指数函数的解析式
【高中数学】高中数学知识点：指数函数的解析式及定义(定义域值域)
【高中数学】高中数学知识点：指数函数的解析式及定义（定义域、值域）指数函数的定义：一般地，函数y=ax（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R，值域是（0，+∞）。
指数函数的解析式：y=ax（a＞0，且a≠1）理解指数函数定义，需注意的几个问题：①因为a>0，x是任意一个实数时，ax是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R．②规定底数a大于零且不等于1的理由：如果a<0，比如y=(-4)x，这时对于在实数范围内函数值不存在．如果a=1，y=1x=1是一个常量，对它就没有研究的必要，为了避免上述各种情况，所以规定a>0且a≠1．③像等函数都不是指数函数，要注意区分。
相关高中数学知识点：指数与指数幂的运算（整数、有理、无理）n次方根的定义：一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*。
分数指数幂的意义：（1）；（2）；（3）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。
n次方根的性质：（1）0的n次方根是0，即＝0（n＞1，n∈N*）；（2）=a（n∈N*）；（3）当n为奇数时，=a；当n为偶数时，＝|a|。
幂的运算性质：（1）；（2）；（3）；注意：一般地，无理数指数幂（a＞0，α是无理数）是一个确定的实数，上述有理指数幂的运算性质，对于无理指数幂都适用。
感谢您的阅读，祝您生活愉快。
指数函数的性质及常考题型(含解析)
【变式 1-2】下列函数：① = 3 ；② = 6 ；③ = 6 ⋅ 2 ；④ = 8 + 1；⑤ = −6 .
其中一定为指数函数的有（
A．0 个
）
B．1 个
C．2 个
D．3 个
【解题思路】根据指数函数的定义判断即可；
【解答过程】解：形如 =
( > 0且 ≠ 1)为指数函数，其解析式需满足①底数为大于
数
函
数
︶
如图是指数函数（1）y＝ax，
（2）y＝bx，
（3）y＝cx，(4)y＝dx 的图象，底数 a，b，c，
d 与 1 之间的大小关系为 c>d>1>a>b．
由此我们可得到以下规律：在 y 轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．
3．比较指数幂的大小的方法
比较指数幂的大小的方法（分三种情况）
：
（1）底数相同，指数不同：利用指数函数的单调性来判断；
培
优
篇
高
【变式 5-2】已知函数() = ⋅ 的图像经过点(1,2)，(2,4)．
中
（1）求()的解析式；
数
（2）解不等式( + 3) > (4)．
学
︵
指
数
函
数
︶
【变式 5-3】已知函数() = + (0 < < 1)的图象经过点(0, −1)．
（1）求实数 b；
B．0 < < 1,0 < < 1
指
C．0 < < 1, > 1
D． > 1,0 < < 1
数
函
【变式 6-2】如图中，①②③④中不属于函数 = 3 ， = 2 ， =
指数函数解析式
指数函数解析式
指数函数可以说是数学研究中最常用的函数之一，它的数学原理考究，而其在各种应用领域中的技术性实现也是一门重要的学科。
在本文中，我们将讨论指数函数解析式，其中包括定义、基本性质和一些类似幂函数的解析式。
一、指数函数的定义
指数函数是以一个实数为指数的函数，其公式为：f（x）= ax，其中a>0.数函数的参数a叫做指数函数的指数，指数函数的变量x
叫做指数函数的指数变量。
指数函数的解析式定义为：f（x）= ax，
a>0.
二、基本性质
1、指数函数的根数是以a为指数的右端点，表达式为：f（x）= a^x.
2、指数函数的特征是连续变化，它以指数a为底，表达式为：f （x）= a^x.
3、指数函数存在一个永恒的值，以a为底，表达式为：f（x）= 1.
4、指数函数的增长率随与指数变量的增加而增加，表达式为：f （x）= a^x.
5、指数函数的反函数是以a为底的对数函数，表示为：y= loga(x).
三、指数函数的解析式
1、幂函数的解析式：幂函数是指数函数的一种特殊情况，其解析式为：f（x）= ax^n，其中a为一个实数，n为任意整数。
2、指数函数和对数函数的解析式：指数函数可以表示为：f（x）= ax，其中a为正实数；对数函数可以表示为：y= loga(x)，其中a 为正实数。
四、结论
指数函数是一种常用的函数，其解析式包括四类：定义、基本性质、幂函数和对数函数。
指数函数的实际应用非常广泛，可以用于解决各种技术问题，是一项重要的研究学科。
高一数学常用公式及知识点总结
三角函数值在各象限的符号
sin a
cos a
tan a
（2）、同三角函数的基本关系
平方关系： sin2 a cos2 a =
商数关系： tan a =
（3）、特殊角的三角函数值表
a 的角度 0o 30o 45o 60o 90o 120o 135o 150o 180o 270o 360o
a 的弧度
函数。（即 f (x1) f (x2 ) 0 ） x1 x2
3、周期性
对于定义域内任意的 x，都有 f (x T ) f (x) ，则 f (x) 的周期为
；
四、三角函数、三角恒等变换和解三角形
1、三角函数
（1）、三角函数的定义：______________________________________________
=
=
T2 : tan 2 =
（9）、辅助角公式
asin x bcos x a2 b2 ( a sin x b cos x)
a2 b2
a2 b2
a2 b2 (sin x cos cos x sin)
a2 b2 sin(x )(tan b ) a
cos(a) = cos( a) = cos( a) =
2
cos( a) =
2
tan( a) = tan(a) =
tan( a) =
（记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限。奇偶指 的奇偶数倍，变与不变指三
2 角函数名称的变化，若变则是正弦变余弦，正切变余切；符号是根据角的范围 以及三角函数在四个象限的正负来判断新三角函数的符号（无论 a 是多大的角， 都将 a 看成锐角））
2、对数运算法则及换底公式（ a 0且a，M1>0, N>0 ）
待定系数法求指数增长函数解析式练习题
待定系数法求指数增长函数解析式练习题介绍：本文档将为您提供一些练题，通过待定系数法求解指数增长函数的解析式。
待定系数法是求解函数解析式的一种常用方法，通过设定未知系数，然后通过对方程进行代入计算，最终求得解析式的系数。
练题：1. 求解以下指数增长函数的解析式：- $y = ab^x$，其中a和b为待定系数。
2. 已知当x = 2时，y为10，当x = 4时，y为40，求解以下指数增长函数的解析式：- $y = ab^x$，其中a和b为待定系数。
3. 某项指数增长函数的解析式为$y = ab^x$，已知当x = -1时，y为5，当x = 2时，y为20，求解a和b的值。
4. 已知一项指数增长函数的解析式为$y = ab^x$，其中a和b为待定系数，且当x = 0时，y为3，当x = 1时，y为9，当x = 2时，y为27，求解a和b的值。
注意事项：- 求解时，可以根据已知条件设立方程，并代入计算，得到待定系数的值。
- 需要注意方程的一致性，确保方程能够同时满足已知条件。
- 求得的待定系数为解析式的系数值。
解答示例：1. 解答：设 $y = ab^x$，代入已知条件 $x = 0$ 时，$y = 1$，得到方程$1 = ab^0 = a$，所以 $a = 1$。
代入已知条件 $x = 1$ 时，$y = 2$，得到方程 $2 = ab^1 = ab$，代入 $a = 1$，解得 $b = 2$。
所以解析式为 $y = 2^x$。
2. 解答：设 $y = ab^x$，代入已知条件 $x = 2$ 时，$y = 10$，得到方程$10 = ab^2$。
代入已知条件 $x = 4$ 时，$y = 40$，得到方程 $40 = ab^4$。
联立以上两个方程，可以求解a和b的值。
解答过程略。
3. 解答：设 $y = ab^x$，代入已知条件 $x = -1$ 时，$y = 5$，得到方程$5 = ab^{-1} = \frac{a}{b}$。
2.1.2指数函数图象及性质(二)
若把函数 f ( x ) 的图象向左平移2 个单位, y=3(x+2)2 则得到函数 ____________ 的图象； 若把函数 f ( x ) 的图象向下平移 3 个单位, y=3x2－3 则得到函数 _________ 的图象； 若把函数 f ( x ) 的图象向上平移 4 个单位, y=3x2+4 则得到函数 _________ 的图象.
C. 0 a 1, 且 b 0 B. a 1, 且 b 0 D. a 1, 且 b 0
y
o
x
0 a 1, 1 b 1 0,
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§2.1.2指数函数及其性质(二) y ( 1 ) x 作出函数图象,求定义域、 例1. 已知函数 2 y ( 1 )| x| 的关系. 值域,并探讨与图象 2
y
2
o -2
- x 1
x
所以当x＜0时, f ( x ) 2
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.
§2.1.2指数函数及其性质(二)
1.图像过定点问题
由于函数y＝ax(a＞0,且a≠1)恒经过定点 (0,1),因此指数函数与其它函数复合会产生一 些丰富多彩的定点问题
例2.函数y＝ax-3＋2(a＞0,且a≠1)必经 过哪个定点？ (3, 3)
点评:函数y＝ax-3＋2的图象恒过定点(3,３),实 际上就是将定点(0,1)向右平移3个单位,向上平 移2个单位得到.
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§2.1.2指数函数及其性质(二)
【1】函数y＝ax+5-1（a＞0,且a≠1）必经 过哪个定点？ ( 5, 0)
【2】函数 y a b=____. 1
x b
2 恒过定点(1,3)则
1 ) x12 2 x1 , f ( x ) ( 1 ) x22 2 x 2 , 则 f ( x1 ) ( 5 2 5
人教A版(2019)高中数学必修第一册4.2.1指数函数的概念课件
指数函数的概念
一般地，函数yy＝＝aaxx(a>0，且 a≠1)叫做指数函数，其中xx 是自变量，函数的定
义域是_R__. 思考：指数函数定义中为什么规定 a 大于 0 且不等于 1?
1)若a 1, y ax恒为1，对于函数来说没有研究意义 2)若a 0,当x为偶数时，y 0；当x为奇数，y 0; 而当x 1 , y ax没有意义
f (3) 1 1
例２（1）在问题１中，如果平均每位游客出游一次可给当地带来 1000元门票之外的收入，Ａ地景区的门票价格为150元，比较这15 年间Ａ，Ｂ两地旅游收入变化情况．
解：（1）设经过x年，游客给A, B两地带来的收入为f (x), g(x)
f (x) (10x 600)1150; g(x) 1000 2781.11x
都难以看出变化规律．
我们知道，年增加量是对相邻两年的游客人次做减法得到的．能否通过 对Ｂ地景区每年的游客人次做其他运算发现游客人次的变化规律呢？
增加量、增长率是刻画事物变化规律的两个很重要的量． 求年增加量用减法，求年增长率，可以用除法
结果表明，Ｂ地景区的游客人次的年 增长率都约为0.11是一个常数．
这时游客给Ａ地带来的收入和Ｂ地差不多；此后，f（x）＜g（x）， 游客给Ｂ地带来的收入超过了Ａ地；由于g（x）增长得越来越快，在 2015年，Ｂ地的收入已经比Ａ地多347303万元了．
例2、（2）在问题2中，某生物死亡10000年后，它体碳14内 含量衰减为原来的百分之几
解：（2）设生物死亡x年后，它体内碳14含量为h(x),如果把生物体内碳14
2
3)若a 0, x 0时，y ax恒为0；当x 0，y ax没有意义
概念辨析
是幂函数
1．思考辨析
2023年高中数学【指数函数的定义、解析式、定义域和值域】专题练习卷二
2023年高中数学【指数函数的定义、解析式、定义域和值域】专题练习卷二考试总分：188 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 11 小题 ，每题 3 分 ，共计33分 ）1. 指数函数在上的最大值与最小值的和为，则( )A.B.C.或D.2. 已知集合，，则 A.B.C.D.3. 令，，，则三个数，，的大小顺序是 A.B.C.D.4. 设集合，，则 A.B.C.y =b ⋅a x [b,2]6a =12−32−32A ={x |y =(x −1)}log 2B ={y |y =+1,x ∈A}2x A ∩B =()φ(1,3)(3,+∞)(1,+∞)a =60.7b =0.76c =6log 0.7a b c ()b <c <ab <a <cc <a <bc <b <aS ={y |y =−2,x ∈R}e x T ={x |−4≤x ≤1}S ∪T =()[−4,+∞)(−2,+∞)[−4,1](−2,1]D.5. 已知 ，则A.B.C.D.6. 函数是指数函数，则的值为（ ）A.B.C.或D.不确定7. 定义在上的函数满足，当时，，则 A.B.C.D.8. 设，若仅有一个常数使得对于任意的，都有满足方程，这时的取值为（ ）A.B.C.D.9. 函数是指数函数，则有（ ）A.或B.C.(−2,1]a =0.2,b =,c =log 220.20.20.3()a <b <ca <c <bc <a <bb <c <ay =(−3a +3)a 2a x a 1212R f(x)f(−x)=−f(x)x <0f(x)=(13)x f()=(12)3–√33–√−3–√9a >1c y ∈[a,2a]x ∈[a,]a 2x +y =c log a log a a +c 3456y =(−5a +5)a 2a x a =1a =4a =1a =4a ≠1D.，且10. 已知集合，，则 A.B.C.D.11. 设，若仅有一个常数使得对于任意的，都有满足方程，则的取值集合为（ ）A.B.C.D.二、 多选题 （本题共计 3 小题 ，每题 3 分 ，共计9分 ）12. 若函数，且是指数函数，则下列说法正确的是（ ）A.＝B.＝C.D.＝E.＝13. 下列命题中的真命题是( )A.，B.，C.，D.，a >0a ≠1M ={x |x <1}N={x |>1}2x M ∩N =()∅{x |x <0}{x |x <1}{x |0<x <1}a >1c x ∈[a,]a 2y ∈[1+ 2−,2−a]log a a 3=c a x a y a {4}{,2}32{2}{}32(a >0a ≠1)a 8f(0)−3a 4f(2)16∀x ∈R ≥0x 2∀x ∈R >02x−1∃x ∈R lgx <1∃x ∈R sin x +cos x =2(x)=(a −3)⋅(a >0114. 若函数，且）是指数函数，则下列说法正确的是（ ）A.B.C.D.卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 12 小题 ，每题 3 分 ，共计36分 ）15. 集合为函数的值域，集合为函数的值域，则________．16. 函数＝，的值域为________．17. 函数的定义域是，且最大值与最小值的差为，则________．18. 函数的值域是________．19. 函数的定义域是________；值域是________．20. 已知指数函数且的图象过点，则________．21. 已知函数是指数函数，且当时，，则实数的取值范围是________.22. 已知的值域为________．23. 函数的定义域是________．24. 函数的值域为________．f(x)=(a −3)⋅(a >012a x a ≠1a =8f (0)=−3f ()=2122–√a =4A y =(x ≠0)2x −1x B y =(−1(x ∈R)13)x A ∩B =y (12)x (x ≥0)y =(a >1)a x [−1,1]1a =y =(x ∈R)1−2x −−−−−√y =1−(12)x −−−−−−−√y =(a >0a x a ≠1)(2,9)a =y =(a −1)x x <0y >1a f(x)=−1e x +1e x y =(−12)3x−118−−−−−−−−−−√f(x)=(12)x √{x |<2011}⊆(−∞,a)2x25. 若集合，则整数的最小值为________．26. 若函数的图象与轴有公共点，则的取值范围是________．四、 解答题 （本题共计 11 小题 ，每题 10 分 ，共计110分 ）27. 已知幂函数，且在上单调递增．（1）求实数的值；（2）若，求实数的取值范围． 28. 漳州市某研学基地，因地制宜划出一片区域，打造成“生态水果特色区”．经调研发现：某水果树的单株产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：，且单株施用肥料及其它成本总投入为元．已知这种水果的市场售价大约为元/千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为（单位：元）．求函数的解析式；当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？29. 已知指数函数 的图象经过点，且函数 的图象与 的图象关于轴对称．求函数的解析式；若，求的取值范围．30. 函数 的图像恒过定点,且点在指数函数 的图像上，则 ________. 31. 设的定义域是，且对任意不为零的实数都满足．已知当时（1）求当时，的解析式（2）解不等式． 32. 已知命题，；命题：函数在区间上为减函数．若命题为真命题，求实数的取值范围；若命题"或"为真命题，且“且”为假命题，求实数的取值范围．33. 已知函数的图象经过点，其中且．求的值；求函数的值域．34. 一工厂计划生产某种当地政府控制产量的特殊产品，月固定成本为万元，设此工厂一个月内生{x |<2011}⊆(−∞,a)2x a y =(−m 12)|1−x|x m f(x)=(−m −1)m 2x 2m−2(0,+∞)m f(3−)>f()2t+12t t W x W (x)= 2(+17),0≤x ≤2x 250−,2<x ≤58x −120x +1010f(x)(1)f(x)(2)f (x)P (3,8)g(x)f (x)y (1)g(x)(2)g(2−3x +1)>g(+2x −5)x 2x 2x f (x)=(x −1)+4(a >0,a ≠1)log a A A g(x)g(3)=f(x)(−∞,0)∪(0,+∞)f(x)x f(−x)=−f(x)x >0f(x)=x 1−2xx <0f(x)f(x)<−x 3p :∀x ∈R a −2x −1≤0x 2q y =(x +3)log a (0,+∞)(1)p a (2)¬p q p q a f(x)=(x ≥0)a x−1(2,)12a >0a ≠1(1)a (2)y =f(x)(x ≥0)1产该特殊产品万件并全部销售完．根据当地政府要求产量满足，每生产万件需要再投入万元，每万件的销售收入为(万元)，且每生产万件产品政府给予补助(万元).（注：月利润月销售收入月政府补助月总成本）.写出月利润(万元)关于月产量(万件)的函数解析式；求该工厂在生产这种特殊产品中所获得的月利润最大值(万元)及此时的月生产量(万件). 35. 已知函数，为常数且，的图象经过，.试求，的值；若不等式在时恒成立，求实数的取值范围． 36. 已知是定义在上的奇函数，且 时，.求函数的解析式；画出函数的图象，并写出函数单调递增区间及值域．37. 已知函数，（1）讨论函数的奇偶性；（2）证明：．x x 1≤x ≤3x 3x 15−13x 211+2ln x x=+−(1)f(x)x (2)f(x)=b ⋅(a a x b a >0a ≠1)A(1,8)B(3,32)(1)a b (2)(+(−m ≥01a )x 1b )x x ∈(−∞,1]m y =f(x)R x <0f(x)=+23x (1)f(x)(2)y =f(x)y =f(x)f(x)=(+)x 1−12x 12f(x)>0参考答案与试题解析2023年高中数学【指数函数的定义、解析式、定义域和值域】专题练习卷二一、选择题（本题共计 11 小题，每题 3 分，共计33分）1.【答案】此题暂无答案【考点】指数函数单调性的应用指数函数的定义、解析式、定义域和值域【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【考点】交集及其运算指数函数的定义、解析式、定义域和值域对数函数的定义域【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【考点】对数值大小的比较指数函数的定义、解析式、定义域和值域【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域并集及其运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】此题暂无答案【考点】对数值大小的比较指数函数的定义、解析式、定义域和值域【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】此题暂无答案【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】此题暂无答案【考点】函数奇偶性的性质指数函数的定义、解析式、定义域和值域【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】此题暂无答案【考点】指、对数不等式的解法指数函数的定义、解析式、定义域和值域【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】此题暂无答案【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】此题暂无答案【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域交集及其运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答11.【答案】此题暂无答案【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、多选题（本题共计 3 小题，每题 3 分，共计9分）12.【答案】此题暂无答案【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答13.【答案】此题暂无答案【考点】两角和与差的正弦公式命题的真假判断与应用正弦函数的定义域和值域对数函数的值域与最值指数函数的定义、解析式、定义域和值域【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答14.【答案】此题暂无答案【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、填空题（本题共计 12 小题，每题 3 分，共计36分）15.【答案】此题暂无答案【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答16.【答案】此题暂无答案【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答17.【答案】此题暂无答案【考点】指数函数单调性的应用指数函数的定义、解析式、定义域和值域【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答18.【答案】此题暂无答案【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答19.【答案】此题暂无答案【考点】函数的定义域及其求法函数的值域及其求法指数函数的定义、解析式、定义域和值域【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答20.【答案】此题暂无答案【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答21.【答案】此题暂无答案【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答22.【答案】此题暂无答案【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答23.【答案】此题暂无答案指数函数单调性的应用指数函数的定义、解析式、定义域和值域【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答24.【答案】此题暂无答案【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答25.【答案】此题暂无答案【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答26.【答案】此题暂无答案函数恒成立问题指数函数的定义、解析式、定义域和值域【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答四、解答题（本题共计 11 小题，每题 10 分，共计110分）27.【答案】此题暂无答案【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域幂函数的性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答28.【答案】此题暂无答案【考点】函数解析式的求解及常用方法函数模型的选择与应用二次函数在闭区间上的最值基本不等式在最值问题中的应用【解析】此题暂无解析29.【答案】此题暂无答案【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域指数函数单调性的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答30.【答案】此题暂无答案【考点】对数函数的图象与性质对数的运算性质指数函数的定义、解析式、定义域和值域【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答31.【答案】此题暂无答案【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域函数奇偶性的性质【解答】此题暂无解答32.【答案】此题暂无答案【考点】命题的真假判断与应用逻辑联结词“或”“且”“非”已知函数的单调性求参数问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答33.【答案】此题暂无答案【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答34.【答案】此题暂无答案【考点】利用导数研究函数的最值函数模型的选择与应用函数最值的应用函数解析式的求解及常用方法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答35.【答案】此题暂无答案【考点】函数恒成立问题指数函数的定义、解析式、定义域和值域【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答36.【答案】此题暂无答案【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域函数奇偶性的性质函数的单调性及单调区间分段函数的解析式求法及其图象的作法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答37.【答案】此题暂无答案【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域函数奇偶性的判断函数奇偶性的性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。
指数运算及指数性质超经典
知识点回顾1.根式的性质（1）()n n a a=（2）当n 为奇数时，有a a n n =，当n 为偶数时，有⎩⎨⎧<-≥==)0(,)0(,a a a a a a n n （3）负数没有偶次方根 （4）零的任何正次方根都是零 2.幂的有关概念(1)正整数指数幂：)(.............*∈⋅⋅=N n a a a a a nn(2)零指数幂)0(10≠=a a (3)负整数指数幂 ).0(1*∈≠=-N p a aa p p (4)正分数指数幂 )1,,,0(>*∈>=n N n m a a a n m nm 且 (5)负分数指数幂 nm nmaa1=-)1,,,0(>*∈>n N n m a 且(6)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义 3.有理指数幂的运算性质(1)),,0(,Q s r a a a a s r s r ∈>=⋅+ (2)),,0(,)(Q s r a a a rs s r ∈>= (3)),0,0(,)(Q r b a a a ab s r r ∈>>⋅=4．指数函数定义：函数)10(≠>=a a a y x 且叫做指数函数。
x a y = 0 < a < 1 a > 1图 象性 质定义域 R值域 (0 , +∞) 定点 过定点（0，1），即x = 0时，y = 1（1）a > 1，当x > 0时，y > 1；当x < 0时，0 < y < 1。
（2）0 < a < 1，当x > 0时，0 < y < 1；当x < 0时，y > 1。
单调性 在R 上是减函数 在R 上是增函数对称性x y a =和x y a -=关于y 轴对称指数运算同步练习 一．选择题 1．下列各式中成立的一项（ ）A ．7177)(m n mn=B ．31243)3(-=-C ．43433)(y x y x +=+ D ．3339=2．下列各式中正确的是（ ）（Aa = （B（C ）01a = （D）=3．下列各式,n R a R ∈∈）中，有意义的是 （ ）（A ）(1)(2) （B ）(1)(3) （C ）(1)(2)(3)(4) （D ）(1)(3)(4) 4．把- ( ) （A ）252()a b --- （B ）522()a b --- （C ）22552()ab ---- （D ）55222()ab ----5．化简2115113366221()(3)()3a b a b a b -÷的结果是 （ ）（A ）6a （B ）a - （C ）9a - （D ）9a6．计算1221261(2)()222n n n ++-*()n N ∈的结果是 （ ） （A ）164 （B ）252n + （C ）2262n n -+（D ）272n -+二．填空题71a =-，则a 的取值范围是 ．8．若810x <≤ ． 9． 设54x =，52y =，则25x y -= ． 10= ．三．解答题 11．计算下列各式36(1)3333 1332410341(2)[(0.3)]()(4)3(21)7-----+-+-12．已知12,9x y xy +==且x y <，求11221122x y x y-+的值.指数函数 同步练习(1)一．选择题 1．下列函数中一定是指数函数的是（ ）A 15x y +=B 4y x =C 3x y -=D 23x y =⨯ 2. 函数13x y =-的定义域是（ ）A [0,)+∞B (,0]-∞C [1,)+∞D (,)-∞+∞3.若0.70.90.80.8,0.8, 1.2a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系（ ）A c>a>bB a>b>cC c>b>aD b>c>a4. 函数y=a x + b 与函数y=ax+ b(a>0且a ≠1)的图象有可能是( )函数210)2()5(--+-=x x y（ ） A ．}2,5|{≠≠x x x B ．}2|{>x xC ．}5|{>x xD ．}552|{><<x x x 或5. 函数2(33)x y a a a =-+⨯是指数函数，则有（ ）A 1a =或2a =B 1a =C 2a =D 0a >且1a ≠6．若3＜1()3x ＜27,则 ( )A.-1＜x ＜3B.x ＞3或x ＜-1C.-3＜x ＜-1D.1＜x ＜3 二．填空题7．已知指数函数()f x 图像过点（3，8）则(6)f =8．函数3x y a =+（a>0且a ≠1）恒过定点 9．若指数函数()(1)x f x a =-是R 上的减函数，则a 的取值范围是 10．指数函数()x f x a =的值域是 11．求函数14()2x f x -=的定义域三．解答题12．已知函数21()21x x f x +=- (a ＞0且a≠1).(1)求函数的定义域; (2)判断函数的奇偶性指数函数同步练习（2） 一．选择题1．函数)10(12≠>+=-a a a y x 且的图象必过点( )A.(0,1)B. (1,1)C.(2,0)D.(2,2) 2. 函数)31(3)(2<≤-=-x x f x 的值域是( )A.(0,+∞)B.(0,9)C. （31,27]D. (31,27)3．如图，指数函数（1）x a y =；（2）x b y =；（3）x c y =；（4）x d y =的图象，则a 、b 、c 、d 的大小关系是（ ）A. d c b a <<<<1B. c d a b <<<<1C. d c b a <<<<1D.c d b a <<<<11Oy (1)(2)(3)(4)x4. 函数f(x)=a x-b 的图象如图,其中a 、b 为常数,则下列结论正确的是( ) A. a ＞1, b ＜0B. a ＞1, b ＞0C.0＜a ＜1,b ＞0D.0＜a ＜1, b ＜05. 11{1,1},{|24,}2x M N x x Z +=-=<<∈，则M N ⋂等于 ( ) A {1,1}- B {1}- C {0} D {1,0}-6．函数==a a y x ，则和为上的最大值与最小值的，在3]10[（ ）A.21 B .2 C. 4 D. 41二．填空题7. 函数2(55)x y a a a =-+⋅是指数函数，则a = 8．指数函数()y f x =的图像经过(π，2）,则()f π-= 三．解答题 9．已知f （x ）=131-x+a 为奇函数，求a 的值10.函数)(x f 是R 上的偶函数,且当0>x 时,函数的解析式为.)(12-=xx f (I)用定义证明)(x f 在),(+∞0上是减函数; (II)求当0<x 时,函数的解析式;11.已知函数11()212x f x =+-（1）求()f x 的定义域；（2）判断()f x 在区间(0,)+∞上的单调性并证明。
2021年人教版高一数学必修一第4单元 指数函数与对数函数(讲解和习题)
人教版高一数学必修一第4单元指数函数与对数函数（讲解和习题）基础知识讲解一．指数函数的定义、解析式、定义域和值域【基础知识】1、指数函数的定义：一般地，函数y＝a x（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R，值域是（0，+∞）．2、指数函数的解析式：y＝a x（a＞0，且a≠1）【技巧方法】①因为a＞0，x是任意一个实数时，a x是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R．①规定底数a大于零且不等于1的理由：如果a＝0，当x＞0时，a x恒等于0；当x≤0时，a x无意义；如果a＜0，比如y＝（﹣4）x，这时对于x＝，x＝在实数范围内函数值不存在．如果a＝1，y＝1x＝1是一个常量，对它就没有研究的必要，为了避免上述各种情况，所以规定a＞0且a≠1．二．指数函数的图象与性质【基础知识】1、指数函数y＝a x（a＞0，且a≠1）的图象和性质：y ＝a x a ＞1 0＜a ＜1图象定义域 R 值域 （0，+∞） 性质过定点（0，1）当x ＞0时，y ＞1； x ＜0时，0＜y ＜1当x ＞0时，0＜y ＜1；x ＜0时，y ＞1在R 上是增函数在R 上是减函数2、底数与指数函数关系①在同一坐标系内分别作函数的图象，易看出：当a ＞l 时，底数越大，函数图象在第一象限越靠近y 轴；同样地，当0＜a ＜l 时，底数越小，函数图象在第一象限越靠近x 轴． ①底数对函数值的影响如图．①当a ＞0，且a ≠l 时，函数y ＝a x 与函数y ＝的图象关于y 轴对称．3、利用指数函数的性质比较大小：若底数相同而指数不同，用指数函数的单调性比较： 若底数不同而指数相同，用作商法比较；若底数、指数均不同，借助中间量，同时要注意结合图象及特殊值．三．二次函数的性质与图象【二次函数】二次函数相对于一次函数而言，顾名思义就知道它的次数为二次，且仅有一个自变量，因变量随着自变量的变化而变化．它的一般表达式为：y＝ax2+bx+c（a≠0）【二次函数的性质】二次函数是一个很重要的知识点，不管在前面的选择题填空题还是解析几何里面，或是代数综合体都有可能出题，其性质主要有初中学的开口方向、对称性、最值、几个根的判定、韦达定理以及高中学的抛物线的焦点、准线和曲线的平移．这里面略谈一下他的一些性质．①开口、对称轴、最值与x轴交点个数，当a＞0（＜0）时，图象开口向上（向下）；对称轴x＝﹣；最值为：f（﹣）；判别式①＝b2﹣4ac，当①＝0时，函数与x轴只有一个交点；①＞0时，与x轴有两个交点；当①＜0时无交点．①根与系数的关系．若①≥0，且x1、x2为方程y＝ax2+bx+c的两根，则有x1+x2＝﹣，x1•x2＝；①二次函数其实也就是抛物线，所以x2＝2py的焦点为（0，），准线方程为y＝﹣，含义为抛物线上的点到到焦点的距离等于到准线的距离．①平移：当y＝a（x+b）2+c向右平移一个单位时，函数变成y＝a（x﹣1+b）2+c；四．指数型复合函数的性质及应用【基础知识】指数型复合函数性质及应用：指数型复合函数的两个基本类型：y＝f（a x）与y＝a f（x）复合函数的单调性，根据“同增异减”的原则处理U＝g（x）y＝a u y＝a g（x）增增增减减增增减减减增减．五．指数函数的单调性与特殊点【基础知识】1、指数函数单调性的讨论，一般会以复合函数的形式出现，所以要分开讨论，首先讨论a 的取值范围即a＞1，0＜a＜1的情况．再讨论g（x）的增减，然后遵循同增、同减即为增，一减一增即为减的原则进行判断．2、同增同减的规律：（1）y＝a x如果a＞1，则函数单调递增；（2）如果0＜a＜1，则函数单调递减．3、复合函数的单调性：（1）复合函数为两个增函数复合：那么随着自变量X的增大，Y值也在不断的增大；（2）复合函数为两个减函数的复合：那么随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值就在不断的减小，而内层函数的Y值就是整个复合函数的自变量X．因此，即当内层函数自变量X的增大时，内层函数的Y值就在不断的减小，即整个复合函数的自变量X不断减小，又因为外层函数也为减函数，所以整个复合函数的Y值就在增大．因此可得“同增”若复合函数为一增一减两个函数复合：内层函数为增函数，则若随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值也在不断的增大，即整个复合函数的自变量X不断增大，又因为外层函数为减函数，所以整个复合函数的Y值就在减小．反之亦然，因此可得“异减”．六．函数零点的判定定理【基础知识】1、函数零点存在性定理：一般地，如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）•f（b）＜0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c①（a，b），使得f（c）＝O，这个c也就是f（x）＝0的根．特别提醒：（1）根据该定理，能确定f（x）在（a，b）内有零点，但零点不一定唯一．（2）并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在（a，b）上没有零点，例如，函数f（x）＝x2﹣3x+2有f（0）•f（3）＞0，但函数f（x）在区间（0，3）上有两个零点．（3）若f（x）在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f（a）．f（b）＜0，则f（x）在（a，b）上有唯一的零点．2、函数零点个数的判断方法：（1）几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f（x）的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2﹣2x+1＝0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）＝x2﹣2x+1在[0，2]上只有一个零点；①函数的零点是实数而不是数轴上的点．（2）代数法：求方程f（x）＝0的实数根．七．指数式与对数式的互化【基础知识】a b＝N①log aN＝b；指数方程和对数方程主要有以下几种类型：（1）a f（x）＝b①f（x）＝log a b；log a f（x）＝b①f（x）＝a b（定义法）（2）a f（x）＝a g（x）①f（x）＝g（x）；log a f（x）＝log a g（x）①f（x）＝g（x）＞0（同底法）（3）a f（x）＝b g（x）①f（x）log m a＝g（x）log m b；（两边取对数法）（4）log a f（x）＝log b g（x）①log a f（x）＝；（换底法）（5）A log x+B log a x+C＝0（A（a x）2+Ba x+C＝0）（设t＝log a x或t＝a x）（换元法）八．对数的运算性质【基础知识】对数的性质：①＝N；①log a a N＝N（a＞0且a≠1）．log a（MN）＝log a M+log a N；log a＝log a M﹣log a N；log a M n＝n log a M；log a＝log a M．九．换底公式的应用【基础知识】换底公式及换底性质：（1）log a N＝（a＞0，a≠1，m＞0，m≠1，N＞0）．（2）log a b＝，（3）log a b•log b c＝log a c，十．对数函数的定义域【基础知识】一般地，我们把函数y＝log a x（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域是R．十一．对数函数的值域与最值【基础知识】一般地，我们把函数y＝log a x（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域是R．定点：函数图象恒过定点（1，0）十二．对数值大小的比较【基础知识】1、若两对数的底数相同，真数不同，则利用对数函数的单调性来比较．2、若两对数的底数和真数均不相同，通常引入中间变量（1，﹣1，0）进行比较3、若两对数的底数不同，真数也不同，则利用函数图象或利用换底公式化为同底的再进行比较．（画图的方法：在第一象限内，函数图象的底数由左到右逐渐增大）十三．对数函数的单调性与特殊点【基础知识】对数函数的单调性和特殊点：1、对数函数的单调性当a＞1时，y＝log a x在（0，+∞）上为增函数当0＜a ＜1时，y ＝log a x 在（0，+∞）上为减函数 2、特殊点对数函数恒过点（1，0）十四．对数函数图象与性质的综合应用 【基础知识】1、对数函数的图象与性质：a ＞10＜a ＜1图象定义域 （0，+∞）值域 R 定点 过点（1，0）单调性在（0，+∞）上是增函数在（0，+∞）上是减函数函数值正负当x ＞1时，y ＞0；当0＜x ＜1，y ＜0当x ＞1时，y ＜0；当0＜x ＜1时，y ＞02、由对数函数的图象确定参数的方法已知对数型函数的图象研究其解析式及解析式中所含参数的取值范围问题，通常是观察图象，获得函数的单调性、对称性、奇偶性、经过的特殊点等，由此确定函数解析式以及其中所含参数的取值范围．【技巧方法】1、4种方法﹣﹣解决对数运算问题的方法（1）将真数化为底数（或已知对数的数）的幂的积，再展开；（2）将同底对数的和、差、倍合并；（3）利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用；（4）利用常用对数中的lg 2+lg 5＝1．2、3个基本点﹣﹣对数函数图象的三个基本点（1）当a＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图象“下降”．（2）对数函数y＝log a x（a＞0，且a≠1）的图象过定点（1，0），且过点（a，1），（，﹣1）函数图象只在第一、四象限．（3）底数的大小与对数函数的图象位置之间的关系．3、2个应用﹣﹣对数函数单调性的应用（1）比较对数式的大小：①若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，需对底数进行分类讨论．①若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较．①若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较．（2）解对数不等式：形如log a x＞log a b的不等式，借助y＝log a x的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论．形如log a x＞b的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式．十五．指数函数与对数函数的关系【基础知识】指数函数和对数函数的关系：（1）对数函数与指数函数互为反函数，它们的定义域、值域互换，图象关于直线y＝x对称．（2）它们都是单调函数，都不具有奇偶性．当a＞l时，它们是增函数；当O＜a＜l时，它们是减函数．（3）指数函数与对数函数的联系与区别：十六．反函数【基础知识】【定义】一般地，设函数y＝f（x）（x①A）的值域是C，根据这个函数中x，y的关系，用y把x表示出，得到x＝g（y）．若对于y在中的任何一个值，通过x＝g（y），x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x＝g（y）就表示y是自变量，x是因变量是y的函数，这样的函数y＝g（x）（y①C）叫做函数y＝f（x）（x①A）的反函数，记作y＝f（﹣1）（x）反函数y＝f （﹣1）（x）的定义域、值域分别是函数y＝f（x）的值域、定义域．【性质】反函数其实就是y＝f（x）中，x和y互换了角色（1）函数f（x）与他的反函数f﹣1（x）图象关于直线y＝x对称；函数及其反函数的图形关于直线y＝x对称（2）函数存在反函数的重要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；（3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；（4）大部分偶函数不存在反函数（当函数y＝f（x），定义域是{0} 且f（x）＝C（其中C 是常数），则函数f（x）是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是{C}，值域为{0} ）．奇函数不一定存在反函数，被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数．若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数．（5）一切隐函数具有反函数；（6）一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性；（7）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数【反函数存在定理】；（8）反函数是相互的且具有唯一性；（9）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）；（10）原函数一旦确定，反函数即确定（三定）（在有反函数的情况下，即满足（2））．十七．对数函数图象与性质的综合应用【基础知识】1、对数函数的图象与性质：a＞10＜a＜1图象定义域（0，+∞）值域R定点过点（1，0）单调性在（0，+∞）上是增函数在（0，+∞）上是减函数函数值正负当x＞1时，y＞0；当0＜x＜1，y＜0当x＞1时，y＜0；当0＜x＜1时，y＞02、由对数函数的图象确定参数的方法已知对数型函数的图象研究其解析式及解析式中所含参数的取值范围问题，通常是观察图象，获得函数的单调性、对称性、奇偶性、经过的特殊点等，由此确定函数解析式以及其中所含参数的取值范围．【解题方法点拨】1、4种方法﹣﹣解决对数运算问题的方法（1）将真数化为底数（或已知对数的数）的幂的积，再展开；（2）将同底对数的和、差、倍合并；（3）利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用；（4）利用常用对数中的lg 2+lg 5＝1．2、3个基本点﹣﹣对数函数图象的三个基本点（1）当a＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图象“下降”．（2）对数函数y＝log a x（a＞0，且a≠1）的图象过定点（1，0），且过点（a，1），（，﹣1）函数图象只在第一、四象限．（3）底数的大小与对数函数的图象位置之间的关系．3、2个应用﹣﹣对数函数单调性的应用（1）比较对数式的大小：①若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，需对底数进行分类讨论．①若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较．①若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较．（2）解对数不等式：形如log a x＞log a b的不等式，借助y＝log a x的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论．形如log a x＞b的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式．十八．函数的零点【基础知识】一般地，对于函数y＝f（x）（x①R），我们把方程f（x）＝0的实数根x叫作函数y＝f （x）（x①D）的零点．即函数的零点就是使函数值为0的自变量的值．函数的零点不是一个点，而是一个实数．十九．函数零点的判定定理【基础知识】1、函数零点存在性定理：一般地，如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）•f（b）＜0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c①（a，b），使得f（c）＝O，这个c也就是f（x）＝0的根．【技巧方法】（1）根据该定理，能确定f（x）在（a，b）内有零点，但零点不一定唯一．（2）并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在（a，b）上没有零点，例如，函数f（x）＝x2﹣3x+2有f（0）•f（3）＞0，但函数f（x）在区间（0，3）上有两个零点．（3）若f（x）在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f（a）．f（b）＜0，则f（x）在（a，b）上有唯一的零点．2、函数零点个数的判断方法：（1）几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f（x）的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2﹣2x+1＝0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）＝x2﹣2x+1在[0，2]上只有一个零点；①函数的零点是实数而不是数轴上的点．（2）代数法：求方程f（x）＝0的实数根．二十．函数的零点与方程根的关系【基础知识】函数的零点表示的是函数与x轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的．但是，他们的解法其实质是一样的．二十一. 二分法【基础知识】二分法即一分为二的方法．设函数f（x）在[a，b]上连续，且满足f（a）•f（b）＜0，我们假设f（a）＜0，f（b）＞0，那么当x1＝时，若f（x1）＝0，这说x1为零点；若不为0，假设大于0，那么继续在[x1，b]区间取中点验证它的函数值为0，一直重复下去，直到找到满足要求的点为止．这就是二分法的基本概念．习题演练一．选择题（共12小题）1．已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是( ) A ．()1,1- B ．()(),11,-∞-+∞C ．()0,1D ．()(),01,-∞⋃+∞2．下列式子计算正确的是（ ） A ．m 3•m 2＝m 6 B ．（﹣m ）2＝21m - C ．m 2+m 2＝2m 2D ．（m +n ）2＝m 2+n 23．在同一直角坐标系中，函数11,log (02a x y y x a a ⎛⎫==+> ⎪⎝⎭且1)a ≠的图象可能是（ ） A ． B ．C ．D ．4．设2,8()(8),8x x f x f x x ⎧≤=⎨->⎩，则(17)f =（ ）A ．2B ．4C ．8D ．165．函数13x y a +=-（0a >，且1a ≠）的图象一定经过的点是（ ） A ．()0,2-B ．()1,3--C ．()0,3-D ．()1,2--6．设0.3log 0.6m =，21log 0.62n =，则（ ） A ．m n m n mn ->+> B ．m n mn m n ->>+ C ．m n m n mn +>->D ．mn m n m n >->+7．已知函数1()ln 1f x x x =--，则()y f x =的图象大致为（ ）．A ．B ．C ．D ．8．已知2log a e =，ln 2b =，121log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．a b c >> B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>9．函数()2xf 的定义域为[1,1]-，则()2log y f x =的定义域为（ ）A ．[1,1]-B．C ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[1,4]10．设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )（ ） A ．是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B ．是奇函数，且在11(,)22-单调递减C ．是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D ．是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减11．已知函数()ln 1,01,0xx x f x e x ⎧+>=⎨+≤⎩，()22g x x x =--，若方程()()0f g x a -=有4个不相等的实根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(),1-∞B ．(]0,1C ．(]1,2D ．[)2,+∞12．在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为（ ）A ．1,04⎛⎫-⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭D ．13,24⎛⎫⎪⎝⎭二．填空题（共6小题）13．计算：13021lg8lg 25327e -⎛⎫-++= ⎪⎝⎭__________．14．不等式2log 5x a -<对任意[]4,16x ∈恒成立，则实数a 的取值范围为____________. 15．已知当(]1,2x ∈时，不等式()21log a x x -≤恒成立，则实数a 的取值范围为________.16．若关于x 的方程11224a x x =-++-的解集为空集，求实数a 的取值范围______. 17．已知函数223,3()818,3x x f x x x x -⎧<=⎨-+≥⎩，则函数()()2g x f x =-的零点个数为_________．18．已知定义在R 上的函数()f x 满1(2)()f x f x +=，当[0,2)x ∈时，()x f x x e =+，则(2019)f =_______.三．解析题（共6小题）19．已知函数()log (1)log (3)(01)a a f x x x a =-++<<.（1）求函数()f x 的定义域； （2）求函数()f x 的零点；（3）若函数()f x 的最小值为－4，求a 的值.20．已知定义域为R 的函数，12()2x x bf x a+-+=+是奇函数.（1）求a ，b 的值；（2）若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围.21．设()log (1)log (3)(0,1)a a f x x x a a =++->≠，且(1)=2f . (1)求a 的值；(2)求()f x 在区间30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值.22．已知实数0a >，定义域为R 的函数()x x e af x a e=+是偶函数，其中e 为自然对数的底数．（①）求实数a 值；（①）判断该函数()f x 在(0,)+∞上的单调性并用定义证明；（①）是否存在实数m ，使得对任意的t R ∈，不等式(2)(2)f t f t m -<-恒成立．若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由．23．函数()f x 对任意的实数m ，n ，有()()()f m n f m f n +=+，当0x >时，有()0f x >． （1）求证：()00=f ．（2）求证：()f x 在(),-∞+∞上为增函数．（3）若()11f =，解不等式()422x xf -<．24．甲商店某种商品4月份（30天，4月1日为第一天）的销售价格P （元）与时间t （天）的函数关系如图所示（1），该商品日销售量Q （件）与时间t （天）的函数关系如图(2)所示.（1）（2）（1）写出图（1）表示的销售价格与时间的函数关系式()P f t =，写出图（2）表示的日销售量与时间的函数关系式()Q g t =及日销售金额M （元）与时间的函数关系式()M h t =. （2）乙商店销售同一种商品，在4月份采用另一种销售策略，日销售金额N （元）与时间t （天）之间的函数关系式为22102750N t t =--+，试比较4月份每天两商店销售金额的大小关系。
04高中数学《指数函数对数函数》知识点
.
⑤奇偶性:非奇非偶.
基本思路：
29. 解不等式： 0.3x2 x1 ＞ 0.32x2 5x
利用指数、对数函数的图象(实质是判断
指 利用函数的增减性),把原不等式转化为一元 30. 若 log 2a 3 ＜0，则 a 的取值范围是
.
数 一次(或二次)不等式(组).
a a 和 ① f(x)＞ g(x) (a＞0，a≠1)型
1、解析式：y£½ a x (a＞0，且 a≠1)
2、图象：
5. 指数函数y£½ a x ( a ＞0 且 a ≠1)的图象过
点(3,π ) , 求 f (0)、f (1)、f (－3)的值.
6. 求下列函数的定义域:
① y 2 x2 ；
②y 1 . 4x5 2
指
7. 比较下列各组数的大小:
A. m ＞ n
B.lg(m2 ) ＞lg(n2 )
C.m4＞n4
D.( 1 )m＜( 1 )n 22
27. 比较各组数的大小：
①log 1 0.2 2
log 1 0.21， 2
lg1.1 lg1.11
② 60.7 , 0.76 , log 0.7 6 从小到大为
③ log89
log98 ,
④ log25
loge x 简记为 lnx，称为自然对数.
设 a＞0,b＞0,a≠1,b≠1,M＞0,N＞0
16.
log 2
1 25
log3
8
＝
.
① a b＝N loga N＝b
log9 5
② 负数和零没有对数；
③ log a 1＝0， log a a＝1
④ aloga N ＝N , log a a N N
指数函数的概念【教学课件】—【A3演示文稿设计与制作】
(2)有容积相等的桶A和桶B，开始时桶A中有a升水，桶B中无水.现把桶
A的水注入桶B，t分钟后，桶A的水剩余y1＝amt(升)，其中m为正常数.
假设5分钟后，桶A和桶B的水相等，要使桶A的水只有
a 16
升，必须再经过
A.12分钟
√B.15分钟
C.20分钟
D.25分钟
反思感悟 关于函数y＝kax在实际问题中的应用 (1)函数y＝kax是用来刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的 函 数 模 型 ， 一 般 当 k>0 时 ， 若 a>1 ， 则 刻 画 指 数 增 长 变 化 规 律 ； 若 0<a<1，则刻画指数衰减变化规律. (2)解决此类问题可利用待定系数法，根据条件确定出解析式中的系数 后，利用指数运算解题.
7.若函数f(x)＝(a－1)x是指数函数，则实数a的取值范围是(_1_,2_)_∪__(2_，__＋__∞__)_. 解析 ∵函数f(x)＝(a－1)x是指数函数， ∴aa－－11≠>01，， 解得 a>1 且 a≠2， ∴实数a的取值范围是(1,2)∪(2，＋∞).
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
1234
4.若函数f(x)是指数函数，且f(2)＝2，则f(x)＝_(__2_)_x _. 解析 由题意，设f(x)＝ax(a>0且a≠1)， 则由 f(2)＝a2＝2，得 a＝ 2， 所以 f(x)＝( 2)x.
1234
课时对点练
基础巩固
1.下列函数是指数函数的是
√A.y＝π2x
C.y＝2x－1
3.函数f(x)＝(2a－3)ax是指数函数，则f(1)等于
A.8
3 B.2
基本初等函数知识点(一轮复习)
基本初等函数中学阶段（初高中）我们只要求掌握基本初等函数及其复合函数即可。
什么是基本初等函数？就是那些：幂函数（一次二次负一次）、指数、对数、三角等。
力求在这些具体函数中，运用函数的性质（奇偶性、周期、单调等的性质），掌握某些函数的特殊技巧。
一、一次函数初中的一个函数，Primary基本、简单而又很重要。
解析式：y=kx+b或y=ax+b，通常我们会这样设。
那么高中我们在什么地方会用到它呢？解析几何中我们会设直线；线性规划会有好多跟直线；也容易在函数里面作为条件表达一下……画出以下解析式的图像：要求快（1）y=x+1; (2)y=x-1 (3)y=-x+1 (4)y=-x-1 (5)x=1(6)y=1 (7)y=2x根据以下条件，设出一次函数的解析式：(1)直线经过(1,2)点(2)直线的斜率是2总结：两个参数主宰斜率和与y轴的交点位置。
因为两个参数，所以要有两个条件才能解得解析式。
二、二次函数二次函数的大部分内容在另外一个讲义里面已经讲述了，这里补遗强调一下。
十分重要的内容，属于幂函数中最重要的一类。
二次函数图象的应用与其最值问题是高考的热点，题型多以小题或大题中关键的一步的形式出现，主要考查二次函数与一元二次方程及一元二次不等式三者的综合应用，幂函数的内容要求较低，只要求会简单幂函数的图象与性质．1、二次函数的三种表示形式(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c，(a≠0)；(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(顶点坐标为(h，k))；(3)双根式：y＝a(x－x1)(x－x2)(图象与x轴的交点为(x1,0)，(x2,0))求一元二次解析式:将题目有的条件表示一下，没有难度，过场的题目而已Eg：已知二次函数f(x)同时满足条件：(1)f(1＋x)＝f(1－x)；(2)f(x)的最大值为15；(3)f(x)＝0的两根平方和等于7.求f(x)的解析式．Ans：f(1＋x)＝f(1－x)知二次函数对称轴为x＝1.∴已知最大值和对称轴，用顶点式，设f(x)＝a(x－1)2＋15＝ax2－2ax＋15＋a.∵x21＋x22＝7 即(x1＋x2)2－2x1x2＝7∴4－2(15＋a)a＝7，∴a ＝－6.2、二次函数在特定区间上的最值问题EX ：函数y=x 2+4x+3在[-1,0]上的最大值是________,最小值是________.解析:y=x 2+4x+3=(x+2)2-1,对称轴x=-2,在[-1,0]的左侧,所以在[-1,0]上单调递增.故当x=0时,f(x)取最大值f(0)=3;当x=-1时,f(x)取最小值f(-1)=0. 答案:3 0进阶Eg ：(建议一做)：已知函数f(x)=-x 2+2mx+1-m 在0≤x ≤1时有最大值2, 求m 的值 (1)若(2b x a =-<=0) (2)若(0<2b x a =-<1) (3)若(2bx a=->=1) key:m=-1 or m=2 解析：每种情况分别画出草图。
幂函数、指数函数和对数函数对数及其运算法则教案
幂函数、指数函数和对数函数对数及其运算法则教案第一章：幂函数1.1 幂函数的定义与性质学习幂函数的定义：f(x) = x^a，其中a为常数。
探讨幂函数的性质，如奇偶性、单调性等。
1.2 幂函数的图像与解析式绘制常见的幂函数图像，如f(x) = x^2，f(x) = x^-1等。
学习如何从图像得出幂函数的解析式。
第二章：指数函数2.1 指数函数的定义与性质学习指数函数的定义：f(x) = a^x，其中a为正常数。
探讨指数函数的性质，如单调性、特殊点等。
2.2 指数函数的图像与解析式绘制常见的指数函数图像，如f(x) = 2^x，f(x) = 3^x等。
学习如何从图像得出指数函数的解析式。
第三章：对数函数3.1 对数函数的定义与性质学习对数函数的定义：f(x) = log_a(x)，其中a为正常数。
探讨对数函数的性质，如单调性、特殊点等。
3.2 对数函数的图像与解析式绘制常见的对数函数图像，如f(x) = log_2(x)，f(x) = log_3(x)等。
学习如何从图像得出对数函数的解析式。
第四章：对数运算法则4.1 对数的基本运算法则学习对数的加法、减法、乘法和除法法则。
4.2 对数的复合运算法则学习对数的乘方和除方法则。
第五章：对数函数的应用5.1 对数函数在实际问题中的应用探讨对数函数在实际问题中的应用，如人口增长、放射性衰变等。
5.2 对数函数在其他数学领域的应用探讨对数函数在其他数学领域的应用，如微积分中的对数微分等。
第六章：指数函数的应用6.1 指数函数在实际问题中的应用探讨指数函数在实际问题中的应用，如复利计算、生物种群增长等。
6.2 指数函数在其他数学领域的应用探讨指数函数在其他数学领域的应用，如概率论中的指数分布等。
第七章：幂函数和指数函数的综合应用7.1 幂函数和指数函数在实际问题中的应用探讨幂函数和指数函数在实际问题中的应用，如物理学中的能量公式、经济学中的需求函数等。
7.2 幂函数和指数函数在其他数学领域的应用探讨幂函数和指数函数在其他数学领域的应用，如图论中的指数时间算法等。
《待定系数法求指数函数解析式》教学设计
《待定系数法求指数函数解析式》教学设计待定系数法求指数函数解析式教学设计一、教学目标通过本课的研究，学生应能够：- 了解指数函数的定义和特点；- 熟练掌握待定系数法求解指数函数解析式的方法；- 能够运用待定系数法求解指数函数的具体例子。
二、教学内容1. 指数函数的定义和性质介绍- 介绍指数函数的定义和基本性质，例如定义域、值域、增减性等。
2. 待定系数法求指数函数解析式的步骤和原理- 详细讲解待定系数法求解指数函数解析式的基本步骤和原理。
- 强调待定系数法的简便性和实用性。
3. 通过示例演示待定系数法的应用- 提供几个具体的例子，引导学生运用待定系数法求解指数函数的解析式。
- 分析每个例子的解题思路和步骤，帮助学生理解待定系数法的实际运用。
三、教学流程第一课时1. 导入：通过引入一个简单的指数函数问题，激发学生对指数函数的兴趣。
2. 介绍指数函数的定义和性质。
3. 讲解待定系数法求指数函数解析式的步骤。
4. 指导学生完成一到两个简单的示例题。
第二课时1. 复上节课讲解的内容。
2. 继续讲解待定系数法的应用。
3. 引导学生运用待定系数法求解较为复杂的指数函数问题。
4. 分析示例题的解题思路和关键点。
5. 实践训练：布置练题让学生在课下继续练待定系数法。
第三课时1. 复上节课的内容和学生课后练。
2. 解答学生遇到的问题，并总结常见的错误和解题技巧。
3. 继续进行一些高难度的指数函数例题。
4. 总结课程内容，回顾待定系数法求指数函数解析式的关键步骤和原理。
四、教学评估1. 课堂参与度评估：观察学生在课堂上的积极参与程度和回答问题的准确性。
2. 作业评估：批改、评价学生完成的练题，检查其对待定系数法的理解和运用。
3. 测试评估：组织小测验或考试，考察学生对指数函数和待定系数法的掌握情况。
五、教学资源- PowerPoint幻灯片：包括指数函数的定义和性质介绍、待定系数法求解步骤讲解等。
- 白板和笔：用于课堂讲解和示范。
高一函数题型及解题技巧
高一函数题型及解题技巧函数是数学中非常重要的一个概念，高中阶段学习的函数包括常用基本函数、一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数等。
掌握函数的概念和特点可以帮助学生更好地理解数学知识，并且在解题过程中能够更加灵活地运用函数的性质和特点。
接下来就让我们来了解一下高一阶段常见的函数题型及其解题技巧。
一次函数一次函数是一种最为基础也最为常见的函数类型，它的一般形式为y = kx + b，其中k和b是常数。
在一次函数的解题过程中，常见的题型有求解函数的值、求解函数的解析式、函数的图像、函数的特性等。
求解函数的值：对于给定的一次函数y = kx + b，当给定x的值时，我们需要计算出对应的y的值。
这样的题目主要考察对一次函数的计算能力，需要注意根据函数的解析式直接代入x的值并计算得出结果。
求解函数的解析式：有时候我们需要根据已知的函数图像或者函数的性质来求解一次函数的解析式。
这种题型需要根据已知条件列方程组，然后解方程求解函数的解析式。
函数的图像：对于给定的一次函数，有时我们需要根据函数的解析式画出函数的图像。
这里需要注意一次函数的图像是一条直线，根据函数的解析式可以确定其斜率和截距，并且根据斜率和截距可以画出函数的图像。
函数的特性：一次函数的斜率和截距是其最为重要的特性，根据斜率和截距可以确定函数的增减性、奇偶性、单调性等特性。
在解题过程中需要根据函数的特性来分析问题并求解答案。
二次函数二次函数是另外一种比较常见的函数类型，它的一般形式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c是常数。
在解题过程中，常见的题型有求解函数的值、求解函数的解析式、函数的图像、函数的特性等。
求解函数的值：对于给定的二次函数y = ax^2 + bx + c，当给定x的值时，我们需要计算出对应的y的值。
这需要我们将x的值代入函数的解析式中，并通过计算得出对应的y的值。
求解函数的解析式：有时候我们需要根据已知的函数图像或者函数的性质来求解二次函数的解析式。
指数函数考点总结(精华加强版)
指数函数考点总结指数函数定义：函数)1,0(≠>=a a a y x且称指数函数，函数的定义域为R ；函数的值域为),0(+∞；(2)函数图像及性质：①指数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、二象限； ②当10<<a 时函数为减函数，当1>a 时函数为增函数。
③指数函数都以x 轴为渐近线（当10<<a 时，图象向左无限接近x 轴，当1>a 时，图象向右无限接近x 轴）；④对于相同的)1,0(≠>a a a 且，函数xxa y a y -==与的图象关于y 轴对称。
⑤函数值的变化特征：()()()10110010y x a y x y x >>⎧⎪>==⎨⎪<<<⎩时 ()()()010011010y x a y x y x <<>⎧⎪<<==⎨⎪><⎩时一指数函数定义1.某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次(一次分裂为2个)，经过3小时，这种细菌由1个繁殖成( ) 个2.已知以x 为自变量的函数，其中属于指数函数的是( )A.y ＝(a+1)x(其中a>-1，且a ≠0) B.y ＝(-3)xC.y ＝-(-3)xD.y ＝3x+12(33)x y a a a =-+是指数函数，则a 的值为 .3.已知a ＜41，则化简42)14(-a 的结果是定点问题1..指数函数()f x 的图象过点(2,9),则(2)f -=2.函数5()26x f x -=+恒过定点求奇偶性1.当a>1时，证明函数 是奇函数。
2.函数y ＝xx aa 2211-+(a>0，且a ≠1)( ) f(x) 奇偶性 3.设f(x)＝244+x x，若0<a<1，f(x)奇偶性4.F(x)＝(1+122-x )f(x)(x ≠0)是偶函数，且f(x)不恒等于零，则f(x)奇偶性 5.判断函数xx xx 10101010)x (f +-=--的奇偶性6.试求：f(a)+f(1-a)的值，进一步求f(10011)+f(10012)+f(10013)+……+f(10011000)的值. (1)f(x)＝x x 2)21(2+;判断函数的奇偶性：f(x)＝xx 2)21(2+是偶函数.(2)f(x)＝11+x a -21 (a>0，且a ≠1). 判断函数的奇偶性：f(x)＝11+x a -21是奇函数. 7.对于解析式比较复杂的函数通常将其化简(在确定了其定义域的情况下)，然后再判定函11)(-+=xx a a x f数的奇偶性.8.判断函数的奇偶性的问题，通常是根据函数奇偶性定义，也可将问题转化为证明下述结论：若f(-x)+f(x)＝0,则f(x)为奇函数；若f(-x)+f(x)＝2f(x)，则f(x)为偶函数奇偶性解析式1.已知函数)(x f y =是奇函数，则当0≥x 时，13)(-=x x f ，求当0x <时()y f x =的解析式。
常见函数(附思维导图)
2.2常见函数一、一次函数和常函数：思维导图：（一） 、一次函数 〔二〕、常函数 定义域：〔- ∞，+ ∞〕 定义域: 〔- ∞，+ ∞〕 值 域：〔- ∞，+ ∞〕 正 k=0 反 值 域：{ b }解析式：y = kx + b ( k ≠ 0 ) 解析式：y = b ( b 为常数)图 像：一条与x 轴、y 轴相交的直线 图 像：一条与x 轴平行或重合的直线b>0 b=0 b<0 K > 0 k < 0单调性： k > 0 ,在〔- ∞，+ ∞〕↑ 单调性：在〔- ∞，+ ∞〕上不单调 k < 0 ,在〔- ∞，+ ∞〕↓奇偶性：奇函数⇔=0b 奇偶性: 偶函数 非奇非偶⇔≠0b周期性: 非周期函数 周期性：周期函数，周期为任意非零实数 反函数：在〔- ∞，+ ∞〕上有反函数 反函数:在〔- ∞，+ ∞〕上没有反函数 反函数仍是一次函数例题：二、二次函数1、定义域：〔- ∞，+ ∞〕2、值 域： ),44[,02+∞-∈>ab ac y a]44,(,02ab ac y a --∞∈<3、解析式：)0(2≠++=a c bx ax y4、图 像:一条开口向上或向下的抛物线 开口向下，开口向上；正负：增大，开口缩小绝对值：随着,00<>a a a a正半轴相交与负半轴相交与y c y c c,0,0><对称轴：ab x 2-=对称轴： ；)44,2(2ab ac ab --顶点： 轴交点个数图像与x ac b →-=∆42：与x 轴交点的个数。
两个交点,0>∆一个交点,0=∆无交点,0<∆5、单调性：↑+∞-↓--∞>),2[]2,(,0ab ab a↓+∞-↑--∞<),2[]2,(,0ab ab a6、奇偶性：偶函数⇔=0b7、周期性：非周期函数8、反函数：在〔- ∞，+ ∞〕上无反函数，上及其子集上有反函数或在),2[]2,(+∞---∞ab ab例题:三、反比例函数和重要的分式函数〔一〕、反比例函数 〔二〕、分式函数bax dcx y ++= 定义域：〔- ∞，0〕∪〔0，+ ∞〕 定义域：),(),(+∞---∞aba b 值 域：〔- ∞，0〕∪〔0，+ ∞〕 值 域: ),(),(+∞-∞a c a c解析式：)0()(≠=k xk x f 解析式：)(a bx b ax d cx y -≠++=图 像：以x 轴、y 轴为渐进线的双曲线 图 像：以abx -=和a c y =为渐近线的双曲线y y0 x 0 xk > 0 k < 0单调性： k>0,〔- ∞，0〕↓,〔0，+ ∞〕↓ 单调性:在),(a b --∞和),(+∞-ab上 k<0,〔- ∞，0〕↑,〔0，+ ∞〕↑ 单调性相同 奇偶性：奇函数 奇偶性：非奇非偶 对称性：关于原点对称 对称性：关于点),(aca b -成中心对称 周期性：非周期函数 周期性：非周期函数反函数：在定义域上有反函数， 反函数：在定义域有反函数， 反函数是其本身。
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指数函数的解析式
指数函数是一类常见的数学函数，它的解析式可以大致分为如下几类：
1. 指数函数的一般解析式：
① y=a·b^x；
② y=a·e^(b·x)；
③ y=a·10^x；
④ y=a·x^b。
2. 幂指数函数的解析式：
① y=a·b^(c·x)。
3. 对数函数的解析式：
① loga(x)=b；
② y=a·logb(x)。
一般而言，指数函数包括上述所有解析式，而幂指数函数和对数函数
也在指数函数的范畴内，只是因为概念不同而有不用的表达方式。
指
数函数的解析式a·b^(c·x)可以表示出一个增长率。
这种表达式的指数
部分是可以通过调整字母b调整增长的速度的。
而对数函数的解析式loga(x)=b表示的是如果x的变化使得y增加1，那么x需要增长为根号
a的b次方倍。
比如，a=2，b=3，x=4，那么loga(x)=b=log2(4)=3，也
就是说，当x变为8时，y就会增加1。
指数函数是常见的数学函数，它的解析式可以表示出一个增长率或者一个对数关系，方便同学们理解数学函数与各种数学问题的联系，在实际应用中也起着很大的作用。