专题八 概率与统计 第二讲 概率,随机变量及分布列——2023届高考数学二轮复习重点练(含解析)

专题八 概率与统计 第二讲 概率，随机变量及分布列
1.为了援助湖北抗击疫情,全国各地的白衣天使走上战场的第一线,他们分别乘坐6架我国自主生产的“运20”大型运输机,编号分别为1,2,3,4,5,6,同时到达武汉天河飞机场,每五分钟降落一架,其中1号与6号相邻降落的概率为( ) A.
112
B.16
C.15
D.13
2.一个不透明的袋子中装有4个完全相同的小球，球上分别标有数字为0，1，2，
3.现甲从中摸出1个球后放回，乙再从中摸出1个球，谁摸出的球上的数字大谁获胜，则甲、乙各摸一次球后，甲获胜且乙摸出的球上数字为偶数的概率为( ) A.14
B.13
C.49
D.
316
3.从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( ) A.
110
B.15
C.
310
D.25
4.某次战役中，狙击手A 受命射击敌机，若要击落敌机，需命中机首2次或命中机中3次或命中机尾1次，已知A 每次射击，命中机首、机中、机尾的概率分别为0.2，0.4，0.1，未命中敌机的概率为0.3，且各次射击相互独立.若A 至多射击2次，则他能击落敌机的概率为( ) A.0.23
B.0.2
C.0.16
D.0.1
5.设两个相互独立事件A ，B 都不发生的概率为19
，则A 与B 都发生的概率的取值范围是( )
A.80,9⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B.15
,99⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
C.28
,39⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
D.40,9⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
6.一个旅行团到漳州旅游，有百花村与云洞岩两个景点可选择，该旅行团选择去哪个景点相互独立.若旅行团选择两个景点都去的概率是49
，只去百花村不去云洞岩与只去云洞岩不去百花村的概率相等，则旅行团选择去百花村的概率是( ) A.2
3
B.13
C.49
D.19
7.某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责，每次献爱心活动均需该组织4位同学参加.假设李老师和张老师各自分别将活动通知的信息独立且随机地发给4位同学，且所发信息都能收到.则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为( )
A.2
5B.12
25
C.16
25
D.4
5
8.（多选）从甲袋中摸出1个红球的概率是1
3，从乙袋中摸出1个红球的概率是1
2
.从
甲袋、乙袋各摸出1个球，则下列结论正确的是( )
A.2个球都是红球的概率为1
6B.2个球不都是红球的概率为1
3
C.至少有1个红球的概率为2
3D.2个球中恰有1个红球的概率为1
2
9. （多选）在4件产品中,有一等品2件,二等品1件(一等品与二等品都是正品),次品1件,现从中任取2件,则下列说法正确的是( )
A.两件都是一等品的概率是1
3B.两件中有1件是次品的概率是1
2
C.两件都
是正品的概率是1
3D.两件中至少有1件是一等品的概率是5
6
10. （多选）在一次随机试验中，A,B,C,D是彼此互斥的事件，且A B C D
+++是必然事件，则下列说法正确的是( )
A.A B
+与C是互斥事件，也是对立事件
B.B+C与D是互斥事件，但不是对立事件
C.A C
+与B D
+是互斥事件，但不是对立事件
D.A与B C D
++是互斥事件，也是对立事件
11.某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率
为16
25
，则该队员每次罚球的命中率为__________.
12.已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为1
2和1
3
.假定两球是否落入盒子互不影响，则
甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________.
13.从甲、乙、丙、丁四人中随机选取两人，则甲、乙两人中有且只有一人被选取的概率为_____________.
14.一个袋中装有四个形状、大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4.
(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率.
(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求2
n m
<+的概率.
.假定甲、乙两位同学15.设甲、乙两位同学上学期间，每天7:30之前到校的概率均为2
3
到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.
(1)用X表示甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望；
(2)设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多2”，求事件M发生的概率.
答案以及解析
1.答案：D
解析：6架飞机的降落顺序有66A 种,而1号与6号相邻降落的顺序有25
25A A 种,所以所求事件的概率25
25
66A A 1A 3
P ==.故选D.
2.答案：A
解析：甲、乙各摸一次球，有可能的结果有4416⨯=（种），甲摸的数字在前，乙摸的数字在后，则甲获胜的情况有(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，共6种. 其中甲、乙各摸一次球后，甲获胜且乙摸出的球上数字为偶数有4种，则所求概率
41
164
P =
=. 3.答案：D
解析：先后有放回地抽取2张卡片的情况有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，
(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，共25种.其中满足条件的有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，共10种情况.因此所求
的概率102
255
P =
=.故选D. 4.答案：A
解析：A 每次射击，命中机首、机中、机尾的概率分别为0.2，0.4，0.1，未命中敌机的概率为0.3，且各次射击相互独立.若A 射击1次就击落敌机，则他击中了敌机的机尾，概率为0.1；若A 射击2次就击落敌机，则他2次都击中了敌机的机首，概率为
0.20.20.04⨯=或者第1次没有击中机尾且第2次击中了机尾，概率为0.90.10.09⨯=，因
此若A 至多射击2次，则他能击落敌机的概率为0.10.040.090.23++=.故选A. 5.答案：D
解析：设事件A ，B 发生的概率分别为()P A x =，()P B y =，则
1()()()(1)(1)9
P A
B P A P B x y ==-⋅-=
，即11
199
xy x y +=++≥+
x y =时取“=”
，211)9∴≥23≤43（舍去），409
xy ∴≤≤.
4()()()0,9P A
B P A P B xy ⎡⎤
∴==∈⎢⎥⎣⎦
.
6.答案：A
解析：用事件A 表示“旅行团选择去百花村”，事件B 表示“旅行团选择去云洞岩”，A ，
B 相互独立，则4()9P AB =，()()P AB P AB =.设()P A x =，()P B y =，则4,
9
(1)(1),xy x y x y ⎧
=⎪⎨⎪-=-⎩解得2,323x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或2,32
3x y ⎧
=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
（舍去），故旅行团选择去百花村的概率是23.故选A.
7.答案：C
解析：设“甲同学收到李老师的信息”为事件A ，“收到张老师的信息”为事件B ，A ，B 相互独立，42
()()105
P A P B ==
=，则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为3316
1()1(1())(1())15525
P AB P A P B -=---=-⨯=.故选C. 8.答案：ACD
解析：设“从甲袋中摸出1个红球”为事件1A ，“从乙袋中摸出1个红球为事件2A ，则
()113P A =，()21
2
P A =，且1A ，2A 独立.对于A 选项，2个球都是红球为12A A ，其概率为
111
326
⨯=，故A 正确；对于B 选项，“2个球不都是红球”是“2个球都是红球”的对立事件，其概率为15166
-=，故B 错误；对于C 选项，2个球中至少有1个红球的概率为
()()
12212
11323
P A P A -=-⨯=，故C 正确；对于D 选项，2个球中恰有1个红球的概率为
11211
32322
⨯+⨯=，故D 正确.故选ACD. 9.答案：BD
解析：由题意设一等品编号为a ,b ，二等品编号为c ，次品编号为d ，
从中任取2件的基本情况有(,)a b ，(,)a c ，(,)a d ，(,)b c ，(,)b d ，(,)c d ，共6种. 对于A ，两件都是一等品的基本情况有(,)a b ，共1种，故两件都是一等品的概率
11
6
P =
，故A 错误； 对于B ，两件中有1件是次品的基本情况有(,)a d ，(,)b d ，(,)c d ，共3种，故两件中有1件是次品的概率23162
P ==，故B 正确；
对于C ，两件都是正品的基本情况有(,)a b ，(,)a c ，(,)b c ，共3种，故两件都是正品的概率3316
2
P ==，故C 错误；
对于D ，两件中至少有1件是一等品的基本情况有(,)a b ，(,)a c ，(,)a d ，(,)b c ，(,)b d ，共5种，故两件中至少有1件是一等品的概率456
P =，故D 正确. 10.答案：BD
解析：由于A ,B ,C ,D 彼此互斥，且A B C D +++是必然事件，故事件的关系如图所示.由图可知，任何一个事件与其余三个事件的和事件互为对立，任何两个事件的和事件与其余两个事件中任何一个是互斥事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件互为对立，故B,D 中的说法正确.
11.答案：35
解析：设此队员每次罚球的命中率为p ，则216125p -=，所以35
p =. 12.答案：16
；23
解析：甲，乙两球都落入盒子的概率为11
123
6
⨯=.
方法一：甲、乙两球至少有一个落入盒子的情形包括：①甲落入、乙未落入的概率为
121233⨯=；②甲未落入，乙落入的概率为111236⨯=；③甲，乙均落入的概率为111236
⨯=.所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为11123663
++=.
方法二：甲，乙两球均未落入盒子的概率为121233
⨯=，则甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为1
213
3
-=.
13.答案：23
解析：从甲、乙、丙、丁四人中随机选取两人，有{甲，乙}，{甲，丙}，{甲，丁}，{乙，丙}，{乙，丁}，{丙，丁}，共6种结果；其中甲、乙两人中有且只有一人被选取，有甲，丙}，{甲，丁}，{乙，丙}，{乙，丁}，共4种结果. 故甲、乙两人中有且只有一人被选取的概率为4263
=. 14.答案：(1)13
. (2)概率为
1316
. 解析：(1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的样本点有：1和2，1和3，1和4，2和3，2和4，3和4，共6个.
从袋中取出的两个球的编号之和不大于4的事件有：1和2，1和3，共2个， 因此所求事件的概率为216
3
P ==.
(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为m ， 试验的样本空间
{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),Ω=(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}，
共16个样本点.
又满足条件2n m ≥+的样本点有：(1,3),(1,4),(2,4)，共3个. 所以满足条件2n m ≥+的事件的概率为13
16
P =
，故满足条件2n m <+的事件的概率为1313
111616
P -=-
=. 15.答案：（1）因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7:30之前到
校的概均为23，故2~3,3X B ⎛⎫ ⎪
⎝⎭
，从而3321()C ,0,1,2,333k
k
k P X k k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以随机变量X
的分布列为
随机变量X 的数学期望2()323
E X =⨯=.
（2）设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为Y ，则2
~3,3Y B ⎛⎫
⎪⎝⎭
，且
{3,1}{2,0}M X Y X Y ===⋃==.由题意知事件{3,1}X Y ==与{2,0}X Y ==互斥，且事件{3}X =与{}1Y =，事件{}2X =与{}0Y =均相互独立，从而由（1）知()P M =({3,1}{2,0})(3,1)(2,
P X Y X Y P X Y P X ==⋃=====+=8240)(3)(1)(2)(0)2799Y P X P Y P X P Y ====+===⨯+⨯120
27243
=
.。