高二数学 第二章 第2节 椭圆(理)知识精讲 人教新课标A版选修21

高二数学 第二章 第2节 椭圆（理）知识精讲 人教新课标

A 版选修21

一、学习目标：

1、知识目标：掌握椭圆的定义、标准方程和几何性质。

2、能力目标：培养学生的解析几何观念；培养学生的观察、概括能力，以及类比的学习方法；培养学生分析问题、解决问题的能力。

二、重点、难点：

重点：掌握椭圆的定义、标准方程和几何性质，并会利用椭圆的几何性质解决一些问题。 难点：对椭圆的定义和几何性质的灵活应用，会处理有关椭圆焦点三角形的问题，并能与正余弦定理相结合。能用坐标法解决简单的直线与椭圆的位置关系等问题。

三、考点分析：

本节课我们主要学习熟练掌握椭圆的定义及其两种标准方程，会用待定系数法确定椭圆的方程，以及对椭圆的简单几何性质的运用。初步掌握用相关点法和直接法求轨迹方程的一般方法，同时掌握一些直线与椭圆的位置关系的运用。

1、对椭圆第一定义的理解

在椭圆的第一定义中，平面内动点与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数，当这个常数大于|F 1F 2|时，动点的轨迹是椭圆；当这个常数等于|F 1F 2|时，动点的轨迹是线段F 1F 2；当这个常数小于|F 1F 2|时，动点不存在。

2、椭圆的第二定义：点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个小于1的正常数e ，这个点的轨迹是椭圆。定点是椭圆的焦点，定直线叫椭圆的准线，常数e 是椭圆的离心率。

注意：

（1）定点必须在直线外。 （2）比值必须小于1。

（3）符合椭圆第二定义的动点轨迹肯定是椭圆，但它不一定具有标准方程的形式。 （4）椭圆离心率的两种表示方法：

c P F e a P F =

=椭圆上任意一点到焦点的距离点到与对应的准线的距离

准线方程为：

椭圆焦点在x 轴 2a x c =±

椭圆焦点在y 轴 c

a y 2

±=

3、椭圆的标准方程

椭圆方程

图形特征

几

何

性

质

范围

顶点

焦点

准线

对称性

长短轴

离心率

焦半径

4、常用的公式及结论：

（1）对于给定的椭圆的标准方程，要判断焦点在哪个轴上，只需比较其与2x、2y项分母的大小即可。若2x项分母大，则焦点在x轴上；若2y项分母大，则焦点在y轴上。

（2）对于椭圆的两种标准方程，都有0

b

a>

>，焦点都在长轴上，且a、b、c始终满足2

2

2b

a

c-

=

（3）求曲线方程的一般方法步骤：建系设点→列等式→代坐标→化简方程

5、直线与椭圆的位置关系

掌握直线与椭圆的位置关系，通过对直线方程与椭圆方程组成的二元二次方程组的解来讨论它们的位置关系。

（1）若方程组消元后得到一个一元二次方程，则根据Δ来讨论。

（2）对于直线与椭圆的位置关系，还可以利用“数形结合，以形助数”的方法来解决。

弦长公式：|AB|＝[]21

2

2

1

2

2

1

2x

x4

)

x

x(

)

k

1(

|

x

x|

k

1-

+

⋅

+

=

-

⋅

+

若用k，y1及y2表示|AB|，则|AB|＝)0

k(|

y

y|

1

k

1

2

1

2

≠

-

⋅

+

知识点一求椭圆的标准方程

例1：已知椭圆两个焦点的坐标分别是()2

0-

，，()20，，并且经过点35,

22

⎛⎫

- ⎪

⎝⎭

，求它的标准方程。

思路分析：

1）题意分析：本小题主要考查椭圆标准方程的求解。

2）解题思路：

思路1：利用椭圆定义求解；

思路2：先根据已知条件设出焦点在y轴上的椭圆方程的标准方程

122

22=+b

x a y ()0>>b a 。 解答过程：

解法1：结合定义，利用椭圆上的点⎪⎭

⎫

⎝⎛-2523，到两个焦点()20-，

、()20，的距离之和为常数2a ，求出a 的值，再结合已知条件和a 、b 、c 间的关系求出2

b 的值，进而写出标准

方程为16

x 10y 2

2=+；

解法2：先根据已知条件设出焦点在y 轴上的椭圆方程的标准方程

12

222=+b x a y ()0>>b a ，再将椭圆上点的坐标⎪⎭⎫

⎝⎛-2523，代入此方程，并结合a 、b 、c 间的关系求出2

a 、2

b 的值，从而得到椭圆的标准方程为

16

102

2=+x y 。 解题后的思考：

对于求解椭圆的标准方程一般有两种方法：可以通过待定系数法求解，也可以通过椭圆的定义进行求解。

例2：求适合下列条件的椭圆的标准方程：

已知椭圆的两焦点的距离为6，椭圆上一点P 到两焦点的距离和为10。 思路分析：

1）题意分析：该题考查焦点在不同坐标轴上的椭圆的标准方程，以及对c b a ,,间关系的掌握情况。

2）解题思路：结合椭圆的定义以及两种标准方程，运用待定系数法求解。 解答过程： 解：（1）∵当椭圆的焦点在x 轴上时，设它的标准方程为：

)0(122

22>>=+b a b

y a x ∵62,102==c a ∴3,5==c a

∴16352

2

2

2

2

=-=-=c a b

∴所求椭圆的方程为：

116

252

2=+y x 。 （2）当椭圆的焦点在y 轴上时，设它的标准方程为：

)0(12

2

22>>=+b a b x a y ∵62,102==c a ∴3,5==c a

∴16352

2

2

2

2

=-=-=c a b

∴所求椭圆的方程为：

116

252

2=+x y 。 解题后的思考：本题考查运用椭圆的几何性质求解椭圆的标准方程，应注意对焦点位置的确定，然后用待定系数法进行求解运算。