一次函数中的数形结合思想
一次函数求k取值范围数形结合
一次函数求k取值范围数形结合1.引言1.1 概述概述部分的内容可以从以下几个方面进行描述：1.引入一次函数的概念：一次函数是数学中常见的基本函数之一，也被称为线性函数。
它的表达式通常形式为y = kx + b，其中k和b为常数。
2.介绍一次函数的性质：一次函数具有直线的特点，斜率k决定了其斜度和方向，而常数b则决定了直线与y轴的截距。
一次函数的图像呈现出直线的形态，具有平移、伸缩和翻转等特性。
3.说明数形结合的意义：数形结合是将数学与几何图形相结合的一种学习方法。
通过观察直线的图像与函数表达式之间的关系，我们可以更直观地理解和掌握一次函数的性质和规律。
4.阐述文章目的：本文旨在探讨一次函数的k取值范围，并结合数形结合的方法，通过观察图像来解决相关问题。
同时，我们将进一步探讨一次函数在实际生活中的应用，以帮助读者更好地理解和应用数学知识。
通过以上内容的介绍，读者可以对本文的主题和目的有一个初步的了解。
接下来的文章将围绕一次函数的定义和性质以及数形结合的意义和应用展开，引领读者深入探究一次函数的k取值范围与数形结合之间的关系。
1.2文章结构文章结构部分主要介绍了本篇长文的整体架构和内容安排。
首先，我们将在引言部分概述本篇文章的主题和目的，然后详细介绍正文部分和结论部分的内容。
在正文部分，我们将首先定义和探讨一次函数的概念和性质，包括一次函数的定义、特点以及常见形式等。
通过对一次函数的基本性质和图像的分析，我们将深入理解一次函数的数学意义。
接下来，我们将探讨数形结合在数学中的意义和应用。
数形结合是一种综合运用数学和几何形象的方法，通过图形和图像的分析，我们可以更加直观地理解数学概念。
我们将通过实例介绍数形结合在解决数学问题中的重要性和实际应用，以便读者更好地理解该方法的优势和应用场景。
在结论部分，我们将介绍一次函数求解k取值范围的方法。
通过对一次函数图像的分析和对函数性质的研究，我们可以确定k的取值范围，使得函数满足特定条件。
一次函数中的数形结合
像 ｎ图 ｌ ， 贝 ４ 下歹 ｑ结 论
① ＜ ０ ； ②ｎ ＞ ０ ； ③ 当ｘ ＜ ３ Ｄ ／ ／ ３＼ Ｙｌ ＝ ｋ ｘ ＋ｉ 时， Ｙ ＜ ｙ ２ 中， 正 确 的 个
ｅ
８ 鼗
Ｓ ｌ Ｊｌ 鞋
一
次 函数 中的数形结合
赵 蓉
＾
华 罗庚 先 生 曾指 出 ： “ 数 与 形本 是 相 倚 Ｙ ， 在 两 个 函 数 图像 交 点 的 左 边 即 ｘ ＜ ３时 ，
依 ， 焉能分作 两边 飞 ； 数缺 形 时少直 觉 ， 形
Ｙ 的图像位于ｙ 图像的上方， 因 坳 ＞ Ｙ ２ ． 故
算 的 目的 ．
’
Ａ
＼ ｌ
ｏ
／ 一 ＼ ＞ ＜ ／ Ｏ 一 ＼ ／ ； ／ 、 ＼ ／ ＼
Ｃ Ｄ
／
【 典例精析 】
例 １ 一 次 函 数 ｙ ｌ ＝ ｋ ｘ＋ ｂ与 Ｙ２ ＝ ＋ ０的 图 ＼
Ｙ
【 解析 】 由ｋ ・ ｋ ２ ＜ Ｏ可得ｋ 。 与ｋ 异号 ， 故 有 一 条 直线 是 上 升 的 ， 一条直线是下降的 ，
Ｊ ｌ
形” 可使 复 杂 问题 简单 化 ， 抽 象的数 学 问题 直观 化 、 生动 化 ， 能 够 变抽 象 思 维 为 形 象 思维 ， 有 助 于 把 握 数 学 问题 的 本 质 ． 另外，
由于 使 用 了数 形 结 合 的 方 法 ， 很 多 问题 便
迎 刃而 解 ， 且 解法 简捷 ， 从 而 起 到 优 化 计
～
数形结合思想在“一次函数”解题中的应用
数形结合思想在“一次函数”解题中的应用摘要：在解题过程中，利用数形结合的思想解答数学问题，往往能够起到事半功倍的效果，在解答与“一次函数”相关的问题的时候，可以画一个直角坐标，先根据题目中给到的点标在直角坐标系中，这样就可以直观的把所有信息都体现在图上，使解题更加方便，不会漏掉重要信息，而且在解题后，还能根据直角坐标系进行验证，用数形结合的思想在“一次函数”解题中是非常实用的。
关键词：数形结合；一次函数；解题应用一次函数在初中数学中是比较基础的章节，这一章节也可说是小学数学与初中数学的过渡，同学们要逐渐适应这样的函数形式，通过数行结合的思想可以很好地解决一次函数相关的问题，数形结合法是解决数学问题的重要方法之一，体现了数量关系与空间形式是相互联系和转化的，将抽象的数式与具体的图形相结合与转化，把数量关系转化为图形或把图形问题转化为数量关系进行研究.在一定的条件下，将数与形进行巧妙转化，以形助数，以数解形，化难为易，有时会起到事半功倍的效果.（1）以形助数：仔细观察图形的形状、大小、位置关系，充分利用线段、面积与周长等数量关系将数转化为形来求解.例1：已知：如图，平面直角坐标系中，A（1，0），B(0，1），C(-1，0），过点C的直线绕C旋转，交y轴于点D，交线段AB于点E。
（1）求∠OAB的度数及直线 AB的解析式：（2）若△OCD 与△BDE 的面积相等，求直线 CE 的解析式；若 y 轴上的一点P 满足∠APE=45°，请直接写出点P的坐标。
解题思路：（1）由A，B两点的坐标知，LAOB为等腰直角三角形，所以ZOAB=45°（2）△OCD与△BDE?的面积相等，等价于△ACE?与△AOB?面积相等，故可求E 点坐标，从而得到CE的解析式；因为E为AB中点，故P为（0.0）时，∠APE=45°在例1当中，运用的就是以形助数的解题方式，在这道题目当中，给出了在直角坐标系的电的位置和图形，从图形中，我们可以清晰地看到OA=OB=1，△AOB为等腰直角三角形，而等腰直角形的除直角以外的两个角的度数是45°，从坐标系中清晰可见，如果题目中没有给出直角坐标系，那么，只依靠想象和计算推演出△AOB为等腰直角三角形就比较困难了。
浅析一次函数中的数形结合
浅析一次函数中的数形结合发布时间：2022-02-20T09:36:29.173Z 来源：《基础教育参考》2022年2月作者：贾志忠[导读]贾志忠四川天府新区第三中学中图分类号：G652.2 文献标识码：A 文章编号：ISSN1672-1128 （2022）02-224-01 “数”与“形”是数学中两个最古老、最基本的研究对象，它们反映了事物的两个基本属性。
数从起源开始，就与形紧密地联系在了一起。
如结绳计数、符号计数等。
因此，数与形相伴而生，如影随形。
所谓的数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形之间的相互转换，来解决数学问题的一种思维方式，是一种重要的数学思想。
其本质是数与形的双向结合，既展现形的直观，又体现数的精准。
数形结合的应用分为两种基本类型：（1）借助于数的精确性来阐明形的某些属性（2）借助形的几何直观性来阐明数之间的某种关系。
一次函数的一般式是： ( 为常数， )有数的属性：其图象为直线，又有形的特征。
所以说，一次函数是数形结合的典型模型。
一次函数的图象就是由满足方程的数对确定的点组成的一条直线；直线上的每个点的坐标都满足解析式。
这就是一次函数中数与形的对应关系：坐标即点，点即坐标。
利用这种对应关系，我们来分析其中的数形如何结合。
（一）以数定形确定图象的增减性；，随的增大而增大；，随的增大而减小。
反之亦然。
（2）、确定图象的位置。
具体情况见下表：（二）以形化数（1）两直线位置关系与斜率的对应关系：①；②（2）两直线的交点由两函数解析式组成的方程组确定：以上一次函数的性质，是基本的数形对应关系，可以直接实现数形之间的直接转化。
我们称之为“源于教材”！是数形结合的第一层次。
但是，在一次函数综合题中，单纯的“以数定形”和“以形化数”，往往显得无能为力。
下面以天府新区2018期末考题（改编）为例来说明：如图，在直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点，将直线绕着点A顺时针旋转45°得到。
数形结合思想在一次函数中的运用
数形结合思想在一次函数中的运用作者：张治国来源：《语数外学习·教学参考》2012年第11期函数是初中数学代数部分的重点，也是难点。
函数最本质的内容是性质和图象，核心思想是“数形结合”。
深刻理解和熟练运用数形结合思想是学好函数的关键。
著名数学家华罗庚先生曾说过，“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，数形分离万事休”。
由此可见数形结合在数学学习中的重要性。
一次函数反映的是数量关系与变化规律，是最基本的函数，学好一次函数是学好函数的基础。
对于学生而言，一次函数学好了，真正做到数形结合，再学习后面的反比例函数和二次函数便会容易得多。
本文结合教学实践，对一次函数中“数形结合”的思想进行探讨，以指导学生更好地理解函数的精髓，掌握解题方法。
一、从数到形，以形助数例1一个沙漏中有100g沙子，沙子以每秒钟10g的速度漏出。
沙漏中余下的沙子y（单位g）与沙漏时间x（单位s）之间的函数图象是（）。
解析：y为余下的沙子，随着沙漏时间的增长，剩余的沙子y必然减少，因此，该函数一定是减函数，由此可以排除A和C选项。
沙子最多时候为20g，漏完之后为0g，因此y的区间一定是0～20，由此可以排除D选项，因此本题正确答案应为B。
二、从形到数，量化入微例2有一种玩具小汽车的车速可以在1分钟之内加速到10m/s，之后以每秒5米的速度提高车速，最高车速为每秒40m，达到40秒之后便保持40m/s的速度行驶。
假设时间为x（单位：s），车速为y（单位：m），则y与x的函数图象如下图所示。
（1）根据图象，写出当1≤x≤7时，y与x的函数关系式。
（2）计算车速要想达到35m/s时，需要多长时间。
（3）求出在多长时间之后，小汽车的速度就不再提高。
写出小汽车车速达到40m/s之后，y与x的函数关系式。
解析：（1）根据题意可知，此玩具汽车的速度分为三个部分，首先是第1秒内提高到10 m/s，之后以5m/s的速度提速，在提到40m/s的速度后便匀速行驶。
试谈“一次函数”中的数学思想
试谈“一次函数”中的数学思想辽宁省朝阳市喀左县平房子中学常文阁数学思想是数学知识的精髓，它在学习和运用数学知识的过程中，起指导作用。
基本知识点是数学课上首先要掌握的，但更重要的是解决问题的思路和方法，思路和方法的获取要靠自己一步一步地去体验和理解，更重要的是解决问题的过程，在过程中探索、获取思路和方法。
每年的中考数学题都着重考查了同学们对数学思想方法的理解和掌握。
因此，同学们在数学学习中，对重要的数学思想方法的学习要加强，而不是消弱。
下面谈一谈“一次函数”中的数学思想。
一、函数的思想：就是根据题中条件学会用函数方法解决实际问题。
“函数”是从量的侧面去描述客观世界的运动变化、相互联系，从量的侧面反映客观世界的动态，它们的相互制约性，函数是研究现实世界变化规律的一个重要模型。
经历函数、一次函数等概念的抽象概括过程，体会函数的模型思想和一次函数在我们现实生活的广泛应用，培养同学们“数学化”的能力。
二、方程思想：就是从分析问题的数量关系入手，适当设出未知数，通过等量关系列出方程或方程组来解决问题的一种数学思想方法。
主要是指建立方程(组)解决实际问题的思想方法。
函数思想与方程思想的联系十分密切。
如解方程就是求函数y=f(x)当函数值为零时自变量x的值；用函数图象的“交轨”方法，可以求出或讨论方程f(x)=g(x)的根或“函数组”化的方程组，等等。
这种联系提供了解决问题过程中转化的依据。
三、转化思想：就是根据知识间的内在联系，把所要解决的问题转化为另一个较易解决的问题或已经解决的问题，恰当地把题目中的某些关系从一种形式转化为另一种形式，问题就能比较顺利地得到解决，这就是转化思想。
领悟了转化思想，能够帮助同学们打开思路，把一个较复杂或陌生的问题转化成较简单或熟悉的问题。
例如，一次函数的图、表、式三种表示方法之间的相互转化，通过方程与函数的联系解决问题，求两条直线交点的问题转化为解二元一次方程组的解。
使学生学会以特殊情况为基础，通过转化来解决一般问题的方法，培养学生把文字语言转化为数学符号的能力。
一次函数图象的应用的教法建议
一次函数图象的应用的教法建议1．注意数形结合思想的渗透教学中要注意“数”与“形”的联系，要注意加以体会与实施．“数”与“形”是一切数学对象不可分割的两个方面，因此，在教学中要鼓励学生从数、形等多方面认识函数，解决有关实际问题．在本节的教学中，要注意加强图象识别与应用能力的培养，避免习惯的“代数化”倾向．2．尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需要，鼓励探索方式、表述方式和解题方法的多样化．在教学过程中，要关注全体学生的发展．对于学习有困难的学生，教师要给予及时的帮助与指导，鼓励他们主动参与数学学习活动，鼓励他们自主地解决问题，发表自己的看法，对他们的解法和表述进行恰当地指导和评价．对于学有余力的学生，可鼓励他们探索问题的多种表述方式和解题方法；同时，给他们提供丰富的学习材料，拓宽他们的知识视野．3．充分挖掘结合学生生活实际的素材，加强数学与现实的联系，让学生体会数学的广泛应用．一次函数是刻画现实世界变量间关系的最为简单的一个模型，其应用比比皆是．如有关计时的漏刻、沙漏、日晷、钟表等，计重的天平、弹簧秤、杆秤，以及测量气压、血压、温度等的有关仪器，它们都是应用一次函数的很好实例．教材中设计的例、习题多数具有现实生活背景，力求让学生体会数学的广泛应用．尽管如此，在教学中，教师仍应结合本地本校学生的生活实际和认知状况，选择更为贴近学生生活实际和认知水平的教学素材，促进学生新的认知结构的建构和数学应用能力的发展．4．本节各题都有多种解法．可以鼓励解法的多样性，但要认识到本节的设计目的在于培养学生良好的识图能力，因而在教学中，建议不要故意引导学生用代数方法解题，应避免习惯的“代数化”倾向．对于用代数方法求函数表达式，学生尚不熟悉，可以在学完二元一次方程组后，让学生回顾本节问题并用代数方法求解，让学生进一步体会函数与方程、数与形的关系，建立良好的知识联系．5．读一读的目的在于通过有趣的问题激发学生的学习兴趣，同时让学生体会数形结合的作用．看似复杂的一个实际问题，利用图象很直观地获得了解决，这必然给学生强烈的震撼，这正是我们所希望学生感悟到的数形结合的威力．教师可鼓励他们进行阅读和尝试求解，也可将这部分同学组织起来，进行适当的数学研究活动，发展他们的数学才能．。
浅谈数形结合思想在一次函数教学中的应用
浅谈数形结合思想在一次函数教学中的应用恒丰学校陈小玲从小学到初中的数学学习过程中，我们老师在教学时就对我们学生灌输了形在数学学习方面的知识，只不过没有进行系统，综合的整理，所以也就没有引起同学们的重视，认为能用代数的知识进行求解，没必要另辟蹊径。
在这里，我根据自己的实际教学所接触的问题，浅谈一下数形结合思想在一次函数中的优势。
大家知道，数，指的是运用代数的知识解决问题，形，指的是利用图形来研究性质。
那么它们之间究竟具有怎样的联系呢？我们先来了解一下一次函数这方面的知识。
在学习一次函数的性质时，我们知道根据图像观察可得到，当一次函数y=kx+b(k,b为常数，k 0）的k>0时，函数y的值随着自变量x的值增大而增大，当k<0时，函数y的值随着自变量x的值增大而减少，可见，这比我们利用代数的知识来比较两个数的大小就更容易理解，更形象化。
并且，当k>0,b>0时，函数的图像经过一，二，三象限；k>0,b<0时，函数的图像经过一，三，四象限；k<0,b>0时，函数的图像经过一，二，四象限；k<0,b<0时，函数的图像经过二，三，四象限。
上述这些结论我们从代数的角度来理解的话就会感到很费劲，而从形的方面来看的话，通俗易懂，形象具体，可见，形在有些方面比数就有恨大的优越性。
另外，在学习一次函数与一元一次方程时，大家对于系数是已知的常数时，用代数的方法求解起来感到非常的容易，但是对于系数如果是用未知的字母来代替时，就会觉得很麻烦，这时，我们回忆一元一次方程与一次函数之间的联系，想到方程的解就是它所对应的一次函数的值为零时所对应的自变量的值（或者是函数的图像与x轴的交点的横坐标的值），这样理解起来就很容易了。
如：一次函数y=kx+b与x轴的交点为（2,0），求方程kx+b=0的解。
如果用代数的方法，一个方程，两个未知数，我们很难求出系数k,b的。
但联系一次函数与一元一次方程之间的关系就很快得出方程的解了，x=2.还有，在学习一次函数与不等式的知识时，我们知道一次不等式大于零或小于零）的解集就是它所对应的一次函数的值大于零（或小于零）时所对应的自变量的取值范围（或者是函数的图像在x轴上方（下方）说对应的自变量的取值范围），这样，不管系数是已知的常数还是未知的字母，我们采用他们之间的内在联系性就会很容易求解了。
一次函数的解题技巧
一次函数的解题技巧
1、待定系数法：用于确定一次函数的解析式，是方程思想的具体应用；
2、由函数解析式画其图像的一般步骤：列表、描点、连线；
3、一次函数解题常用公式：
求函数图像的k值：（y1-y2）/（x1-x2）
求与x轴平行线段的中点：|x1-x2|/2等等。
扩展资料
求与y轴平行线段的中点：|y1-y2|/2
求任意线段的长：√（x1-x2）^2+（y1-y2）^2
一次函数的解题方法
在解决一次函数相关问题过程中，会运用到许多重要的数学思想方法：
1、数形结合思想：根据数和形之间的对应关系，将数字和图形结合起来以解决数学问题，兼备了直观性和严密性的特征。
2、方程思想：方程思想的实质就是将所求的量设成未知数，根据已知条件或所给数量关系列出方程或方程组，通过解方程或对方程进行研究，从而解决问题。
3、转化和化归的.思想：转化和化归的核心是把没做过的题转化为经典的题型，将复杂问题化归为简单问题，将较难问题化为较易问题，从而使问题顺利得解。
4、分类讨论思想：当面临的数学问题不能统一地进行解决时，可分情况来讨论，最后再组合到一起。
一次函数知识总结归纳
一次函数知识总结归纳一次函数知识总结归纳思想方法小结（1）函数方法．函数方法就是用运动、变化的观点来分析题中的数量关系，抽象、升华为函数的模型，进而解决有关问题的方法．函数的实质是研究两个变量之间的对应关系，灵活运用函数方法可以解决许多数学问题．（2）数形结合法．数形结合法是指将数与形结合，分析、研究、解决问题的一种思想方法，数形结合法在解决与函数有关的问题时，能起到事半功倍的作用．知识点1一次函数和正比例函数的概念若两个变量x，y间的关系式可以表示成y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量），特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数.例如：y=2x+3，y=-x+2，y=11x等都是一次函数，y=x，y=-x22都是正比例函数.【说明】（1）一次函数的自变量的取值范围是一切实数，但在实际问题中要根据函数的实际意义来确定.（2）一次函数y=kx+b（k，b为常数，b≠0）中的“一次”和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次”意义相同，即自变量x的次数为1，一次项系数k 必须是不为零的常数，b可为任意常数.（3）当b=0，k≠0时，y=kx仍是一次函数.（4）当b=0，k=0时，它不是一次函数.知识点2函数的图象把一个函数的自变量x与所对应的y的值分别作为点的横坐标和纵坐标在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象．画函数图象一般分为三步：列表、描点、连线．知识点3一次函数的图象由于一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象是一条直线，所以一次函数y=kx+b的图象也称为直线y=kx+b．由于两点确定一条直线，因此在今后作一次函数图象时，只要描出适合关系式的两点，再连成直线即可，一般选取两个特殊点：直线与y轴的交点（0，b），直线与x轴的交点（-b，0）.但也不必一定选取这两个特殊点.画正比k例函数y=kx的图象时，只要描出点（0，0），（1，k）即可.知识点4一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的性质（1）k的正负决定直线的倾斜方向；①k＞0时，y的值随x值的增大而增大；②kO时，y的值随x值的增大而减小．（2）|k|大小决定直线的倾斜程度，即|k|越大，直线与x轴相交的锐角度数越大（直线陡），|k|越小，直线与x 轴相交的锐角度数越小（直线缓）；（3）b的正、负决定直线与y轴交点的位置；①当b＞0时，直线与y轴交于正半轴上；②当b＜0时，直线与y轴交于负半轴上；③当b=0时，直线经过原点，是正比例函数．（4）由于k，b的符号不同，直线所经过的象限也不同；①如图11－18（l）所示，当k＞0，b＞0时，直线经过第一、二、三象限（直线不经过第四象限）；②如图11－18（2）所示，当k＞0，bO时，直线经过第一、三、四象限（直线不经过第二象限）；③如图11－18（3）所示，当kO，b ＞0时，直线经过第一、二、四象限（直线不经过第三象限）；④如图11－18（4）所示，当kO，bO时，直线经过第二、三、四象限（直线不经过第一象限）．（5）由于|k|决定直线与x轴相交的锐角的大小，k相同，说明这两个锐角的大小相等，且它们是同位角，因此，它们是平行的．另外，从平移的角度也可以分析，例如：直线y=x＋1可以看作是正比例函数y=x向上平移一个单位得到的．知识点5正比例函数y=kx（k≠0）的性质（1）正比例函数y=kx的图象必经过原点；（2）当k＞0时，图象经过第一、三象限,y随x的增大而增大；（3）当k ＜0时，图象经过第二、四象限,y随x的增大而减小．知识点6点P（x0，y0）与直线y=kx+b的图象的关系（1）如果点P（x0，y0）在直线y=kx+b的图象上，那么x0,y0的值必满足解析式y=kx+b；（2）如果x0，y0是满足函数解析式的一对对应值，那么以x0，y0为坐标的点P（1，2）必在函数的图象上．例如：点P（1，2）满足直线y=x+1，即x=1时，y=2，则点P（1，2）在直线y=x+l的图象上；点P′（2，1）不满足解析式y=x+1，因为当x=2时，y=3，所以点P′（2，1）不在直线y=x+l的图象上．知识点7确定正比例函数及一次函数表达式的条件（1）由于正比例函数y=kx（k≠0）中只有一个待定系数k，故只需一个条件（如一对x，y的值或一个点）就可求得k的值．（2）由于一次函数y=kx+b（k≠0）中有两个待定系数k，b，需要两个独立的条件确定两个关于k，b的方程，求得k，b的值，这两个条件通常是两个点或两对x，y的值．知识点8待定系数法先设待求函数关系式（其中含有未知常数系数），再根据条件列出方程（或方程组），求出未知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法．其中未知系数也叫待定系数．例如：函数y=kx+b中，k，b就是待定系数．知识点8用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤（1）设函数表达式为y=kx+b；（2）将已知点的坐标代入函数表达式，解方程（组）；（3）求出k与b的值，得到函数表达式．知识点9x=a和y=b的图象x=a的图象是经过点（a，0）且垂直于x轴的一条直线；y=b的图象是经过点（0，b）且垂直于y轴的一条直线。
初中数学教学课例《一次函数的图像》课程思政核心素养教学设计及总结反思
择与设计
让学生画图后，观察图像，总结出这些图像的特点，
教学过程 并与小组同学交流，归纳出一次函数的图像性质。教师
引导学生观察方法，体会“数形结合”思想。
课例研究综
要把课堂还给学生，相信学生，体现知识的形成过
述
程，才能使学生在课堂中学到真本事，找到快乐。
一次函数的性质特点。2 过程目标：通过画图和观察图
教学目标 像特点的过程学习，培养学生的探究能力，深刻体会
“数形结合”思想方法。3、情感目标：在学习过程中，
让学生找到成功的快乐，体会到数学结合的美。
学生学习能
本节课需要学生的画图能力，观察归纳能力，合作
力分析 讨论的习惯。
教学策略选
通过学生自主画图，小组讨论的方法
初中数学教学课例《一次函数的图像》教学设计及总结反思
学科
初中数学
教学课例名
《一次函数的图像》
称
一次函数的图像是函数的重要内容，来自形结合思想的入门学习，是以后函数学习的基础。掌握一次函数的 教材分析
图像及性质是本节课的重点，数形结合方法的应用是学
习的重点也是难点。
1、知识目标：掌握一次函数的图像的画法，理解
一次函数应用题中的“数形结合”
一次函数应用题中的“数形结合”数形结合思想在一次函数中的应用是中考命题的一个热点，解一次函数应用问题时，如果把数与形结合起来考虑，即把问题的数量关系转化为图象的性质或者把图象的性质转化为数量关系，就可以使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化．本文选取几例，说明数形结合思想在一次函数实际问题中的应用，供复习时参考一、从“数”到“形”的思想应用例1 一辆速度为90千米/小时汽车由赣州匀速驶往南昌，下列图像中能大致反映汽车行驶路程s（千米）和行驶时间t（小时）的关系的是( )分析：根据题意得，汽车行驶路程s（千米）和行驶时间t（小时）的关系式是s=60t,所以行驶路程s和行驶时间t成正比例函数关系，因为路程与时间都不能为负数，所以行驶路程s和行驶时间t之间的函数图象应该是在第一象限的一条射线，故应选D．评注：解从“数”到“形”的问题时，应先找出两个已知变量之间的函数关系，然后根据函数关系式作出函数的大致图象，从而归纳出函数的图象特征．二、从“形”到“数”的思想应用例2为了鼓励小强勤做家务，培养他的劳动意识，小强每月的费用都是根据上月他的家务劳动时间所得奖励加上基本生活费从父母那里获取的．若设小强每月的家务劳动时间为x小时，该月可得（即下月他可获得）的总费为y元，则y（元）和x（小时）之间的函数图像如图所示．（1）根据图像，请你写出小强每月的基本生活费为多少元；父母是如何奖励小强家务劳动的？（2）写出当0≤x≤20时，相对应的y与x之间的函数关系式；（3）若小强5月份希望有250元费用，则小强4月份需做家务多少时间？分析：（1）根据函数图象的信息可知，小强每月的基本生活费为150元，父母的奖励方法是：如果小强每月做家务的时间不超过20小时，每小时获奖励 2.5元；如果小强每月做家务的时间超过20小时，那么20小时每小时按 2.5元奖励,超过部分按每小时奖励4元奖励；（2）根据函数图象知，当0≤x≤20时，它是一个一次函数图象，即设y与x之间的函数关系式为y=kx+b.因为点（0，150），（20，200）在函数y=kx+b上,所以函数关系式为y=2.5x+150；（3）根据函数图象知，当x>20时，它也是一个一次函数图象，即设y与x之间的函数关系式为y=k1x+b1.因为点(20,200),(30,240)在函数y=k1x+b1上,所以函数关系式为y=4x+120,当y=250时, 4x+120=250,解得x=32.5．评注：解从“数”到“形”的问题时，应注意观察函数图象的形状特征，充分挖掘图象中的已知条件，确定函数的解析式，从而利用函数的图象性质来解．三、“数形结合”思想的综合运用例3 某校部分住校生，放学后到学校锅炉房打水，每人接水2升，他们先同时打开两个放水笼头，后来因故障关闭一个放水笼头．假设前后两人接水间隔时间忽略不计，且不发生泼洒，锅炉内的余水量y(升)与接水时间x(分)的函数图象如图．请结合图象，回答下列问题：（1）根据图中信息，请你写出一个结论；（2）前15位同学接水结束共需要几分钟？（3）小敏说：“今天我们寝室的8位同学去锅炉房连续接完水恰好用了3分钟．”你说可能吗？请说明理由．分析：（1）根据函数的图象信息可知，锅炉内原有水96升；接水2分钟以后锅炉内的余水量为80升；接水4分钟以后锅炉内的余水量为72升等等．（2）根据函数图象知，当0≤x≤2时，它是一个一次函数图象，设y与x之间的函数关系式为y=kx+b.因为点（0，96），（2，80）在函数y=kx+b 上,所以函数关系式为y=-8x+96；当x>2时，它也是一个一次函数图象，设y 与x 之间的函数关系式为y=k 1x+b 1. 因为点(2,80),(4,72)在函数y=k 1x+b 1上, 所以函数关系式为y=-4x+88, 前15位同学接水后的余水量为96-15×2=66，当y=66时，代入y=-4x+88中，解得x=5.5．（3）①若小敏他们是一开始接水的，则接水时间为8×2÷8=2（分钟），8位同学接完水只要2分钟，与接完水时间恰好用了3分钟不相符；②若小敏他们是在若干位同学接完水后开始接水的，设这8为同学从t 分钟开始接水，当0<t ≤2时,则8(2-t)+4)2(3t =8×2,解得t=1, 所以(2-t)+ )2(3t =3(分钟).符合;当t>2时,则8×2÷4=4(分钟),与接水时间3分钟不符,所以小敏的说法是有可能的.即从1分钟开始8位同学连续接完水恰好用了8分钟．评注：解“数形”结合的问题时，应注意运用“由数想形，以形助数”的解题策略，充分挖掘题目中的已知条件，从而创造性地解决问题．。
数形结合思想在初中数学教学中的应用——以“函数”教学为例
教学·策略数形结合思想在初中数学教学中的应用———以“函数”教学为例文|林欣为了促进教学活动的顺利、高效开展，明确落实教学目标，教师需要重视对教学理念的创新与变革，以便为学生创造良好的学习环境，进一步挖掘学生的潜能，为学生高效开展数学学习奠定基础。
数形结合思想作为重要的数学思想，对提升学生的数学学习能力有着重要意义。
教师应将数形结合思想融入日常教学中，以助力学生更高效地解决数学问题，促使学生形成良好的数学思维。
同时函数作为初中数学的重要内容，对学生数学素养与能力的提升有着重要影响。
因此，在“函数”教学中，教师应重视对数形结合思想的有效应用，直观、生动地展现抽象的函数知识，充分发挥学生的形象思维能力，帮助学生掌握问题的本质，使其能够快速、高效地解决问题，从而为初中数学教学的高质、高效开展提供助力。
一、创设教学情境在初中数学教学活动中，教师可以结合教学知识创设生动、有趣的教学情境，以吸引学生的注意力，使学生能够真正关注到问题，并运用图形对问题中所包含的内容进行直观呈现，让学生亲身感受到数形结合所创造的便利，进而激发学生运用数形结合方法解决数学问题的热情，并深刻认识到数形结合思想的价值与意义。
例如，教师可以结合生活实际设置例题，通过创设良好的教学情境，激发学生的解题兴趣。
问题：25路公交车往返于A、B两地，两地的发车时刻表相同。
假设公交车均速直线向前行驶，从A 地到B地，从B地到A地所用时间都是60分钟，每间隔10分钟发一趟车。
提问：一辆25路公交车从A 地出发，途中能遇到几辆由B地出发的25路公交车？在分析问题后：学生1：能够遇到4辆。
学生2：能够遇到5辆。
学生3：能够遇到6辆。
学生4：能够遇到7辆。
教师：针对这一问题，大家的答案各不相同，以前也有数学家针对类似问题进行了激烈争论。
虽然这道题十分简单，却隐藏着重要信息，需要我们运用合理的方法解题。
学生一听数学家都没有解出这道题都感到十分的疑惑，非常想知道最后数学家是怎样解出问题的。
浅谈初中函数教学中的 “数形结合”思想方法
（追问）T: ⑸你能从解析式出发给出证明吗？
在上面的教学设计中，教师借助几何画板课件，帮助学生形象直观的理解了反比例函数图象的变化规律，发现变化过程中的特殊点的，自然的归纳出反比例函数增减性的性质及自变量的取值范围，并且通过结合符号语言和解析式全方位诠释增减性的意义。学生不但理解而且记忆，而且途径全面，更好的感受到函数的三种表示方法的整体一致性。
浅谈初中函数教学中的“数形结合”思想方法
函数是初中数学教学中的重要内容，学生初次接触函数，感觉难度大，不容易理解。那么怎样进行函数教学，学生会学的轻松一点呢？我在函数的教学过程中，针对学生的知识结构与年龄特点，结合自己的一点教学经验，谈谈函数教学中的“数形结合”思想方法。
一、数形结合的思想方法是初中数学中一种重要的思想方法。数学是研究现实世界数量关系和空间形式的科学。而数形结合就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题。它包含以形助数和以数解形两个方面，利用它可使复杂问题简单化，抽象问题具体化，它兼有数的严谨与形的直观之长。
（2）切莫急于呈现画函数图象的简单画法。首先，在探索具体函数形状时，不能取得点太少，否则学生无法发现点分布的规律，从而猜想出图象的形状；其次，教师过早强调图象的简单画法，追求方法的“最优化”，缩短了学生知识探索的经历过程。所以，在教新知识时，教师要允许学生从最简单甚至最笨拙的方法做起，渐渐过渡到最佳方法的掌握，达到认识上的最佳状态。
（1）让学生经历绘制函数图象的具体过程。首先，对于函数图象的意义，只有学生在亲身经历了列表、描点、连线等绘制函数图象的具体过程，才能知道函数图象的由来，才能了解图象上点的横、纵坐标与自变量值、函数值的对应关系，为学生利用函数图象数形结合研究函数性质打好基础。其次，对于具体的一次函数、反比例函数、二次函数的图象的认识，学生通过亲身画图，自己发现函数图象的形状、变化趋势，感悟不同函数图象之间的关系，为发现函数图象间的规律，探索函数的性质做好准备。
八年级数学下册第19章一次函数学科素养思想方法(含解析)新人教版(2021-2022学年)
一次函数学科素养·思想方法一、数形结合思想【思想解读】化数为形,以形思数,是解决数学问题的关键.数形结合思想不仅为分析问题、解决问题提供了有利条件，而且是培养创新意识、开发智力的重要途径。
【应用链接】直角坐标系的建立实现了数与形紧密结合,使抽象的数形象化、直观化。
在一次函数中体现尤为明显．【典例1】（2０１7·宝丰一模）某单位举行“健康人生”徒步走活动，某人从起点体育村沿建设路到市生态园，再沿原路返回,设此人离开起点的路程s（千米)与走步时间t(小时）之间的函数关系如图所示,其中从起点到市生态园的平均速度是4千米/小时，用2小时，根据图象提供的信息,解答下列问题.(1)求图中的a值.（2)若在距离起点5千米处有一个地点Ｃ,此人从第一次经过点C到第二次经过点C，所用时间为1。
7５小时.①求AB所在直线的函数解析式;②请你直接回答，此人走完全程所用的时间。
【思路点拨】（1)根据路程=速度×时间即可求出a值．(２)①根据速度=路程÷时间求出此人返回时的速度,再根据路程＝8－返回时的速度×时间即可得出ＡB所在直线的函数解析式；②令①中的函数解析式中s=0,求出t值即可.【自主解答】(１)a=4×2=8。
（2)①此人返回的速度为（８—５)÷=3（千米/小时）,AＢ所在直线的函数解析式为ｓ=8—3（t—2)=—3t+14。
②当s=-3ｔ+14=０时,t=。
答：此人走完全程所用的时间为小时.【变式训练】甲、乙两车从A地出发,沿同一条高速公路行驶至距Ａ地400千米的B地，l1， l２分别表示甲、乙两车行驶路程y(千米)与时间x(小时)之间的关系(如图所示).根据图象提供的信息,解答下列问题:（１）求ｌ2的函数解析式（不要求写出x的取值范围)。
（2)甲、乙两车哪一辆先到达Ｂ地?该车比另一辆车早多长时间到达Ｂ地?【解析】（1)设ｌ2的函数解析式是ｙ=k2x+b,由图象知l2经过两点，,则解之得ｋ２=10０,ｂ＝-７５。
初中数学教学课例《一次函数》课程思政核心素养教学设计及总结反思
学科
初中数学
教学课例名
《一次函数》
称
一次函数。它是在认识了函数、函数的图象和正比
例函数的基础上进行的，一次函数是最基本、最简单的
函数，本节课主要学习一次函数的概念。本节内容既是
前面知识的深化和应用，又为今后学习反比例函数、二
次函数的概念,提供了一般思路和方法。因此本节课具
在开始她每个月可以得到 150 元的零用钱，小丸子计划 每月将零用钱的 60%存入银行，用以购买她期盼已久的 CD 随身听（价值 1680 元）
（1）列出小丸子的银行存款（不计利息）y 与月 数 x 的函数关系式；
（2）多长时间以后，小丸子的银行存款才能买随 身听？
例 4 为了加强公民的节水意识，合理利用水资源， 某城市规定用水收费标准如下：每户每月用水量不超过 6 米 3 时，水费按 0.6 元米 3 收费；每户每月用水量超 过 6 米 3 时，超过部分按 1 元米 3 收费。设每户每月用 水量为 x 米 3，应缴水费 y 元。写出每月用水量不超过 6 米 3 和超过 6 米 3 时，y 与 x 之间的函数关系式，并 判断它们是否为一次函数。已知某户 5 月份的用水量为 8 米 3，求该用户 5 月份的水费。
“一次函数”这一章的重点是一次函数的概念、图 象和性质，一方面，在学生初次接触函数的有关内容时， 一定要结合具体函数进行学习，因此，全章的主要内容， 课例研究综 是侧重在具体函数的讲述上的。另一方面，在大纲规定 述 的几种具体函数中，一次函数是最基本的，教科书对一 次函数的讨论也比较全面。通过一次函数的学习，学生 可以对函数的研究方法有一个初步的认识与了解，从而
生共同分析，得出函数解析式，为下面的问题的解决提 择与设计
例析数形结合思想在一次函数中的应用
例析数形结合思想在一次函数中的应用例析数形结合思想在一次函数中的应用宁波市曙光中学陈怡颖数与形,是两个最古老,最基本的研究对象,数是形的抽象概括,形是数的直观表现。
在数学中我们把数与形结合起来研究数学问题的方法叫做数形结合。
数形结合,就是把问题的数量关系转化为图形的性质,把图形性质转化为数量关系,从而使复杂的问题简单化,抽象的问题具体化。
它主要有两个方面:以“数”解“形”,以“形”助“数”。
一次函数是初中数学的一个重点,数形结合思想在一次函数中的应用也是中考命题的一个热点。
本文结合教学实践,谈谈数形结合思想在一次函数解题中的几个应用。
以“数”解“形”??把复杂的过程简单化函数图象形象地展示了函数的性质,为我们研究数量关系提供了“形”的基础,因此在这类一次函数的问题中,我们应抓住特殊的点,及其所表示的实际意义,从而把复杂的过程简单化,把几何的问题代数化。
例1,如图所示,在x轴上有五个点,它们的横坐标依次为1,2,3,4,5.分别过这些点作x轴的垂线与三条直线yax,y(a+1)x,y(a+2)x相交,其中a>0.则图中阴影部分的面积是()A.12.5B.25C.12.5aD.25a分析:此题初看比较复杂,从几何的角度解题,首先想到的是平移,但图中阴影部分的梯形和空白部分的梯形是不全等的,无法通过平移转移到同一个三角形中;如果把图中8条直线15个交点坐标都求出来,计算量太大,不可行。
但仔细分析可以发现,这些梯形的顶点都在一次函数图象上,因此它们满足函数解析式,而这三个一次函数解析式又是有联系的,以最右边的阴影部分梯形为例,虽然它与下面的空白部分梯形并不全等,但它们的上底都是4,下底都是5,可由当自变量分别为4和5所对应的函数值确定,梯形的高为1,因此它们的面积是相等的。
其余阴影部分的面积亦同理可得。
因此这里阴影部分的面积就是,直线yax,y(a+1)x,x5所围成的三角形面积。
,故选A。
解此题的关键在于,把不规则的图形转化为规则的图形,光从“形”的角度无法从平移实现,那么就要借助“数”,通过一次函数图象上的点满足解析式,以及点的横纵坐标所表示的实际意义解出梯形的底和高。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一次函数中的数形结合思想
在众多的函数中，一次函数最为简单.它的性质和应用是初中数学的重要内容，也是中考的重点考查内容.形少数，难入微；数缺形，少直观.在一次函数中数形结合思想的应用广泛且灵活，下面试举几例希望能对同学们的学习有所帮助.
一、面积型
根据已知条件的特点，画出图形，利用图形的直观性求解问题.
例1.求直线y=3x-2和直线y=2x+3与y轴所围成的图形的面积.
【思路分析】画出两直线的图像，如图1，得到满足条件的△ABC，再根据图形的特点求其面积.
所以交点C的坐标为（5，13）
因为直线y=3x-2和直线y=2x+3分别与y轴交于点A（0，-2）和B（0，3），所以AB=︱3-（-2）︱=5.又CD=5,所以 .
【评注】解题时，若借助数形结合思想，把问题直观化、形象化，则有利于问题的解决.
例2.一条直线与y轴交点到原点的距离为4，且与两坐标轴
围成三角形的面积为4，求直线的解析式.
【思路分析】欲求直线的解析式，只需两组对应值，由已知直线与y轴交点到原点的距离为4，可以确定一组对应值，另一组对应值则需利用三角形面积的计算方法求出直线与x轴交点的坐标而求得.
【解】设解析式为y=kx+b（k≠0），直线交y轴于点A，交x轴于点B.因为直线与y轴交点到原点的距离为4，所以A（0，4）或(0,-4).由，可得OB=2.所以B(-2,0)或(2,0).由于未指定直线的位置，所以应考虑所有的情况，如图所示：
当直线过A(0,4),B(-2,0)时，解析式为y=2x+4；
当直线过A（0，4），B（2，0）时，解析式为y=-2x+4；
当直线过A(0,-4),B(2,0)时，解析式为y=2x-4；
当直线过A（0，-4），B（-2，0）时，解析式为y=-2x-4；
综上所述，所求解析式为：y=2x+4或y=-2x+4或y=2x-4或y=-2x-4
【评注】对距离有要求时，需画草图分析，可能出现的各种情况，考虑周全，防止漏解.二、不等式型
例3.作函数y=x+3的图象，如图所示，回答下列问题：
（1）x取何值时，x+3＞0；
（2）x取何值时，x+3＜0；
（3）x取何值时，x+3＞1；
【思路分析】要回答上面的三个问题，我们可以从函数图象的定义上去理性的思考：x+3＞0，可以看作是一次函数y=x+3中y＞0，从图象上看，可以看作是纵坐标大于0的所有点的集合，即y=x+3的图象在x轴上方的部分.此时，要满足x+3＞0，必须满足x＞3.其他两个问题的研
究方法相同.
【解】观察图象知：直线y=x+3与x轴的交点坐标为（-3，0），可知x=-3时，y=0.
（1）当x＞-3时，x+3＞0；
（2）当x＜-3时，x+3＜0；
（3）当x＞-2时，x+3＞1.
【评注】利用函数图象解一元一次不等式的方法是：作出函数图象，寻求图象与x轴的交点，求得一元一次不等式的解集.这是利用函数图象解一元一次不等式的“三部曲”.
例4.一次函数y=kx+b的自变量x的取值范围是-4≤x≤-2相应函数值的范围是4≤y≤6求此函数
的解析式.
【思路分析】一次函数y=kx+b（k≠0，b为常数）的性质理解是一个难点，我们应该把图象
和k值正负结合起来理解.由于一次函数的图象是直线，故当-4≤x≤-2时，图象是线段，由一
次函数的增减性，函数的最值一定对应x的最值，即y的最大值6，一定对应x的最大值-2
或最小值-4，这要视k的符号而定.
【解】对k的值分两种情况进行讨论；
（1）当k＞0时，则y的值随x的值的增大而增大.因
此，一定是当x=﹣4时，y=4；当x=﹣2时，y=6故得：y=x+8
（2）当k＜0时，y随x的增大而减少，一定是当x=﹣4时，y=6；x=﹣2时，y=4，于是得
y=﹣x+2.
综合上述两种情况，符合条件的解析式为：
y=x+8或y﹣x+2
【评注】这是一道分类讨论题，由k的符号充分利用了一次函数的性质，构题较妙.
三．实际应用型
我们在分析和解决实际问题时首先应根据题目给出的条件写出函数关系式，然后再根据题意
解决具体问题.在一些实际问题中经常是已知自变量的值，求相应的函数值；或根据函数值，
求出与之对应的自变量的值.
例5 某电信公司开设了甲、乙两种市内移动通信业务，甲种使用者每月需缴15元月租费，
然后每通话1分钟，再付话费0.3元；乙种使用者不缴月租费，每通话1分钟，付话费0.6
元.若一个月总通话时间为x分钟，甲、乙两种业务的费用分别为y1元和y2元.
（1）试分别写出y1、y2与x之间的函数关系式；
（2）在同一坐标系中画出y1、y2的图像；
（3）根据一个月的通话时间，你认为选用哪种通信业务更优惠？
【思路点拨】“选择”是现实生活中经常遇到的问题，选择经常与经济效益相联系，.借助一次函数的图像，运用图像使问题得以解决.
（1）由题意很容易得出y1=0.3x+15（x≥0）；y2=0.6x（x≥0）；
（2）y1、y2在同一坐标系中的图像如下图所示；
（3）由图像可知：
当一个月通话时间为50分钟时，两种业务的费用相同；
当一个月通话时间少于50分钟时，乙种业务更优惠；
当一个月通话时间多于50分钟时，甲种业务更优惠，
【评注】：求实际应用型问题的函数关系式，一般要写出自变量的取值范围，这个范围要根据实际情况来考虑.。