圆幂定理+讲义2023年九年级数学中考复习【附解析】

圆幂定理九年级数学中考复习一、圆幂的定义：一点P对半径为r的圆O的幂=22

OP r

-

二、圆幂定理：是相交弦定理、切割线定理、割线定理（切割线定理推论）的统称。

1、相交弦定理：若圆内任意弦AB、弦CD交于点P，则··

PAPB PC PD

=()

PAC PBD

∆∆

∽

2、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线(PA)长是割线和这点到割线（PD）与圆交点的两条线段长的比例中项²·

PA PC PD

=()

PAC PDA

∆∆

∽

3、割线定理（切割线定理的推论）：例如如果交点为P的两条相交直线与圆O相交于A、B 与C、D，则·

PA PB PC PD

⋅=

总结：平面上任意一点对于圆的幂为这个点到圆心的距离与圆的半径的平方差的绝对值。

22

··

PA PB PC PD r OP

==-

222

·

PA PC PD OP r

==-

22

·

PA PB PC PD OP r

⋅==-

例题讲解

【例1】如图，在圆O 中，M 、N 是弦AB 的三等分点，弦CD ，CE 分别经过点M ，N ， 若2CM =，4MD =，3CN =，则线段NE 的长为( )

A ．83

B ．3

C ．103

D ．52

【例2】如题图，圆O 的弦AB ，CD 相交于点E ，过点A 作圆O 的切线与DC 的延长线交于 点P ，若6PA =，9AE =，3PC =，:2:1CE ED =，则BE = ．

【例3】如图，点P 为弦AB 上一点，连接OP ，过P 作PC OP ⊥，PC 交O 于点C ，若 6AP =，3PB =，则PC 的长为( )

A ．4

B ．5

C ．23

D ．32【例4】如图，正方形ABCD 内接于O ，点P 在劣弧AB 上，连接DP ，交AC 于点Q ．若 QP QO =，则QC QA

的值为( )

A ．231

B ．23

C 32

D 32+

【例5】如图，PA 切圆于点A ，直线PCB 交圆于C ，B 两点，切线长42PA =4PC =， 则AB AC

等于( )

A 2

B ．22

C ．2

D ．以上结果都不对 【例6】如图，AT 切O 于T ，若6AT =，3A

E =，4AD =，2DE =，则BC 等于(

)

A ．3

B ．4

C ．6

D ．8

【例7】如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，A 为大圆上任意一点，过A 作小圆的割线 AXY ，若4AX AY ⋅=，则图中圆环的面积为( )

A ．16π

B ．8π

C ．4π

D ．2π

【例8】如图，在ABCD 中，过A 、B 、C 三点的圆交AD 于E ，且与CD 相切．若4AB =， 5BE =，则DE 的长为( )

A ．3

B ．4

C ．154

D ．165

【例9】如图，四边形ABCD 是圆的内接四边形，AB 、DC 的延长线交于点P ，若C 是PD 的中点，且6PD =，2PB =，那么AB 的长为( )

A ．9

B ．7

C ．3

D ．92

【例10】已知：P 为O 外一点，PQ 切O 于Q ，PAB 、PCD 是O 的割线，且

PAC BAD ∠=∠．求证：22PQ PA AC AD -=．

【例11】

圆幂定理是平面几何中最重要的定理之一，它包含了相交弦定理、切割线定理、割线定理以及它们推论，其中切割线定理的内容是：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割

线与圆交点的两条线段长的比例中项．

喜欢思考的天天在了解这个定理之后尝试给出证明，下面是他的部分证明过程：

已知：如图①，点P为O外一点，切线PA与圆相切于点A，割线PBC与圆相交于点B、

C．求证：2

=⋅．

PA PB PC

证明：如图，连接AB、AC、BO、AO，

PA切O于点A，

∠+∠=︒．

PAB BAO

∴⊥，即90

PA AO

⋯

阅读以上材料，完成下列问题：

（1）请帮助天天补充完成以上证明过程；

（2）如图②，割线PDE与圆交于点D、E，且4

PE=，求DE的长．

==，7

PB BC

挑战训练

【挑战训练1】如图，已知：PA切O于A，若AC为O的直径，PBC为O的割线，E 为弦AB的中点，PE的延长线交AC于F，且45

FPB

∠=︒，点F到PC的距离为5，则FC 的长为()