双折射现象的电磁理论分析

目录摘要 (1)Abstract (1)1 引言 (1)2 光的双折射 (2)2.1 双折射现象 (2)2.2 双折射的基本规律 (2)2.3 晶体的各向异性 (3)3 理论基础 (3)3.1 麦克斯韦方程组 (3)3.2 晶体中的介电张量和物质方程 (4)3.3 电磁场的能量密度和能流密度 (5)4 晶体中的单色平面电磁波 (6)4.1 波动表达式 (6)4.2 磁场能量密度和电场能量密度 (6)4.2 E、D、S之间的关系 (7)5 各向异性晶体中光线速度方程 (8)6 各向异性晶体中的波面 (8)7 双折射和线偏振 (9)8 结论 (10)参考文献 (11)双折射现象的电磁理论分析摘要：晶体的双折射现象，是晶体在光学上的各向异性。

晶体对不同方向上的光振动表现出不同性质。

本文从双折射的基本规律，基本理论说起，接着介绍晶体中的单色平面电磁波的性质，最后从双折射和线偏振的比较，说明各向异性晶体为什么会产生双折射，双折射的光为什么都是线偏振光。

关键词：电磁理论；各向异性晶体；双折射；线偏振The Analysis of Double Refraction Phenomena byElectromagnetic TheoryAbstract：Crystal birefringence phenomenon, is the lens on the optical anisotropy. Crystal light vibration exhibit different properties of different direction. This article from the basic laws of double refraction, basic theory, then describes the nature of the monochromatic plane waves in crystals, from the comparison of birefringence and linear polarization, explains why produces birefringence of anisotropic crystals, why the double refraction of light is the linear polarized light.Key words：electromagnetic theory；anisotropic crystal；double refraction；linear polarization.1引言各向异性晶体(如冰洲石、云母等)的基本光学现象是双折射和线偏振，即一束入射光线一般会在各向异性晶体内产生两束折射光线，而且这两束折射光线都是线偏振光。

光是电磁波，用电磁理论能够说明为什么会出现上述现象[1-3]，本文就试图用电磁理论分析上述两种现象。

图1.双折射现象2光的双折射2.1双折射现象取一块冰洲石（方解石的一种，化学成分是碳酸钙），放在一张有字的纸上，我们将会看到有双重的像。

平常我们把一块玻璃放在一张带字的纸上只能看到一个像。

从冰洲石上看但得像要比实际的物体浮起了一点，这是因为光的折射引起的，折射率越大浮起的高度越大。

我们可以看到，在冰洲石内的两个像浮起的高度是不同的，这表明，光在这种晶体内成了两束，他们的折射率不同。

这种现象叫做双折射[4]。

2.2 双折射的基本规律2.2.1 o光和e光如图2所示，让平行的自然光束正入射在冰洲石晶体的一个表面上，我们就会发现光束分解为两束。

按照光的折射定律，正入射时光线不应该偏折。

而上述的两束光的一束在晶体内沿原方向传播，另一束却偏离了原来的方向，后者显然是违反了普通的折射定律。

进一步对各种入射方向进行研究，结果表明，晶体内的两条折射线中的一条总是符合普通的折射定律，另一条却总是违反它。

所以晶体内的前一条叫寻常光（简称o光），后一条折射线叫非常光（简称e光）[5]。

应当注意，这里所谓的o光和e光，只在双折射晶体的内部才有意义，射出晶体以后，就无所谓了o光和e光。

图2.o光和e光及其偏振状态的演示2.2.2 晶体的光轴在冰洲石中存在着一特殊的方向，光线沿这个方向传播时o光和e光不分开，这个特殊的方向称为晶体的光轴为了说明光轴的方向我们稍详细的研究一下冰洲石的晶体。

冰洲石是天然的晶体，如图3所示，它呈平行六面体状，每个表面都是平行四边形，它的一对锐角约为078，一对钝角约为0102。

大家可以看出每三个表面汇合成一个顶点，在八个顶点中有彼此对着的两个顶点是由三个钝角面汇合而成的。

通过这样的顶点并与三个界面成等角的直线方向，就是冰洲石晶体的光轴方向[6]。

晶体中任何与上述直线平行的直线，都是光轴。

光轴代表晶体中的一个特定方向。

图3.冰洲石的光轴2.2.3 主截面光线沿某晶体的界面入射，此界面的法线与晶体的光轴组成平面，成为主截面。

当入射线在主截面内，即入射面与主截面重合时，两折射线皆在入射面内。

否则，非常光可能不在入射面内[7]。

2.3晶体的各向异性晶体的双折射现象，是晶体在光学上的各向异性，晶体对不同方向上的光振动表现出不同性质。

从光的电磁理论观点来看，晶体的这种性质是光波电磁场与晶体相互作用的结果。

晶体在光学上的各向异性，实质上是晶体与入射光电磁场相互作用的各向异性[8-9]。

物质在外界电磁场作用下将发生极化，如物质结构本身呈现各向异性，则物质的极化也是各向异性的，总之，对于不同的外场方向，晶体中产生的附加电偶极矩是不同的，即极化与外场方向有关。

3理论基础3.1麦克斯韦方程组光波是电磁波的一种．光波在物质中的传播过程可用麦克斯韦方程组和物质方程来描述。

与自由电荷密度ρ，自由电流密度j 都无关，所以描述光的麦克斯韦方程组为[10]：t∂∇⨯=-∂B E (1)0∇⋅=D (2) t∂∇⨯=∂D H (3)∇⋅=B (4)光波能量的传播方向是沿着引起视觉效应或其他光化学效应的方向，对人的眼睛或感光仪器起作用的是电场强度矢量E[10]，所以光线方向实际上就是电场强度矢量E 的传播方向。

波矢k 的方向代表波动的形式或者说振动相位的传播方向，它始终垂直于波阵面(即等相面)。

由麦克斯韦方程式t∂∇⨯=∂D H ，可看出介质中的电磁波不仅包含电磁场的运动，还应包含束缚电子的运动，可以说这种电磁波的状态(相位)，应由D 的状态来表示，所以波矢量k 的方向实际上就是电位移矢量D 的传播方向。

3.2 晶体中的介电张量和物质方程在各向同性的线性介质中，电位移矢量D 与电场强度矢量E 之间是一简单的比例关系ε=⋅D E ，此式表明在各向同性介质中，D 与E 的方向总是一致的，D 与E 的关系被一线性方程组所反映这可用矩阵表示出111213112212223233313233 D E D E D E εεεεεεεεε⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ (5) 其中11ε,12ε,13ε……9个矩阵元构成了介质的介电张量，它反映了各向异性介质的电学性能。

晶体中总存在3个互相正交的特殊方向(x ，y ，z)，使得介电张量“对角化”，即111222323 0 00 0 0 0 D E D E D E εεε⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦(6) 这3个方向称为晶体的主轴方向，主轴方向由晶格的结构确定[11]。

因此，用主轴坐标系，ε可以表示为111222333εεε=++εe e e e e e (7)式(7)中1ε，2ε，3ε称为主电容率。

1e 2e 3e 则是主轴坐标系的基矢．即ε是二阶对称张量，因此，对于各向异性晶体来说，在线性光学范围内，物质方程为：=⋅D εE(8) 0μ=B H(9)式(8)中ε是电容率张量，0μ是真空磁导率。

(7) (8)式表明，除3个主轴方向外，各向异性晶体内D 与E 不同向，这就是电的各向异性。

(8)式中，各向异性晶体的磁导率μ在可见光范围内等于真空磁导率0μ[11]。

由(8)(9)式可见，各向异性晶体的基本光学现象来源于电的各向异性，而不是磁的各向异性。

对于某些特殊的介质，介电张量中可以有两个元素相等，如12εεε⊥==，3εε⊥≠则(6)式可表为333D E ε= (10) D E ε⊥⊥⊥= (11)式中D ⊥和E ⊥表示垂直于z 轴的分量。

这种介质有一个特殊的坐标方向（z 轴)，单轴晶体就是这种介质，这个特殊的方向就是光轴。

由(3)(4)式看出：在单轴晶体中若D 只有3D 分量或D ⊥分量，则D 与E 平行，这种情况与各向同性介质质相似。

若D 同时有两种分量，则D 与E 不平行，呈现出各向异性介质的特点[12]。

3.3 电磁场的能量密度和能流密度根据电磁场的能量守恒定律和麦克斯韦方程组，电磁场的能量密度w 和能流密度S分别为1()2w =⋅+⋅E D H B (12)w =⨯=S E H u(13)式(13)中u 是电磁场能量流动的速度。

电磁场的能量密度w 是它的电场能量密度e w 与磁场能量密度m w 之和，e w 和m w 分别为[10]12e w =⋅D E (14) 12m w =⋅H B (15)4晶体中的单色平面电磁波4.1 波动表达式考虑在各向异性晶体中传播的最简单的光，单色平行光，它就是单色平面电磁波，其表达式为[13]：()0i t eω⋅-=k r E E (16)()0i t e ω⋅-=k r D D (17) ()0i t e ω⋅-=k r H H (18)式(16) (17) (18)中0E 0D 0H 是与地点和时间都无关的常矢量，k 是波矢量，ω是圆频率，B 由(9) (18)式给出。

4.2 磁场能量密度和电场能量密度由式(1)(9)(16)(18)式得()()00[][]i t i t eeωω⋅-⋅-∇⨯=∇⨯=∇⨯k r k r E E E()0000()i t ei i ttωμμωμ⋅-∂∂=⨯=-=-=∂∂k r H k E H H(19)由此得1ωμ=⨯H k E(20)由(3)(17)式得()()00[][]i t i t eei i tωωω⋅-⋅-∂∇⨯=∇⨯=∇⨯=⨯==-∂k r k r D H H H k H D(21)由此得1ω=-⨯D k H (22)由(14)(22)式得12()e w ω=⋅=-⋅⨯E D E k H (23)由(15)(20)式得12()m w ω=⋅=-⋅⨯H B H k E (24)由矢量运算等式()()()⋅⨯=⨯⋅=-⋅⨯H k E H k E E k H(25)可得12ww w m e == (26) 这表明各向异性晶体中单色平行光的磁场能量密度和电场能量密度相等。