数形结合思想在“一次函数”解题中的应用
数形结合在解题中的应用(毕业论文)
数形结合在解题中的应用摘要：数形结合思想是一种非常重要的数学解题方法，是数学学习普遍适用的方法，把知识的学习、能力的提升和智力的发展有效结合.形与数常常结合在一起，在内容上相互联系，在方法上互相渗透，在一定条件下互相转化.本文在概述数形结合思想的基础上，分析了数形结合在中学数学解题中的应用，主要体现在处理集合问题、方程根的存在性问题、不等式问题、三角函数问题、求极值问题、线性规划问题和复数问题等，并针对解决不同类型的数学题目给出了详细的例题分析，最终给出了在培养学生利用数形结合思想时需注意的问题，以激发学生的学习兴趣，提高学生的解题能力和思维能力.关键词：数形结合；集合；方程；极值The combination of number and shape in the problem solving application（Mathematics and statistics of Jishou University College，Jishou Hunan 416000）Abstract: The number shape union thinking is a very important mathematical method of solving problems, is a generally applicable method of mathematics learning, to enhance the development of effective combination of intelligence and knowledge learning, ability. Form and number often together, communicate with each other in the content, permeate each other in method, transform each other under certain conditions. In this paper, based on the number and shape of thought, analysis the number shape union application in middle school mathematics, mainly set problem, in dealing with the existence of root of an equation,inequality, triangle function extremum problems, problems, linear programming problems and complex problems, and to solve different types of mathematics the title gives a detailed analysis of the example, the need to pay attention to combine ideas in training students to use number shape when the problem is given, to stimulate students' interest in learning, improve student's problem solving ability and thinking ability.Key words: The combination of number and shape,set, equation, extreme1引言我们学习数学，不仅仅是数的计算和形的研究，还有着数学思想和数学方法.好的数学思想能够引导学生使用正确的数学方法，从而准确、快速地解决数学问题，增强学生学习数学的兴趣.数形结合既是一种思想，也是一种方法.它的本质就是抽象思维与形象思维的结合，以“形”助“数”，或以“数”助“形”，使复杂问题简单化，使抽象问题直观化.所以，本文在概况数形结合思想方法的基础上，详细分析了数形结合在中学数学解题中的应用，并主要从下面几个方面进行了讨论：集合问题、方程根的存在性问题、不等式问题、三角函数问题、求极值问题、线性规划问题和复数问题等，而且还给出了各种类型对应的实际例题及其详细的求解过程.2数形结合思想方法概述主要概述数形结合的思想方法，并在此的基础上介绍数形结合思想的价值，为后面的内容“数形结合在中学数学解题中的应用”做铺垫.2.1 数形结合的思想方法中学数学研究的对象是现实世界的数量关系（数）和空间形式（形），数是数量关系的体现，而形则是空间形式的体现.数形结合思想就是通过“数”与”形”相结合来解决题目，在中学解题中有着广泛的应用，通过这个方法，我们常常能很容易的解决问题.2.2 数形结合思想的价值数形结合这种思维方法的运用，有助于我们解决中学许多数学问题，同时加深我们对数学问题本质的认识，使数学更具有创造性.数形结合在中学数学解题的整个过程中发挥着重要的作用.它有下面这些优点：第一，在解决相关的题目时，数形结合方法在思路上比较灵活，过程上很简便，方法上多样化；第二，数形结合思想方法为我们提供了很多种解决问题的道路，使我们解决问题更加灵活，也具有创造性；第三，数形结合丰富的思想内涵，能是引起大家的联想，启迪同学们的思维，拓宽解题的思路；第四，数形结合思想能提高学生数形转化能力，提高学生迁移思维的能力.3数形结合在中学数学解题中的应用接来下我主要讲述数形结合在解决集合、不等式、方程、三角函数、极值、线性规划和复数问题中的应用，并且给出了例题及详细解答过程，说明了数形结合在中学数学解题中应用非常广泛，是一种重要的解题方法.3.1 利用数形结合解决集合问题在中学数学中，集合问题是一类比较简单的题目，我们常常可以借助韦恩图或者数轴来解决这些问题，它的关键是怎么样准确将集合问题转化为图形.3.1．1利用韦恩图解决集合题目例1 有48名学生，每人至少参加一个活动小组，参加数理化小组的人数分别为28，25，15，同时参加数理小组的8人，同时参加数化小组的6人，同时参加理化小组的7人，问同时参加数理化小组的有多少人？分析我们可用圆、、分别表示参加数理化小组的人数（如图1），则三圆的公共部分正好表示同时参加数理化小组的人数.解用表示集合的元素，则有：即:所以：答：即同时参加数理化小组的有1人.图1例2 例若集合且,,试求与.分析利用韦恩图把元素放入相应位置，从而写出所求集合.解如图2，我们可得：.图23.1.2 利用数轴来解决集合问题例3 已知，.（1）若,求的取值范围；（2）若,求的取值范围.分析在数轴上标出集合、所含的元素的范围，利用、的位置关系确定参数的取值范围.解（1），利用数轴得到满足的不等式组，如图三，所以实数的取值范围是.图3（2）由知，利用数轴得到满足的不等式，，或，所以实数的取值范围是.图4从上面三个实际的例题可以看出，合理、灵活、巧妙地运用数形结合来解题，可以将复杂问题简单化，化难为易，有事半功倍之效.所以，平时应该注意培养数形结合思想.3.2利用数形结合解决方程问题数形集合思想在方程的题目中经常用到，尤其是含有一次式、二次式、对数式和指数式方程，下面就是几种常见的题型中用到了数形结合.3.2.1 数形结合在含有一次、二次式的方程中的应用下面两个例题将把方程进行变换再求解，再根据相对应图形的性质来解答，这样可以加深我们对基本概念的理解，加强对基本知识与基本技能的灵活运用.例4[5] 当时，关于的方程的解的个数是多少？图5函数图像分析这道题原方程中包含有绝对值运算符号，我们直接求解比较困难，所以，我们能想到求方程解的个数等价于就其相对应函数图形的交点.解由于则令和如图5示我们把函数和的图像画出来其交点个数就是我们方程所以求得的解的个数即原方程解的个数是三个例5 当取何值时，方程有唯一解？有两解？无解？分析用换元法，令，再转化为求解二次函数与一次函数的交点的个数问题.O图6解原方程即令.则有,再令及.则方程解的个数等于直线与抛物线的交点的个数由图6可知当或时，原方程有唯一解；当时，原方程有两个不同的实数解；当或时，原方程无解.3.2.2数形结合在含对数、指数的方程的应用由于对数式、指数式形式比较特殊，所以在解决一些含对数、指数方程时，我们时常可以根据它们性质画图来解.例6.. 1个. 2个. 3个. 1个或2个或3个解出两个函数图象，由图7易知两图象只有两个交点，故方程有2个实根,选（）.图7例7 方程lgx+x=3的解所在区间为（）．(0，1)．(1，2)．(2，3)．(3，+∞)分析我们可以把原方程拆分成函数与，求原方程解所在的区间也就是求这2个函数的交点所在区间.y=-x+3y=lgx图8解如图8所示，函数y=lgx与y=-x+3它们图像交点的横坐标显然在区间(1，3)内，由此可排除，至于选还是选，由于画图精确性的限制，单凭直观就比较困难了．实际上这是要比较与2的大小．当x=2时 lgx=lg2 3-x=1．由于lg2＜1因此＞2 从而判定∈(2，3)，故本题应选在上面四个例题中，我们可以知道利用数和形的各自优势，往往能使我们尽快地找到解题途径或简化解题过程，给解题带来极大的方便.3.3 数形结合在求不等式问题中的应用不等式在中学数学有着重要地位，而不等式的证明又是个难题，它的题型广泛、灵活.下面我将从运用代数式的几何意义或借助函数的图象构造几何图形入手，利用数形结合的思想来巧妙地求解不等式问题.3.3．1 构造适当的平面图形，利用三角形三边的关系来证明不等式我将举常见的两个证明题，并且给出详细解答步骤，来说明不等式和数形结合思想的巧妙结合.例8 已知实数，请证明如下不等式成立.分析：我们可以构造一个四边形，在利用勾股定理来解.证明：如图9所示，作以,为上、下底，为高的直角梯形，在图中有.图9 直角梯形BCDE则根据勾股定理有又因为，则有如下不等式的成立对上述不等式的两边平方可得到即原不等式成立得到证明.例9 已知都是正数，且，求证：.分析要从不等式的结构上观察，可以联想到三角形相似比的问题，因此我们可以构造图形来进行证明.证明如右图10所示，构造一个直角三角形，在边上取一点，并且使得，过点作，垂足为令.由于即图103.3.2 构造适当的函数，利用函数图象性质证明不等式。
高中数学中数形结合思想在函数解题中的运用
高中数学中数形结合思想在函数解题中的运用（一）数形结合在求函数定义域方面的应用例1：求函数y =的定义域. 解析：若要解决该函数的定义域，则有23200x x x ⎧-+≥⎨≠⎩，要解决此类不等式的解集， 需要借助图像，如右图：由图像可以看出，若要2320x x -+≥，只需1,x ≤或2x ≥，再由0x ≠，得出该函数的定义域即为：()(][),00,12,-∞+∞. 小结：随着学生做题熟练程度的增强，二次不等式的求解已不用再画图。
因此在求函数定义域方面，多见于画数轴选择出取值范围。
（二）数形结合在求函数值域方面的应用例2：求函数(]223,1,2y x x x =--∈-的值域. 解析：看到所求函数为二次函数，由于函数是非单调的，所以并不能代端点值去求出值域，因此需要借助图像来观察，如右图：借助图像的直观表达可知道，具有区间范围的该二次函数的图像应为黄色区域部分，此函数的最小值是在对称轴处取得，即当1x =时，4y =-。
从而该函数的值域为：(]0,4-。
小结：对于此类问题是学生的常见出错点，学生们习惯于直接带入端点值得出其值域，因此对于给定区间上的二次函数值域问题，培养学生数形结合的思想是非常重要的。
（三）数形结合在函数单调性方面的应用例3：已知2()2(1)2f x x a x =+-+在(],4-∞上是减函数，求实数a 的取值范围。
解析：函数解析式中含有字母，因此函数在坐标系内的具体位置不能固定，需要画图分析，看何种情况才能满足题干要求：通过图像分析可知：若要满足函数在给定区间上为单调函数，只能是后两种情况，也就是函数图像的对称轴不能出现在所给区间内，从而解题找到突破口。
所给函数对称轴方程：1x a =- ,由图像分析可知，需有a 14-≥，从而a 5≥。
小结：该类问题常见于二次函数中，因其单调性与对称轴的位置有关，故通常画图分析更能直观得出题目所需情况，从而快速得出结论。
（四）数形结合在函数奇偶性方面的应用例4：已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()(1)f x x x =+.试求当0x <时，函数()f x 的解析式。
数形结合思想在中学数学中的解题应用
数形结合思想在中学数学中的解题应用数与形是数学的两大支柱，它们是对立的，也是统一的。
数形结合，其实质是将抽象的数学语言与直观图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合起来，实现抽象概念与具体形象的联系和转化，化难为易，化抽象为直观。
教师要尽量发掘数与形的本质联系，促使学生善于运用数形结合的思想方法去分析问题、解决问题，从而提高学生的数学能力。
下面结合具体实例谈谈数形结合思想在解题中的应用：1.函数中的数形结合思想例1：已知：点（-1，y1）（-3，y2）（2，y3）在y=3x2+6x+2的图象上，则： y1、y2、y3 的大小关系为（）a.y1>y2>y3b.y2>y1>y3c.y2> >y1d.y3>y2>y1分析：由y=3x2+6x+2=3（x+1）2-1画出图象1，由图象可以看出：抛物线的对称轴为直线x=-1即：x=-1时，y有最小值，故排除a、b，由图象可以看出：x=2时y3的值，比x=-3时y2的值大，故选c.例2：二次函数 y=ax2+bx+c的图象的顶点在第三象限，且不经过第四象限，则此抛物线开口向，c的取值范围，b的取值范围，b2-4ac的取值范围。
解：由题意画出图象，如图：从而判断：a>0，c≥0∴对称轴：x=- 0图象与x轴有两个交点：∴△>0即b2-4ac>0例3：如图3，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点c （0，），与x轴交于两点a（x1，0）、b（x2，0）（x2>x1），且x1+x2=4，x1x2=-5.求（1）a、b两点的坐标；（2）求二次函数的解析式和顶点p的坐标；（3）若一次函数y=kx+m的图象的顶点p，把△pab分成两个部分，其中一部分的面积不大于△pab面积的，求m的取值范围。
解：（1）∵x1+x2=4x1·x2=-5且x1<x2∴x1=5，x2=-1.∴a、b两点的坐标是a（5，0），b（-1，0）（2）由a（5，0），b（-1，0），c（0，），求得y=- （x-2）2+3.∴顶点p的坐标为（2，3）；（3）由图象可知，当直线过点p（2，3）且过点m（1，0）或n （3，0）时，就把△pab分成两部分，其中一个三角形的面积是△pab的面积的 .①过n（3，0），p（2，3）的一次函数解析式为y=-3x+9；过点a（5，0），p（2，3）的一次函数解析式为y=-x+5.又一次函数y=kx+m，当x=0时，y=m，此一次函数图象与y轴的交点的纵坐标为m，观察图形变化，可得m的取值范围是5<m≤9.②过b（-1，0），p（2，3）的一次函数解析式为y=x+1；过点m （1，0），p（2，3）一次函数解析式为y=3x-3，观察图形变化，得m的取值范围是-3≤m<1.∴m的取值范围是-3≤m<1或5<m≤9.2.求最值问题：例.已知正实数x，求y= + 的最小值.分析：可以把 + 整理为 + ，即看作是坐标系中一动点（x，0）到两点（0，2）和（2，1）的距离之和，于是本问题转化为求最短距离问题.解：y= + ，令p=（x，0）、a（0，2）和b（2，1），则y=pa+pb.作b点关于x轴的对称点b’（2，-1），则y的最小值为ab’= = .3.利用方程解决几何问题例：本市新建的滴水湖是圆形人工湖.为测量该湖的半径，小杰和小丽沿湖边选取a、b、c三根木柱，使得a、b之间的距离与a、c之间的距离相等，并测得bc长为240米，a到bc的距离为5米，如图1所示.请你帮他们求出滴水湖的半径.[解析]如图2，设圆心为点o，连结ob、oa，oa交线段bc于点d.因为ab=ac，所以ab= bc，∴oa⊥bc，且bd=dc= bc=120.由题意，知da=5.设ob=x米.在rt△bdo中，因为ob2=od2+bd2，所以x2=（x-5）2+120.得x=1442.5 .所以，滴水湖的半径为1442.5米.数形结合思想在对于培养和发展学生的空间观念和数感方面有很大的启发作用，利用数形结合思想进行解题可以使的有些复杂问题简单化，抽象问题具体化。
数形结合在一次函数中的应用
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（） Ｂ
根 据 图 象 ， 答 下 列 问题 ： 解
析 式 ． 而利 用 函数 图 象 的性 质来 解 从
ｆ ）求 这 辆 汽 车 从 甲 地 出 发 ４ 为 总 费 用 为 ｙ 元 ） 有 两 种 购 买 方 ３ ｈ （ 现
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分析 ： 由题 意 得 ： 刚 前 ４ ０米 时 与 甲地 的距 离 小 ５ 行 走 的 时 间 ｔ＝ １ ＝ ５ （ ）ｓ ｔ １ 分 ，随
分 析 ：１ 由 题 意 得 ： （） 线段 Ｏ 表 Ａ
例 题 ：小 刚 每天 从 家 去 学 校 ． 上 学 行 走 的路 程 为 ９ ０米 天 他 从 家 ０ 某
ｋ （ ≠０ ， 图象 得 ： ｘｋ ）由
Ｂ（ ． ２ ） Ｃ ５ ０ ， 入 得 ： ２ ，１ ０ 、 （ 、 ） 代 ５
例 题 ： 一 次 运 输 任 务 中 ． 辆 在 一
２ ： 数 关 系 ． 后 根 据 函象 ． 而 归 纳 出 函数 的 图 从
同。 ■髓圄咖 湖 育ｌ 教学 ４ 北教 教育 ５
实践
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是线段 Ｏ Ａ所 表 示 的正 比例 函数 ．＝ ｖ 评 注 ： 数 形 结 合 的 问题 时应 注 解
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（ ０ ，０ ０ ）Ｂ（５ ，４ ０ ） １ ０ １０ ０ 、 １０ １０ ０
强 解 决 问 题 的灵 活 性 ． 高 分 析 问 题 提
解决 问题 的 能力 数 学 中 渗透 数 形 在
当 ｘ １０时 ． ≥ ０ Ｙ与 ｘ的 函 数 关
数形结合思想在一次函数中的运用
数形结合思想在一次函数中的运用作者：张治国来源：《语数外学习·教学参考》2012年第11期函数是初中数学代数部分的重点，也是难点。
函数最本质的内容是性质和图象，核心思想是“数形结合”。
深刻理解和熟练运用数形结合思想是学好函数的关键。
著名数学家华罗庚先生曾说过，“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，数形分离万事休”。
由此可见数形结合在数学学习中的重要性。
一次函数反映的是数量关系与变化规律，是最基本的函数，学好一次函数是学好函数的基础。
对于学生而言，一次函数学好了，真正做到数形结合，再学习后面的反比例函数和二次函数便会容易得多。
本文结合教学实践，对一次函数中“数形结合”的思想进行探讨，以指导学生更好地理解函数的精髓，掌握解题方法。
一、从数到形，以形助数例1一个沙漏中有100g沙子，沙子以每秒钟10g的速度漏出。
沙漏中余下的沙子y（单位g）与沙漏时间x（单位s）之间的函数图象是（）。
解析：y为余下的沙子，随着沙漏时间的增长，剩余的沙子y必然减少，因此，该函数一定是减函数，由此可以排除A和C选项。
沙子最多时候为20g，漏完之后为0g，因此y的区间一定是0～20，由此可以排除D选项，因此本题正确答案应为B。
二、从形到数，量化入微例2有一种玩具小汽车的车速可以在1分钟之内加速到10m/s，之后以每秒5米的速度提高车速，最高车速为每秒40m，达到40秒之后便保持40m/s的速度行驶。
假设时间为x（单位：s），车速为y（单位：m），则y与x的函数图象如下图所示。
（1）根据图象，写出当1≤x≤7时，y与x的函数关系式。
（2）计算车速要想达到35m/s时，需要多长时间。
（3）求出在多长时间之后，小汽车的速度就不再提高。
写出小汽车车速达到40m/s之后，y与x的函数关系式。
解析：（1）根据题意可知，此玩具汽车的速度分为三个部分，首先是第1秒内提高到10 m/s，之后以5m/s的速度提速，在提到40m/s的速度后便匀速行驶。
数形结合思想在解题中的运用
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解析： （ １ ， ＋ ｏ 。 ） 。 瓜ｇ （ ） ： ， （ Ｄ０ 且ｎ ≠ ０ ） ， （ ） ＝ 则 圆 心 Ｄ到 直 线 Ｙ：
＋ 口 ， 分Ｏ ＜ 口 ＜ １ ， １ 两种情况 ， 在 同一坐标系 中画 出两
个函数的图像， 如图， 若函数 ） ＝ 一 。 有两个不同
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＝——１ Ｔ０
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像， 且 图像 的最高点 为Ｓ （ ３ ， ２ 、 ／ 了） ； 赛 道 的后 一部 分 为折线段ＭＮ Ｐ ，为保证参赛运动员 的安全 ，限定 ／ ＿ Ｍ Ｎ Ｐ ＝ １ ２ ０ 。 。求Ａ， 的值和Ｍ， Ｐ 两点间的距离 。
点评 ： 本题主要 考查 圆的参数方程 ， 点 到直线 的 距离 ， 倾斜角及数形结合思想 。
＠
技 法 点 拨
数形结合思想在解题中白 Ｉ ） 运用
一 ～ Ｑ 一 ■ 曾雪萍
解析： Ａ： ２ Ｖ＇ － ３ － ， ｃ Ｅ Ｊ ： ， ＭＰ ＝ ５ 。依题 意 ， 有Ａ：
数形结合思想在 解题 过程 中应 用十分广 泛 ， 如 在解方程 ， 求三 角函数 、 几何 的斜率 、 距离 等 问题 中 都有充分体现。运用数形结合思想解题 ， 不仅直观 ， 易于寻找解题 途径 ， 而且能避 免复杂 的计算和推理 。 在近年来的高考题 中 ， 数形结合思想在选择题 、 填空 题、 大题 中均有 出现。复习时要 以熟练技能 、 方法 为 目标。 现通过高考真题 ， 强化数形结合这一重要 思想
Байду номын сангаас
２，
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３ Ｌ Ａ Ｄ ＝ Ｂ Ｄ， 因此有 删
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４
点评 ： 本题 考查函数零点 的概 念 ， 指数 函数 、 一 次函数的基础知识 ， 考查 等价转化 、 数形结合 的思想 方法等。
数形结合思想在函数解题中的应用
数形结合思想在函数解题中的应用摘要：数形结合思想是数学教学重视数学思想培养之一。
高中数学教学和学习中，灵活地应用数形结合思想可以更好地对于数的概念以及形的特征把握，可以化抽象为具体，能通过数与形快速解决问题。
解决数学问题关键的一大利器是利用数形结合思想关键词：数形结合思想；函数；解题1. 阐述数形结合思想在高中数学的教与学的过程中要重视合理的转化数与形，实现将难懂的的数学问题的性质清晰表现处理。
寻找到潜藏在数与形之间的对应关系是数形结合思想的本质所在，常见的我们是把数转化成形，从而直观形象的解决问题，同时大家不要忽略有时学会形转化成数。
这是因为过于直观和具体的形，无法凝练出具有一般性的特征。
充分理解数与形互化关系，把形转化成为数，答案通过计算得出。
总而言之，数形结合是高中数学重要的数学思想之一，学会数学互化的重要思想。
本文主要讨论的是数形结合的思想在函数解题中的应用：研究单调性，求函数的最值，函数的零点问题等。
2.数形结合思想在函数性质中的应用新课改更注重学生的自主学习，自己提练信息，所以出题更偏爱将函数的几种性质综合在一起考查学生。
如果学生只是从代数的角度去解题，那无疑会增加解题的难度，如果能利用图形的直观性，能大大的提高解题效果。
我们要引导学生解题的要充分利用数形结合的思想。
（1）数形结合思想在函数单调中的应用例1.设函数f(x)=若函数f(x)在区间(a，a＋1)上单调递增，求实数a取值范围解析：函数f(x)的图象如图所示，由图象可知f(x)在(a，a＋1)上单调递增，需满足a≥4或a＋1≤2，即a≤1或a≥4.总结：单调性是函数的重要性质之一，它的主要应用是用来求解最值，求解不等式，比较大小，求参数等，不管哪一种应用，能画出函数的图像，通过图像中的单调得出答案，能大大的提高解题效率，充分体现了数形结合思想的重要性（2）数形结合思想在函数最值中的应用例题1：定义max{a，b，c}为a，b，c中的最大值，设M=max{2x，2x－3，6－x}，求M的最小值解析：画出函数M={2x，2x－3，6－x}的图象(如图)，由图可知，函数M在点A(2，4)处取得最小值22=6－2=4，故M的最小值为4.总结：函数的最值是函数中比较热点的题目。
初中数学一次函数解题的几种常规思路
初中数学一次函数解题的几种常规思路摘要：初中数学一次函数的学习内容当中存在着大量的数学思想，是整个初中数学的核心知识点之一，数学教师应当将解答一次函数题目的多种方法进行分门别类地教给学生，并帮助他们学会根据题干特征去应对不同条件时的不同一次函数题目，学会活学活用。
关键词：一次函数；数学教学；解题思路一、分类讨论的解题思路在初中数学的教学过程当中，教师和学生会经常遇到需要进行分类讨论的问题，因为题目没有给出更为直白明确的条件，这就需要根据假设不同的条件，然后分别在某一个条件的前提下去探讨数学问题。
一次函数的分类讨论运用，相比于其他知识点更为典型。
例如，给出一条直线的解析式为y=kx+b，如果它经过点A（c，0），并且与坐标系所围成的三角形面积是S，那么它的解析式具体是什么呢？教师在进行这样类型题目教学时必须进行分类讨论思路的讲解，然后再运用已知条件和一次函数的性质去列方程组，用已知数据解出未知数，便可以完成解题的全过程。
首先，由于一次项系数k有可能有三种情况，这三种情况所得到的结果是不尽相同的。
当k=0时，直线的解析式为y=b，这是一条与x轴平行的直线，它不是一次函数，而且也无法与坐标轴围成三角形，所以这种情况可以排除；当k大于0且b大于0时，这条直线呈上升趋势，它会经过第一、二、三象限，并且与两个坐标轴围成的恰好是直角三角形，此时只需要假设x为0，则三角形的直角边长就可得到是等于b，设y为0，则可以得到三角形的另一条直角边长为-b/k，那么我们就可以列出一个方程，即为绝对值-b/k·b·1/2=S，而把题目中的（C，0）代入直线的解析式中，则可以得出另一个方程，解这个二元一次方程组，就可以解答出来。
当k大于0且b小于0时，这条直线还是呈上升趋势，它会经过一、三、四象限，此时的计算方法与第一种应该是一样的，唯一的区别是要给直线与y轴的交点纵坐标取绝对值后再用来作为直角边数据进行列方程运算。
数形结合思想在初中数学中的应用
数形结合思想在初中数学中的应用数形结合思想是指通过对数学问题进行图形化的表示和解释，从而提供直观的解决问题的思路和方法。
在初中数学中，数形结合思想的应用主要包括以下几个方面。
一、图形与几何问题的解决数形结合思想在解决几何问题时起到了至关重要的作用。
通过将几何问题转化为图形问题，可以直观地理解问题的本质，并通过观察和推理得到解决问题的方法。
当求解一个三角形的面积时，可以通过将三角形划分成若干个简单的图形，计算它们的面积然后相加来得到整个三角形的面积。
这种数形结合思想的应用，帮助学生理解并解决了许多几何问题。
二、函数与图像的分析在初中数学中，我们接触到的函数种类较为简单，但是通过对函数图像的观察，可以对函数进行初步的分析和判断。
通过观察一元一次函数（y = kx + b）的图像，可以看出当 k>0 时函数是递增的，而当 k<0 时函数是递减的。
通过对图像的观察和比较，可以得到一些函数的性质和规律。
图形化的表示和解释使得函数的学习更加直观和有趣。
三、统计与数据分析数形结合思想在统计和数据分析中也有重要的应用。
在分析一个统计数据时，可以通过绘制柱状图、折线图等图形来直观地展示和比较数据的特征。
通过观察图形，我们可以得出一些有关数据的结论和推断。
图形化的表达也使得数据的理解和分析更加简单和直观。
四、证明与推理在初中数学中，我们也经常需要进行一些证明和推理的工作。
数形结合思想通过图形的表示和解释，可以帮助学生更好地理解和掌握证明和推理的方法。
在证明两个三角形全等时，可以通过绘制它们的图形表示，并观察图形的对应部分是否相等来进行验证。
这种数形结合的思考方式，帮助学生更好地理解和运用证明和推理的方法。
数形结合思想在初中数学中的应用十分广泛。
通过将抽象的概念和问题进行图形化的表示和解释，数形结合思想可以帮助学生更好地理解和掌握数学知识，提高解决问题的能力和思维方式。
数形结合思想在初中数学的教学中起到了重要的作用，同时也培养了学生的创造力和想象力，使学习数学变得更加有趣和实用。
一次函数图象的应用的教法建议
一次函数图象的应用的教法建议1．注意数形结合思想的渗透教学中要注意“数”与“形”的联系，要注意加以体会与实施．“数”与“形”是一切数学对象不可分割的两个方面，因此，在教学中要鼓励学生从数、形等多方面认识函数，解决有关实际问题．在本节的教学中，要注意加强图象识别与应用能力的培养，避免习惯的“代数化”倾向．2．尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需要，鼓励探索方式、表述方式和解题方法的多样化．在教学过程中，要关注全体学生的发展．对于学习有困难的学生，教师要给予及时的帮助与指导，鼓励他们主动参与数学学习活动，鼓励他们自主地解决问题，发表自己的看法，对他们的解法和表述进行恰当地指导和评价．对于学有余力的学生，可鼓励他们探索问题的多种表述方式和解题方法；同时，给他们提供丰富的学习材料，拓宽他们的知识视野．3．充分挖掘结合学生生活实际的素材，加强数学与现实的联系，让学生体会数学的广泛应用．一次函数是刻画现实世界变量间关系的最为简单的一个模型，其应用比比皆是．如有关计时的漏刻、沙漏、日晷、钟表等，计重的天平、弹簧秤、杆秤，以及测量气压、血压、温度等的有关仪器，它们都是应用一次函数的很好实例．教材中设计的例、习题多数具有现实生活背景，力求让学生体会数学的广泛应用．尽管如此，在教学中，教师仍应结合本地本校学生的生活实际和认知状况，选择更为贴近学生生活实际和认知水平的教学素材，促进学生新的认知结构的建构和数学应用能力的发展．4．本节各题都有多种解法．可以鼓励解法的多样性，但要认识到本节的设计目的在于培养学生良好的识图能力，因而在教学中，建议不要故意引导学生用代数方法解题，应避免习惯的“代数化”倾向．对于用代数方法求函数表达式，学生尚不熟悉，可以在学完二元一次方程组后，让学生回顾本节问题并用代数方法求解，让学生进一步体会函数与方程、数与形的关系，建立良好的知识联系．5．读一读的目的在于通过有趣的问题激发学生的学习兴趣，同时让学生体会数形结合的作用．看似复杂的一个实际问题，利用图象很直观地获得了解决，这必然给学生强烈的震撼，这正是我们所希望学生感悟到的数形结合的威力．教师可鼓励他们进行阅读和尝试求解，也可将这部分同学组织起来，进行适当的数学研究活动，发展他们的数学才能．。
浅谈数形结合思想在一次函数教学中的应用
浅谈数形结合思想在一次函数教学中的应用恒丰学校陈小玲从小学到初中的数学学习过程中，我们老师在教学时就对我们学生灌输了形在数学学习方面的知识，只不过没有进行系统，综合的整理，所以也就没有引起同学们的重视，认为能用代数的知识进行求解，没必要另辟蹊径。
在这里，我根据自己的实际教学所接触的问题，浅谈一下数形结合思想在一次函数中的优势。
大家知道，数，指的是运用代数的知识解决问题，形，指的是利用图形来研究性质。
那么它们之间究竟具有怎样的联系呢？我们先来了解一下一次函数这方面的知识。
在学习一次函数的性质时，我们知道根据图像观察可得到，当一次函数y=kx+b(k,b为常数，k 0）的k>0时，函数y的值随着自变量x的值增大而增大，当k<0时，函数y的值随着自变量x的值增大而减少，可见，这比我们利用代数的知识来比较两个数的大小就更容易理解，更形象化。
并且，当k>0,b>0时，函数的图像经过一，二，三象限；k>0,b<0时，函数的图像经过一，三，四象限；k<0,b>0时，函数的图像经过一，二，四象限；k<0,b<0时，函数的图像经过二，三，四象限。
上述这些结论我们从代数的角度来理解的话就会感到很费劲，而从形的方面来看的话，通俗易懂，形象具体，可见，形在有些方面比数就有恨大的优越性。
另外，在学习一次函数与一元一次方程时，大家对于系数是已知的常数时，用代数的方法求解起来感到非常的容易，但是对于系数如果是用未知的字母来代替时，就会觉得很麻烦，这时，我们回忆一元一次方程与一次函数之间的联系，想到方程的解就是它所对应的一次函数的值为零时所对应的自变量的值（或者是函数的图像与x轴的交点的横坐标的值），这样理解起来就很容易了。
如：一次函数y=kx+b与x轴的交点为（2,0），求方程kx+b=0的解。
如果用代数的方法，一个方程，两个未知数，我们很难求出系数k,b的。
但联系一次函数与一元一次方程之间的关系就很快得出方程的解了，x=2.还有，在学习一次函数与不等式的知识时，我们知道一次不等式大于零或小于零）的解集就是它所对应的一次函数的值大于零（或小于零）时所对应的自变量的取值范围（或者是函数的图像在x轴上方（下方）说对应的自变量的取值范围），这样，不管系数是已知的常数还是未知的字母，我们采用他们之间的内在联系性就会很容易求解了。
一次函数的解题技巧
一次函数的解题技巧
1、待定系数法：用于确定一次函数的解析式，是方程思想的具体应用；
2、由函数解析式画其图像的一般步骤：列表、描点、连线；
3、一次函数解题常用公式：
求函数图像的k值：（y1-y2）/（x1-x2）
求与x轴平行线段的中点：|x1-x2|/2等等。
扩展资料
求与y轴平行线段的中点：|y1-y2|/2
求任意线段的长：√（x1-x2）^2+（y1-y2）^2
一次函数的解题方法
在解决一次函数相关问题过程中，会运用到许多重要的数学思想方法：
1、数形结合思想：根据数和形之间的对应关系，将数字和图形结合起来以解决数学问题，兼备了直观性和严密性的特征。
2、方程思想：方程思想的实质就是将所求的量设成未知数，根据已知条件或所给数量关系列出方程或方程组，通过解方程或对方程进行研究，从而解决问题。
3、转化和化归的.思想：转化和化归的核心是把没做过的题转化为经典的题型，将复杂问题化归为简单问题，将较难问题化为较易问题，从而使问题顺利得解。
4、分类讨论思想：当面临的数学问题不能统一地进行解决时，可分情况来讨论，最后再组合到一起。
一次函数应用题中的“数形结合”
一次函数应用题中的“数形结合”数形结合思想在一次函数中的应用是中考命题的一个热点，解一次函数应用问题时，如果把数与形结合起来考虑，即把问题的数量关系转化为图象的性质或者把图象的性质转化为数量关系，就可以使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化．本文选取几例，说明数形结合思想在一次函数实际问题中的应用，供复习时参考一、从“数”到“形”的思想应用例1 一辆速度为90千米/小时汽车由赣州匀速驶往南昌，下列图像中能大致反映汽车行驶路程s（千米）和行驶时间t（小时）的关系的是( )分析：根据题意得，汽车行驶路程s（千米）和行驶时间t（小时）的关系式是s=60t,所以行驶路程s和行驶时间t成正比例函数关系，因为路程与时间都不能为负数，所以行驶路程s和行驶时间t之间的函数图象应该是在第一象限的一条射线，故应选D．评注：解从“数”到“形”的问题时，应先找出两个已知变量之间的函数关系，然后根据函数关系式作出函数的大致图象，从而归纳出函数的图象特征．二、从“形”到“数”的思想应用例2为了鼓励小强勤做家务，培养他的劳动意识，小强每月的费用都是根据上月他的家务劳动时间所得奖励加上基本生活费从父母那里获取的．若设小强每月的家务劳动时间为x小时，该月可得（即下月他可获得）的总费为y元，则y（元）和x（小时）之间的函数图像如图所示．（1）根据图像，请你写出小强每月的基本生活费为多少元；父母是如何奖励小强家务劳动的？（2）写出当0≤x≤20时，相对应的y与x之间的函数关系式；（3）若小强5月份希望有250元费用，则小强4月份需做家务多少时间？分析：（1）根据函数图象的信息可知，小强每月的基本生活费为150元，父母的奖励方法是：如果小强每月做家务的时间不超过20小时，每小时获奖励 2.5元；如果小强每月做家务的时间超过20小时，那么20小时每小时按 2.5元奖励,超过部分按每小时奖励4元奖励；（2）根据函数图象知，当0≤x≤20时，它是一个一次函数图象，即设y与x之间的函数关系式为y=kx+b.因为点（0，150），（20，200）在函数y=kx+b上,所以函数关系式为y=2.5x+150；（3）根据函数图象知，当x>20时，它也是一个一次函数图象，即设y与x之间的函数关系式为y=k1x+b1.因为点(20,200),(30,240)在函数y=k1x+b1上,所以函数关系式为y=4x+120,当y=250时, 4x+120=250,解得x=32.5．评注：解从“数”到“形”的问题时，应注意观察函数图象的形状特征，充分挖掘图象中的已知条件，确定函数的解析式，从而利用函数的图象性质来解．三、“数形结合”思想的综合运用例3 某校部分住校生，放学后到学校锅炉房打水，每人接水2升，他们先同时打开两个放水笼头，后来因故障关闭一个放水笼头．假设前后两人接水间隔时间忽略不计，且不发生泼洒，锅炉内的余水量y(升)与接水时间x(分)的函数图象如图．请结合图象，回答下列问题：（1）根据图中信息，请你写出一个结论；（2）前15位同学接水结束共需要几分钟？（3）小敏说：“今天我们寝室的8位同学去锅炉房连续接完水恰好用了3分钟．”你说可能吗？请说明理由．分析：（1）根据函数的图象信息可知，锅炉内原有水96升；接水2分钟以后锅炉内的余水量为80升；接水4分钟以后锅炉内的余水量为72升等等．（2）根据函数图象知，当0≤x≤2时，它是一个一次函数图象，设y与x之间的函数关系式为y=kx+b.因为点（0，96），（2，80）在函数y=kx+b 上,所以函数关系式为y=-8x+96；当x>2时，它也是一个一次函数图象，设y 与x 之间的函数关系式为y=k 1x+b 1. 因为点(2,80),(4,72)在函数y=k 1x+b 1上, 所以函数关系式为y=-4x+88, 前15位同学接水后的余水量为96-15×2=66，当y=66时，代入y=-4x+88中，解得x=5.5．（3）①若小敏他们是一开始接水的，则接水时间为8×2÷8=2（分钟），8位同学接完水只要2分钟，与接完水时间恰好用了3分钟不相符；②若小敏他们是在若干位同学接完水后开始接水的，设这8为同学从t 分钟开始接水，当0<t ≤2时,则8(2-t)+4)2(3t =8×2,解得t=1, 所以(2-t)+ )2(3t =3(分钟).符合;当t>2时,则8×2÷4=4(分钟),与接水时间3分钟不符,所以小敏的说法是有可能的.即从1分钟开始8位同学连续接完水恰好用了8分钟．评注：解“数形”结合的问题时，应注意运用“由数想形，以形助数”的解题策略，充分挖掘题目中的已知条件，从而创造性地解决问题．。
数形结合思想在初中数学教学中的应用——以“函数”教学为例
教学·策略数形结合思想在初中数学教学中的应用———以“函数”教学为例文|林欣为了促进教学活动的顺利、高效开展，明确落实教学目标，教师需要重视对教学理念的创新与变革，以便为学生创造良好的学习环境，进一步挖掘学生的潜能，为学生高效开展数学学习奠定基础。
数形结合思想作为重要的数学思想，对提升学生的数学学习能力有着重要意义。
教师应将数形结合思想融入日常教学中，以助力学生更高效地解决数学问题，促使学生形成良好的数学思维。
同时函数作为初中数学的重要内容，对学生数学素养与能力的提升有着重要影响。
因此，在“函数”教学中，教师应重视对数形结合思想的有效应用，直观、生动地展现抽象的函数知识，充分发挥学生的形象思维能力，帮助学生掌握问题的本质，使其能够快速、高效地解决问题，从而为初中数学教学的高质、高效开展提供助力。
一、创设教学情境在初中数学教学活动中，教师可以结合教学知识创设生动、有趣的教学情境，以吸引学生的注意力，使学生能够真正关注到问题，并运用图形对问题中所包含的内容进行直观呈现，让学生亲身感受到数形结合所创造的便利，进而激发学生运用数形结合方法解决数学问题的热情，并深刻认识到数形结合思想的价值与意义。
例如，教师可以结合生活实际设置例题，通过创设良好的教学情境，激发学生的解题兴趣。
问题：25路公交车往返于A、B两地，两地的发车时刻表相同。
假设公交车均速直线向前行驶，从A 地到B地，从B地到A地所用时间都是60分钟，每间隔10分钟发一趟车。
提问：一辆25路公交车从A 地出发，途中能遇到几辆由B地出发的25路公交车？在分析问题后：学生1：能够遇到4辆。
学生2：能够遇到5辆。
学生3：能够遇到6辆。
学生4：能够遇到7辆。
教师：针对这一问题，大家的答案各不相同，以前也有数学家针对类似问题进行了激烈争论。
虽然这道题十分简单，却隐藏着重要信息，需要我们运用合理的方法解题。
学生一听数学家都没有解出这道题都感到十分的疑惑，非常想知道最后数学家是怎样解出问题的。
新课改背景下初中数学教学中数形结合思想的应用
新课改背景下初中数学教学中数形结合思想的应用随着新课改的实施，初中数学教学中数形结合思想的应用越来越得到重视。
数形结合是指通过图形、图像等形式，将数学知识和现实生活相结合，提高学生的数学学习兴趣和能力。
下面我们来探讨一下在初中数学教学中数形结合思想的应用。
数形结合思想是一种将数学与实际相结合的方法，可以提高学生的数学学习兴趣和能力，培养他们的创新思维和动手能力。
具体表现在以下几个方面：1. 能够激发学生的学习兴趣和动手创新能力。
数学知识往往比较抽象，如果只是简单地通过书本来学习，一些学生可能会觉得枯燥乏味。
而通过数形结合的方式，将数学知识与现实生活相结合，学生就会更加感兴趣，从而更加专注于学习。
2. 能够提高学生的数学思维和实践能力。
数形结合不仅可以让学生知道各种数学知识的实际应用，而且可以让学生在实际应用中加强数学思维习惯，比如通过画图解决问题，培养学生的逻辑思维能力。
3. 能够促进学生整体思维的发展。
数形结合思想不仅能够帮助学生更好地理解数学知识，还能够建立学生的数学思维模式，让学生在学习数学的同时，培养应用数学知识的能力。
这有助于学生在日后的学习中更好地理解和应用数学知识。
1. 在几何教学中的应用在几何教学中，通过数形结合可以使学生更好地理解和掌握几何知识，如角、线段、面积等概念。
例如，在学习平行四边形时，可以通过画图的方式更加生动形象地展示其性质和特点；在学习勾股定理时，可以用三角形的图形来展示勾股定理的表达方式，从而使学生更加深刻地理解勾股定理。
在代数教学中，通过数形结合可以使学生更好地理解代数知识的概念和性质，以及其在实际生活中的应用。
例如，在学习平均数时，可以通过画图的方式来展示平均数的含义和计算方法；在学习一次函数时，可以通过折线图或函数图像的方式来展示函数的性质和变化规律。
总之，数形结合思想是一种非常有用的教学方法，可以使学生更好地理解和掌握数学知识，提高学生的数学学习兴趣和能力。
八年级数学下册第19章一次函数学科素养思想方法(含解析)新人教版(2021-2022学年)
一次函数学科素养·思想方法一、数形结合思想【思想解读】化数为形,以形思数,是解决数学问题的关键.数形结合思想不仅为分析问题、解决问题提供了有利条件，而且是培养创新意识、开发智力的重要途径。
【应用链接】直角坐标系的建立实现了数与形紧密结合,使抽象的数形象化、直观化。
在一次函数中体现尤为明显．【典例1】（2０１7·宝丰一模）某单位举行“健康人生”徒步走活动，某人从起点体育村沿建设路到市生态园，再沿原路返回,设此人离开起点的路程s（千米)与走步时间t(小时）之间的函数关系如图所示,其中从起点到市生态园的平均速度是4千米/小时，用2小时，根据图象提供的信息,解答下列问题.(1)求图中的a值.（2)若在距离起点5千米处有一个地点Ｃ,此人从第一次经过点C到第二次经过点C，所用时间为1。
7５小时.①求AB所在直线的函数解析式;②请你直接回答，此人走完全程所用的时间。
【思路点拨】（1)根据路程=速度×时间即可求出a值．(２)①根据速度=路程÷时间求出此人返回时的速度,再根据路程＝8－返回时的速度×时间即可得出ＡB所在直线的函数解析式；②令①中的函数解析式中s=0,求出t值即可.【自主解答】(１)a=4×2=8。
（2)①此人返回的速度为（８—５)÷=3（千米/小时）,AＢ所在直线的函数解析式为ｓ=8—3（t—2)=—3t+14。
②当s=-3ｔ+14=０时,t=。
答：此人走完全程所用的时间为小时.【变式训练】甲、乙两车从A地出发,沿同一条高速公路行驶至距Ａ地400千米的B地，l1， l２分别表示甲、乙两车行驶路程y(千米)与时间x(小时)之间的关系(如图所示).根据图象提供的信息,解答下列问题:（１）求ｌ2的函数解析式（不要求写出x的取值范围)。
（2)甲、乙两车哪一辆先到达Ｂ地?该车比另一辆车早多长时间到达Ｂ地?【解析】（1)设ｌ2的函数解析式是ｙ=k2x+b,由图象知l2经过两点，,则解之得ｋ２=10０,ｂ＝-７５。
例析数形结合思想在一次函数中的应用
例析数形结合思想在一次函数中的应用例析数形结合思想在一次函数中的应用宁波市曙光中学陈怡颖数与形,是两个最古老,最基本的研究对象,数是形的抽象概括,形是数的直观表现。
在数学中我们把数与形结合起来研究数学问题的方法叫做数形结合。
数形结合,就是把问题的数量关系转化为图形的性质,把图形性质转化为数量关系,从而使复杂的问题简单化,抽象的问题具体化。
它主要有两个方面:以“数”解“形”,以“形”助“数”。
一次函数是初中数学的一个重点,数形结合思想在一次函数中的应用也是中考命题的一个热点。
本文结合教学实践,谈谈数形结合思想在一次函数解题中的几个应用。
以“数”解“形”??把复杂的过程简单化函数图象形象地展示了函数的性质,为我们研究数量关系提供了“形”的基础,因此在这类一次函数的问题中,我们应抓住特殊的点,及其所表示的实际意义,从而把复杂的过程简单化,把几何的问题代数化。
例1,如图所示,在x轴上有五个点,它们的横坐标依次为1,2,3,4,5.分别过这些点作x轴的垂线与三条直线yax,y(a+1)x,y(a+2)x相交,其中a>0.则图中阴影部分的面积是()A.12.5B.25C.12.5aD.25a分析:此题初看比较复杂,从几何的角度解题,首先想到的是平移,但图中阴影部分的梯形和空白部分的梯形是不全等的,无法通过平移转移到同一个三角形中;如果把图中8条直线15个交点坐标都求出来,计算量太大,不可行。
但仔细分析可以发现,这些梯形的顶点都在一次函数图象上,因此它们满足函数解析式,而这三个一次函数解析式又是有联系的,以最右边的阴影部分梯形为例,虽然它与下面的空白部分梯形并不全等,但它们的上底都是4,下底都是5,可由当自变量分别为4和5所对应的函数值确定,梯形的高为1,因此它们的面积是相等的。
其余阴影部分的面积亦同理可得。
因此这里阴影部分的面积就是,直线yax,y(a+1)x,x5所围成的三角形面积。
,故选A。
解此题的关键在于,把不规则的图形转化为规则的图形,光从“形”的角度无法从平移实现,那么就要借助“数”,通过一次函数图象上的点满足解析式,以及点的横纵坐标所表示的实际意义解出梯形的底和高。
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数形结合思想在“一次函数”解题中的应用
摘要：在解题过程中，利用数形结合的思想解答数学问题，往往能够起到事半功倍的效果，在解答与“一次函数”相关的问题的时候，可以画一个直角坐标，先根据题目中给到的点标在直角坐标系中，这样就可以直观的把所有信息都体现在图上，使解题更加方便，不会漏掉重要信息，而且在解题后，还能根据直角坐标系进行验证，用数形结合的思想在“一次函数”解题中是非常实用的。
关键词：数形结合；一次函数；解题应用
一次函数在初中数学中是比较基础的章节，这一章节也可说是小学数学与初中数学的过渡，同学们要逐渐适应这样的函数形式，通过数行结合的思想可以很好地解决一次函数相关的问题，数形结合法是解决数学问题的重要方法之一，体现了数量关系与空间形式是相互联系和转化的，将抽象的数式与具体的图形相结合与转化，把数量关系转化为图形或把图形问题转化为数量关系进行研究.在一定的条件下，将数与形进行巧妙转化，以形助数，以数解形，化难为易，有时会起到事半功倍的效果.
（1）以形助数：仔细观察图形的形状、大小、位置关系，充分利用线段、面积与周长等数量关系将数转化为形来求解.
例1：已知：如图，平面直角坐标系中，A（1，0），B(0，1），C(-1，0），过点C的直线绕C旋转，交y轴于点D，交线段AB于点E。
（1）求∠OAB的度数及直线 AB的解析式：
（2）若△OCD 与△BDE 的面积相等，求直线 CE 的解析式；若 y 轴上的一点P 满足∠APE=45°，请直接写出点P的坐标。
解题思路：
（1）由A，B两点的坐标知，LAOB为等腰直角三角形，所以ZOAB=45°
（2）△OCD与△BDE?的面积相等，等价于△ACE?与△AOB?面积相等，故可求E 点坐标，从而得到CE的解析式；因为E为AB中点，故P为（0.0）时，
∠APE=45°
在例1当中，运用的就是以形助数的解题方式，在这道题目当中，给出了在直角坐标系的电的位置和图形，从图形中，我们可以清晰地看到OA=OB=1，
△AOB为等腰直角三角形，而等腰直角形的除直角以外的两个角的度数是45°，从坐标系中清晰可见，如果题目中没有给出直角坐标系，那么，只依靠想象和计算推演出△AOB为等腰直角三角形就比较困难了。
根据A、B两点的坐标求直线AB的解析式就非常简单了，只需要将坐标带入y=kx+b，就可轻松得出直线AB的解析式为：y=x+1。
第二问中，已知△OCD与△BDE?的面积相等，考虑面积相等这个条件时，直接算比较困难，往往采取补全成一个容易计算的面积来解决问题，因此等价于
△ACE?与△AOB?面积相等，根据这个条件，我们可以求出点E的坐标，已知点E 的坐标和点C的坐标，再求直线CE的解析式也非常简单了，只需要把两点坐标带入解析式，就可得出直线CE的解析式：y=1/3x+1/3；当点P（0.0）时，我们可以从图中看出，△APE又是一个直角三角形，因此∠APE=45°。
在这道例题当中，我们充分利用了图中三角形的特点直接看到了相关角度，
并且根据补全三角形面积得方法找到相关电的坐标，从而求得解析式，这就是用
数形结合的思路来解题，帮助同学们可以正面的直观的看到解题步骤，从而准确
解出题目，在类似的题目当中，数形结合的方法都可以被应用，可以帮助学生更
好地理解一次函数的含义，也能够提升解题速度和准确性，帮助学生理清解题思路。
（2）以数解形：要先充分挖掘出图形中的数量关系，使用代数式求解几何问题，根据图形建立方程或函数关系是常用的方法.
.
解析思路：从一次函数的特性中我们知道，y=kx+b，其中b是图像与Y轴相
交的位置，这道选择题中，因为给出了（k0）的条件，那么就一定是正数，一定
与y轴的正半轴相交，根据这个条件，我们看ABCD四个选项，只有B选项符合
答案，因此，正确答案应该是B.通过简单的分析推理，正确答案就直接出来了，ACD三个选项不需要考虑，可以直接排除掉，这样在选择题中，就可以节约大量
的时间，还能够保证答题的准确率，因此，用数形结合的理念来解析一次函数是
非常简单的。
解析思路：首先，看到这道题目的时候，首先自己在草纸上画一个象限图，x
前面的系数是正数，说明图像肯定会在一、三象限，b=2是正数，与y轴正半轴
相交，因此会穿过第二象限，所以正确的选项应该是A选项，这个图像应该存在
于一、二、三象限。
这样运用图形结合法解决一次函数的问题就非常的简便了。
说到这里，我们在分析一下一次函数应用数形结合的方法的解题思路，当遇
到一次函数相关的问题的时候，我们要先画一个象限图，然后根据描点法在图中
找到这些点的坐标，根据两个点的坐标，用待定系数的方法，就可以确定一次函
数的解析式了。
还有一些的相关衍生问题，比如根据一次函数与x/y轴围成的三
角形面积问的相关问题，遇到这种问题的时候，一定要结合图形，找到这个图形
的一些特点，比如是直角三角形或者是等边三角形，就可以求出相关角的角度，
或者根据等边三角形三个边相等的特点求出相关的坐标，然后根据点的左边，用
待定系数发，就可解决一次函数的解析式了。
总结
在初中数学当中，一次函数是非常基础而且重要的问题，在解决这样的问题
的时候，数形结合发是一种非常有效而且准确率高的方法，本文通过举例说明在
一次函数解题过程中应用数形结合的方法，阐述了数形结合这一解题思路的重要性，希望日后在一次函数的教学过程中，教师要注意多应用这一方法帮助同学滤
清解题思路，并且应用这样的方法节省选择题的时间。
帮助同学们找对方法，爱
上数学课，
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