片是我国北方某地某天上午不同时刻的同一位置拍摄的.(1)在三个不同时刻,同一棵树的影子长度不同,请将它们按拍摄的先后顺序进行排列,并说明你的理由.解:先后顺序为(丙)(乙)(甲).理由:太阳东升西落.在早晨,太阳位于正东方向,此时树的影子较长,影子位于树的正西方向.在上午,随着太阳位置的变化,树的影子的长度逐渐变短,树的影子也由正西方向向正北方向移动.(2)在同一时刻,两棵树影子的长度与它们的高度之间有什么关系?与同伴交流.解:在同一时刻,大树高度与其影长之比等于小树高度与其影长之比.2.教师课前整理太阳光成影现象调查,选择适合学生的资源进行多媒体展示,选1个小组代表结合照片与统计的数据表格对同一时刻.不同高度的物体的影子的长短的情况进行介绍,其他小组同学进行补充,使学生明晰同一时刻,不同高度的物体的影子的长短不相同,物高与影长之间存在“A物高∶A影长=B物高∶B 影长”.教师结合图片,适时引导学生运用相似的知识对原理进行解释.设计意图:通过两个问题的设置,让学生在亲身参与的基础上,进行展示及讨论交流,让学生初步学会本节课的研究内容,在小组讨论的基础上得出两个问题的答案,进一步培养学生探究知识的能力,体会到自主学习的乐趣,为学生以后更好地学习新知奠定基础.学生在探究完教师的问题后,教师出示课前准备的图片,让学生验证变化规律的成因,给学生一个完整的知识结构.典例精讲例某校墙边有甲、乙两根木杆,已知乙木杆的高度为1.5 m.(1)某一时刻甲木杆在阳光下的影子如图所示.你能画出此时乙木杆的影子吗?(2)在图中,当乙木杆移动到什么位置时,其影子刚好不落在墙上?(3)在(2)的情形下,如果此时测得甲、乙木杆的影子长分别为1.24 m和1 m,那么你能求出甲木杆的高度吗?解:(1)如图1,连接DD',过点E作DD'的平行线,交AD'所在的直线于点E'.BE'就是乙木杆的影子.图1图2(2)如图2,平移由乙木杆、乙木杆的影子和太阳光线所构成的图形(即△BEE'),直到乙木杆影子的顶端E'抵达墙根为止.(3)因为△ADD'∽△BEE',所以,ADBE =AD'BE',即AD1.5=1.241.所以,甲木杆的高度为AD=1.5×1.241=1.86(m).设计意图:通过问题(1)深化学生所学知识,发现物体、影子、光线这三者之间,确定其中的两个因素即可确定第三个因素;通过问题(2),让学生学会动态看待投影问题;通过问题(3),使学生能够运用所探究到的知识解决实际问题,借助例题讲解的形式,让学生深入了解并运用上一环节所学的相关知识.巩固训练请完成以下两道题目,并与同伴交流你的方法.1.图中是两棵小树在同一时刻的影子,请在图中画出形成树影的光线.它们是太阳的光线还是灯光的光线?与同伴交流.解:如图即为所作,它们是灯光的光线.2.图中的影子是在太阳光下形成的还是在灯光下形成的?画出同一时刻旗杆的影子(用线段表示),并与同伴交流这样做的理由.解:太阳光下形成的,如图,旗杆的影子为线段AB.理由:过大树的顶端及其影子的顶端作一条直线,再过小树的顶端及其影子的顶端作一条直线,两条直线是平行的,因而是太阳光下形成的影子,过旗杆的顶端作一条与前面所作的两条直线中的任意一条平行的直线,其与地面相交,则以该交点和旗杆的底端为两个端点线段AB即为旗杆的影子.2.如图1,中间是一盏路灯,周围有一圈栏杆,图2,图3表示的是这些栏杆的阴影,但没有画完,请你把图2,图3补充完整.图1图2图3图4图5解:图2是中心投影,图3是平行投影.补充完整的图如图4,图5所示.设计意图:通过活动进一步巩固学生对平行投影和中心投影的认识,能熟练确定投影类型.经历实践探索、交流讨论的过程,培养学生的动手实践能力,积累数学活动经验,掌握投影现象的特点.课堂小结谈谈你的收获是什么?与同伴进行交流.(从数学知识、数学方法和数学思想方面引导学生思考)设计意图:通过开放式小结,使学生自主回顾、总结梳理所学知识,培养学生归纳、概括和表达能力.课堂8分钟.1.必做题:教材第132页习题5.2第1,3题;选做题:教材第133页习题5.2第4题.2.七彩作业.第2课时平行投影投影教学反思。
北师大版九年级数学(上)第5章 投影与视图常考题及答案解析
《第5章投影与视图》常考题1.如图是某兴趣社制作的模型，则它的俯视图是( )A.B.C.D.2.在小明住的小区有一条笔直的路，路中间有一盏路灯，一天晚上，他行走在这条路上，如图，当他从A点走到B点的过程，他在灯光照射下的影长l与所走路程s的变化关系图象大致是( )A. B. C. D.3.如图是由几个小立方块所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数，则这个几何体的左视图为( )A. B. C. D.4.如图所示的几何体，其俯视图是( )A.B.C.D.5.下列光线所形成是平行投影的是( )A. 太阳光线B. 台灯的光线C. 手电筒的光线D. 路灯的光线6.下列几何体中，从正面观察所看到的形状为三角形的是( )A. B. C. D.7.下列结论中正确的是( )①在阳光照射下，同一时刻的物体，影子的方向是相同的．②物体在任何光线照射下影子的方向都是相同的．③固定的物体在路灯照射下，影子的方向与路灯的位置有关．④固定的物体在光线照射下，影子的长短仅与物体的长短有关．A. ①③B. ①③④C. ①④D. ②④8.已知某物体的三视图如图所示，那么与它对应的物体是( )A. B. C. D.9.下列四幅图中，能表示两棵树在同一时刻太阳光下的影子的图是( )A. B.C. D.10.下列立体图形中，它的三视图都相同的是( )A. B. C. D.11.从正面和上面看一个几何体的平面图形，如图所示．若这个几何体最多由n个小正方体组成，最少由m个小正方体组成，则m+n=______．12.一个由若干个相同的小正方体组成的几何体的主视图和俯视图如图所示，则小正方体的最少个数为______．13.“横看成岭侧成峰，远近高低各不同，不识庐山真面目，只缘身在此山中．”这是宋代诗人苏轼的著名诗句(《题西林壁》).其“横看成岭侧成峰”中所含的数学道理是．14.将7个棱长为1的小立方体摆成如图所示几何体，该几何体的俯视图的面积为______ ．15.如图所示，水平放置的长方体的底面是长为4cm、宽为2cm的长方形，它的主视图的面积为16cm2，则长方体的体积等于______cm3．16.请写出一个三视图都相同的几何体：______．17.如图，一棵树(AB)的高度为7.5米，下午某一个时刻它在水平地面上形成的树影长(BE)为10米，现在小明想要站这棵树下乘凉，他的身高为1.5米，那么他最多离开树干______米才可以不被阳光晒到？18.一个长方体的三视图如图所示，若其俯视图为正方形，则这个长方体的表面积为______ ．19.在测量旗杆高度的活动课中，某小组学生于同一时刻在阳光下对一根直立于平地的竹竿及其影长和旗杆的影长进行了测量，得到的数据如图所示，根据这些数据计算出旗杆的高度为______m.20.如图1所示的是由8个相同的小方块组成的几何体，它的三个视图都是2×2的正方形.若拿掉若干个小方块后，从正面和左面看到的图形如图2所示，则最多可以拿掉小方块的个数为______ ．21.如图是由五块积木搭成，这几块积木都是相同的正方体，请画出这个图形的主视图、左视图和俯视图．22.用小立方体搭一个几何体，使它从正面、从上面看到的形状图如图所示．(1)它最多需要多少个小立方体？它最少需要多少个小立方体？(2)请你画出这两种情况下的从左面看到的形状图．23.(1)如图是一个组合几何体的两种视图，请写出这个组合几何体是由哪两种几何体组成的；(2)根据两种视图中尺寸(单位：cm)，计算这个组合几何体的体积．(结果保留π)24.如图，是由两个长方体组合而成的一个立体图形的主视图和左视图，根据图中所标尺寸(单位：mm)．(1)直接写出上下两个长方体的长、宽、高分别是多少；(2)求这个立体图形的体积．25.如图，已知一个几何体的主视图与俯视图，求该几何体的体积．(π取3.14，单位：cm)26.学校食堂厨房的桌子上整齐地摆放着若干相同规格的碟子，碟子的个数与碟子的高度的关系如下表：碟子的个数碟子的高度(单位：cm)1222+1.532+342+4.5……(1)当桌子上放有x(个)碟子时，请写出此时碟子的高度(用含x的式子表示)；(2)分别从三个方向上看，其三视图如上图所示，厨房师傅想把它们整齐叠成一摞，求叠成一摞后的高度．27.如图，AB是公园的一圆形桌面的主视图，MN表示该桌面在路灯下的影子；CD则表示一个圆形的凳子的主视图．(1)请你在图中标出路灯O的位置，并画出CD的影子PQ(要求保留画图痕迹，光线用虚线表示)；(2)若桌面直径和桌面与地面的距离均为1.2m，测得影子的最大跨度MN为2m，求路灯O与地面的距离．28.如图，从上往下看A、B、C、D、E、F六个物体，能得到a、b、c、d、e、f六个图形，请把上下两行中对应的图形与物体连接起来．29.如图是由7个完全相同的小立方块搭成的几何体，已知每个小立方块的棱长为2cm．(1)画出该几何体的三视图；(2)求出该几何体的表面积．30.如图，路灯(P点)距地面9米，身高1.5米的小云从距路灯的底部(O点)20米的A点，沿OA所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？答案和解析1.【答案】B【解析】解：该几何体的俯视图是：由两个长方形组成的矩形，且矩形的之间有纵向的线段隔开．故选：B．根据俯视图即从物体的上面观察得得到的视图，进而得出答案．本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．解答此题时要有一定的生活经验．2.【答案】C【解析】解：当他从A点走到路灯下时，影长l逐渐变小，当从路灯下走到B点时，他在灯光照射下的影长l逐渐变长．故选：C．根据中心投影的特点，当他从A点走到路灯下时，影长l逐渐变小，当从路灯下走到B点时，他在灯光照射下的影长l逐渐变长，即随S的逐渐增大，l先由大变小，再由小变大，从而可对四个选项进行判断．本题考查了中心投影：由同一点(点光源)发出的光线形成的投影叫做中心投影．如物体在灯光的照射下形成的影子就是中心投影．中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面平行时的投影是放大(即位似变换)的关系．也考查了函数图象．3.【答案】A【解析】解：从左面看可得到从左到右分别是3，2个正方形．故选：A．由已知条件可知，左视图有2列，每列小正方形数目分别为3，2.据此可作出判断．本题考查几何体的三视图．由几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字．4.【答案】A【解析】解：从上面看是一个矩形，矩形的中间处有两条纵向的实线，实线的两旁有两条纵向的虚线．故选：A．找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．5.【答案】A【解析】解：四个选项中只有太阳光可认为是平行光线；故太阳光线下形成的投影是平行投影．故选：A．判断投影是平行投影的方法是看光线是否是平行的，如果光线是平行的，所得到的投影就是平行投影．本题考查平行投影的概念，属于基础题，注意基本概念的掌握是关键．6.【答案】A【解析】解：A.从正面看是一个等腰三角形，故本选项符合题意；B.从正面看是一个矩形，矩形的中间有一条纵向的实线，故本选项不符合题意；C.从正面看是一个圆，故本选项不符合题意；D.从正面看是一个矩形，故本选项不符合题意；故选：A．利用从正面看到的图叫做主视图判断即可．此题主要考查了简单组合体的三视图，正确把握观察角度得出正确视图是解题关键．7.【答案】A【解析】解：①由于太阳光线是平行光线，所以物体在阳光照射下，影子的方向是相同的，故正确；②物体在太阳光线照射下影子的方向都是相同的，在灯光的照射下影子的方向与物体的位置有关，故错误；③物体在路灯照射下，影子的方向与路灯的位置有关，故正确；④物体在点光源的照射下，影子的长短与物体的长短和光源的位置有关，故错误．所以正确的有①③．故选：A．利用平行投影和中心投影的特点和规律分别分析可判断正误．本题考查了平行投影和中心投影的特点和规律．平行投影的特点是：在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例．中心投影的特点是：①等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长；②等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短．8.【答案】C【解析】解：由三视图知，该几何体是下面是长方体，上面是一个圆柱体，且长方体的宽与圆柱底面直径相等，符合这一条件的是C选项几何体，故选：C．该几何体是下面是长方体，上面是一个圆柱体，且长方体的宽与圆柱底面直径相等，从而得出答案．本题主要考查由三视图判断几何体，由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．9.【答案】C【解析】解：A、两棵小树的影子的方向相反，不可能为同一时刻阳光下影子，所以A选项错误；B、两棵小树的影子的方向相反，不可能为同一时刻阳光下影子，所以B选项错误；C、在同一时刻阳光下，树高与影子成正比，所以C选项正确．D、图中树高与影子成反比，而在同一时刻阳光下，树高与影子成正比，所以D选项错误；故选：C．根据平行投影的特点，利用两小树的影子的方向相反可对选项A、B进行判断；利用在同一时刻阳光下，树高与影子成正比可对选项C、D进行判断．本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．10.【答案】A【解析】解：球的三视图都是大小相同的圆，因此选项A符合题意；圆锥的主视图、左视图都是等腰三角形，俯视图是圆，因此选项B不符合题意；三棱柱主视图、左视图是长方形，俯视图为三角形，因此选项C不符合题意；圆柱的主视图、左视图是长方形，俯视图为圆，因此选项D不符合题意；故选：A．根据球体、圆锥体、圆柱体、三棱柱的三视图进行判断即可．本题考查简单几何体的三视图，理解视图的意义是正确判断的前提．11.【答案】16【解析】解：易得第一层有4个正方体，第二层最多有3个正方体，最少有2个正方体，第三层最多有2个正方体，最少有1个正方体，n=4+3+2=9，m=4+2+1=7，所以m+n=9+7=16．故答案为：16．主视图、俯视图是分别从物体正面、上面看所得到的图形．考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．12.【答案】7【解析】解：由俯视图易得最底层有4个正方体，由主视图第二层最少有2个正方体，由主视图第三层最少有1个正方体，那么最少有4+2+1=7个立方体．故答案为：7．易得这个几何体共有3层，由俯视图可得第一层正方体的个数，由主视图可得第二层和第三层正方体的可能的最少个数，相加即可．本题考查了由三视图判断几何体．俯视图小正方形的个数即为最底层的小正方体的个数，主视图第二层和第三层小正方形的个数即为其余层数小正方体的最少个数．13.【答案】从不同的方向观察同一物体时，看到的图形不一样【解析】解：根据从不同的方向观察物体，得到图形可能不同，所以“横看成岭侧成峰”从数学的角度解释为从不同的方向观察同一物体时，看到的图形不一样．故答案为：从不同的方向观察同一物体时，看到的图形不一样．根据从不同的方向看物体得到图形可能不同，可得答案．本题考查了从不同的方向看物体．14.【答案】4【解析】解：从上面看，底层是两个小正方形，上层是两个小正方形，所以该几何体的俯视图的面积为4．故答案为：4．据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图是解题关键．15.【答案】32【解析】解：依题意，得长方体的体积=16×2=32cm3．故答案为：32．由主视图的面积=长×高，长方体的体积=主视图的面积×宽，得出结论．本题考查了简单几何体的三视图．关键是明确主视图是由长和高组成的．16.【答案】球(或正方体)【解析】解：球的三视图是3个全等的圆；正方体的三视图是3个全等的正方形，故答案为：球(或正方体)．三视图分为主视图、左视图、俯视图，分别是从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，找到从3个方向得到的图形全等的几何体即可．考查三视图的有关知识，注意三视图都相同的常见的几何体有球或正方体．17.【答案】8【解析】解：设小明这个时刻在水平地面上形成的影长为x米，根据题意得x1.5=107.5，解得x=2，小明这个时刻在水平地面上形成的影长为2米，因为10−2=8(米)，所以他最多离开树干8米才可以不被阳光晒到．故答案为8．=设小明这个时刻在水平地面上形成的影长为x米，利用同一时刻物体的高度与影长成正比得到x1.510，解得x=2，然后计算两影长的差即可．7.5本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．同一时刻物体的高度与影长成正比．18.【答案】66【解析】解：如图所示：AB=3√2，∵AC2+BC2=AB2，∴AC=BC=3，∴正方形ACBD面积为：3×3=9，侧面积为：4AC×CE=3×4×4=48，故这个长方体的表面积为：48+9+9=66．故答案为：66．根据三视图图形得出AC=BC=3，EC=4，即可求出这个长方体的表面积．此题主要考查了利用三视图求长方体的表面积，得出长方体各部分的边长是解决问题的关键．19.【答案】12【解析】【分析】本题只要是把平行投影的问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求解即可，体现了转化的思想．此题的文字叙述比较多，解题时要认真分析题意．利用平行投影的性质，相似三角形的对应边成比例解答．【解答】解：设旗杆的高度为xm，根据题意，得：x9=0.80.6，解得：x=12，即旗杆的高度为12m，故答案为：12．20.【答案】5【解析】解：根据题意，拿掉若干个小立方块后保证从正面和左面看到的图形如图2所示，所以最底下一层必须有2个小立方块，上面一层必须保留1个立方块，所以最多能拿掉小立方块的个数为8−(2+1)=5(个)．故答案为：5．拿掉若干个小立方块后保证从正面和左面看到的图形如图2所示，所以最底下一层必须有2个小立方块，上面一层必须保留1个立方块，即可知最多可以拿掉小立方块的个数．本题考查了由三视图判断几何体，几何体的三种视图，掌握定义是关键．解决此类图的关键是由立体图形得到三视图，学生由于空间想象能力不够，易造成错误．21.【答案】解：从正面看从左往右2列正方形的个数依次为3，1；从左面看从左往右2列正方形的个数依次为3，1；从上面看从左往右2列正方形的个数依次为2，1；【解析】画出从正面，左面，上面看，得到的图形即可．考查画三视图的知识；用到的知识点为：主视图，左视图，俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形．22.【答案】解：这样的几何体不只有一种，它最多需要2×5=10个小立方体，它最少需要2×3+ 2=8个小立方体．小立方体最多时的左视图有2列，从左往右依次为2，2个正方形；小立方体最少时的左视图有2种情况：①有2列，从左往右依次为1，2个正方形；②有2列，从左往右依次为2，2个正方形；如图所示：【解析】利用左视图以及主视图可以得出这个几何体最多的块数、以及最少的块数．再画出这两种情况下的从左面看到的形状图．本题主要考查了简单组合体的三视图，主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．23.【答案】解：(1)这个组合几何体是由圆柱和长方体组成的；)2×6=80+24π(cm3).(2)体积=8×5×2+π(42【解析】(1)找到从正面和上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在视图中．(2)根据题目所给尺寸，计算出几何体的体积即可．此题主要考查了简单几何体的三视图，以及几何体的表面积，关键是掌握三视图所看的位置．24.【答案】解：(1)根据三视图可得：上面的长方体长4mm，高4mm，宽2mm，下面的长方体长6mm，宽8mm，高2mm；(2)立体图形的体积是：4×4×2+6×8×2=128(mm3).【解析】(1)根据三视图得到两个长方体的长，宽，高即可；(2)根据(1)中各部分的尺寸计算体积即可．此题主要考查了由三视图判断几何体以及求几何体的体积，根据图形看出长方体的长，宽，高是解题的关键．25.【答案】解：3.14×(20÷2)2×32+30×25×40=3.14×100×32+30000=10048+30000=40048(cm3).故该几何体的体积是40048cm3．【解析】该几何体一个圆柱叠放在一个长方体上面，因此体积是一个圆柱体和一个长方体体积的和．本题考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是判断该几何体的形状．26.【答案】解：由题意得：(1)2+1.5(x−1)=1.5x+0.5(2)由三视图可知共有12个碟子∴叠成一摞的高度=1.5×12+0.5=18.5(cm)【解析】由表中给出的碟子个数与碟子高度的规律，可以看出碟子数为x时，碟子的高度为2+ 1.5(x−1)．考查获取信息(读表)、分析问题解决问题的能力．找出碟子个数与碟子高度的之间的关系式是此题的关键．27.【答案】解：(1)如图，连接MA、NB并延长，它们的交点即为路灯O的位置，再连接OC、OD，并延长交地面于点P、Q，连接PQ，则PQ为CD的影子，所以点O和PQ为所作；(2)如图，过点O作OF⊥MN交AB于点E，交MN于点F，由题可得AB=1.2m，EF=1.2m，MN=2m，∵AB//MN，∴△OAB∽△OMN，∴AB：MN=OE：OF，即1.2：2=(OF−1.2)：OF，解得OF=3(m)．答：路灯O与地面的距离为3m．【解析】(1)连接MA、NB并延长，它们的交点即为路灯O的位置，然后再连接OC、OD，并延长交地面于点P、Q点，连接PQ，则PQ为CD的影子；(2)如图，过点O作OF⊥MN交AB于点E，交MN于点F，由题可得AB=1.2m，EF=1.2m，MN=2m，证明△OAB∽△OMN，利用相似比等于对应高的比，计算出OF即可得到路灯O与地面的距离．本题考查了中心投影：由同一点(点光源)发出的光线形成的投影叫做中心投影．如物体在灯光的照射下形成的影子就是中心投影，中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．也考查了相似三角形的判定与性质．28.【答案】解：连线如下：【解析】俯视图是从物体上面所看到的图形，可根据各立体图形的特点进行判断．本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看所得到的视图．29.【答案】解：(1)如图所示：；(2)该几何体的表面积为(5+3+5)×2×2×2=112(cm2).答：该几何体的表面积是112cm2．【解析】(1)主视图有3列，每列小正方形数目分别为2，1，2；左视图有2列，每列小正方形数目分别为2，1；俯视图有3列，每行小正方形数目分别为2，2，1；(2)几何体的表面积就是利用主视图、左视图、俯视图所看到的面的个数乘以2再乘以每个小正方形的面积即可．本题考查实物体的三视图．在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉．30.【答案】解：∵∠MAC=∠MOP=90°，∠AMC=∠OMP，∴△MAC∽△MOP，∴MAMO =ACOP，即MA20+MA =1.59，解得，MA=4米；同理，由△NBD∽△NOP，可求得NB=1.2米，则马晓明的身影变短了4−1.2=2.8米．∴变短了，短了2.8米．【解析】根据AC//BD//OP，得出△MAC∽△MOP，△NBD∽△NOP，再利用相似三角形的性质进行求解，即可得出答案．此题考查了中心投影，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解答问题．。
北师大版九年级数学上册《投影与视图》知识点归纳
北师大版九年级数学上册《投影与视图》知识点归纳北师大版九年级数学上册《投影与视图》知识点归纳1、投影：物体在光线的照射下，会在地面或墙壁上留下它的影子，这就是投影。
影子所在的平面称为投影面。
中心投影：手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一点出发的，像这样的光线所形成的投影称为中心投影。
平行投影：太阳光线可以看成平行的光线，平行光线所形成的投影称为平行投影。
区分平行投影和中心投影：观察光源；观察影子。
眼睛的位置称为视点；由视点发出的线称为视线；眼睛看不到的地方称为盲区。
提示：点在一个平面上的投影仍是一个点；线段在一个面上的投影可分为三种情况：线段垂直于投影面时，投影为一点；线段平行于投影面时，投影长度等于线段的实际长度；线段倾斜于投影面时，投影长度小于线段的实际长度。
平面图形在某一平面上的投影可分为三种情况：平面图形和投影面平行的情况下，其投影为实际形状；平面图形和投影面垂直的情况下，其投影为一线段；平面图形和投影面倾斜的情况下，其投影小于实际的形状。
正投影：平行光线与投影面垂直，这种投影称为正投影。
视图：用正投影的方法绘制的物体在投影面上的图形，称为物体的视图。
在实际生活的工程中，人们通常从正面、左面和上面三个不同方向观察一个物体，分别得到这个物体的三个视图。
这本个视图是常见的正投影，是当光线与投影垂直时的投影。
三个视图包括：主视图、俯视图和左视图。
主视图：从正面得到的视图。
反映物体的长和高俯视图：从上面视得的视图。
反映物体的长和宽左视图：从左面视得的视图。
反映物体的高和宽提示：在画视图时，看得见的部分的轮廓线通常画成实线，看不见的部分轮廓线通常画成虚线。
三视图之间要保持长对正，高平齐，宽相等。
一般地，俯视图要画在主视图的下方，左视图要画在正视图的右边。
视图中每一个闭合的线框都表示物体上一个表面(平面或曲面)，而相连的两个闭合线框一定不在一个平面上。
在一个外形线框内所包括的各个小线框，一定是平面体（或曲面体）上凸出或凹的各个小的平面体（或曲面体）。
北师大版-数学-九年级上册-知识归纳-视图与投影
知识归纳：视图与投影一、正确理解五个概念1．投影：物体在光线的照射下，会在地面或墙壁上留下它的影子，这就是投影现象．2．平行投影：太阳光可以看成平行光线，像这样的光线所形成的投影称为平行投影．3．中心投影：灯光的光线可以看成是从一点发出的，像这样的光线所形成的投影称为中心投影．4．视点、视线、盲区：人在观察某个区域时，人眼睛的位置称为视点，由视点发出的线称为视线，由于物体的阻隔而看不到的部分称为盲区．5．三视图的规定我们从不同的方向观察同一物体时，可能看到不同的图形．其中，把从正面看到的图形叫做主视图，从左面看到的图形叫做左视图，从上面看到的图形叫做俯视图．二、搞清四个关系1．阳光与影子的关系（1）问题在阳光下的影长与方向随时间的变化而变化，在北半球，早上太阳刚刚从东方升起的时候，物体的影子指向正西方，影子较长；随后影子逐渐指向北方，越来越短；到正午时，物体在阳光下的影子指向正南方，影子最短；下午影子逐渐指向东方，越来越长，到太阳即将从西方落下的时候，影子指向正东方，影子较长．注意：①物体影子的变化实际上是随太阳位置的变化而变化的；②利用不同时刻影子的指向的不同可辨别方向，这是野外活动确定方向的一种重要方法．（2）在同一时刻，不同物体的高度与影子长度的比是相同的．注意：阳光下的影子的这个性质为我们提供了一种测量较高物体高度的一种重要方法，例如，我们要测量一个旗杆的高度，只需在某一时刻测出旗杆的影长，即可利用上述的比例关系算出旗杆的高度．2．灯光与影子的关系（1）在某个灯光下固定物体的影长与方向是一定的，对路灯而言，移动的物体离路灯越近，影子越短，离路灯越远，影子越长．（2）在灯光下，不同位置的物体，影子的长短和方向都是不同的，但是任何一个物体上一点与其影子上对应的连线一定经过光源所在的点．注意：由于两条直线确定一个点，所以我们只要知道了同一灯光下两个不同物体及它们的影子的特点确定这个影子是在灯光下的还是在阳光下的．3．平行投影与视图的关系物体的视图实际上就是该物体在某一平行光线照射下在平面上的投影，不同的视图只是光线照射的方向不同．4．画三视图的规律画三视图时，首先确定主视图的位置，画出主视图，然后在主视图的下面画出俯视图，在主视图的右面画出左视图．主视图反映物体的 和 ，俯视图反映物体的 和 ，左视图反映物体的 和 ．因此，画三视图时，主、俯视图要长对正，主、左视图要高平齐，左、俯视图要宽相等．看得见部分的轮廊线通常画成实线，看不见部分的轮廊线通常画成虚线．三、正确地进行区分和观察1．会区分同一物体在阳光下的影子与在灯光下的影子由上述的阳光与影子的关系及灯光与影子的关系可知，物体在灯光与阳光下的影子有较大的区别，所以我们可以根据物体影子的特点确定这个影子是在灯光下的还是阳光下的．2．观测区域的选择问题人在观察某个区域时，经常营业员要观察的部分落在盲区内而看不到，这时人们需要做的就是根据需要改变观测的地点（即改变视点的位置），以求达到最好的观测效果．注意：在实际的观测中，我们要根据不同的需要来选择合理的观测点（视点）．四、典例剖析例1．用小立方块搭一个几何体，使得它的主视图和俯视图如图，这样的几何体只有一种吗？它最少需要多少个小立方块？最多需要多少个小立方块？分析：根据主视图第一列有3个小立方块，可以判断，俯视图中，第一列的最大数字是3，第二列有2个小立方块，第二列的最大数字是2；第三列有1个小立方块，第二列的最大数字是1，如右图所示：①空余格内每格至少为1，因此，最少需要3+2+1+1+1+1+1=10个小立方块；②空余格内第一列两格至多为3，第二列2格至多为2．因此最多需要1+3+3+3+2+2+2=16个小立方块．解：这样的几何体不唯一，它最少需要10个小立方块，最多需要16个小立方块．主视图 俯视图点评：本题主要考查从不同角度观察物体形状的能力、构建实物模型的能力，符合《课程标准》中指出的，能辨认从不同方位看物体的形状与相对位置．。
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北师大版九年级上册第五章投影与视图知识点归纳及例题【学习目标】1.在观察、操作、想象等活动中增强对空间物体的把握和理解能力；2.通过实例了解中心投影与平行投影；3.会画直棱柱、圆柱、圆锥和球的三种视图；4.能根据三种视图描述简单的几何体.【知识点梳理】知识点一、投影1.投影现象物体在光线的照射下，会在地面或其他平面上留下它的影子，这就是投影现象.影子所在的平面称为投影面.2. 中心投影手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一点发出的，这样的光线照射在物体上所形成的投影，称为中心投影.相应地，我们会得到两个结论：(1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长.(2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示.一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短.在中心投影的情况下，还有这样一个重要结论：点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出第三个点的位置.知识点诠释：光源和物体所处的位置及方向影响物体的中心投影，光源或物体的方向改变，则该物体的影子的方向也发生变化，但光源、物体的影子始终分离在物体的两侧.3.平行投影1.平行投影的定义太阳光线可看成平行光线，平行光线所形成的投影称为平行投影.相应地，我们会得到两个结论：①等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在太阳光下，它们的影子一样长.②等长的物体平行于地面放置时，如图2所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度.2. 物高与影长的关系①在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同.不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是：西→西北→北→东北→东，影长也是由长变短再变长.②在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例.即：.利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等.注意：利用影长计算物高时，要注意的是测量两物体在同一时刻的影长.知识点诠释：1．平行投影是物体投影的一种，是在平行光线的照射下产生的.利用平行投影知识解题要分清不同时刻和同一时刻.2．物体与影子上的对应点的连线是平行的就说明是平行光线.4、正投影如图所示，图(1)中的投影线集中于一点，形成中心投影；图(2)(3)中，投影线互相平行，形成平行投影；图(2)中，投影线斜着照射投影面；图(3)中投影线垂直照射投影面(即投影线正对着投影面)，我们也称这种情形为投影线垂直于投影面.像图(3)这样，当平行光线与投影面垂直时，这种投影称为正投影.知识点诠释：正投影是特殊的平行投影，它不可能是中心投影.知识点二、中心投影与平行投影的区别与联系1.区别：（1）太阳光线是平行的，故太阳光下的影子长度都与物体高度成比例；灯光是发散的，灯光下的影子与物体高度不一定成比例.（2）同一时刻，太阳光下影子的方向总是在同一方向，而灯光下的影子可能在同一方向，也可能在不同方向.2.联系：（1）中心投影、平行投影都是研究物体投影的一种，只不过平行投影是在平行光线下所形成的投影，通常的平行光线有太阳光线、月光等，而中心投影是从一点发出的光线所形成的投影，通常状况下，灯泡的光线、手电筒的光线等都可看成是从某一点发射出来的光线.（2）在平行投影中，同一时刻改变物体的方向和位置，其投影也跟着发生变化；在中心投影中，同一灯光下，改变物体的位置和方向，其投影也跟着发生变化.在中心投影中，固定物体的位置和方向，改变灯光的位置，物体投影的方向和位置也要发生变化.知识点诠释：在解决有关投影的问题时必须先判断准确是平行投影还是中心投影，然后再根据它们的具体特点进一步解决问题.知识点三、视图1.三视图（1）视图用正投影的方法绘制的物体在投影面上的图形，称为物体的视图.（2）三视图在实际生活和工程中，人们常常从正面、左面和上面三个不同方向观察一个物体，分别得到这个物体的三个视图.通常我们把从正面得到的视图叫做主视图，从左面得到的视图叫做左视图，从上面得到的视图叫做俯视图.主视图、左视图、俯视图叫做物体的三视图.2.三视图之间的关系（1）位置关系一般地，把俯视图画在主视图下面，把左视图画在主视图右面，如图(1)所示.（2）大小关系三视图之间的大小是相互联系的，遵循主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高平齐，左视图与俯视图的宽相等的原则.如图(2)所示.知识点诠释：三视图把物体的长、宽、高三个方面反映到各个视图上，具体地说，主视图反映物体的长和高；俯视图反映物体的长和宽，左视图反映物体的高和宽，抓住这些特征能为画物体的三视图打下坚实的基础.3.画几何体的三视图画一个几何体的三视图时，要从三个方面观察几何体，具体画法如下：(1)确定主视图的位置，画出主视图；(2)在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”；(3)在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”.几何体上被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线要画成虚线.知识点诠释：画一个几何体的三视图，关键是把从正面、上方、左边三个方向观察时所得的视图画出来，所以，首先要注意观察时视线与观察面垂直，即观察到的平面图是该图的正投影；其二，要注意正确地用虚线表示看不到的轮廓线；其三，要充分发挥想象，多实践，多与同学交流探讨，多总结；最后，按三视图的位置和大小要求从整体上画出几何体的三视图.4.由三视图想象几何体的形状由三视图想象几何体的形状，首先应分别根据主视图、俯视图和左视图想象主体图的前面、上面和左侧面，然后综合起来考虑整体图形.知识点诠释：由物体的三视图想象几何体的形状有一定的难度，可以从如下途径进行分析：(1)根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状以及几何体的长、宽、高；(2)根据实线和虚线想象几何体看得见和看不见的轮廓线；(3)熟记一些简单的几何体的三视图会对复杂几何体的想象有帮助；(4)利用由三视图画几何体与由几何体画三视图为互逆过程，反复练习，不断总结方法.【典型例题】类型一、投影的作图与计算1．如何才能使如图所示的两棵树在同一时刻的影长分别与它们的原长相等，试画图说明．【答案与解析】(1)如图所示．可在同一方向上画出与原长相等的影长，此时为平行投影．(2)如图所示，可在两树外侧不同方向上画出与原长相等的影子，连结影子的顶点与树的顶点．相交于点P．此时为中心投影，P点即为光源位置．【总结升华】连结物体顶点与其影长的顶点，如果得到的是平行线，即为平行投影；如果得到相交直线，则为中心投影，这是判断平行投影与中心投影的方法，也是确定中心投影光源位置的基本做法．但若中心投影光源在两树同侧时，图中的两棵树的影长不可能同时与原长相等，所以点光源可以选在两树之间．特别提醒：易错认为只有平行投影才能使两棵树在同一时刻的影长分别与它们的原长相等，从而漏掉上图这一情形．举一反三：【变式】与一盏路灯相对，有一玻璃幕墙，幕墙前面的地面上有一盆花CD和一棵树AB．晚上，幕墙反射路灯，灯光形成那盆花的影子DF，树影BE是路灯灯光直接形成的，如图所示，你能确定此时路灯光源的位置吗?【答案】作法如下：①连结FC并延长交玻璃幕墙于O点；②过点O作直线OG垂直于玻璃幕墙面；③在OC另一侧作∠POG＝∠FOG且交EA延长线于点P．P点即此时路灯光源位置，如图所示．2.（2015·盐城校级模拟）如图，小明与同学合作利用太阳光线测量旗杆的高度，身高1.6m的小明落在地面上的影长为BC=2.4m．（1）请你在图中画出旗杆在同一时刻阳光照射下落在地面上的影子EG；（2）若小明测得此刻旗杆落在地面的影长EG=16m，请求出旗杆DE的高度．【思路点拨】（1）连结AC，过D点作DG∥AC交BC于G点，则GE为所求；（2）先证明Rt∥ABC∥∥RtDGE，然后利用相似比计算DE的长．【答案与解析】解：（1）影子EG如图所示；（2）∥DG∥AC，∥∥G=∥C，∥Rt∥ABC∥∥RtDGE，∥=，即=，解得DE=，∥旗杆的高度为m．【总结升华】本题考查了平行投影，也考查了相似三角形的判定与性质．举一反三：【变式】如图，小亮利用所学的数学知识测量某旗杆AB的高度．（1）请你根据小亮在阳光下的投影，画出旗杆AB在阳光下的投影．（2）已知小亮的身高为1.72m，在同一时刻测得小亮和旗杆AB的投影长分别为0.86m和6m，求旗杆AB 的高．【答案】解：（1）如图所示：（2）如图，因为DE，AB都垂直于地面，且光线DF∥AC，所以Rt△DEF∽Rt△ABC，所以DE EF AB BC=，即1.720.866AB=，所以AB=12（m）．答：旗杆AB的高为12m．类型二、三视图3．如图，分别从正面、左面、上面观察该立体图形，能得到什么平面图形．【答案与解析】从正面看该几何体是三角形，从左面看该几何体是长方形，从上面看该几何体是一长方形中带一条竖线．如图：【总结升华】本题考查了几何体的三视图的判断．举一反三：【变式】如图，画出这些立体图形的三视图．【答案】（1）如图：（2）如图：（3）如图：（4）如图：4．（2015·惠州校级月考）如图是由几个小立方体所搭几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小立方体的个数，请画出这个几何体的主视图和左视图．【思路点拨】由已知条件可知，主视图有3列，每列小正方数形数目分别为2，2，3，左视图有3列，每列小正方形数目分别为1，3，2．据此可画出图形．【答案与解析】解：如图所示：【总结升华】本题考查几何体的三视图画法．由几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知主视图的列数与俯视图的列数相同，且每列小正方形数目为俯视图中该列小正方形数字中的最大数字．左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字．类型三、三视图的有关计算5．某工厂要对一机器零件表面进行喷漆，设计者给出了该零件的三视图(如图所示)，请你根据三视图确定其喷漆的面积．【思路点拨】首先要根据立体图形的三视图，想象出物体的实际形状，然后再计算表面积.【答案与解析】解：长方体的表面积为(30×40+40×25+25×30)×2＝5900(cm2)，圆柱体的侧面积为3.14×20×32＝2010(cm2)，其喷漆的面积为5900+2010＝7910(cm2)．【总结升华】由该机械零件的三视图，可想象它是一个组合体，是由一个长方体和一个圆柱体组成．其表面积是一个长方体的六个面与圆柱体的侧面构成．(圆柱体的上表面补在长方体的上表面被圆柱体遮挡的部分).该组合体是由一长方体与一圆柱体组合而成，但不能认为组合体的表面积就是两几何体的表面积之和．举一反三：【变式】某物体的三视图如图：（1）此物体是什么体；（2）求此物体的全面积．【答案】解：（1）根据三视图的知识，主视图以及左视图都为矩形，俯视图是一个圆，故可判断出该几何体为圆柱．（2）根据圆柱的全面积公式可得，20π×40+2×π×102=1000π．。