数学：第一章《反比例函数》学案(浙教版九年级上)

数学：第一章《反比例函数》学案（浙教版九年级上）

1.1反比例函数

1.2反比例函数的图象和性质

1.3反比例函数的应用

重点难点

重点：反比例函数的图象和性质

反比例函数的应用

难点：反比例函数的图象和性质的综合运用

反比例函数的应用题的多种题型。

知识要点：

1、反比例函数的定义

反比例函数

反比例函数定义

一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y＝k／x (k为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数。因为y=k/x是一个分式，所以自变量X的取值范围是X≠0。而y=k/x有时也被写成xy=k。

反比例函数表达式

X是自变量，Y是X的函数

y=k/x=k·1/x

xy=k

y=k·x^（-1）（即：y等于x的负一次方，此处X必须为一次方）

y=k\x(k为常数且k≠0，x≠0）

若y=k/nx 此时比例系数为:k/n

反比例函数的自变量的取值范围

① k ≠ 0; ②在一般的情况下 , 自变量 x 的取值范围可以是不等于0的任意实数; ③函数 y 的取值范围也是任意非零实数。

2、反比例图象和性质

反比例函数图象

反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线

反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交（K≠0）。

反比例函数性质

1.当k>0时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象分别位于二、四象限，同一个象限内,y随x的增大而增大。

2.k>0时，函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数；k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。

定义域为x≠0；值域为y≠0。

3.因为在y=k/x(k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交。

4. 在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2则S1＝S2=|K|

5. 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴 y=x y=-x（即第一三，二四象限角平分线），对称中心是坐标原点。

6.若设正比例函数y=mx与反比例函数y=n/x交于A、B两点（m、n同号），那么A B两点关于原点对称。

7.设在平面内有反比例函数y=k/x和一次函数y=mx+n，要使它们有公共交点，则n^2+4k·m≥（不小于）0。

8.反比例函数y=k/x的渐近线：x轴与y轴。

9.反比例函数关于正比例函数y=x,y=-x轴对称,并且关于原点中心对称.

10.反比例上一点m向x、y分别做垂线，交于q、w，则矩形mwqo（o为原点）的面积为|k|

11.k值相等的反比例函数重合，k值不相等的反比例函数永不相交。

12.|k|越大，反比例函数的图象离坐标轴的距离越远。

图象和性质的表格学习：

正比例函数与反比例函数的对照表：

经典例题：

例1 如图所示，已知反比例函数y1=m

x

（m≠0）•的图像经过点A（－2，1），一次函数y2=kx+b（k≠0）

的图象经过点C（0，3）与点A，且与反比例函数的图像相交于另一点B．

（1）分别求出反比例函数与一次函数的解析式；

（2）求点B 的坐标．

【解答】求两个函数的表达式，应先求出函数式中的待定系数m ，k ，b ，•求两个函数图像的交点坐标，可联解两函数表达式，得到一组x ，y 的值，即可交点坐标．

（1）∵点A （－2，1）在反比例函数y 1=m x 的图像上． ∴1=2

m -，即m=－2． 又A （－2，1），C （0，3）在一次函数y 2=kx+b 图像上．

∴213

k b b -+=⎧⎨=⎩ 即13k b =⎧⎨=⎩

∴反比例函数与一次函数解析式分别为：y=－

2x 与y=x+3． （2）由32y x y x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩

得x+3=－2x ，即x 2+3x+2=0，∴x=－2或x=－1，于是21

x y =-=⎧⎨⎩或12x y =-=⎧⎨⎩ ∴点B 的坐标为（－1，2）．

【点评】求两个函数图像的交点坐标，就是解两个函数解析式组成的方程组，求出的一组解即是一个交点的坐标．

例2 如图，已知反比例函数y=

k x

（k<0）的图像经过点A （－3，m ），•过点A 作AB ⊥x 轴于点，且△AOB 的面积为3．

（1）求k 和m 的值；

（2）若一次函数y=ax+1的图像经过点A ，并且与x 轴相交于点C ，求∠ACO•的度数为│AO │：│AC │的值．

【分析】（1）由A 点横坐标可知线段OB 的长，再由△AOB 的面积易得出AB 的长，•即m 的值，此时可知点A 的坐标由点A 在反比例函数y=k x

上可求得k 的值． （2）由直线y=ax+1过点A 易求出a 值．进而可知点C 的坐标，在Rt △ABC 中易求tan ∠ACO 的值，可知∠ACO 的度数，由勾股定理可求得OA ，AC 的长．

【解答】（1）∵S=3

∴12·m ·3=3，∴m=2，又y=k x 过点A （－3，2），则2=3

k -，∴k=－23 （2）∵直线y=ax+1过A （－3，2）

∴2=－3a+1，

∴a=33，y=33

+1． 当y=0时，x=3，

∴C （3，0），BC=23，

又tan ∠ACO=223AB BC ==33

， ∴∠ACO=30°．在Rt △ABO 中，AO=22OB AB +=7，在Rt △ABC 中，AC=2AB=4．

∴│AO │：│AC │=7：4．

例题3、如图，在直角坐标系中，O 为原点，点A 在第一象限，它的纵坐标是横坐标的3倍，反比例函数y=12x

的图像经过点A ， （1）求点A 的坐标；

（2）如果经过点A 的一次函数图像与y 轴的正半轴交于点B ，且OB=AB ，•求这个一次函数的解析式．