人教版七年级下册数学第五章 相交线与平行线
人教版七年级下册数学教学课件 第五章 相交线与平行线 命题、定理、证明
课程讲授
2 真命题与假命题
归纳: 1.要判断一个命题为真命题,可以用演绎推理加以
论证; 2.要判断一个命题为假命题,只要举出一个例子,
说明该命题不成立.
课程讲授
3 定理与证明
定义:数学中这些命题的正确性是人们在长期实践中
总结出来的,并把它们作为判断其他命题真假的原始 依据,即出发点.这样的真命题视为基本事实.我们也 称它为公理.
理才能作出判断,这个推理过程叫作证明.
证明几何命题的一般步骤:
1.明确命题中的_已__知___和__求__证__; 2.根据题意,_画__出__图__形__,并用数学符号表示已知和求证; 3.经过分析,找出由已知推出_要__证__的__结__论_的途径,写出证明过程.
课程讲授
3 定理与证明
例 已知直线b∥c, a⊥b .求证:
a⊥c.
b
c
证明:∵ a ⊥b(已知), ∴ ∠1=90°(垂直的定义).
1
2
a
∵ b ∥ c(已知),
∴∠1=∠2(两直线平行,同位角相等),
∴ ∠2=∠1=90°(等量代换), ∴ a ⊥ c(垂直的定义).
课程讲授
3 定理与证明
练一练:求证:内错角相等,两直线平行.
已知:如图,直线l3分别与l1,l2交于点A,点B,且∠1=∠2.
求证:l1∥l2. 证明:∵ ∠1=∠2 (已知),
∠3=∠2 (对顶角相等),
l3
1(
)3 B
l2
)2 A
l1
∴ ∠1=∠3 (等量代换).
∴ l1∥l2 (同位角相等,两直线平行).
随堂练习
1.下列句子中,哪些是命题?哪些不是命题? ⑴对顶角相等; 是 ⑵画一个角等于已知角; 不是 ⑶两直线平行,同位角相等; 是 ⑷a,b两条直线平行吗?不是 ⑸温柔的李明明; 不是 ⑹玫瑰花是动物; 是 ⑺若a2=4,求a的值; 不是 ⑻若a2= b2,则a=b. 是
人教版七年级数学下册课件第五章相交线与平行线5.3.1平行线的性质
● A.平行
B.相交C.平行或相交 D.不能确定
● 4.如果∠A与∠B的两边分别平行,∠A比∠B的3倍少36°,则∠A的度数是
(
)
● A.18°
B.126°
C.18°或126°
D.以上都不对
● 5.下列说法:①垂直于同一条直线的两条直线互相平行;②相等的角是对顶 角;③两条直线被第三条直线所截,同位角相等;④两点之间直线最短,其 中正确的有( )
● A.0个
B.1个 C.2个 D.3个
● 6.小明从A处出发沿正东方向行驶至B处,又沿南偏东15°方向行驶至C处,此时需把 方向调整到正东方向,则小明应该( )
● A.右转165° B.左转75°
C.右转15°
D.左转15°
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人教版七年级下册数学课件第5章5.2.1平行线及其基本事实
精彩一题 17.问题:两条直线可以将平面分成几部分?
解:如图 a,两条直线平行时,它们将平面分成三部分; 如图 b,两条直线不平行时,它们将平面分成四部分.
【思路点拨】 根据三条直线的交点个数情况(0 个、1 个、2 个、 3 个)进行分类讨论.
精彩一题 根据上述内容,解答下面的问题. (1)上面问题的解题过程应用了__分__类____的数学思想(填“转 化”“分类”或“整体处理”); (2)三条直线可以将平面分成几部分? 解:如图所示.
【答案】A
课堂导练
4.如果线段 AB 与线段 CD 没有交点,则( C ) A.线段 AB 与线段 CD 一定平行 B.线段 AB 与线段 CD 一定不平行 C.线段 AB 与线段 CD 可能平行 D.以上说法都不正确
课堂导练 5.如图,将一张长方形纸对折三次,产生的折痕间的位置关系
是( C )
A.平行
B.垂直
C.平行和垂直 D.无法确定
课堂导练 6.如图,经过点 P 画一条直线使它与直线 l 平行.
画法:(1)一落:把三角尺的一边落在__直__线__l____上; (2)二____靠____:紧靠三角尺的另一边放一直尺 AB;
课堂导练
(3)三____移____:把三角尺沿直尺的边移到三角尺的第一边恰 好经过点 P 的位置;
经 (1)过直直线线l 外(2一)靠点,(3有)移且只(有4)画
D.不存在或者只有一条
提一示条: 直点线击与这条进直入线习平题行
【点拨】 当点 第一五条章 直线相与交这线条与直平线行平线行
(第1)1直课线时l 平(2行)靠线及(3其)移基本(事4)画实
P
在直线
AB
上时,这样的直线不存在;当点
人教版数学七年级下册第五章 相交线与平行线 课件(30张ppt)
知识点 对顶角的概念和性质
比例规张开的相对的两个角,就是一对对顶角.
知识点 对顶角的概念和性质
相等的角不一定是对顶角.
知识点 垂线与垂线段
用直角三角尺和量角器画垂线的方法:
知识点 垂线与垂线段
垂线段是图形,点到直线的距离是数量,是该点到直线的垂线段的长度, 所以不能说“垂线段是距离”,也不能说“作出点到直线的距离”.
平行线的判定与性质之间的关系.
知识点 命题、定理和证明
妈妈要榨果汁,她有苹果、橙子、雪梨三种水果,且其克数比为 9∶7∶6,小明发现妈妈榨完果汁后,苹果、橙子、雪梨的克数比变为 6∶3∶4,且榨果汁时妈妈没有使用雪梨.
知识点 命题、定理和证明
小明这样想:原来苹果、橙子、雪梨的克数比为9∶7∶6,即 18∶14∶12;榨汁后苹果、橙子、雪梨的克数比变为6∶3∶4,即 18∶9∶12.由于没有使用雪梨,所以也没有使用苹果. 他利用所学数学知识推断出妈妈榨果汁时只使用了橙子.
借助三角尺与直尺画平行线时,必须保持紧靠,否则画出的直线不平行.
知识点 平行公理及其推论
在绘制斑马线时,只要保证相邻的两条线彼此平行,就能保证所有的斑 马线都彼此平行.
知识点 平行线的判定方法
木工用角尺的一边紧靠木料边缘,另一边画两条直线a,b,根据“同位角 相等,两直线平行”可知这两条直线平行.
知识点 平行线的判定方法
同一平面内,垂直于同一直线的两条直线互相平行,即在同一平面内,若 a⊥c,b⊥c,则a∥b.
第五章 相交线与平行线
5.3 平行线的性质
知识点 平行线的性质
一条公路两次转弯后又回到与原来相同的方向,如果第一次转弯时 ∠A=140°,根据性质2可得∠B=140°.
初中数学人教七年级下册第五章相交线与平行线-垂线
生活中的垂直
3.垂直的书写形式:
如图,当直线AB与CD相 A
D
交于O点,∠ AOD=90°时,
AB⊥CD,垂足为O。 书写形式:
O
∵∠ AOD=90°(已知)
C
B
∴AB⊥CD(垂直的定义)
反之,若直线AB与CD垂直,垂足为O
,那么,∠ AOD=90°.
书写形式:∵ AB⊥CD (已知)
孝 感 市 文 昌 中 学 学 生 专 用 尺
C m
3移:移动三角板到已知点;
4画线:沿着三角板的另一直角边画出垂线.
问题:过已知直线 l 和l上(或外)的一点A ,作l的 垂线,可以作几条?
能作一条,而且只能作一条.
结论: 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
1、 放 2、 靠
o
3、 移 4、 画
角.这个推理过程可以写成:
∵AB⊥CD(已知) ∴∠AOC=90°(垂直的定义)
三、垂线的画法(课本4页)
问题: 怎么样画垂线?
1.垂线的画法:
工具:直尺、三角板
如图,已知直线 l,作l的垂线。
A
问题:
这样画l的
垂线可以
画几条?
O
l
无数条
1放、 2靠、 3画线、 4标符号 和名称
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1
过直线外一点有且只有一条 直线与已知直线垂直。
1、 放 2、 靠 3、 移 4、 画
o
过直线上一点有且只有一条 直线与已知直线垂直。
o
o
过一点(已知直线上或已知直线外)有且只有一 条直线与已知直线垂直。
例3:下列说法(1)一条直线只有一条垂线; (2)两条直线相交就是垂直; (3)线段和射线也有垂线。
七下数学人教版课本知识点总结非常完整
七下数学课本知识点总结非常完整人教版七年级数学下册知识点第五章 相交线与平行线一、1、在同一平面内,不重合的两条直线的位置关系有 两 种: 相交 和 平行 , 垂直 是相交的一种特殊情况。
2、在同一平面内,不相交的两条直线叫 平行线 。
如果两条直线只有 一个 公共点,称这两条直线相交;如果两条直线 没有 公共点,称这两条直线平行。
3、两条直线相交所构成的四个角中,有 公共顶点 且有 一条公共边 的两个角是 邻补角。
邻补角的性质: 邻补角互补 。
4、两条直线相交所构成的四个角中,一个角的两边分别是另一个角的两边的 反向延长线 ,这样的两个角互为 对顶角 。
对顶角的性质:对顶角相等。
如图1所示,∠1与∠3互为对顶角。
∠1=∠3;∠2与∠4互为对顶角,∠2=∠45、两条直线相交所成的角中,如果有一个是 直角或90°时,称这两条直线互相垂直, 其中一条叫做另一条的垂线。
如图2所示,当 ∠1 = 90°时, a ⊥ b 。
垂线的性质:性质1:过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
性质2:连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短。
简单说成:垂线段最短。
性质3:如图2所示,当 a ⊥ b 时,∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4 = 90°。
点到直线的距离:直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫点到直线的距离。
6、同位角、内错角、同旁内角基本特征:①在两条直线(被截线)的 同一方 ,都在第三条直线(截线)的 同一侧 ,这样的两个角叫 同位角 。
同位角呈“F ” ②在两条直线(被截线) 之间 ,并且在第三条直线(截线)的 两侧 ,这样的两个角叫 内错角 。
内错角呈“Z ”③在两条直线(被截线)的 之间 ,都在第三条直线(截线)的 同一旁 ,这样的两个角叫 同旁内角 。
同旁内角呈“U ” 7、平行公理:经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
平行公理的推论:如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行。
人教版数学初一下册第五章 相交线与平行线 5.3.2:命题、定理、证明(1)课件
如果两个角是同旁内角,那么这两个角互补;
(5)对顶角相等.如果两个角是对顶角,那么这两个角相等.
16
知识点一:命题
学以致用
2、改写成“如果……那么……”的形式。并指出下列各命题 的题设和结论,
①、内错角相等; ②、两条平行线被第三直线所截,同位角相等; ③、同角的余角相等; ④、同平行于一直线的两直线平行; ⑤、直角三角形的两个锐角互余; ⑥、等角的补角相等; ⑦、正数与负数的和为0。
①如果一个数能被4整除,那么它也能被2整除。 ②如果两个角互补,那么它们是邻补角。
③相等的角是对顶角.
1
2
1 2
20
知识点二:真命题和假命题
归纳总结
判断一个命题真假的方法:
利用已有的知识,通过观察、验证、推理、举 反例等方法。
判断一个命题是假命题的方法:
判断一个命题是假命题,只要举出一个例子, 说明该命题不成立就可以了,这种方法称为举反例。
,那么..."的形式,会区分命题的题设和结论。 2.知道真命题和假命题的概念,会通过举反例判 断一个命题是假命题.
重点难点 重点:命题的概念以及真命题和假命题的概念.
难点:区分命题的题设和结论.
3
知识点一:命题
新知探究
刚刚我们复习了平行线的性质与判定,这些语句都对某 一件事情作出判断,如:同位角相等,两条直线平行.
(2)题设是“两直线平行”,结论是“同位角相等”;
(3)题设是“两个角是邻补角”,结论是“这两个角互补”.
13
知识点一:命题
互动探究
先独立完成导学案互动探究2,再同桌相互交流, 最后小组交流;
人教版数学七年级下册:第五章 相交线与平行线——专题练习(附答案)
小专题(一)平行线中的“拐点”问题模型1 M型【例1】如图,已知AB∥CD,则∠B,∠BED,∠D之间有何数量关系?请说明理由.【思路点拨】由已知条件知,AB∥CD,但图形中没有截这两条平行线的第三条直线,因而不能直接用平行线的性质解决.为此可构造第三条直线,即过点E 作EF∥AB,于是BE,DE就可以作为第三条直线了.变式当点E运动到平行线的外侧1.已知AB∥CD,点E为AB,CD之外任意一点.(1)如图1,探究∠BED与∠B,∠D的数量关系,并说明理由;(2)如图2,探究∠CDE与∠B,∠BED的数量关系,并说明理由.2.(1)如图1中,AB∥CD,则∠E+∠G与∠B+∠F+∠D有何关系?(2)在图2中,若AB∥CD,又能得到什么结论?如果出现多个拐点时,可以作多条平行线,从而将多拐点问题转化为一个拐点问题来处理.M型最终的结论为:朝左的角之和等于朝右的角之和.模型2 铅笔型【例2】如图,直线AB∥CD,∠B,∠BED,∠D之间有什么关系呢?为什么?3.(1)①如图1,MA1∥NA2,则∠A1+∠A2=度;②如图2,MA1∥NA3,则∠A1+∠A2+∠A3=度;③如图3,MA1∥NA4,则∠A1+∠A2+∠A3+∠A4=度;④图4,MA1∥NA5,则∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5=度;从上述结论中你发现了什么规律?(2)如图5,MA1∥NAn,则∠A1+∠A2+∠A3+…+∠An=度.小专题(二) 利用平行线的性质求角的度数类型1 直接利用平行线的性质与判定求角度1.如图,OC是∠AOB的平分线,l∥OB.若∠1=52°,则∠2的度数为( ) A.52° B.54° C.64° D.69°2.如图,CD∥AB,点O在AB上,OE平分∠BOD,OF⊥OE,∠D=110°,则∠AOF 的度数是( )A.20° B.25° C.30° D.35°3.如图,AB∥CD,CB∥DE,∠B=50°,则∠D=.4.如图,已知EF∥AD,∠1=∠2,∠BAC=80°,求∠AGD的度数.类型2 借助学具的特征求角度5.如图,将直尺与30°角的三角尺叠放在一起.若∠1=40°,则∠2的大小是( )A.40° B.60° C.70° D.80°6.如图,一块直角三角板的两锐角的顶点刚好落在平行线l1,l2上,已知∠C是直角,则∠1+∠2的度数等于( )A.75° B.90° C.105° D.120°类型3 折叠问题中求角度7.将一个长方形纸片折叠成如图所示的图形.若∠ABC=26°,则∠ACD=.8.如图,一个四边形纸片ABCD,∠B=∠D=90°,∠C=130°.把纸片按如图所示折叠,使点B落在AD边上的B′点,AE是折痕,则∠AEB的度数是.类型4 抽象出平行线模型求角度(建模思想)9.如图,∠AOB的一边OA为平面镜,∠AOB=38°,一束光线(与水平线OB平行)从点C射入经平面镜反射后,反射光线落在OB上的点E处,已知∠ADC=∠ODE.则∠DEB的度数是度.10.如图1是我们常用的折叠式小刀,图2中刀柄外形是一个梯形挖去一个小半圆,其中刀片的两条边缘线可看成两条平行的线段,转动刀片时会形成如图2所示的∠1与∠2,则∠1与∠2的度数和是.小专题(三) 平行线的性质与判定的综合运用——教材P37T13的变式与应用教材母题(教材P37T13):完成下面的证明.(1)如图1,点D,E,F分别是三角形ABC的边BC,CA,AB上的点,DE∥BA,DF ∥CA.求证:∠FDE=∠A.证明:∵DE∥BA,∴∠FDE=.∵DF∥CA,∴∠A=.∴∠FDE=∠A.(2)如图2,AB和CD相交于点O,∠C=∠COA,∠D=∠BOD.求证AC∥BD.证明:∵∠C=∠COA,∠D=∠BOD,又∠COA=∠BOD( ),∴∠C=.∴AC∥BD(内错角相等,两直线平行).(1)判定两直线平行的方法有五种:①平行线的定义;②平行公理的推论;③同位角相等,两直线平行;④内错角相等,两直线平行;⑤同旁内角互补,两直线平行.(2)判定两直线平行时,定义一般不常用,其他四种方法要灵活运用,推理时要注意书写格式.(3)由两条直线平行得到同位角相等、内错角相等或同旁内角互补,解题时应结合图形先确认所成的角是不是两平行线被第三条直线所截得的同位角或内错角或同旁内角,同时要学会简单的几何说理,做到每一步有理有据.1.如图,已知AD⊥BC,EF⊥BC,垂足分别为D,F,∠2+∠3=180°.试说明:∠GDC=∠B.下面是不完整的说理过程,请你将横线上的过程和括号里的理由补充完整.解:因为AD⊥BC,EF⊥BC(已知),①所以∠ADB=∠EFB= (垂直的定义).②所以 (同位角相等,两直线平行).③所以∠1+∠2= (两直线平行,同旁内角互补).④又因为∠2+∠3=180°( ),⑤所以∠1=∠3( ).⑥所以AB∥DG( ).⑦所以∠GDC=∠B( ).2.如图,点G在射线BC上,射线DE与AB,AG分别交于点H,M.若DF∥AB,∠B=75°,∠D=105°,求证:∠AME=∠AGC.3.如图,AB∥CD,AE平分∠BAD,CD与AE相交于点F,∠CFE=∠E.求证:AD ∥BC.4.如图,∠E=∠1,∠3+∠ABC=180°,BE是∠ABC的平分线.你能判断DF 与AB的位置关系吗?请说明理由.5.如图,AB⊥BD于点B,点E是BD上的点,AE平分∠BAC,CE平分∠ACD,且∠1+∠2=90°.求证:CD⊥BD.6.如图,把一张长方形ABCD的纸片沿EF折叠后,ED与BC的交点为G,点D,C分别落在D′,C′的位置上.若∠EFG=55°,求∠1,∠2的度数.7.如图,已知BC∥GE,∠AFG=∠1=50°.(1)求证:AF∥DE;(2)若AQ平分∠FAC,交BC于点Q,且∠Q=15°,求∠ACQ的度数.参考答案:小专题(一)平行线中的“拐点”问题模型1 M型【例1】如图,已知AB∥CD,则∠B,∠BED,∠D之间有何数量关系?请说明理由.【思路点拨】由已知条件知,AB∥CD,但图形中没有截这两条平行线的第三条直线,因而不能直接用平行线的性质解决.为此可构造第三条直线,即过点E 作EF∥AB,于是BE,DE就可以作为第三条直线了.【解答】∠BED=∠B+∠D.理由:过点E作EF∥AB,则EF∥CD.∴∠B=∠BEF,∠D=∠DEF.∴∠BED=∠BEF+∠DEF=∠B+∠D.变式当点E运动到平行线的外侧1.已知AB∥CD,点E为AB,CD之外任意一点.(1)如图1,探究∠BED与∠B,∠D的数量关系,并说明理由;(2)如图2,探究∠CDE与∠B,∠BED的数量关系,并说明理由.解:(1)∠B=∠BED+∠D.理由如下:过点E作EF∥AB,则AB∥CD∥EF.∴∠BEF=∠B,∠D=∠DEF.∵∠BEF=∠BED+∠DEF,∴∠B=∠BED+∠D.(2)∠CDE=∠B+∠BED.理由如下:过点E作EF∥AB,则AB∥CD∥EF.∴∠B+∠BEF=180°,∠CDE+∠DEF=180°.又∵∠DEF=∠BEF-∠BED,∴∠CDE+∠BEF-∠BED=∠B+∠BEF,即∠CDE=∠B+∠BED.拓展平行线间有多个拐点2.(1)如图1中,AB∥CD,则∠E+∠G与∠B+∠F+∠D有何关系?(2)在图2中,若AB∥CD,又能得到什么结论?解:(1)∠BEF+∠FGD=∠B+∠EFG+∠D.理由:过点E,F,G分别作EM∥AB,FN∥AB,GH∥AB,由AB∥CD,得AB∥EM∥FN∥GH∥CD.∴∠BEM=∠B,∠MEF=∠EFN,∠NFG=∠FGH,∠HGD=∠D.∴∠BEF+∠FGD=∠BEM+∠MEF+∠FGH+∠HGD=∠B+∠EFN+∠NFG+∠D=∠B+∠EFG+∠D.(2)在图2中,有∠E1+∠E2+∠E3+…+∠En=∠B+∠F1+∠F2+…+∠Fn-1+∠D.如果出现多个拐点时,可以作多条平行线,从而将多拐点问题转化为一个拐点问题来处理.M型最终的结论为:朝左的角之和等于朝右的角之和.模型2 铅笔型【例2】如图,直线AB∥CD,∠B,∠BED,∠D之间有什么关系呢?为什么?【解答】∠B+∠BED+∠D=360°.理由:过点E作EF∥AB.∵AB∥CD,∴AB∥CD∥EF.∴∠B+∠BEF=180°,∠D+∠DEF=180°. ∴∠B+∠BEF+∠D+∠DEF=360°,即∠B+∠BED+∠D=360°.拓展平行线间有多个拐点3.(1)①如图1,MA1∥NA2,则∠A1+∠A2=180度;②如图2,MA1∥NA3,则∠A1+∠A2+∠A3=360度;③如图3,MA1∥NA4,则∠A1+∠A2+∠A3+∠A4=540度;④图4,MA1∥NA5,则∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5=720度;从上述结论中你发现了什么规律?(2)如图5,MA1∥NAn,则∠A1+∠A2+∠A3+…+∠An=180(n-1)度.解:每增加一个角,度数增加180°.小专题(二) 利用平行线的性质求角的度数类型1 直接利用平行线的性质与判定求角度1.如图,OC是∠AOB的平分线,l∥OB.若∠1=52°,则∠2的度数为( C ) A.52° B.54° C.64° D.69°2.如图,CD∥AB,点O在AB上,OE平分∠BOD,OF⊥OE,∠D=110°,则∠AOF 的度数是( D )A.20° B.25° C.30°D.35°3.如图,AB∥CD,CB∥DE,∠B=50°,则∠D=130°.4.如图,已知EF∥AD,∠1=∠2,∠BAC=80°,求∠AGD的度数.解:∵EF∥AD,∴∠2=∠3(两直线平行,同位角相等).∵∠1=∠2,∴∠1=∠3(等量代换).∴AB∥DG(内错角相等,两直线平行).∴∠BAC+∠AGD=180°(两直线平行,同旁内角互补).∵∠BAC=80°,∴∠AGD=100°.类型2 借助学具的特征求角度5.如图,将直尺与30°角的三角尺叠放在一起.若∠1=40°,则∠2的大小是( D )A.40° B.60° C.70° D.80°6.如图,一块直角三角板的两锐角的顶点刚好落在平行线l1,l2上,已知∠C是直角,则∠1+∠2的度数等于( B )A.75° B.90° C.105° D.120°类型3 折叠问题中求角度7.将一个长方形纸片折叠成如图所示的图形.若∠ABC=26°,则∠ACD=128°.8.如图,一个四边形纸片ABCD,∠B=∠D=90°,∠C=130°.把纸片按如图所示折叠,使点B落在AD边上的B′点,AE是折痕,则∠AEB的度数是65°.类型4 抽象出平行线模型求角度(建模思想)9.如图,∠AOB的一边OA为平面镜,∠AOB=38°,一束光线(与水平线OB平行)从点C射入经平面镜反射后,反射光线落在OB上的点E处,已知∠ADC=∠ODE.则∠DEB的度数是76度.10.如图1是我们常用的折叠式小刀,图2中刀柄外形是一个梯形挖去一个小半圆,其中刀片的两条边缘线可看成两条平行的线段,转动刀片时会形成如图2所示的∠1与∠2,则∠1与∠2的度数和是90°.小专题(三) 平行线的性质与判定的综合运用——教材P37T13的变式与应用教材母题(教材P37T13):完成下面的证明.(1)如图1,点D,E,F分别是三角形ABC的边BC,CA,AB上的点,DE∥BA,DF ∥CA.求证:∠FDE=∠A.证明:∵DE∥BA,∴∠FDE=∠BFD(两直线平行,内错角相等).∵DF∥CA,∴∠A=∠BFD(两直线平行,同位角相等).∴∠FDE=∠A.(2)如图2,AB和CD相交于点O,∠C=∠COA,∠D=∠BOD.求证AC∥BD.证明:∵∠C=∠COA,∠D=∠BOD,又∠COA=∠BOD(对顶角相等),∴∠C=∠D.∴AC∥BD(内错角相等,两直线平行).(1)判定两直线平行的方法有五种:①平行线的定义;②平行公理的推论;③同位角相等,两直线平行;④内错角相等,两直线平行;⑤同旁内角互补,两直线平行.(2)判定两直线平行时,定义一般不常用,其他四种方法要灵活运用,推理时要注意书写格式.(3)由两条直线平行得到同位角相等、内错角相等或同旁内角互补,解题时应结合图形先确认所成的角是不是两平行线被第三条直线所截得的同位角或内错角或同旁内角,同时要学会简单的几何说理,做到每一步有理有据.1.如图,已知AD⊥BC,EF⊥BC,垂足分别为D,F,∠2+∠3=180°.试说明:∠GDC=∠B.下面是不完整的说理过程,请你将横线上的过程和括号里的理由补充完整.解:因为AD⊥BC,EF⊥BC(已知),①所以∠ADB=∠EFB=90°(垂直的定义).②所以AD∥EF(同位角相等,两直线平行).③所以∠1+∠2=180°(两直线平行,同旁内角互补).④又因为∠2+∠3=180°(已知),⑤所以∠1=∠3(同角的补角相等).⑥所以AB∥DG(内错角相等,两直线平行).⑦所以∠GDC=∠B(两直线平行,同位角相等).2.如图,点G在射线BC上,射线DE与AB,AG分别交于点H,M.若DF∥AB,∠B=75°,∠D=105°,求证:∠AME=∠AGC.证明:∵DF∥AB(已知),∴∠D=∠BHM(两直线平行,同位角相等).又∵∠B=75°,∠D=105°(已知),∴∠B+∠BHM=75°+105°=180°.∴DE∥BC(同旁内角互补,两直线平行).∴∠AME=∠AGC(两直线平行,同位角相等).3.如图,AB∥CD,AE平分∠BAD,CD与AE相交于点F,∠CFE=∠E.求证:AD ∥BC.证明:∵AE平分∠BAD(已知),∴∠1=∠2(角平分线的定义).∵AB∥CD(已知),∴∠1=∠CFE(两直线平行,同位角相等).又∵∠1=∠2(已证),∠CFE=∠E(已知),∴∠2=∠E(等量代换).∴AD∥BC(内错角相等,两直线平行).4.如图,∠E=∠1,∠3+∠ABC=180°,BE是∠ABC的平分线.你能判断DF 与AB的位置关系吗?请说明理由.解:DF∥AB.理由:∵BE是∠ABC的平分线,∴∠1=∠2(角平分线的定义).∵∠E=∠1(已知),∴∠E=∠2(等量代换).∴AE∥BC(内错角相等,两直线平行).∴∠A+∠ABC=180°(两直线平行,同旁内角互补).∵∠3+∠ABC=180°(已知),∴∠A=∠3(等量代换).∴DF∥AB(同位角相等,两直线平行).5.如图,AB⊥BD于点B,点E是BD上的点,AE平分∠BAC,CE平分∠ACD,且∠1+∠2=90°.求证:CD⊥BD.证明:∵AE平分∠BAC,CE平分∠ACD(已知),∴∠BAC=2∠1,∠ACD=2∠2(角平分线的性质).∴∠BAC+∠ACD=2∠1+2∠2=2(∠1+∠2).∵∠1+∠2=90°(已知),∴∠BAC+∠ACD=180°.∴AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行).∴∠B+∠D=180°(两直线平行,同旁内角互补).∴∠D=180°-∠B(等式的性质).∵AB⊥BD(已知),∴∠B=90°(垂直的定义).∴∠D=90°,即CD⊥BD.6.如图,把一张长方形ABCD的纸片沿EF折叠后,ED与BC的交点为G,点D,C分别落在D′,C′的位置上.若∠EFG=55°,求∠1,∠2的度数.解:∵AD∥BC,∠EFG=55°,∴∠2=∠GED,∠DEF=∠EFG=55°(两直线平行,内错角相等).由折叠,知∠GEF=∠DEF=55°.∴∠GED=110°.∴∠2=110°.∴∠1=180°-∠2=70°(两直线平行,同旁内角互补).7.如图,已知BC∥GE,∠AFG=∠1=50°.(1)求证:AF∥DE;(2)若AQ平分∠FAC,交BC于点Q,且∠Q=15°,求∠ACQ的度数.解:(1)证明:∵BC∥GE,∴∠E=∠1=50°.∵∠AFG=∠1=50°,∴∠E=∠AFG=50°.∴AF∥DE.(2)过点A作AP∥GE,∵BC∥GE,∴AP∥GE∥BC.∴∠FAP=∠AFG=50°,∠PAQ=∠Q=15°.∴∠FAQ=∠FAP+∠PAQ=65°.∵AQ平分∠FAC,∴∠CAQ=∠FAQ=65°.∴∠CAP=80°.∴∠ACQ=180°-∠CAP=100°.。
第五章 相交线与平行线—— 命题、定理、证明
第五章 相交线与平行线
5.3.2 命题 定理 证明
学习目标
1.理解命题,定理及证明的概念,会区分命题的 题设和结论;(重点) 2. 会判断真假命题,知道证明的意义及必要性, 了解反例的作用. (重点、难点)
观察与思考
导入新课
下列语句在表述形式上,有什么共同特点?
(1)如果两条直线都与第三条直线平行,那么这
①过一点有且只有一条直线与已知 直线垂直; ②垂线段最短.
五、证明的概念
讲授新课
在很多情况下,一个命题的正确性需要经过推理 才能作出判断,这个推理过程叫作证明.
注意:
证明的每一步推理都要有根据,不能“想当然”.
典例精析
讲授新课
例2 已知:b∥c, a⊥b .
求证:a⊥c.
证明: ∵ a ⊥b(已知)
A
但它们不是对顶角.
O
)1 )2
C
确定一个命题是假命题的方法:
B
只要举出一个例子(反例):它符合命题的题设,
但不满足结论即可.
1.下列语句中,不是命题的是( D ) A.两点之间线段最短 B.对顶角相等 C.不是对顶角不相等 D.过直线AB外一点P作直线AB的垂线
2.下列命题中,是真命题的是( D ) A.若a·b>0,则a>0,b>0 B.若a·b<0,则a<0,b<0 C. 若a·b=0,则a=0且b=0 D.若a·b=0,则a=0或b=0
bc 12
a
∴ ∠1=90°(垂直的定义)
又 ∵ b ∥ c(已知)
∴ ∠2=∠1=90°(两直线平行,同位角相等) ∴ a ⊥ c(垂直的定义).
六、举反例
讲授新课
思考:如何判定一个命题是假命题呢?
人教版七年级数学下册第五章相交线与平行线(教案)
(3)在解决实际问题时,引导学生运用平行线知识,分析问题,提高解题能力。例如,在建筑设计中,如何运用平行线知识确定建筑物的结构线条。
四、教学流程
(一)导入新课(用时5分钟)
同学们,今天我们将要学习的是《相交线与平行线》这一章节。在开始之前,我想先问大家一个问题:“你们在日常生活中是否遇到过两条直线永远不会相交的情况?”(如火车轨道、双杠等)这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题,我希望能够引起大家的兴趣和好奇心,让我们一同探索平行线的奥秘。
3.成果分享:每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上,以便全班都能看到。
(五)总结回顾(用时5分钟)
今天的学习,我们了解了平行线的基本概念、判定方法、性质及其在实际生活中的应用。同时,我们也通过实践活动和小组讨论加深了对平行线的理解。我希望大家能够掌握这些知识点,并在日常生活中灵活运用。最后,如果有任何疑问或不明白的地方,请随时向我提问。
-平行线在实际问题中的应用:运用平行线知识解决实际问题,培养学生的数学应用意识。
举例解释:
(1)重点讲解平行线的定义,通过图形直观展示,使学生深刻理解平行线的概念。
(2)强调平行线的性质,结合具体实例进行讲解,让学生掌握平行线之间的夹角关系。
(3)详细讲解判定平行线的方法,并通过典型题目进行巩固。
2.教学难点
此外,关于学生小组讨论环节,我觉得整体效果还不错,学生们能够积极参与,提出自己的观点。但在引导和启发学生思考方面,我觉得自己还有待提高。在今后的教学中,我将更加关注学生的思维过程,通过提问和引导,激发他们的思考。
新人教七年级数学下册_第五章_相交线与平行线_全章讲与练
第五章相交线与平行线第一节、知识梳理:相交线与平行线一、学习目标1.理解对顶角、邻补角的概念,掌握其性质,会用其性质进行有关推理和计算;2.掌握垂线、垂线段、点到直线的距离的概念;3.掌握“三线八角”的内容.二、学习重点与难点学习重点:1.邻补角、对顶角以及点到直线距离的概念;2.掌握两直线平行的三个判定方法.学习难点: 1.对顶角的性质、垂线性质;2.灵活运用平行线的判定方法来解题.三、知识概要1.要正确理解邻补角、对顶角的含义:(1)判断两个角是否是邻补角,关键要看这两个角的两边,其中一边是公共边,另外两边是互为反向延长线;(2)邻补角是成对的,是具有特殊位置关系的两个互补的角;(3)判断两个角是否是对顶角,看这两个角是不是有公共顶点且有相同的邻补角,只有符合这两个条件时,才能确定这两个角是对顶角.2.垂线、垂线段和点到直线的距离是三个不同的概念,不要混淆:(1)两条直线互相垂直是两条直线相交的特殊情况,特殊在交角都为直角,垂线是其中一条直线对另一条直线的称呼;(2)垂线是直线,垂线段是一条线段,是图形.(3)点到直线的距离是垂线段的长度,是一个数量,不能说成垂线段是距离.3.两条直线的位置关系,是在两条直线在“同一平面内”的前提下提出来的,它们的位置关系只有两种:一是相交(有一个公共点),二是平行(没有公共点):(1)识别同位角、内错角、同旁内角的关键是要抓住“三线八角”,只有“三线”出现且必须是两线被第三线所截才能出现这三类角;(2)判定两条直线平行时要正确判断出是什么角,什么关系,由此可以推出哪两条直线平行.四、知识链接1.本周相交线、平行线是以前学的直线的位置关系的延伸.2.通过内错角、同位角、同旁内角等角度的比较得到平行线.而由平行线又可得到下周的平行线性质.五、中考视点平行与相交线中的垂直是经常考的内容.一般考其基础知识,以填空选择为主.平行线的性质与平移一、学习目标1.掌握平行线的性质并会应用.2.理解命题并会判断.3.理解平移的定义并会应用平移的特征.二、知识概要1.平行线的性质性质1:两条平行线被第三条直线所截,同位角相等.简单说成:两直线平行,同位角相等.性质2:两条平行线被第三条直线所截,内错角相等.简单说成:两直线平行,内错角相等.性质3:两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补.简单说成:两直线平行,同旁内角互补.2.两条平行线的距离同时垂直于两条平行线,并且夹在这两条平行线间的线段的长度,叫做这两条平行线的距离.对于这个概念,应注意三点:(1)两条直线必须是平行的;(2)第三条直线同时垂直于它们;(3)距离是线段的长度,是个具体的数,而不是线段这个图形.3.关于命题判断一件事情的语句叫做命题.每个命题都是由条件和结论两部分组成的.4.平移的概念在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定的距离,这样的图形运动就称做为平移. 5.平移的基本特征平移的基本特征是:经过平移,对应点所连的线段平行(或在同一条直线上)且相等,对应线段平行且相等,对应角相等.三、重点难点学习重点:1.平行线的性质及其应用.2.平移的特征.学习难点:1.命题的判断.2.平移变换及其性质应用.四、知识链接平行线的性质与判定定理有互逆性,平移变换及性质是研究动态几何的基础内容之一.五、中考视点平行线的知识是每年必考的内容,在填空选择中经常直接考平行线的性质.在解答题中经常与其他知识联系,综合考查.平移知识也是考的比较多的内容,尤其是在做辅助线时经常用到.第二节、教材解读:理解“三线八角”当两条直线AB和CD被第三条直线EF所截(如图),可得到八个角.根据位置特征不同,把∠1和∠5、∠2和∠6、∠4和∠8、∠3和∠7这样的称作同位角;把∠4和∠6、∠3和∠5这样的称作内错角;把∠4和∠5、∠3和∠6这样的称作同旁内角.在数学中也常把与同位角、内错角、同旁内角相关的问题称作“三线八角”问题.1.所谓同位角也就是位置特征相同,如∠1和∠5同在“左上”(AB和CD左侧,EF上方);∠2和∠6同在“左下”(AB和CD左侧,EF下方);∠4和∠8同在“右上”(AB和CD右侧,EF上方);∠3和∠7同在“右下”(AB和CD右侧,EF下方).2.所谓内错角是指在两条被截直线之内,在第三条直线左右错开的位置的角,如∠4和∠6在AB和CD之内,而在EF左右两边错开的角;∠3和∠5在AB和CD之内,而在EF左右两边错开的角.3.所谓同旁内角是指在第三条直线同旁,而在两条被截直线之内的位置的角,如∠4和∠5同在EF 上边而在AB和CD之内;∠3和∠6同在EF 下边而在AB和CD之内.第三节、错解剖析【例1】填空:从直线外一点到这条直线的 ____,叫做点到直线的距离.错解:垂线段.【思考与分析】点到直线的距离是指垂线段的长度,它是一个数量而不是图形.错误的原因是概念不清.正解:垂线段的长度.【例2】判断正误:有公共端点且没有公共边的两个角是对顶角.错解:正确.【思考与分析】此题错在没有抓住对顶角概念的实质,出现了扩大概念实质和概念外延的错误,把一些不是对顶角的角看成了对顶角,如下图中∠1和∠2有公共顶点且没有公共边,但它们不是对顶角.错误的原因是概念不清.正解:如果一个角与另一个角有公共端点且两边分别是这个角的两边的反向延长线,那么这两个角叫对顶角.【例3】如图,若AB∥CD,CD∥EF,则AB∥EF.理由是什么?错解:等量代换.【思考与分析】上面的回答把相等和平行混为一谈,相等说的是两个量的大小关系,平行说的则是两条直线的位置关系,完全不是一码事,所以,平行线的传递性是不能用"等量代换"来表达的.错误的原因是位置关系和数量关系混淆正解:平行于同一条直线的两条直线平行.【例4】判断正误:同一平面内不相交的两条线是平行线.错解:正确.【思考与分析】平行线是讲同一平面内两条直线的位置关系.不相交的两条射线或线段有可能延长或反向延长后相交.错误的原因是没有分清“三线”的区别和联系.正解:同一平面内不相交的两条直线是平行线.【例5】判断正误:不相交的两条直线是平行线.错解:正确.【思考与分析】在同一平面内不相交的两条直线是平行线,但在空间里很容易找到不相交的两条直线,而且它们并不平行,错误的原因是思考不周.正解:在同一平面内不相交的两条直线是平行线.第四节、思维点拨【例1】已知,如图,直线AB、CD相交于O,OE平分∠BOD且∠AOE=150°,你能求出∠AOC的度数吗?【思考与分析】观察图形我们可知,∠AOE与∠BOE是邻补角,所以∠BOE的度数可求,又由OE是∠BOD的角平分线可求得∠BOD=2∠BOE,而∠AOC与∠BOD是对顶角,故∠AOC 可求.解:∵ AB是直线(已知),∴∠AOE与∠BOE 是邻补角(邻补角定义).∴∠AOE+∠BOE=180°(补角定义).又∠AOE=150°(已知),∴∠BOE=180°-∠AOE=180°-150°=30°(等式性质).∵ OE平分∠BOD(已知),∴∠BOD=2∠BOE(角平分线定义).即∠BOD=2×30°=60°.∵∠AOC与∠BOD是对顶角(由图可知),∴∠AOC=∠BOD(对顶角相等).∴∠AOC=60°.反思:在思考过程中抓住角平分线DE与各个角的关系是解题的关键.【例2】如图,直线AB、CD相交于点O,OE⊥AB于点O,OF平分∠AOE,∠1=15°30′,则下列结论中不正确的是().A.∠2=45°B.∠1=∠3C.∠AOD与∠1互为补角D.∠1的余角等于75°30′思考与解: ∵OE⊥AB,∴∠AOE=90°.∵OF平分∠AOE,∵∠1与∠3是对顶角,∴∠1=∠3.∴B正确.∵∠AOD与∠1互为补角.∴C正确.∵∠1=15°30′,∴∠1的余角=90°-15°30′=74°30′.∴D不正确.故选D.【小结】我们在做这类选择题时,首先把题中条件与图形一一对应,然后看每个结论是否与条件冲突.【例3】已知,如图,直线AB、CD互相垂直,垂足为O,直线EF过点O,∠DOF=32°,你能求出∠AOE的度数吗?【思考与分析】我们由AB⊥CD可知∠AOC=90°,因此,∠AOE与∠EOC 互余.又因为∠EOC与∠DOF是对顶角,于是∠EOC=32°,于是∠AOE可求.解法一:∵直线CD与EF交于O(已知),∴∠EOC=∠DOF (对顶角相等).∵∠DOF=32°(已知),∴∠EOC=32°(等量代换).∵AB、CD互相垂直(已知),∴∠AOC=90°(垂直定义).∴∠AOE+∠EOC=90°.∴∠AOE=90°-∠EOC=90°-32°=58°.解法二:∵直线AB、CD互相垂直(已知),∴∠BOD=90°(垂直定义).∴∠BOF+∠DOF=90°.∵∠DOF=32°(已知),∴∠BOF=90°-∠DOF=58°.∵直线AB与直线EF交于点O(已知),∴∠AOE=∠BOF(对顶角相等).∴∠AOE=58°.反思:第一种解法先用对顶角后用互余,第二种解法先用互余后用对顶角,我们在平时做题时也应该多想多做,多角度分析解决问题.【例4】如图3,直线AB与CD相交于点F,EF⊥CD,则∠AFE与∠DFB之间的关系是______.【思考与分析】我们由所给的条件EF⊥CD,得∠CFE=90°,也就是说∠AFE+∠AFC=90°,又根据对顶角相等,得∠AFC=∠DFB,所以∠AFE+∠DFB=90° .本题也可利用平角的定义来解,即由∠AFE+∠DFB+∠EFD=180°,又因为∠EFD=90°,所以∠AFE+∠DFB=90°.解:∠AFE与∠DFB互为余角(或∠AFE+∠DFB=90°).【小结】这类题目的特点是有条件而无结论,要从所给的条件出发,通过分析、比较、猜想,寻找多种解法和结论,再进行说理证明.这类题目具有较强的探索性,思维空间较大且灵活,突破了死记概念的传统模式.【例5】平行直线AB和CD与相交直线EF、GH相交,图中的同旁内角共有()对.A. 4对B. 8对C. 12对D. 16对【思考与解】我们可将原图分解为八个“三线八角”即“直线AB和CD 被直线EF所截”、“直线AB和CD 被直线GH所截”、“直线EF和GH被直线AB所截”、“直线EF和GH被直线CD所截”、“直线AB和EF被直线GH所截”、“直线EF和CD 被直线GH所截”、“直线AB和GH被直线EF所截”、“直线GH和CD 被直线EF所截”.每一个“三线八角”都有两对同旁内角,故原图中共有16对,因此选择D.【小结】解这类问题,关键是如何用图形分解法把图形分成若干个“三线八角”.【例题】(1)如图1,在△ABC中,∠ABC=90°,∠A=50°,BD∥AC,则∠CBD的度数是°.(2)已知:如图2,直线AB∥CD,直线EF分别交AB、CD于点E、F,∠BEF的平分线与∠DFE 的平分线相交于点P.你能说明∠P=90°吗?(3)如图3,已知AB∥CD,∠C=75°,∠A=25°,则∠E的度数为 .【思考与解】(1)解法一:由题意我们知BD∥AC.所以∠ABD+∠BAC=180°.所以∠CBD=180°-50°-90°=40°.解法二:由题意我们知∠C=90°-∠A=90°-50°=40°.又因为BD∥AC. 所以∠CBD=∠C=40°.(2)因为AB∥CD.所以根据平行线的性质得:∠BEF+∠EFD=180°.又因为EP、FP分别平分∠BEF和∠EFD.所以∠P=180°-(∠1+∠2)= 180°-90°=90°.(3)因为AB∥CD. 所以∠BFE=∠C=75°.所以∠AFE=180°-∠BFE= 180°-75°=105°.所以∠E=180°-∠A-∠AFE=180°-25°-105°=50°反思:我们在做这类题的时候,一定要想是不是这样做最简单,是不是只有这一种解法?【例6】如图1,如果∠B=∠1=∠2=50°,那么∠D= .【思考与分析】我们通过观察图形,由∠B=∠1=∠2=50°可得AB∥DC、AD∥BC,再利用其性质同旁内角互补可得∠D的度数.解:因为∠B=∠1,所以AB∥DC,所以∠B+∠BCD=180°,∠BCD=130°.又因为∠B=∠2,所以AD∥BC,所以∠BCD+∠D=180°,∠D=50°.反思:我们解题时用的是同旁内角互补.还可以利用∠D=∠1=∠B=50°.也可以利用∠D=∠2=∠B=50°.大家可以试一试.【例7】如图2,直线l1、l2分别与直线l3、l4相交,∠1与∠3互余,∠3的余角与∠2互补,∠4=125°,则∠3= .思考与解:因为∠1与∠3互余,∠3的余角与∠2互补,所以∠1+∠2=180°.所以l1∥l2.所以∠3=∠5=180°-∠4=55°.反思:我们难以理解的是为什么∠1+∠2=180°?我们可由题意列式∠1+∠3=90°,90°-∠3+∠2=180°.两个式子相加可得∠1+∠2=180°.在解决有关平行问题的时候,有时需要添加必要的辅助线,而添加平行线作为辅助线,更是解决此类问题好的帮手.下面举几例说明.【例8】如图1所示,直线a∥b,∠ACF=50°,∠ABE=28°,求∠A的大小.【思考与分析】要求∠A的大小,关键是确定辅助线的位置.于是我们会想到过点A作AD∥b,这样利用平行线的知识即可求解.解:过点A作AD∥b,则∠DAC=∠ACF=50°.又因为a∥b,所以AD∥a.所以∠DAB=∠ABE=28°.所以∠BAC=∠DAC-∠DAB=50°-28°=22°,即∠A的大小是22°.反思:在解题时我们做AD∥b,那么是不是必须要做辅助线呢?我们继续思考:∠A在△ABG中,∠ABE也在△ABG中且等于28°,那么只要求出∠AGB的度数,就可求∠A的度数.【例9】如图2,AB∥CD,EO与FO相交于点O,试猜想∠AEO、∠EOF、∠CFO之间的关系,并说明理由.【思考与分析】由于∠BEO、∠EOF、∠DFO三个角的位置较散,设法通过辅助线使之相对集中,我们可以考虑AB∥CD,可以过点O作MN∥AB,这样即可找到三个角之间的关系了.由此猜想∠AEO+∠CFO+∠EOF=360°.解:过点O作MN∥AB.因为AB∥CD,所以CD∥MN.所以∠AEO+∠EOM=180°,∠MOF+∠CFO=180°.所以∠AEO+∠CFO+∠EOF=∠AEO+∠EOM+∠MOF+∠CFO=180°+180°=360°.反思:我们解这道题是用的两组同旁内角之和.其实我们还可以连结EF,正好把这三个角分成一组同旁内角和一个三角形的三个内角.由同旁内角和三角形内角和可得出同样的结论.【例10】如图3,已知AB∥ED,α=∠A+∠E,β=∠B+∠C+∠D.试探索β与2α的数量关系,并说明你的理由.【思考与分析】我们由已知条件AB∥ED可知α=∠A+∠E=180°,于是只需知道β=∠B+∠C+∠D的大小即可探索出β与2α的数量关系.此时可以过点C作CF∥AB,从而求出β=∠B+∠C+∠D=360°,即有β=2α.解:猜想β=2α.理由是:过C作CF∥AB,因为 AB∥ED,所以∠α=∠A+∠E=180°.又因为AB∥ED,所以CF∥DE,即(∠B+∠1)+(∠2+∠D)=360°.故β=2α.【小结】这道题的思路与我们做的上题是相同的,也可以连结BD来解.第五节、竞赛数学在竞赛试题中,平行和垂直是做为基础知识应用在一些综合性的题目之中,单独出题的情况很少,但当平行和垂直的性质与实际情况结合时,往往也会被做为新题型来考查.【例1】请说明在同一平面内三条直线的位置关系及交点个数.【思考与分析】本题有多种分类,如以两条直线的位置关系分类,再考虑第三条直线的位置;又如以三条直线交点的个数分类等.下面我们就第二种分类加以说明.解:(1)如图1,三条直线互相平行,此时交点个数为0;(2)如图2,三条直线相交于同一点,此时交点个数为1;(3)如图3,三条直线两两相交且不交于同一点,此时交点个数为3;(4)如图4,其中两条直线平行,都与第三条直线相交,此时交点个数为2.综上所述,平面内三条直线的交点个数为0或1或2或3个.(如果按第一种情况进行分类研究,又该如何呢?请大家思考一下.)反思:求解中(2)、(3)两种情况称为三条直线两两相交.当题目中图形不全或不确定时,我们一定要注意分类.【例2】(1)请你在平面上画出6条直线(没有三条共点),使得它们中的每条直线都恰与另3条直线相交,并简单说明画法.(2)能否在平面上画出7条直线(任意3条都不共点),使得它们中的每条直线都恰与另3条直线相交,如果能,请画出一例,如果不能,请简述理由.【思考与分析】“6条直线相交且任意3条都不共点”,要解决这个问题,我们可以首先画出两条相交直线,这样可以发现若不出现3条直线共点可以出现平行线.对于(2)中所求,可以根据(1)得到的结论先对其进行推理,不要盲目的画图.解:(1)在平面上任取一点A,过A作两直线m1与n1.在n1 上取两点B、C,在m1上取两点D、G.过B作m2∥m1,过C作m3∥m1,过D作n2∥n1,过G作n3∥n1,这时m2、m3、n2、n3交得E、F、H、I四点,如图所示.由于彼此平行的直线不相交,所以,图中每条直线都恰与另3条直线相交.(2)在平面上不能画出没有3线共点的7条直线,使得其中每条直线都恰与另外3条直线相交.理由如下:假设平面上可以画出7条直线,其中每一条都恰与其它3条相交,因两直线相交只有一个交点,又因没有3条直线共点,所以每条直线上恰有与另3条直线交得的3个不同的交点.根据直线去数这些交点,共有3×7=21个交点,但每个交点分属两条直线,被重复计数一次,所以这7条直线交点总数为因为这与交点个数应为整数矛盾.所以,满足题设条件的7条直线是画不出来的.反思:本题在说明理由时应用了假设法.利用假设推导出结果是否与题中条件冲突.这与我们以后要学的反证法相类似.【例3】平行直线AB和CD与相交直线EF、GH相交,图中的同旁内角共有()对.A. 4对B. 8对C. 12对D. 16对【思考与解】我们可将原图分解为八个“三线八角”即“直线AB和CD 被直线EF所截”、“直线AB和CD 被直线GH所截”、“直线EF和GH被直线AB所截”、“直线EF和GH被直线CD所截”、“直线AB和EF被直线GH所截”、“直线EF和CD 被直线GH所截”、“直线AB和GH被直线EF所截”、“直线GH和CD 被直线EF所截”.每一个“三线八角”都有两对同旁内角,故原图中共有16对,因此选择D.【小结】解这类问题,关键是如何用图形分解法把图形分成若干个“三线八角”.【例4】有10条公路(假设公路是笔直的,并且可以无限延伸),无任何三条公路交于同一个岔口,现有31名交警,刚好满足每个岔口有且只有一名交警执勤,请你画出公路示意图.【思考与解】我们可以把公路想象成直线,岔口想象成交点,由警察的人数及题意可知,10条直线刚好有31个交点.根据前面所学知识,平面上的10条直线,若两两相交,最多出现45个交点,现在只要求出现31个交点,就要减去14个交点,这种情况下,通常采取两种办法:(1)多条直线共点;(2)出现平行线.根据题意,方法(1)不能实现,所以想到使用平行线.在某一方向上有5 条直线互相平行,则减少10个交点,若6条直线平行,则可减少15个交点,所以这个方向上最多可取5条平行线,这时还有4个点要去掉,换一个方向取3条平行线,即可再减少3个交点,这时还剩下2条直线与1个要减去的点,只须让其在第三个方向上互相平行即可,如图所示:【小结】本题考查我们对知识的综合应用能力,在做题时,要牢牢把握平行线的性质,与图形结合,从简单的图形推理找出问题的入手点.【例5】把正方形ABCD边AD平移得到EF,作出平移后的正方形能有几种作法?【思考与分析】据题意,平移是指正方形整体平移,只有一个.我们根据以前学过的作图方法和本周学的平移作图,作法有如下几个:作法1:过E作EF的垂线,截取EG=EF,过G点作EF的平行线,截取GH=EF(注意截取方向),连接FH就得到平移后的正方形.如图(1).作法2:过E、F分别作EF的垂线,截取EG=EF,FH=EF(注意截取方向),连接GH,就得到平移后的正方形.如图(1).作法3:过F作EF的垂线,截取FH=EF,过H点作EF的平行线,截取GH=EF(注意截取方向),连接EG就得到平移后的正方形.如图(1).作法4:过E作AC的平行线,过F作BD的平行线,截取EH=AC,FG=BD(注意截取方向).连接EG,GH,HF,就得到平移后的正方形.如图(2).作法5:连接EA,FD,过B点作EA的平行线,过C作FD的平行线.截取BG=EA,CH=FD (注意截取方向).如图(3).连接EG,GH,HF,就得到平移后的正方形.【小结】平移变换不改变图形的形状、大小和方向.连结对应点的线段平行且相等.要描述一个平移变换,必须指出平移的方向和移动的距离.【例6】电脑游戏上有一种俄罗斯方块的游戏,游戏规则:在所给各种各样的方块中,通过平移、旋转的方式,罗列方块使之排满每一横行,每排满一行,便消去一行,得100分,依次类推(本题特殊规定,只准平移),小方块在屏幕顶端居中出现(奇数列时居中偏左).现在电脑屏幕上显示(如图所示).(1)若按规定,想得分,甲方块需要怎样平移,才可能直接得分或为以后打下得分基础?乙方块呢?(2)若你把甲方块放到左侧,发现屏幕已暗示出丙方块为形状,在这种情况下,丙方块只需如何移动,便可得多少分?(注:屏幕上一共有10行10列)【思考与分析】第(1)题观察甲方块与底部方块的特点,我们可得出平移方式.第(2)题将丙方块通过平移嵌入空隙之中,即可得分.解:(1)甲方块可左移3个单位,下移7个单位放到屏幕左侧;乙方块需向右平移3个单位,下移8个单位,放到屏幕右侧.(可用其他平移方式)(2)丙方块下移7个单位,便可排满2行,得200分.【小结】解本题的关键是将各个方块通过平移嵌成一个长方形,需根据方块和现有图形选择合理的平移方式.【例7】如图1,已知直线l1∥l2,直线l3和直线l1、l2交于点C和D,在C、D之间有一点P,如果P点在C、D之间运动时,问∠PAC,∠APB,∠PBD之间的关系是否发生变化.若点P在C、D两点的外侧运动时(P点与点C、D不重合),试探索∠PAC,∠APB,∠PBD 之间的关系又是如何?【思考与分析】若P点在C、D之间运动时,我们只要过点P作出l1的平行线即可知道∠APB=∠PAC+∠PBD;若点P在C、D两点的外侧运动时(P点与点C、D不重合),则可以分为如图2和如图3两种情形,同样分别过点P作出l1或l2的平行线,即有∠APB=∠PBD -∠PAC或∠APB=∠PAC-∠PBD.解:若P点在C、D之间运动时,则有∠APB=∠PAC+∠PBD.理由是:如图1,过点P作PE∥l1,则∠APE=∠PAC,又因为l1∥l2,所以PE∥l2,所以∠BPE=∠PBD,所以∠APE+∠BPE=∠PAC+∠PBD,即∠APB=∠PAC+∠PBD.若点P在C、D两点的外侧运动时(P点与点C、D不重合),则有两种情形:(1)如图2,有结论:∠APB=∠PBD-∠PAC.理由是:过点P作PE∥l1,则∠APE=∠PAC,又因为l1∥l2,所以PE∥l2,所以∠BPE=∠PBD,所以∠APB=∠BPE-∠APE,即∠APB=∠PBD-∠PAC.(2)如图3,有结论:∠APB=∠PAC-∠PBD.理由是:过点P作PE∥l2,则∠BPE=∠PBD,又因为l1∥l2,所以PE∥l1,所以∠APE=∠PAC,所以∠APB=∠APE-∠BPE,即∠APB =∠PAC-∠PBD.【小结】我们做这类题的时候可以发现:点的移动带动角的位置变化,角的位置变化决定了角之间的关系.因此我们可以利用分类思想来分析题意,解决多种情况的讨论.第六节、本章训练基础训练题一、选择题(每题5分,共35分)1.两条平行线被第三条直线所截,那么一组同位角的平分线的关系是().A.互相垂直B.互相平行C.相交但不垂直D.不能确定2.下列说法正确的是().A.相等的角是对顶角B.两直线平行,同位角相等C.同旁内角互补D.两直线平行,同位角互补3.如图1所示,已知DE∥BC,CD是∠ACB的平分线,∠B=72°,∠ACB=40°,那么∠BDC等于().A.78°B.90°C.88°D.92°4.下列说法:①两条直线平行,同旁内角互补;②同位角相等,两直线平行;③内错角相等,两直线平行;④垂直于同一直线的两直线平行,其中是平行线的性质的是().A.①B.②和③C.④D.①和④5.船向北偏东50°方向航行到某地后,依原航线返回,船返回时方向应该是()A.南偏西40°B.北偏西50°C.北偏西40°D.南偏西50°6.线段AB是由线段CD经过平移得到的,那么线段AC与BD的关系为().A.平行B.相交C.相等D.平行且相等7.如果两个角有一条边在同一条直线上,而另一条边互相平行,那么这两个角的关系是().A.相等B.互补C.相等或互补D.没有关系二、填空题(每题5分,共35分)8. a∥b,a∥c则_______∥_______,根据______.9.经过平移后的图形与原来图形的______.和______.分别相等,图形的______.和______.没有发生改变.10.在同一平面上,如果AB⊥EF,AC⊥EF,那么点C与直线AB的位置关系是______.11.把△ABC向右平移4cm得△A1B1C1,再把△A1B1C1向下平移3cm得△A2B2C2,若把△A2B2C2看成是由△ABC经一次平移得到的,请量一量,其平移的距离是______.cm.12.船的航向从正北方向依逆时针方向驶向西南方向,它转了_____度.13.已知梯形ABCD,AD∥BC,BC=6,AD=3,AB=4,CD=2,AB平移后到DE处,则△CDE的周长是_____14.如果△ABC经过平移后得到△DEF,若∠A=41°,∠C=32°,EF=3cm,则∠E=______,BC= ______ cm三、解答题(每题10分,共30分)15.如图,AC⊥AB,∠1=30°,∠B=60°,(1)你能确定AD与BC平行吗?(2)能确定AB平行于CD吗?16.如图,AD平分∠EAC,AD∥BC,你能确定∠B与∠C的数量关系吗?17.如图所示,AB∥CD,AD∥BC,∠A的2倍与∠C的3倍互补,求∠A和∠D的度数.答案一、 1.B 2.B 3.C 4.A 5.D 6.D 7.C二、 8. b,c,平行于同一条直线的两条直线平行9. 对应角、对应边,形状、大小10. 在直线AB上11. 512. 13513. 914. 107°,3三、15.【思考与分析】通过观察图形并结合题中条件我们可以得到:∠ACB=180°-∠BAC -∠ABC=180°-90°-60°=30°.由此可得AD∥BC.但是由题中条件我们求不出∠D或者∠ACD,因此不能判定AB与CD是否平行.解:(1)因为∠BAC=90°,∠B=60°,且∠BAC+∠B+∠ACB=180°,所以∠ACB=180°-∠BAC-∠B=180°-90°-60°=30°.所以AD∥BC(内错角相等,两直线平行).(2)不能确定.因为求不出∠D或者∠ACD,找不到两直线平行的判定条件,所以AB与CD不一定平行.16.【解题思路】我们通过观察图形并结合题中条件可知,要想知道∠B与∠C的数量关系,就得利用AD∥BC,从而得到∠B=∠1,∠C=∠2.只要∠1=∠2,那么∠B=∠C.而题中给出了AD平分∠EAC,正好得到∠1=∠2!解:因为AD∥BC,所以∠B=∠1(两直线平行,同位角相等).所以∠C=∠2(两直线平行,内错角相等).又因为AD平分∠EAC,所以∠1=∠2.所以∠B=∠C.17.【思考与分析】经过仔细分析我们可知,题目要求∠A和∠D的度数,而条件只给出了∠A和∠C的关系.因此,分清∠A、∠C和∠D三者之间的关系是解题的关键.解:因为AB∥CD,所以∠A+∠D=180°.所以∠A=180°-∠D.因为AD∥BC,所以∠C+∠D=180°.所以∠C=180°-∠D.所以∠A=∠C.再由2∠A+3∠C=180°解得∠A=∠C=36°.所以∠D=144°.提高训练题一、填空题1. 直线l1,l2在同一平面内不相交,则它们的位置关系是.2. 若直线l1// l2,l2// l3,则 ____ // ____,其理由是.3. 若直线l1//l2,一条射线与l1有交点,那么这条射线与l2的位置关系是___________ .二、选择题1. 下列哪种情况,直线l1和l2不一定是平行线()A. l1和l2是不相交的两条直线B. l1和l2都平行于直线l3C. 在同一平面内l1和l2没有一个公共点D. 在同一平面内,l1⊥l3,l2⊥l32. 若∠1与∠2的关系为内错角,∠1=40°,则∠2等于()A. 40°B. 140°C. 40°或140°D. 不确定3. 下列说法正确的是()A.若两个角相等,则这两个角是对顶角B.若两个角是对顶角,则这两个角是相等C.若两个角不是对顶角,则这两个角不相等D.所有的对顶角相等三、解答题1. 如图,已知三角形ABC,分别过A,B,C三点作它们的对边BC,CA,AB的平行线.。
人教版 七年级下册数学第五章:相交线与平行线 平行线教案设计
平行线一、目标与策略明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件,要做到心中有数!学习目标:●理解平行线的概念,知道在同一平面内两条直线的位置关系,掌握平行公理及其推论;●掌握平行线的判定方法与平行线的性质,运用所学的知识,判定两条直线是否平行。
用作图工具画平行线,从而学习如何进行简单的推理论证;●理解两条平行线的距离的概念;●什么是命题,知道一个命题是由“题设”和“结论”两部分组成,对于给定的命题,能找出它的题设和结论。
重点难点:●重点:平行线的判定及性质,平移变换。
●难点:平行线的判定和性质的联系与区别;推理能力的培养;平移变换的理解及应用。
学习策略:●通过观察、思考、探究等活动归纳出平行线的概念和性质,借助练习熟悉“说理”和“简单推理”的过程,从而加深理解并熟练掌握本节内容。
二、学习与应用“凡事预则立,不预则废”。
科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。
知识回顾---复习学习新知识之前,看看你的知识贮备过关了吗?(一)两条直线被第三条直线截成的八个角中共有对同位角,对内错角,对同旁内角。
(二)同位角特征:截线旁,被截两线的方向。
内错角特征:截线旁,被截两线之间。
同旁内角特征:截线旁,被截两线之间。
知识要点——预习和课堂学习认真阅读、理解教材,尝试把下列知识要点内容补充完整,带着自己预习的疑惑认真听课学习,请在虚线部分填写预习内容,在实线部分填写课堂学习内容。
课堂笔记或者其知识点一:平行线的概念及表示方法在同一平面内,不相交的两条直线叫做。
通常用“”表示平行,如图1中,直线AB与CD平行,记作,如果用l,m表示这两条直线,那么直线l与直线m平行,记作。
要点诠释:(1)平行线必须满足两个条件:①,②,但要注意直线的特点是可以向__方无限延长,在平面内只能画出有限长,如下图2中直线a,b看上去不相交,但当把它们看作无限长之后会发现它们其实是相交的,因此直线a,b不平行,从平行线的定义中,我们还可以学习到这样的知识:在同一平面内,不重合的两条直线的位置关系有两种:①,②。
人教版七年级下册数学第5章 相交线与平行线 命题、定理、证明
解:不是真命题.如图 所示,直线a与b不平行, 直线c与直线a,b分别 相交,∠1与∠2是同位 角,但∠1≠∠2.
感悟新知
3. 下列说法错误的是( C ) A.命题不一定是定理,定理一定是命题
知3-练
B.定理不可能是假命题
感悟新知
知识点 3 定理与证明(举反例)
知3-讲
1.定理:经过推理证实得到的真命题叫做定理. 2.证明:在很多情况下,一个命题的正确性需要经 过推理,才能作出判断,这个推理过程叫做证明.
感悟新知
例4 如图,已知直线b//c,a⊥b.求证a⊥c.
证明:∵a⊥b (已知), ∴∠1=90° (垂直的定义). 又b//c(已知), ∴∠1=∠2 (两直线平行,同位角相等). ∴∠2=∠1=90° (等量代换). ∴a⊥c (垂直的定义).
解: (1)题设:两个角互为补角;结论:这两个角相 等.假命题. (2)题设:a=b;结论:a+c=b+c.真命题. (3)题设:两个长方形的周长相等;结论:这两个 长方形的面积相等.假命题.
感悟新知
归纳
知2-讲
判断命题的真假时,真命题需说明理由;假命 题只需举一反例即可;举反例是说明一个命题是假 命题的常用方法,而所列举的反例一般应满足命题 的题设,不满足命题的结论.
作业1 必做:请完成教材课后习题 补充:
作业2
第五章相交线与平行线
5.3平行线的性质
第3课时命题、定理、 证明
学习目标
1 课时讲解
命题的定义及结构 命题的分类 定理与证明(举反例)
2 课时流程
逐导入
请阅读以下几句话: (1)具有中华人民共和国国籍的人,叫做中华人民 共和国公民. (2)两点之间线段的长度,叫做这两点之间的距离. (3)无限不循环小数称为无理数. (4)今天要下雨. (5)我们要充满梦想,执着地飞翔.
人教版数学七年级下册平行线教学课件2
不努力,理想与现实永远不会相交;
平行线定义:在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线。
03课堂练习 那么过直线外一点作直线的平行线能画几条呢?
经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行.(平行公理)
因为AB//EF,CD//EF
因为AB//EF,CD//EF
也就是说,AB与CD不能相交,只能平行。
经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
2.相交、垂直 人教版七年级数学下册第五章相交线与平行线
经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行.(平行公理)
那么直线AB与CD可能相交吗?
3.平行、垂直 说明:人们在长期实践中总结出来的结论叫基本
如图:AB与CD平行吗?这又说明了什么? 如何表示它们之间的位置关系呢?
平行线画法:一贴、二靠、三移、四画。
4.相交、垂直、平行 完成下列推理,并在括号内
人教版七年级数学下册第五章相交线与平行线
那么过直线外一点作直线的平行线能画几条呢?
∴A、B、C三点______(
)
如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.
探究二:平行线的画法(画一画)
(1)贴 (2)靠 (3)移 (4)画
平行公理:经过直线外一点,有且只有一条直线 与这条直线平行(唯一性)。
平行公理的推论:如果两条直线都和第三条直线 平行,那么这两条直线也互相平_EF(
)
寄语
每个图形中的两条直线会相交吗?
平行于同一直线的两条直线平行.
完成下列推理,并在括号内
因为AB//EF,CD//EF
现实 只要努力,理想也会变成现实. 作图:会用直尺和三角板画平行线,会根据几何语句画出图形;
平行线定义:在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线。
最新人教版七年级数学下册各章节知识点归纳
最新⼈教版七年级数学下册各章节知识点归纳七年级数学下册知识点归纳第五章相交线与平⾏线5.1 相交线⼀、相交线两条直线相交,形成4个⾓。
1、两条直线相交所成的四个⾓中,相邻的两个⾓叫做邻补⾓,特点是两个⾓共⽤⼀条边,另⼀条边互为反向延长线,性质是邻补⾓互补;相对的两个⾓叫做对顶⾓,特点是它们的两条边互为反向延长线。
性质是对顶⾓相等。
①邻补⾓:两个⾓有⼀条公共边,它们的另⼀条边互为反向延长线。
具有这种关系的两个⾓,互为邻补⾓。
如:∠1、∠2。
②对顶⾓:两个⾓有⼀个公共顶点,并且⼀个⾓的两条边,分别是另⼀个⾓的两条边的反向延长线,具有这种关系的两个⾓,互为对顶⾓。
如:∠1、∠3。
③对顶⾓相等。
⼆、垂线1.垂直:如果两条直线相交成直⾓,那么这两条直线互相垂直。
2.垂线:垂直是相交的⼀种特殊情形,两条直线垂直,其中⼀条直线叫做另⼀条直线的垂线。
3.垂⾜:两条垂线的交点叫垂⾜。
4.垂线特点:过⼀点有且只有⼀条直线与已知直线垂直。
5.点到直线的距离:直线外⼀点到这条直线的垂线段的长度,叫点到直线的距离。
连接直线外⼀点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短。
三、同位⾓、内错⾓、同旁内⾓两条直线被第三条直线所截形成8个⾓。
1.同位⾓:(在两条直线的同⼀旁,第三条直线的同⼀侧)在两条直线的上⽅,⼜在直线EF的同侧,具有这种位置关系的两个⾓叫同位⾓。
如:∠1和∠5。
2.内错⾓:(在两条直线内部,位于第三条直线两侧)在两条直线之间,⼜在直线EF的两侧,具有这种位置关系的两个⾓叫内错⾓。
如:∠3和∠5。
3.同旁内⾓:(在两条直线内部,位于第三条直线同侧)在两条直线之间,⼜在直线EF的同侧,具有这种位置关系的两个⾓叫同旁内⾓。
如:∠3和∠6。
5.2 平⾏线及其判定(⼀) 平⾏线1.平⾏:两条直线不相交。
互相平⾏的两条直线,互为平⾏线。
a∥b(在同⼀平⾯内,不相交的两条直线叫做平⾏线。
)2.平⾏公理:经过直线外⼀点,有且只有⼀条直线与这条直线平⾏。
人教版七年级数学下册精品教学课件 第五章 相交线与平行线 平行线的判定
∴a∥b(同位角相等,两直线平行).
∵∠3=∠4,∠2=∠5,∠2+∠3=180°, ∴∠4+∠5=180°,
∴a∥b(同旁内角互补,两直线平行).
课堂小结
判定两条直线是否平行的方法有: 1.平行线的定义. 2.如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行. 3.平行线的判定方法: (1)同位角相等, 两直线平行. (2)内错角相等, 两直线平行. (3)同旁内角互补, 两直线平行 4.如果两条直线都与第三条直线垂直,那么这两条直线也互相平行.
知识点四 在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线平行 在同一平面内,如果两条直线都垂直于同一条直线,那么
两条直线平行吗?为什么?
已知条件:直线 b 与直线 c 都垂直于直线 a .要说明的
结论:直线 b 与直线 c 平行吗? 解法一:如图,∵ b⊥a,∴ ∠1= 90°.
同理∠2= 90°.∴ ∠1=∠2.
A
明,如果同位角相等,那么AB∥CD.
E
P
H1
D
G2 B F
一般地,有如下利用同位角判定两条直线平行的方法:
判定方法1 两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,
那么这两条直线平行.
简单说成:同位角相等,两直线平行.
A
几何语言:
1
∵∠1=∠2(已知)
∴l1∥l2(同位角相等,两直线平行)
l2
2
l1
c
a
2
43
b
1
2.如图,直线AE ,CD 相交于点O ,如果∠A=110°,∠1= 70°,就可以说明AB∥CD,这是为什么?
解:因为∠1=∠AOD(对顶角相等),∠1= 70°,所以∠AOD=70°. 又因为∠A=110°,所以∠A+∠AOD=
人教版初中数学七年级下第五章-相交线和平行线知识点总结【实用版】
人教版初中数学七年级下相交线和平行线知识点总结本章使学生了解在平面内不重合的两条直线相交与平行的两种位置关系,研究了两条直线相交时的形成的角的特征,两条直线互相垂直所具有的特性,两条直线平行的长期共存条件和它所有的特征以及有关图形平移变换的性质,利用平移设计一些优美的图案.。
重点:垂线和它的性质,平行线的判定方法和它的性质,平移和它的性质,以及这些的组织运用.5.1相交线1、邻补角与对顶角两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角,它们的概念及性质如下表:图形顶点边的关系大小关系对顶角∠1与∠2 有公共顶点∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线对顶角相等即∠1=∠21 2注意点:⑴对顶角是成对出现的,对顶角是具有特殊位置关系的两个角;⑵如果∠α与∠β是对顶角,那么一定有∠α=∠β;反之如果∠α=∠β,那么∠α与∠β不一定是对顶角⑶如果∠α与∠β互为邻补角,则一定有∠α+∠β=180°;反之如果∠α+∠β=180°,则∠α与∠β不一定是邻补角。
⑶两直线相交形成的四个角中,每一个角的邻补角有两个,而对顶角只有一个。
2、垂线⑴定义,当两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角时,就说这两条直线互相垂直,其中的一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足。
符号语言记作:如图所示:AB ⊥CD ,垂足为O⑵垂线性质1:过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记)⑶垂线性质2:连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短。
简称:垂线段最短。
3、垂线的画法:⑴过直线上一点画已知直线的垂线;⑵过直线外一点画已知直线的垂线。
注意:①画一条线段或射线的垂线,就是画它们所在直线的垂线;②过一点作线段的垂线,垂足可在线段上,也可A BCDO以在线段的延长线上。
画法:⑴一靠:用三角尺一条直角边靠在已知直线上,⑵二移:移动三角尺使一点落在它的另一边直角边上,⑶三画:沿着这条直角边画线,不要画成给人的印象是线段的线。
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第五章相交线与平行线
一、知识框架
二、知识概念1.邻补角:两条直线相交所构成的四个角中,有公共顶点且有一条公共边的两个角是邻补角。
2.对顶角:一个角的两边分别是另一个叫的两边
的反向延长线,像这样的两个角互为对顶角。
3.垂线:两条直线相交成直角时,叫做互相垂直,
其中一条叫做另一条的垂线。
4.平行线:在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线。
5.同位角、内错角、同旁内角:
同位角:∠1与∠5像这样具有相同位置关系的一对角叫做同位角。
内错角:∠4与∠6像这样的一对角叫做内错角。
同旁内角:∠4与∠5像这样的一对角叫做同旁内角。
6.命题:判断一件事情的语句叫命题。
7.平移:在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定的距离,图形的
这种移动叫做平移变换,简称平移。
8.对应点:平移后得到的新图形中每一点,都是由原图形中的某一点
移动后得到的,这样的两个点叫做对应点。
9.定理与性质对顶角的性质:对顶角相等。
10垂线的性质:性质1:过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
性质2:连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短。
11.平行公理:经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
平行公理的推论:如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行。
12.平行线的性质性质1:两直线平行,同位角相等。
性质2:两直线平行,内错角相等。
性质3:两直线平行,同旁内角互补。
13.平行线的判定:判定1:同位角相等,两直线平行。
判定2:内错角相等,两直线平行。
判定3:同旁内角相等,两直线平行。
【难题巧解点拨】
例1求证三角形的内角和为180度。
B
例2如图,AB、CD两相交直线与EF、MN两平行直线相交,试问一共可以得到同旁内角多少对?
例3已知:∠B+∠D+∠F=360o.求证:AB∥EF.
例3-1如图所示,已知AB//CD,求证:∠B+∠E+∠D=360°,要求:至少用三种方法证明
证明:
(1)连接BD
∵AB∥CD(已知),
∴∠ABD+∠CDB=180°(两直线平行,同旁内角互补)
∵∠1+∠2+∠BED=180°(三角形内角和为180°),
∴∠ABD+∠1+∠CDB+∠2+∠BED=360°,
即∠ABE+∠CDE+∠BED=360°.
(2)延长DE交AB延长线于F
∵AB∥CD(已知),
∴∠F+∠D=180°(两直线平行,同旁内角互补)
∵∠ABE=∠FEB+∠F,
∠BED=∠FBE+∠F(三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)
∴∠ABE+∠CDE+∠BED
=∠FEB+∠F+∠CDE+∠FBE+∠F
=180°+180°
=360°.
(3)过点E作EF∥AB
∵AB∥CD,
∴AB∥EF∥CD(如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行)
∴∠B+∠BEF=180°
∠D+∠DEF=180°(两直线平行,同旁内角互补)
∴∠B+∠BEF+∠D+∠DEF
=180°+180° =360°.
例4如图,∠1+∠2=∠BCD,求证AB ∥D E 。
【典型热点考题】
例1 如图2—15,∠1=∠2,∠2+∠3=180°,AB ∥CD 吗? AC ∥BD 吗?为什么?
例2 已知直线a
、b 、c 在同一平面内,a ∥b ,a 与c 相交于p ,那么b 与c 也一定相交.请说明理由.
小试牛刀
一、选择题
1.图2—17中,同旁内角共有 ( )
A .4对
B .3对
C .2对
D .1对
2、光线a 照射到平面镜CD 上,然后在平面镜AB 和CD 之间来回反射,光线的反射角等于入射角.若已知∠1=35°,∠3=75°,则∠2=( )
A .50°
B .55°
C .66°
D .65°
3、如图3,把长方形纸片沿EF 折叠,使D ,C 分别落在D ',C '的位置,若65EFB =∠,则AED '∠等于( )
A .50
B .55
C .60
D .65
A
B E D
C
第2题图 第3题图
4.两条直线被第三条直线所截,如果所成8个角中有一对内错角相等,那么 ( )
A .8角均相等
B .只有这一对内错角相等
C. 凡是内错角的两角都相等,凡是同位角的两角也相等 D .凡是内错角的两角都相等,凡是同位角的两角都不相等
5、一辆汽车在笔直的公路上行驶,两次拐弯后,仍在原来的方向上
平行前进,则这两次拐弯的角度可以是 ( ) A.第一次向右拐40°,第二次向左拐140° B.第一次向左拐40°,第二次向右拐40° C.第一次向左拐40°,第二次向左拐140° D.第一次向右拐40°,第二次向右拐40°
6、已知:如图,AB//CD ,则图中α、β、γ三个角之间的数量关系为( ). A 、α+β+γ=360︒
B 、α+β+γ=180︒
C 、α+β-γ=180︒
D 、α-β-γ=90︒
7、如图,把三角形纸片沿DE 折叠,当点A 落在四边形BCED 内部时, 则∠A 与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变.请试着找一找这个
规律,你发现的规律是( ). (A)∠A =∠1+∠2 (B)2∠A =∠1+∠2 (C)3∠A =2∠1+∠2 (D)3∠A=2(∠1十∠2)
二、填空题
1、用等腰直角三角板画45AOB =∠,并将三角板沿OB 方向平移到如图17所示的虚线处后绕点M 逆时针方向旋转22,则三角板的斜边与射线OA 的夹角α为______
2、如图2—30,直线CD 、EF 相交于点A ,则在∠1、∠2、∠
3、∠
4、∠B 和∠C 这6个角中.
(1)同位角有______; (2)内错角有______;
(3)同旁内角有_____。
第1题图
第
2
题图
3、如图2—31,直线a 、b 被直线AB 所截,且AB ⊥BC ,
(1)∠1和∠2是_______角;
(2)若∠1与∠2互补,则∠1-∠3=_______.
4、如图,图中有_________对同位角,_________对内错角,_________对同旁内角.
三、解答题
1、已知:如图2—33,∠ABC=∠ADC ,BF 、DE 是∠ABC 、∠ADC 的角平分线,∠1=∠2.
求证:DC ∥AB .
2、在3×3的正方形ABCD 的方格中,∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠8+∠9之和是多少度?
22
3、已知:如图,CD//EF ,∠1=65︒,∠2=35︒,求∠3与∠4的度数.
4、如图,哪些条件能判定直线AB ∥CD?
5、如图,已知DE 、BF 平分∠ADC 和∠ABC ,∠ABF =∠AED ,∠ADC =∠ABC ,由此可推得图中哪些线段平行?并写出理由.
6、实验证明,平面镜反射光线的规律是:射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等.
(1)如图,一束光线m 射到平面镜a 上,被a 反射到平面镜b 上,又被b 反射.若被b 反射出的光线n 与光线m 平行,且∠1=50°,则∠2= °,∠3= °. (2)在(1)中,若∠1=55°,则∠3= °;若∠1=40°,则∠3= °.
(3)由(1)、(2),请你猜想:当两平面镜a 、b 的夹角∠3= °时,可以使任何射到平面镜
a 上的光线m ,经过平面镜a 、
b 的两次反射后,入射光线m 与反射光线n 平行.你能说明理由
吗?
7、潜望镜中的两个镜子MN 和PQ 是互相平行的,如图所示,光线AB 经镜面反射后,∠1=∠2,∠3=∠4
,试说明,进入的光
1
4 3 2 A D
C B
3
2
1n
m
b
a
线AB 与射出的光线CD 平行吗?为什么?
8、如图:已知DEF ABC ∆∆与是一副三角板的拼图,
在同一条线上D C E A ,,,.
(1)、求证BC EF // ; (2)、求21∠∠与的度数
9.完成下列推理过程:如图,已知AB∥CD,CD∥EF,∠A=105°,∠ACE=51°,求:∠E
的度数.
10.如图,已知AB ∥CD ,EF 交AB,CD 于G, H, GM, HN 分别平分EHD AGF ∠∠,,试说明GM ∥HN.
11.如图,已知AD ∥CE,C A ∠=∠,说明AB 与CF 的位置关系,理由是什么?
初中数学试卷。