非线性方程组-最速下降法(梯度法)

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最速下降法1.最速下降⽅向函数f(x)在点x处沿⽅向d的变化率可⽤⽅向导数来表⽰。

对于可微函数，⽅向导数等于梯度与⽅向的内积，即：Df(x;d) = ▽f(x)Td,因此，求函数f(x)在点x处的下降最快的⽅向，可归结为求解下列⾮线性规划：min ▽f(x)Tds.t. ||d|| ≤ 1当 d = -▽f(x) / ||▽f(x)||时等号成⽴。

因此，在点x处沿上式所定义的⽅向变化率最⼩，即负梯度⽅向为最速下降⽅向。

2.最速下降算法最速下降法的迭代公式是x(k+1) = x(k) + λkd(k) ,其中d(k)是从x(k)出发的搜索⽅向，这⾥取在x(k)处的最速下降⽅向，即d = -▽f(x(k)).λk是从x(k)出发沿⽅向d(k)进⾏⼀维搜索的步长，即λk满⾜f(x(k) + λkd(k)) = min f(x(k)+λd(k)) (λ≥0).计算步骤如下：(1)给定初点x(1) ∈ Rn，允许误差ε> 0，置k = 1。

(2)计算搜索⽅向d = -▽f(x(k))。

(3)若||d(k)|| ≤ ε，则停⽌计算；否则，从x(k)出发，沿d(k)进⾏⼀维搜索，求λk，使f(x(k) + λkd(k)) = min f(x(k)+λd(k)) (λ≥0).(4)令x(k+1) = x(k) + λkd(k) ，置k = k + 1，转步骤(2)。

共轭梯度法1.共轭⽅向⽆约束问题最优化⽅法的核⼼问题是选择搜索⽅向。

以正定⼆次函数为例，来观察两个⽅向关于矩阵Ａ共轭的⼏何意义。

设有⼆次函数：f(x) = 1/2 (x - x*)TA(x - x*) ,其中A是n×n对称正定矩阵，x*是⼀个定点，函数f(x)的等值⾯1/2 (x - x*)TA(x - x*) = c是以x*为中⼼的椭球⾯，由于▽f(x*) = A(x - x*) = 0，A正定，因此x*是f(x)的极⼩点。

设x(1)是在某个等值⾯上的⼀点，该等值⾯在点x(1)处的法向量▽f(x(1)) = A(x(1) - x*)。

用最速下降法求解无约束非线性规划问题

运筹学实习报告姓名： xxxxxxxxxx 学号： xxxxxxxxxxx 专业班级： xxxxxxxxxxxx 2 0 1 3年 7 月 0 4 日题目：用最速下降法求解无约束非线性规划问题摘要：无约束最优化问题的求解方法分为解析法和直接法两大类。

解析法需要计算函数的梯度，其中最速下降法就属于解析法中的一种。

对于一个无约束非线性规划利用最速下降法求解，首先需要确定其优化方向，此优化方向应该选择为f 在当前点处的负梯度方向，利用一维搜索法找出沿此方向上的最小值及其对应点，此后将该点作为新的出发点重复上述过程，直到达到允许的误差为止。

本文通过理论的计算方法，进一步分析，最后用c++编程实现求出允许误差内的最优解。

此编程可用于计算符合下列形式的函数求最优解过程：f(x)=a[0]x1*x1+a[1]x2*x2+a[2]x1*x2+a[3]x1+a[4]x2+a[5]其中：a[i] (i=0,1,2,3,4,5) 为函数的系数。

本文以“ 李占利主编，中国矿业大学出版社出版”的《最优化理论与方法》第五章 “无约束最优化方法，5.1 最速下降法 ”例5—1为实例，首先利用上述迭代的方法，计算出各迭代点的函数值，梯度及其模。

然后应用c++语言编程，得到在精度范围内的精确最优解。

C++编程计算的最优解为 : T x x ]0329218.0,00823045.0[)3(*-==。

即转化为分数结果为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==412432)3(*x x 。

满足精度要求的模为：1010736154.0||||)3(=<=εp 。

关键词：无约束非线性规划解析法最速下降法梯度模最优解一、算法思想无约束最优化方法中的最速下降法首先需要确定其优化方向，此优化方向应该选择为f 在当前点处的负梯度方向，利用一维搜索法找出沿此方向上的最小值及其对应点，此后将该点作为新的出发点重复上述过程，直到达到允许的误差为止。

梯度下降优化算法

梯度下降优化算法综述,梯度下降法梯度下降法是什么？梯度下降法（英语：Gradientdescent）是一个一阶最优化算法，通常也称为最陡下降法。

要使用梯度下降法找到一个函数的局部极小值，必须向函数上当前点对应梯度（或者是近似梯度）的反方向的规定步长距离点进行迭代搜索。

如果相反地向梯度正方向迭代进行搜索，则会接近函数的局部极大值点；这个过程则被称为梯度上升法。

梯度下降一般归功于柯西，他在1847年首次提出它。

Hadamard在1907年独立提出了类似的方法。

HaskellCurry在1944年首先研究了它对非线性优化问题的收敛性，随着该方法在接下来的几十年中得到越来越多的研究和使用，通常也称为最速下降。

梯度下降适用于任意维数的空间，甚至是无限维的空间。

在后一种情况下，搜索空间通常是一个函数空间，并且计算要最小化的函数的Fréchet导数以确定下降方向。

梯度下降适用于任意数量的维度（至少是有限数量）可以看作是柯西-施瓦茨不等式的结果。

那篇文章证明了任意维度的两个向量的内（点）积的大小在它们共线时最大化。

在梯度下降的情况下，当自变量调整的向量与偏导数的梯度向量成正比时。

修改为了打破梯度下降的锯齿形模式，动量或重球方法使用动量项，类似于重球在被最小化的函数值的表面上滑动，或牛顿动力学中的质量运动在保守力场中通过粘性介质。

具有动量的梯度下降记住每次迭代时的解更新，并将下一次更新确定为梯度和前一次更新的线性组合。

对于无约束二次极小化，重球法的理论收敛速度界与最优共轭梯度法的理论收敛速度界渐近相同。

该技术用于随机梯度下降，并作为用于训练人工神经网络的反向传播算法的扩展。

梯度下降算法是指什么神经网络梯度下降法是什么?梯度下降法是一个最优化算法，通常也称为最速下降法。

最速下降法是求解无约束优化问题最简单和最古老的方法之一，虽然现已不具有实用性，但是许多有效算法都是以它为基础进行改进和修正而得到的。

最速下降法是用负梯度方向为搜索方向的，最速下降法越接近目标值，步长越小，前进越慢。

非线性规划理论和算法

非线性最优化理论与算法第一章引论本章首先给出了一些常见的最优化问题和非线性最优化问题解的定义，并且根据不同的条件对其进行了划分。

接着给出了求解非线性优化问题的方法，如图解法等，同时又指出一个好的数值方法应对一些指标有好的特性，如收敛速度与二次终止性、稳定性等。

随后给出了在非线性最优化问题的理论分析中常用到的凸集和凸函数的定义和有关性质。

最后给出了无约束优化最优性条件。

第二章线搜索方法与信赖域方法无约束优化的算法有两类，分别是线搜索方法和信赖域方法。

本章首先给出了两种线搜索方法即精确线搜索方法和非精确线搜索方法。

线搜索方法最重要的两个要素是确定搜索方向和计算搜索步长，搜索步长可确保下降方法的收敛性，而搜索方向决定方法的收敛速度。

精确线搜索方法和非精确线搜索方法对于精确线搜索方法，步长ακ满足αk=arg minƒx k+αd kα≥0这一线搜索可以理解为αk是f(x k+αd k)在正整数局部极小点，则不论怎样理解精确线搜索，它都满足正交性条件：d k T∇ƒ(x k+αk d k)=0但是精确搜索方法一般需要花费很大的工作量，特别是当迭代点远离问题的解时，精确的求解问题通常不是有效的。

而且有些最优化方法，其收敛速度并不依赖于精确搜索过程。

对于非精确搜索方法，它总体希望收敛快，每一步不要求达到精确最小，速度快，虽然步数增加，则整个收敛达到快速。

书中给出了三种常用的非精确线搜索步长规则，分别是Armijo步长规则、Goldstein步长规则、Wolfe步长规则。

第一个步长规则的不等式要求目标函数有一个满意的下降量，第二个不等式控制步长不能太小，这一步长规则的第二式可能会将最优步长排除在步长的候选范围之外，也就是步长因子的极小值可能被排除在可接受域之外。

但Wolfe步长规则在可接受的步长范围内包含了最优步长。

在实际计算时，前两种步长规则可以用进退试探法求得，而最后一种步长规则需要借助多项式插值等方法求得。

最速下降法原理及例题实例

−1 1
=
G
αk
=
g1d1 + g2d2 3d12 + d22 − 2d1d2
[ ] [ ] 取 X (1) = (0, 0)T ，则 ∇f ( X (1) ) = −2, 0 T ，所以 d (1) = −∇f ( X (1) ) = 2, 0 T ，
因此
α1
=
22 3× 22
=
1 3
[ ] [ ] X (2) = X (1) + α1d (1) =
=
1 + 4x1 + 2x2 −1+ 2x1 + 2x2
∂(x2 )
∇f
(X
(1) )
=
1 −1
令搜索方向 d (1)
=
−∇f
(X
(1) )
=
−1 1
再从
X
(1) 出发，沿
d (1) 方向作一维寻优，令
步长变量为 λ
，最优步长为 λ1 ，则有
X
(1)
+
λd (1)
=
0 0
+
λ
−1 1
min f ( X ) = (x1 − 2)4 + (x1 − 2x2 )2
其中 X = (x1, x2 )T ，要求选取初始点 X 0 = (0, 3)T ，终止误差 ε = 0.1.
解：因
∇f ( X ) = [4(x1 − 2)3 + 2(x1 − 2x2 ), −4(x1 − 2x2 )]T
∇f (x∗ ) = 0源自(二)最速下降法的基本思想和迭代步骤
最速下降法又称为梯度法，是 1847 年由著名数学家 Cauchy 给出的。他是解析法中最古老的一种，其他解析方法或是它的变形，或是受它的启发而得到的，因此它是最优化方法的基础。

matlab 最速下降迭代路径

一、Matlab最速下降迭代路径介绍Matlab是一款强大的数学软件工具，其中包含了各种数学工具箱，用于解决不同领域的数学问题。

最速下降迭代路径是其中的一个重要工具，用于求解非线性方程组或最优化问题。

二、最速下降迭代路径原理1.首先介绍最速下降法的思想：即在迭代过程中，每次选取下降方向时选择负梯度方向，使得目标函数值下降最快。

2.最速下降法的迭代公式：x^(k+1) = x^k - α * ∇f(x^k)，其中x^k 为迭代的当前点，α为步长，∇f(x^k)为目标函数在x^k点的梯度。

三、Matlab中最速下降迭代路径的函数及使用方法1.在Matlab中，可以使用fminunc函数来实现最速下降迭代路径。

其用法为[fval, x] = fminunc(fun, x0, options)，其中fun为目标函数的句柄，x0为迭代的初始点，options为优化选项。

2.在使用fminunc函数时，需注意定义目标函数的句柄，并设定合适的初始点和优化选项，以确保得到准确的最速下降迭代路径。

四、最速下降迭代路径的应用实例以一个简单的非线性方程组为例：f(x) = x^2 + 2y^2，其中目标是求解该方程组的最小值。

通过Matlab最速下降迭代路径，可以求解该方程组的最小值点。

五、总结与展望最速下降迭代路径是一种常用的非线性方程组求解方法，Matlab中的fminunc函数提供了便捷的实现途径。

今后，我们可以进一步深入研究不同类型问题下的最速下降迭代路径，并探索更多有效的数值计算方法。

以上是关于Matlab最速下降迭代路径的简要介绍，希望能为您提供一些帮助。

感谢阅读！最速下降迭代路径是一种常用的优化方法，广泛应用于解决非线性方程组和优化问题。

在Matlab中，最速下降迭代路径的实现通过fminunc函数来完成。

在本文中，我们将进一步探讨最速下降迭代路径的原理、Matlab中的具体使用方法以及其应用实例。

让我们更深入地了解最速下降迭代路径的原理。

非线性方程组-最速下降法（梯度法）

⾮线性⽅程组-最速下降法（梯度法）梯度法（⼜名,最速下降法）(该法总可以收敛，但是，在接近真解时收敛的速度会放慢。

) 梯度法⼜称为最速下降法，⽤于求解实系数⾮线性⽅程组12(,,,)0,1,2,,i n f x x x i n== （7－15）的⼀组根。

梯度法⾸先是定义⼀个⽬标函数212121(,,,)(,,,)nn i n i x x x f x x x =Φ=∑（7－16）使⽬标函数21nii f =Φ=∑达到最⼩的12,,,n x x x 是我们寻找的⼀组解，这是⾮线性最⼩⼆乘法问题。

如果第(0,1,2,)k k = 步求得⼀组解12,,,nk k k x x x ，使得12(,,,)n k k kx x x εΦ< （7－17）则认为12,,,nk k k x x x 是原⽅程组满⾜⼀定精度的()ε要求的⼀组解。

梯度法的计算过程是：（1）先给定⼀组不全为零的初值12000,,,nx x x ，第k 步的⼀组根为12,,,nk k kx x x ；（2）计算⽬标函数12(,,,)nk k k x x x Φ的值；(单独⼦程序:fn =TargetFunction)（3）若12(,,,)nk k k x x x εΦ< ，则认为12,,,nk k k x x x 是满⾜⼀定精度()ε的⼀组解，否则，作如下修正计算1α+=?Φ=-?iki ik k ki ix x x x x （7－18）其中121212*********1111222(,,,)(,,,)(,,,)(,,,)(,,,)(,,,)(,,,)*,1,2,,α==?Φ=Φ ? ?Φ+-Φ?Φ=??Φ+-Φ?Φ=Φ+-Φ?Φ===∑ n kj jn n n n n n k k kkn j j x x k k k k k kk k k k k k k k k k k kn n nki i x x x x x h x x x x x x h x x h x x x x x h x x x h x x x x h h H x i n（7－19）H 为控制收敛的常数，通常选为（10－5～10－6），收敛精度ε选为（10－6～10－8）。

非线性最优化计算方法与算法

毕业论文题目非线性最优化计算方法与算法学院数学科学学院专业信息与计算科学班级计算1201学生陶红学号20120921104指导教师邢顺来二〇一六年五月二十五日摘要非线性规划问题是一般形式的非线性最优化问题。

本文针对非线性规划的最优化问题进行方法和算法分析。

传统的求解非线性规划的方法有最速下降法、牛顿法、可行方向法、函数逼近法、信赖域法，近来研究发现了更多的求解非线性规划问题的方法如遗传算法、粒子群算法。

本文对非线性规划分别从约束规划和无约束规划两个方面进行理论分析。

利用最速下降法和牛顿法两种典型算法求解无约束条件非线性规划问题，通过MATLAB程序求解最优值，探讨其收敛性和稳定性。

另外给出了阻尼牛顿法，探讨其算法的收敛性和稳定性，求解无约束非线性规划比牛顿法的精确度更高，收敛速度更快。

惩罚函数是经典的求解约束非线性的方法，本文采用以惩罚函数法为核心的遗传算法求解有约束条件非线性规划问题，通过MATLAB程序求解最优值，探讨其收敛性和稳定性。

并改进遗传算法，给出适应度函数，通过变换适应度函数，提高算法的收敛性和稳定性。

关键词：非线性规划；最速下降法；牛顿法；遗传算法ABSTRACTNonlinear programming problem is the general form of the nonlinear optimization problem. In this paper, we carry on the analysis of the method and algorithm aiming at the optimization problem of nonlinear programming. The traditional methods of solving nonlinear programming problems include steepest descent method, Newton method, the feasible direction method, function approximation method and trust region method. Recent studies found more method of solving nonlinear programming problems, such as genetic algorithm, particle swarm optimization (pso) algorithm. In this paper, the nonlinear programming is analyzed from two aspects: the constraint programming and the unconstrained programming.We solve unconstrained condition nonlinear programming problem by steepest descent method and Newton's method, and get the optimal value through MATLAB. Then the convergence and stability are discussed. Besides, the damped Newton method is furnished. By discussing the convergence and stability of the algorithm, the damped Newton method has higher accuracy and faster convergent speed than Newton's method in solving unconstrained nonlinear programming problems.Punishment function is a classical method for solving constrained nonlinear. This paper solves nonlinear programming problem with constraints by using genetic algorithm method, the core of which is SUMT. Get the optimal value through MATLAB, then the convergence and stability are discussed. Improve genetic algorithm, give the fitness function, and improve the convergence and stability of the algorithm through transforming the fitness function.Key words：Nonlinear Programming; Pteepest Descent Method; Newton Method; GeneticAlgorithm目录摘要 (I)ABSTRACT .......................................................................................................................... I I 1 前言 .. (4)1.1 引言 (4)1.2 非线性规划的发展背景 (5)1.3 国内外研究现状 (5)1.4 研究主要内容及研究方案 (6)1.4.1 研究的主要内容 (6)1.4.2 研究方案 (6)1.5 研究难点 (7)2 预备知识 (8)2.1 向量和矩阵范数 (8)2.1.1 常见的向量范数 (8)2.1.2 谱范数 (9)2.2符号和定义 (9)2.3 数值误差 (10)2.4 算法的稳定性 (10)2.5 收敛性 (12)3 非线性规划模型 (13)3.1 非线性规划模型 (13)3.2 无约束非线性规划 (14)3.2.1 最速下降法 (16)3.2.2 牛顿法 (18)3.2.2 阻尼牛顿法 (18)3.3 约束非线性规划 (20)3.3.1 惩罚函数法 (21)3.3.2 遗传算法 (21)3.3.3 自适应遗传算法 (22)结论 (26)参考文献 (27)致谢 (28)附录 (29)1 前言1.1 引言我们知道最优化是一门很古老的求极值问题，最优化在求解线性规划，非线性规划，随机规划，多目标规划，非光滑规划，整数规划，几何规划等方面研究得到迅速发展。

最速下降法原理及例题实例

一、最速下降法基本原理
(一) 无约束问题的最优性条件
无约束问题的最优解所要满足的必要条件和充分条件是我们设计算法的依据，为此我们有以下几个定理。定理 1 设 f : R → R 在点 x ∈ R 处可微。若存在 p ∈ R ，使
n 1 n n
∇f ( x )T p < 0
则向量 p 是 f 在点 x 处的下降方向。定理 2 设 f : R n → R1 在点 x∗ ∈ R n 处可微。若 x∗ 是无约束问题的局部最优解，则
令再求单变量极小化问题
p1 = −∇f ( X 1 ) min f ( X 1 + tp1 )
t ≥0
的最优解.略去计算步骤，由表 1-1 给出计算结果.由表 1-1 可以知道， ∇f ( X ) = 0.09 < ε ，所以
7
X 7 = (2.28,1.15)T 为近似最优解，原问题的近似最优值为 0.007 .
T T
α1 =
因此
22 1 = 2 3× 2 3
X ( 2) = X (1) + α1d (1) = [0, 0] +
T
1 2 T ,0 [ 2, 0] = 3 3
T
再计算第二轮循环，表 1-2 列出了各次迭代的计算结果。共计算了 9 个点， ∇f ( X
(9)
) = 0.025 <
表 1-1 迭代次数k
Xk (0.00,3.00)T (2.70,1.51)T (2.52,1.20)T (2.43,1.25)T (2.37,1.16)T (2.33,1.18)T (2.30,1.14)T (2.28,1.15)T
f (X k ) 52.00

最速下降法

n

收敛性问题的基本概念最速下降法的迭代原理最速下降法的迭代步骤最速下降法的举例最速下降法的收敛结论
Байду номын сангаас
无约束问题4-4
1.收敛性问题的基本概念定义4-9
(k )
min f ( X ) n
X R
若序列 { X }，对于 0 ，存在正整数 N ( ),
(k ) (k ) k N 时，有 X X ，即 X X 0, 当 k
2.迭代原理 min f ( X ) X R
n
1 0 0 min f ( X 0 p 0 ) f ( X 0 0 p 0 ), X X 0 p X , p f ( X ), 0 1 1 1 1 1 min f ( X 1 p1 ) f ( X 1 p ), X 2 X 1 1 p1 X , p f ( X ), 0 k 1 k k k k k min f ( X k p k ) f ( X k k p k ), X X k p X , p f ( X ), 0
X (k ) X
X ( k 1) X
X ( k 2) X
X ( k 3) X
X ( k 4) X
0.1
0.09
0.05
0.02
0.01
无约束问题4-4
1.收敛性问题的基本概念定义4-10
若 X ( k ) X k 0,
( ) ( f ( X ) p )0 充分小时 0 结论： f ( X ( k ) )T p( k ) 0 时，p(k)是 f (X)在X(k) 处的下降方向。当
(k ) T (k )

非线性规划问题的数学算法设计与优化

非线性规划问题的数学算法设计与优化引言：非线性规划是数学优化领域中的一个重要分支，它研究的是在约束条件下寻找目标函数的最优解。

与线性规划相比，非线性规划问题更加复杂，因为它涉及到非线性函数的优化。

为了解决这类问题，数学家们提出了许多有效的算法，并不断进行改进和优化。

本文将介绍几种常见的非线性规划算法，并探讨它们的优化方法。

一、梯度下降法梯度下降法是一种常用的非线性规划算法，它通过迭代的方式逐步优化目标函数。

该算法的基本思想是沿着目标函数的负梯度方向进行搜索，直到找到最优解为止。

梯度下降法的优化过程可以分为两个步骤：计算目标函数的梯度和更新参数。

在计算梯度时，可以使用数值方法或者解析方法，具体选择取决于问题的复杂程度和计算效率的要求。

在更新参数时，可以采用固定步长或者自适应步长的方式，以控制搜索的速度和精度。

二、牛顿法牛顿法是一种经典的非线性规划算法，它利用目标函数的二阶导数信息进行搜索。

该算法的核心思想是通过构造二次逼近模型来近似目标函数，并求解该模型的最优解。

牛顿法的优化过程可以分为三个步骤：计算目标函数的一阶导数、二阶导数和更新参数。

在计算导数时，可以使用数值方法或者解析方法，具体选择取决于问题的复杂程度和计算效率的要求。

在更新参数时，可以采用精确求解或者近似求解的方式，以控制搜索的速度和精度。

三、拟牛顿法拟牛顿法是一种改进的非线性规划算法，它通过构造目标函数的拟牛顿方程来近似目标函数的二阶导数。

该算法的基本思想是利用历史搜索信息来更新参数，并通过迭代的方式逐步优化目标函数。

拟牛顿法的优化过程可以分为四个步骤：计算目标函数的一阶导数、构造拟牛顿方程、求解拟牛顿方程和更新参数。

在构造拟牛顿方程时，可以使用不同的方法，例如DFP方法、BFGS方法等，以逼近目标函数的二阶导数。

在求解拟牛顿方程时，可以采用精确求解或者近似求解的方式，以控制搜索的速度和精度。

四、全局优化方法除了上述的局部优化方法，全局优化方法也是解决非线性规划问题的一种重要途径。

解非线性函数方程的最速下降法

解非線性函數方程的最速下降法
最速下降法是一種用於求解非線性函數方程的最優化算法，它可以有效地搜索全域最小值。

它的基本思想是：每次迭代都將函數沿着梯度的反方向更新，使其朝著最小值的方向前進，直到收斂為止。

最速下降法的步驟如下：
1. 初始化起始點：設定起始點x_0，並將其設置為最小值的初始估計值。

2. 計算梯度：計算在該點的梯度g，梯度是函數在該點的偏導數向量。

3. 更新點：沿著梯度的反方向更新點，更新公式為x_i+1=x_i-αg，α是步長，用於控
制步驟大小。

4. 重複2-3步，直到收斂為止。

解非线性方程组的全局收敛方法(ⅱ)

解非线性方程组的全局收敛方法(ⅱ)
非线性方程组是解决复杂问题的重要手段，其中的一个重要环节是获取全局收敛的方法。

全局收敛是指一个有效的求解方法在有限的步骤后得到的收敛结果必定是方程组的解（最
优解），而不会受局部最优解影响。

常见的全局收敛方法包括：
1. 全局梯度下降法：该法是通过迭代梯度，在每一步中，根据当前点处函数的梯度值，
搜索函数下降最快的方向，最终获取全局最优解。

2. 全局拟牛顿法：该法类似梯度下降法，但是引入了海森矩阵的概念，增加了搜索的可
靠性，可以加快函数的下降速度，最终获取全局最优解。

3. 全局平衡混合梯度方法：该方法借用了平衡理论，通过约束部分变量，把约束条件混
合到梯度下降法中，可以控制搜索的步长，从而获取全局最优解。

4. 全局混合型粒子群算法：该方法基于粒子群算法，把解的搜索范围划分为多个“密度高、稳定性强”的区域，不断寻找每个区域的最优解，从而获取全局最优解。

以上就是常见的几种非线性方程组的全局收敛方法，应用在实践中，需要根据不同的问题，选择恰当的方法，及时调整搜索步长，以最短时间获取最优结果。

非线性规划

标函数曲线上的3点 (x1 f1) (x2 f2) (x3 f3) 作为二次插值
多项式 p(x) ax2 bx c 的插值结点。这里a b c为待定系数.可用下述线形方程组确定.
p(x1 ) ax12 bx1 c f1
p(x2 )

axBiblioteka 2 2 bx2c

f2
p(x3 ) ax32 bx3 c f3
x1 a
计算函数值
x3 x3 b
x2

1 2
( x1

x3 )
f1 f (x1) f2 f (x2 ) f3 f (x3 )
ⅲ插值计算
x
* p
(a)若分母为零即 (x2 x3 ) f1 (x3 x1) f2 (x1 x2 ) f3 0 即
f2 f1 f3 f1 则说明三个插值点(x1, f1) (x2, f2 ) (x3, f3)在同一
向量化表示
令
g( x) ( g1 ( x),..., g p ( x))T
h( x) (h1 ( x),..., hp ( x))T ，
其中， g : R n R p , h : R n Rq ，那么(MP)可简记为
min f ( x)

s.t .

g(x) 0 或者min f ( x) x X
x b 2a
x*p

1 2
(x22 x32 ) f1 (x32 x12 ) f2 (x12 x22 ) f3 (x2 x3 ) f1 (x3 x1 ) f2 (x1 x2 ) f3
c1

f3 x3
f1 x1

最速下降法收敛阶

最速下降法收敛阶
最速下降法是一种经典的优化算法，它可以在短时间内找到函数的最佳解。

但是，最速下降法的求解效率与收敛速度也成为该算法应用的瓶颈之一，因此提高最速下降法的收敛阶对于优化算法的发展也是至关重要的。

下面将介绍最速下降法的收敛阶。

1. 最速下降法简介
最速下降法是一种基于负梯度方向的优化算法。

它的基本思想是沿着函数的梯度方向，不断地迭代寻找函数的最小值。

最速下降法在求解非线性方程和非线性规划问题中应用非常广泛。

2. 最速下降法的收敛阶
最速下降法的收敛阶决定了该算法求解的速度和效率。

当最速下降法的迭代次数 n 趋近于无穷大时，其收敛误差的下限为 O(1/n) 或O(1/n^2)，称为一阶或二阶收敛。

具体来说，当最速下降法的收敛阶为一阶时，其收敛速度较慢，迭代次数需要很大才能达到期望的精度。

而当最速下降法的收敛阶为二阶时，其收敛速度较快，收敛精度达到期望的精度所需要的迭代次数会大大减少。

3. 最速下降法收敛阶的提高
为了提高最速下降法的收敛阶，有些学者提出了一些改进方法，例如共轭梯度法、Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno (BFGS) 算法等。

通过这些改进方法，可以在保证算法求解精度的前提下，加速最速下降法的求解速度。

4. 结语
最速下降法作为一种基础的优化算法，其收敛阶的提高是优化算法发展的一个重要方向。

通过改进算法的迭代方式和步长来提高算法的收敛性能，可以更快地求解非线性方程和非线性规划问题。

梯度类算法

梯度类算法介绍梯度类算法是机器学习中一类常用的优化算法，用于求解目标函数的最优解。

该算法以梯度为基础，通过迭代更新模型参数，逐步优化模型的准确性和性能。

梯度类算法广泛应用于回归问题、分类问题等多个领域，并在深度学习中得到了广泛的应用。

主要梯度类算法1. 梯度下降法（Gradient Descent）梯度下降法是一种常用的优化算法，通过迭代更新模型参数，使目标函数最小化。

其主要思想是根据目标函数的梯度方向，逐步向最陡峭的下降方向移动，直至达到极小值点。

梯度下降法有批量梯度下降法（Batch Gradient Descent）和随机梯度下降法（Stochastic Gradient Descent）两种形式。

批量梯度下降法批量梯度下降法在每一次迭代中使用所有的训练样本来计算梯度，并更新模型参数。

该方法保证了每一次迭代都能朝着全局最优解的方向前进，但计算量较大。

随机梯度下降法随机梯度下降法在每一次迭代中只使用一个样本来计算梯度，并更新模型参数。

该方法具有计算速度快的优点，但由于随机选择样本，可能导致朝着局部最优解的方向前进。

2. 最速下降法（Steepest Descent）最速下降法是一种基于梯度的优化算法，用于求解无约束问题的最优解。

该算法通过计算梯度方向和步长，逐步迭代向最陡峭的下降方向移动。

最速下降法的关键步骤是确定步长，常用的方法有精确线搜索和回溯线搜索。

3. 共轭梯度法（Conjugate Gradient）共轭梯度法是一种迭代的最优化算法，用于求解对称正定系统的线性方程组。

该算法通过构造一组共轭的搜索方向，逐步迭代更新模型参数，直至达到最优解。

共轭梯度法的收敛速度较快，尤其在求解大规模线性方程组时具有优势。

4. 牛顿法（Newton’s Method）牛顿法是一种基于二阶导数的优化算法，用于求解非线性方程和最优化问题。

该算法通过构造二阶导数矩阵的逆，优化目标函数的二次近似。

牛顿法的收敛速度较快，但对于高维大规模问题，计算复杂度较高。

基于梯度法的PN结数值计算

第22卷第4期衡水学院学报 Vol. 22, No.4 基于梯度法的PN 结数值计算任洪波，孟令辉（衡水学院电子信息工程学院，河北衡水 053000）摘要：描述半导体PN 结特性的方程为一组非线性方程，又称为泊松方程。

梯度法是一种有效求解非线性方程的数值方法，将其应用于求解实际的物理问题，如PN 结特性方程，有助于加深对物理概念的理解。

推导了梯度法的一般原理，并通过将泊松方程线性化，成功应用梯度法求解了PN 结的内建电场，电位，平衡载流子浓度等参数沿结方向的分布。

进一步研究了外加偏压和掺杂浓度等参数对PN 结特性的影响。

数值结果表明，采用梯度法求解玻尔兹曼方程比牛顿迭代法精度更高。

梯度法在求解非线性方程组所描述的半导体PN 结问题上是可行的。

关键词：半导体；PN 结；梯度法；数值计算DOI ：10.3969/j.issn.1673-2065.2020.04.003作者简介：任洪波（1975－），男，河北枣强人，助理实验师；孟令辉（1985－），男，河北武邑人，实验师。

中图分类号：O475 文献标识码：A 文章编号：1673-2065(2020)04-0012-04收稿日期：2020-03-31随着集成电路的规模越来越大，对半导体行为的仿真计算也变得越来越重要。

半导体所遵循的方程组一般由泊松方程、电荷连续性方程等方程组成。

其中，泊松方程为一组非线性方程，在求解时需要采用数值方法将其线性化再求解，一般采用牛顿迭代法进行处理[1]。

泊松方程反映了PN 结中个坐标处电势分布与电荷密度的关系，在整个求解过程中至关重要。

在PN 结的求解中一般选取电势、载流子浓度n 、p 作为变量[2]。

一般采用有限差分法通过差分方程替换偏微分方程的方式，得到各变量间的函数关系，给定一组初值和边界条件进行迭代求解[3]。

这样就把求解PN 结的电势、载流子浓度的物理问题转变成了求解方程组根的数学问题。

笔者研究了梯度法求解非线性方程组的可行性，并将其应用于求解PN 结中各参数分布。