圆幂定理+讲义2023年九年级数学中考复习【附解析】

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中考技巧圆幂定理、共高定理、共角定理、共边定理

中考技巧圆幂定理、共高定理、共角定理、共边定理圆幂定理是平面几何中的一个定理，是相交弦定理、切割线定理及割线定理（切割线定理推论）的统一，例如如果交点为P的两条相交直线与圆O相交于A、B与C、D，则PA·PB=PC·PD。

圆幂定理是一个总结性的定理。

根据两条与圆有相交关系的线的位置不同，有以下定理：相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

则有AE·CE＝BE·DE。

切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

则有PA²＝PC·PD。

割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A、B、C、D，则有PA·PB=PC·PD。

从上述定理可以看出，两条线的位置从内到外，都有着相似的结论。

经过总结和归纳，便得出了圆幂定理。

点对圆的幂定义：P点对圆O的幂定义为OP²—R²。

性质：点P对圆O的幂的值，和点P与圆O的位置关系有下述关系：点P在圆O内→P对圆O的幂为负数；点P在圆O外→P对圆O的幂为正数；点P在圆O上→P对圆O的幂为0。

注意：以上关系除正向应用通过点和圆的位置关系判断点对的圆的幂的符号，还可以逆向应用，通过点对圆的幂的符号反推点和圆的位置关系。

在某些书中，点P对圆O的幂表示为 |OP²—R²|。

共高定理如图1，延长△PAM的边AM至点B，得△PBM，根据面积公式可以证明以下定理．图1共高定理：若M在直线AB上，P为直线AB外一点，则有S△PAM：S△PBM＝AM：BM．证明：如图1，因为S△PAM＝1/2AM·PM，S△PAM＝1/2BM·PM，所以S△PAM：S△PBM＝AM：BM．【举一反三】如图2，点P在△ABC的边BC上，且∠BAP＝∠CAP，试用共高定理推出PB：PC＝AB：AC．图2共角定理中考数学压轴题昨天共角定理若两个三角形有一组对应角相等或互补,则它们的面积比等于对应两边乘积的比。

2023中考九年级数学分类讲解 - 第十二讲圆(含答案)(全国通用版)

第十二讲圆专项一圆的相关概念及性质知识清单1．圆的定义及其相关概念圆：如图1，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做______．其固定的端点O叫做______，线段OA叫做______．弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做______，如图1，AC，BC是弦，BC是直径．弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．大于半圆的弧叫做______（用三个点表示，如图1中的ABC），小于半圆的弧叫做______（如图1中的AC）．圆心角：顶点在______的角叫做圆心角（如图1中的∠AOB是AB所对的圆心角）．圆周角：顶点在______上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角（如图1中的∠ACB是AB所对的圆周角）．2．圆是轴对称图形，对称轴是_____________，由此可得垂径定理：垂直于弦的直径______弦，并且______弦所对的两条弧．推论：平分弦（不是______）的直径______弦，并且______弦所对的两条弧．3．圆是中心对称图形，对称中心是_____________，由此可得在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中如果有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量________．4．圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，即∠BAC=12∠BOC（如图2）．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等，即∠BAC=∠BDC（如图2）．推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是______，即∠BCA=90°（如图2）；90°的圆周角所对的弦是直径．推论3：圆内接四边形的对角______．考点例析例1 往水平放置的半径为13 cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面图如图1所示．若水面宽度AB＝24 cm，则水的最大深度为（）A．5 cm B．8 cm C．10 cm D．12 cm图1分析：如图1，作与弦AB垂直的半径，先利用垂径定理求出BD的长，再根据勾股定理求出OD的长，进而得出CD的长．归纳：过圆心作弦的垂线可以构造垂径定理基本图形，常结合勾股定理求线段长．在图1所示的AB，OB，OD，CD四个量中，OB=OD+CD，2222ABOD OB⎛⎫+=⎪⎝⎭，利用这两个关系式，知道其中任何两个，其余两个都能求出来．例2 如图2，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ADC＝150°，弦AC＝2，则⊙O的半径等于．图2分析：根据圆内接四边形的性质可得∠ABC的度数，连接OA，OC，由圆周角定理求出∠AOC的度数，判断△OAC的形状后，可求⊙O的半径．例3如图3，已知AB是⊙O的直径，∠ACD是AD所对的圆周角，∠ACD＝30°．（1）求∠DAB的度数；（2）过点D作DE⊥AB，垂足为E，DE的延长线交⊙O于点F．若AB＝4，求DF的长．图3分析：（1）连接BD，根据同弧所对的圆周角相等可得∠B=∠ACD＝30°，再由AB是⊙O的直径，可得∠ADB＝90°，进而可求∠DAB的度数；（2）在Rt△ABD中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AD的长，在Rt△ADE中，DE=AD·sin∠DAE，再结合垂径定理可求出DF的长．解：归纳：在圆中经常构造直径所对的圆周角，利用圆周角定理与直角三角形的性质解题．跟踪训练1．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点．若∠ABD＝54°，则∠C的度数为（）A．34°B．36°C．46°D．54°第1题图2．P是⊙O内一点，过点P的最长弦的长为10 cm，最短弦的长为6 cm，则OP的长为（）A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．6 cm3．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若四边形OBCD为菱形，则∠BAD的度数为（）A．45°B．60°C．72°D．36°第3题图第4题图4．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝32°，点B，C在⊙O上，边AB，AC分别交⊙O于D，E 两点，点B是CD的中点，则∠ABE＝．5．如图，AB为⊙O的弦，D，C为ACB的三等分点，AC∥BE．（1）求证：∠A＝∠E；（2）若BC＝3，BE＝5，求CE的长．第5题图专项二与圆有关的位置关系知识清单1. 点与圆的位置关系设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则有点P在圆外⇔d___r；点P在____⇔d____r；点P在圆内⇔d____r．2. 直线与圆的位置关系设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则有直线l与⊙O相交⇔d___r；直线l与⊙O相切⇔d___r；直线l与⊙O____⇔d___r．3. 切线的性质定理:圆的切线____于过切点的半径.4.切线的判定（1）和圆只有____个公共点的直线是圆的切线.（2）经过半径的外端并且____于这条半径的直线是圆的切线.（3）如果圆心到一条直线的距离____圆的半径，那么这条直线是圆的切线.5. 切线长定理（选学）切线长:经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间____叫做这点到圆的切线长.定理:从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长____，这一点和圆心的连线____两条切线的夹角.6. 三角形的外接圆与内切圆外接圆内切圆圆心名称三角形的外心三角形的内心圆心位置三角形三条边的垂直平分线的交点三角形三条角平分线的交点性质三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等三角形的内心到三角形三边的距离相等考点例析例1 如图1-①，正方形ABCD的边长为4，⊙O的半径为1．若⊙O在正方形ABCD内平移（⊙O可以与该正方形的边相切），则点A到⊙O上的点的距离的最大值为．①②图1分析：如图1-②，当⊙O平移最靠近点C，即当⊙O与CB，CD相切时，点A到⊙O上的点Q的距离最大，结合切线的性质定理和切线长定理求解．例2 如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E是BC的中点，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，连接DE．（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若CD＝3，DE＝52，求⊙O的直径．图2分析：（1）连接OD，根据直角三角形斜边上中线的性质与等腰三角形的性质，可证∠EDO＝90°，从而判定DE与⊙O相切；（2）先在Rt△BDC中求出BC，BD的长，再借助相似三角形求出AC的长，即得⊙O的直径．解：归纳：切线的判定方法主要有两种：若直线与圆有交点，则连接过交点的半径，证其与直线垂直（连半径，证垂直）；若不能确定直线与圆有交点，则过圆心向直线作垂线段，证圆心到直线的距离等于半径（作垂线，证半径）．跟踪训练1．如图，∠BAC＝36°，点O在边AB上，⊙O与边AC相切于点D，交边AB于点E，F，连接FD，则∠AFD的度数为（）A．27°B．29°C．35°D．37°第1题图第2题图2．如图，P A，PB是⊙O的切线，A，B是切点．若∠P＝70°，则∠ABO等于（）A．30°B．35°C．45°D．55°3．如图，F A，GB，HC，ID，JE是五边形ABCDE的外接圆的切线，则∠BAF+∠CBG+∠DCH+∠EDI+∠AEJ＝°．第3题图4．如图①，△ABC内接于⊙O，直线MN与⊙O相切于点D，OD与BC相交于点E，BC∥MN．（1）求证：∠BAC＝∠DOC；（2）如图②，若AC是⊙O的直径，E是OD的中点，⊙O的半径为4，求AE的长．①②第4题图5．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，E为AB上一点，BE＝BC，延长CE交AD于点D，AD ＝AC．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若tan∠ACE＝13，OE＝3，求BC的长．第5题图专项三弧长与扇形面积的计算知识清单1．弧长公式：在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l =_______．2．扇形面积公式：在半径为R的圆中，圆心角为n°的扇形的面积S=_______；在半径为R的圆中，圆心角所对的弧长为l的扇形的面积S=_______．考点例析例1如图1，传送带的一个转动轮的半径为18 cm，转动轮转n°，传送带上的物品A被传送12π cm，则n ＝．图1分析：物品A被传送的距离等于转动轮转n°的弧长，根据弧长公式求弧所对的圆心角的度数即为n值．例2 如图2，正六边形ABCDEF的边长为2，以A为圆心，AC的长为半径画弧，得EC，连接AC，AE，则图中阴影部分的面积为（）A．2πB．4πC．33πD．233π图2分析：阴影部分是以AC为半径、以∠CAE为圆心角的扇形，借助正六边形的性质，分别求出AC的长与∠CAE的度数，根据扇形的面积公式计算．例3设圆锥的底面圆半径为r，圆锥的母线长为l，满足2r+l＝6，这样的圆锥的侧面积（）A．有最大值94πB．有最小值94πC．有最大值92πD．有最小值92π分析：根据扇形的面积公式结合关系式2r+l＝6，列出圆锥的侧面积与r之间的函数解析式，再通过函数的性质求圆锥的侧面积的最大值或最小值．归纳：对于圆锥，要熟悉立体图形与展开图（平面图形）之间的对应关系：圆锥的侧面展开图为扇形，圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面周长是扇形的弧长．跟踪训练1．图①是一把扇形书法纸扇，图②是其完全打开后的示意图，外侧两竹条OA和OB的夹角为150°，OA 的长为30 cm，贴纸部分的宽AC为18cm，则CD的长为（）A．5π cm B．10π cm C．20π cm D．25π cm①②第1题图2．如图，一根5 m长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊A（羊只能在草地上活动），那么小羊A在草地上的最大活动区域面积是（）A．1712π m2B．7712π m2C．254π m2D．176π m2第2题图3．已知圆锥的母线长为10，高为8，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为（用含π的代数式表示），圆心角为度．4．如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，D均在小正方形的顶点上，且点B，C在AD 上，∠BAC＝22.5°，则BC的长为．第4题图专项四正多边形与圆知识清单1．正多边形和圆的关系：只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以做出这个圆的______，这个圆就是这个正多边形的______．2．与正多边形有关的概念如图，已知正n边形的边长为a，半径为R，则这个正n边形的每个内角为180nn（-2），中心角α=______，边心距r=______，周长l=na，面积S=12 nar．考点例析例1 如图1，面积为18的正方形ABCD内接于⊙O，则AB的长度为（）A．9πB．92πC．32πD．94π图1分析：连接OA，OB，则△OAB为等腰直角三角形．由正方形ABCD的面积为18，可求得边长AB，进而可得半径OA，根据弧长公式可求AB的长．例2（2021·河北）如图2，⊙O的半径为6，将该圆周12等分后得到表盘模型，其中整钟点为A n（n为1～12的整数），过点A7作⊙O的切线交A1A11的延长线于点P．（1）通过计算比较直径和劣弧711A A的长度哪个更长；（2）连接A7A11，则A7A11和P A1有什么特殊位置关系？请简要说明理由；（3）求切线长P A7的值．图2分析：（1）利用弧长公式求劣弧711A A的长度，与直径比较大小；（2）先直觉观察猜想结论，再利用圆周角定理证明；（3）由切线的性质可得Rt△P A1A7，解此三角形可得P A7的值．解：跟踪训练1．（2021·贵阳）如图，⊙O与正五边形ABCDE的两边AE，CD相切于A，C两点，则∠AOC的度数是（）A．144°B．130°C．129°D．108°第1题图2．（2021·绥化）边长为4 cm的正六边形，它的外接圆与内切圆半径的比值是．3．（2021·湘潭）德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿．”如图①，点C把线段AB分成两部分，如果512CBAC=≈0.618，那么称点C为线段AB的黄金分割点．第3题图（1）特例感知：在图①中，若AB＝100，求AC的长；（结果保留根号）（2）知识探究：如图②，作⊙O的内接正五边形；①作两条相互垂直的直径MN，AI；②作ON的中点P，以P为圆心，P A为半径画弧交OM于点Q；③以点A为圆心，AQ为半径，在⊙O上连续截取等弧，使弦AB＝BC＝CD＝DE＝AQ，连接AE；则五边形ABCDE为正五边形．在该正五边形作法中，点Q是否为线段OM的黄金分割点？请说明理由；（3）拓展应用：国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征，是一个非常优美的几何图形，与黄金分割有着密切的联系．延长题（2）中的正五边形ABCDE的每条边，相交可得到五角星，摆正后如图③，点E是线段PD的黄金分割点，请利用题中的条件，求cos72°的值．专项五圆中的数学思想1. 方程思想例1（2021·西宁）如图1，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD＝10，BE＝2，则⊙O的半径OC ＝．图1分析：先由垂径定理求得CE的长，再在Rt△OCE中由勾股定理得出关于半径的方程，解方程即可．2. 分类讨论思想例2（2021·朝阳）已知⊙O的半径是7，AB是⊙O的弦，且AB的长为3AB所对的圆周角的度数为．分析：弦AB所对圆周角的顶点可能在优弧上，也可能在劣弧上，所以需要分两种情况讨论．解答时，利用垂径定理构造直角三角形，借助三角函数求弦AB所对的圆心角的度数，再根据圆周角定理及其推论求弦AB 所对的圆周角的度数．3．转化思想例3 （2021·枣庄）如图2，正方形ABCD 的边长为2，O 为对角线的交点，点E ，F 分别为BC ，AD 的中点．以C 为圆心，2为半径作BD ，再分别以E ，F 为圆心，1为半径作圆弧BO ，OD ，则图中阴影部分的面积为（）A ．π﹣1B ．π﹣3C ．π﹣2D ．4﹣π图2分析：连接BD ，则OD 与线段OD 围成的图形面积等于OB 与线段OB 围成的图形面积，故阴影部分的面积等于扇形CBD 与直角三角形CBD 的面积之差．归纳：求不规则图形的面积，经常通过割补法或等积法将其转化为规则图形，再利用面积公式进行计算．跟踪训练1．（2021·兴安盟）如图，两个半径长均为2的直角扇形的圆心分别在对方的圆弧上，扇形CFD 的圆心C 是AB 的中点，且扇形CFD 绕着点C 旋转，半径AE ，CF 交于点G ，半径BE ，CD 交于点H ，则图中阴影部分的面积等于（）A ．2π﹣1B ．2π﹣2C ．π﹣1D ．π﹣2第1题图2．（2021·青海）点P 是非圆上一点，若点P 到⊙O 上的点的最小距离是4 cm ，最大距离是9cm ，则⊙O 的半径是．3．（2021·绥化）一条弧所对的圆心角为135°，弧长等于半径为5 cm 的圆的周长的3倍，则这条弧的半径为 cm ．参考答案专项一圆的相关概念及性质例1 B 例2 2例3（1）连接BD．因为∠ACD＝30°，所以∠B＝∠ACD＝30°．因为AB是⊙O的直径，所以∠ADB＝90°．所以∠DAB＝90°﹣∠B＝60°．（2）因为∠ADB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，所以AD＝12AB＝2．因为∠DAB＝60°，DE⊥AB，且AB是直径，所以EF＝DE＝AD·sin60°所以DF＝2DE＝1．B 2．B 3．B 4．13°5．（1）证明：因为AC∥BE，所以∠E＝∠ACD．因为D，C为ACB的三等分点，所以BC CD AD==．所以∠ACD＝∠A．所以∠E＝∠A．（2）解：由（1）知BC CD AD==，所以∠D＝∠CBD＝∠A＝∠E．所以BE＝BD＝5，BC＝CD＝3，△CBD∽△BDE．所以CB BDBD DE=，即355DE=，解得DE＝253．所以CE＝DE﹣CD＝253﹣3＝163．专项二与圆有关的位置关系例1 +1例2 （1）证明：连接OD．因为AC是⊙O的直径，所以∠ADC＝90°，所以∠BDC＝90°．因为E是BC的中点，所以DE＝CE＝BE，所以∠EDC＝∠ECD．又OD ＝OC ，所以∠ODC ＝∠OCD ．因为∠OCD +∠DCE ＝∠ACB ＝90°，所以∠ODC+∠EDC ＝90°，即∠EDO ＝90°．所以DE ⊥OD ．又OD 为⊙O 的半径，所以DE 与⊙O 相切．（2）解：由（1），得∠BDC ＝90°，DE ＝CE ＝BE ．因为DE ＝52，所以BC ＝5．所以BD =＝4．因为∠BCA ＝∠BDC ＝90°，∠B ＝∠B ，所以△BCA ∽△BDC ．所以AC BC CD BD =，即534AC =．解得AC ＝154．所以⊙O 的直径为154． 1．A 2．B 3．1804．（1）证明：连接OB ．因为直线MN 与⊙O 相切于点D ，所以OD ⊥MN ．因为BC ∥MN ，所以OD ⊥BC ．所以BD CD =．所以∠BOD ＝∠COD ．因为∠BAC ＝12∠BOC ，所以∠BAC ＝∠DOC ．（2）解：因为E 是OD 的中点，所以OE ＝DE ＝2．在Rt △OCE 中，CE =由（1）知OE ⊥BC ，所以BE ＝CE ＝又O 是AC 的中点，所以OE 是△ABC 的中位线．所以AB =2OE =4．因为AC 是⊙O 的直径，所以∠ABC ＝90°．在Rt △ABE 中，AE ==5．（1）证明：因为AB 是⊙O 的直径，所以∠ACB ＝90°，即∠ACE +∠BCE ＝90°．因为AD ＝AC ，BE ＝BC ，所以∠ACE ＝∠D ，∠BCE ＝∠BEC ．又∠BEC ＝∠AED ，所以∠AED +∠D ＝90°．所以∠DAE ＝90°，即AD ⊥AE ．因为OA 是⊙O 的半径，所以AD 是⊙O 的切线．（2）解：由（1），得tan ∠ACE ＝tan D ＝13，设AE ＝a ，则AD ＝AC ＝3a ．因为OE ＝3，所以OA ＝a +3，AB ＝2a +6，BE ＝BC ＝a +3+3＝a +6．在Rt △ABC 中，由勾股定理，得AB 2＝BC 2+AC 2，即（2a +6）2＝（a +6）2+（3a ）2，解得a 1＝0（舍去），a 2＝2．所以BC ＝a +6＝8．专项三弧长与扇形面积的计算例1 120 例2 A 例3 C1．B 2．B 3．12π 216 4．54π 专项四正多边形与圆例1 C例2 （1）连接OA 7，OA 11．由题意，得∠A 7OA 11＝120°，所以711A A 的长为12064180ππ⨯=＞12．所以劣弧711A A 的长度更长．（2）P A 1⊥A 7A 11．理由：连接A 7A 11，OA 1．因为A 1A 7是⊙O 的直径，所以∠A 7A 11A 1＝90°．所以P A 1⊥A 7A 11．（3）因为P A 7是⊙O 的切线，所以P A 7⊥A 1A 7，所以∠P A 7A 1＝90°．因为∠P A 1A 7＝60°，A 1A 7＝12，所以P A 7＝A 1A 7•tan 60°＝1．A 23．解：（1）AC 的长为50．（2）点Q 是线段OM 的黄金分割点，理由如下：设⊙O 的半径为r ，则OP ＝12r ，所以PQ ＝AP=．所以OQ ＝QP ﹣OP﹣12rr ，MQ ＝OM ﹣OQ ＝r．所以2MQ OQ =Q 是线段OM 的黄金分割点．（3）如图，作PH ⊥AE 于点H ．由题可知，AH ＝EH ．因为正五边形的每个内角都为（5﹣2）×180°÷5＝108°，所以∠PEH ＝180°﹣108°＝72°，即cos ∠PEH ＝cos72°＝EH PE．因为点E 是线段PD 的黄金分割点，所以DE PE＝12．又DE ＝AE ，HE ＝AH ＝12AE ，所以cos72°＝111222AE EH AE DE PE PE PE PE==⨯=⨯．第3题图专项五圆中的数学思想例1 294例2 60°或120°例3 C1．D 2．6.5cm或2.5cm 3．40。

2023年九年级中考数学高频考点--圆的综合

2023年中考数学高频考点--圆的综合1．如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥于点E ，点P 在O 上，PBC C ∠=∠.（1）求证：CB PD ；（2）若82CD BE ==，，求O 的半径.2．如图，AB 是⊙O 的直径，F 为⊙O 上一点，AC 平分⊙FAB 交⊙O 于点C.过点C 作CD⊙AF 交AF的延长线于点D.（1）求证：CD 是⊙O 的切线. （2）若DC ＝3，AD ＝9，求⊙O 半径.3．如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，O 为AB 上一点，经过点A ，D 的O 分别交AB ，AC 于点E ，F ．（1）求证：BC 是O 的切线；（2）若8AF =，=1CF ，求O 的半径．4．已知O 的直径为10，四边形ABDC 内接于O ，AD 平分CAB ∠．（1）如图1，若BC 为O 的直径，求BD 的长；（2）如图2，若120BDC ∠=︒，求BD 的长．5．如图，以ABC 的边AB 为直径作O ，交BC 于D 点，交AC 于E 点，BD DE =．（1）求证：ABC 是等腰三角形；（2）若E 是AC 的中点，O 的半径为2，连接BE ，求阴影部分的面积（结果保留π）．6．如图，在ΔABC 中，90C ∠=︒，BAC ∠的角平分线交BC 于点D ，点O 在AB 上，以点O 为圆心，OA 为半径的圆恰好经过点D ，分别交AC 、AB 于点E ，F ．（1）试判断直线BC 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若25BD =2BF =，求⊙O 的半径．7．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点，连接BC ，AC ，点E 是BC 的中点，连结并延长OE 交圆于点D ．（1）求证：OD //AC ．（2）若DE ＝2，BE ＝38．如图，以ABC 的边AB 为直径作⊙O ，交边AC 于点D ，BC 为⊙O 的切线，弦DE AB ⊥于点F ，连接BE ．（1）求证：ABE C ∠=∠．（2）若点F 为OB 中点，且1OF =，求线段ED 的长．9．如图，AB 是O 的直径，BD 是弦，C 是BD 的中点，弦CE AB ⊥，H 是垂足，BD 交CE ，CA 于点F ，G ．（1）求证：CF BF GF ==；（2）若6CD =，8AC =，求圆O 的半径和BD 长．10．如图，AB 是O 直径，弦CD AB ⊥于点E ，过点C 作DB 的垂线，交AB 的延长线于点G ，垂足为点F ，连结AC ，其中A D ∠=∠．（1）求证：AC CG =；（2）若8CD EG ==，求O 的半径．11．如图，AB 为O 的直径，BC 是圆的切线，切点为B ，OC 平行于弦AD .（1）求证：DC 是O 的切线；（2）直线AB 与CD 交于点F ，且4DF =，2AF =，求O 的半径.12．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，以BC 为直径作O ，交AB 边于点D ，在CD 上取一点E ，使BE CD =，连接DE ，作射线CE 交AB 边于点F ．（1）求证：A ACF ∠=∠；（2）若8AC =，6BC =，求BF 的长．13．如图，A 、P 、B 、C 是O 上的四个点，60APC CPB ∠=∠=︒.（1）判断ABC 的形状，并证明你的结论；（2）探究PA 、PB 、PC 之间的数量关系，并证明你的结论.14．如图，点 A B ，在圆O 上，BAO ∠的平分线交圆O 于点D ，点C 在OA 的延长线上，且CBA D ∠=∠.（1）求证：CB 是圆O 的切线；（2）若//DB OA ，3BD =，求圆O 的半径．15．如图，AB 是半圆O 的直径，C 、D 是半圆O 上的两点，且//OD BC ，OD 与AC 交于点E .（1）若72B ∠=︒，求CAD ∠的度数；（2）若13AB =，12AC =，求DE 的长.16．如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，A （3，0），B （-3，0），D 是y 轴上的一个动点，⊙ADC ＝90°（A 、D 、C 按顺时针方向排列），BC 与经过A 、B 、D 三点的OM 交于点E ，DE 平分⊙ADC ，连结AE ，BD 。

圆幂定理，敲重点

圆幂定理，敲重点相交弦定理定理：如图，弦AB与弦CD交于圆O内一点P，则PA·PB=PC·PD．证明：连接AD、BC，根据有圆周角定理可得：∠DAP=∠BCP，∠ADP=∠CBP，∴△APD∽△CPB∴PA:PC=PD:PB∴PA·PB=PC·PD切割线定理定理：如图，P为圆O外一点，PA是圆的切线，PC是圆的割线，求证：PA²=PB·PC．证明：连接AB、AC，根据弦切角定理，可得：∠PAB=∠C，又∠P是公共角，∴△PAB∽△PCA∴PB:PA=PA:PC∴PA²=PB·PC割线定理定理：如图，P是圆O外一点，PB、PD是圆的两条割线，则PA·PB=PC·PD．证明：法一：连接AC、BD，根据圆内接四边形外角等于内对角，可得：∠PAC=∠PDB，∠PCA=∠PBD，∴△PAC∽△PDB∴PA:PD=PC:PB∴PA·PB=PC·PD法二：连接AD、BC，根据圆周角定理，可得：∠B=∠D，又∠P是公共角，∴△PAD∽△PCB∴PA:PC=PD:PB∴PA·PB=PC·PD圆幂定理定义点P到圆O的幂：OP²-r²．以上“相交弦定理”、“切割线定理”、“割线定理”统称为“圆幂定理”．（1）相交弦满足：PA·PB=PC·PD=r²-OP²（2）切线满足：PA²=OP²-r²（3）割线满足：PA·PB=PC·PD=OP²-r²【归纳】以上我们考察的量，如PA·PB、PA²等均等于OP²-r²或r²-OP²，故称圆幂定理．。

九年级数学专题第二十二讲园幂定理

第二十二讲园幂定理相交弦定理、切割线定理、割线定理统称为圆幂定理．圆幂定理实质上是反映两条相交直线与圆的位置关系的性质定理，其本质是与比例线段有关．相交弦定理、切割线定理、割线定理有着密切的联系，主要体现在：1．用运动的观点看，切割线定理、割线定理是相交弦定理另一种情形，即移动圆内两条相交弦使其交点在圆外的情况；2．从定理的证明方法看，都是由一对相似三角形得到的等积式．熟悉以下基本图形、基本结论：【例题求解】【例1】如图，PT 切⊙O 于点T ，PA 交⊙O 于A 、B 两点，且与直径CT 交于点D ，CD=2，AD=3，BD=6，则PB= ．(成都市中考题) 思路点拨综合运用圆幂定理、勾股定理求PB 长．注：比例线段是几何之中一个重要问题，比例线段的学习是一个由一般到特殊、不断深化的过程，大致经历了四个阶段：(1)平行线分线段对应成比例； (2)相似三角形对应边成比例；(3)直角三角形中的比例线段可以用积的形式简捷地表示出来； (4)圆中的比例线段通过圆幂定理明快地反映出来．【例2】如图，在平行四边形ABCD 中，过A 、B 、C 三点的圆交AD 于点E ，且与CD 相切，若AB=4，BE=5，则DE 的长为( ) A ．3 B ．4 C ．415 D ．516 (全国初中数学联赛题)思路点拨连AC ，CE ，由条件可得许多等线段，为切割线定理的运用创设条件．注：圆中线段的算，常常需要综合相似三角形、直角三角形、圆幂定理等知识，通过代数化获解，加强对图形的分解，注重信息的重组与整合是解圆中线段计算问题的关键．【例3】如图，△ABC内接于⊙O，AB是∠O的直径，PA是过A点的直线，∠PAC=∠B．(1)求证：PA是⊙O的切线；(2)如果弦CD交AB于E，CD的延长线交PA于F，AC=8，CE：ED=6：5，，AE：BE=2：3，求AB的长和∠ECB的正切值．(北京市海淀区中考题)思路点拨直径、切线对应着与圆相关的丰富知识．(1)问的证明为切割线定理的运用创造了条件；引入参数x、k处理(2)问中的比例式，把相应线段用是的代数式表示，并寻找x 与k的关系，建立x或k的方程．【例4】如图，P是平行四边形AB的边AB的延长线上一点，DP与AC、BC分别交于点E、E，EG是过B、F、P三点圆的切线，G为切点，求证：EG=DE(四川省竞赛题)思路点拨由切割线定理得EG2=EF·EP，要证明EG=DE，只需证明DE2=EF·EP，这样通过圆幂定理把线段相等问题的证明转化为线段等积式的证明．注：圆中的许多问题，若图形中有适用圆幂定理的条件，则能化解问题的难度，而圆中线段等积式是转化问题的桥梁．需要注意的是，圆幂定理的运用不仅局限于计算及比例线段的证明，可拓展到平面几何各种类型的问题中．【例5】如图，以正方形ABCD的AB边为直径，在正方形内部作半圆，圆心为O，DF切半圆于点E，交AB的延长线于点F，BF＝4．求：(1)cos∠F的值；(2)BE的长．(成都市中考题)思路点拨解决本例的基础是：熟悉圆中常用辅助线的添法(连OE，AE)；熟悉圆中重要性质定理及角与线段的转化方法．对于(1)，先求出EF，FO值；对于(2)，从△BE F∽△EAF，Rt△AEB入手．注：当直线形与圆结合时就产生错综复杂的图形，善于分析图形是解与圆相关综合题的关键，分析图形可从以下方面入手：(1)多视点观察图形．如本例从D 点看可用切线长定理，从F 点看可用切割线定理． (2)多元素分析图形．图中有没有特殊点、特殊线、特殊三角形、特殊四边形、全等三角形、相似三角形．(3)将以上分析组合，寻找联系．学力训练1．如图，PT 是⊙O 的切线，T 为切点，PB 是⊙O 的割线，交⊙O 于A 、B 两点，交弦CD 于点M ，已知CM=10，MD=2，PA=MB=4，则PT 的长为．(绍兴市中考题)2．如图，PAB 、PCD 为⊙O 的两条割线，若PA=5，AB=7，CD=11，则AC ：BD= ． 3．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是AB 延长线上的一点，CD 是⊙O 的切线，D 为切点，过点B 作⊙O 的切线交CD 于点F ，若AB=CD=2，则CE= ．(天津市中考题)4．如图，在△ABC 中，∠C=90°，AB=10，AC=6，以AC 为直径作圆与斜边交于点P ，则BP 的长为( )A ．6．4B ．3．2C ．3．6D ．8(苏州市中考题)5．如图，⊙O 的弦AB 平分半径OC ，交OC 于P 点，已知PA 、PB 的长分别为方程024122=+-x x 的两根，则此圆的直径为( )A ．28B ．26C ．24D ．22(昆明市中考题)新课标九年级数学竞赛辅导讲座6．如图，⊙O 的直径Ab 垂直于弦CD ，垂足为H ，点P 是AC 上一点(点P 不与A 、C 两点重合)，连结PC 、PD 、PA 、AD ，点E 在AP 的延长线上，PD 与AB 交于点F ，给出下列四个结论：①CH 2=AH ·BH ；②AD ＝AC ：③AD 2=DF ·DP ；④∠EPC=∠APD ，其中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4(福州市中考题)7．如图，BC 是半圆的直径，O 为圆心，P 是BC 延长线上一点，PA 切半圆于点A ，AD ⊥BC 于点D ．(1)若∠B=30°，问AB 与AP 是否相等?请说明理由； (2)求证：PD ·PO=PC ·PB ；(3)若BD ：DC=4：l ，且BC ＝10，求PC 的长．(绍兴市中考题)8．如图，已知PA 切⊙O 于点A ，割线PBC 交⊙O 于点B 、C ，PD ⊥AB 于点D ，PD 、AO 的延长线相交于点E ，连CE 并延长交⊙O 于点F ，连AF ． (1)求证：△PBD ∽△PEC ； (2)若AB=12，tan ∠EAF=32，求⊙O 的半径的长． (北京市崇文区中考题)9．如图，已知AB 是⊙O 的直径，PB 切⊙O 于点B ，PA 交⊙O 于点C ，PF 分别交AB 、BC 于E 、D ，交⊙O 于F 、G ，且BE 、BD 恰哈好是关于x 的方程0)134(622=+++-m m x x (其中m 为实数)的两根．(1)求证：BE=BD ；(2)若GE ·EF=36，求∠A 的度数． (山西省中考题)10．如图，△ABC 中，∠C=90°，O 为AB 上一点，以O 为圆心，OB 为半径的圆与AB 相交于点E ，与AC 相切于点D ，已知AD=2，AE=1，那么BC= ．(山东省临沂市中考题)11．如图，已知A 、B 、C 、D 在同一个圆上，BC=CD ，AC 与BD 交于E ，若AC=8，CD=4，且线段BE 、ED 为正整数，则BD= ．⌒⌒⌒12．如图，P 是半圆O 的直径BC 延长线上一点，PA 切半圆于点A ，AH ⊥BC 于H ，若PA=1，PB+PC=a (a >2)，则PH=( )A ．a 2 B ．a 1 C ．2a D ．3a 13．如图，△ABC 是⊙O 的内接正三角形，弦EF 经过BC 的中点D ，且EF ∥AB ，若AB=2，则DE 的长为( )A ．21 B ．215- C ．23 D ．1 14．如图，已知AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，延长BC 至D ，使CD=BC ，CE ⊥AD于E ，BE 交⊙O 于F ，AF 交CE 于P ，求证：PE=PC ．(太原市竞赛题)15．已知：如图，ABCD 为正方形，以D 点为圆心，AD 为半径的圆弧与以BC 为直径的⊙O 相交于P 、C 两点，连结AC 、AP 、CP ，并延长CP 、AP 分别交AB 、BC 、⊙O 于E 、H 、F 三点，连结OF ．(1)求证：△AEP ∽△CEA ；(2)判断线段AB 与OF 的位置关系，并证明你的结论； (3)求BH:HC (四川省中考题)16．如图，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，PEC 是一条割线，D 是AB 与PC 的交点，若PE=2，CD=1，求DE 的长．(国家理科实验班招生试题)17．如图，⊙O 的直径的长是关于x 的二次方程0)2(22=+-+k x k x (k 是整数)的最大整数根，P 是⊙O 外一点，过点P 作⊙O 的切线PA 和割线PBC ，其中A 为切点，点B 、C 是直线PBC 与⊙O 的交点，若PA 、PB 、PC 的长都是正整数，且PB 的长不是合数，求PA+PB+PC 的值． (全国初中数学竞赛题)参考答案。

模型26 圆幂定理(解析版)-中考数学解题大招复习讲义

1．弦切角定理（1）弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．（2）弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半．如图所示，直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，则有∠PCA＝∠PBC（∠PCA为弦切角）．2、相交弦定理【结论1】如图，⊙O中，弦AB、CD相交于点P，半径为r,则①AP·BP＝CP·DP,②AP·BP＝CP·DP＝r2－OP2.3、切割线定理【结论2】如图，PBC是⊙O的一条割线，PA是⊙O的一条切线，切点为A，半径为r,则①PA2＝PB·PC，②PA2＝PB·PC＝PO2－r24、割线定理【结论3】如图，PAB、PCD是⊙O的两条割线，半径为r,则①PA·PB＝PC·PD②PA·PB＝PC·PD＝OP2－r2口诀：从两线交点处引出的共线线段的乘积相等例题精讲考点一：相交弦定理【例1】．已知：如图弦AB经过⊙O的半径OC的中点P，且AP＝2，PB＝3，则是⊙O的半径等于（）A．B．C．D．解：延长CO交⊙O于D，设⊙O的半径是R，∵弦AB经过⊙O的半径OC的中点P，∴CP＝R＝OP，PD＝R+R，由相交弦定理得：AP×BP＝CP×DP，则2×3＝R×（R+R），解得：R＝2，故选：C．变式训练【变式1-1】．如图，⊙O的弦AB、CD相交于点E，若CE：BE＝2：3，则AE：DE＝2：3．解：∵⊙O的弦AB、CD相交于点E，∴AE•BE＝CE•DE，∴AE：DE＝CE：BE＝2：3，故答案为：2：3．【变式1-2】．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AC⊥BD，CA＝CB，过点A作AC的垂线交CD的延长线于点E，连结BE．若cos∠ACB＝，则的值为．解：设AC，BD交于点F，过点B作BG⊥EA，交EA的延长线于点G，如图，∵AC⊥BD，cos∠ACB＝，∴cos∠ACB＝＝，设CF＝3k，则CB＝5k，∴BF＝＝4k．∵CA＝CB，∴AC＝5k，∴AF＝AC﹣CF＝2k．∵CF•AF＝DF•BF，∴DF＝k．∵AC⊥BD，AE⊥AC，∴DF∥AE，∴，∴，∴AE＝k．∴CE＝＝k．∵AC⊥BD，AE⊥AC，BG⊥EA，∴四边形AFBG为矩形，∴BG＝AF＝2k，AG＝BF＝4k，∴EG＝AE+AG＝k，∴BE＝＝k，∴＝，故答案为：．考点二：弦切角定理【例2】．如图，割线PAB过圆心O，PD切⊙O于D，C是上一点，∠PDA＝20°，则∠C的度数是110度．解：连接BD，则∠BDA＝90°，∵PD切⊙O于点D，∴∠ABD＝∠PDA＝20°，∴∠DAB＝90°﹣∠ABD＝90°﹣20°＝70°；又∵四边形ADCB是圆内接四边形，∴∠C＝180°﹣∠DAB＝180°﹣70°＝110°．变式训练【变式2-1】．如图，已知∠P＝45°，角的一边与⊙O相切于A点，另一边交⊙O于B、C两点，⊙O的半径为，AC＝，则AB的长度为（）A．B．6C．D．5解：连接OA，OB，作OD⊥AC于D，CE⊥AP于E，∵OA＝OB，∴∠AOD＝∠AOC，AD＝DC＝，∴OD＝＝2，∵PA切⊙O于A，∴∠CAE＝∠B，∵∠B＝∠AOC，∴∠CAE＝∠AOD，∵∠AEC＝∠ADO＝90°，∴△ACE∽△OAD，∴＝＝，∴＝＝，∴CE＝，AE＝，∵∠P＝45°，∴△PCE是等腰直角三角形，∴PE＝CE＝，PC＝，∵PA＝AE+PE，∴PA＝，∵∠CAE＝∠B，∠P＝∠P，∴△PAC∽△PBA，∴AC：AB＝PC：PA，∴2：AB＝：，∴AB＝6．故选：B．【变式2-2】．如图，BP是⊙O的切线，弦DC与过切点的直径AB交于点E，DC的延长线和切线交于点P，连接AD，BC．若DE＝DA＝，BC＝2，则线段CP的长为．解：连接BD，如图，∵DE＝DA，∴∠A＝∠DEA，∵∠DEA＝∠BEC，∠DCB＝∠A，∴∠BEC＝∠DCB．∴BE＝BC＝2．∵∠DEB＝180°﹣∠BEC，∠BCP＝180°﹣∠BCE，∴∠DEB＝∠BCP，∵BP是⊙O的切线，∴∠BDE＝∠PBC，∴△DEB∽△BCP，∴，∴，∴CP＝．故答案为：．考点三：切割线定理【例3】．如图，直线PA过半圆的圆心O，交半圆于A，B两点，PC切半圆与点C，已知PC＝3，PB＝1，则该半圆的半径为4．解：∵PC切半圆与点C，∴PC2＝PA•PB，即PA＝9，则AB＝9﹣1＝8，则圆的半径是4．故答案为4．变式训练【变式3-1】．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，O为AB上一点，以O为圆心，OA为半径作圆O与BC相切于点D，分别交AC、AB于E、F，若CD＝2CE＝4，则⊙O的直径为（）A．10B．C．5D．12解：连接OD，过O作AC的垂线，设垂足为G，∵∠C＝90°，∴四边形ODCG是矩形，∵CD是切线，CEA是割线，∴CD2＝CE•CA，∵CD＝2CE＝4，∴AC＝8，∴AE＝6，∴GE＝3，∴OD＝CG＝5，∴⊙O的直径为10．故选：A．【变式3-2】．如图，在四边形ABCD中，以AB为直径的半圆O经过点C，D．AC与BD相交于点E，CD2＝CE•CA，分别延长AB，DC相交于点P，PB＝BO，CD＝2．则BO的长是4．解：连接OC，如图，∵CD2＝CE•CA，∴，而∠ACD＝∠DCE，∴△CAD∽△CDE，∴∠CAD＝∠CDE，∵∠CAD＝∠CBD，∴∠CDB＝∠CBD，∴BC＝DC；设⊙O的半径为r，∵CD＝CB，∴，∴∠BOC＝∠BAD，∴OC∥AD，∴，∴PC＝2CD＝4，∵∠PCB＝∠PAD，∠CPB＝∠APD，∴△PCB∽△PAD，∴，即，∴r＝4（负根已经舍弃），∴OB＝4，故答案为4．【变式3-3】．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB上，DE⊥EB．（1）求证：AC是△BDE的外接圆的切线；（2）若，求BD的长．（1）证明：连接OE，∵BE平分∠ABC交AC于点E，∴∠1＝∠EBC，∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠CBE，∴∠AEO＝∠C＝90°，∴AC是⊙O的切线，∵⊙O是△BDE的外接圆，∴AC是△BDE的外接圆的切线；（2）解：∵AE是圆O的切线，AB是圆的割线，根据切割线定理：AE2＝AD×AB，∵，∴（）2＝2×（2+BD），解得：BD＝4．∴BD的长是：4．考点四：割线定理【例4】．如图，过点P作⊙O的两条割线分别交⊙O于点A、B和点C、D，已知PA＝3，AB＝PC＝2，则PD的长是（）A．3B．7.5C．5D．5.5解：∵PA＝3，AB＝PC＝2，∴PB＝5，∵PA•PB＝PC•PD，∴PD＝7.5，故选：B．变式训练【变式4-1】．如图，P是圆O外的一点，点B、D在圆上，PB、PD分别交圆O于点A、C，如果AP＝4，AB＝2，PC＝CD，那么PD＝4．解：如图，∵AP＝4，AB＝2，PC＝CD，∴PB＝AP+AB＝6，PC＝PD．又∵PA•PB＝PC•PD，∴4×6＝PD2，则PD＝4．故答案是：4．【变式4-2】．已知直角梯形ABCD的四条边长分别为AB＝2，BC＝CD＝10，AD＝6，过B、D两点作圆，与BA的延长线交于点E，与CB的延长线交于点F，则BE﹣BF的值为4．解：延长CD交⊙O于点G，设BE，DG的中点分别为点M，N，则易知AM＝DN，∵BC＝CD＝10，由割线定理得，CB•CF＝CD•CG，∵CB＝CD，∴BF＝DG，∴BE﹣BF＝BE﹣DG＝2（BM﹣DN）＝2（BM﹣AM）＝2AB＝4．故答案为：4．1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，CM切⊙O于点C，∠BCM＝60°，则∠B的正切值是（）A．B．C．D．解：连接BD．AB是直径，则∠ADB＝90°，∴∠CDB＝∠BCM＝60°．∴∠CDA＝∠CDB+∠ADB＝150°．∵∠CBA＝180°﹣∠CDA＝30°，∴tan∠ABC＝tan30°＝．故选：B．2．如图，从圆外一点P引圆的切线PA，点A为切点，割线PDB交⊙O于点D、B．已知PA＝12，PD＝8，则S△ABP：S△DAP＝9：4．解：由切割线定理可得PA2＝PD×PB，∵PA＝12，PD＝8∴PB＝18．由弦切角和公共角易知△PAD∽△PBA．：S△PBA＝PA2：PB2＝4：9．∴S△P AD3．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝72°，⊙O过AB两点且与BC切于B，与AC交于D，连接BD，若BC＝﹣1，则AC＝2．解：∵AB＝AC，∠C＝72°，BC是⊙O的切线，∴∠CBD＝∠BAC＝36°，∴∠ABD＝36°，∴∠BDC＝∠BCD＝72°，∴AD＝BD＝BC；又∵BC是切线，∴BC2＝CD•AC，∴BC2＝（AC﹣BC）•AC（设AC＝x），则可得到：（x﹣）2＝，解得：x1＝2，x2＝（x2＜0不合题意，舍去）．∴AC＝2．4．如图，⊙O的直径AB＝8，将弧BC沿弦BC折叠后与∠ABC的角平分线相切，则△ABC的面积为8．解：设弧BC沿弦BC折叠后的圆弧的圆心为O′，连接O′B，如图，∵将弧BC沿弦BC折叠后与∠ABC的角平分线相切，∴O′B⊥BD，∴∠O′BD＝90°．设∠ABD＝α，则∠BCD＝∠ABD＝α，∴∠ABC＝2α．由折叠的性质得：∠ABC＝∠O′BC＝2α，∴∠O′BD＝∠O′BC+∠DBC＝3α＝90°，∴α＝30°．∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴BC＝AB•cos∠ABC＝8×cos60°＝4，AC＝AB•sin∠ABC＝8×＝4．∴△ABC的面积为AC•BC＝4×＝8．故答案为：8．5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D，延长AD交⊙O于点E，若BD＝4，CD＝1，则DE的长是．解：连接OB，OC，OA，过O点作OF⊥BC于F，作OG⊥AE于G，∵⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝45°，∴∠BOC＝90°，∵BD＝4，CD＝1，∴BC＝4+1＝5，∴OB＝OC＝，∴OA＝，OF＝BF＝，∴DF＝BD﹣BF＝，∴OG＝，GD＝，解法一：在Rt△AGO中，AG＝＝，∴GE＝，∴DE＝GE﹣GD＝．解法二：在Rt△AGO中，AG＝＝，∴AD＝AG+GD＝，∵AD×DE＝BD×CD，∴DE＝＝．故答案为：．6．如图，已知AC＝AB，AD＝5DB＝4，∠A＝2∠E．则CD•DE＝56．解：如图，过点A作AF⊥BC于点F，交CD于点H；过点B作BG∥AH，交DE于点G；∵AB＝AC，∴CF＝BF，∠A＝2∠HAD；而∠A＝2∠E，∴∠HAD＝∠E，∴A、H、B、E四点共圆，∴DH•DE＝DA•DB＝4×5＝20；∵BG∥AH，且CF＝BF，∴△AHD∽△BGD，CH＝HG；∴，设HD＝5λ，则DG＝4λ，∴CD＝CH+HD＝14λ，∴DH＝，∴•DE＝20，∴CD•DE＝56．故答案为56．7．如图：BE切⊙O于点B，CE交⊙O于C，D两点，且交直径于AB于点P，OH⊥CD于H，OH＝5，连接BC、OD，且BC＝BE，∠C＝40°，劣弧BD的长是．解：连接AD，BD∵BE＝BC∴∠E＝∠C＝40°，∠BOD＝80°，∠OBD＝∠ODB＝（180°﹣∠BOD）÷2＝50°∵BE是切线∴∠DBE＝∠C＝40°∴∠BDE＝180°﹣∠E﹣∠DBE＝100°∴∠HDO＝180°﹣∠ODB﹣∠BDE＝30°∵OH⊥CD∴OD＝＝10，即圆的半径是10∴弧BD的度数是80度弧BD＝＝．8．如图，在平面直角坐标系中，⊙O经过点A（4，3），点B与点C在y轴上，点B与原点O重合，且AB＝AC，AC与⊙O交于点D，延长AO与⊙O交于点E，连接CE、DE与x轴分别交于点G、F，则tan∠DFO＝，tan∠A＝．解：设圆O与y轴交于点H，K，过点A作AM⊥OC于点M，过点D作DN⊥OC于点N，如图，∵A（4，3），∴AM＝4，MO＝3，∴AO＝＝5．∵AB＝AC，点B与原点O重合，∴AB＝AC＝5．∴AE＝2AO＝10．∵AE为⊙O的直径，∴ED⊥AD．∵AB＝AC，AM⊥OC，∴OC＝2OM＝6．∴CH＝CO﹣OH＝6﹣5＝1，∴CK＝CH+HK＝1+10＝11．∵CD•CA＝CH•CK，∴CD＝＝，∴AD＝AC﹣CD＝5﹣＝．∴DE＝＝．∴tan∠DAE＝＝＝．∵DH⊥OC，FO⊥OC，∴DH∥OF．∴∠DFO＝∠NDF．∵ED⊥AD，∴∠NDF+∠CDN＝90°．∵DN⊥OC，∴∠CDN+∠NCD＝90°．∴∠NDF＝∠NCD．∴∠DFC＝∠NCD．∴tan∠DFC＝tan∠NCD＝．故答案为：；．9．如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，CD是⊙O的切线，C为切点，且CD＝CB，连接AD，与⊙O交于点E．（1）求证AD＝AB；（2）若AE＝5，BC＝6，求⊙O的半径．（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵CD是⊙O的切线，C为切点，∴∠ACD＝∠B，∴∠ACD＝∠ACB，∵BC＝BD，AC＝AC，∴△ACB≌△ACD（SAS），∴AB＝AD；（2）连接OB，OC，CE，连接AO并延长交BC于点F，∵△ACB≌△ACD，∴∠CAB＝∠CAD，∴＝，∴BC＝CE，∵BC＝CD＝6，∴CE＝CD＝6，∴∠D＝∠CED，∵AB＝AC，AB＝AD，∴AD＝AC，∴∠ACD＝∠D，∴∠CED＝∠ACD，∴△DEC∽△DCA，∴＝，∴＝，∴DE＝4或DE＝﹣9（舍去），∴AD＝AE+DE＝9，∴AB＝AC＝AD＝9，∵AB＝AC，OB＝OC，∴AF是BC的垂直平分线，∴AF⊥BC，BF＝CF＝BC＝3，∴AF＝＝＝6，设⊙O的半径为r，在Rt△OFC中，OF2+CF2＝OC2，∴（6﹣r）2+32＝r2，∴r＝，∴⊙O的半径为．10．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，CD是⊙O的直径，AB⊥CD于点E，过点A作⊙O 的切线交CD的延长线于点F，连接FB．（1）求证：FB是⊙O的切线．（2）若AC＝4，tan∠ACD＝，求⊙O的半径．（1）证明：连接OA，OB，∵FA是⊙O的切线，∴OA⊥FA，∴∠FAO＝90°，∵直径CD⊥AB，∴CF垂直平分AB，∴AF＝BF，∴∠FBE＝∠FAE，∵OA＝OB，∴∠OBE＝∠OAE，∴∠OBE+∠FBE＝∠FAE+∠OAE＝∠FAO＝90°，∴半径OB⊥FB，∴FB是⊙O的切线（2）解：∵tan∠ACD＝＝，∴令AD＝x，则CD＝2x，∵△ADC是直角三角形，∴AC＝＝＝x＝4，∴x＝4，∴AD＝4，CD＝8，∵AD2＝DE•CE，∴42＝8DE，∴DE＝2，∴CD＝DE+CE＝2+8＝10，∴⊙O的半径长是5．11．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点E为AB的中点，连接CE交BD于点F，延长CE 交⊙O于点G，连接BG．（1）求证：FB2＝FE•FG；（2）若AB＝6，求FB和EG的长．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝BC，∴．∴∠DBA＝∠G．∵∠EFB＝∠BFG，∴△EFB∽△BFG，∴，∴FB2＝FE•FG；（2）解：连接OE，如图，∵AB＝AD＝6，∠A＝90°，∴BD＝＝6．∴OB＝BD＝3．∵点E为AB的中点，∴OE⊥AB，∵四边形ABCD是正方形，∴BC⊥AB，∠DBA＝45°，AB＝BC，∴OE∥BC，OE＝BE＝AB．∴．∴，∴，∴BF＝2；∵点E为AB的中点，∴AE＝BE＝3，∴EC＝＝3．∵AE•BE＝EG•EC，∴EG＝．12．如图，⊙O的割线PBA交⊙O于A、B，PE切⊙O于E，∠APE的平分线和AE、BE 分别交于C、D，PE＝4，PB＝4，∠AEB＝60°．（1）求证：△PDE∽△PCA；（2）试求以PA、PB的长为根的一元二次方程；（3）求⊙O的面积．（答案保留π）（1）证明：由弦切角定理得∠PEB＝∠EAB，∵PC是∠APE的平分线，∴∠CPE＝∠CPA，∴△PDE∽△PCA；（2）解：由切割线定理得PE2＝PA•PB，∵PE＝4，PB＝4，∴PA＝12，∴PA+PB＝16，PA•PB＝48，∴所求方程为：x2﹣16x+48＝0；（3）解：连接BO并延长交⊙O于F，连接AF，则BF是⊙O的直径，∴∠BAF＝90°，∴∠AEB＝∠F＝60°在Rt△ABF中，sin60°＝＝＝＝＝，∴BF＝．∴⊙O的面积为：π（）2＝π（面积单位）．13．如图，圆O上有A，B，C三点，AC是直径，点D是的中点，连接CD交AB于点E，点F在AB延长线上，且FC＝FE．（1）求证：CF是圆O的切线；（2）若，BE＝2，求圆O的半径和DE•EC的值．证明：（1）∵AC是直径，点D是的中点，∴∠ABC＝90°，∠ACD＝∠BCD．∵FC＝FE，∴∠FCE＝∠FEC．∵∠ABC＝90°，∴∠CEF+∠BCE＝90°．∴∠ECF+∠ACD＝90°，即∠ACF＝90°．∴AC⊥CF．又∵点C在圆O上，∴CF是圆O的切线；（2）连接AD．∵AC是直径，点D是的中点，∴∠ADC ＝∠ABC ＝90°，∠ACD ＝∠BCD ．∴△BEC ∽△DEA ．∴DE •EC ＝AE •BE ，在Rt △ACF 和Rt △BCF 中，∵＝＝，设CF ＝3k ，则AF ＝5k ．∴BF ＝k ，AC ＝＝4k ．∵FC ＝FE ＝3k ，BE ＝FE ﹣BF ，∴3k ﹣k ＝2．∴k ＝．∴AC ＝．∴圆O 的半径＝AC ＝．∵AE ＝AF ﹣FE ＝5k ﹣3k ＝2k ＝，∴AE ×BE ＝×2＝．∴DE •EC ＝．14．如图，AB 为⊙O 的直径，点P 在AB 的延长线上，点C 在⊙O 上，且PC 2＝PB •PA ．（1）求证：PC 是⊙O 的切线；（2）已知PC＝20，PB＝10，点D是的中点，DE⊥AC，垂足为E，DE交AB于点F，求EF的长．（1）证明：连接OC，如图1所示：∵PC2＝PB•PA，即＝，∵∠P＝∠P，∴△PBC∽△PCA，∴∠PCB＝∠PAC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠PCB+∠OCB＝90°，即OC⊥PC，∴PC是⊙O的切线；（2）解：连接OD，如图2所示：∵PC＝20，PB＝10，PC2＝PB•PA，∴PA＝＝＝40，∴AB＝PA﹣PB＝30，∵△PBC∽△PCA，∴＝＝2，设BC＝x，则AC＝2x，在Rt△ABC中，x2+（2x）2＝302，解得：x＝6，即BC＝6，∵点D是的中点，AB为⊙O的直径，∴∠AOD＝90°，∵DE⊥AC，∴∠AEF＝90°，∵∠ACB＝90°，∴DE∥BC，∴∠DFO＝∠ABC，∴△DOF∽△ACB，∴＝＝，∴OF＝OD＝，即AF＝，∵EF∥BC，∴＝＝，∴EF＝BC＝．15．已知：如图，PF是⊙O的切线，PE＝PF，A是⊙O上一点，直线AE、AP分别交⊙O 于B、D，直线DE交⊙O于C，连接BC，（1）求证：PE∥BC；（2）将PE绕点P顺时针旋转，使点E移到圆内，并在⊙O上另选一点A，如图2．其他条件不变，在图2中画出完整的图形．此时PE与BC是否仍然平行？证明你的结论．（1）证明：∵PF与⊙O相切，∴PF2＝PD•PA．∵PE＝PF，∴PE2＝PD•PA．∴PE：PD＝PA：PE．∵∠APE＝∠APE，∴△EPD∽△APE．∴∠PED＝∠A．∵∠ECB＝∠A，∴∠PED＝∠ECB．∴PE∥BC．（2）解：PE与BC仍然平行．证明：画图如图，∵△EPD∽△APE，∴∠PEA＝∠D．∵∠B＝∠D，∴∠PEA＝∠B．∴PE∥BC．16．已知△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC的平分线与⊙O相交于点D，连接DB．（1）如图①，设∠ABC的平分线与AD相交于点I，求证：BD＝DI；（2）如图②，过点D作直线DE∥BC，求证：DE是⊙O的切线；（3）如图③，设弦BD，AC延长后交⊙O外一点F，过F作AD的平行线交BC的延长线于点G，过G作⊙O的切线GH（切点为H），求证：FG＝HG．证明：（1）如图①，∵AD平分∠BAC，BI平分∠ABC，∴∠BAD＝∠CAD，∠ABI＝∠CBI，∵∠CAD＝∠CBD，∴∠CBD＝∠BAD，∵∠BID＝∠BAD+∠ABI，∠DBI＝∠CBD+∠CBI，∴∠BID＝∠DBI，∴BD＝DI；（2）如图②，连接OD，∵∠CAD＝∠BAD，∴＝，∴OD⊥BC，∵DE∥BC，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（3）如图，作直径交⊙O于M，连接CM，BH，CH，∴∠MCH＝90°，∴∠M+∠CHM＝90°，∵∠B＝∠M，∴∠B+∠CHM＝90°，∵GH是⊙O的切线，∴∠OHG＝∠CHG+∠CHM＝90°，∴∠CHG＝∠B，如图③，连接BH，CH，∵GH是⊙O的切线，∴∠CHG＝∠HBG，∵∠CGH＝∠BGH，∴△HCG∽△BHG，∴＝，∴GH2＝BG•CG，∵AD∥GF，∴∠AFG＝∠CAD，∵∠CAD＝∠FBG，∴∠FBG＝∠AFG，∵∠CGF＝∠BGF，∴△CGF∽△FGB，∴＝，∴FG2＝BG•CG，∴FG＝HG．17．【提出问题】小聪同学类比所学的“圆心角“与“圆周角”的概念，将顶点在圆内（顶点不在圆心）的角命名为圆内角．如图1中，∠AEC，∠BED就是圆内角，所对的分别是、，那么圆内角的度数与所对弧的度数之间有什么关系呢？【解决问题】小聪想到了将圆内角转化为学过的两种角，即圆周角、圆心角，再进一步解决问题：＝＝＝的度数的度数）（1）如图1，在⊙O中，弦AB、CD相交于点E，若弧的度数是65°，弧的度数是40°，则∠AED的度数是127.5°．【类比探究】顶点在圆外且两边与圆相交的角，命名为圆外角．（2）如图3，在⊙O中，弦AB，CD的延长线相交于点E，试探索圆外角∠E的度数与它所夹的两段弧、的度数之间的关系．【灵活运用】（3）如图4，平面直角坐标系内，点A（，1）在⊙O上，⊙O与y轴正半轴交于点B，点C，点D是线段OB上的两个动点，满足AC＝AD．AC，AD的延长线分别交⊙O 于点E、F．延长FE交y轴于点G，试探究∠FGO的度数是否变化．若不变，请求出它的度数；若变化，请说明理由．解：（1）∵∠AEC的度数＝（的度数+的度数），∴∠AEC＝（65°+40°）＝52.5°，∴∠AED＝180°﹣∠AEC＝180°﹣52.5°＝127.5°，故答案为：127.5°；（2）连接OA，OB，OC，OD，BC，∵∠E＝∠ABC﹣∠BCE＝∠AOC﹣∠BOD＝（的度数﹣的度数），∴∠E＝（的度数﹣的度数）；（3）∠FGO的度数不变，连接OA，作AH⊥x轴于H，∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC，∴（的度数+的度数＝（的度数+的度数），∴的度数+的度数＝的度数+的度数，∴的度数﹣的度数＝的度数﹣的度数，由（2）知，∠FGO＝（的度数﹣的度数）＝（的度数﹣的度数），∵点A（，1），∴OH＝，AH＝1，∴tan∠AOH＝，∴∠AOH＝30°，∴∠AON＝120°，∠AOB＝60°，∴∠FGO＝（120°﹣60°）＝30°，∴∠FGO的度数不变，为30°．。

2021年中考数学复习讲义：第九章圆模型(三十五)——圆幂定理模型

第九章.圆模型（三十五）——圆幂定理模型模型讲解一、相交弦定理【结论1】如图，⊙O中，弦AB、CD相交于点P，半径为r,则①AP·BP＝CP·DP, ②AP·BP＝CP·DP＝r2－OP2.【证明】①②二、切割线定理【结论2】如图，PBC是⊙O的一条割线，PA是⊙O的一条切线，切点为A，半径为r,则①PA2＝PB·PC，②PA2＝PB·PC＝PO2－r2【证明】①②三、割线定理【结论3】如图，PAB、PCD是⊙O的两条割线，半径为r,则①PA·PB＝PC·PD, ②PA·PB＝PC·PD＝OP2－r2【证明】口诀从两线交点处引出的共线线段的乘积相等小试牛刀典例1 ☆☆☆☆☆如图，在⊙O中，弦 AB与半径 OC 相交于点M，且 OM=MC，若 AM=1.5，BM=4，则 OC的长为（）.A.2B.C.2D.2【答案】D【解析】如图，延长 CO，交OO于D，则CD为OO的直径.∵OM＝MC,∴OC＝2MC＝2OM,DM＝3OM＝3MC.由相交弦定理得 DM·MC＝AM·BM，即 3MC2＝1.5×4，解得 MC ＝. ∴OC＝2MC=2.故选 D.典例2 ☆☆☆☆☆如图，⊙O的弦AB，CD相交于点E，若 CE∶BE=2∶3，则 AE∶ DE 的值为（A. B. C.D.【答案】A【解析】∶∵⊙O的弦AB，CD 相交于点E，根据相交弦定理得 AE·BE＝CE·DE，∴AE: DE=CE: BE=2:3.故选 A.典例3 ☆☆☆☆☆如图，过点 P作⊙O的两条割线分别交⊙O于点A，B和点C，D，已知PA=3，AB＝PC＝2，则 PD的长是( )A.3B.7.5C.5D.5.5【答案】B【解析】∵PA＝3，AB＝PC＝2，∴PB＝5,根据割线定理得 PA·PB=PC·PD，∴PD=7.5.故选 B.小试牛刀1.（★★☆☆☆）如图，过点P引圆的两条割线PAB 和PCD.分别交圆于点 A，B和C，D，连接 AC，BD ，则在比例式①＝,②＝＝中，正确的个数为( )A.3B.2C.1D.02.（★★☆☆☆）如图，已知⊙O中，弦 AB=25，M是AB上一点， OA=13，OM=5，则AM=（）A.16B.20C.20或9D.16或93.（★★☆☆☆）如图，在⊙O中，P为弦AB上一点，PO⊥PC，PC交⊙O于C，那么（）A.OP²=PA·PB，B.PC²=PA·PBC.PA²=PB·PC，D.PB²=PA·PC直击中考1.如图，在⊙O中，弦 AB＝CD，AB⊥CD于点E.已知 CE·ED＝3，BE＝1，则⊙O的直径是（）A.2B.C.2D.52.如图，半圆O的直径 BC=7，延长 CB到A，直线 AD交半圆于点E，D，且AE=ED=3，则AB的长为( ).A. B.2 C.D.9同幂定理是一个非常重要的定理，在计算过程中，如果涉及计算某条线段的长度，用普通的垂径定理，勾股定理，也能够得到答案，但是速记圆幂定理可以让我们更能看到图形的本质。

圆幂定理讲义(带答案解析)

【点评】本题考查了垂径定理的应用，在半径或直径、弦长以及弦心距之间的计算中，常用的方法是转化为解直角三角形．圆幂定理STEP 1: 进门考理念： 1. 检测垂径定理的基本知识点与题型2. 垂径定理典型例题的回顾检测。

3. 分析学生圆部分的薄弱环节。

1）例题复习1. （2015?夏津县一模）一副量角器与一块含 30°锐角的三角板如图所示放置，三角板的直角顶点 C 落在量角器的直径 MN 上，顶点 A ，B 恰好都落在量角器的圆弧上，且 AB ∥MN ．若 AB=8cm ，则量角器的直径 MN= cm ．【考点】 M3：垂径定理的应用； KQ ：勾股定理； T7：解直角三角形．【分析】作 CD ⊥ AB 于点 D ，取圆心 O ，连接 OA ，作 OE ⊥AB 于点 E ，首先求得 CD 的长，即 OE 的长，在直角△ AOE 中，利用勾股定理求得半径 OA 的长，则 MN 即可求解．解答】解：作 CD ⊥AB 于点 D ，取圆心 O ，连接 OA ，作 OE ⊥ AB 于点 E ．在直角△ ABC 中，∠ A=30°，则 BC= AB=4cm ，在直角△ BCD 中，∠ B=90°﹣∠ A=60°， =2 （cm ）， ∴ OE=CD=2 ，在△ AOE 中， AE= AB=4cm ， ∴CD=BC?sinB=×4 则 OA= = =2 （ cm ），则 MN=2OA=4 （ cm ）．故答案是： 4 ．2. （2017?阿坝州）如图将半径为 2cm 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过【考点】 M2：垂径定理； PB ：翻折变换（折叠问题）．【分析】通过作辅助线，过点 O 作 OD ⊥AB 交 AB 于点 D ，根据折叠的性质可知 OA=2O ，D 根据勾股定理可将 AD 的长求出，通过垂径定理可求出 AB 的长．【解答】解：过点 O 作 OD ⊥ AB 交 AB 于点 D ，连接 OA ， ∵OA=2OD=2c ，m ∴ AD== = （ cm ），点评】本题考查了垂径定理和勾股定理的运用，正确应用勾股定理是解题关键．3. （2014?泸州）如图，在平面直角坐标系中，⊙ P 的圆心坐标是（ 3，a ） a >3），半径为 3，函数 y=x 的图象被⊙ P 截得的弦 AB 的长为，则 a的值A ．4考点】 M2：垂径定理； F8：一次函数图象上点的坐标特征； KQ ：勾股定理．cmD ．2 cm故选： D ．cm．专题】11 ：计算题；16 ：压轴题．【分析】 PC ⊥x 轴于 C ，交 AB 于 D ，作 PE ⊥AB 于 E ，连结 PB ，由于 OC=3，PC=a ，易得D 点坐标为（ 3， 3），则△ OCD 为等腰直角三角形，△ PED 也为等腰直角三角形．由 PE ⊥ AB ，根据垂径定理得 AE=BE= AB=2 ，在 Rt △PBE 中，利用勾股定理可计算出 PE=1，则 PD= PE=，所以 a=3+ ．【解答】解：作 PC ⊥x 轴于 C ，交 AB 于 D ，作 PE ⊥ AB 于 E ，连结 PB ，如图， ∵⊙ P 的圆心坐标是（ 3， a ）， ∴OC=3，PC=a ，把 x=3 代入 y=x 得 y=3， ∴ D 点坐标为（ 3，3）， ∴CD=3， ∴△ OCD 为等腰直角三角形， ∴△ PED 也为等腰直角三角形， ∵PE ⊥ AB ， ∴PE=， ∴PD= PE= ， ∴ a=3+ ．故选： B ．4. （2013?内江）在平面直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为圆心的圆过点 A 13，0），直线 y=kx ﹣3k+4与⊙O 交于 B 、C 两点，则弦 BC 的长的最小值为【分析】根据直线 y=kx ﹣3k+4 必过点 D （3，4），求出最短的弦 CB 是过点 D 且与该圆直径垂直的弦，再求出 OD 的长，再根据以原点 O 为圆心的圆过点 A （13，0），求出 OB 的长，再利用勾股定理求出 BD ，即可得出答案．∴ AE=BE= AB在 Rt △ PBE 中， PB=3，考查了勾股定理和等腰直角三角形的性质．并且平分弦所对的两条弧．也【解答】解：∵直线y=kx ﹣3k+4=k （x﹣3）+4，∴k（x﹣3）=y﹣4，∵k 有无数个值，∴x﹣3=0，y ﹣4=0，解得x=3，y=4，∴直线必过点D（3，4），∴最短的弦CB是过点 D 且与该圆直径垂直的弦，∵点 D 的坐标是（3，4），∴OD=5，∵以原点O为圆心的圆过点A（13，0），∴圆的半径为13，∴OB=13，∴ BD=12，∴ BC 的长的最小值为24；故答案为：24．【点评】此题考查了一次函数的综合，用到的知识点是垂径定理、勾股定理、圆的有关性质，关键是求出BC最短时的位置．STEP 2: 新课讲解1、熟练掌握圆幂定理的基本概念。

【初中数学】圆幂定理

【初中数学】圆幂定理圆幂定理是一个总结性的定理，是对相交弦定理、切割线定理及割线定理（切割线定理推论）以及它们推论的统一与归纳，所以目前书上已经把这个定理删除了，也作为补充知识点介绍。

根据两条与圆有相交关系的线的位置不同，有以下定理：（1）相交弦定理（2）切割线定理（3）割线定理从上述定理可以看出，两条线的位置从内到外，都有着相似的结论。

经过总结和归纳，便得出了圆幂定理。

圆幂定理是几何学中的一条定理，它描述了一个点与一个圆之间的关系。

具体来说，圆幂定理说明了如果有一条直线通过了一个P点，与一个圆相交于点A和点B，那么这个点P到点A、点B的长度的乘积等于点P到圆心O的距离的平方减去圆的平方的绝对值，即可以表示为：PA·PB=|PO²-r²|（r表示圆的半径）.如何证明这个定理呢？就需要分三种情况讨论，点P与圆的位置关系。

我们非常清楚，点与圆的位置关系只有三种：圆外、圆上、圆内。

1、点P在圆外如图，点P在⊙O外部，过点P的直线与⊙O相交于A、B两点，连接OP交⊙O于点C，⊙O的半径为r.证明：如图，延长PO交⊙O与点D.由割线定理可得：PA·PB=PC·PD∵ PC=PO+OC，PD=PO+OD，OC=OD=r∴ PC=PO+r，PD=PO+r∴ PA·PB=（PO+r）（PO-r）∴ PA·PB=PO²-r²=|PO²-r²|2、点P在圆内如图，点P在⊙O内部，过点P的直线与⊙O相交于A、B两点，连接OP交⊙O于点C，⊙O的半径为r.证明：延长PO交⊙O于C、D两点根据相交弦定理，得：PA·PB=PC·PD∵ PC=OC-PO，PD=PO+OD，OD=OC=r∴ PC=r-PO，PD=PO+r∴ PA·PC=（r-OP）（PO+r）∴ PA·PC=r²-PO²=|PO²-r²|3、当点P在圆上通过以上两种情况的证明可得，PA·PB=|PO²-r²|，那么当P点在圆上时，P、A 两点重合，故PA=0，OP=r，所以PA·PB=0，PO²-r²=0，所以也成立。

初三数学圆的经典讲义

圆目录一．圆的界说及相干概念二．垂经定理及其推论三．圆周角与圆心角四．圆心角.弧.弦.弦心距关系定理五．圆内接四边形六．会用切线 , 能证切线七．切线长定理八．三角形的内切圆九．懂得弦切角与圆幂定理（选学）十．圆与圆的地位关系十一．圆的有关盘算十二．圆的基本分解测试十三．圆的最终分解测试一．圆的界说及相干概念【考点速览】考点1：圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中间对称图形.经由圆心的每一条直线都是它的对称轴.圆心是它的对称中间.考点2：肯定圆的前提;圆心和半径①圆心肯定圆的地位,半径肯定圆的大小;②不在同一条直线上的三点肯定一个圆;考点3：弦：贯穿连接圆上随意率性两点的线段叫做弦.经由圆心的弦叫做直径.直径是圆中最大的弦.弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.弧：圆上随意率性两点间的部分叫做弧.弧分为半圆,优弧.劣弧三种.（请务必留意区分等弧,等弦,等圆的概念）弓形：弦与它所对应的弧所构成的关闭图形.弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段.（请务必留意在圆中一条弦将圆朋分为两个弓形,对应两个弓高）固定的已经不克不及再固定的办法：求弦心距,弦长,弓高,半径时平日要做弦心距,并衔接圆心和弦的一个端点,得到直角三角形.如下图：考点4：三角形的外接圆：锐角三角形的外心在 ,直角三角形的外心在 ,钝角三角形的外心在.考点5点和圆的地位关系设圆的半径为r,点到圆心的距离为d,则点与圆的地位关系有三种.①点在圆外⇔d＞r;②点在圆上⇔d=r;③点在圆内⇔ d＜r;【典范例题】例1 在⊿ABC 中,∠ACB=90°,AC=2,BC=4,CM 是AB 边上的中线,以点C 为圆心,认为5半径作圆,试肯定A,B,M 三点分离与⊙C 有如何的地位关系,并解释你的来由.例2．已知,如图,CD 是直径,=∠EOD 求∠A 的度数.例3 ⊙O 平面内一点P 和⊙O 8cm,则这圆的半径是_________cm.例4 在半径为5cm 的圆中,弦的距离是若干？例 5 如图,⊙O 的直径AB 和弦CD 订交于点E,已知AE=6cm,EB=2cm, 30=∠CEA , 求CD 的长．例6.已知：⊙O 的半径0A=1,弦AB.AC 的长分离为3,2,求BAC ∠的度数．【考点速练】1.下列命题中,准确的是（） A ．三点肯定一个圆 B ．任何一个三角形有且仅有一个外接圆C ．任何一个四边形都有一个外接圆D ．等腰三角形的外心必定在它的外部2．假如一个三角形的外心在它的一边上,那么这个三角形必定是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．钝AB DCO·E角三角形3．圆的内接三角形的个数为（）A．1个 B．2 C．3个D．很多个4．三角形的外接圆的个数为（）A．1个 B．2 C．3个D．很多个5．下列说法中,准确的个数为（）①随意率性一点可以肯定一个圆;②随意率性两点可以肯定一个圆;③随意率性三点可以肯定一个圆;④经由任一点可以作圆;⑤经由随意率性两点必定有圆．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6.与圆心的距离不大于半径的点所构成的图形是( )A.圆的外部(包含鸿沟);B.圆的内部(不包含鸿沟);C.圆;D.圆的内部(包含鸿沟)7.已知⊙O的半径为6cm,P为线段OA的中点,若点P在⊙O上,则OA的长( )8.如图,⊙O的直径为10cm,弦AB为8cm,P是弦AB上一点,若OP 的长为整数, 则知足前提的点P有( )9.如图,A是半径为5的⊙O内一点,且OA=3,过点A且长小于8的弦有( )10.要浇铸一个和完整轮片同样大小的圆形轮片,须要知道它的半径,用圆规和直尺在图中作出它的一条半径．（请求保存作图陈迹）11.如图,已知在ABC∆中,︒=∠90A,AB=3cm,AC=4cm,以点A为圆心,AC长为半径画弧交CB的延长线于点D,求CD的长．12.如图,有一圆弧开桥拱,拱的跨度AB么拱形的半径是＿＿m.13.△ABC中,AB=AC=10,BC=12,则它的外接圆半径是＿＿.14.如图,点P是半径为5的⊙O内一点,且OP＝3,在过点P的所有的⊙O的弦中,弦长为整数的弦的条数为＿.如图所示,已知⊙O的半径为10cm,P是直径上一点,弦CD过点P,CD=16cm,过点A和B和BF,求AE-BF的值.【功课】日期姓名完成时光成绩1.在半径为2的圆中,弦长等于2. △ABC的三个极点在⊙O上,且AB=AC=2,∠BAC=120º,则⊙O的半径=__,BC=___.3． P为⊙O内一点,OP=3cm,⊙O半径为5cm,则经由P点的最短弦长为_________;•最长弦长为_______．B4. 如图,A,B,C 三点在⊙O上,且AB 是⊙O的直径,半径OD⊥AC,垂足为F,若∠A=30º,OF=3,则OA=______ ,AC=______,BC=_________.5.如图5,为直径是52cm 圆柱形油槽,装入油后,油深CD 为16cm,那么油面宽度AB=____6.如图6, ⊙O中弦AB⊥AC,D,E分离是AB,AC 的中点. ⑴若AB=AC,则四边形OEAD 是形;⑵若OD=3,半径5 r ,则AB=_cm,AC=___ _cm7.如图7,⊙O 的直径AB 和弦CD 订交于点E,已知AE=8cm,EB=4cm,∠CEA=30°,则CD 的长为_________．(5) (6) (7)二．垂径定理及其推论【考点速览】考点1垂径定理：垂直于弦的直径等分这条弦,并且等分弦所对的两条孤．推论1：①等分弦（不是直径）的直径重直于弦,并且等分弦所对的两条孤．②弦的垂直等分线经由圆心,并且等分弦所对的两条孤． ③等分弦所对的一条孤的直径,垂直等分弦,并且等分弦所对的另一条孤．F ADCBO推论2．圆的两条平行弦所夹的孤相等．垂径定理及推论1中的三条可归纳分解为：①经由圆心;②垂直于弦;③等分弦(不是直径);④等分弦所对的优弧;⑤等分弦所对的劣弧．以上五点已知个中的随意率性两点,都可以推得其它两点【典范例题】例 1 如图AB.CD 是⊙O 的弦,M.N 分离是AB.CD 的中点,且CNMAMN ∠=∠．求证：AB=CD ．例2已知,不过圆心的直线l 交⊙O 于C.D 两点,AB 是⊙O 的直径,AE⊥l 于E,BF⊥l 于F.求证：CE=DF ．例3 如图所示,⊙O 的直径AB ＝15cm,有一条定长为9cm 的动弦CD 在弧AmB 上滑动（点C 与点A,点D 与B 不重合）,且CE⊥CD 交AB 于E,DF⊥CD 交AB 于F. （1）求证：AE ＝BF（2）在动弦CD 滑动的进程中,四边形CDEF 的面积是否为定值？若是定值,请给出证实,并求出这个定值,例4 如图,在⊙O 内,弦CD 与直径AB 交成45AB 于点P,且⊙O 半径为1,试问：22PD PC + 求出定值;若不是,请解释来由. 【考点速练】1.已知⊙O 的半径为2cm,弦AB 长cm 32, A BDC O ·NM对劣孤的中点的距离为（）.A ．1cm B.2cm C.cm 2 D.cm 3cm 3．如图1,⊙O 的半径为6cm,AB.CD 为两弦,且AB⊥CD,垂足为点E,若CE=3cm,DE=7cm,则AB 的长为（）A ．10cm B.8cm C.cm 24 D.cm 28 4.有下列断定：①直径是圆的对称轴;②圆的对称轴是一条直径;③直径等分弦与弦所对的孤;④圆的对称轴有很多条.个中准确的断定有（）5．如图2,齐心圆中,大圆的弦交AB 于C.D 若AB=4,CD=2,圆心O 到AB 的距离等于1,那么两个齐心圆的半径之比为（） A ．3:2 B.5:2 C.5:2 D.5:4 6.等腰三角形腰长为4cm,底角为 30,则外接圆直径为（） A ．2cm B.4cm C.6cm D.8cm7.如图,⊙O 的直径为10,弦AB=8,P 是弦AB 上的一个动点,那么OP 长的取值规模是.8.如图,已知有一圆弧形拱桥,拱的跨度AB=16cm,拱高CD=4cm,那么拱形的半径是____m.9.如图,直径为1000mm 的宽度AB 为800mm,10.如图,已知△ABC CAD E C B·图1A ·OC D B心,CA 为半径作圆交斜边AB 于D,则AD 的长为. 11.已知:如图,在⊙O 中,弦AB 的长是半径OA,C为弧AB的中点,AB.OC 订交于点M.试断定四边形OACB 的外形,并解释来由.12.如图所示,在⊙O 中,弦AB⊥AC,弦BD⊥BA,AC.BD 交直径MN 于E.F.求证：ME=NF.13.（思虑题）如图,1o Θ与2o Θ交于点A,B,过A 的直线分离交1o Θ,2o Θ于M,N,C为MN 的中点,P 为21O O 的中点,求证：PA=PC.【功课】日期姓名完成时光成绩 1.已知⊙O 的直径AB=10cm,弦CD⊥AB,垂足为M.且OM=3cm,则CD=.2．D 是半径为5cm 的⊙O 内的一点,且D0=3cm,则过点D 的所有弦中,最小的弦AB=cm.3.若圆的半径为2cm,圆中一条弦长为32cm,则此弦所对应弓形的弓高是.4.已知⊙O 的弦AB=2cm,圆心到AB 的距离为n,则⊙O 的半径R=,⊙O 的周长为. ⊙O 的面积为.5．在⊙O 中,弦AB=10cm,C 为劣孤AB 的中点,OC 交AB 于D,CD=1cm,则⊙O 的半径是.6．⊙O 中,AB.CD 是弦,且AB∥CD,且AB=8cm,CD=6cm,⊙O 的半径为5cm,衔接AD.BC,则梯形ABCD 的面积等于.7．如图,⊙O 的半径为4cm,弦AB.CD 交于E 点,AC=BC,OF⊥CD 于F,OF=2cm,则 ∠BED=.M CBAO·OA BD CEF M N1O AB 2OMNC P8．已知⊙O 的半径为10cm,弦MN∥EF,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN 和EF 之间的距离为. 三．圆周角与圆心角【考点速览】考点1圆心角：极点在圆心的角叫圆心角,圆心角的度数等于它所对的弧的度数.Eg: 判别下列各图中的角是不是圆心角,并解释来由.圆周角：极点在圆周上,角双方和圆订交的角叫圆周角.两个前提缺一不成．Eg: 断定下列图示中,各图形中的角是不是圆周角,并解释来由考点2定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． Eg: 如下三图,请证实. 考点3 4. 推论：①同弧或等弧所对的圆周角相等,同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等．②半圆（或直径）所对的圆周角是直角, 90的圆周角所对的弦是直径．③假如三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形．经典例题例1：下图中是圆周角的有.是圆心角的有 .· A EFB C DO例2：如图,∠A是⊙O的圆周角,且∠A＝35°,则∠OBC=_____.例3圆心角∠AOB=100°,则∠ACB=．的直径,点C D E，，都在⊙O上,若C=∠B=∠º．例5：如图2,⊙O的直径CD过弦EF的中点G,40EOD∠=,则DCF∠=．例6：已知：如图,AD•是⊙O 的直径,∠ABC= 30 °,则∠CAD=_______．OA BC（例１）A BE FCDGO例２C例7：已知⊙O 中,30C ∠=,2cm AB =,则⊙O 的半径为cm ．例8 已知：如图所示,ABC ∆是⊙O 的内接三角形,⊙O 的直径BD 交AC 于E,AF⊥BD 于F,延长AF 交BC 于G ．求证：BC BG AB ⋅=2考点演习1.如图,已知ACB ∠是⊙O 的圆周角,50ACB ∠=︒,则圆心角AOB ∠是（）A ．40︒ B. 50︒C. 80︒D. 100︒2.已知：如图,四边形ABCD 是⊙O 的内接正方形,点P 是劣弧CD ⌒上不合于点C 的随意率性一点,则∠BPC 的度数是（）A ．45° B．60° C．75° D．90° 3.△ABC 中,∠A＝30°,∠B＝60°,AC＝6,则△ABC 外接圆的半径为（）A ．32B ．33C ．3D ．34.圆的弦长与它的半径相等,那么这条弦所对的圆周角的度数是（）A ．30° B．150° C．30°或150° D．60° 5.如图所示,AB 是⊙O 的直径,AD ＝DE,AE 与BD 交于点C,则图中_ .. .A·OB D CGF 1E与∠BCE 相等的角有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个6.下列命题中,准确的是（）①极点在圆周上的角是圆周角;②圆周角的度数等于圆心角度数的一半;③90的圆周角所对的弦是直径;④不在同一条直线上的三个点肯定一个圆;⑤同弧所对的圆周角相等A ．①②③B ．③④⑤C ．①②⑤ 7.如图,⊙O 是等边三角形ABC 的外接圆,⊙O 则等边三角形ABC 的边长为（）A BC ．D ．8.如图,△ABC 内接于⊙O,∠BAC=120°,AB=AC,BD 为 ⊙O 的直径,AD=6,则BC ＝.9.如图9,有一圆形展厅,A 处装配了一台监督器,它的监控角度是65．为了监控全部展厅,起码需在圆形边沿上共装配如许的监督器台.10.如图,量角器外沿上有 A.B 两点,它们的读数分离是.11.,点C 在⊙O 上,∠BAC=30°,点P 在线段OB 上活动.设∠ACP=x,则x 的取值规模是.B EDA CO（第9题） 65ABO C x P12.如图所示,小华从一个圆形场地的A 点动身,沿着与半径OA 夹角为α的偏向行走,走到场地边沿B 后,再沿着与半径OB 夹角为α的偏向折向行走.按照这种方法,小华第五次走到场地边沿时处于弧AB 上,此时∠AOE＝56°,则α的度数是. 13.如图,已知A.B.C.D 是⊙O 上的四个点,AB ＝BC,BD 交AC 于点E,衔接CD.AD ．（1）求证：DB 等分∠ADC;（2）若BE ＝3,ED ＝6,求AB 的长．14.如图所示,已知AB 为⊙O 的直径,CD 是弦,且AB ⊥CD 于点E ．衔接AC.OC.BC ．（1）求证：∠ACO=∠BCD ．（2）若EB=8cm ,CD=24cm ,求⊙O 的直径．15.如图,在Rt△ABC 中,∠ACB＝90°,AC＝5,CB ＝12,AD 是△ABC 的角等分线,过A.C.D 三点的圆与斜边AB 交于点E,衔接DE.（1）求证：AC ＝AE;（2）求△ACD 外接圆的半径.16.已知：如图等边ABC △内接于⊙O,点P 是劣弧BC ⋂上的一点（端点除外）,延长BP 至D ,使BD AP =,贯穿连接CD ．（1）若AP 过圆心O ,PDC △解释来由．（2）若AP 不过圆心O ,如图②,PDC △又是什么三角形？为什ED BAO CACBDE么？【考点速览】圆心角, 弧,弦,:在同圆或等圆中,,所推论：在同圆或等圆中,假如①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分离相等.（务必留意前提为：在同圆或等圆中）例1．如图所示,点O 是∠EPF 的等分线上一点,以O 为圆心的圆和角的双方分离交于A.B 和C.D,求证：AB=CD ．例2.已知：如图,EF 为⊙O的直径,过EF 上一点P 作弦AB.CD,且∠APF=∠CPF. 求证：PA=PC.例3．如图所示,在ABC ∆中,∠A=︒72,⊙O 截ABC ∆的三条边长所得的三条弦等长,求∠BOC.例4．如图,⊙O 的弦CB.ED AC=AE ．例5．如图所示,已知在⊙O 中,弦于D,OE⊥BC 于E ．求证：ODE ∆是等边三角形．图①图②ABEFOPC12DAB C分解演习一.选择题1．下列说法中准确的是（） A.相等的圆心角所对的弧相等 B.相等的弧所对的圆心角相等C.相等的弦所对的弦心距相等D.弦心距相等,则弦相等 2．如图,在⊙O 中,AB 的度数是︒50,∠OBC=︒40,那么∠OAC 等于（）A.︒15B.︒20 C.︒25D.︒303．P 为⊙O 内一点,已知OP=1cm,⊙O 的半径r=2cm,则过P 点弦中,最短的弦长为（）A.1cmB.3cmC.32cmD.4cm4．在⊙O 中,AB 与CD 为两平行弦,AB >CD,AB.CD 所对圆心角分离为︒︒60,120,若⊙O 的半径为6,则AB.CD 两弦相距（） A.3 B.6 C.13+D.333±5.如图所示,已知△ABC 是等边三角形,以BC 为直径的⊙O 分离交AB.AC 于点D.E.（1）试解释△ODE 的外形;（2）如图2,若∠A=60º,AB≠AC,则①的结论是否仍然成立,解释你的来由.6 如图,△ABC 分离交于点D.E.弦BC（1）求证：△BEF · O图ABCAB C ·O A DE BC如图 3如图4如图5（2）BA=4,CG=2,求BF 的长.7 已知：如图,∠AOB=90°,C.D是弧AB 的三等分点,AB 分离交OC.OD 于点E.F.求证：AE=BF=CD.【功课】日期姓名完成时光成绩1.如图1,ABC ∆内接于⊙O ,445==∠，ABC 则⊙O 的半径为（）. A ．22 B ．4 C ．32D ．52.如图2,在⊙O 中,点C 是AB 的中点, 40=∠A ,则BOC ∠等于（）. A ． 40B ． 50C ． 70D ． 803.如图3,A.B.C.D 是⊙O 上四点,且D 是AB 的中点,CD 交OB 于E, 55,100=∠=∠OBC AOB ,OEC ∠= 度.4.如图4,已知AB 是⊙O 的直径,C.D 是⊙O 上的两点, 130=∠D ,则BAC ∠的度数是 .5.如图5,AB 是半圆O 的直径,E 是BC 的中点,OE 交弦BC 于点D,已知BC=8cm,DE=2cm,则AD 的长为 cm.6．如图所示,在⊙O 中,AB 是直径,CO⊥AB,D 是CO 的中点,DE∥AB．求证:EC=2EA五．圆内接四边形【考点速览】圆内接四边形对角互补,外角等于内对角. 圆内接梯形为等腰梯形,圆内接平行四边形为矩形.断定四点共圆的办法之一：四边形对角互补即可.· A OB E DC GF如图1如图2A BOD EC【典范例题】例1 （1）已知圆内接四边形ABCD 中,∠A:∠B:∠C=2:3:4,求∠D 的度数．（2）已知圆内接四边形ABCD 中,如图所示,AB.BC.CD.AD 的度数之比为1:2:3:4,求∠A.∠B.∠C.∠D 的度数．例 2 四边形ABCD 内接于⊙O,点P 在CD 的延长线上,且AP∥BD．求证：AD AB BC PD ⋅=⋅例3 如图所示,ABC ∆是等边三角形,D 是BC 上任一点．求证：DB+DC=DA ．例4 AB 是⊙O的直径,弦DE⊥AB,弦AF 和DE 的延长线交于C,贯穿连接DF.EF,求证：FE FD FA FC ⋅=⋅例5 如图所示,在ABC ∆中,AB=AC,过A 点的直线与ABC ∆的外接圆交于E,与BC 的延长线交于D ．求证：ED ADAC AD ⋅=-22 【考点速练】1．圆内接四边形的对角,并且任何一个外角都它的内对角． 2．已知四边形ABCD 内接于⊙O,则∠A:∠B:∠C:∠D=3:2::7,且最大的内角为． 3．如右图,已知四边形ABCD 内接于⊙O,AE⊥CD 于E,若∠ABC=︒130,则∠DAE=．4．已知圆内接四边形ABCD 的∠A.∠B.∠C 的外角度数比为2:3:4,则∠A=,∠B=．5．圆内接梯形是梯形,圆内接平行四边形是．6．若E 是圆内接四边形ABCD 的边BA 的延长线上一·ADCBO PA·BCD O · A B CDO·ABC DE O · AB CEDO点,BD=CD,∠EAD=︒55,则∠BDC=．7．四边形ABCD 内接于圆,∠A.∠C 的度数之比是5:4,∠B 比∠D 大︒30,则∠A=.∠D=．8．圆内接四边形ABCD 中,∠A.∠B.∠C 的度数比是2：3：6,则∠D 的度数是（） A.︒5.67B.︒135C.︒5.112D.︒1109．如图1所示,圆的内接四边形ABCD,DA.CB 延长线交于P,AC 和BD 交于Q,则图中类似三角形有（） A.1对B.2对C.3对D.4对10．假如圆的半径是15,那么它的内接正方形的边长等于（） A.215B.315C.2315 D.2215 11．下列四边形中,有外接圆的四边形是（） A.有一个角为︒60的平行四边形 B.菱形C.矩形D.直角梯形12．如图2,四边形ABCD 是圆的内接四边形,假如BCD 的度数为︒240,那么∠C等于（）A.︒120B.︒80C.︒60D.︒4013．若四边形ABCD 内接于圆,且∠A:∠B:∠C:∠D=5:m:4:n,则（） A.5m=4nB.4m=5nC.m+n=9D.m=n=︒180ACBPQAD BC· O14．如图,已知⊙O 的半径为2,弦AB 的长为32,点C 与点D 分离是劣弧AB 与优弧ADB 上任一点（点C.D 均不与A.B 重合）. (1)求ACB ∠;(2)求三角形ABD 的最大面积．15．如图所示,已知△ABC 内接于⊙O,AB=AC,点D 为劣弧BC 上一动点（不与B.A.C 重合）,直线AD 与BC 交于E 点,贯穿连接BD.DC.（1）求证:BD·DC=DE·DA;（2）若将D 改为优弧BAC 上一动点（不与B.A.C 重合）,其他前提均不转变,则（1）中的结论还成立吗？请绘图并证实你的结论.【功课】日期 1．过四边形ABCD 极点,D 点在（） A.圆上 B.圆内2．如图1,若AC=AD,（） A.5对B.6对C.7对D.8对3．如图2,已知ABC ∆的外角∠BCD 的等分线CE 交ABC ∆的外接圆于E,则ABE ∆是（） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形D.等腰三角形4．如图3,四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形,AE 是⊙O 的弦,且AE⊥CD,若∠B=︒120,则∠DAE 为（） A.︒60B.︒30C.︒50D.︒705．已知：如图所示,四边形ABCD 内接于⊙O,BD 是⊙O 直径,若ABCDA ·BCDE OABCDE·A BDABCOD AA∠DAC= 60,BC=337,AD=5．求AC 的长．六．会用切线,能证切线考点速览：考点1直线与圆的地位关系考点2切线：经由半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.符号说话∵ OA⊥ l 于A, OA 为半径 ∴ l 为⊙O 的切线考点3断定直线是圆的切线的办法：①与圆只有一个交点的直线是圆的切线.②圆心到直线距离等于圆的半径的直线是圆的切线.③经由半径外端,垂直于这条半径的直线是圆的切线.（请务必记住证实切线办法：有交点就连半径证垂直;无交点就做垂直证半径）考点4切线的性质定理：圆的切线垂直于经由切点的半径.推论1：经由圆心且垂直于切线的直线必经由切点. 推论2：经由切点且垂直于切线的直线必经由圆心.（请务必记住切线主要用法：见切线就要连圆心和切点得到垂直）经典例题：例1.如图,△ABC 内接于⊙O, AB 是 ⊙O 的直径,∠CAD＝ ∠ABC,断定直线AD 与⊙O 的地位关系,并解释来由.例2.如图,OA=OB=13cm,AB=24cm,⊙O 的半径为5cm,AB 与⊙O 相切吗？为什么?例3.如图,PA.PB 是⊙O 的切线,切点为A.B,C 是⊙O 上一点,若∠P＝40., 求∠C 的度数.例4．如图所示,ABC Rt ∆中,︒=∠90C ,以AC 为直径作⊙O 交AB 于D,E 为BC 中点.B求证：DE 是⊙O 的切线．例5．（2010深圳）如图10,以点M （－1,0）为圆心的圆与y 轴.x轴分离交于点A.B.C.D,直线y ＝－ 33x － 533与⊙M 相切于点H,交x 轴于点E,交y 轴于点F ．（1）请直接写出OE.⊙M 的半径r.CH 的长;（3分）（2）如图11,弦HQ 交x 轴于点P,且DP:PH ＝3:2,求cos∠QHC 的值;（3分）（3）如图12,点K 为线段EC 上一动点（不与E.C 重合）,衔接BK 交⊙M 于点T,弦AT 交x 轴于点N ．是否消失一个常数a,始终知足MN·MK＝a,假如消失,请求出a 的值;假如不消失,请解释来由．（3分）中考链接1.如图,在以O 为圆心的两个齐心圆中,AB 经由圆心O,且与小圆订交于点A,与大圆订交于点B,小圆的切线AC 与大圆订交于点D,且CO 等分∠ACB.图10图11图12试断定BC地点直线与小圆的地位关系,并解释来由.2. 如图,在Rt△ABC中,∠C=90. ,点O在AB上,以O为圆心,OA 长为半径的圆与AC.AB分离交于点D.E,且∠CBD= ∠A,断定BD与⊙O的地位关系,并证实你的结论.3. (2009深圳)如图,AB是⊙O的直径,AB=10,DC切⊙O于点C,AD⊥DC,垂足为D,AD交⊙O于点E.（1）求证：AC等分∠BAD;3,求DC的长.（2）若sin∠BEC=54．（2008深圳）如图,点D是⊙O在⊙O上,且AB＝AD＝AO．（1）求证：BD是⊙O的切线．（2）若点E是劣弧BC上一点,AE与的面积为8,2,求△ACF的面积．cos∠BFA＝3教室速练（1）1．断定①垂直于半径的直线是圆的切线.………………………………（）②过半径外端的直线是圆的切线.………………………………（）③与圆有公共点的直线是圆的切线.……………………………（）④圆的切线垂直于半径.…………………………………………（）2．如图,AC切⊙O于点A,∠BAC＝37.,则∠AOB的度数为（）A. 64.B. 74.C. 83.D. 84.3. 如图,AB与⊙O相切于B,AO的延长线交⊙O于点C,衔接BC,若∠A＝36.．则∠C＝______4．如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,∠ABC=30.．过点AAD＝56．如图,AB为⊙O的直径,BC切⊙O于B,CO交⊙O于点D,AD的延长线交BC7．（2006中,点M在x轴轴于A B、C D、两点,且C为弧交y轴于A的坐标为（－2,0）,AE8(1)求点C的坐标.(2)贯穿连接MG BC、,求证：MG∥BC(3)如图10-2,过点D作⊙M的切线,交x轴于点P.动点F在⊙M的圆周上活动时,PFOF的比值是否产生变更,若不变,求出比值;B若变更,解释变更纪律.七．切线长定理考点速览：考点1切线长概念：经由圆外一点做圆的切线,这点和切点之间的线段的长,叫做这点到圆的切线长．切线长和切线的差别切线是直线,不成器量;而切线长是切线上一条线段的长,而圆外一已知点到切点之间的距离,可以器量．考点2切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线等分两条切线的夹角．要留意：此定理包含两个结论,如图,PA.PB 切⊙O 于A.B 两点, ①PA=PB ②PO 等分APB ∠．考点3两个结论：圆的外切四边形对边和相等;圆的外切等腰梯形的中位线等于腰长．经典例题：例1 已知PA.PB.DE 分离切⊙O 于A.B.C 三点,若PO=13㎝,PED ∆的周长为24㎝,求：①⊙O 的半径;②若40APB ∠=︒,EOD ∠的度数．例2 如图,⊙O分离切ABC ∆的三边,,BC a AC b AB c ===．（1）求AD.BE.CF 的长;（2）当90C ∠=︒,求内切圆半径r ．例3且例与x B,,相切于点E,与直线AB 相切于点F.（1）当四边形OBCE 是矩形时,求点C 的坐标;（2）如图乙,若⊙C 与y 轴相切于点D,求⊙C 的半径r; （3）求m 与n 之间的函数关系式;（4）在⊙C 的移动进程中,可否使OEF ∆是等边三角形（只答复“能”或“不克不及”）？考点速练1：1．如图,⊙O 是ABC ∆的内切圆,D.E.F ::4:3:2A B C ∠∠∠=,则DEF ∠=． FEC ∠=．2．直角三角形的两条直角边为5㎝.12接圆半径为㎝,内切圆半径为㎝．3．如图,直线AB.BC.CD 分离与⊙O 相切于点E.F.G,且AB∥CD,若OB=6㎝,OC=8㎝,则BOC ∠=,⊙O的半径=㎝,BE+CG=㎝．4．如图,PA.PB 是⊙O 的切线,AB 交OP 于点M ,若2,OM cm AB PB ==,则⊙O 的半径是㎝．考点速练（2）1．如图,在Rt ABC ∆中,90,3,4C AC BC ∠=︒==圆心作⊙O 与AB 相切于E,与AC 相切于C,交点D,则线段BD 的长．2．如图,ABC ∆内接于⊙O,AB 为⊙O 直径,过C 点的切线交直径AB 的延长线于P,25BAC ∠=︒,则P ∠=．4.（广西）PA.PB 是⊙O 切线,A.B 切点,∠APB＝780,点C 是⊙O上异于A.B 任一点,那么∠ACB＝＿＿＿＿＿.5.（山西）若直角三角形斜边长为10cm,其内切圆半径为2cm,则它的周长为_______.6.（贵阳）如图,⊙O 是Rt△ABC 的内切圆,∠ACB＝900,且AB ＝13,AC ＝12,则图中暗影部分的面积是（）A.π-30B.π230-C.π330-D.π430-7．贯穿连接圆的两条平行切线的切点的线段,是这个圆的． 8.如图1,AB 是⊙O 的直径,直线MN 切半圆于C,AM⊥MN,BN⊥MN,若AM=a ,BN=b ,则AB=.9．如图2,AB 是⊙O 的直径,延长AB 到D,使BD=OB,DC 切⊙O 于C,则∠D=,∠ACD=,若半径为r ,AC=．10．经由圆的直径两头点的切线必互相．11.如图,在ABC ∆,10,8,90===∠AB AC C ,点P 在AC 上,AP=2,若⊙O 的圆心在线段BP 上,且⊙O 与AB.AC 都相切,则⊙O 的半径是（）.A ．1B ．45C ．712 D ．49 12.如图,四边形ABCD 是直角梯形,以垂直于底的腰AB 为直径的⊙O 与腰CD 相切于E,若此圆半径为6㎝,梯形ABCD 的周长为38㎝,求梯形的上.下底AD.BC 的长．· A EDB O C题1· APB OC题2 · A BD C O图2 M ·CAOBN图1· A OD E八．三角形内切圆考点速览考点1概念：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的心坎,这个三角形叫做圆的外切三角形．概念推广：和多边形各边都相切的圆叫做多边形的内切圆,这个多边形叫做圆的外切多边形．考点2三角形外接圆与内切圆比较：名称肯定办法图形性质外心（三角形外接圆的圆心）三角形三边中垂线的交点（1）OA=OB=OC;（2）外心不必定在三角形的内部．心坎（三角形内切圆的圆心）三角形三条角等分线的交点（1）到三边的距离相等;（2）OA.OB.OC分离等分∠BAC.∠ABC.∠ACB;（3）心坎在三角形内部．考点3求三角形的内切圆的半径1.直角三角形△ABC 内切圆⊙O 的半径为2cb a r -+=. 2.一般三角形①已知三边,求△ABC 内切圆⊙O 的半径r.（海伦公式S△＝)c s )(b s )(a s (s --- , 个中s=2cb a ++) 经典例题：例1．浏览材料：如图（1）,△ABC 的周长为L,内切圆O 的半径为r,贯穿连接OA,OB,△ABC 被划分为三个小三角形,用S△ABC 暗示△ABC 的面积．∵S△ABC =S△OAB +S△OBC +S△OCA又∵S△OAB =12AB·r,S△OBC =12BC·r,S△OCA =12AC·r ∴S△ABC =12AB·r+12BC·r+12CA·r=12L·r（可作为三角形内切圆半径公式）（1）懂得与运用：运用公式盘算边长分为5,12,13的三角形内切圆半径;（2）类比与推理：若四边形ABCD 消失内切圆（与各边都相切的圆,如图（2）•且面积为S,各边长分离为a,b,c,d,试推导四边形的内切圆半径公式;（3）拓展与延长：若一个n 边形（n 为不小于3的整数）消失内切圆,且面积为S,各边长分离为a1,a2,a3,…an,合理猜测其内切圆半径公式（不需解释来由）．例2．如图,△ABC中,∠A=m°．（1）如图（1）,当O是△ABC的心坎时,求∠BOC的度数;（2）如图（2）,当O是△ABC的外心时,求∠BOC的度数;（3）如图（3）,当O是高线BD与CE的交点时,求∠BOC的度数．例3．如图,Rt△ABC中,AC=8,BC=6,∠C=90°,⊙I分离切AC,BC,AB于D,E,F,求Rt△ABC的心坎I与外心O之间的距离．考点速练1：1．如图1,⊙O内切于△ABC,切点为D,E,F．已知∠B=50°,∠C=60°, 贯穿连接OE,OF,DE,DF,那么∠EDF等于（）A．40° B．55° C．65° D．70°图 1 图 2 图32．如图2,⊙O是△ABC的内切圆,D,E,F是切点,∠A=50°,∠C=60°, 则∠DOE=（）A．70° B．110° C．120° D．130°3．如图3,△ABC中,∠A=45°,I是心坎,则∠BIC=（）A ．112.5° B．112° C．125° D．55° 4．下列命题准确的是（）A ．三角形的心坎到三角形三个极点的距离相等B ．三角形的心坎不必定在三角形的内部C ．等边三角形的心坎,外心重合D ．一个圆必定有独一一个外切三角形5．在Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=3,AB=5,则它的内切圆与外接圆半径分离为（）6．如图,在△ABC 中,AB=AC,内切圆O 与边BC,AC,AB 分离切于D,E,F ．（1）求证：BF=CE;（2求AC 的长．7．如图,⊙I 切△ABC 的边分离为D,E,F,∠B=70°,∠C=60°,M 是弧DEF 上的动点（与D,E 不重合）,∠DMF 的大小必定吗？若必定,求出∠DMF 的大小;若不必定,请解释来由．考点速练21．如图,在半径为R 的圆内作一个内接正方形,•然后作这个正方形的内切圆,又在这个内切圆中作内接正方形,依此作到第n 个内切圆,它的半径是（）A ．（2）nR B ．（12）nR C ．（12）n －1R D ．（2）n－1R2．如图,⊙O为△ABC的内切圆,∠C=90°,AO的延长线交BC于点D,AC=4,•DC=1,则⊙O的半径等于（）A．45 B．54C．34D．563．如图,已知△ABC的内切圆⊙O分离和边BC,AC,AB切于D,E,F,•假如AF=2,BD=7,CE=4．（1）求△ABC的三边长;（2）假如P为弧DF上一点,过P作⊙O的切线,交AB于M,交BC于N,求△BMN的周长．4．如图,⊙O与四边形ABCD的各边依次切于M,N,G,H．（1）猜测AB+CD与AD+BC有何数目关系,并证实你的猜测;（2）若四边形ABCD增长前提AD∥BC而成为梯形,梯形的中位线长为m,其他前提不变,试用m暗示梯形的周长．5.思虑题（选作）：如图,已知正三角形ABC的边长为2a．（1）求它的内切圆与外接圆构成的圆环的面积;（2）依据盘算成果,请求圆环的面积,•只需测量哪一条弦的大小就可算出圆环的面积;（3）将前提中的“正三角形”改为“正方形”“正六边形”,你能得出如何的结论？（4）已知正n边形的边长为2a,请写出它的内切圆与外接圆构成的圆环面积．九．懂得弦切角与圆幂定理（选学）【考点速览】考点11. 弦切角的概念：极点在圆上,一边和圆订交,另一边和圆相切的角叫做弦切角.留意：弦切角必须具备三个前提：（1）极点在圆上（切点）,（2）一边和圆相切,（3）一边和圆订交（弦）,三者缺一不成.2. 弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角.3. 弦切角定理的推论：假如两个弦切角所夹的弧相等,那么这两个弦切角也相等.考点2圆幂定理：圆幂定理是对订交弦定理.切割线定理及割线定理（切割线定理推论）以及它们推论同一归纳的成果.1.订交弦定理：圆内两条订交弦,被交点分成的两条线段长的积。

2023年中考复习大串讲初中数学之圆课件

∵tan∠BAO＝
3 4
，∴设EH＝3x，AH＝4x，
∴AE＝AC＝5x，OH＝4－4x.
∵△OCE∽△OEA，∴
OOEA＝OOCE
(答图6) ，即OE2＝OA·OC.
又∵OE2＝OH2＋EH2，∴(4－4x)2＋(3x)2＝4(4－5x)，
解得x1＝
12 25
，x2＝0(不合题意，舍去)，∴E
5225，3265.
(图5)
证明：如答图5，连接OC交AB于点I， ∵圆心O与点C关于弦AB对称， ∴AB垂直平分OC，∴CI＝OI. ∵OC是半径，OC⊥AB， ∴AI＝BI， ∴四边形AOBC是菱形．
(答图5)
如图5，⊙O中，圆心O关于弦AB的对称点C恰好在⊙O
上，连接AC，BC，BO，AO.
(2)若点Q是优弧
已知条件
分析
由DF＝DC可得∠DFC＝∠DCF.由∠BDC＝
DF＝DC， 2∠DFC结合(1)中结论得∠CFD＝∠CAD，易
AC⊥BD 得∠CFD＝∠CBD，所以CF＝CB. 又由
AC⊥BD即可证得AC垂直平分BF，得AB＝AF
已知条件
分析
1.根据勾股定理求得AE，CE，BE；
AF＝10，
BC＝4 5
又∵∠ACP＝∠QCA，∴△ACP∽△QCA， ∴ QACC＝ACCP ，即CP·CQ＝AC2＝(2 3 )2＝12.
(答图5)
如图5，⊙O中，圆心O关于弦AB的对称点C恰好在⊙O
上，连接AC，BC，BO，AO.
(2)若点Q是优弧
︵
AB
上一动点(不与点A，B重合)，连接
CQ交AB于点P，⊙O的半径为2 3 .
考点4 与坐标系结合
例6

人教版-九年级(初三)数学-第二十四章圆讲义教案-与圆有关的定理圆幂定理讲义资料

内容基本要求略高要求较高要求圆幂定理会在相应的图中确定圆幂定理的条件和结论能用圆幂定理解决有关问题板块一相交弦定理相交弦定理：圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段长的乘积相等．如图，弦AB 和CD 交于O ⊙内一点P ，则PA PB PC PD ⋅=⋅．P ODC A相交弦定理的推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．【例1】如下左图，在O ⊙中，弦AB 与CD 相交于点P ，已知3cm 4cm 2cm PA PB PC ===，，，那么PD =cm ．OPCB【例2】如下中图，在O ⊙中，弦AB 与半径OC 相交于点M ，且O M M C =，若1.54A M B M ==，，则OC 的长为( )A ．6B 6C ．3D ．2MO BA中考要求例题精讲圆幂定理【例3】如图，O⊙的两条弦AB CD，交于点P，已知2cm3cm1cmPA PB PC===，，，则PD的长为________．D【例4】如图，圆的半径是A C、两点在圆上，点B在圆内，6AB=，2BC=，90ABC∠=︒求点B 到圆心的距离．【例5】如图，正方形ABCD内接于O⊙，点P在劣弧AB上，连结DP交AC于点Q．若Q P Q O=，则QC QA的值为___________．【例6】请阅读下列材料：圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段长的积相等．如图1，若弦AB CD、交于点P，则PA PB PC PD⋅=⋅．请你根据以上材料，解决下列问题．【例7】已知O ⊙的半径为2，P 是O ⊙内一点，且1OP =，过点P 任作一弦AC ，过A C 、两点分别作O⊙的切线m 和n ，作PQ m ⊥于点Q ，PR n ⊥于点R ．(如图2)⑴ 若AC 恰经过圆心O ，请你在图3中画出符合题意的图形，并计算11PQ PR+的值； ⑵ 若OP AC ⊥，请你在图4中画出符合题意的图形，并计算11PQ PR+的值； ⑶ 若AC 是过点P 的任一弦(图2)，请你结合⑴⑵的结论，猜想11PQ PR+的值，并给出证明．(图4)(图3)板块二、切割线定理如图，在O 中，AB 是O 的切线，AD 是O 的割线，则题意中满足2AB AC AD =⋅.A【例8】如图，PC 是半圆的切线，且PB OB =，过B 的切线交PC 与D ，若6PC =，则O ⊙半径为，:CD DP =__________．【例9】如图，过点P 作O ⊙的两条割线分别交O ⊙于点A B 、和点C D 、，已知32PA AB PC ===，，则PD 的长是( )A ．3 B．7.5 C ．5 D ．5.5【例10】如图，BC 是半圆O ⊙的直径，EF BC ⊥于点F ，5BFFC=．已知点A 在CE 的延长线上，AB 与半圆交于D ，且82AB AE ==，，则AD 的长为_____________．【例11】如图，同心圆O ，AC DF 、交小圆于B E 、两点，求证：AB AC DE DF ⋅=⋅．1.如下右图，在O ⊙中，P 为弦AB 上一点，PO PC ⊥，PC 交O ⊙于C ，那么( ) A ．2OP PA PB =⋅ B ．2PC PA PB =⋅ C ．2PA PB PC =⋅ D ．2PB PA PC =⋅2.如图，AB 是O ⊙的直径，弦CD AB ⊥，垂足为E ，P 是BA 延长线上的点，连结PC 交O ⊙ 于F ，如果713PF FC ==，，且::2:4:1PA AE EB =，那么CD 的长是．课后练习。

2024年中考数字复习圆中的重要模型-圆幂定理模型(原卷+答案解析)

圆中的重要模型--圆幂定理模型圆幂定理是一个总结性的定理，是对相交弦定理、切割线定理、割线定理、弦切角定理、托勒密定理以及它们推论的统一与归纳。

可能是在19世纪由德国数学家施泰纳(Steiner)或者法国数学家普朗克雷(Poncelet)提出的。

圆幂定理的用法：可以利用圆幂定理求解与圆有关的线段比例、角度、面积等问题。

模型1.相交弦模型条件：在圆O中，弦AB与弦CD交于点E，点E在圆O内。

结论：△CAE∼△BDE⇒ECEB=EAED⇒EC⋅ED=EB⋅EA。

1(2023·广东广州·九年级校考期中)如图，两个同心圆，大圆的弦AB与小圆相切于点P，大圆的弦CD经过点P，且CD=13，PD=4，两圆组成的圆环的面积是．2(2023·江西景德镇·九年级校考期末)如图，PT是⊙O的切线，T为切点，PA是割线，交⊙O于A、B两点，与直径CT交于点D．已知CD=2，AD=3，BD=4，那PB=．3(2023·江苏·九年级专题练习)相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．(1)为了说明相交弦定理正确性，需要对其进行证明，如下给出了不完整的“已知”“求证”，请补充完整，并写出证明过程．已知：如图①，弦AB，CD交于点P，求证：．(2)如图②，已知AB是⊙O的直径，AB与弦CD交于点P，且AB⊥CD于点P，过D作⊙O的切线，交BA的延长线于E，D为切点，若AP=2，⊙O的半径为5，求AE的长．模型2.双割线模型条件：如图，割线CH与弦CF交圆O于点E和点G。

结论：△CEG∼△CHF⇒ECCH=CGCF⇒EC⋅FC=GC⋅HC4(2023·浙江·九年级假期作业)如图：PAB、PCD为⊙O的两条割线，若PA∙PB=30，PC=3，则CD的长为()A.10B.7C.510D.35(2023·四川成都·九年级校考阶段练习)如图，PAB为⊙O的割线，且PA=AB=3，PO交⊙O于点C，若PC=2，则⊙O的半径的长为．6(2022·河南洛阳·统考一模)我们知道，直线与圆有三种位置关系：相交、相切、相离．当直线与圆有两个公共点(即直线与圆相交)时，这条直线就叫做圆的割线．割线也有一些相关的定理．比如，割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等．下面给出了不完整的定理“证明一”，请补充完整．已知：如图①，过⊙O 外一点P 作⊙O 的两条割线，一条交⊙O 于A 、B 点，另一条交⊙O 于C 、D 点．求证：PA ⋅PB =PC ⋅PD ．证明一：连接AD 、BC ，∵∠A 和∠C 为BD 所对的圆周角，∴．又∵∠P =∠P ，∴，∴．即PA ⋅PB =PC ⋅PD ．研究后发现，如图②，如果连接AC 、BD ，即可得到学习过的圆内接四边形ABDC ．那么或许割线定理也可以用圆内接四边形的性质来证明．请根据提示，独立完成证明二．证明二：连接AC 、BD ，模型3.切割线模型条件：如图，CB 是圆O 的切线，CA 是圆O 的割线。

2023年中考数学备考：《圆的专题复习》

在 PB 上，且 OM∥AP，MN⊥AP，垂足为 N．若⊙O
的半径 R=3，PA=9，求 OM 的长．
Rt OBM中
OB 3
可证：
PB=PA=9
OM=MP
则BM 9 x
设OM x
3 (9 x) x
2
2
3
2
9-x
x
9
中考复习之专题复习
（一）圆中线段与直角三角形
（二）圆中线段与等腰三角形
⊙O 过 D、B、C 三点，∠DOC=2∠ACD=90°．(1) 求证：
直线 AC 是⊙O 的切线；
(2) 如果∠ACB＝75º，
⊙O 的半径为 2，求 BD 的长．
∠DOC=2∠ACD=90°
∠ACB＝75º
1
B DOC=45
2
BCD=30
M
⊙O 的半径为 2
∠DOC=90°
CD 2 2
AD=10，DC=8。
以 AD 为直径的⊙O 与边 BC 切于点 E，且 AB=BE。（1）
求证：AB 是⊙O 的切线；
⊿BEO 是直角三角形
⊿BEO ⊿BAO
⊿BAO 是直角三角形
7.已知：如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，OD⊥BC
于点 D，过点 C 作⊙O 的切线，交 OD 的延长线于点 E，连接
Rt AEB中
CBA 60 CAB 30 DAB 60
四边形EDCM 是矩形 EM CD 2 3
由垂径定理知BE=4 3
M
6. 如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD 和
过 C 点的切线互相垂直，垂足为 D，AD 交⊙O 于点
E． (1) 求证：AC 平分∠DAB；

2023学年九年级数学上学期期中期末考点大串讲(人教版)专题04圆(20个考点)(原卷版)

专题04圆（20个考点）【知识梳理+解题方法】一．圆的认识（1）圆的定义定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．（2）与圆有关的概念弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等．连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．（3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性．二．垂径定理（1）垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理的推论推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．三．垂径定理的应用垂径定理的应用很广泛，常见的有：（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．四．圆心角、弧、弦的关系（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．五．圆周角定理（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．六．圆内接四边形的性质（1）圆内接四边形的性质：①圆内接四边形的对角互补．②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．（2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．七．点与圆的位置关系（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：①点P在圆外⇔d＞r②点P在圆上⇔d＝r①点P在圆内⇔d＜r（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．（3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．八．确定圆的条件不在同一直线上的三点确定一个圆．注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆．九．三角形的外接圆与外心（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．（3）概念说明：①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．十．直线与圆的位置关系（1）直线和圆的三种位置关系：①相离：一条直线和圆没有公共点．②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线．（2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和⊙O相交⇔d＜r②直线l和⊙O相切⇔d＝r③直线l和⊙O相离⇔d＞r．十一．切线的性质（1）切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2）切线的性质可总结如下：如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．（3）切线性质的运用由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．十二．切线的判定（1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．（2）在应用判定定理时注意：①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的．③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”．十三．切线的判定与性质（1）切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．（3）常见的辅助线的：①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．十四．切线长定理（1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．（3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．（4）切线长定理包含着一些隐含结论：①垂直关系三处；②全等关系三对；③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到．十五．三角形的内切圆与内心（1）内切圆的有关概念：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．（2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．（3）三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．十六．正多边形和圆（1）正多边形与圆的关系把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．（2）正多边形的有关概念①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．十七．弧长的计算（1）圆周长公式：C＝2πR（2）弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示．④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．十八．扇形面积的计算（1）圆面积公式：S＝πr2（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长）（4）求阴影面积常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割补法．（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．十九．圆锥的计算（1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．连接顶点与底面圆心的线段叫圆锥的高．（2）圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．（3）圆锥的侧面积：S侧＝•2πr•l＝πrl．（4）圆锥的全面积：S全＝S底+S侧＝πr2+πrl（5）圆锥的体积＝×底面积×高注意：①圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等．②圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等．二十．圆柱的计算（1）圆柱的母线（高）等于展开后所得矩形的宽，圆柱的底面周长等于矩形的长．（2）圆柱的侧面积＝底面圆的周长×高（3）圆柱的表面积＝上下底面面积+侧面积（4）圆柱的体积＝底面积×高．【专题过关】一．圆的认识（共3小题）1．（2022•南山区校级模拟）数学知识在生产和生活中被广泛应用，下列实例所应用的最主要的几何知识，说法正确的是（）A．学校门口的伸缩门由菱形而不是其他四边形组成，应用了“菱形的对角线互相垂直平分”B．车轮做成圆形，应用了“圆是中心对称图形”C．射击时，瞄准具的缺口、准星和射击目标在同一直线上，应用了“两点确定一条直线”D．地板砖可以做成矩形，应用了“矩形对边相等”2．（2022•潮安区模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10．若以点C为圆心，CA长为半径的圆恰好经过AB的中点D，则⊙C的半径为（）A．B．8C．6D．53．（2022春•广饶县期末）画圆时圆规两脚间可叉开的距离是圆的（）A．直径B．半径C．周长D．面积二．垂径定理（共2小题）4．（2022•香坊区校级模拟）如图，在⊙O中，OD⊥AB于点D，AD的长为3cm，则弦AB的长为（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm5．（2021秋•肇源县校级期中）已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于E点，BE＝1，AE＝5，∠AEC＝30°，则CD的长为（）A．4B．4C．3D．5三．垂径定理的应用（共2小题）6．（2022•宣州区二模）如图所示的是一圆弧形拱门，其中路面AB＝2m，拱高CD＝3m，则该拱门的半径为（）A．B．2m C．D．3m7．（2022•白云区二模）往圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB＝48cm，水的最大深度为16cm，则圆柱形容器的截面直径为（）cm．A．10B．14C．26D．52四．圆心角、弧、弦的关系（共2小题）8．（2022•武汉模拟）如图，在扇形OAB中，点C为弧AB的中点，延长AC交OB的延长线于点D，连接BC，若BD＝4，CD＝5，则的值为（）A．B．C．D．9．（2022•南岗区校级模拟）如图，⊙O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AB＝CD，已知CE＝1，ED＝3，则⊙O的半径为．五．圆周角定理（共2小题）10．（2022•邯郸二模）在一次海事活动中，⊙O所在区域是活动区域，其中弦AB与优弧AB所围成的区域是声呐需要探测的区域．现在A处安装一台声呐设备，其探测区域如图1阴影所示，再在B处安装一台同型号声呐设备，恰好能完成所有区域的探测，如图2阴影所示．如图3，现将声呐设备放置位置改为圆O上D、E、F点，设计三个方案：①在D点放两台该型号的声呐设备②在D点、E点分别放一台该型号的声呐设备③在F点放两台该型号的声呐设备若能完成所有区域的探测，则正确的方案是（）A．①③B．①②③C．②③D．①②11．（2022•杏花岭区校级模拟）如图，C，D是⊙O上直径AB两侧的两点，设∠ABC＝15°，则∠BDC＝（）A．85°B．75°C．70°D．65°六．圆内接四边形的性质（共2小题）12．（2022•南岗区校级模拟）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AO、OC，∠ABC＝70°，AO ∥CD，则∠OCD的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．70°13．（2022•牡丹江二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，DE是⊙O的直径，连接BD．若∠BCD＝2∠BAD，则∠BDE的度数是（）A．25°B．30°C．32.5°D．35°七．点与圆的位置关系（共2小题）14．（2022•汉阳区校级模拟）如图，将两个正方形如图放置（B，C，E共线，D，C，G共线），若AB＝3，EF＝2，点O在线段BC上，以OF为半径作⊙O，点A，点F都在⊙O上，则OD的长是（）A．4B．C．D．15．（2022•蓬江区一模）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，OA＝10，BC＝16，D是弧AC上一个动点，连接BD，过点C作CM⊥BD，连接AM，在点D移动的过程中，AM的最小值为（）A．B．C．D．八．确定圆的条件（共2小题）16．（2021秋•日喀则市月考）下列说法正确的是（）A．弧长相等的弧是等弧B．直径是最长的弦C．三点确定一个圆D．相等的圆心角所对的弦相等17．（2021秋•龙凤区期末）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是（）A．第一块B．第二块C．第三块D．第四块九．三角形的外接圆与外心（共3小题）18．（2022•蜀山区校级三模）在锐角△ABC中，∠ACB＝60°，∠BAC、∠ABC的角平分线AD、BE交于点M，则下列结论中错误的是（）A．∠AMB＝120°B．ME＝MDC．AE+BD＝ABD．点M关于AC的对称点一定在△ABC的外接圆上19．（2022•兴庆区校级三模）如图，⊙O外接于△ABC，延长B0交⊙O于点D，过点C作CE⊥BD交BD 于点E．（1）求证：∠BAC＝∠BCE．（2）若∠BAC＝60°，BC＝2，求⊙O的半径．20．（2022•宜阳县二模）如图，点P是等边三角形ABC中AC边上的动点（0°＜∠ABP＜30°），作△BPC 的外接圆交AB于点D．点E是圆上一点，且，连结DE交BP于点F．（1）求证：∠ADE＝∠BEC；（2）当点P运动时，∠BFD的度数是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求∠BFD的度数．一十．直线与圆的位置关系（共2小题）21．（2022•金山区二模）在直角坐标系中，点P的坐标是（2，），圆P的半径为2，下列说法正确的是（）A．圆P与x轴有一个公共点，与y轴有两个公共点B．圆P与x轴有两个公共点，与y轴有一个公共点C．圆P与x轴、y轴都有两个公共点D．圆P与x轴、y轴都没有公共点22．（2022•雨花区校级二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，E是AC的中点，连接DE、CD．（1）求证：CD⊥AB；（2）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（3）设CD与OE的交点为F，若AB＝10，BC＝6，求OF的长．一十一．切线的性质（共2小题）23．（2022春•沙坪坝区校级期中）如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AO与⊙O交于点C，D是⊙O上一点，连接BD，CD，∠BDC＝30°，延长AB至点F，使得BF＝AB，连接OF，过点B作BG⊥OF于点G，BG＝2，则OC的长为（）A．B．C．D．224．（2022•南岸区校级模拟）如图，AB是圆O的直径，PQ切圆O于点E，AC⊥PQ于点C，AC交圆O于点D，若OA＝5，EC＝4，则AD的长为（）A．4B．5C．6D．8一十二．切线的判定（共2小题）25．（2022•安国市一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝8，以CD为直径作⊙O．将矩形ABCD绕点C旋转得到矩形A1B1CD1，使A1B1与⊙O相切于点E，CB1与⊙O相交于点F，则CF的长是（）A．3B．4C．6D．826．（2022•思明区校级二模）定义：如果三角形三边的长a、b、c满足＝b，那么我们就把这样的三角形叫做“匀称三角形”．如：三边长分别为1，1，1或3，5，7，…的三角形都是“匀称三角形”．（1）已知“匀称三角形”的两边长分别为4和6，则第三边长为．（2）如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DF⊥AC，垂足为F，交AB的延长线于E，求证：EF是⊙O的切线．一十三．切线的判定与性质（共2小题）27．（2022•思明区校级二模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC是⊙O直径，BE∥AD交DC 延长线于点E，若BC平分∠ACE．（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）若BE＝3，CD＝2，求⊙O的半径．28．（2022•五华区校级模拟）如图，AB为⊙O直径，C，D为⊙O上的两点，且∠ACD＝2∠A，CE⊥DB交DB的延长线于点E．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若DE＝2CE，AC＝4，求⊙O的半径．一十四．切线长定理（共1小题）29．（2022•拱墅区模拟）如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别是P、C、D．若AB＝10，AC＝6，则BD的长是（）A．3B．4C．5D．6一十五．三角形的内切圆与内心（共2小题）30．（2022•路南区三模）如图，点O为△ABC的内心，∠B＝60°，BC≠AB，点M，N分别为AB，BC上的点，且OM＝ON．甲、乙、丙三人有如下判断：甲：∠MON＝120°；乙：四边形OMBN的面积为定值；丙：当MN⊥BC时，△MON的周长有最小值．则下列说法正确的是（）A．只有甲正确B．只有乙错误C．乙、丙都正确D．只有丙错误31．（2022•景县校级模拟）如图，已知在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，AC＝10，点P是Rt△ABC的内心．（1）点P到边AB的距离为；（2）Q是Rt△ABC的外心，连接PQ，则PQ的长为．一十六．正多边形和圆（共2小题）32．（2022•安顺）如图，在平面直角坐标系中，将边长为2的正六边形OABCDE绕点O顺时针旋转n个45°，得到正六边形OA n B n∁n D n E n，当n＝2022时，正六边形OA n B n∁n D n E n的顶点D n的坐标是（）A．（﹣，﹣3）B．（﹣3，﹣）C．（3，﹣）D．（﹣，3）33．（2022•兴庆区校级三模）如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，则∠EBC的度数为．一十七．弧长的计算（共2小题）34．（2022•绿园区校级模拟）如图，线段AB＝2．以AB为直径作半圆，再分别以点A、B为圆心，以AB的长为半径画弧，两弧相交于点C．则图中阴影部分的周长为．35．（2022•嵩县模拟）如图，D是以AB为直径的半圆O的中点，＝2，E是直径AB上一个动点，已知AB＝2cm，则图中阴影部分周长的最小值是cm．一十八．扇形面积的计算（共2小题）36．（2022•山西模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，AO是△ABC的中线．以O为圆心，OA长为半径作半圆，分别交AB，AC于点D，E，交BC于点F，G．则图中阴影部分的面积为（）A．2﹣πB．C．4﹣πD．π37．（2022•鞍山）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝，以点B为圆心，BA长为半径画弧，交CD于点E，连接BE，则扇形BAE的面积为（）A．B．C．D．一十九．圆锥的计算（共2小题）38．（2022•五华区校级模拟）如图，在正方形ABCD中，以点A为圆心，AD为半径，画圆弧DB得到扇形DAB（阴影部分），且扇形DAB的面积为4π．若扇形DAB正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径为（）A．1B．2C．3D．439．（2022•天心区校级三模）已知圆锥的高为12，母线长为13，则圆锥的侧面积为．二十．圆柱的计算（共2小题）40．（2022•绵阳）如图，锚标浮筒是打捞作业中用来标记锚或沉船位置的，它的上下两部分是圆锥，中间是圆柱（单位：mm）．电镀时，如果每平方米用锌0.1千克，电镀1000个这样的锚标浮筒，需要多少千克锌？（π的值取3.14）（）A．282.6B．282600000C．357.96D．35796000041．（2022春•东平县期中）如图（1）所示的瓶子中盛满了水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图（2）所示的杯子中，那么一共需要个这样的杯子？（单位：cm）。

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圆幂定理九年级数学中考复习一、圆幂的定义：一点P对半径为r的圆O的幂=22
OP r
-
二、圆幂定理：是相交弦定理、切割线定理、割线定理（切割线定理推论）的统称。

1、相交弦定理：若圆内任意弦AB、弦CD交于点P，则··
PAPB PC PD
=()
PAC PBD
∆∆
∽
2、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线(PA)长是割线和这点到割线（PD）与圆交点的两条线段长的比例中项²·
PA PC PD
=()
PAC PDA
∆∆
∽
3、割线定理（切割线定理的推论）：例如如果交点为P的两条相交直线与圆O相交于A、B 与C、D，则·
PA PB PC PD
⋅=
总结：平面上任意一点对于圆的幂为这个点到圆心的距离与圆的半径的平方差的绝对值。

22
··
PA PB PC PD r OP
==-
222
·
PA PC PD OP r
==-
22
·
PA PB PC PD OP r
⋅==-
例题讲解
【例1】如图，在圆O 中，M 、N 是弦AB 的三等分点，弦CD ，CE 分别经过点M ，N ，若2CM =，4MD =，3CN =，则线段NE 的长为( )
A ．83
B ．3
C ．103
D ．52
【例2】如题图，圆O 的弦AB ，CD 相交于点E ，过点A 作圆O 的切线与DC 的延长线交于点P ，若6PA =，9AE =，3PC =，:2:1CE ED =，则BE = ．
【例3】如图，点P 为弦AB 上一点，连接OP ，过P 作PC OP ⊥，PC 交O 于点C ，若 6AP =，3PB =，则PC 的长为( )
A ．4
B ．5
C ．23
D ．32【例4】如图，正方形ABCD 内接于O ，点P 在劣弧AB 上，连接DP ，交AC 于点Q ．若 QP QO =，则QC QA
的值为( )
A ．231
B ．23
C 32
D 32+
【例5】如图，PA 切圆于点A ，直线PCB 交圆于C ，B 两点，切线长42PA =4PC =，则AB AC
等于( )
A 2
B ．22
C ．2
D ．以上结果都不对【例6】如图，AT 切O 于T ，若6AT =，3A
E =，4AD =，2DE =，则BC 等于(
)
A ．3
B ．4
C ．6
D ．8
【例7】如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，A 为大圆上任意一点，过A 作小圆的割线 AXY ，若4AX AY ⋅=，则图中圆环的面积为( )
A ．16π
B ．8π
C ．4π
D ．2π
【例8】如图，在ABCD 中，过A 、B 、C 三点的圆交AD 于E ，且与CD 相切．若4AB =， 5BE =，则DE 的长为( )
A ．3
B ．4
C ．154
D ．165
【例9】如图，四边形ABCD 是圆的内接四边形，AB 、DC 的延长线交于点P ，若C 是PD 的中点，且6PD =，2PB =，那么AB 的长为( )
A ．9
B ．7
C ．3
D ．92
【例10】已知：P 为O 外一点，PQ 切O 于Q ，PAB 、PCD 是O 的割线，且
PAC BAD ∠=∠．求证：22PQ PA AC AD -=．
【例11】
圆幂定理是平面几何中最重要的定理之一，它包含了相交弦定理、切割线定理、割线定理以及它们推论，其中切割线定理的内容是：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割
线与圆交点的两条线段长的比例中项．
喜欢思考的天天在了解这个定理之后尝试给出证明，下面是他的部分证明过程：
已知：如图①，点P为O外一点，切线PA与圆相切于点A，割线PBC与圆相交于点B、
C．求证：2
=⋅．
PA PB PC
证明：如图，连接AB、AC、BO、AO，
PA切O于点A，
∠+∠=︒．
PAB BAO
∴⊥，即90
PA AO
⋯
阅读以上材料，完成下列问题：
（1）请帮助天天补充完成以上证明过程；
（2）如图②，割线PDE与圆交于点D、E，且4
PE=，求DE的长．
==，7
PB BC
挑战训练
【挑战训练1】如图，已知：PA切O于A，若AC为O的直径，PBC为O的割线，E 为弦AB的中点，PE的延长线交AC于F，且45
FPB
∠=︒，点F到PC的距离为5，则FC 的长为()。