与球有关的切、接问题(有答案)

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与球有关的切、接问题

1．球的表面积公式：S ＝4πR 2；球的体积公式V ＝43

πR 3

2．与球有关的切、接问题中常见的组合：

(1)正四面体与球：如图，设正四面体的棱长为a ，内切球的半径为r ，

外接球的半径为R ，取AB 的中点为D ，连接CD ，SE 为正四面体的高，在

截面三角形SDC 内作一个与边SD 和DC 相切，圆心在高SE 上的圆．因为

正四面体本身的对称性，内切球和外接球的球心同为O .此时，CO ＝OS ＝R ，OE ＝r ，SE

＝ 23a ，CE ＝33

a ，则有R ＋r ＝ 23a ，R 2－r 2＝|CE |2＝a 23，解得R ＝64a ，r ＝612a . (2)正方体与球：

①正方体的内切球：截面图为正方形EFHG 的内切圆，如图所

示．设正方体的棱长为a ，则|OJ |＝r ＝a 2

(r 为内切球半径)． ②与正方体各棱相切的球：截面图为正方形EFHG 的外接圆，

则|GO |＝R ＝22

a . ③正方体的外接球：截面图为正方形ACC 1A 1的外接圆，则|A 1O |＝R ′＝

32a . (3)三条侧棱互相垂直的三棱锥的外接球：

①如果三棱锥的三条侧棱互相垂直并且相等，则可以补形为一个正方

体，正方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心．即三棱锥A 1-AB 1D 1

的外接球的球心和正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的外接球的球心重合．如图，设

AA 1＝a ，则R ＝32a . ②如果三棱锥的三条侧棱互相垂直但不相等，则可以补形为一个长方体，长方体的外

接球的球心就是三棱锥的外接球的球心．R 2

＝a 2＋b 2＋c 24＝l 24(l 为长方体的体对角线长)． 角度一：正四面体的内切球

1．(2015·长春模拟)若一个正四面体的表面积为S 1，其内切球的表面积为S 2，则S 1S 2

＝________.

解析：设正四面体棱长为a ，则正四面体表面积为S 1＝4·34

·a 2＝3a 2，其内切球半径为正四面体高的14，即r ＝14·63a ＝612a ，因此内切球表面积为S 2＝4πr 2＝πa 26，则S 1S 2＝3a 2π6a 2＝63π

. 角度二：直三棱柱的外接球

2．(2015·唐山统考)如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的六个顶点都在半径

为1的半球面上，AB ＝AC ，侧面BCC 1B 1是半球底面圆的内接正方形，则

侧面ABB 1A 1的面积为( )

A ．2

B ．1 C. 2 D.22

解析：选C 由题意知，球心在侧面BCC

1B 1的中心O 上，BC 为截面

圆的直径，∴∠BAC ＝90°，△ABC 的外接圆圆心N 是BC 的中点，同理△A 1B 1C 1

的外心M 是B 1C 1的中心．设正方形BCC 1B 1的边长为x ，Rt △OMC 1中，

OM ＝x 2，MC 1＝x 2

，OC 1＝R ＝1(R 为球的半径)，∴⎝⎛⎭⎫x 22＋⎝⎛⎭⎫x 22＝1，即x ＝

2，则AB ＝AC ＝1，∴S 矩形ABB 1A 1＝2×1＝ 2.

角度三：正方体的外接球

3．一个正方体削去一个角所得到的几何体的三视图如图所示(图中

三个四边形都是边长为2的正方形)，则该几何体外接球的体积为

________．

解析：依题意可知，新的几何体的外接球也就是原正方体的外接球，要求的直径就是

正方体的体对角线；∴2R ＝23(R 为球的半径)，∴R ＝3，∴球的体积V ＝43

πR 3＝43π.

答案：43π

角度四：四棱锥的外接球

4．(2014·大纲卷)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，

则该球的表面积为( )

A.81π4 B ．16π C ．9π D.27π4

解析：选A 如图所示，设球半径为R ，底面中心为O ′且球心为O ，

∵正四棱锥P -ABCD 中AB ＝2，∴AO ′＝ 2.

∵PO ′＝4，∴在Rt △AOO ′中，AO 2＝AO ′2＋OO ′2，∴R 2＝(2)2＋(4－R )2，解得R

＝94

，∴该球的表面积为4πR 2＝4π×⎝⎛⎭⎫942＝81π4，故选A. [类题通法]

“切”“接”问题的处理规律

1．“切”的处理

解决与球的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过

作截面来解决．如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作．

2．“接”的处理

把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题．解决这类问题的关键是抓住

外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．

[牛刀小试]

1．(2015·云南一检)如果一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图都是半径等于5

的圆，那么这个空间几何体的表面积等于( )

A ．100π B.100π3 C ．25π D.25π3

解析：选A 易知该几何体为球，其半径为5，则表面积为S ＝4πR 2＝100π.

2．(2014·陕西高考)已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个

球面上，则该球的体积为( )

A.32π3 B ．4π C ．2π D.4π3

解析：选D 因为该正四棱柱的外接球的半径是四棱柱体对角线的一半，所以半径r