人教版七年级下册数学第五章 相交线与平行线

第五章相交线与平行线

一、知识框架

二、知识概念1.邻补角：两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角是邻补角。

2.对顶角：一个角的两边分别是另一个叫的两边

的反向延长线，像这样的两个角互为对顶角。

3.垂线：两条直线相交成直角时，叫做互相垂直，

其中一条叫做另一条的垂线。

4.平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。

5.同位角、内错角、同旁内角：

同位角：∠1与∠5像这样具有相同位置关系的一对角叫做同位角。内错角：∠4与∠6像这样的一对角叫做内错角。

同旁内角：∠4与∠5像这样的一对角叫做同旁内角。

6.命题：判断一件事情的语句叫命题。

7.平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的

这种移动叫做平移变换，简称平移。

8.对应点：平移后得到的新图形中每一点，都是由原图形中的某一点

移动后得到的，这样的两个点叫做对应点。

9.定理与性质对顶角的性质：对顶角相等。

10垂线的性质：性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

11.平行公理：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

12.平行线的性质性质1：两直线平行，同位角相等。

性质2：两直线平行，内错角相等。

性质3：两直线平行，同旁内角互补。

13.平行线的判定：判定1：同位角相等，两直线平行。

判定2：内错角相等，两直线平行。

判定3：同旁内角相等，两直线平行。

【难题巧解点拨】

例1求证三角形的内角和为１８０度。

B

例2如图，AB、CD两相交直线与EF、MN两平行直线相交，试问一共可以得到同旁内角多少对?

例3已知：∠Ｂ＋∠Ｄ＋∠Ｆ＝360o.求证：AB∥EF.

例3-1如图所示,已知AB//CD,求证:∠B+∠E+∠D=360°,要求:至少用三种方法证明

证明：

（1）连接BD

∵AB∥CD（已知）,

∴∠ABD+∠CDB=180°（两直线平行,同旁内角互补）

∵∠1+∠2+∠BED=180°（三角形内角和为180°）,

∴∠ABD+∠1+∠CDB+∠2+∠BED=360°,

即∠ABE+∠CDE+∠BED=360°．

（2）延长DE交AB延长线于F

∵AB∥CD（已知）,

∴∠F+∠D=180°（两直线平行,同旁内角互补）

∵∠ABE=∠FEB+∠F,

∠BED=∠FBE+∠F（三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）

∴∠ABE+∠CDE+∠BED

=∠FEB+∠F+∠CDE+∠FBE+∠F

=180°+180°

=360°．

（3）过点E作EF∥AB

∵AB∥CD,

∴AB∥EF∥CD（如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行）

∴∠B+∠BEF=180°

∠D+∠DEF=180°（两直线平行,同旁内角互补）

∴∠B+∠BEF+∠D+∠DEF

=180°+180° =360°．

例4如图，∠１＋∠２＝∠BCD,求证AB ∥D E 。

【典型热点考题】

例１ 如图2—15，∠1=∠2，∠2+∠3=180°，AB ∥CD 吗? AC ∥BD 吗?为什么?

例2 已知直线a

、b 、c 在同一平面内，a ∥b ，a 与c 相交于p ，那么b 与c 也一定相交．请说明理由．

小试牛刀

一、选择题

1．图2—17中，同旁内角共有 ( )

A ．4对

B ．3对

C ．2对

D ．1对

2、光线a 照射到平面镜CD 上，然后在平面镜AB 和CD 之间来回反射，光线的反射角等于入射角．若已知∠1=35°，∠3=75°，则∠2=（ ）

A ．50°

B ．55°

C ．66°

D ．65°

3、如图3，把长方形纸片沿EF 折叠，使D ，C 分别落在D '，C '的位置，若65EFB =∠，则AED '∠等于（ ）

A ．50

B ．55

C ．60

D ．65

Ａ

Ｂ Ｅ Ｄ

Ｃ

第2题图 第3题图

4．两条直线被第三条直线所截，如果所成8个角中有一对内错角相等，那么 ( )

A ．8角均相等

B ．只有这一对内错角相等

C. 凡是内错角的两角都相等，凡是同位角的两角也相等 D ．凡是内错角的两角都相等，凡是同位角的两角都不相等

5、一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上

平行前进，则这两次拐弯的角度可以是 ( ) A.第一次向右拐40°，第二次向左拐140° B.第一次向左拐40°，第二次向右拐40° C.第一次向左拐40°，第二次向左拐140° D.第一次向右拐40°，第二次向右拐40°

6、已知：如图，AB//CD ，则图中α、β、γ三个角之间的数量关系为（ ）. A 、α+β+γ=360︒

B 、α+β+γ=180︒

C 、α+β-γ=180︒

D 、α-β-γ=90︒

7、如图，把三角形纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCED 内部时， 则∠A 与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变．请试着找一找这个

规律，你发现的规律是( )． (A)∠A ＝∠1+∠2 (B)2∠A ＝∠1+∠2 (C)3∠A ＝2∠1+∠2 (D)3∠A=2(∠1十∠2)

二、填空题

1、用等腰直角三角板画45AOB =∠，并将三角板沿OB 方向平移到如图17所示的虚线处后绕点M 逆时针方向旋转22，则三角板的斜边与射线OA 的夹角α为______

2、如图2—30，直线CD 、EF 相交于点A ，则在∠1、∠2、∠

3、∠

4、∠B 和∠C 这6个角中．

(1)同位角有______； (2)内错角有______；