一次函数中的数形结合思想

一次函数中的数形结合思想

在众多的函数中，一次函数最为简单.它的性质和应用是初中数学的重要内容，也是中考的重点考查内容.形少数，难入微；数缺形，少直观.在一次函数中数形结合思想的应用广泛且灵活，下面试举几例希望能对同学们的学习有所帮助.

一、面积型

根据已知条件的特点，画出图形，利用图形的直观性求解问题.

例1.求直线y=3x-2和直线y=2x+3与y轴所围成的图形的面积.

【思路分析】画出两直线的图像，如图1，得到满足条件的△ABC，再根据图形的特点求其面积.

所以交点C的坐标为（5，13）

因为直线y=3x-2和直线y=2x+3分别与y轴交于点A（0，-2）和B（0，3），所以AB=︱3-（-2）︱=5.又CD=5,所以 .

【评注】解题时，若借助数形结合思想，把问题直观化、形象化，则有利于问题的解决.

例2.一条直线与y轴交点到原点的距离为4，且与两坐标轴

围成三角形的面积为4，求直线的解析式.

【思路分析】欲求直线的解析式，只需两组对应值，由已知直线与y轴交点到原点的距离为4，可以确定一组对应值，另一组对应值则需利用三角形面积的计算方法求出直线与x轴交点的坐标而求得.

【解】设解析式为y=kx+b（k≠0），直线交y轴于点A，交x轴于点B.因为直线与y轴交点到原点的距离为4，所以A（0，4）或(0,-4).由，可得OB=2.所以B(-2,0)或(2,0).由于未指定直线的位置，所以应考虑所有的情况，如图所示：

当直线过A(0,4),B(-2,0)时，解析式为y=2x+4；

当直线过A（0，4），B（2，0）时，解析式为y=-2x+4；

当直线过A(0,-4),B(2,0)时，解析式为y=2x-4；

当直线过A（0，-4），B（-2，0）时，解析式为y=-2x-4；

综上所述，所求解析式为：y=2x+4或y=-2x+4或y=2x-4或y=-2x-4

【评注】对距离有要求时，需画草图分析，可能出现的各种情况，考虑周全，防止漏解.二、不等式型

例3.作函数y=x+3的图象，如图所示，回答下列问题：

（1）x取何值时，x+3＞0；

（2）x取何值时，x+3＜0；

（3）x取何值时，x+3＞1；

【思路分析】要回答上面的三个问题，我们可以从函数图象的定义上去理性的思考：x+3＞0，可以看作是一次函数y=x+3中y＞0，从图象上看，可以看作是纵坐标大于0的所有点的集合，即y=x+3的图象在x轴上方的部分.此时，要满足x+3＞0，必须满足x＞3.其他两个问题的研

究方法相同.

【解】观察图象知：直线y=x+3与x轴的交点坐标为（-3，0），可知x=-3时，y=0.

（1）当x＞-3时，x+3＞0；

（2）当x＜-3时，x+3＜0；

（3）当x＞-2时，x+3＞1.

【评注】利用函数图象解一元一次不等式的方法是：作出函数图象，寻求图象与x轴的交点，求得一元一次不等式的解集.这是利用函数图象解一元一次不等式的“三部曲”.

例4.一次函数y=kx+b的自变量x的取值范围是-4≤x≤-2相应函数值的范围是4≤y≤6求此函数

的解析式.

【思路分析】一次函数y=kx+b（k≠0，b为常数）的性质理解是一个难点，我们应该把图象

和k值正负结合起来理解.由于一次函数的图象是直线，故当-4≤x≤-2时，图象是线段，由一

次函数的增减性，函数的最值一定对应x的最值，即y的最大值6，一定对应x的最大值-2

或最小值-4，这要视k的符号而定.

【解】对k的值分两种情况进行讨论；

（1）当k＞0时，则y的值随x的值的增大而增大.因

此，一定是当x=﹣4时，y=4；当x=﹣2时，y=6故得：y=x+8

（2）当k＜0时，y随x的增大而减少，一定是当x=﹣4时，y=6；x=﹣2时，y=4，于是得

y=﹣x+2.

综合上述两种情况，符合条件的解析式为：

y=x+8或y﹣x+2

【评注】这是一道分类讨论题，由k的符号充分利用了一次函数的性质，构题较妙.

三．实际应用型

我们在分析和解决实际问题时首先应根据题目给出的条件写出函数关系式，然后再根据题意

解决具体问题.在一些实际问题中经常是已知自变量的值，求相应的函数值；或根据函数值，

求出与之对应的自变量的值.

例5 某电信公司开设了甲、乙两种市内移动通信业务，甲种使用者每月需缴15元月租费，

然后每通话1分钟，再付话费0.3元；乙种使用者不缴月租费，每通话1分钟，付话费0.6

元.若一个月总通话时间为x分钟，甲、乙两种业务的费用分别为y1元和y2元.

（1）试分别写出y1、y2与x之间的函数关系式；

（2）在同一坐标系中画出y1、y2的图像；

（3）根据一个月的通话时间，你认为选用哪种通信业务更优惠？

【思路点拨】“选择”是现实生活中经常遇到的问题，选择经常与经济效益相联系，.借助一次函数的图像，运用图像使问题得以解决.

（1）由题意很容易得出y1=0.3x+15（x≥0）；y2=0.6x（x≥0）；

（2）y1、y2在同一坐标系中的图像如下图所示；

（3）由图像可知：

当一个月通话时间为50分钟时，两种业务的费用相同；

当一个月通话时间少于50分钟时，乙种业务更优惠；

当一个月通话时间多于50分钟时，甲种业务更优惠，

【评注】：求实际应用型问题的函数关系式，一般要写出自变量的取值范围，这个范围要根据实际情况来考虑.