广东省广州市2021届高三数学考前冲刺训练试题(一)文(含解析)
广东省广州市2021届新高考数学模拟试题(1)含解析
广东省广州市2021届新高考数学模拟试题（1）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 •某市气象部门根据2018年各月的每天最高气温平均数据，绘制如下折线图，那么，下列叙述错误的是（）1月2月m月d月阴召月"月涓g月皿月11月12月月份一十一答月最低气温平均值—各月最高气温平均值A •各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关B.全年中,2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大C .全年中各月最低气温平均值不高于10 °C的月份有5个D •从2018年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值呈下降趋势【答案】D【解析】【分析】根据折线图依次判断每个选项得到答案•【详解】由绘制出的折线图知：在A中，各月最高气温平均值与最低气温平均值为正相关，故A正确；在B中，全年中，2月的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大，故B正确；在C中，全年中各月最低气温平均值不高于10C的月份有1月，2月，3月，11月，12月，共5个，故C正确；在D中，从2018年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，故D错误.故选：D.【点睛】本题考查了折线图，意在考查学生的理解能力x , x 02.已知函数f X [ （X表示不超过x的最大整数），若f X ax 0有且仅有3个零点，,x< 0x则实数a的取值范围是（1 2 1 2 2 3 2 3A. ,- B . , _C. ,- D. ,-2 3 2 3 3 4 3 4【答案】A【解析】【分析】根据［x］的定义先作出函数f (x)的图象，利用函数与方程的关系转化为 f (x)与g (x) =ax有三个不同的交点，利用数形结合进行求解即可.【详解】当0 XV1 时，x 0,当1 xv2 时，x 1,当2 xv3 时, x 2 ,当3 xv 4 时, x 3,若f x ax 0有且仅有3个零点，则等价为f x =ax有且仅有3个根,即f x与g x ax有三个不同的交点，作出函数f x和g x的图象如图，当a=1时，g x x与f x有无数多个交点，1当直线g x经过点A(21)时，即g 2 2a 1，a 一时，f x与g x有两个交点，22当直线g x经过点B 3,2时，即g 3 3a 2，a 时，f x与g x有三个交点,31 2要使f x与g x ax有三个不同的交点，则直线g x处在过y x和y x之间,2 31 2即_v a _,2 3故选：A.Vi【点睛】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的范围先将参数分离，转化成求函数的值域(最值)问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合3.在满足0 x y 4，X i" 的实数对x ,y i (i 1,2, ,n,)中，使得洛立的正整数n的最大值为( )A. 5 B . 6【答案】A【解析】【分析】由题可知:0 X i yi ,4 y i X，且X i y i函数求出h t 的单调性，结合图像得出从而得出n的最大值.【详解】因为0X i y h 4 y iX iX y i则In X j yiInyXi「i,即'y iInX i X i In y i In x整理得1X i Inyy ii令t X i y i ,设h t Intt0 t 4 ,则h t Itt 1 Int 1 In t,t2t2C. 7D. 9In x i In' Y i ,,丄一，Int可得- ，构造函数h t 0 t 4求导，通过导x i y i tt min 2，即2x i e 得出3x n3e ,令h t 0,则0 t e ，令 h t，则 e t4,故h t 在0,e 上单调递增，在e,4 上单调递减, 则 h 1 ee因为人 y , h X i h y i ,由题可知::h t1In 4时，tmin2，所以2t e ,4所以2 X i e y i4,当X n 无限接近e时, 满足条件，所以 2X n e ,所以要使彳得 X-i x 2 LX n 13xn3e 8.154故当X 1 X 2X 3 X 2 时，可『有x1X 2 X 3 X 4 88.154,故n 1 4，即n5,所以：n 最大值为 5.故选：A.【点睛】本题主要考查利用导数求函数单调性、极值和最值，以及运用构造函数法和放缩法，同时考查转化思想和 解题能力•4.设复数z 满足z (1 i) 2i 1( i 为虚数单位)，则复数z 的共轭复数在复平面内对应的点位于 ( )【分析】2i 1 一先把z (1 i) 2i 1变形为Z，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z ，得到其坐标可1 i得答案• 【详解】(2i 1)(1 i) 3 i (1 i)(1 i) 23131所以z1i，其在复平面内对应的点为孑1，在第四象限 故选：D 【点睛】A .第一象限 【答案】D 【解析】B .第二象限C .第三象限D .第四象限解：由 z (1 i) 2i 1，得 z2i 1 1 i此题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题【答案】D 【解析】 【分析】先分n 为奇数和偶数两种情况计算出 2n 1 sin的值，可进一步得到数列2【详解】5 •已知数列 a n 的通项公式是a n2 .n sin2n 1，贝U a , a 2 a 32印2()B •55C • 66D . 7831a2a33,2转化计算，再根据等差数列求和公式计算出结果解：由题意得，当n 为奇数时, 2n 1 sin -2sin n —2 si nsin'1，2当n 为偶数时， sin 2n 1 sin n — sin —12 22所以当n 为奇数时， 2 a nn ；当n 为偶数时, a n2n,所以印 a 2 a 3a1212 2232 42112 122(2212) (4232) (122 112)(2 1)(2 1) (4 3)(4 3) (1211)(12 11)1 2 3 4 11 12 12（1+12） 278 故选：D 【点睛】 此题考查数列与三角函数的综合问题, 以及数列求和，考查了正弦函数的性质应用, 等差数列的求和公式,属于中档题 2x a6.若a 1,6，则函数y在区间2,x内单调递增的概率是（【答案】Ba n 的通项公式，然后代入2 2【解析】Q函数y x a在区间2, 内单调递增，y' 1 a2 x a 0，在2, 恒成立，2x x xa x2在2, 恒成立， a 4, Q a 1,6 , a 1,4,,函数y2x ax在区间2, 内单调4 1 递增的概率是4 13，故选B.6 1 51 则一1的最小值为7.已知直线2mx n y 2 m 0,n 0 2过圆x 1 y22 5的圆心, ( )m nA. 1 B . 2C. 3D. 4【答案】D【解析】【分析】圆心坐标为（1,2），代入直线方程，再由乘1法和基本不等式，展开计算即可得到所求最小值.【详解】圆（x 1）2（y 2）2 5 的圆心为（1,2），由题意可得2m 2n 2，即m n 1，m，n 0 ,11 11 n m n m 1则（）（m n） 2 …4，当且仅当且m n 1即m n —时取等号, mnmn mn mn 2故选：D .【点睛】本题考查最值的求法，注意运用乘1法和基本不等式，注意满足的条件：一正二定三等，同时考查直线与圆的关系，考查运算能力，属于基础题.&设m, n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A. 若,m,n ，则m nB. 若// ,m，n ，则m//nC. 若m n, m,n，则D. 若m ,m//n, n〃，则【答案】D【解析】试题分析：Q m , ■nP , ，故选D.考点：点线面的位置关系• 9.如图所示，正方体ABCD ABQ1D1的棱AB , A1D1的中点分别为E , F ,则直线EF与平面AADQ【点睛】本题考查了线面角的正弦值的求法，也考查数形结合思想和向量法的应用，属于中档题.C .上6D .【答案】C 【解析】 【分析】以D 为原点，DA ,DC,DD i 分别为X,y,Z 轴，建立空间直角坐标系，由向量法求出直线 所成角的正弦值. EF 与平面AA 1D 1D【详解】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD i 为z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体 的棱长为 2,则 E 2,1,0 , F 1,0,2 , EF 1, 1,2 , ABCD - A 1B 1C 1D 1取平面AAPD 的法向量为n 0,1,0 ,uuuv r 设直线EF 与平面AA 1D 1D 所成角为0,则sin 乐|COSEF,n uuv rEF n- r.EFn|直线EF 与平面AA 1D 1D 所成角的正弦值为故选C .所成角的正弦值为（ )10•如图所示，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图，其中左视图中三角形为故选：C 【点睛】本题考查三视图还原几何体的直观图、球的体积公式，考查空间想象能力、运算求解能力，求解时注意球 心的确定.11. 一带一路”是 丝绸之路经济带”和“2世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经 济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体.自2015年以来， 一带一路”建设成果显著.如图是2015 — 2019年，我国对 一带一路”沿线国家进出口情况统计图，下列描述错误 的是（ ）32 B •3:64 一 2 '• 3【答案】C【解析】 【分析】20、5 3作出三视图所表示几何体的直观图，可得直观图为直三棱柱，并且底面为等腰直角三角形， 即可求得外接 球的半径，即可得外接球的体积.2的等腰直角三角形，三棱柱的高为 4，其外接球半径为r2,2，所以体积为V 4 2/64 2 3A • 16 上下底面为腰长为A .这五年，出口总额之和.比进口总额之和.大B .这五年，2015年出口额最少C .这五年，2019年进口增速最快D .这五年，出口增速前四年逐年下降 【答案】D 【解析】【分析】 根据统计图中数据的含义进行判断即可 【详解】则A 正确;故选：D 【点睛】本题主要考查了根据条形统计图和折线统计图解决实际问题，属于基础题r r r r r r Q|a| |b| 0,•••等价于 a b 0 a b ，故选：C. 【点睛】本题考查向量的数量积运算和命题的充分、必要条件，属于基础题 二、填空题：本题共 4小题，每小题5分，共20分。
2024年广州市高三数学考前冲刺训练试卷(一)附答案解析
2024年广州市高三数学考前冲刺训练试卷（一）本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合03xA xx ⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，集合(){}3log 11B x x =-<，则A B ⋃=（）A ．{}03x x <<B ．{}13x x <<C ．{}04x x <<D ．{}14x x <<2．若幂函数()()2231m f m x m x -=--在()0,∞+上单调递增，则实数m 的值为（）A ．2B ．1C ．1-D ．2-3．下列说法正确的是（）A ．数据1-，1，2，4，5，6，8，9的下四分位数是7B ．已知随机变量1,2X B n ⎛⎫⎪⎝⎭，若()219E X +=，则4n =C ．若随机变量X 满足()2D X =，则()31D X -=D ．若随机事件A ，B 满足()()()P AB P A P B =，则()()()P AB P A P B=4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若9108S S S <<，则使0k S <成立的最大正整数k 的值为（）A ．17B ．18C ．19D ．205．已知球O 内切于圆台（即球与该圆台的上、下底面以及侧面均相切），且圆台的上、下底面半径分别为1r ，2r ，且2144r r ==，则圆台的体积与球的体积之比为（）A ．74B ．218C ．52D ．6386．一个盒子里装有3个黑球，2个白球，它们除颜色外完全相同.现每次从袋中不放回地随机取出一个球，记事件k A 表示“第k 次取出的球是黑球”，1,2,3k =，则下列结论不正确的是（）A ．()12310P A A =B ．()12910P A A +=C ．()2113P A A =∣D ．()335P A =7．已知,αβ为锐角，()31tan ,sin sin 42αβαβ-==，则sin 2αβ+=（）A ．45B ．35CD8．已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，且()()0f x f x +-=.对于任意的实数x ，均有()()ln2f x f x '<成立，若()316f -=-，则不等式()12x f x +>的解集为（）A ．(),3-∞-B ．(),3-∞C ．()3,-+∞D ．()3,+∞二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知复数1z ，2z ，下列结论正确的有（）A ．1212z z z z -≤+B ．若120z z ->，则12z z >C ．若1212z z z z -=+，则120z z ⋅=D ．若11i z =+，21i z =-，则12z z 为纯虚数10．已知(),,a b c a b c <<∈R ，且230a b c ++=，则下列结论成立的是（）A ．0a c +<B ．2c aa c +<-C ．存在a ，c 使得22250a c -=D ．212b c a c +<-+11．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，若点P 为四边形11BB D D 内（包括边界）的动点，N 为平面ABCD 内的动点，则下列说法正确的是（）A ．若12BP PD = ，则平面PAC截正方体所得截面的面积为2B ．若直线1D N 与AB 所成的角为π4，则点N 的轨迹为双曲线C．若PA PC +=P 的轨迹长度为πD ．若正方体1AC 以直线1BD 为轴，旋转()0n n ︒>后与其自身重合，则n 的最小值是120三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．若向量a 在向量b 上的投影为13b ，且|3|||a b a b -=+ ，则cos ,a b 〈〉=.13．如图，画一个正三角形123A A A ，不画第三边；接着画正方形2345A A A A ，对这个正方形，不画第四边；接着画正五边形45678A A A A A ，对这个正五边形，不画第五边；接着画正六边形，……，这样无限画下去，形成一条无穷伸展的等边折线.设线段1n n A A +与线段12n n A A ++所夹的角为()(),0,πn n n θθ*∈∈N ，则10θ=，满足174n θ>︒的最小n 值为.14．在ABC 中，D 是BC 边上一点，3BD CD =，若22BAD DAC ABD ∠∠∠==，且ACD 则AD =.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知函数()22sin cos f x x x x =-(1)若π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()m f x <恒成立，求实数m 的取值范围；(2)将函数()f x 的图象的横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变，再将其向右平移π6个单位，得到函数()g x 的图象.若[]0,x t ∈，函数()g x 有且仅有4个零点，求实数t 的取值范围.16．已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是正方形，给出下列三个条件：①PC PD =；②AC PD ⊥；③BD ⊥平面PAC .(1)从①②③中选取两个作为条件，证明另一个成立；(2)在（1）的条件下，若1PA =，当四棱锥P ABCD -体积最大时，求二面角P CD B --的余弦值.17．已知()1,0A -，()10B ,，平面上有动点P ，且直线AP 的斜率与直线BP 的斜率之积为1.(1)求动点P 的轨迹Ω的方程.(2)过点A 的直线与Ω交于点M （M 在第一象限），过点B 的直线与Ω交于点N （N 在第三象限），记直线AM ，BN 的斜率分别为1k ，2k ，且124k k =.试判断AMN 与BMN 的面积之比是否为定值，若为定值，请求出该定值；若不为定值，请说明理由.18．甲、乙、丙三人进行传球游戏，每次投掷一枚质地均匀的正方体骰子决定传球的方式：当球在甲手中时，若骰子点数大于3，则甲将球传给乙，若点数不大于3，则甲将球保留继续投掷骰子；当球在乙手中时，若骰子点数大于4，则乙将球传给甲，若点数不大于4，则乙将球传给丙；当球在丙手中时，若骰子点数大于3，则丙将球传给甲，若骰子点数不大于3，则丙将球传给乙.初始时，球在甲手中.(1)求三次投掷骰子后球在甲手中的概率；(2)投掷()*n n ∈N 次骰子后，记球在乙手中的概率为n p ，求数列{}n p 的通项公式；(3)设()112n nn n a p p +=-⋅，求证：1243n a a a ++⋅⋅⋅+≤-.19．若集合{}1,2,,n S n =⋅⋅⋅的非空子集X 满足：对任意给定的,a b X ∈，若2a b +∈Z ，有2a bX +∈，则称子集X 是n S 的“好子集”.记()f n 为n S 的好子集的个数.例如：{}1,2,3的7个非空子集中只有{}1,3不是好子集，即()36f =.记X 表示集合X 的元素个数.(1)求()4f 的值；(2)若X 是n S 的好子集，且3X ≥.证明：X 中元素可以排成一个等差数列；(3)求()()()2024220232022f f f -+的值.1．C【分析】由分式不等式的求解方法求集合A ，再由对数函数的性质解不等式求得集合B ，结合并集的概念即可得答案.【详解】因为(){}{}3003A x x x x x =-<=<<，(){}{}{}3log 1101314B x x x x x x =-<=<-<=<<，因此，{}04A B x x ⋃=<<.故选：C.2．A【分析】根据条件，利用幂函数的定义和性质，即可求出结果.【详解】因为幂函数()()2231m f x m m x -=--在()0,∞+上是增函数，所以211230m m m ⎧--=⎨->⎩，解得2m =.故选：A.3．D【分析】对于A ，使用百分位数的定义即可；对于B ，使用期望的性质即可；对于C ，利用方差的性质即可；对于D ，利用独立事件的性质和概率乘法公式即可.【详解】对于A ，8个数据从小到大排列，所以下四分位数即第25百分位数，80.252⨯=，所以应该是第二个与第三个的平均数12322+=，故A 不正确；对于B ，因为1,2X B n ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，则()()121212192E X E X n +=+=⨯+=，则8n =，故B 不正确；对于C ，随机变量X 满足()2D X =，则()()()2312D X D X -=-=，故C 不正确；对于D ，若()()()P AB P A P B =，则A ，B 独立，从而A ，B 独立，所以()()()P AB P A P B =，故D 正确.故选：D.4．B【分析】由题意可得100a >，9100a a +<，然后根据等差数列的性质证明180S <及()019n S n >≥即可.【详解】由9108S S S <<知100a >，9100a a +<，故当19n ≥时均有()()()()()()10109109101010219102190n a a n a a n a n a a n a =+--=---+≥->.故()181********...90S a a a a a a =++++=+<，且当19n ≥时有1912181910...190n S S a a a a a ≥=++++=>.故选：B.5．B【分析】画出圆台的轴截面图，由几何知识可确定球的半径，即可得答案.【详解】如图：为该几何体的轴截面，其中圆O 是等腰梯形ABCD 的内切圆，设圆O 与梯形的腰相切于点E ，与上、下底的分别切于点1O ，2O ，设球的半径为r ，圆台上下底面的半径为11r =，24r =.注意到OD 与OA 均为角平分线，因此90DOA ∠=︒，从而21AO O OO D ∽△△，故2124r r r ==.设圆台的体积为1V ，球的体积为2V ，则()22222121211223212πππ11642134288π3r r r r r V r r r V r r ⨯⨯++++++====.故选：B.6．C【分析】使用古典概率方法即可确定()()()12335P A P A P A ===，()12310P A A =，然后可以验证选项A 和D ，最后使用加法公式验证选项B ，使用条件概率公式验证选项C 即可.【详解】依次一个一个地往外取球（不放回）的试验，基本事件总数是55A ，它们等可能，对于A ，12A A 表示第1次、第2次取出的球都是黑球，()23331255A A 3A 10P A A ==，A 正确；对于В，()()14341255C A 3A 5P A P A ===，()()()()121212910P A A P A P A P A A +=+-=，В正确；对于C ，有()()()122113110325P A A P A A P A ===∣，C 错误；对于D ，有()1434355C A 3A 5P A ==，D 正确.故选：C【点睛】关键点点睛：本题的关键在于使用排列组合知识确定基础事件的概率.7．D【分析】借助三角恒等变换、同角三角函数的基本关系计算即可得.【详解】因为,αβ为锐角，所以ππ,22αβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，()π0,π,0,22a αββ+⎛⎫+∈∈ ⎪⎝⎭，又()()()sin 3tan 4cos αβαβαβ--==-，所以()4cos cos cos sin sin 5αβαβαβ-==+，而1sin sin 2αβ=，所以3cos cos 10αβ=，所以()2311cos cos cos sin sin 12sin 10252αβαβαβαβ+⎛⎫+=-=-=-=-⎪⎝⎭，因此sin25αβ+==.故选：D ．8．D【分析】构造函数()()2x f x g x =，然后由已知可得()()2xf xg x =的单调性，最后将不等式转化为()()3g x g >，即可得到答案.【详解】()()()()ln20ln2f x f x f x f x ''<⇔->，令()()2x f x g x =，则()()()()()()222ln2ln2022x x xxf x f x f x f xg x '''⋅--==>，则()g x 在(),-∞+∞上单调递增.由()316f -=-，()f x 为奇函数，得()316f =，则()()3328f g ==，从而原不等式()12x f x +>可化为()22x f x >，即()()3322xf x f >，此即为()()3g x g >.由于()g x 在(),-∞+∞上单调递增，故这等价于3x >，所以不等式的解集为()3,+∞.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于构造新的函数并利用已知条件.9．AD【分析】由复数的向量表示结合向量知识即可验证A ，通过一些举例可以排除B 、C 选项，由复数的除法运算集合复数的概念即可验证D.【详解】对于A ，设1z ，2z 对应的向量分别为1OZ ，2OZ，则由向量三角不等式得1212OZ OZ OZ OZ -≤+ ，所以1212z z z z -≤+恒成立，故A 正确；对于B ，取11i z =-+，22z i =-+，但1z =2z =B 错误；对于C ，当11i z =+，21i z =-时，12122z z z z -==+，而122z z ⋅=，故C 错误；对于D ，()()()2121i 1i 2i i 1i 1i 1i 2z z ++====--+，故D 正确；故选：AD.10．ABD【分析】对于A ，据已知条件即可证明；对于B ，使用基本不等式即可证明；对于C ，据已知条件即可否定；对于D ，将条件变形为()2a c b c +=-+，再利用0ca c<+即可证明结论.【详解】对于A ，由a b c <<及230a b c ++=，得33230a c a b c +<++=，所以0a c +<，A 正确.对于B ，由a b c <<及230a b c ++=，得6230a a b c <++=，所以0a <.同理可得0c >.又0a c +<，所以1ca ≠-，所以2c a c a a c a c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=--+-<- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，B 正确.对于C ，由a b c <<及230a b c ++=，得230a c c ++>，所以50a c +>，得05ac >->，所以2225a c >，得22250a c -<，C 错误.对于D ，由230a b c ++=，得()2a c b c +=-+，所以212b c b c c b c c ca c a c a c a c a c++++==+=-++++++.因为0a c +<，0c >，所以0ca c <+，所以212b c a c +<-+，D 正确.故选：ABD.11．ABD【分析】由截面知识结合三角形面积公式即可验证A ，由异面直线夹角结合双曲线的定义可验证B ，由椭球的概念和性质可知该椭球被平面11BB D D 截得的在四边形11BB D D 内的部分为半圆，且半径为12，则可验证C ，将正方体绕1BD 旋转()0n n ︒>后与其自身重合，转化为1AB C V 旋转后能和自身重合，则D 可验证.【详解】对于A ，若12BP PD =，显然平面PAC 截正方体所得截面为1ACB ，所以，截面面积为2，所以A正确；对于B，因为11AB C D∥，若1D N与AB所成的角为π4，则N点在以11D C为旋转轴的圆锥（无底）的表面上，而11D C∥平面ABCD，所以则N点的轨迹为双曲线，所以B正确；对于C，若PA PC+=P在以A、C为焦点的椭球上且2a=，2c=，所以12b=，又因为点P为四边形11BB D D内，该椭球被平面11BB D D截得的在四边形11BB D D内的部分为半圆，且半径为12，所以点P的轨迹长度为11π2π222⋅⋅=，所以C错误，对于D，1BD⊥平面1AB C，且1AB CV为正三角形，若正方体绕1BD旋转()0n n︒>后与其自身重合，只需要1AB CV旋转后能和自身重合即可，所以D正确.故选：ABD.12．3【分析】根据投影公式求出b|3|||a b a b-=+得a=，代入向量夹角公式，即可得出答案．【详解】 a在b上的投影为13b，∴13||||a b b bb b⋅⋅=，则213||a bb⋅=，即b=又|3|||a b a b-=+，平方得288a a b=⋅，则a=即cos,a ba ba b⋅===13．120︒1712【分析】通过观察规律可得10120θ=︒，进一步正k 多边形有2k -个()1802k k︒-，列出不等式()1802174k k->︒︒，可求得k 的最小值为61，从而结合等差数列求和公式即可得解.【详解】由题意得，160θ=︒，由此类推，290θ=︒，390θ=︒，4108θ=︒，5108θ=︒，6108θ=︒，7120θ=︒，8120θ=︒，9120θ=︒，10120θ=︒，…，观察规律，三角形会有1个相等的角，并且角的度数恰好是其内角的度数，正方形有2个90︒，正五边形有3个108︒，正六边形有4个120︒，…，所以正k 多边形有2k -个()1802k k︒-.令()1802174k k->︒︒，解得60k>，所以k 的最小值为61，即满足条件174n θ>︒的角至少要在正61边形中，所以1234581711n >++++⋅⋅⋅+=，即n 的最小值为1712.故答案为：120︒，1712.14【分析】作BAD ∠的角平分线AM ,即可利用等面积法得AM MDAC DC=，结合等腰关系即可求解2a b =，进而判断AMC 为等边三角形，即可利用面积求解b ，即可求解.【详解】作BAD ∠的角平分线AM ,由22BAD DAC ABD ∠∠∠==得BAM DAM DAC ABD ∠∠∠∠α====,故AD 是MAC ∠的角平分线，根据等面积法可得1212AM AD MADMD AM MD DC AC DC AC AD CAD ⋅⋅∠=⇒=⋅⋅∠,由于2,2AMC ABC BAM MAC MAD DAC αα∠=∠+∠=∠=∠+∠=,所以AC MC b ==，又3BD CD =，所以1144CD BC a ==，14MD MC DC b a =-=-，AM MB a b==-所以1414b aa b b a --=，所以2a b =，因此AM MC AC b ===，故AMC 为等边三角形，所以30α= ，2211333sin 602,324822ADC AMC S S b b b AD b ====⇒=== ，故答案为：3【点睛】关键点点睛：根据22BAD DAC ABD ∠∠∠==作角平分线，得等腰关系，利用角平分线定理得比例关系，是解决本题的关键之处.15．(1)(),1-∞(2)5π13π,612⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】（1）利用三角恒等变形，转化为正弦型函数，然后利用相位整体思想，结合正弦曲线，求出最值，即可得到答案；（2）根据伸缩和平移变换，得到新的函数解析式，再同样把相位看成一个整体，利用正弦曲线，数形结合，就可以判定端点值的取值范围，从而得到解答.【详解】（1）因为()2π2sin cos 3sin 3sin23cos22sin 23f x x x x x x x ⎛⎫=-++=+⎪⎝⎭，当π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，可得ππ5π2,336x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，当π5π236x +=，即π4x =时，()f x 取得最小值5π2sin16=，因为π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()m f x <恒成立，所以1m <，即实数m 的取值范围为(),1∞-.（2）由()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象的横坐标缩小为原来的12，可得：π2sin 43y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再将其向右平移π6，可得：πππ2sin 42sin 4633y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即函数()π2sin 43g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为[]0,x t ∈，所以πππ4,4333x t ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，在给定区间的正弦函数的零点是0,π,2π,3πx =，再由函数()g x 有且仅有4个零点，则满足π3π44π3t ≤-<，解得5π13π612t ≤<，所以实数t 的取值范围5π13π,612⎡⎫⎪⎢⎣⎭.16．(1)答案见解析(2)2【分析】（1）①②⇒③：可以通过分别证明AC OP ⊥，OD OP ⊥，结合线面垂直的判定定理得PO ⊥平面ABCD ，进一步PO BD ⊥，结合AC BD ⊥即可得证；②③⇒①：首先证明OP ⊥平面ABCD ，结合底面ABCD 是正方形，O 是正方形的中心即可得证；①③⇒②：首先通过证明OP ⊥平面ABCD ，得到四棱锥ABCD 是正四棱锥，进一步通过证明AC ⊥平面PBD 即可得证；（2）首先通过基本不等式证明当四棱锥P ABCD -体积取最大值时，四棱锥的底边边长为233a AB ==.法一：由定义找出二面角，结合解三角形知识即可得解；法二：建立适当的空间直角坐标系，求出两平面的法向量，由向量夹角的余弦公式即可得解.【详解】（1）①②⇒③，连接AC ，BD 相交于O ，连接OP ，由于底面ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥，又AC PD ⊥，PD BD D ⋂=，PD ，BD ⊂平面PBD ，故AC ⊥平面PBD ，OP ⊂平面PBD ，故AC OP ⊥，由于OP OP =，OD OC =，PD PC =，故≌V V POD POC ，因此OD OP ⊥，OC OD O = ，OC ，OD ⊂平面ABCD ，故PO ⊥平面ABCD ，（可得四棱锥ABCD 是正四棱锥）BD ⊂平面ABCD ，故PO BD ⊥，又AC BD ⊥，AC PO O = ，AC ，PO ⊂平面PAC ，故BD ⊥平面PAC .②③⇒①连接AC ，BD 相交于O ，连接OP ，由于底面ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥，又AC PD ⊥，PD BD D ⋂=，PD ，BD ⊂平面PBD ，故AC ⊥平面PBD ，OP ⊂平面PBD ，故AC OP ⊥，又BD ⊥平面PAC ，OP ⊂平面PAC ，故BD OP ⊥，AC BD O = ，AC ，BD ⊂平面ABCD ，故OP ⊥平面ABCD ，结合底面ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，所以四棱锥ABCD 是正四棱锥，故PC PD =，①③⇒②连接AC ，BD 相交于O ，连接OP ，BD ⊥平面PAC ，OP ⊂平面PAC ，故BD OP ⊥，由于OP OP =，OD OB =，故POD POB ≌△△，又OP OP =，OD OC =，PD PC =，故≌V V POD POC ，故π2POD POC POB ∠=∠=∠=，因此PO OB ⊥，PO OC ⊥，OC OB O = ，OC ，OB ⊂平面ABCD ，故OP ⊥平面ABCD ，故四棱锥ABCD 是正四棱锥，由于AC BD ⊥，又AC OP ⊥，OP BD D = ，OP ，BD ⊂平面PBD ，故AC ⊥平面PBD ，PD ⊂平面PBD ，故AC PD ⊥，（2）无论选择哪两个条件，都可以推出四棱锥ABCD 是正四棱锥，设四棱锥的底边边长为a，则四2AO =，所以PO =故1133P ABCD ABCD V S PO a -=⋅===由于3222222111111114421442327a a a a a a ⎡⎤⎛⎫++- ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎢⎥⋅-≤= ⎪⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦，当且仅当2211142a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即243a =时取等号，故当四棱锥的底边边长为3a AB ==时，四棱锥P ABCD -体积的最大值为27.（法一）因为PO ⊥底面ABCD ，由点O 向CD 作垂线，垂足为E ，连接PE ，又因为CD ⊂底面ABCD ，PO CD ∴⊥，所以PEO ∠为二面角P CD A --的平面角，OE =PO =tan 1PO PEO OE ∠∴==，cos PEO ∠∴=即二面角P CD A --的余弦值为22.（法二）以O 点为坐标原点建立如图空间直角坐标系，则P ⎛ ⎝⎭，C ⎫⎪⎪⎝⎭，D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以PC =⎝⎭，PD ⎛= ⎝⎭ ，设面PCD 的法向量为(),,m x y z =，则00m PC m PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即033033x z y z -=⎪⎪⎪-=⎪⎩，不妨取1x =，则1y =，z =，所以(m =，易得平面ABCD 的法向量()0,0,1n =，设二面角P CD A --的平面角为θ，cos m n m n θ⋅= 即二面角P CD A --的余弦值为2.17．(1)221x y -=()1x ≠±(2)是，定值为14【分析】（1）设(),P x y ，根据题意结合斜率公式分析运算即可；（2）分析可知14BN BM k k ⋅=，设直线MN 和相关点，联立方程结合韦达定理分析可得直线MN 过定点3,05T ⎛⎫- ⎪⎝⎭，进而可得面积之比.【详解】（1）设(),P x y ，1x ≠±，由题意可得：221111AP BPy y y k k x x x ⋅=⋅==+--，整理得221x y -=，故求动点P 的轨迹方程为()2211x y x -=≠±.（2）由题意可知：1AM BM k k ⋅=，且4AM BN k k =，可得14BN BM k k ⋅=，显然直线MN 的斜率不为0，设直线MN 的方程为()1x my t t =+≠±，()11,M x y ，()22,N x y ，联立方程221x my t x y =+⎧⎨-=⎩，消去x 得()2221210m y mty t -++-=，则21m ≠，Δ0>，可得12221222111mt y y m t y y m ⎧+=-⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩，则()()21122112111114BN BM y y y y k k x x my t my t ⋅=⋅==--+-+-，整理可得()()()()2212124110m y y m t y y t -+-++-=，则()()()()22222241211011m t m t t t m m ----+-=--，因为1t ≠±，则10t -≠，可得()()()22224121011mt m t t m m -+-+-=--，整理可得35t =-，所以直线MN 方程为35x my =-，即直线MN 过定点3,05T ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则3238115555|AT |,|BT |=-+==+=，此时12AMN M N S AT y y =⋅- ，12BMN M N S BT y y =⋅⋅- ，所以14AMN BMN AT S S BT == 为定值.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意∆的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.18．(1)1124(2)111332nn p ⎛⎫=-⨯- ⎪⎝⎭(3)证明见解析【分析】（1）分析事件“三次投掷骰子后球在甲手中”包括四类情况，由独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式即得；（2）经分析，{}n p 满足递推公式()1112n n p p +=-，变形后转化成等比数列，即可求得通项；（3）将（2）代入化简得1116[]111()1()22n nn a +=⨯-----，利用裂项求和法得121116[]111()1()22n nn a a a +++⋅⋅⋅+⨯-----=，再对n 分奇偶进行讨论，利用函数单调性求出和的范围即得.【详解】（1）依题意，球在甲手中时，保留在自己手中的概率为12，传给乙的概率为12；球在乙手中时，传给甲的概率为13，传给丙的概率为23；球在丙手中时，传给甲和丙的概率都是12.则三次投掷骰子后球在甲手中包括四类的情况，第一类情况：甲→甲→甲→甲，概率为11112228⨯⨯=；第二类情况：甲→乙→甲→甲，概率为111123212⨯⨯=；第三类情况：甲→乙→丙→甲，概率为12112326⨯⨯=；第四类情况：甲→甲→乙→甲，概率为111122312⨯⨯=由互斥事件的概率加法公式，三次投掷骰子后球在甲手中的概率为11111181261224+++=.（2）由于投掷n 次骰子后球不在乙手中的概率为1n p -，此时无论球在甲手中还是球在丙手中，均有3162=的概率传给乙，故有()1112n n p p +=-，变形为1111323n n p p +⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭.又112p =，所以数列13n p ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为11136p -=，公比为12-的等比数列.所以11111136232n nn p -⎛⎫⎛⎫-=⨯-=-⨯- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.所以数列{}n p 的通项公式111332nn p ⎛⎫=-⨯- ⎪⎝⎭.（3）由（2）可得()()11191122[1()][1()]22n nnn n n n a p p ++==-⋅---⋅--1131()112266[]1111[1()][1()]1()1()2222nn n nn ++-=⨯=⨯---⋅------，则12na a a ++⋅⋅⋅+122311111116[]1111111()1()1()1()1()1()222222nn +=⨯-+-+⋅⋅⋅+-------------1216[131()2n +=⨯---①当n 是奇数时，因111()21(2n n ++=---是单调增函数，故1131()[,1)24n +--∈，则114(1,]131()2n +∈--，于是，(]1216[]4,2131()2n +⨯-∈----，故12423n a a a ++⋅⋅⋅+≤-<-；②当n 是偶数时，因1111(()22n n ++--=是单调减函数，故1191()(1,]28n +--∈，则118[,1)191()2n +∈-，于是，12146[](2,]1331()2n +⨯-∈---，故1243n a a a ++⋅⋅⋅+≤-.综上，1243n a a a ∴++⋅⋅⋅+≤-.【点睛】方法点睛：本题主要考查随机事件的概率与数列知识点的交叉融合，属于难题.解决概率与数列知识点交叉题的方法，一般是从概率问题中寻求相关概率间的递推关系，利用转化思想将其化归为等差或等比数列求解；对于利用数列的通项公式证明不等式时，常用到裂项相消法和错位相减法求和，以及就n 的奇偶分类讨论和函数的单调性.19．(1)11(2)证明见解析(3)6【分析】（1）根据“好子集”的定义，就{}41,2,3,4S =的所有非空子集一一判断即得；（2）将集合X 中的元素从小到大排列，分析判断得出11i k ≤≤-时，i a 和1i a +奇偶性相反，i a 和2i a +奇偶性必相同，按定义有212i i i a a a +++=，推得结论；（3）记2022n =，证2n S +中包含1的好子集个数为()()21f n f n +-+，同理1n S +中包含1的好子集个数为()()1f n f n +-，推得所求的()()()2024220232022f f f -+为2024S 的包含1，2024的所有好子集的个数，利用（2）的结论，即可计算出结果.【详解】（1）{}41,2,3,4S =的全部非空子集为{}1，{}2，{}3，{}4，{}1,2，{}1,3，{}1,4，{}2,3，{}2,4，{}3,4，{}1,2,3，{}1,2,4，{}1,3,4，{}2,3,4，{}1,2,3,4，其中好子集有{}1，{}2，{}3，{}4，{}1,2，{}1,4，{}2,3，{}3,4，{}1,2,3，{}2,3,4，{}1,2,3,4，共有11个.所以()411f =.（2）将X 的元素从小到大排列，即{}12,,,k X a a a =⋅⋅⋅，3k ≥，其中12k a a a <<⋅⋅⋅<.首先对任意的11i k ≤≤-，若i a 和1i a +奇偶性相同，则1Z 2i i a a ++∈，所以12i i a a X ++∈，而112ii i i a a a a +++<<，集合X 中i a 和1i a +中间没有项，故产生矛盾!即对任意的11i k ≤≤-，i a 和1i a +奇偶性相反，则对任意的12i k ≤≤-，i a 和2i a +奇偶性必相同，于是由题意，因2Z 2i i a a ++∈，则22ii a a X ++∈，而()22,2i i i i a a a a +++∈且()21,i i i X a a a ++⋂=，所以212i i i a a a +++=.即对任意的12i k ≤≤-，212i i i a a a +++=，即211i i i i a a a a +++-=-.由i 的任意性知，12,,,k a a a ⋅⋅⋅是一个等差数列.（3）记2022n =.首先证明2n S +中包含1的好子集个数为()()21f n f n +-+.{}21,2,,2n S n +=⋅⋅⋅+的好子集分为两类：包含1的和不包含1的.因为2n S +中不包含1的好子集每个元素均减去1即为1n S +的好子集，1n S +的每个好子集每个元素均加上1即为2n S +的好子集，所以2n S +的不包含1的好子集与1n S +的好子集一一对应，其个数为()1f n +.故2n S +包含1的好子集个数为()()21f n f n +-+.同理可证：1n S +中包含1的好子集个数为()()1f n f n +-，这也恰是2n S +中包含1但不包含2n +的好子集个数.于是2n S +中包含1且包含2n +的好子集的个数为()()()()()()()()()211221f n f n f n f n f n f n f n +-+-+-=+-++故题目所求的()()()2024220232022f f f -+为2024S 的包含1，2024的所有好子集的个数.显然，{}1,2024是好子集.若好子集X 中除了1，2024外至少还有一个元素，则由（2）可知，X 中元素从小到大排列可以构成一个等差数列，设为121,,,2024k a a a =⋅⋅⋅=.设公差为d ，因为()12024120231k a a k d -==-=-，而12k -≥，所以d 为22023717=⨯的小于20232的正约数，故21,7,17,717,17d =⨯.而每一个d 都唯一对应一个2024S 的包含1，2024的好子集，这样的子集有5个.因此()()()2024220232022516f f f -+=+=.【点睛】思路点睛：准确理解和把握集合新定义的规定，按照要求，从具体到一般思考、探索规律，运用分类讨论和数学基本知识（如等差、等比数列定义、通项公式）进行剖析，层层推出结论.。
【高三】2021年高三数学理科高考考前训练试题(广州市附答案)
【高三】2021年高三数学理科高考考前训练试题（广州市附答案） m2022年广州高考备考冲刺阶段数学学科培训教材（理科）解释：⒈本训练题由广州市中学数学研究会高三中心组与广州市高考数学研究组共同编写，共24题．2.本训练题仅适用于本市高三学生考试前的短跑训练。
我们希望在5月31日前完成3．本训练题与市高三质量抽测、一模、二模等数学试题在内容上相互配套，互为补充．四套试题覆盖了高中数学的主要知识和方法．因此，希望同学们在5月31日至6月6日之间，安排一段时间，对这四套试题进行一次全面的回顾总结，同时，将高中数学课本中的基本知识（如概念、定理、公式等）再复习一遍．x希望同学们保持良好的心态，在高考中发挥稳定的作用，取得理想的成绩！1.已知函数，的最大值是1，其图像经过点．（1）求的解析式；（2）已知的，经过计算的2.设函数.（1）如果它是一个函数的零点，求它的值；（2）若是函数的一个极值点，求的值.3.在中，内角的边长是已知的（1）求的值；（2）如果它是的中点，找到的长度4.一缉私艇发现在方位角（从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角）45°方向，距离15海里的海面上有一走私船正以25海里/小时的速度沿方位角为105°的方向逃窜．若缉私艇的速度为35海里/小时，缉私艇沿方位角为45°+α的方向追去，若要在最短时间内追上该走私船．（1）测角α正弦值；（2）求缉私艇追上走私船所需的时间．5.一个网站使用“10分制”来调查社区居民的幸福感。
现在从调查人群中随机抽取16人，他们的幸福感得分记录在下面的茎叶图中（小数点前的数字是茎，小数点后的数字是叶）：（1）指出这组数据的众数和中位数；（2）如果幸福感不低于9.5，那么这个人的幸福感被称为“极度幸福”。
在“极端概率”中，最多有3个人寻求幸福；（3）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)任选3人，记表示抽到“极幸福”的人数，求的分布列及数学期望．6.汽车行业是碳排放量大的行业之一。
广东省广州市普通高中2021高考高三数学第1次模拟试题精选：统计和概率 Word版含答案
统计和概率1、假设1x ,2x ,3,x ,2013x 的方差为3 ,那么13x ,23x ,33,x ,20133x 的方差为 ( )A3 B 9 C 18 D 27【答案】D【解析】假设3y x = ,那么9Dy Dx =,因为3Dx =,所以99327Dy Dx ==⨯= ,选D2、 在一个袋内装有同样大小、质地的五个球 ,编号分别为1、2、3、4、5 ,假设从袋中任意取两个 ,那么编号的和是奇数的概率为 (结果用最||简分数表示 ) 【答案】53 【 解析】从袋中任意取两个球 ,共有2510C =种 .假设编号为奇数 ,那么有11326C C =种 ,所以编号的和是奇数的概率为63105= .3、甲、乙等五名社区志愿者被随机分配到D C B A 、、、四个不同岗位效劳 ,每个岗位至||少有一名志愿者 ,那么甲、乙两人同时参加岗位A 效劳的概率是 ． 【答案】140【 解析】每个岗位至||少有一名志愿者 ,那么有2454C P 种 ,如甲乙两人同时参加岗位A 效劳 ,那么有33P 种 ,所以甲、乙两人同时参加岗位A 效劳的概率是401442533=P C P .4、某林场有树苗30000棵 ,其中松树苗4000棵．为调查树苗的生长情况 ,采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本 ,那么样本中松树苗的数量为 ▲ ． 【答案】20【 解析】设样本中松树苗的数量为n ,那么有400015030000n = ,解得20n = .5、现有20个数 ,它们构成一个以1为首||项 , -2为公比的等比数列 ,假设从这20个数中随机抽取一个数 ,那么它大于8的概率是 ▲ ． 【答案】25【 解析】等比数列的通项公式为111(2)n n n a a q --==- ,由1(2)8n n a -=-> ,所以1n -为偶数 ,即n 为奇数 ,所以11(2)28n n ---=> ,解得13n -> ,即4n > ,所以5,7,9,11,13,15,17,19n =共有8个 ,所以从这20个数中随机抽取一个数 ,那么它大于8的概率是82205= .6、高三 (1 )班班委会由4名男生和3名女生组成 ,现从中任选3人参加上海市某社区敬老效劳工作 ,那么选出的人中至||少有一名女生的概率是 (结果用最||简分数表示) 【答案】3135【 解析】3人中有1个是女生的概率为1234371835C C C = ,3人中有2个是女生的概率为2134371235C C C = ,3人中有3个是女生的概率为3337135C C = ,所以选出的人中至||少有一名女生的概率是18121313535++= .7、将一颗质地均匀的骰子连续投掷两次 ,朝上的点数依次为b 和c , 那么2≤b 且3≥c 的概率是____ ___【答案】92【 解析】一颗质地均匀的骰子连续投掷两次有36种结果 .假设2≤b 且3≥c ,那么有 ,(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)共8种 ,所以2≤b 且3≥c 的概率是82369= .8、某旅游团要从8个风景点中选两个风景点作为当天上午的游览地 ,在甲和乙两个风景点中至||少需选一个 ,不考虑游览顺序 ,共有 种游览选择． 【答案】13【解析】假设选甲不选乙 ,有166C =种；假设选乙不选甲 ,有166C =种；假设甲乙都选 ,有221C =种 .所以共有13种 .9、某高校随机抽查720名的在校大学生 ,询问他们在网购商品时是否了解商品的最||新信息 ,得到的结果如右表 ,这720名大学生中随机抽取一名 ,了解商品最||新信息的概率是1118,那么p =【答案】200【 解析】了解商品最||新信息的人数有160480640p p +-=- ,由6401172018p -= ,解得200p =10、从甲、乙、丙、丁四人中任选两名志愿者 ,那么甲被选中的概率为_______ 【答案】21【 解析】从甲、乙、丙、丁四人中任选两名志愿者 ,有246C =种 ,假设甲被选中 ,那么有133C =种 ,所以甲被选中的概率为3162= .11、盒中装有形状、大小完全相同的7个球 ,其中红色球4个 ,黄色球3个．假设从中随机取出2个球 ,那么所取出的2个球颜色不同的概率等于 ．【答案】47【解析】从7个球中取2个有27C 种 ,颜色不同的有1143C C ,所以取出的2个球颜色不同的概率等于114327124217C C C == .12、一组数据8 ,9 ,x ,11 ,12的平均数是10 ,那么这组数据的方差是_________． 【答案】2【解析】由题意知891112510x ++++=⨯ ,解得10x = .所以这组数据的方差为22222110[(810)(910)(1010)(1110)(1210)]255-+-+-+-+-== . 13、小||王同学有5本不同的语文书和4本不同的英语书 ,从中任取2本 ,那么语文书和英语书各有1本的概率为_____________ (结果用分数表示 ) . 【答案】59【 解析】中任取2本 ,有2936C =种 ,语文和英语各有1本有5420⨯=种 ,所以从中任取2本 ,那么语文书和英语书各有1本的概率为205369= .14、A 、B 、C 三所学校共有高三学生1500人 ,且A 、B 、C 三所学校的高三学生人数成等差数列 ,在一次联考后 ,准备用分层抽样的方法从所有高三学生中抽取容量为120的样本 ,进行成绩分析 ,那么应从B 校学生中抽取_________人． 【答案】40【解析】因为A 、B 、C 三所学校的高三学生人数成等差数列 ,所以设三校人数为,,x d x x d -+ ,那么31500x d x x d x -+++== ,所以500x = .那么在B 校学生中抽取的人数为120500401500⨯=人 .15、把一颗骰子投掷两次 ,第|一次出现的点数记为m ,第二次出现的点数记为n ,方程组⎩⎨⎧=+=+2323y x ny mx 只有一组解的概率是_________． (用最||简分数表示 ) 【答案】1817 【解析】方程组只有一组解 02332≠-==n m nm D ,即除了m =2且n =3或m =4且n =6这两种情况之外都可以 ,故所求概率662176618P ⨯-⨯==．16、口袋里装有同样大小、同样质量的16个小球 ,其中8个白球、8个黑球 ,那么从口袋中任意摸出8个球恰好是4白4黑的概率为 (结果精确到001.0 ) 【答案】381.0【解析】任意摸出8个球恰好是4白4黑的概率为44888160.0381C C C = .17、某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节 ,那么在课表上的相邻两节文化课之间最||多间隔1节艺术课的概率为…………………… ( )A ．35B ．815C ．25D ．15【答案】A 【 解析】6节课共有66A 种排法 语文、数学、外语三门文化课中间隔1节艺术课有3433A A 种排法 ,三门文化课中、都相邻有3433A A 种排法 ,三门文化课中有两门相邻有3312122223A C C A C ,故所有的排法有331212222334332A C C A C A A + ,所以相邻两节文化课之间最||多间隔1节艺术课的概率为5326633121222233433=+A A C C A C A A ,选A。
广东省广州市备战2021高三数学(理科)第一轮复习测试试题及答案02
俯视图图（3）2021广州市高考数学（理科）一轮复习测试题02一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数12,z z 在复平面内对应的点分别为(0,1),(1,3)A B -，则21zz =A ．13i -+B ．3i-- C ．3i + D ．3i -2．已知集合2{|log (1)}A x y x ==+，集合1{|(),0}2xB y y x ==>，则A B =A ．(1,)+∞B ．(1,1)-C ．(0,)+∞D ．(0,1) 3．在四边形ABCD 中，“AB DC =，且0AC BD ⋅=”是“四边形ABCD 是菱形”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．当4x π=时，函数()sin()(0)f x A x A ϕ=+>取得最小值，则函数3()4y f x π=-A ．是奇函数且图像关于点(,0)2π对称 B ．是偶函数且图像关于点(,0)π对称C ．是奇函数且图像关于直线2x π=对称 D 5．一简洁组合体的三视图及尺寸如图(1)示（单位: cm ） 则该组合体的体积为．A. 720003cm B. 640003cmC. 560003cm D. 440003cm 图（1） 6．已知等差数列{}n a 满足，18130,58a a a >=，则前n 项和n S 取最大值时，n 的值为A.20B.21C.22D.237．在图（2）的程序框图中，任意输入一次(01)x x ≤≤与(01)y y ≤≤，则能输出数对(,)x y 的概率为 A ．14 B ．13 C ．34 D ． 238．已知方程sin xk x=在(0,)+∞有两个不同的解,αβ（αβ<），则下面结论正确的是： A ．1tan()41πααα++=- B ．1tan()41πααα-+=+ C ．1tan()41πβββ++=- D ．1tan()41πβββ-+=+ 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9－13题）9．计算：1122log sin15log cos15+= ．10．若二项式(n x 的开放式中，第4项与第7项的二项式系数相等，则开放式中6x 的系数为 ．(用数字作答)11．一般来说，一个人脚掌越长，他的身高就越高，现对10名成年人的脚掌长x 与身高y 进行测量，得到数据（单位均为cm ）如上表，作出散点图后，发觉散点在一条直线四周，经计算得到一些数据：101()()577.5iii x x y y =--=∑，1021()82.5ii x x =-=∑；某刑侦人员在某案发觉场发觉一对裸脚印，量得每个脚印长为26.5cm ，则估量案发嫌疑人的身高为 cm ．12．已知圆C 经过直线220x y -+=与坐标轴的两个交点，且经过抛物线28y x =的焦点，则圆C 的方程为 ．13．函数()f x 的定义域为D ，若对任意的1x 、2x D ∈，当12x x <时，都有12()()f x f x ≤，则称函数()f x 在D 上为“非减函数”．设函数()g x 在[0,1]上为“非减函数”，且满足以下三个条件：（1）(0)0g =；（2）1()()32x g g x =；（3）(1)1()g x g x -=-,则(1)g = 、 5()12g = ． （二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线1C ：ρ=和曲线2C ：cos(ρθ2C 的距的点的个数为 ．15．(几何证明选讲选做题)如图（3）所示，AB 是⊙O 的直径，过圆上一点E 作切线ED ⊥AF ，交AF 的延长线于点D ，交AB 的延长线于点C .若CB =2， CE =4，则AD 的长为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．D C B A EFMNPFEA BCD16．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足sin cos c A C =． （1）求角C 的大小； （2sin()2A B π-+的最大值，并求取得最大值时角,A B 的大小．17. （本小题满分12分）依据公安部最新修订的《机动车驾驶证申领和使用规定》：每位驾驶证申领者必需通过《科目一》（理论科目）、《综合科》（驾驶技能加科目一的部分理论）的考试.已知李先生已通过《科目一》的考试，且《科目一》的成果不受《综合科》的影响，《综合科》三年内有5次预约考试的机会，一旦某次考试通过，便可领取驾驶证，不再参与以后的考试，否则就始终考到第5次为止.设李先生《综合科》每次参与考试通过的概率依次为0.5，0.6，0.7，0.8，0.9．（1）求在三年内李先生参与驾驶证考试次数ξ的分布列和数学期望； （2）求李先生在三年内领到驾驶证的概率.18．（本小题满分14分）如图（4），在等腰梯形CDEF 中，CB 、DA 是梯形的高，2AE BF ==，AB =现将梯形沿CB 、DA 折起，使//EF AB 且2EF AB =，得一简洁组合体ABCDEF 如图（5）示，已知,,M N P 分别为,,AF BD EF的中点．（1）求证：//MN 平面BCF ；（2）求证： AP ⊥DE ； （3）当AD 多长时，平面CDEF 与平面ADE 所成的锐二面角为60？ 图（4）图（5）19．（本小题满分14分）如图（6），设点)0,(1c F -、)0,(2c F 分别是椭圆)1(1:222>=+a y ax C的左、右焦点，P 为椭圆C 上任意一点，且12PF PF ⋅最小值为0． （1）求椭圆C 的方程；（2）若动直线12,l l 均与椭圆C 相切，且12//l l ，摸索究在x 轴上是 否存在定点B ，点B 到12,l l 的距离之积恒为1？若存在，恳求出点B 坐标； 若不存在，请说明理由． 20．（本小题满分14分）已知函数()(0,1xf x x x ααα=>+为常数)，数列{}n a 满足：112a =，1()n n a f a +=，*n N ∈． （1）当1α=时，求数列{}n a 的通项公式；（2）在（1）的条件下，证明对*n N ∀∈有：12323412(5)12(2)(3)n n n n n a a a a a a a a a n n ++++++=++；（3）若2α=，且对*n N ∀∈，有01n a <<，证明：1n n a a +-<． 21．（本小题满分14分）已知函数()ln f x x =，2()()g x f x ax bx =++，函数()g x 的图象在点(1,(1))g 处的切线平行于x 轴． （1）确定a 与b 的关系；（2）试争辩函数()g x 的单调性；（3）证明：对任意*n N ∈，都有()211ln 1ni i n i=-+>∑成立．参考答案一．选择题：CDCC BBDC解析： 4．依题意可得3()sin 4y f x A x π=-=-，故选C. 5．由三视图知，该组合体由两个直棱柱组合而成，故其体积360401020405064000()V cm =⨯⨯+⨯⨯=，故选B.6．由81358a a =得115(7)8(12)a d a d +=+1361d a ⇒=-，由1(1)n a a n d =+- 113(1)()061a n a =+--≥6412133n ⇒≤=,所以数列{}n a 前21项都是正数，以后各项都是负数，故n S 取最大值时，n 的值为21，选B.7．依题意结合右图易得所求的概率为：120121133x dx -=-=⎰，选D.8．解析：sin |sin |x k x kx x =⇒=，要使方程sin (0)xk k x=>在(0,)+∞有两个不同的解，则|sin |y x =的图像与直线(0)y kx k =>有且仅有三个公共点，所以直线y kx =与|sin |y x =在3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭内相切，且切于点(,sin )ββ-，由sin cos tan βββββ--=⇒=，1tan()41πβββ+∴+=-，选C二．填空题：9.2；10.9； 11.185.5；12. 22115()()222x y -+-=或2220x y x y +---=]；13.1（2分）、12（3分）；14.3；15. 245. 解析：10.依据已知条件可得：36369n n C C n =⇒=+=，所以(n x的开放式的通项为39921991()2r r rrr r r T C x C x --+==，令39622r r -=⇒=，所以所求系数为2291()92C =.11.回归方程的斜率1011021()()577.5782.5()iii ii x x y y b x x ==--===-∑∑，24.5x =，171.5y =，截距0a y bx =-=，即回归方程为7y x ∧=，当26.5x =，185.5y ∧=， 12．易得圆心坐标为11(,)22，半径为r =故所求圆的方程为22115()()222x y -+-=【或FMNPFEA BCD2220x y x y +---=. 】13．在（3）中令x=0得(0)1(1)0g g =-=，所以(1)1g=，在（11(1)22g ==，在（3）中令12x =得11()1()22g g =-，故11()22g =，因1513122<<1()2g ，故51()122g =． 14．将方程ρ=cos()4πρθ+=222x y +=与20x y --=，知1C 2C 为直线，因圆心到直线20x y --=，故满足条件的点的个数3n =.15．设r 是⊙O 的半径．由2CE CA CB =⋅，解得r =3.由CO OE CA AD =解得245AD =. 三．解答题：16．解：（1）由sin cos c A C =结合正弦定理得，sinsin a cA C==----2分 从而sin C C =，tan C =-----------------------------------------------4分∵0C π<<，∴3C π=；--------------------------------------------------------------6分（2）由（1）知23B A π=--------------------------------------------------------------7分 sin()cos 2A B A B π-+=----------------------------------------8分 2cos()3A A π=-- 22cos cos sin sin 33A A A ππ=--------9分1cos 22A A =+sin()6A π=+--------------10分 ∵203A π<<，∴5666A πππ<+< 当62A ππ+=sin()2A B π-+取得最大值1，------------------------------11分此时,33A B ππ==．-----------------------------------------------------------------------12分17.解. (1) ξ的取值为1,2,3,4，5. -------------------------------1分 (1)0.5P ξ==,(2)(10.5)0.60.3P ξ==-⨯=(3)(10.5)(10.6)0.70.14P ξ==-⨯-⨯=(4)(10.5)(10.6)(10.7)0.80.048P ξ==-⨯-⨯-⨯=(5)(10.5)(10.6)(10.7)(10.8)0.012P ξ==-⨯-⨯-⨯-=--------------------6分【或(5)1(1)(2)(3)(4)0.012P P P P P ξξξξξ==-=-=-=-==】∴ξ的分布列为：---------------------------8分 ∴10.520.330.1440.04850.012E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=1.772--------10分 （2）李先生在三年内领到驾照的概率为：1(10.5)(10.6)(10.7)(10.8)(10.9)0.9988P =--⨯-⨯-⨯-⨯-=-----------------12分18．（1）证明：连AC ，∵四边形ABCD 是矩形，N 为BD 中点，∴N 为AC 中点，--------------------------------------------------------------1分 在ACF ∆中，M 为AF 中点，故//MN CF --------------------------3分 ∵CF ⊂平面BCF ，MN ⊄平面BCF ，//MN ∴平面BCF ；---4分（其它证法，请参照给分） （2）依题意知,DA AB DA AE ⊥⊥ 且ABAE A =∴AD ⊥平面ABFE∵AP ⊂平面ABFE ，∴AP AD ⊥，------------------5分 ∵P 为EF 中点，∴FP AB ==结合//AB EF ，知四边形ABFP 是平行四边形∴//AP BF ，2AP BF ==----------------------------------------------------7分而2,AE PE ==222AP AE PE += ∴90EAP ∠=，即AP AE ⊥-----8分又ADAE A = ∴AP ⊥平面ADE ，∵DE ⊂平面ADE ， ∴AP ⊥DE .------------------------------------------------9分（3）解法一：如图，分别以,,AP AE AD 所在的直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系设(0)AD m m =>，则(0,0,0),(0,0,),(0,2,0),A D m E P 易知平面ADE 的一个法向量为(2,0,0)AP =，-----------10分设平面DEF 的一个法向量为(,,)n x y z =，则0n PE n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩故22020x y y mz -+=⎧⎨-=⎩，即020x y y mz -=⎧⎨-=⎩令1x =，则21,y z m==，故2(1,1,)n m =----------------------------------------11分∴cos ,||||2AP n AP n AP n⋅<>==12=，m =-------------------------------------------------------13分 即AD =CDEF 与平面ADE 所成的锐二面角为60．------------------------14分【解法二：过点A 作AM DE ⊥交DE 于M 点，连结PM ，则,DE PM ⊥∴AMP ∠为二面角A-DE-F 的平面角，---------------------------------------------------------11分由AMP ∠=600，AP=BF=2得AM 2tan 603AP ==-------------------------------------12分又AD AE AM DE ⋅=⋅得2AD= 解得AD =，即AD =CDEF 与平面ADE 所成的锐二面角为60．----14分】19.解：（1）设),(y x P ，则有),(1y c x P F +=，),(2y c x P F -=-------------1分[]a a x c x a a c y x PF PF ,,11222222221-∈-+-=-+=⋅ -----------------2分 由12PF PF ⋅最小值为0得210122=⇒=⇒=-a c c ，-------------------3分∴椭圆C 的方程为1222=+y x ．---------------------------------------------4分 （2）①当直线12,l l 斜率存在时，设其方程为,y kx m y kx n =+=+--------------------5分 把1l 的方程代入椭圆方程得222(12)4220k x mkx m +++-=∵直线1l 与椭圆C 相切，∴2222164(12)(22)0k m k m ∆=-+-=，化简得2212m k =+-------------------------------------------------------------------------------------7分同理，2212n k =+-----------------------------------------------------------------------------8分 ∴22m n =，若m n =，则12,l l 重合，不合题意，∴m n =------------------------9分设在x 轴上存在点(,0)B t ，点B 到直线12,l l 的距离之积为1，则1=，即2222||1k t m k -=+，--------------------------------------10分 把2212k m +=代入并去确定值整理，22(3)2k t -=或者22(1)0k t -=前式明显不恒成立；而要使得后式对任意的k R ∈恒成立则210t -=，解得1t =±；----------------------------------------------------------------------12分 ②当直线12,l l 斜率不存在时，其方程为x =x =---------------------------13分定点(1,0)-到直线12,l l 的距离之积为1)1=；定点(1,0)到直线12,l l 的距离之积为1)1=；综上所述，满足题意的定点B 为(1,0)-或(1,0) --------------------------------------------14分 20．解：（1）当1α=时，1()1n n n n a a f a a +==+，两边取倒数，得1111n na a +-=，----2分 故数列1{}n a 是以112a =为首项，1为公差的等差数列， 11n n a =+，11n a n =+，*n N ∈．------------------------------------------------------------4分 （2）证法1：由（1）知11n a n =+，故对1,2,3...k = 121(1)(2)(3)k k k a a a k k k ++=+++111[]2(1)(2)(2)(3)k k k k =-++++-------------6分∴12323412......n n n a a a a a a a a a +++++1111111[()()...]223343445(1)(2)(2)(3)n n n n =-+-++-⨯⨯⨯⨯+⨯+++ 111[]223(2)(3)n n =-⨯++(5)12(2)(3)n n n n +=++．----------------------------------------9分． 证法2：①当n=1时，等式左边1123424==⨯⨯，等式右边1(15)112(12)(13)24⨯+==⨯+⨯+，左边=右边，等式成立；-----------------------------------------------------------------5分 ②假设当(1)n k k =≥时等式成立，即12323412(5)......12(2)(3)k k k k k a a a a a a a a a k k ++++++=++，则当1n k =+时12323412123(5)1......12(2)(3)(2)(3)(4)k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a k k k k k ++++++++++=++++++32(5)(4)129201212(2)(3)(4)12(2)(3)(4)k k k k k k k k k k k k ++++++==++++++2(1)4(1)(23)(1)(2)(6)(1)[(1)5]12(2)(3)(4)12(2)(3)(4)12[(1)2][(1)3]k k k k k k k k k k k k k k k k k ++++++++++===++++++++++这就是说当1n k =+时，等式成立，-------------------------------------------------------8分 综①②知对于*n N ∀∈有：12323412(5)......12(2)(3)n n n n n a a a a a a a a a n n ++++++=++．----9分]（3）当2α=时，122()1nn n na a f a a +==+ 则12221(1)11n nn n n n n n na a a a a a a a a ++-=-=-++，---------------------------------------------10分 ∵01n a <<， ∴2122111(1)()121n n n nn n n n n na a a a a a a a a a +++-+-=-≤⋅++--------------------------------11分 2114(1)2(1)2n n n a a a +=⋅+-++ 1124121nn a a =⋅++-+14≤=--------------------13分 ∵1n n a a =-与211n n a a +=+不能同时成立，∴上式“=”不成立， 即对*n N ∀∈，118n n a a +-<．-----------------------------------------------------------14分 【证法二：当2α=时，122()1nn n na a f a a +==+， 则3122211n n nn n n n na a a a a a a a +--=-=++----------------------------------------------------10分 又122(0,1),1,1n n n n a a a a +∈∴=>+ *11,[,1),2n n n a a a n N +∴>∴∈∈------------------------------------------------------------------11分令321(),[,1),12x x g x x x -=∈+则422241(),(1)x x g x x --+'=+------------------------------------12分 当1[,1),()0,2x g x '∈<所以函数()g x 在1[,1)2单调递减，故当3211()13122[,1),(),121081()2x g x -∈≤=<+所以命题得证----------- . ------------------14分】 【证法三：当2α=时，122()1nn n na a f a a +==+，*11221(0,1),1,,[,1),12n n n n n n n a a a a a n N a a ++∈∴=>∴>∴∈∈+-------------------------11分 11112222112212()11(1)(1)n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a --+-----=-=⋅-++++ 1112211124222()()1125(1)(1)22n n n n n n a a a a a a ----⋅<⋅-=-<-++∴数列1{}n n a a +-单调递减，1212121312121081()2n n a a a a +⋅∴-≤-=-=<+， 所以命题得证------------------------------------------------------------------------------------------14分】21．解：（1）依题意得2()ln g x x ax bx =++，则1'()2g x ax b x=++ 由函数()g x 的图象在点(1,(1))g 处的切线平行于x 轴得：'(1)120g a b =++= ∴21b a =---------------------------------------------------------------------------3分（2）由（1）得22(21)1'()ax a x g x x -++=(21)(1)ax x x--=----------------------4分 ∵函数()g x 的定义域为(0,)+∞∴当0a ≤时，210ax -<在(0,)+∞上恒成立，由'()0g x >得01x <<，由'()0g x <得1x >，即函数()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞单调递减；-------------------------------5分当0a >时，令'()0g x =得1x =或12x a=，若112a <，即12a >时，由'()0g x >得1x >或102x a <<，由'()0g x <得112x a <<， 即函数()g x 在1(0,)2a ，(1,)+∞上单调递增，在1(,1)2a单调递减；-----------------6分若112a >，即102a <<时，由'()0g x >得12x a>或01x <<，由'()0g x <得112x a <<， 即函数()g x 在(0,1)，1(,)2a +∞上单调递增，在1(1,)2a单调递减；------------7分若112a =，即12a =时，在(0,)+∞上恒有'()0g x ≥， 即函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，------------------------------------------------------------------8分综上得：当0a ≤时，函数()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞单调递减；当102a <<时，函数()g x 在(0,1)单调递增，在1(1,)2a 单调递减；在1(,)2a +∞上单调递增；当12a =时，函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，当12a >时，函数()g x 在1(0,)2a 上单调递增，在1(,1)2a单调递减；在(1,)+∞上单调递增．-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------9分 （3）证法一：由（2）知当1a =时，函数2()ln 3g x x x x =+-在(1,)+∞单调递增，2ln 3(1)2x x x g ∴+-≥=-，即2ln 32(1)(2)x x x x x ≥-+-=---，------------11分令*11,x n N n =+∈，则2111ln(1)n n n +>-，-------------------------------------12分2222111111111111ln(1)ln(1)ln(1)...ln(1)...123112233n n n ∴++++++++>-+-+-++-2222111111111111ln[(1)(1)(1)...(1)]...123112233n n n∴++++++>-+-+-++-即()211ln 1ni i n i=-+>∑---------------------------------------------- . -----------------------------14分【证法二：构造数列{}n a ，使其前n 项和ln(1)n T n =+， 则当2n ≥时，111ln()ln(1)n n n n a T T n n-+=-==+，------.-----------------------11分 明显1ln 2a =也满足该式， 故只需证221111ln(1)n n n n n-+>=---------------------------------------------------------12分 令1x n=，即证2ln(1)0x x x +-+>，记2()ln(1)h x x x x =+-+，0x > 则11(21)'()12120111x x h x x x x x x+=-+=-+=>+++， ()h x 在(0,)+∞上单调递增，故()(0)0h x h >=，∴221111ln(1)n n n n n -+>=-成立，2222111111111111ln(1)ln(1)ln(1)...ln(1)...123112233n n n∴++++++++>-+-+-++-即()211ln 1ni i n i =-+>∑．----------------------------------------------------------------------------14分】 【证法三：令211()ln(1)i ni i n n i ϕ==-=+-∑，则2(1)()ln(2)ln(1)(1)n n n n n n ϕϕ+-=+--++2111ln(1)11(1)n n n =+-++++----10分 令11,1x n =++则(1,2]x ∈，*11,,1x n N n =-∈+记22()ln (1)(1)ln 32h x x x x x x x =--+-=+-+-----------------------12分∵1(21)(1)()230x x h x x x x--'=+-=>∴函数()h x 在(1,2]单调递增，又(1)0,(1,2],()0,h x h x =∴∈>当时即(1)()0n n ϕϕ+->，∴数列()n ϕ单调递增，又(1)ln 20ϕ=>，∴()211ln 1ni i n i=-+>∑----------------------14分】。
2021年高考冲刺压轴广东卷数学(文卷一) 含解析
2021年高考冲刺压轴广东卷数学（文卷一）含解析本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间为120分钟，其中第Ⅱ卷22题－24题为选考题，其它题为必考题．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．注意事项：1．答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内．2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（xx·广东省广州市二模·1）的值为（）A．B．C．D．2．（xx·广东省惠州市二模·2）若函数是函数的反函数，则（）A．B．C．D．3．（xx·广东省揭阳市二模·2）已知复数，则（）A. 2B. －2C.D.4．（xx·广东省茂名市二模·3）已知等差数列的前项和为，，，则的值为（）．A．1 B．3 C．10 D．555．（xx·广东省深圳市二模·2）平面向量，，若，则等于（）A．B．C．D．6．（xx·广东省中山市二模·4）一个单位有职工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人．为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本．则从上述各层中依次抽取的人数分别是（）A．12，24，15，9 B．9，12，12，7C．8，15，12，5 D．8,16,10,67．（xx·广东省湛江市二模·8）一个几何体的三视图如图，正视图和侧视图都是由一个半圆和一个边长为的正方形组成，俯视图是一个圆，则这个几何体的表面积是（）A．B．C．D．8．（xx·广东省佛山市二模·4）由不等式组确定的平面区域记为M，若直线与M有公共点，则的最大值为（）A．B．1 C．2 D．49．（xx·广东省肇庆市三模·9）执行如下图的程序框图，则输出的值P=（）A．12 B．10 C．8 D．610．（xx·广东省汕头市二模·9）已知双曲线的渐近线方程为，则此双曲线的离心率是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．（一）必做题（11～13题）11．（xx·广东省惠州市二模·12）函数在处取得极小值．12．（xx·广东省揭阳市二模·12）以点为圆心且与直线相切的圆的标准方程是．13．（xx·广东省茂名市二模·13）在中，角所对的边分别为，已知，且，则= ．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题，两题都答的，只计算第一题的得分．）14．（xx·广东省深圳市二模·14）（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系中，已知直线：（为参数）与曲线：（为参数）相交于、两点，则_________．15．（xx·广东省中山市二模·14）（《几何证明选讲》选做题）如上图，点是圆上的点，且，则圆的面积等于．oBA三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16、（xx·广东省湛江市二模·16）（本小题满分12分）设函数（）的最小正周期为．求的值；记内角，，的对边分别为，，，若，且，求的值．17．（xx·广东省佛山市二模·17）（本小题满分12分）寒假期间，很多同学都喜欢参加“迎春花市摆档口”的社会实践活动，下表是今年某个档口某种精品的销售数据.日期2月14日2月15日2月16日2月17日2月18日销售量（件）白天35 32 43 39 51 晚上46 42 50 52 60已知摊位租金900元/档，售余精品可以以进货价退回厂家.（1）画出表中10个销售数据的茎叶图，并求出这组数据的中位数；（2）明年花市期间甲、乙两位同学想合租一个摊位销售同样的精品，其中甲、乙分别承包白天、晚上的精品销售，承包时间段内销售所获利润归承包者所有。
广东省广州市2021届高三数学毕业班综合测试试题（一）文（含解析）
广东省广州市2021届高三数学毕业班综合测试试题（一）文（含解析）新人教A 版第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每题5分,总分值50分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1.函数()()ln 1f x x =+的概念域为（ ）A.(),1-∞-B.(),1-∞C.()1,-+∞D.()1,+∞ 2.已知i 是虚数单位，假设()234m i i +=-，那么实数m 的值为（ ）A.2-B.2±C.2±D.2 3.在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边别离为a 、b 、c ，假设2C B =，那么cb为（ ） A.2sin C B.2cos B C.2sin B D.2cos C 4.圆()()22121x y -+-=关于直线y x =对称的圆的方程为（ ）A.()()22211x y -+-= B.()()22121x y ++-=C.()()22211x y ++-= D.()()22121x y -++=5.已知1x >-，那么函数11y x x =++的最小值为（ ） A.1- B.0 C.1 D.26.函数()21xf x x =+的图象大致是（ ） 【解析】7.已知非空集合M 和N ，规定{}M N x x M x N -=∈∉且，那么()M M N --等于（ ） A.MN B.M N C.M D.N8.任取实数a 、[]1,1b ∈-，那么a 、b 知足22a b -≤的概率为（ ） A.18 B.14 C.34 D.78BEF ∆，因此14DGH BEF S S ∆∆==，故阴影部份的面积等于21722242ABCD BEF S S S ∆=-=-⨯=，由几何概9.设a 、b 是两个非零向量，那么使a b a b ⋅=⋅成立的一个必要非充分的条件是（ ）A.a b =B.//a bC.()0a b λλ=>D.a b ⊥10.在数列{}n a 中，已知11a =，()111sin2n n a a π++-=，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，那么2014S =（ ）A.1006B.1007C.1008D.1009 第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（本大题共5小题，考生作答4小题，，每题5分，总分值20分） （一）必做题（11~13题）11.执行如图1所示的程序框图，假设输入3k =，那么输出S 的值为 . 12.一个四棱锥的底面为菱形，其三视图如图2所示，那么那个四棱锥的体积是 .13.由空间向量()1,2,3a =，()1,1,1b =-组成的向量集合{},A x x a kb k Z ==+∈，那么向量x 的模x 的最小值为 .（二）选做题（14~15题，考生只能从当选做一题）14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线()sin cos a ρθθ-=与曲线2cos 4sin ρθθ=-相交于A 、B 两点，假设23AB =，那么实数a 的值为 .15.（几何证明选讲选做题）如图3，PC 是圆O 的切线，切点为点C ，直线PA 与圆O 交于A 、B 两点，APC ∠的角平分线交弦CA 、CB 于D 、E 两点，已知3PC =，2PB =，那么PEPD的值为 . 三、解答题 （本大题共6小题，总分值80分.解答写出文字说明、证明进程或演算步骤.）16.（本小题总分值12分）已知某种同型号的6瓶饮料中有2瓶已过了保质期. （1）从6瓶饮料中任意抽取1瓶，求抽到没过保质期的饮料的概率； （2）从6瓶饮料中随机抽取2瓶，求抽到已过保质期的饮料的概率. 【解析】17.（本小题总分值12分）已知函数()sin cos f x x a x =+的图象通过点,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭. （1）求实数a 的值；（2）求函数()f x 的最小正周期与单调递增区间. 【解析】18.（本小题总分值14分）如图4，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱1D D 的中点，点F 在棱1B B 上，且知足12B F BF =.（1）求证：11EF A C ⊥；（2）在棱1C C 上确信一点G ，使A 、E 、G 、F 四点共面，并求现在1C G 的长； （3）求几何体ABFED 的体积.且1BB ⊥平面1111A B C D ，111AC BB ∴⊥，（3）如以下图所示，连接AC 交BD 于点O ，19.（本小题总分值14分）已知等差数列{}n a 的首项为10，公差为2，数列{}n b 知足62n n nb a n =-，n N *∈. （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）记{}max ,n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n S . （注：{}max ,a b 表示a 与b 的最大值.） 【解析】20.（本小题总分值14分）已知函数()32693f x x x x =-+-.（1）求函数()f x 的极值；（2）概念：假设函数()h x 在区间[](),s t s t <上的取值范围为[],s t ，那么称区间[],s t 为函数()h x 的“域同区间”.试问函数()f x 在()3,+∞上是不是存在“域同区间”？假设存在，求出所有符合条件的“域同区间”；假设不存在，请说明理由.函数()f x 在3x =处取得极小值，即()()3233639333f x f ==-⨯+⨯-=-极小值；21.（本小题总分值14分）已知双曲线()222:104x y E a a -=>的中心为原点O ，左、右核心别离为1F 、2F ，离心率为355，点P 是直线23a x =上任意一点，点Q 在双曲线E 上，且知足220PF QF ⋅=.（1）求实数a 的值；（2）证明：直线PQ 与直线OQ 的斜率之积是定值；（3）假设点P 的纵坐标为1，过点P 作动直线l 与双曲线右支交于不同的两点M 、N ，在线段MN 上去异于点M、N的点H，知足PM MH，证明点H恒在一条定直线上.PN HN【解析】。
广东省广州市2021届高三考前训练题数学文试题
广东省广州市2021届高三考前训练题数学文试题2021年广州市高考备考冲刺阶段数学学科训练材料（文科）说明：⒈本训练题由广州市中学数学教学研究会高三中心组与广州市高考数学研究组共同编写，共24题．2.本训练题仅适用于本市高三学生考试前的短跑训练。
我们希望在5月31日前完成3．本训练题与市高三质量抽测、一模、二模等数学试题在内容上相互配套，互为补充．四套试题覆盖了高中数学的主要知识和方法．因此，希望同学们在5月31日至6月6日之间，安排一段时间，对这四套试题进行一次全面的回顾总结，同时，将高中数学课本中的基本知识（如概念、定理、公式等）再复习一遍．希望同学们保持良好的心态，在高考中发挥稳定的作用，取得理想的成绩！0π)，x?r的最大值是1，其图像经过点1.已知函数f(x)?asin(x??)(a?0，?π1?m?，?．?32?（1）求f(x)的解析式；（2）知道吗？，0和f（？）？2.设函数f(x)?2sinx?cosx.?? π? 2.312，f（？）找到f（？）513（1）如果x0是函数f（x）的零点，求cos2x0的值；（2）如果x0是函数f（x）的极值点，求sin 2x0的值3.在?abc中，内角a,b,c所对的边长分别是a,b,c,已知a?（1）求cosc的值；（2）如果是BC？10.D是AB的中点，求出CD的长度4，cosb?4.54.一艘缉私船发现一艘走私船正以25海里/小时的速度以105°的方位角（从正北顺时针到目标方向线的水平角）向45°的方向逃跑。
如果缉私船的航速为35海里/小时，缉私船的方位角为45°+α，以便在最短时间内赶上走私船。
（1）求出角度α的正弦值；（2）求缉私艇追上走私船所需的时间．5.某学校餐厅新推出了四个套餐A、B、C和D。
某一天四个套餐的销售柱状图如下。
为了了解学生对四个新套餐的评价，对每个学生进行了问卷调查，然后通过分层抽样从问卷中选出20份。
【市级联考】广东省广州市2021届高三毕业班考前冲刺训练(一)数学(文)试题
【市级联考】广东省广州市2019届高三毕业班考前冲刺训练（一）数学（文）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．将函数()f x 的图像上的所有点向右平移4π个单位长度，得到函数()g x 的图像，若()()sin g x A x ωϕ=+0,0,2πωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭A 的部分图像如图所示，则函数()f x 的解析式为 A ．()5sin 12f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．()2cos 23f x x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭C ．()cos 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．()7sin 212f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭2．已知ABC ∆中，sin 2sin cos 0A B C +=c =，则tan A 的值是( )A B C D 3．某公司10位员工的月工资（单位：元）为1x ，2x ，…，10x ，其均值和方差分别为x 和2s ，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为（ ） A ．x ，22s 100+ B ．100x +，22s 100+ C ．x ，2sD ．100x +，2s4．七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的.如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为（ ）A ．932B ．516C ．38D ．7165．已知等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，4S π=（其中π为圆周率），422a a =，现从此数列的前30项中随机选取一个元素，则该元素的余弦值为负数的概率为( ) A ．1430B ．1530C ．1630D ．17306．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一条直线和两个互相垂直的平面中的一个平面垂直，那么这条直线一定平行于另一个平面；③若一条直线和两个平行平面中的一个平面垂直，那么这条直线也和另一个平面垂直； ④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中，真命题的个数是( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．如图，正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上存在一动点P ，过点P 作垂直于平面11BB D D 的直线，与正方体表面相交于,M N 两点.设BP x =，BMN ∆的面积为S ，则当点P 由点B 运动到1BD 的中点时，函数()S f x =的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a,b ＞0)的左焦点F 1，过点F 1作倾斜角为30°的直线与圆x 2+y 2=b 2相交的弦长为√3a ，则双曲线的离心率为( )A ．√213B ．73C ．√5D ．√559．设双曲线2222:1x y C a b-=(00a b >>，)的左、右焦点分别为12F F ，，过1F 的直线分别交双曲线左右两支于点M N ，，连结22MF NF ，，若220MF NF ⋅=，22MF NF =，则双曲线C 的离心率为( ).AB C D10．已知函数()f x 是奇函数，当0x <时，()()ln 1f x x x x =---，则曲线()y f x =在x e =处的切线方程为（ ） A ．21y x =+B ．e y x =-C ．221y x e =-++D ．1y x e =-+11．若关于x 的方程0x e ax a +-=没有实数根，则实数a 的取值范围是( ) A ．(2,0e ⎤-⎦ B ．)20,e⎡⎣C ．(],0e -D ．[)0,e二、填空题12．在平面直角坐标系xOy 中,角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边交单位圆O 于第一象限的点(),P a b ，且75a b +=，则cos 2πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是___.13．如图，某观测站C 在A 城的南偏西20︒的方向.由A 城出发的一条公路，走向是南偏东40︒，在C 处测得公路上B 处有一人距C 为31km 正沿公路向A 城走去，走了20km 后到达D 处，此时C ，D 两点之间的距离为21km ，这人还要走_____km 才能到达A 城.14．已知数列{}n a 满足11a =，112(1)n n n n a a a a n n ++-=+，*n N ∈，则n a =__________．15．已知点Q 及抛物线24x y =上的动点(,)P x y ，则y PQ +的最小值为______.16．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1DD 的中点，F 是侧面11CDD C 上的动点，且1B F //平面1A BE ，则1B F 与平面11CDD C 所成角的正切值的最大值是_________.17．如图，矩形ABCD 中，M 为BC 的中点，将ABM ∆沿直线AM 翻折成1AB M ∆，连结1B D ，N 为1B D 的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的序号是_______. ①存在某个位置，使得CN AB ⊥； ②翻折过程中，CN 的长是定值； ③若AB BM =，则1AM B D ⊥；④若1AB BM ==，当三棱锥1B AMD -的体积最大时，三棱锥1B AMD -的外接球的表面积是4π.18．设方程()1110xm e +--=的两根分别为1x ，()212x x x <，方程10xe m --=的两根分别为3x ，()434x x x <，若10,2m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()()4132x x x x +-+的取值范围为____________.参考答案1．C 【解析】 【分析】根据图象求出A ，ω和φ的值，得到g （x ）的解析式，然后将g （x ）图象上的所有点向左平移π4个单位长度得到f （x ）的图象． 【详解】 由图象知A ＝1，T π23=-（π6-）π2=，即函数的周期T ＝π， 则2πω=π，得ω＝2， 即g （x ）＝sin （2x+φ），由五点对应法得2π3⨯+φ＝2k π+π，k πZ,φ2∈<,得φπ3=，则g （x ）＝sin （2x π3+），将g （x ）图象上的所有点向左平移π4个单位长度得到f （x ）的图象，即f （x ）＝sin[2（x π4+）π3+]＝sin （2x ππ32++）=πcos 2x 3⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 故选C ． 【点睛】本题主要考查三角函数解析式的求解，结合图象求出A ，ω和φ的值以及利用三角函数的图象变换关系是解决本题的关键． 2．A 【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得cos sin 3sin cos B C B C =-，根据正弦定理，余弦定理化简整理可得：2222a b c +=c =，解得a b =，可得A 为锐角，进而利用余弦定理可求cos A 的值，利用同角三角函数基本关系式可求结果． 【详解】∵()sin 2sin cos sin 2sin cos A B C B C B C +=++sin cos cos sin 2sin cos 0B C B C B C =++=，∴cos sin 3sin cos B C B C =-，∴cos 3cos c B b C =-，可得：()222222322a c b a b c c b ac ab+-+-⋅=-⋅， 整理可得：2222a b c +=，c =，∴222223a b c b +==，解得a b =，可得A 为锐角，∴2222222b c a cosA bc +-===，可得：1sin 2A =，tan A =， 故选A ． 【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题． 3．D 【解析】 试题分析：均值为;方差为,故选D.考点：数据样本的均值与方差. 4．C 【解析】分析：由七巧板的构造，设小正方形的边长为1，计算出黑色平行四边形和黑色等腰直角三角形的面积之和．详解：设小正方形的边长为1；黑色等腰直角三角形的直角边为2，斜边为，所以1223P 8+⨯⨯==， 故选C ．点睛：本题主要考查几何概型，由七巧板的构造，设小正方形的边长为1，通过分析观察，求得黑色平行四边形的底和高，以及求出黑色等腰直角三角形直角边和斜边长，进而计算出黑色平行四边形和黑色等腰直角三角形的面积之和，再将黑色部分面积除以大正方形面积可得概率，属于较易题型． 5．A 【解析】 【分析】由等差数列前n 项和以及等差数列通项公式，列出方程组，求出首项和公差，从而得到()1101010n n a n πππ=+-⨯=，进而前30项中，第6至14项和第26项至第30项的余弦值是负数，由此能求出现从此数列的前30项中随机选取一个元素，则该元素的余弦值为负数的概率． 【详解】∵等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，4S π=（其中π为圆周率），422a a =，∴()4111434 232S a d a d a d π⨯⎧=+=⎪⎨⎪+=+⎩，解得110a d π==，∴()1101010n n a n πππ=+-⨯=， ∴前30项中，第6至14项和第26项至第30项的余弦值是负数， ∴现从此数列的前30项中随机选取一个元素， 则该元素的余弦值为负数的概率为1430p =，故选A ． 【点睛】本题主要考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用，属于中档题. 6．B 【解析】【分析】根据空间中的直线与平面以及平面与平面的平行与垂直关系，对题目中的命题判断正误即可． 【详解】对于①，若一个平面内的两条(相交)直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行，∴①错误；对于②，若一条直线和两个互相垂直的平面中的一个平面垂直，那么这条直线平行于另一个平面(或在这个平面内)，∴②错误；对于③，若一条直线和两个平行平面中的一个平面垂直，那么这条直线也和一个平面垂直，③正确；对于④，若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直，④正确；综上所述，真命题的序号是③④，共2个． 故选B ． 【点睛】本题考查了空间中的直线与平面、平面与平面之间的平行与垂直关系的应用问题，是基础题．对于这种题目的判断一般是利用课本中的定理和性质进行排除，判断；还可以画出样图进行判断，利用常见的立体图形，将点线面放入特殊图形，进行直观判断. 7．D 【解析】设2MN y =，而P 由B 运动到1BD 的中点的过程中，tan 12BP BP xBMPMP yMN ===∠，由相似三角形，可知tan BMP ∠为定值，设正方体的边长为a ，当P 为线段1BD的中点时，tan BMP ∠==则,y x BMN =∆的面积为12S MN BP =⨯⨯()2102x x ==>，故选D. 8．A 【解析】 【分析】求出直线方程y =√33(x +c )，根据直线截圆所得的弦长公式列出方程和b 2=c 2−a 2相结合求解即可． 【详解】 双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a,b ＞0)的左焦点F 1(−c ，0)， 过点F 1作倾斜角为30°的直线y =√33(x +c )与圆x 2+y 2=b 2相交的弦长为√3a ，可得：(|√33c|√12+(√33))2=b 2−(√3a 2)2， 结合b 2=c 2−a 2化简可得：c 2a 2=73，则双曲线的离心率e =√213，故选A ． 【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力，常见的离心率的几种解法：1、直接求出a,c ，求解e ；2、变用公式e =c a=√1+b2a2（双曲线），e =ca =√1−b 2a 2（椭圆）；3、构造a,c 的齐次式，解出e 等. 9．B 【分析】本道题设2MF x =,利用双曲线性质,计算x ，结合余弦定理，计算离心率，即可． 【详解】结合题意可知,设22,,,MF x NF x MN ===则则结合双曲线的性质可得,21122,2MF MF a MF MN NF a -=+-=代入,解得x =,所以122,NF a NF =+=,01245F NF ∠= 对三角形12F NF 运用余弦定理,得到()()()()()22202222cos45a c a ++-=+⋅,解得ce a== 故选B. 【点睛】本道题考查了双曲线的性质，考查了余弦定理，关键利用余弦定理，解三角形，进而计算x ，即可，难度偏难． 10．D 【解析】 【分析】根据奇函数定义，求得在0x >时函数解析式；代入x 的值求得点的坐标，利用导数求得切线的斜率，结合直线的点斜式即可求得切线方程。
广东省广州市备战2021高三数学(文科)第一轮复习测试试题及答案09 Word版含答案
2021广州市高考数学（文科）一轮复习测试题09本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{}4,3,2,1=U ，{}2,1=A ,{}4,2=B ,则=⋃B A C U ）（（ ） A ． {}2,1 B ． {}4,32， C ．{}4,3 D ．{}4,3,2,1 【答案】B【.解析】由于{}4,3,2,1=U ，{}2,1=A ，所以{34}UA =，,所以{2,3,4}U C A B ⋃=（），选B.2. 若复数i Z =1, i Z -=32,则=12Z Z （ ） A ． 13i -- B ．i +2 C ．13i + D ．i +3 【答案】A 【.解析】2133113Z i i Z i i -==-=--，选A.3．AC 为平行四边形ABCD 的一条对角线，(2,4),(1,3),AB AC AD ===则（ ） A ．(2,4) B ．(3,7) C ．(1,1) D ．(1,1)-- 【答案】D【.解析】由于(2,4),(1,3),AB AC ==所以(1,1)BC AC AB =-=--，即(1,1)AD BC ==--，选D. 4．下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,)+∞上单调递减的函数是（ ）A ．ln y x =B ．2y x =C ．cos y x =D ．||2x y -=【答案】D【.解析】ln y x =单调递增，且为非奇非偶函数，不成立。
2y x =是偶函数，但在(0,)+∞上递增，不成立。
cos y x =为偶函数，但在(0,)+∞上不单调，不成立，所以选D.5．设,m n 是不同的直线，,αβ是不同的平面，下列命题中正确的是（ ）A ．若//,,m n m n αβ⊥⊥，则αβ⊥B ．若//,,m n m n αβ⊥⊥，则//αβC ．若//,,//m n m n αβ⊥，则α⊥βD ．若//,,//m n m n αβ⊥，则//αβ 【答案】C【.解析】C 中，当//,//m m n α，所以，//,n α或,n α⊂当n β⊥，所以α⊥β，所以正确。
广东省广州市普通高中2021高考高三数学第1次模拟试题精选：集合与逻辑01 Word版含答案
集合与逻辑011、 函数=y )(x f (R x ∈) ,那么 ")2()1(f f <〞是 "函数=y )(x f 在R 上是增函数〞的…………… ……………………… ( )(A )充分非必要条件. (B )必要非充分条件. (C )充要条件. (D )非充分非必要条件. 【答案】B【解析】假设函数=y )(x f 在R 上是增函数 ,那么)2()1(f f <成立 .当)2()1(f f <时 ,函数=y )(x f 在R 上不一定是增函数 ,所以 ")2()1(f f <〞是 "函数=y )(x f 在R 上是增函数〞的必要非充分条件 ,选B.2、集合{}{}a x x B x x A ≥=≤=,2 ,且R B A = ,那么实数a 的取值范围是____________． 【答案】2≤a【.解析】要使R B A = ,那么有2a ≤3、函数)2(log 1)(2≥+=x x x f 的反函数=-)(1x f ________________．【答案】)2(2)(11≥=--x x fx【.解析】由21log y x =+ ,得21log y x -= ,所以12y x -= ,即11()2x fx --= .因为2x ≥ ,所以2()1log 112f x x =+≥+= ,即2y ≥ ,所以)2(2)(11≥=--x x f x .4、假设集合{}{}{}0,,1,2,1A m B A B === ,那么实数=m .【答案】1 【解析】因为{}1A B = ,所以1A∈ ,即1m = .5、假设集合}156|{>+=x x A ,集合1{-=B ,0,1,2,}3 ,那么A B = . 【答案】}0,1{-【解析】由615x >+得5065x x +>⎧⎨>+⎩ ,即056x <+< ,所以51x -<< ,即{|51}A x x =-<< ,所以{1,0}A B =- .6、对于原命题 "周期函数不是单调函数〞 ,以下陈述正确的选项是……………………… ( )．A .逆命题为 "单调函数不是周期函数〞 .B 否命题为 "周期函数是单调函数〞C .逆否命题为 "单调函数是周期函数〞D . 以上三者都不对【答案】D【.解析】周期函数不是单调函数得逆命题为 "不是单调函数的函数 ,就是周期函数〞 ,A 错 .否命题为 "不是周期函数的函数是单调函数〞 ,B 错 .逆否命题为 "单调函数不是周期函数 ,C 错 ,所以选D.7、集合{}0,A a =,{}21,B a = ,假设{}0,1,4,16AB = ,那么a = ▲ ．【答案】4【.解析】因为{}0,1,4,16AB = ,所以4a =或16a = .假设4a = ,那么{}0,4A =,{}1,16B = ,满足{}0,1,4,16A B = .假设16a = ,那么{}0,16A =,{}1,256B = ,不满足{}0,1,4,16A B = ,所以4a = .8、对于原命题： "a b c R ∈、、 ,假设a b > ,那么22ac bc >〞 ,以及它的逆命题、否命题、逆否命题 ,在这4个命题中 ,真命题的个数为A ．0个B ．1个C ．2个D ．4个 【答案】C【.解析】当0c =时 ,22ac bc >不成立 ,所以原命题错误 ,即逆否命题错误 .原命题的逆命题为 "a b c R ∈、、 ,假设22ac bc > ,那么a b >〞 ,所以逆命题正确 ,即否命题也正确 ,所以这4个命题中 ,真命题的个数为2个 ,选C.9、 "3=a 〞是 "函数22)(2+-=ax x x f 在区间[)+∞,3内单调递增〞的……… ( ))(A 充分非必要条件． )(B 必要非充分条件． )(C 充要条件． )(D 既非充分又非必要条件．【答案】A【.解析】假设函数22)(2+-=ax x x f 在区间[)+∞,3内单调递增 ,那么有232aa --=≤ ,所以 "3=a 〞是 "函数22)(2+-=ax x x f 在区间[)+∞,3内单调递增〞的充分非必要条件 ,所以选A.10、以下四个命题中 ,真命题的个数为①集合{}4321,,,a a a a 的真子集的个数为15；②平面内两条直线的夹角等于它们的方向向量的夹角； ③设C z z ∈21, ,假设02221=+z z ,那么01=z 且02=z ；④设无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ,假设{}n S 是等差数列 ,那么{}n a 一定是常数列． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】B【.解析】①正确 .②错误 .③当12,1z i z ==时 ,满足02221=+z z ,但10z ≠且20z ≠ ,所以错误 .④错误 .假设n S 为等差数列 ,设1(1)n S S n d =+- ,n =1时 ,11a S = ,1n >时 ,1n n n a S S d -=-= ,所以假设1S d = ,那么{}n a 为常数列 .假设1S d ≠,那么{}n a 不是常数列 ,它从第2项开始为常数 ,但第1项不等于第2项 .选B.11、集合{,,,,},{,,,}A a b c d e B c d e f == ,全集U A B = ,那么集合()UA B 中元素的个数为__________________. 【答案】3【.解析】因为U AB = ,所以{,,,,,}U A B a b c d e f == ,所以{,,}A B c d e = ,所以(){,,}UA B a b f = ,所以集合()UA B 中元素的个数为3个 .12、集合{}{}2230,12A x x x B x x =+-<=-< ,那么A B =_______.【答案】(1,1)-【.解析】{}2230{31}A x x x x x =+-<=-<< ,{}12{13}B x x x x =-<=-<< ,所以A B ={11}x x -<< .13、命题 "假设22()f x m x = ,2()2g x mx m =- ,那么集合1{|()(),1}2x f x g x x <≤≤=∅〞 是假命题 ,那么实数m 的取值范围是 ． 【答案】(7,0)- 【解析】题意即不等式)()(x g x f <在112x ≤≤时有解. m mx x m 2222-<⇒02)(22<+-m x m m令t x =2,那么114t ≤≤ ,又令m t m m t h 2)()(2+-= ,那么)(t h 的图像是直线 ,不等式0)(<t h 有解的充要条件是1()04h < ,或0)1(<h ⇒0242<+-m m m ,或02)(2=+-m m m⇒072<+m m ,或02<+m m ⇒ -7<m <0 ,或 -1<m <0⇒ -7<m <0.14、集合},0)1)(2({R ∈<-+=x x x x A ,},01{R ∈<+=x x x B ,那么=B A _____________．【答案】}12{-<<-x x【.解析】{(2)(1)0}{21}A x x x x x =+-<=-<< ,{10}{1}B x x x x =+<=<- ,所以{21}A B x x =-<- .15、R ∈x ,条件p ：x x <2,条件q ：11≥x,那么p 是q 的………………… ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【.解析】由x x <2得01x << .由11≥x得01x <≤ ,所以p 是q 的充分不必要条件 ,选A.16、以下说法错误的选项是…………………………………………………………………… ( )A ．直角坐标平面内直线的倾斜角的取值范围是),0[πB ．直角坐标平面内两条直线夹角的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0πC ．平面内两个非零向量的夹角的取值范围是),0[πD ．空间两条直线所成角的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π 【答案】C【.解析】平面内两个非零向量的夹角的取值范围是[0,]π,所以C 错误 .选C.。
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广东省广州市2019届高三数学考前冲刺训练试题（一）文（含解析）一、选择题1.将函数的图像上的所有点向右平移个单位长度，得到函数的图像，若的部分图像如图所示，则函数的解析式为A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据图象求出A，ω和φ的值，得到g（x）的解析式，然后将g（x）图象上的所有点向左平移个单位长度得到f（x）的图象．【详解】由图象知A＝1，（），即函数的周期T＝π，则π，得ω＝2，即g（x）＝sin（2x+φ），由五点对应法得2φ＝2kπ+π，k,得φ，则g（x）＝sin（2x），将g（x）图象上的所有点向左平移个单位长度得到f（x）的图象，即f（x）＝sin[2（x）]＝sin（2x）=，故选：C．【点睛】本题主要考查三角函数解析式的求解，结合图象求出A，ω和φ的值以及利用三角函数的图象变换关系是解决本题的关键．2.已知中，，，则的值是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得，根据正弦定理，余弦定理化简整理可得：，结合已知，解得，可得为锐角，进而利用余弦定理可求的值，利用同角三角函数基本关系式可求结果．【详解】∵，∴，∴，可得：，整理可得：，又∵，∴，解得，可得为锐角，∴，可得：，，故选A．【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．3.根据如下样本数据3 4 5 6 74 -0.5 0.5 -2得到的回归直线方程为.若样本中心为，则每减少1个单位，就( )A. 增加1.4个单位B. 减少1.4个单位C. 增加1.2个单位D. 减少1.2个单位【答案】A【解析】【分析】利用样本中心坐标满足回归直线方程，列出方程组求解得到的值，进而可得结果.【详解】由线性回归方程过样本中心点可得，由可得，解得，可得回归直线方程为则每减少1个单位，就增加1.4个单位，故选A．【点睛】本题主要考查回归直线方程的求法与应用，考查计算能力，属于基础题.4.某公司位员工的月工资（单位：元）为，，…，，其均值和方差分别为和，若从下月起每位员工的月工资增加元，则这位员工下月工资的均值和方差分别为（）A. ， B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】试题分析：均值为;方差为,故选D.考点：数据样本的均值与方差.5.七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的.如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由七巧板的构造，设小正方形的边长为1，计算出黑色平行四边形和黑色等腰直角三角形的面积之和。
详解：设小正方形的边长为1，可得黑色平行四边形的底为高为；黑色等腰直角三角形的直角边为2，斜边为2，大正方形的边长为2，所以，故选C。
点睛：本题主要考查几何概型，由七巧板的构造，设小正方形的边长为1，通过分析观察，求得黑色平行四边形的底和高，以及求出黑色等腰直角三角形直角边和斜边长，进而计算出黑色平行四边形和黑色等腰直角三角形的面积之和，再将黑色部分面积除以大正方形面积可得概率，属于较易题型。
6.已知等差数列中，为其前项和，（其中为圆周率），，现从此数列的前30项中随机选取一个元素，则该元素的余弦值为负数的概率为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由等差数列前项和以及等差数列通项公式，列出方程组，求出首项和公差，从而得到，进而前项中，第6至14项和第26项至第30项的余弦值是负数，由此能求出现从此数列的前30项中随机选取一个元素，则该元素的余弦值为负数的概率．【详解】∵等差数列中，为其前项和，（其中为圆周率），，∴，解得，∴，∴前30项中，第6至14项和第26项至第30项的余弦值是负数， ∴现从此数列的前30项中随机选取一个元素， 则该元素的余弦值为负数的概率为，故选A ．【点睛】本题主要考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用，属于中档题.7.给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一条直线和两个互相垂直的平面中的一个平面垂直，那么这条直线一定平行于另一个平面；③若一条直线和两个平行平面中的一个平面垂直，那么这条直线也和另一个平面垂直； ④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中，真命题的个数是( ) A. 1个 B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B 【解析】 【分析】根据空间中的直线与平面以及平面与平面的平行与垂直关系，对题目中的命题判断正误即可． 【详解】对于，若一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行，错误；对于，若一条直线和两个互相垂直的平面中的一个平面垂直，那么这条直线平行于另一个平面或在这个平面内，错误；对于，若一条直线和两个平行平面中的一个平面垂直，那么这条直线也和一个平面垂直，正确； 对于，若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直，正确；综上所述，真命题的序号是，共2个．故选：B．【点睛】本题考查了空间中的直线与平面、平面与平面之间的平行与垂直关系的应用问题，是基础题．对于这种题目的判断一般是利用课本中的定理和性质进行排除，判断；还可以画出样图进行判断，利用常见的立体图形，将点线面放入特殊图形，进行直观判断.8.在正方体中，用空间中与该正方体所有棱成角都相等的平面去截正方体，在截面边数最多时的所有多边形中，多边形截面的面积为，周长为，则( )A. 为定值，不为定值B. 不为定值，为定值C. 与均为定值D. 与均不为定值【答案】B【解析】【分析】利用正方体棱的关系，判断平面所成的角都相等的位置，可知截面边数最多时为六边形，如图所示，可计算出周长为定值，当六边形的边长相等即截面为正六边形时，截面面积最，．【详解】正方体的所有棱中，实际上是3组平行的棱，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，如图：与面平行的面且截面是六边形时满足条件，不失一般性设正方体边长为1，可得平面与其他各面的交线都与此平面的对角线平行，即等设，则，∴，∴，同理可得六边形其他相邻两边的和为，∴六边形的周长为定值．当六边形的边长相等即截面为正六边形时，截面面积最大，最大面积，故可得周长为定值，面积为定值，故选B.【点睛】本题主要考查了利用平面几何的知识解决立体几何，考查学生的空间想象能力，属于中档题.9.如图，正方体的对角线上存在一动点，过点作垂直于平面的直线，与正方体表面相交于两点.设，的面积为，则当点由点运动到的中点时，函数的图象大致是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设，而由运动到的中点的过程中，，由相似三角形，可知为定值，设正方体的边长为，当为线段的中点时，，则的面积为，故选D.10.已知双曲线的左焦点，过点作倾斜角为的直线与圆相交的弦长为，则双曲线的离心率为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出直线方程，根据直线截圆所得的弦长公式列出方程和相结合求解即可．【详解】双曲线的左焦点，过点作倾斜角为的直线与圆相交的弦长为，可得：，结合化简可得：，则双曲线的离心率，故选A．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力，常见的离心率的几种解法：1、直接求出，求解；2、变用公式（双曲线），（椭圆）；3、构造的齐次式，解出等.11.设双曲线()的左、右焦点分别为，过的直线分别交双曲线左右两支于点，连结，若，，则双曲线的离心率为( ).A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本道题设,利用双曲线性质,计算x，结合余弦定理，计算离心率，即可。
【详解】结合题意可知,设则结合双曲线的性质可得,代入,解得,所以,对三角形运用余弦定理,得到,解得故选B.【点睛】本道题考查了双曲线的性质，考查了余弦定理，关键利用余弦定理，解三角形，进而计算x，即可，难度偏难。
12.已知函数是奇函数，当时，，则曲线在处的切线方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据奇函数定义，求得在时函数解析式；代入x的值求得点的坐标，利用导数求得切线的斜率，结合直线的点斜式即可求得切线方程。
【详解】因为函数是奇函数，且当时，令，则所以又因为所以当所以，则而，所以切点为所以切线方程为所以选D【点睛】本题考查了函数解析式的求法，过曲线上一点切线方程的求法，属于基础题。
13.若关于的方程没有实数根，则实数的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】 【分析】 方程化为，令，求出函数的值域，只需令属于所求值域的补集即可得结果. 【详解】因为不满足方程，所以原方程化为化为，，令， 时，；时，，令，+ 0 - 递增递减 当，即时，， 综上可得，的值域为，要使无解，则，即使关于的方程没有实数根的实数的取值范围是，故选A.【点睛】本题主要考查利用导数研究方程的根，以及转化与划归思想的应用，属于难题. 已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.二、填空题14.在平面直角坐标系中,角的顶点为坐标原点,始边与轴的非负半轴重合,终边交单位圆于点,且,则的值是______.【答案】【解析】【分析】利用任意角的三角函数的定义求得sinα＝b，cosα＝a，两边平方利用同角三角函数基本关系式可求2sinαcosα的值，利用诱导公式及二倍角公式化简所求即可计算得解．【详解】∵在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边交单位圆O于点P（a，b），∴由任意角的三角函数的定义得，sinα＝b，cosα＝a．∵，可得：sinα+cosα，∴两边平方可得：sin2α+cos2α+2sinαcosα，可得：1+2sinαcosα，解得：2sinαcosα，∴sin2α＝﹣2sinαcosα．故答案为：．【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数基本关系式，诱导公式及二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于中档题．15.如图，某观测站在城的南偏西的方向.由城出发的一条公路，走向是南偏东，在处测得公路上处有一人距为正沿公路向城走去，走了后到达处，此时，两点之间的距离为，这人还要走_____才能到达城.【答案】15【解析】【分析】先求出，进而设，则，可求，在中，由正弦定理求得，答案可得．【详解】由已知得，，，在中，由余弦定理得，设，则，，在中，由正弦定理得，，即所求的距离为15公里，故答案为15.【点睛】本题主要考查了解三角新的实际应用．解题的关键是利用正弦定理，利用边和角的关系求得答案，属于中档题.16.已知数列满足，，，则__________．【答案】【解析】由知，利用累加法可得即，可得，即．故本题应填．17.已知点及抛物线上的动点，则的最小值为______.【答案】2 【解析】试题分析：设抛物线的焦点为F （0,1），由抛物线的知：，所以的最小值为.考点：抛物线的定义；两点间的距离公式。