沪教版 九年级数学 暑假同步讲义 第4讲 相似三角形的判定(一)(解析版)

相似三角形的判定是九年级数学上学期第一章第三节的内容，本讲主要讲解相似三角形的定义、相似三角形判定定理1和相似三角形判定定理2；重点是根据已知条件灵活运用这两种判定定理，以及这两者之间的相互结合．1、相似三角形的定义如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，且它们各有的三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形．如图，DE是ABC∆的中位线，那么在ADE∆与ABC∆中，A A∠=∠，ADE B∠=∠，AED C∠=∠；12AD DE AEAB BC AC===．由相似三角形的定义，可知这两个三角形相似．用符号来表示，记作ADE∆∽ABC∆，其中点A与点A、点D与点B、点E与点C分别是对应顶点；符号“∽”读作“相似于”．用符号表示两个相似三角形时，通常把对应顶点的字母分别写在三角形记号“∆”后相应的位置上．相似三角形的判定（一）内容分析知识结构模块一：相似三角形判定定理1知识精讲DAB CEABCA 1B 1C 1根据相似三角形的定义，可以得出：（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例；两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比（或相似系数）．（2）如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似． 2、相似三角形的预备定理平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似． 如图，已知直线l 与ABC ∆的两边AB 、AC 所在直线分别交于点D 和点E ，则ADE ∆∽ABC ∆．3、相似三角形判定定理1如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似． 可简述为：两角对应相等，两个三角形相似．如图，在ABC ∆与111A B C ∆中，如果1A A ∠=∠、1B B ∠=∠，那么ABC ∆∽111A B C ∆．常见模型如下：【例1】根据下列条件判定ABC ∆与DEF ∆是否相似，并说明理由；如果相似，那么用符号 表示出来．（1）70A D ∠=∠=︒，60B ∠=︒，50E ∠=︒；（2）40A ∠=︒，80B ∠=︒，80E ∠=︒，60F ∠=︒．【答案】（1）相似，ABC ∆∽DFE ∆；（2）相似，ABC ∆∽DEF ∆．【解析】（1）根据三角形内角和180︒，可得50C E ∠=︒=∠，又70A D ∠=∠=︒，根据相似三角形判定定理1，确立对应关系，即可判定ABC ∆∽DFE ∆；（2）根据三角形内角和180︒，可得60C F ∠=︒=∠，又80B E ∠=∠=︒，根据相似三角形判定定理1，确立对应关系，即可判定ABC ∆∽DEF ∆【总结】考查相似三角形判定定理1，部分角度一定的情况下，可根据三角形内角和180︒进行求解．【例2】如图，E 是平行四边形ABCD 的边BA 延长线上的一点，CE 交AD 于点F ．图中 有哪几对相似三角形？【答案】EAF ∆∽EBC ∆，EAF ∆∽CDF ∆，EBC ∆∽CDF ∆．【解析】由////AB CD AD BC ，，可得： ////AE CD AF BC ，，根据相似三角形预备定理， 可得：EAF ∆∽EBC ∆，EAF ∆∽CDF ∆，进而可得：EBC ∆∽CDF ∆，即这三个三角形两两相似．【总结】考查相似三角形预备定理，同时考查相似三角形的传递性．【例3】如图，1=2=3∠∠∠，那么图中相似的三角形有哪几对？例题解析ABCDEFC【答案】ADE ∆∽ABC ∆，ADE ∆∽ACD ∆，ABC ∆∽ACD ∆，BCD ∆∽CDE ∆．【解析】根据1=2=3∠∠∠，同时有A ∠公共角必相等， 根据相似三角形判定定理1，可得ADE ∆∽ABC ∆， ADE ∆∽ACD ∆，ABC ∆∽ACD ∆；同时由1=3∠∠， 可得：//DE BC ，进而EDC DCB ∠=∠，又23∠=∠，根据相似三角形判定定理1，可得：BCD ∆∽CDE ∆．【总结】考查相似三角形判定定理1，同时要注意根据题目条件推出一些其它角相等的条件，注意不要遗漏．【例4】如图，D 、E 分别是ABC ∆的边AB 、AC 上的点，且AED B ∠=∠．求证：AE AC AD AB =．【答案】略．【解析】证明：AED B A A ∠=∠∠=∠，， AED ∴∆∽ABC ∆，AD AEAC AB∴=，即AE AC AD AB =．【总结】考查相似三角形判定定理1和相似三角形的定义，各边对应成比例，先判定再应用即可得出结论．【例5】如图，Rt ABC ∆在中，90C ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，且:9:4AD BD =，求:AC BC 的值．ABCD E 12 3ABCDEABCDEABC DE 【答案】3:2．【解析】90ACB ∠=︒，即90ACD BCD ∠+∠=︒， 又CD AB ⊥，可得90ACD A ∠+∠=︒． A BCD ∴∠=∠．又90ADC BDC ∠=∠=︒，ACD ∴∆∽CBD ∆，AD DC ACDC BD BC ∴==．:9:4AD BD =，设()90AD k k =>，则4BD k =，代入可得：6DC k =．::9:63:2AC BC AD DC k k ∴===．【总结】考查基本模型的建立，直角三角形斜边上的高线分出的两个三角形与原三角形两两相似，称作“子母三角形”，是一种常用的数学模型．【例6】如图，ABC ∆中，90BAC ∠=︒，D 是BC 中点，AE AD ⊥交CB 延长线于点E ，则BAE ∆相似于．【答案】ACE ∆． 【解析】90BAC ∠=︒，即90BAD CAD ∠+∠=︒，又AE AD ⊥，即90BAD BAE ∠+∠=︒， CAD BAE ∴∠=∠．又D 为Rt ABC ∆斜边BC 中点，12AD BC CD ∴==．BAE C ∴∠=∠，由E E ∠=∠， BAE ∴∆∽ACE ∆．【总结】对于相等有公共角的两角，可推出相等，同时注意直角三角形斜边中线的应用把直角三角形分成了两个等腰三角形．【例7】如图，90ACB CED ∠=∠=︒，CD AB ⊥于点D ，3AC =，4BC =，求ED 的长．【答案】3625．【解析】3AC =，4BC =，=90ACB ∠︒，AB CD E225AB AC BC∴=+=．根据面积法，可知CD AB AC BC⋅=⋅，解得125CD=．又CD AB⊥，=90ACB∠︒，可得ADC∆∽ACB∆．AD ACAC AB∴=，代入可得：95AD=．90ACB CED∠=∠=︒，//DE BC∴，925DE ADBC AB∴==．代入得：3625ED=．【总结】考查对于“子母三角形”的认识，初步建立可将相似三角形中可将对应边之比转化为同一三角形中边长比的思想，实际上这个这个图形中包含5个直角三角形，全部都是两两相似．【例8】如图，AB BD⊥，ED BD⊥，点C在线段BD上运动，1ED=，4BD=，4AB=，若ABC∆与CDE∆相似，求BC的值．【答案】165或2．【解析】（1）ABC∆∽EDC∆时，则应有4BC ABCD DE==．由4BD=，可得：41655BC BD==；（2）ABC∆∽CDE∆时，则应有BC ABDE CD=．由4BD=，代入得：44BCBC=-，解得：2BC=．【总结】解决三角形相似问题时，一定要注意确立好对应关系，题目没有明确说明的前提下，则需要进行分类讨论．【例9】如图，ABC∆是等边三角形，120DAE∠=︒，求证AD AE AB DE=．【答案】略．【解析】证明：ABC∆是等边三角形，60BAC ACB∴∠=∠=︒．120DAE∠=︒，60DAB CAE∴∠+∠=︒．AB C DEABCD EFOE MDCBA 又60ACB E CAE ∠=∠+∠=︒，DAB E ∴∠=∠．D D ∠=∠，DAB ∴∆∽DEA ∆，AD ABDE AE ∴=， 即AD AE AB DE =． 【总结】考查相似三角形的性质和相关相似三角形判定定理1，先判定再应用．【例10】正方形ABCD 中，E 是AD 中点，BM CE ⊥于点M ，6AB =厘米，求BM 的长．1255cm ．【解析】四边形ABCD 是正方形，690//BC CD AD AB cm D AD BC ∴====∠=︒，，． DEC BCM ∴∠=∠， 又90BMC D ∠=∠=︒， BMC ∴∆∽CDE ∆，BM DCBC EC ∴=， ∵E 是AD 中点，∴132DE AD cm ==． 由勾股定理可得：2235CE DE CD cm =+=， 代入可得：BM =1255cm ． 【总结】考查正方形背景下的直角三角形相似，实际上由直角和平行很容易得到相等的角，根据相似三角形判定定理1可证相似．【例11】如图，在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AD BC ⊥于点D ，点O 是AC 边上一点，联 结BO 交AD 于点F ，OE OB ⊥交BC 边于点E ．求证：ABF ∆∽COE ∆．【答案】略． 【解析】证明：90BAC ∠=︒，∴90BAD CAD ∠+∠=︒，90ABO AOB ∠+∠=︒，又AD BC ⊥，OE OB ⊥，ABCP9090C CAD AOB EOC∴∠+∠=︒∠+∠=︒，．BAD C ABO EOC∴∠=∠∠=∠，．∴ABF∆∽COE∆．【总结】考查利用“子母三角形”基础模型证明角相等，根据同角的余角相等，证明角相等，再利用相似三角形判定定理1即可证明．【例12】如图，在ABC∆中，90ACB∠=︒，AC BC=，P是ABC∆内一点，且135APB APC∠=∠=︒．求证：CPA∆∽APB∆．【答案】略．【解析】证明：90ACB∠=︒，AC BC=，45CAB∴∠=︒．即45CAP PAB∠+∠=︒．135APB∠=︒，45CAP ACP∴∠+∠=︒．ACP PAB∴∠=∠．135APB APC∠=∠=︒，∴CPA∆∽APB∆．【总结】考查相似三角形的判定定理1，需要根据三角形内角和进行等角转化．【例13】如图，在梯形ABCD中，AB//CD，且2AB CD=，点E、F分别是AB、BC的中点，EF与BD相交于点M．（1）求证：EDM∆∽FBM∆；（2）若6DB=，求BM．【答案】（1）略；（2）2BM=．【解析】（1）证明：2AB CD=，E是AB的中点，BE CD∴=，又AB//CD，∴四边形EBCD是平行四边形．//BC DE∴，A BCDEFMABCDE FGABCDE F GH∴EDM ∆∽FBM ∆．（2）解：//BF DE ，F 为BC 中点，2DM DE BC MB BF BF ∴===，13BM BD ∴=．代入可得：2BM =．【总结】考查相似三角形的预备定理，同时与三角形一边平行线性质定理结合运用．【例14】如图，在ABC ∆中，AB AC =，DE //BC ，点F 在边AC 上，DF 与BE 相交于点 G ，且EDF ABE ∠=∠．（1）求证：DEF ∆∽BDE ∆；（2）DG DF DB EF =．【答案】略．【解析】证明：（1）DE //BC ，ADE ABC AED ACB ∴∠=∠∠=∠，．AB AC =，ABC ACB ∴∠=∠，ADE AED ∴∠=∠，BDE FED ∴∠=∠，EDF ABE ∠=∠，∴DEF ∆∽BDE ∆．（2）DEF ∆∽BDE ∆，EF DEDE BD∴=，DEB DFE ∠=∠，即2DB EF DE ⋅=．EDG EDF ∠=∠，DGE ∴∆∽DEF ∆，DG DEDE DF∴=，即2DG DF DE ⋅=． DG DF DB EF ∴⋅=⋅．【总结】考查相似三角形判定定理1，根据题目所求进行相应比例线段的转化．【例15】如图，已知ABC ∆、DEF ∆均为等边三角形，D 、E 分别在边AB 、BC 上，请找出一个与BDE ∆相似的三角形，并加以证明．【答案】BDE ∆∽CEH ∆． 【解析】ABC ∆、DEF ∆是等边三角形，60B C DEF ∴∠=∠=∠=︒．DEC DEF HEC BDE B ∠=∠+∠=∠+∠，HEC BDE ∴∠=∠， ∴BDE ∆∽CEH ∆．同理可证得：BDE ∆∽AGD ∆∽FGH ∆．【总结】考查“一线三等角”模型的建立，根据外角可证相似．ABCA 1B 1C 1ABCDO1、相似三角形判定定理2如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．可简述为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．如图，在ABC ∆与111A B C ∆中，1A A ∠=∠，1111AB ACA B AC =，那么ABC ∆∽111A B C ∆．【例19】如图，四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，2OA =，3OB =，6OC =， 4OD =．求证：OAD ∆与OBC ∆是相似三角形．【答案】略．【解析】证明：2OA =，3OB =，6OC =，4OD =，242363OA OD OB OC ∴===，， OA OCOB OD ∴=．AOD BOC ∠=∠，∴OAD ∆与OBC ∆是相似三角形．【总结】考查相似三角形判定定理2，对应边成比例且夹角相等．模块二：相似三角形判定定理2知识精讲例题解析ABCDABCDE【例20】如图，点D 是ABC ∆的边AB 上的一点，且2AC AD AB =．求证：ACD ∆∽ABC ∆．【答案】略．【解析】证明：2AC AD AB =，AD ACAC AB ∴=， A A ∠=∠，∴ACD ∆∽ABC ∆．【总结】考查相似三角形判定定理2，根据题目条件进行比例变形，对应边成比例夹角相等．【例21】如图，在ABC ∆与AED ∆中，AB ACAE AD=，BAD CAE ∠=∠．求证：ABC ∆∽AED ∆．【答案】略． 【解析】证明：BAD CAE ∠=∠，BAD CAD CAD CAE ∴∠+∠=∠+∠，即BAC DAE ∠=∠．AB ACAE AD=，∴ABC ∆∽AED ∆． 【总结】有公共角的两角，加上或减去公共部分，仍相等，根据判定定理2，可判定相似．【例22】下列说法一定正确的是（）（A ）有两边对应成比例且一角相等的两个三角形相似 （B ）对应角相等的两个三角形不一定相似（C ）有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似 （D ）一条直线截三角形两边所得的三角形与原三角形相似 【答案】C【解析】根据判定定理2可知A 错误，C 正确；根据判定定理1可知B 错误，根据相似三角形预备定理可知只有直线与底边平行时才相似．【总结】考查相似三角形的判定定理掌握情况和相关条件．【例23】在ABC ∆和DEF ∆中，由下列条件不能推出ABC ∆∽DEF ∆的是（）CABCDEAB CE FG（A ）AB ACDE DF=，B E ∠=∠ （B ）AB AC =，DE DF =，B E ∠=∠（C ）AB ACDE DF=，A D ∠=∠（D ）AB AC =，DE DF =，C F ∠=∠【答案】A【解析】C 选项根据相似三角形判定定理2可知，B 和D 选项中三角形都是等腰三角形，一底角相等，可推知顶角相等，即两腰夹角相等，根据相似三角形判定定理2可推知．【总结】考查相似三角形判定定理2的运用．【例24】如图，D 是ABC ∆内一点，E 是ABC ∆外一点，EBC DBA ∠=∠，ECB DAB ∠=∠，求证：BDE BAC ∠=∠．【答案】略． 【解析】证明：EBC DBA ∠=∠，ECB DAB ∠=∠，BAD ∴∆∽BCE ∆，ABC DBE ∠=∠． BA BD BC BE ∴=， 即BA BCBD BE=，BAC ∴∆∽BDE ∆，∴BDE BAC ∠=∠．【总结】考查相似三角形判定定理2，先判定相似再应用性质得出相关结论证明相似，进行性质和判定的相互转化．【例25】已知，在ABC ∆中，BE 、CF 是ABC ∆的两条高，BE 、CF 交于点G ．求证：（1）AC CE CF GC =；（2）AFE ACB ∠=∠．【答案】略． 【解析】证明：（1）90AFC BEC ∠=∠=︒，ACF GCE ∠=∠，GCE ∴∆∽ACF ∆，GC CEAC CF∴=，即AC CE CF GC =． （2）90AFC AEB ∠=∠=︒，A A ∠=∠，ABE ∴∆∽ACF ∆． AE AB AF AC ∴=，即AE AF AB AC=，又A A ∠=∠，AEF ∴∆∽ABC ∆，∴AFE ACB ∠=∠．【总结】考查“双高型”模型的建立，该图中共有8对相似三角形．【例26】如图，点O 是ABC ∆的垂心（垂心即三角形三条高所在直线的交点），联结AO 交 CB 的延长线于点D ，联结CO 交的AB 延长线于点E ，联结DE ．求证：ODE ∆∽OCA ∆．【答案】略．ABCB ’C ’MDA【解析】证明：O 是ABC ∆的垂心，90AEO CDO ∴∠=∠=︒． O O ∠=∠，AOE ∴∆∽COD ∆，AO OECO OD ∴=， 即AO COOE OD=． O O ∠=∠，∴ODE ∆∽OCA ∆．【总结】考查“双高型”模型的建立，在钝角三角形中仍成立，该图中共有8对相似三角形，注意进行相似三角形性质和判定的转换．【例27】如图，ABC ∆∽''AB C ∆，点'B 、'C 分别对应点B 、C ． 求证：'ABB ∆∽'ACC ∆．【答案】略．【解析】证明：ABC ∆∽''AB C ∆，''''AB ACBAC B AC AB AC ∴=∠=∠，，''''AB AB BAB CAC AC AC ∴=∠=∠，，∴'ABB ∆∽'ACC ∆．【总结】考查相似三角形性质和判定的转换，题目中出现一对相似三角形往往与之关联的三角形也是一对相似三角形．【例28】如图，在正方形ABCD 中，M 为AD 的中点，以M 为顶点作BMN MBC ∠=∠，MN交CD 于点N ，求证：2DNCN =．【答案】略．【解析】证明：延长MN 、BC 相交于点E ，过点E 作EF BM ⊥ 交BM 于点F ，四边形ABCD 是正方形，90//AD BC AB ABC AD BC ∴==∠=︒，，．设AB a =，则12AM DM a BM ===，，BMN MBC ∠=∠，BN MN ∴=，12BM FM BM ∴===． 又90A BFE ∠=∠=︒，AM B M BE ∠=∠， ABM ∴∆∽MEB ∆，BE BMBF AM ∴=54BE a ∴=，14CE BE BC a ∴=-=．又//AD BC ，2DN DMCN CE∴==．【总结】考查正方形和相似三角形的性质，由对应边比例关系转化到一个三角形中边的比例关系，推导结论．【例29】如图，在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AD 是边BC 上的高，点E 在线段DC 上，EF AB ⊥，EG AC ⊥，垂足分别为F 、G ．求证：（1）EG CGAD CD=；（2）FD DG ⊥． 【答案】略． 【解析】证明： （1）EG AC ⊥，AD 是边BC 上的高，90ADC EGC ∴∠=∠=︒． C C ∠=∠， EGC ∴∆∽ADC ∆，∴EG CG AD CD=． （2）90BAC ∠=︒，EF AB ⊥，EG AC ⊥，∴四边形是AFEG 矩形，AF EG ∴=． EG CGAD CD =， AF ADCG CD∴=． EG AC ⊥，AD 是边BC 上的高，即有9090DAC DAF DAC C ∠+∠=︒∠+∠=︒，，DAF C ∴∠=∠， FAD ∴∆∽GCD ∆，FDA GDC ∴∠=∠，FDA GDA GDC GDA ∴∠+∠=∠+∠，即FDG ADC ∠=∠，∴FD DG ⊥．【总结】考查相似三角形判定定理1与定理2和相似三角形性质综合题，需要根据题目需求进行变形，找准题目所求结论，然后根据性质和判定进行灵活转换．【习题1】如图，在ABC ∆中，如果EF //AB ，DE //BC ，那么你能找出哪几对相似三角形？随堂检测ABCDEFGABCDEFABCDABCDE【答案】ADE ∆∽ABC ∆，EFC ∆∽ABC ∆，EFC ∆∽ADE ∆． 【解析】DE //BC ，∴ADE ∆∽ABC ∆．EF //AB ，∴EFC ∆∽ABC ∆，∴EFC ∆∽ADE ∆．【总结】考查相似三角形预备定理，同时建立两两相似的概念．【习题2】如图，在ABC ∆中，D 为边AC 上一点，DBC A ∠=∠，6BC ，3AC =，则CD 的长为．【答案】2．【解析】DBC A ∠=∠，C C ∠=∠，ABC ∴∆∽BDC ∆．AC BCBC CD∴=，代入可得：2CD =【总结】考查相似三角形的判定定理1并进行相似三角形性质应用．【习题3】根据下列条件，判断和是否是相似三角形；如果是，那么用符号表示出来． （1）45A ∠=︒，12AB cm =，15AC cm =， 45D ∠=︒，16DE cm =，20DF cm =； （2）45A ∠=︒，12AB cm =，15AC cm =， 45E ∠=︒，20ED cm =，16EF cm =； （3）45A ∠=︒，12AB cm =，15AC cm =， 45D ∠=︒，16ED cm =，20EF cm =． 【难度】★【答案】（1）相似，ABC ∆∽DEF ∆；（2）相似，ABC ∆∽EFD ∆；（3）不相似 【解析】根据相似三角形判定定理2即可知对应边成比例，且夹角相等即相似，（1）（2）均 符合题意，但需确立好对应关系；（3）中相等两角非夹角，不相似． 【总结】考查相似三角形判定定理2的条件，尤其注意是对应成比例边的夹角．【习题4】如图，Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，BD 平分ABC ∠，DE AB ⊥，若6BC =，8AC =，则CD =．【答案】3． 【解析】BD 平分ABC ∠，DE AB ⊥，90C ∠=︒，BD BD =，BCD BED ∴∆≅∆，CD ED ∴=．同时又A A ∠=∠，ADE ∴∆∽ABC ∆，ABCDEABCDEFABCDOM SDE ADBC AB∴=，由勾股定理可得：2210AB AC BC =+=，代入即为：8610DE DE-=，解得：3DE =，∴CD =3． 【总结】考查相似三角形判定定理1和相似三角形的性质，注意根据对应边相似关系转化到一个三角形中边的对应比例关系．【习题5】如图，AB //CD ，图中共有对相似三角形．【答案】6．【解析】根据AB //CD ，由相似三角形预备定理，可知图中有6对相似三角形，分成“A ”字型和“X ”字型两个类别．【总结】考查相似三角形的一些常见模型，由相似三角形预备 定理可推知，如“A ”字型和“X ”字型．【习题6】如图，在矩形ABCD 中，点E 是边BC 的中点，且DE AC ⊥，那么:CD AD=．22．【解析】四边形ABCD 是矩形， //90AD BC AD BC ADC BCD ∴=∠=∠=︒，，． DE AC ⊥，EDC DAC ∴∠=∠．ADC ∴∆∽DCE ∆，AD CDCD CE∴=．设AD a =，则1122CE BC a ==，由此可得：22CD a =，∴2::222CD AD a ==． 【总结】考查“子母三角形”基本图形，同时考查比例中项比值的求法．【习题7】如图，ABC ∆是直角三角形，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，E 是AC 的中点， ED 的延长线与CB 的延长线交于点F ．求证：FB FDFD FC=． 【答案】略． 【解析】证明：90ACB ∠=︒，CD AB ⊥，即9090A ACD BCD ACD ∠+∠=︒∠+∠=︒，A BCD ∴∠=∠CD AB ⊥，E 是AC 中点，ABCDE12DE AC AE ∴== A ADE ∴∠=∠ BDF ADE ∠=∠BDF BCD ∴∠=∠ F F ∠=∠CDF ∴∆∽DBF ∆∴FB FD FD FC= 【总结】考查“子母三角形”基本模型的建立，同时与直角三角形斜边中线分直角三角形为两等腰三角形知识点相结合，推出角相等，根据相似三角形判定定理1可证相似．【习题8】如图，在ABC ∆中，点E 在中线BD 上，DAE ABD ∠=∠． 求证：（1）2AD DE DB =；（2）DEC ACB ∠=∠．【答案】略． 【解析】证明：（1）DAE ABD ∠=∠，ADE ADB ∠=∠，ADE ∴∆∽BDA ∆，AD DEDB AD∴=，即2AD DE DB =． （2）2AD DE DB =，AD CD =，2CD DE BD ∴=⋅，即DE CD CD BD=．A BCD EDC BDC ∠=∠，CDE ∴∆∽BDC ∆，∴DEC ACB ∠=∠．【总结】考查相似三角形的判定定理2和相似三角形的性质，证明过程中注意公共线段的充分利用，往往可以作为中间量．【作业1】如图，已知AD BC ⊥，CE AB ⊥，且交AD 于点P ，试写出图中所有的相似三角形．【答案】BAD ∆∽BCE ∆∽PCD ∆∽PAE ∆．【解析】根据垂直和共用一个角，由相似三角形判定定理1 可知这4个直角三角形两两相似，共形成6对相似三角形．【总结】考查相似三角形中的基本模型，“双高形”，也可称作“飞镖形”，分出的4个三角形两两相似．【作业2】如图，在ABC ∆中，3AB =，3AC =，D 是边AC 上一点，且:1:2AD DC =， 联结BD ．求证：ABD ∆∽ACB ∆．【答案】略． 【解析】证明：:1:2AD DC =，3AC =，1AD ∴=．3AB =，33AD AB AB AC ∴==． A A ∠=∠，∴ABD ∆∽ACB ∆．【总结】考查相似三角形的判定定理2，根据题目条件变形应用．课后作业ABCDEPABCDEF【作业3】如图，ABC∆中，P为AB上一点，在下列四个条件下，①ACP B∠=∠；②APC ACB∠=∠；③2AC AP AB=；④AB CP AP CB=，组合起来能得出：ABC∆∽ACP∆的是（）（A）①、②、④（B）①、③、④（C）②、③、④（D）①、②、③【答案】D【解析】由相似三角形判定定理1，加上公共角A∠，可知①②可判断相似；由相似三角形判定定理2，③变形即为AP ACAC AB=，加上公共夹角A∠，可知③正确，④不正确．【总结】考查相似三角形的判定定理的掌握，考查判定定理2的条件．【作业4】如图，在ABC∆中，15AB=厘米，12AC=厘米，AD是BAC∠的外角平分线，DE//AB交AC的延长线于点E，求CE的长．【答案】48CE cm=．【解析】AD是BAC∠的外角平分线，FAD EAD∴∠=∠．DE//AB，FAD ADE∴∠=∠，EAD ADE∴∠=∠，AE DE∴=．又由DE//AB，可得AB ACDE CE=，即151212CE CE=+，解得48CE cm=．【总结】考查平行线与角平分线一起出现等腰三角形的基本模型，同时根据平行即可判定对应线段成比例即可．AB CPA B CD E A B C DE【作业5】如图，在Rt ABC ∆中，AB AC =，45DAE ∠=︒．求证：（1）ABE ∆∽DCA ∆； （2）22BC BE CD =． 【答案】略【解析】证明：（1）90AB AC BAC =∠=︒，，45B C ∴∠=∠=︒．45DAE ∠=︒，AED AEB ∠=∠，ABE ∴∆∽DAE ∆，同理可证DAE ∆∽DCA ∆， ∴ABE ∆∽DCA ∆． （2）ABE ∆∽DCA ∆，AB BE CD AC ∴=，即CD BE AB AC ⋅=⋅．90AB AC BAC =∠=︒，， 22222BC AB AC AB AC CD BE ∴=+=⋅=⋅．【总结】考查相似三角形的判定和相关性质，注意相似的传递性，先判定相似再应用相似性质证明相关题目．【作业6】如图，ABC ∆中，AB AC =，点D 是AB 上的动点，作EDC ∆∽ABC ∆． 求证：（1）ACE ∆∽BCD ∆；（2）AE //BC ．【答案】略．【解析】证明：（1）EDC ∆∽ABC ∆，EC DC AC BC∴=，DCE ACB ∠=∠，即EC AC DC BC =，ACE ACD ACD BCD ∠+∠=∠+∠， ∴ACE BCD ∠=∠，∴ACE ∆∽BCD ∆． （2）AB AC =，B ACB ∴∠=∠．ACE ∆∽BCD ∆，CAE B ∴∠=∠． CAE ACB ∴∠=∠，∴AE //BC ．【总结】由一对三角形的相似，根据相似三角形的性质，往往能推出其它的三角形的相似，注意多观察题目需要证明的结论，运用性质往结论方向综合证明．。