浙教版初中数学第三章图形的平移与旋转
初中数学知识归纳平移旋转和对称变换
初中数学知识归纳平移旋转和对称变换初中数学知识归纳：平移、旋转和对称变换数学是一门具有广泛应用的学科，也是培养学生逻辑思维和解决问题能力的重要学科之一。
在初中数学中，平移、旋转和对称变换是数学中常见的几何变换操作，对于学生们的几何观念理解和图形思维的培养具有重要意义。
本文将对初中数学中的平移、旋转和对称变换进行归纳和总结。
一、平移（Translation）平移是指在平面内按照一定的方向和距离将图形移动到另一个位置的几何变换操作。
平移操作不改变图形的大小和形状，只是改变了图形的位置。
在平移中，每个点都按照相同的方向和距离进行移动。
平移的基本要素有：平移向量和被平移图形。
平移向量是指平移的方向和距离，可以用箭头表示。
被平移图形是指需要进行平移操作的图形。
二、旋转（Rotation）旋转是指按照某个中心点和旋转角度将图形绕这个中心点进行旋转的几何变换操作。
旋转不改变图形的大小和形状，只是改变了图形的方向。
在旋转中，每个点都绕着中心点按照相同的角度进行旋转。
旋转的基本要素有：旋转中心、旋转角度和被旋转图形。
旋转中心是指旋转的中心点，旋转角度是指旋转的角度大小，可以用度数表示。
被旋转图形是指需要进行旋转操作的图形。
三、对称变换（Symmetry）对称变换是指通过某条线、某个点或某个面将图形镜像成另一个图形的几何变换操作。
对称变换不改变图形的大小和形状，只是改变了图形的位置或方向。
在对称变换中，每个点通过指定的对称轴或对称中心得到对应的镜像点。
常见的对称变换有关于x轴、y轴和原点的对称等。
关于x轴的对称是指图形在x轴上下对称，即图形上的每个点与其镜像点关于x轴对称；关于y轴的对称是指图形在y轴左右对称，即图形上的每个点与其镜像点关于y轴对称；关于原点的对称是指图形在原点内外对称，即图形上的每个点与其镜像点关于原点对称。
综上所述，初中数学中的平移、旋转和对称变换是数学几何中常见的几何变换操作。
通过学习和理解这些几何变换，学生们可以更好地把握图形的性质和形态，同时培养几何思维和问题解决能力。
初中七年级数学课教案：图形的平移、旋转与翻转
初中七年级数学课教案：图形的平移、旋转与翻转一、引言数学是一门抽象而又实用的学科，对学生的思维能力和逻辑思维能力的培养具有重要作用。
在初中七年级数学课程中，图形的平移、旋转与翻转是一门基础课程，对学生建立坐标系和运用几何知识具有重要意义。
本文将以初中七年级数学课教学大纲的要求为基础，设计一节关于图形的平移、旋转与翻转的教案。
通过引入有趣的教学方法和实践活动，激发学生的兴趣，提高他们的学习效果。
二、教学目标1. 知识目标了解图形的平移、旋转与翻转的概念；掌握图形沿坐标轴的平移、旋转和翻转的方法；能够应用所学方法解决与图形平移、旋转和翻转相关的问题。
2. 能力目标培养学生的观察力和空间想象能力；培养学生的逻辑思维和分析问题的能力；提高学生运用所学知识解决实际问题的能力。
3. 情感目标激发学生对数学的兴趣和热爱；培养学生合作学习和分享的意识；培养学生解决问题的耐心和恒心。
三、教学过程1. 导入使用一个生动的例子引入平移、旋转和翻转的概念，例如：小明将一张纸上的图形放在地上，然后将图形移到其他位置，这就是图形的平移。
接着，让学生观察一下自己的左右手，了解左右手是一个翻转的关系，这就是图形的翻转。
最后，让学生围成一个圈，然后旋转一下，这就是图形的旋转。
2. 概念讲解介绍图形的平移、旋转和翻转的定义和性质，通过示意图和实际物体的演示让学生更好地理解。
3. 基础练习让学生用直尺、铅笔和纸练习图形的平移、旋转和翻转操作。
教师可以提供一些简单的图形，让学生按照要求进行操作，并且让学生给出操作过程中的心得体会。
4. 深化训练设计一些有趣的问题，让学生进行探究。
例如：给定一个图形进行平移，如果改变平移的方向和距离，图形会发生什么变化？给定一个图形进行旋转，如果改变旋转的角度，图形会发生什么变化？这些问题可以激发学生的兴趣和思考，培养他们的逻辑思维能力。
5. 实践活动安排一次团队合作的活动，设计一个迷宫游戏。
学生需要根据给定的图形和平移、旋转和翻转的操作规则，通过迷宫找到出口。
平移和旋转的区别与联系(数学图形初中知识点总结)
平移和旋转的区别与联系（数学图形初中知识点总结）平移和旋转是数学图形初中数学的基础知识，也是我们在生活中常见的几何变换方式。
本文将围绕平移和旋转的区别与联系进行阐述。
一、平移平移在数学上的定义是指图形在平面内按照某个方向和距离进行移动。
可以理解为保持图形形状和大小不变，只是在平面上改变它的位置。
平移有以下几个基本要素：1. 平移向量：平移向量指平移前后的两个点之间的矢量，它的长度和方向表示了平移的大小和方向。
2. 平移距离：平移距离指平移向量的长度，表示了平移的距离。
3. 平移方向：平移方向指平移向量的方向，表示了平移的方向。
平移的特点是不改变图形的大小和形状，只是改变了它的位置。
因为平移不改变图形的性质，所以它被广泛应用于数学、几何、物理等领域中。
二、旋转旋转在数学上的定义是指围绕固定点或固定直线进行的旋转。
可以理解为图形保持大小不变，只是在平面上进行旋转。
旋转有以下几个基本要素：1. 旋转中心：旋转的中心点。
2. 旋转角度：旋转的角度，用度（°）表示。
3. 旋转方向：旋转的方向，可以是顺时针或逆时针。
与平移不同，旋转可以改变图形的方向和形状，但保持了它的大小不变。
三、平移与旋转的区别从定义上来看，平移和旋转的基本区别在于它们的操作对象和方式不同。
平移是通过改变图形的位置来实现变换，而旋转是通过改变图形的方向和形状来实现变换。
具体而言，平移的基本要素是向量，而旋转的基本要素是旋转中心、旋转角度和旋转方向。
其次，平移和旋转的性质也不同。
平移不改变图形的大小和形状，只是变其位置，而旋转则可以改变图形的方向和形状，但保持了它的大小不变。
最后，平移和旋转的应用场景也不同。
平移应用于地图制作、机器人控制、图像处理等领域，旋转则应用于建筑设计、物理学、电子工程等领域。
四、平移与旋转的联系虽然平移和旋转有着不同的操作对象、方式和性质，但它们也有着联系。
这里列举以下几点：1. 都是几何变换：平移和旋转都是几何变换的基本形式，是描述图形如何在平面上变换的数学工具。
初中数学旋转与平移教案
一、教学目标1. 让学生理解旋转与平移的概念，掌握它们的基本性质和作图方法。
2. 培养学生运用旋转与平移知识解决实际问题的能力。
3. 培养学生的空间想象能力和动手操作能力。
二、教学内容1. 旋转与平移的定义及性质2. 旋转与平移的作图方法3. 旋转与平移在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 重点：旋转与平移的概念、性质和作图方法。
2. 难点：旋转与平移在实际问题中的应用。
四、教学过程1. 导入：通过生活中的实例，如旋转门、电梯的上下运动等，引导学生感受旋转与平移的现象。
2. 新课讲解：（1）讲解旋转与平移的定义及性质。
旋转：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转。
平移：在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移。
性质：旋转：对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等。
平移：平移前后图形全等，对应点连线平行或在同一直线上且相等。
（2）讲解旋转与平移的作图方法。
旋转作图：确定旋转中心、旋转方向、旋转角，找出图形的关键点，将关键点旋转后连接，得出旋转后的图形。
平移作图：确定平移方向、平移距离，找出图形的关键点，将关键点平移后连接，得出平移后的图形。
3. 实例分析：分析生活中的实例，如滑滑梯、风车转动等，运用旋转与平移的知识进行解释。
4. 练习与讨论：（1）学生独立完成练习题，巩固旋转与平移的知识。
（2）分组讨论，分享旋转与平移在实际问题中的应用实例。
5. 总结与拓展：（1）总结旋转与平移的性质和作图方法。
（2）拓展旋转与平移在其他领域的应用，如艺术设计、工程建筑等。
六、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，评价学生的学习态度和理解程度。
2. 练习作业：检查学生完成的练习题，评价学生的掌握情况。
3. 小组讨论：评估学生在讨论中的表现，评价学生的合作能力和创新思维。
中考数学一轮复习《图形的平移与旋转》课件浙教版
将点 A(3,2)沿 x轴 向左平移 4个单位长度得
答案：(1,1)
4． (2013·温州 )如图，在方格纸 中，△ ABC的三个顶 点和点 P都在小方格的顶点上．按要 求画一个三角形，使 它的顶点在方格的 顶点上．
(1)将△ ABC平 移，使点P落在 平移后的三角形内部， 在图甲中画出示意 图；
图甲
(2)以点 C为旋转中心，将△ ABC旋转 ，使点P落在旋 转后的三角形内部 ，在图乙中画出示意图．
图乙
解：(1)
或
或
(2)
5．(2014·衢州、丽水)如图，正方形网格中的每个小正 方形的边长都是 1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC 的三个顶点 A，B，C 都在格点上．将△ABC 绕点 A 按顺 时针方向旋转 90°得到△AB′C′. (1)在正方形网格中， 画出△AB′C′； (2)计算线段 AB 在变换到 AB′ 的过程中扫过区域的面积．
A．70°
B．65°
C．60°
D．55°
3．(2014·嘉兴、舟山)如图，在直角坐标系中，已知点 A(－3，－1)，点 B(－2,1)，平移线段 AB，使点 A 落在点 A1(0，－1)，点 B 落在点 B1，则点 B1 的坐标为 .
【解析】平移线段时，线段上各点的坐标都作相应的 变化，根据点 A(－3，－1)，点 A1(0，－1)，可知其横坐标 向右平移 3 个单位，纵坐标不变，故只需将点 B 的横坐标 向右平移 3 个单位，纵坐标不变即可得点 B1 的坐标为(1,1)．
考点四 简单的图案设计 设计图案需要有 较好的设计和创新能力，在设计时，
浙教版数学九年级上册_旋转、平移及轴对称的区别和联系
旋转、平移及轴对称的区别和联系旋转、平移及轴对称都是图形之间的变换，是探索图形关系以及作图中必须了解和掌握的知识点，它们之间既有区别又有联系．为了帮助同学们更好地掌握这部分知识，下面就三个方面对它们进行比较分析，供同学们参考．一、三者概念之间的区别1．旋转：在平面内，将一个图形饶一个定点旋转一定的角度，这样的图形运动称为图形的旋转，这个定点称为旋转中心，旋转的角度称为旋转角．2．平移：在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移．3．轴对称：把一个图形沿着某一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形完全重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线就是对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点．由此可以看出，平移只改变图形的位置，不改变形状、方向和大小；而旋转既改变图形的位置，同时又改变了图形的方向；轴对称不改变图形的大小和形状，但改变了图形的方向．二、三者概念和性质之间的相同点对三者概念和性质之间进行比较发现，它们之间具有这样的三点相同点：1．三者都是在平面内进行的图形变换，不涉及立体图形的变换．2．三种变换都只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，所以变换前后的两个图形都是全等形，其对应边相等，对应角相等．3．它们在作图中都要应用三角形全等的有关知识．三、三者性质之间的区别旋转、平移及轴对称它们有各自的性质，通过比较发现它们之间有以下三点的区别：1．旋转、平移及轴对称它们的运动方式不同．旋转的运动方式是将一个图形旋转一定角度；而平移的运动方式是将一个图形沿一定方向移动；对称轴的运动方式则是将一个图形沿一条直线进行翻折．2．旋转、平移及轴对称的对应线段、对应角之间的关系不同．旋转前后两个图形的任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角都是旋转角；而平移前后两1/ 2个图形的对应线段平行（或共线），对应点所连线段平行（或共线），对应角的两边分别平行（或共线）；如果轴对称的对应线段或其延长线相交，那么交点在对称轴上．成轴对称的两个图形对应点连线被对称轴垂直平分．3．旋转、平移及轴对称作图时所需的条件不同．旋转作图需要确定三个元素，即旋转中心的位置，旋转角的大小及旋转的方向；平移作图需要确定两个元素，即平移的距离和平移的方向；而作一个图形的轴对称图形只要确定一个元素就行，即对称轴．2/ 2。
数学解析初中几何中的平移与旋转性质总结与归纳
数学解析初中几何中的平移与旋转性质总结与归纳在初中数学中，几何是一个重要的部分，而平移与旋转是几何中两个基本的变换方式。
平移与旋转性质对于初中几何的学习与理解起着重要的作用。
本文将对初中几何中的平移与旋转性质进行总结与归纳。
一、平移性质平移是指在平面内，保持图形形状不变的前提下，将图形沿着指定的方向平行移动一定的距离。
平移可以有以下性质：1. 平移是一个向量加法：对于任意的平移向量a，b和图形A，B，平移后的图形A'，B'满足A'B' = AB + a + b。
2. 平移保持图形的形状和大小不变：在平移变换下，图形的边长、角度、面积等性质保持不变。
3. 平移可以改变图形的位置：在平移变换下，图形整体移动，但形状不变。
二、旋转性质旋转是指将图形围绕一个中心点按照一定的角度旋转，保持图形的形状不变。
旋转可以有以下性质：1. 旋转是一个圆周运动：对于任意的旋转中心O和图形A，B，旋转后的图形A'，B'满足OA' = OA，∠A'OA = ∠AOA'。
2. 旋转保持图形的形状和大小不变：在旋转变换下，图形的边长、角度、面积等性质保持不变。
3. 旋转可以改变图形的方向：旋转变换可以使图形从顺时针方向变为逆时针方向，或者反之。
三、平移与旋转的关系平移和旋转是两种常见的几何变换方式，在实际问题中常常会同时出现。
它们之间存在如下关系：1. 平移与旋转可以相互交换：对于给定的图形A，平移后旋转与旋转后平移所得到的图形相同。
2. 平移和旋转的次序可以交换：对于给定的图形A，先平移后旋转与先旋转后平移所得到的图形相同。
四、应用举例1. 平移的应用：平移变换常用于解决图形重叠、图形移动等问题。
例如，在求解图形对称性时，可以通过平移变换将图形移动到另一个位置，以便观察其是否与原图形重合。
2. 旋转的应用：旋转变换常用于解决图形旋转、图形定位等问题。
例如，在求解几何中的旋转对称性时，可以通过旋转变换将图形旋转一定角度，以便观察其与原图形的关系。
初中数学知识归纳平移旋转与对称变换的特点
初中数学知识归纳平移旋转与对称变换的特点初中数学知识归纳：平移、旋转与对称变换的特点在初中数学学习中，平移、旋转和对称变换是常见的几何变换形式。
它们在几何图形的变换和性质研究中起着重要的作用。
本文将对平移、旋转和对称变换的特点进行归纳总结。
一、平移的特点平移是指在平面上将一个图形沿着固定的方向和距离移动，使得图形的每一个点都按照相同的方式进行移动。
平移的特点可以归纳如下：1. 保持图形的大小和形状不变：平移只改变图形的位置，而不改变它的大小和形状。
2. 保持图形的内外角度不变：平移前后的图形内外角度是相等的。
3. 保持图形的对称性质：如果一个图形在平移前是对称的，那么它在平移后仍然是对称的。
二、旋转的特点旋转是指将一个图形绕着某一点旋转一定角度，使得图形相对于旋转中心发生变换。
旋转的特点可以归纳如下：1. 保持图形的大小和形状不变：旋转只改变图形的位置和方向，而不改变它的大小和形状。
2. 保持图形的对称性质：如果一个图形在旋转前是对称的，那么它在旋转后仍然是对称的。
3. 保持图形的内外角度不变：旋转前后的图形内外角度是相等的。
三、对称变换的特点对称变换是指将一个图形通过镜像等方式进行改变，使得图形的形状相对于某一条直线、某一点或某个轴对称。
对称变换的特点可以归纳如下：1. 保持图形的大小和形状不变：对称变换只改变图形的位置和方向，而不改变它的大小和形状。
2. 保持图形的内外角度不变：对称变换前后的图形内外角度是相等的。
3. 保持图形的对称性质：对称变换前后的图形仍然是对称的，对称轴或对称中心位置可能发生改变。
综上所述，平移、旋转和对称变换是初中数学中常见的几何变换形式。
它们在图形位置、形状和对称性质的研究中具有重要的作用。
通过对它们的特点进行归纳总结，我们可以更好地理解和应用这些数学概念。
当然，除了这几种几何变换外，还有其他形式的变换，如放缩变换、剪切变换等，它们在实际问题中也有广泛的应用。
通过学习和掌握这些变换的特点，我们可以更好地理解和分析几何图形的性质，并应用于解决实际问题。
初中数学图形的平移与旋转知识点归纳
初中数学图形的平移与旋转知识点归纳在初中数学中，图形的平移和旋转是涉及到几何图形的基本操作。
通过平移和旋转，我们可以改变图形的位置和朝向，从而建立几何图形之间的联系和性质。
本文将对初中数学中与图形的平移和旋转相关的知识点进行归纳和总结。
一、图形的平移平移是指将一个图形沿着指定的方向和距离移动，而不改变该图形的大小、形状和方向。
图形的平移可以通过向左、向右、向上或向下平移来完成。
以下是与图形的平移相关的知识点：1. 平移向量：平移向量表示平移的方向和距离，可以用箭头表示。
平移向量的长度表示平移的距离，箭头的方向表示平移的方向。
2. 平行平移：平行平移是指图形沿着平行于给定方向的线段移动。
在平行平移过程中，图形的各个点保持相对位置不变。
3. 坐标平移：坐标平移是指根据给定的平移向量，将图形上每个点的坐标分别增加或减少相应的数值。
例如，对于二维平面上的点A(x, y)，进行平移向量为(3, 4)的平移，那么新的点A'(x+3, y+4)就是平移后的坐标。
二、图形的旋转旋转是指将一个图形按照一定的角度围绕某个固定点旋转，使得图形绕着该点旋转后，图形上的各个点的位置发生相应的变化。
以下是与图形的旋转相关的知识点：1. 旋转中心：旋转中心是围绕其进行旋转的点，也称为旋转的原点。
2. 旋转角度：旋转角度是指旋转的角度大小，可以是正数、负数或零。
正数表示顺时针旋转，负数表示逆时针旋转。
3. 旋转方向：旋转方向可以根据旋转角度的正负来确定，正数表示顺时针旋转，负数表示逆时针旋转。
4. 中心旋转：中心旋转是指图形围绕一个给定的点旋转。
在中心旋转中，图形上的各个点以旋转中心为中心点，按照给定的旋转角度进行旋转。
5. 角度旋转：角度旋转是指图形围绕一个给定的角度进行旋转。
在角度旋转中，旋转中心通常是坐标原点，图形上的各个点按给定的旋转角度进行旋转。
三、图形的平移与旋转的性质和应用图形的平移和旋转不仅是数学中的重要概念，也在实际生活中广泛应用。
初中数学知识点总结：图形的平移与旋转
初中数学知识点总结：图形的平移与旋转 知识点总结 【一】平移变换： 1.概念：在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移。
2.性质：(1)平移前后图形全等; (2)对应点连线平行或在同一直线上且相等。
3.平移的作图步骤和方法： (1)分清题目要求，确定平移的方向和平移的距离;(2)分析所作的图形，找出构成图形的关健点;(3)沿一定的方向，按一定的距离平移各个关健点;(4)连接所作的各个关键点，并标上相应的字母;(5)写出结论。
【二】旋转变换： 1.概念：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转。
说明：(1)图形的旋转是由旋转中心和旋转的角度所决定的;(2)旋转过程中旋转中心始终保持不动.(3)旋转过程中旋转的方向是相同的.(4)旋转过程静止时，图形上一个点的旋转角度是一样的.⑤旋转不改变图形的大小和形状. 2.性质：(1)对应点到旋转中心的距离相等; (2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角; (3)旋转前、后的图形全等. 3.旋转作图的步骤和方法：(1)确定旋转中心及旋转方向、旋转角;(2)找出图形的关键点;(3)将图形的关键点和旋转中心连接起来，然后按旋转方向分别将它们旋转一个旋转角度数，得到这些关键点的对应点;(4)按原图形顺次连接这些对应点，所得到的图形就是旋转后的图形. 说明：在旋转作图时，一对对应点与旋转中心的夹角即为旋转角. 常见考法 (1)把平移旋转结合起来证明三角形全等;(2)利用平移变换与旋转变换的性质,设计一些题目。
误区提醒 (1)弄反了坐标平移的上加下减，左减右加的规律;(2)平移与旋转的性质没有掌握。
初中数学《图形的平移与旋转》单元教学设计以及思维导图
1、经历观察、分析、操作、欣赏以及抽象、概括等过程。 2、经历对图形进行观察、分析、欣赏和动手操作、画图等过程，掌
握有关画图的操作技能。
3、经历对生活中与旋转现象有关的图形进行观察、分析、欣赏以及
动手操作、画图等过程，掌握有关画图的操作技能。
4、经历对具有旋转特征的图形进行观察、分析、动手操作和画图等 过程，掌握画图技能。
3、班内展示
【技术应用】借助多媒体设备，形象直观的观察图形特点，便于发现 知识。
活动 2： 【活动步骤】 1、观察图形，思考：旋转过程中：旋转中心、旋转角、旋转性质
2、小组探讨交流，由组长汇总结论
3、班内交流：旋转的基本性质
【技术应用】借助多媒体设备，形象直观的观察图形特点，便于发现 知识。
课外第 2 课时 简单的旋转作图 以学校小组或兴趣小组为单位活动
1、什么是图形的平移？平移有哪些性质？
专题问题设 2、怎样按要求作出平面图形平移后的图形？
计
3、怎样在直角坐标系中作出简单图形平移后的图形，
怎样写出平移后对应点的坐标？
所需教学环境和教学资源
信息化资源 多媒体投影设备，课件。
常规资源
作图工具（直尺、圆规）
教学支撑环境 白板及多媒体展示台，纸笔等 学习活动设计 第一课时 平面图形的平移
5、经历探索图形之间的变换关系的过程，发展图形分析能力、化归 意识和综合运用变换解决有关问题的能力。
情感态度与价值观：
1、经历探索图形平移基本性质的过程以及与他人合作交流的过程， 进一步发展空间观念，增强审美意识。
2、通过画图，发展初步的审美能力，增强对图形欣赏的意识。 3、探索图形之间的变换关系，认识和欣赏平移、旋转在现实生活中
主题单元问 样按要求画出怎样将图形进行平移？怎
初中数学《图形的平移与旋转》单元教学设计以及思维导图
由于学生已经接触了轴对称和三角形等有关知识， 对生活中的平移和旋 转有初步认识，先让学生 说说你说知道的平移和旋转现象，形成初步认识； 活动二、欣赏生活中的平移和旋转现象
教师播放生活中平移和旋转现象， 学生在欣赏美丽图片和精彩视频的同 时加深对平移和旋转的认识。
活动三、学生自主总结归纳平移和旋转的定义 1、学生能否自主总结归纳平移和旋转的定义；
专题一：现象和概念 时） 专题二： 探究性质 时） 专题划分 专题三：简单作图 时） 专题四：实际应用 时） 其中，专题中的“设计图案”活动作为研究性学习。
（ 1课 （ 2课 （ 2课 （ 2课
专题一 现象和概念
所需课时 课内 1 课时 专题学习目标
1、通过具体实例认识平移和旋转，能区分生活中的平移和旋转现象； 2、能够归纳出平移和旋转的定义；
活动六、学以致用，能力提升
以小组为单位，利用几何画板等工具设计一个漂亮的旋转图案。 小小设计家
图案名称
作者
设计意图
图案含义
图案
自我评价 班级评价
1、学生能否积极参与小组合作，共同探究平移和旋转的性质； 2、学生能否较熟练利用几何画板软件进行验证平移和旋转的性 评价要点 质； 3、学生能在否欣赏图片和几何画板操作过程中， 增强审美意识， 激发学习数学的兴趣。
初中数学知识归纳平移旋转和翻折
初中数学知识归纳平移旋转和翻折初中数学知识归纳：平移、旋转和翻折在初中数学学习过程中，平移、旋转和翻折是我们经常接触到的几个概念。
它们是几何变换中的重要内容，不仅能帮助我们更深入地理解空间和图形，还可以应用于解决实际问题。
本文将对平移、旋转和翻折进行归纳总结，以便更好地掌握这些知识。
一、平移平移是将一个图形沿着某个方向移动一段距离，而形状、大小和方向保持不变。
常见的平移有水平平移和垂直平移两种。
水平平移是指固定图形的上下位置，只使图形在水平方向上移动。
具体操作方法是，对于平面坐标系中的点(x, y)，进行水平平移时，只需将点的横坐标x加上一个固定的值h，y坐标保持不变。
公式表示为：(x+h, y)。
垂直平移则是将图形固定在水平位置上，只使图形在垂直方向上移动。
对于给定的点(x, y)，只需将点的纵坐标y加上一个固定的值k，x坐标保持不变。
公式表示为：(x, y+k)。
在实际应用中，平移可以帮助我们解决很多问题，比如：将某物体从一个位置平移至另一个位置，或者确定两个几何图形是否有平移对称性等等。
二、旋转旋转是指围绕一个中心点将图形按照一定角度旋转。
旋转主要有顺时针旋转和逆时针旋转两种。
顺时针旋转是指图形按照顺时针方向旋转一定角度。
对于给定的点(x, y)，按照顺时针方向旋转角度θ后的新坐标可由以下公式得出：(x' = x*cosθ - y*sinθ, y' = x*sinθ + y*cosθ)。
逆时针旋转则是指图形按照逆时针方向旋转一定角度。
对于给定的点(x, y)，按照逆时针方向旋转角度θ后的新坐标可由以下公式得出：(x' = x*cosθ + y*sinθ, y' = -x*sinθ + y*cosθ)。
旋转是一个很有趣的几何变换，我们可以通过旋转来判断图形的相似性、寻找对称性等等。
三、翻折翻折是指将图形绕一条直线折叠，使得折叠前的一部分与折叠后的另一部分完全重合。
图形的轴对称、中心对称、平移、旋转ppt 浙教版
平移方向 平移距离
平移变换性质 连结对应点的线段__平__行__而__且__相__等__
AE=BF=DH=CG
E
H
AE∥ BF∥ DH∥ CG
F
G
A
D
B
C
3、如图：△ABC经过平移得到△DEF。已知△ABC的 面积为4,E为BC中点.
轴对称与中心变换 图 平移变换 形 变 换 旋转变换
相似变换
图形的轴对称、中心对称、平移、旋转
轴对称变换：
由一个图形变为另一个图形，并 使两个图形关于某一条直线成轴对 称．这样的图形变换叫做图形的轴对 称变换．
轴对称变换性质 对称轴__垂__直__平__分__连结两个对称点 之间的线段,轴对称变换不改变图形 的_形__状___和__大__小__
•
46、在浩瀚的宇宙里，每天都只是一瞬，活在今天，忘掉昨天。
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47、小事成就大事，细节成就完美。
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48、凡真心尝试助人者，没有不帮到自己的。
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49、人往往会这样，顺风顺水，人的智力就会下降一些；如果突遇挫折，智力就会应激增长。
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50、想像力比知识更重要。不是无知，而是对无知的无知，才是知的死亡。
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51、对于最有能力的领航人风浪总是格外的汹涌。
19、就算生活让你再蛋疼，也要笑着学会忍。
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20、当你能飞的时候就不要放弃飞。
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21、所有欺骗中，自欺是最为严重的。
•
22、糊涂一点就会快乐一点。有的人有的事，想得太多会疼，想不通会头疼，想通了会心痛。
初中数学：平移和旋转
平移与旋转一、新知讲解（一）1、平移的定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定距离，这样的图形运动称为平移．它是一种变换.2、平移的两个要素：（1）平移的方向（2）平移的距离．3、平移的性质：（1）平移不改变图形的形状和大小；（2）对应线段平行且相等；（3）对应角相等；（4）对应点所连的线段平行且相等（或在一条直线上）．4、平移的实质：是图形上每一个点都沿同一个方向移动了相同的距离。
（二）1、旋转的定义：在平面内，把一个图形绕一个定点，沿某个方向转动一定的角度，这样的图形运动叫做旋转．2、图形旋转的三个要素：（1）旋转中心；（2）旋转方向；（3）旋转角度．3、旋转的性质：（1）图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度。
（2）对应线段相等，对应角相等；（3）对应点到旋转中心的距离相等；（4）图形中的每一点都绕着旋转中心旋转同样大小的角度.（5）对应点与旋转中心连线的夹角都是旋转角．4、平移与旋转的异同：区别：从定义分析；联系：都是全等变换。
即两种变换下对应线段相等，对应角相等二、典例分析例1、如图将ABC ∆沿直线AB 向右平移后到达BDE ∆的位置，若 100,50=∠=∠ABC CAB ，则CBE ∠的度数为____________.【变式练习】1、如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3cm ，AC ＝4cm ，将△ABC 沿BC 方向平移1cm ，得到△A 'B 'C '．求四边形ABC 'A '的面积．2．如上图，已知△ABC 中，∠ABC ＝90°，边BC ＝12cm ，把△ABC 向下平移至△DEF 后，AD ＝5cm ，GC ＝4cm ，请求出图中阴影部分的面积．3、在边长为1的小正方形网格中，AOB ∆的顶点均在格点上（1）、B 点关于y 轴的对称点坐标为____________；（2）、将AOB ∆向左平移3个单位长度得到111B O A ∆，请画出111B O A ∆；（3）、在（2）的条件下，1A 的坐标为____________.4、如图，B A ,的坐标为)1,0(),0,2(，若将线段AB 平移至11B A ，则b a +的值为（ ）A 、2B 、3C 、4D 、5例二、如图，在三角形ABC 中，90BAC ∠=︒，4cm AB =，5cm =BC ，3cm AC =，将三角形ABC 沿BC 方向平移cm(5)a a <得到三角形DEF ，且AC 与DE 相交于点G ，连接AD ．（1）阴影部分的周长为______cm ；（2）若三角形ADG 的面积比三角形EGC 的面积大24.8cm ，则a 的值为______．变式：1、如图，△ABC 中，13AC BC ==，把△ABC 放在平面直角坐标系xOy 中，且点A ，B 的坐标分别为（2，0），（12，0），将△ABC 沿x 轴向左平移，当点C 落在直线8y x =−+上时，线段AC 扫过的面积为_______ .2、如图，在ABC 中，已知 7BC =，点 E F ，分别在边AB BC ，上，将BEF △沿直线 EF 折叠，使点B 落在点D 处，DF 向右平移若干单位长度后恰好能与边AC 重合， 连结AD ，若311AC AD −=，则 3AC AD +的值为________ .例三、如图，∠MAN＝45°，点C在射线AM上，AC＝10，过C点作CB⊥AN交AN 于点B，P为线段AC上一个动点，Q点为线段AB上的动点，且始终保持PQ ＝PB．（1）如图1，若∠BPQ＝45°，求证：△ABP是等腰三角形；（2）如图2，DQ⊥AP于点D，试问：此时PD的长度是否变化？若变化，请说明理由；若不变，请计算其长度；（3）当点P运动到AC的中点时，将△PBQ以每秒1个单位的速度向右匀速平移，设运动时间为t秒，B点平移后的对应点为E，求△ABC和△PQE的重叠部分的面积．例四、（武侯）如图，每个小方格都是边长为1个单位长度的小正方形，ABC ∆的三个顶点都在格点上．（1）、将ABC ∆向右平移3个单位长度，画出平移后对应的111C B A ∆．（2）、将ABC ∆绕点O 旋转 180，画出旋转后对应的222C B A ∆．(第一题图) (第二题图)变式：（锦江）如图，ABC ∆三个顶点的坐标分别为()11，−A ，()24，−B ，()43，−C ．（1）、请画出ABC ∆向右平移5个单位长度后得到111C B A ∆；（2）、请画出ABC ∆关于原点对称的222C B A ∆；（3）、在x 轴上求作一点P ，使PAB ∆的周长最小，并直接写出点P 的坐标．例五、如图，在ABC ∆中， 90=∠C ， 70=∠BAC ，将ABC ∆绕点A 顺时针旋转 70，B ，C 旋转后对应点分别是'B 和'C ，连接'BB ，则'ABB ∠的度数是（ ）A 、 35B 、 40C 、 45D 、 55 变式：如图，P 是等边ABC ∆内的一点，且3=PA ，4=PB ，5=PC ，将ABP ∆绕点B 顺时针旋转 60到QBC ∆位置．连接PQ ，则以下结论错误的是（ ）A 、 60=∠QPB B 、 90=∠PQC C 、 150=∠APBD 、 135=∠APC （例3图） （例3变式）例六、如图，在△ABC 和△DCE 中，AC ＝BC ，DC ＝EC ，∠ACB ＝∠DCE ＝90°，将△DCE 绕点C 旋转（0°＜∠ACD ＜180°），连接BD 和AE ：（1）求证：△BCD ≌△ACE ；（2）试确定线段BD 和AE 的数量关系和位置关系；（3）连接AD 和BE ，在旋转过程中，△ACD 的面积记为S 1，△BCE 的面积记为S 2，试判断S 1和S 2的大小，并给予证明．变式：如图，在正方形ABCD 中，F E ,分别是CD BC ,边上的点满足AF AE DF BE EF 、,+=分别与对角线BD 交于.,N M（1）、求证：︒=∠45EAF （2）、求证：222DN BM MN +=例七：（1）问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．填空：①∠AEB的度数为；②线段AD，BE之间的数量关系为；（2）拓展探究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE ＝90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由；（3）解决问题：如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝5，平面上一动点P到点B的距离为3，将线段CP绕点C顺时针旋转90°，得到线段CD，连DA，DB，PB，则BD是否有最大值和最小值，若有直接写出，若没有说明理由？。
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第三章 图形的平移与旋转
班级 姓名 。
例1 请分析下图中的旋转现象：
解：如图，可看作图形的2
13161、、绕中心 连续5次旋转60、120、180度所得。
…………
说明：分析旋转过程必须交代清楚旋转中心、旋转方向及旋转角度。
例2 已知点A 和点O ，请将点A 绕点O 顺时针旋转60度，作图。
O
分析
：已知旋转中心、角度、方向
假设转到点B ，则由旋转的性质可知：角AOB=60度（顺时针方向）、OB=OA 作法：如图，以点O 为顶点，OA 为一边，作角AOC=60度（顺时针方向）
在射线OC 上截取线段OB=OA 点B 即为所求
例3 已知线段AB 和一点O ，请将线段AB 绕点O 逆时针旋转60度，作图。
分析：转化为点的旋转问题，先作出端点A 、B 的对应点A ’、B ’，再连接A ’B ’即可 例4 如图，已知，三角形ABC 绕点C 旋转后，顶点A 的对应点为D ，试确定顶点B 的对应点的位置，并作出旋转后的三角形。
P '
P
C
A
C
A B
分析：因为A 与D 是对应点，所以旋转角等于角ACD ；点B 对应点的确立同例2——已
知道旋转中心、旋转角；点C 作为旋转中心，位置不变
例5 如图，四边形ABCD 是正方形，△ADE 旋转后能与△ABF 重合。
（1）请指出旋转中心是哪一点； （2）旋转了多少度？
（3）如果连结EF ，那么△AEF 是怎样的三角形？ 解：（1）旋转中心是点A （2）顺时针旋转了90度 （3）△AEF 是等腰直角三角形
说明：由于角DAB=90度，即旋转角为90度，因此角EAF=90度。
例6 如图，已知三角形ABC 是直角三角形，BC 为斜边。
若AP=3，将三角形ABP 绕点A 逆时针旋转后，能与三角形ACP ’重合，求PP ’的长。
解：由旋转的性质可知AP=AP ’，∠BAC=∠PAP ’
∴∠PAP ’=∠BAC=Rt ∠， ∴APP ’为等腰直角三角形
∴PP ’=
2333'2222=+=+AP AP
说明：要注意灵活运用旋转的基本性质，挖掘出题中隐含的等量关系。
C A E
B C
A
D B '
C '
D '
A '
巩固练习
一、选择题:
1．经过平移，下列说法中错误的是（ ）
（A ）图形上任意一点的移动方向都相同 （B ）图形上任意一点移动的距离都相同 （C ）图形上可能存在不动点 （D ）图形上任意一对对应点连线的大小不变 2．经过旋转，下列说法中错误的是（ ）
（A ）图形上的每一点到旋转中心的距离相等 （B ）图形上每一点转动的角度都相等 （C ）图形上可能存在不动点; （D ）图形上任意两点的连线与其对应两点的连线相等 3．若角DEF 是角ABC 经过平移得到的，且角ABC=64°，则角DEF 的度数为（ ） （A ）26° （B ）64° （C ）116° （D ）144°
4．如图，Rt △ABC 的边BC 绕点C 旋转到CE 的位置，则下列说法中正确的是（ ） （A ）点B 与点D 为对应点，且∠ACD=∠BCE （B ）∠ACB=∠BCE （C ）线段AB 与线段CE 是对应线段 （D ）AB=DE 5．下列关于线段的说法错误的是（ ）
（A ）将线段绕其中点旋转180度后与原线段重合
（B ）线段的中点将线段分为两部分，这两部分是轴对称图案
（C ）线段的中点将线段分为两部分，其中一部分可由另一部分平移得到 （D ）将线段绕其一个端点旋转180度后所得图形就是其本身
6．观察下面的图案，它可以看作是由 经过 得到的。
（ ） （A ）图形的三分之一，平移 （B ）图形的四分之一，平移 （C ）图形的三分之一，旋转 （D ）图形的四分之一，旋转 7．图形1F 是等腰直角三角形，若将它绕其直角顶点连续三次 旋转90度，分别得到图形2F 、3F 、4F ，则由1F 、2F 、3F 、
4F 组合而成的图形为（ ）
（A ）正方形 （B ）长方形 （C ）菱形 （D ）圆
8．如图，已知正方形的棱长为1cm ，则下列说法中错误的是（ ） （A ）正方形 A ’B ’C ’D ’可由正方形ABCD 沿BB ’方向平移1cm 得到 （B ）线段AD 与B ’C ’具有平移关系 （C ）线段AD 与AB 具有旋转关系
（D）线段BB’沿某方向平移1cm可得到线段DD’
二、填空题:
1．钟表的分针旋转120度所需时间为分；时针转3小时，旋转了度。
2．某人乘电梯从一楼到四楼，向上平移了10米，则他从12楼到1楼是向 __ 平移了米。
3．图形在平移时，下列特征中不发生变化的是（填序号）。
①图形的形状；②图形的位置；③线段的长度；
④角的大小；⑤垂直关系；⑥平行关系
4．某人在与铁轨平行的公路上行走，一列火车从后面驶来，人与火车并排走了10米后，火车离人而去，已知火车长20米，则火车头走了米，火车尾走了米。
5．已知点A先向上平移1cm到点B，再向右平移2cm到点C，现要将点C直接平移至点A，需平移 cm。
6．如图，可看作是由基本图形
经过得到的。
7．将等边三角形绕其顶点至少旋转度，所得图形便可与原图形组成一个菱形。
8．将一个直角三角形绕其斜边的中点旋转180度后，所得图形便可与原图形组成一个形。
9．如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是BA延长线上的一点，
若AF=AB
2
1
，则可通过
（填“平移”、“旋转”、“轴对称”）变换，使三角形ABE变到三角形ADF的位置；且线段BE、
DF的关系是。
10．如上图，正六边形ABCDEF、PQRSTU全等且面积均为1。
若点P
是正六边形ABCDEF的中心，则图中阴影部分的面积为。
三、解答:
1．如图所示的图形沿哪一点旋转多少度后能与自身重合？
C
F
E
A
D
B
2．已知长方形ABCD ，绕点A 将它顺时针连续旋转3次，请画出得到的图形。
C
A
D
B
3．任意画一个正方形ABCD ，分别作出其按下列要求旋转或平移后的图形：
①以A 为旋转中心，按逆时针方向旋转60°； ②以A 为旋转中心，按顺时针方向旋转90°；
③以A 为旋转中心，按顺时针方向旋转一定角度，使之与原图形成轴对称； ④将正方形ABCD 垂直向下平移2cm ；
⑤以正方形外一点P 为旋转中心，按逆时针方向旋转180°。
4．请分析怎样可将甲图案变成乙图案。
乙
甲
A
B
5．如图，已知三角形ABC 与三角形DEF 是全等三角形，请分析怎样才能将三角形ABC 变到三角形DEF 的位置。
C
F A
E
D
6.你能分别用平移、旋转、轴对称分析下图的形成过程吗？
7.已知三角形ABC ，请将它沿北偏东60°方向平移3cm ，画出平移后的图形。
C
A
8.如图，△DEF 是△ABC 沿BC 方向的平移图形，试判断四边形ABEG 和四边形DFCG 面积的关系，并说明理由。
C A E D
9.如图，点E 是正方形ABCD 内的一点，且AB=5cm ，BE=4cm ，AE=3cm 。
现将△ABE 绕点B 旋转到△CBF ，求EF 的长。
C
F
E A
D
B
10.利用一个正方形和一个圆，经过两次平移或旋转设计一个图案，并说明设计意图。