数形结合思想在“一次函数”解题中的应用

数形结合思想在“一次函数”解题中的应用

摘要：在解题过程中，利用数形结合的思想解答数学问题，往往能够起到事半功倍的效果，在解答与“一次函数”相关的问题的时候，可以画一个直角坐标，先根据题目中给到的点标在直角坐标系中，这样就可以直观的把所有信息都体现在图上，使解题更加方便，不会漏掉重要信息，而且在解题后，还能根据直角坐标系进行验证，用数形结合的思想在“一次函数”解题中是非常实用的。

关键词：数形结合；一次函数；解题应用

一次函数在初中数学中是比较基础的章节，这一章节也可说是小学数学与初中数学的过渡，同学们要逐渐适应这样的函数形式，通过数行结合的思想可以很好地解决一次函数相关的问题，数形结合法是解决数学问题的重要方法之一，体现了数量关系与空间形式是相互联系和转化的，将抽象的数式与具体的图形相结合与转化，把数量关系转化为图形或把图形问题转化为数量关系进行研究.在一定的条件下，将数与形进行巧妙转化，以形助数，以数解形，化难为易，有时会起到事半功倍的效果.

（1）以形助数：仔细观察图形的形状、大小、位置关系，充分利用线段、面积与周长等数量关系将数转化为形来求解.

例1：已知：如图，平面直角坐标系中，A（1，0），B(0，1），C(-1，0），过点C的直线绕C旋转，交y轴于点D，交线段AB于点E。（1）求∠OAB的度数及直线 AB的解析式：

（2）若△OCD 与△BDE 的面积相等，求直线 CE 的解析式；若 y 轴上的一点P 满足∠APE=45°，请直接写出点P的坐标。

解题思路：

（1）由A，B两点的坐标知，LAOB为等腰直角三角形，所以ZOAB=45°

（2）△OCD与△BDE?的面积相等，等价于△ACE?与△AOB?面积相等，故可求E 点坐标，从而得到CE的解析式；因为E为AB中点，故P为（0.0）时，

∠APE=45°

在例1当中，运用的就是以形助数的解题方式，在这道题目当中，给出了在直角坐标系的电的位置和图形，从图形中，我们可以清晰地看到OA=OB=1，

△AOB为等腰直角三角形，而等腰直角形的除直角以外的两个角的度数是45°，从坐标系中清晰可见，如果题目中没有给出直角坐标系，那么，只依靠想象和计算推演出△AOB为等腰直角三角形就比较困难了。根据A、B两点的坐标求直线AB的解析式就非常简单了，只需要将坐标带入y=kx+b，就可轻松得出直线AB的解析式为：y=x+1。

第二问中，已知△OCD与△BDE?的面积相等，考虑面积相等这个条件时，直接算比较困难，往往采取补全成一个容易计算的面积来解决问题，因此等价于

△ACE?与△AOB?面积相等，根据这个条件，我们可以求出点E的坐标，已知点E 的坐标和点C的坐标，再求直线CE的解析式也非常简单了，只需要把两点坐标带入解析式，就可得出直线CE的解析式：y=1/3x+1/3；当点P（0.0）时，我们可以从图中看出，△APE又是一个直角三角形，因此∠APE=45°。

在这道例题当中，我们充分利用了图中三角形的特点直接看到了相关角度，

并且根据补全三角形面积得方法找到相关电的坐标，从而求得解析式，这就是用

数形结合的思路来解题，帮助同学们可以正面的直观的看到解题步骤，从而准确

解出题目，在类似的题目当中，数形结合的方法都可以被应用，可以帮助学生更

好地理解一次函数的含义，也能够提升解题速度和准确性，帮助学生理清解题思路。

（2）以数解形：要先充分挖掘出图形中的数量关系，使用代数式求解几何问题，根据图形建立方程或函数关系是常用的方法.

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解析思路：从一次函数的特性中我们知道，y=kx+b，其中b是图像与Y轴相

交的位置，这道选择题中，因为给出了（k0）的条件，那么就一定是正数，一定

与y轴的正半轴相交，根据这个条件，我们看ABCD四个选项，只有B选项符合

答案，因此，正确答案应该是B.通过简单的分析推理，正确答案就直接出来了，ACD三个选项不需要考虑，可以直接排除掉，这样在选择题中，就可以节约大量

的时间，还能够保证答题的准确率，因此，用数形结合的理念来解析一次函数是

非常简单的。

解析思路：首先，看到这道题目的时候，首先自己在草纸上画一个象限图，x

前面的系数是正数，说明图像肯定会在一、三象限，b=2是正数，与y轴正半轴

相交，因此会穿过第二象限，所以正确的选项应该是A选项，这个图像应该存在

于一、二、三象限。这样运用图形结合法解决一次函数的问题就非常的简便了。

说到这里，我们在分析一下一次函数应用数形结合的方法的解题思路，当遇

到一次函数相关的问题的时候，我们要先画一个象限图，然后根据描点法在图中

找到这些点的坐标，根据两个点的坐标，用待定系数的方法，就可以确定一次函

数的解析式了。还有一些的相关衍生问题，比如根据一次函数与x/y轴围成的三

角形面积问的相关问题，遇到这种问题的时候，一定要结合图形，找到这个图形

的一些特点，比如是直角三角形或者是等边三角形，就可以求出相关角的角度，

或者根据等边三角形三个边相等的特点求出相关的坐标，然后根据点的左边，用

待定系数发，就可解决一次函数的解析式了。

总结

在初中数学当中，一次函数是非常基础而且重要的问题，在解决这样的问题

的时候，数形结合发是一种非常有效而且准确率高的方法，本文通过举例说明在

一次函数解题过程中应用数形结合的方法，阐述了数形结合这一解题思路的重要性，希望日后在一次函数的教学过程中，教师要注意多应用这一方法帮助同学滤

清解题思路，并且应用这样的方法节省选择题的时间。帮助同学们找对方法，爱

上数学课，

参考文献

[1]浅谈数形结合思想在高中数学解题中的应用[J]. 宋端坤.??数学学习与研