专题八 概率与统计 第二讲 概率,随机变量及分布列——2023届高考数学二轮复习重点练(含解析)

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高考数学二轮复习 专题八 附加题 第2讲 计数原理、随机变量、数学归纳法学案

  高考数学二轮复习 专题八 附加题 第2讲 计数原理、随机变量、数学归纳法学案

—————————— 教育资源共享 步入知识海洋 ————————第2讲 计数原理、随机变量、数学归纳法[考情考向分析] 1.考查分类计数原理、分步计数原理与排列、组合的简单应用,B 级要求. 2.考查n 次独立重复试验的模型及二项分布、离散型随机变量的数学期望与方差,B 级要求.3.考查数学归纳法的简单应用,B 级要求.热点一 计数原理与二项式定理例1 (2018·苏州调研)已知f n (x )=⎝⎛⎭⎪⎫x 2+3a x 3n ,n ∈N *.(1)当a =1时,求f 5(x )展开式中的常数项;(2)若二项式f n (x )的展开式中含有x 7的项,当n 取最小值时,展开式中含x 的正整数次幂的项的系数之和为10,求实数a 的值.解 二项式⎝⎛⎭⎪⎫x 2+3a x 3n的展开式通项为T r +1=C r n ()x 2n -r ⎝ ⎛⎭⎪⎫3a x 3r =C r n (3a )r x2n -5r(r =0,1,2,…,n ), (1)当n =5,a =1时,f (x )的展开式的常数项为T 3=9C 25=90. (2)令2n -5r =7,则r =2n -75∈N ,所以n 的最小值为6,当n =6时,二项式⎝⎛⎭⎪⎫x 2+3a x 36的展开式通项为T r +1=C r 6(3a )r x12-5r(r =0,1,2,…,6), 则展开式中含x 的正整数次幂的项为T 1,T 2,T 3,它们的系数之和为 C 06+C 16(3a )+C 26(3a )2=135a 2+18a +1=10, 即15a 2+2a -1=0,解得a =-13或15.思维升华 涉及二项式定理的试题要注意以下几个方面:(1)某一项的二项式系数与这一项的系数是两个不同的概念,必须严格加以区别. (2)根据所给式子的结构特征,对二项式定理的逆用或变用,注意活用二项式定理是解决二项式问题应具备的基本素质.(3)关于x 的二项式(a +bx )n(a ,b 为常数)的展开式可以看成是关于x 的函数,且当x 给予某一个值时,可以得到一个与系数有关的等式,所以,当展开式涉及到与系数有关的问题时,可以利用函数思想来解决.跟踪演练1 (2018·江苏丹阳高级中学期中)设n ≥3,n ∈N *,在集合{}1,2,…,n 的所有元素个数为2的子集中,把每个子集的较大元素相加,和记为a ,较小元素之和记为b . (1)当n =3时,求a ,b 的值;(2)求证:对任意的n ≥3,n ∈N *,b a为定值.(1)解 当n =3时,集合{}1,2,3的所有元素个数为2的子集为{}1,2, {}1,3,{}2,3,所以a =2+3+3=8,b =1+1+2=4.(2)证明 当n ≥3,n ∈N *时,依题意,b =1×C 1n -1+2×C 1n -2+3×C 1n -3+…+()n -2×1(2)C n n --+()n -1×1(1)C n n --, a =2×C 11+3×C 12+4×C 13+…+()n -1×C 1n -2+n ×C 1n -1=2×1+3×2+4×3+…+()n -1×()n -2+n ×()n -1.则a2=C 22+C 23+C 24+…+C 2n =C 33+C 23+C 24+…+C 2n =C 34+C 24+…+C 2n =…=C 3n +1, 所以a =2C 3n +1.又a +b =(n -1)(1+2+3+…+n )=n ()n +12×()n -1=3C 3n +1,所以b =C 3n +1.故b a =12.热点二 随机变量及其概率分布例2 (2018·南京师大附中考前模拟)如图,设P 1,P 2,…,P 6为单位圆上逆时针均匀分布的六个点.现任选其中三个不同点构成一个三角形,记该三角形的面积为随机变量S .(1)求S =32的概率; (2)求S 的概率分布及数学期望E (S ).解 (1)从六个点中任选三个不同点构成一个三角形共有C 36种不同选法, 其中S =32的为有一个角是30°的直角三角形,(如△P 1P 4P 5),共6×2=12种,所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫S =32=12C 36=35. (2)S 的所有可能取值为34,32,334. S =34的为顶角是120°的等腰三角形(如△P 1P 2P 3), 共6种,所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫S =34=6C 36=310. S =334的为等边三角形(如△P 1P 3P 5), 共2种,所以P ⎝⎛⎭⎪⎫S =334=2C 36=110.又由(1)知P ⎝ ⎛⎭⎪⎫S =32=12C 36=35,故S 的概率分布为所以E (S )=34×310+32×35+334×110=9320. 思维升华 求解一般的随机变量的数学期望的基本方法先根据随机变量的意义,确定随机变量可以取哪些值,然后根据随机变量取这些值的意义求出取这些值的概率,列出概率分布,根据数学期望公式计算.跟踪演练2 (2018·南通、徐州、扬州等六市模拟)在某公司举行的年终庆典活动中,主持人利用随机抽奖软件进行抽奖:由电脑随机生成一张如图所示的3×3表格,其中1格设奖300元,4格各设奖200元,其余4格各设奖100元,点击某一格即显示相应金额.某人在一张表中随机不重复地点击3格,记中奖的总金额为X 元.(1)求概率P ()X =600;(2)求X 的概率分布及数学期望E (X ).解 (1)从3×3表格中随机不重复地点击3格,共有C 39种不同情形,则事件“X =600”包含两类情形:第一类是3格各得奖200元;第二类是1格得奖300元,一格得奖200元,一格得奖100元,其中第一类包含C 34种情形,第二类包含C 11·C 14·C 14种情形. ∴P ()X =600=C 34+C 11·C 14·C 14C 39=521. (2)X 的所有可能值为300,400,500,600,700. 则P ()X =300=C 34C 39=484=121,P ()X =400=C 14·C 24C 39=2484=27,P ()X =500=C 11·C 24+C 14·C 24C 39=3084=514, P (X =600)=521,P ()X =700=C 11·C 24C 39=684=114.∴X 的概率分布为∴E ()X =300×121+400×27+500×514+600×521+700×114=500.热点三 数学归纳法例3 (2018·江苏姜堰、溧阳、前黄中学联考)已知数列{}a n 满足a n =C 0n +C 1n +12+C 2n +222+C 3n +323+…+C nn +n 2n ,n ∈N *. (1)求a 1, a 2, a 3的值;(2)猜想数列{}a n 的通项公式,并证明. 解 (1)a 1=2, a 2=4, a 3=8. (2)猜想: a n =2n (n ∈N *). 证明如下:①当n =1时,由(1)知结论成立; ②假设当n =k (k ∈N *,k ≥1)时结论成立, 则有a k =C 0k +C 1k +12+C 2k +222+C 3k +323+…+C kk +k 2k =2k.则当n =k +1时,a k +1=C 0k +1+C 1k +1+12+C 2k +1+222+C 3k +1+323+…+C k +1k +1+k +12k +1.由C k +1n +1=C k +1n +C kn 得a k +1=C 0k +C 1k +1+C 0k +12+C 2k +2+C 1k +222+C 3k +3+C 2k +323+…+C k k +k +C k -1k +k 2k+C k +1k +1+k +12k +1 =2k+C 0k +12+C 1k +222+C 2k +323+…+C k -1k +k 2k +C k +1k +1+k +12k +1=2k+12⎝ ⎛⎭⎪⎫C 0k +1+C 1k +22+C 2k +322+…+C k -1k +k 2k -1+C k +1k +1+k +12k =2k+12⎝ ⎛⎭⎪⎫C 0k +1+C 1k +22+C 2k +322+…+C k -1k +1+k -12k -1+C k k +1+k +C k +1k +1+k 2k . 又Ck +1k +1+k=()2k +1!k !()k +1!=()2k +1!()k +1()k +1k !()k +1!=12()2k +1!()2k +2()k +1!()k +1!=12C k +1k +1+k +1, a k +1=2k+12⎝ ⎛⎭⎪⎫C 0k +1+C 1k +22+C 2k +322+…+C k -1k +1+k -12k -1+C k k +1+k 2k +C k +1k +1+k +12k +1,于是a k +1=2k+12a k +1.所以a k +1=2k +1,故n =k +1时结论也成立.由①②得,a n =2n,n ∈N *.思维升华 在数学归纳法中,归纳奠基和归纳递推缺一不可.在较复杂的式子中,注意由n =k 到n =k +1时,式子中项数的变化应仔细分析,观察通项.同时还应注意,不用假设的证法不是数学归纳法.跟踪演练3 (2018·常州期末)记()x +1×⎝ ⎛⎭⎪⎫x +12×…×⎝ ⎛⎭⎪⎫x +1n (n ≥2且n ∈N *)的展开式中含x 项的系数为S n ,含x 2项的系数为T n . (1)求S n ;(2)若T nS n=an 2+bn +c 对n =2,3,4成立,求实数a ,b ,c 的值; (3)对(2)中的实数a ,b ,c 用数学归纳法证明:对任意n ≥2且n ∈N*, T nS n=an 2+bn +c 都成立. (1)解 S n =1+2+…+nn != n +12()n -1!.(2)解T 2S 2=23, T 3S 3=116, T 4S 4=72,则⎩⎪⎨⎪⎧23=4a +2b +c ,116=9a +3b +c ,72=16a +4b +c ,解得a =14, b =-112, c =-16,(3)证明 ①当n =2时,由(2)知等式成立; ②假设n =k (k ∈N *,且k ≥2)时,等式成立,即T k S k =14k 2-112k -16. 当n =k +1时,由f (x )=()x +1×⎝ ⎛⎭⎪⎫x +12×…×⎝ ⎛⎭⎪⎫x +1k ×⎝ ⎛⎭⎪⎫x +1k +1=⎣⎢⎡⎦⎥⎤()x +1×⎝ ⎛⎭⎪⎫x +12×…×⎝ ⎛⎭⎪⎫x +1k ×⎝ ⎛⎭⎪⎫x +1k +1=⎝ ⎛⎭⎪⎫1k !+S k x +T k x 2+…⎝ ⎛⎭⎪⎫x +1k +1,知T k +1=S k +1k +1T k =k +12()k -1!·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1+1k +1⎝ ⎛⎭⎪⎫14k 2-112k -16,所以T k +1S k +1= k +12()k -1!⎣⎢⎡⎦⎥⎤1+1k +1⎝ ⎛⎭⎪⎫14k 2-112k -16k +1+12k !=k k +2⎝ ⎛⎭⎪⎫k +1+3k 2-k -212=k ()3k +512,又14()k +12-112()k +1-16 =k ()3k +512, 等式也成立;综上可得,对任意n ≥2且n ∈N *,都有T n S n =n 24-n 12-16成立.1.(2018·全国大联考江苏卷)(1)求4C 47-7C 36+k C k n n C k -1n -1(n ≥k ,且n ,k ∈N *)的值.(2)设f (n )=1·C 1n ·3+2·C 2n ·32+…+n C n n ·3n (n ∈N *),求方程f (n )=3 840的所有解. 解 (1)因为4C 47=4×35=140, 7C 36=7×20=140,k C k n =k ·n !k !(n -k )!= n ·(n -1)!(k -1)![(n -1)-(k -1)]!=n C k -1n -1(n ≥k ,且n ,k ∈N *). 所以4C 47-7C 36+k C knn C k -1n -1=1.(2)由(1)知k C k n =n C k -1n -1对1≤k ≤n ,且n ,k ∈N *成立. 所以f (n )=n (C 0n -13+C 1n -132+…+C n -1n -13n), 所以f (n )=3n (C 0n -1+C 1n -13+…+C n -1n -13n -1)=3n (1+3)n -1=3n ·4n -1(n ∈N *).又因为f (n +1)f (n )=3(n +1)·4n 3n ·4n -1 =4(n +1)n =4+4n>1,即f (n +1)>f (n )对n ∈N *成立, 所以f (n )是关于n (n ∈N *)的递增函数. 又因为f (n )=3 840=3×5×44=f (5),所以当且仅当n =5时才满足条件,即n =5是方程f (n )=3 840的唯一解.2.(2018·江苏)设n ∈N *,对1,2,…,n 的一个排列i 1i 2…i n ,如果当s <t 时,有i s >i t ,则称(i s ,i t )是排列i 1i 2…i n 的一个逆序,排列i 1i 2…i n 的所有逆序的总个数称为其逆序数.例如:对1,2,3的一个排列231,只有两个逆序(2,1),(3,1),则排列231的逆序数为2.记f n (k )为1,2,…,n 的所有排列中逆序数为k 的全部排列的个数. (1)求f 3(2),f 4(2)的值;(2)求f n (2)(n ≥5)的表达式(用n 表示).解 (1)记τ(abc )为排列abc 的逆序数,对1,2,3的所有排列,有τ(123)=0,τ(132)=1,τ(213)=1,τ(231)=2,τ(312)=2,τ(321)=3, 所以f 3(0)=1,f 3(1)=f 3(2)=2.对1,2,3,4的排列,利用已有的1,2,3的排列,将数字4添加进去,4在新排列中的位置只能是最后三个位置.因此,f 4(2)=f 3(2)+f 3(1)+f 3(0)=5.(2)对一般的n (n ≥4)的情形,逆序数为0的排列只有一个:12…n ,所以f n (0)=1. 逆序数为1的排列只能是将排列12…n 中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列,所以f n (1)=n -1.为计算f n +1(2),当1,2,…,n 的排列及其逆序数确定后,将n +1添加进原排列,n +1在新排列中的位置只能是最后三个位置.因此,f n +1(2)=f n (2)+f n (1)+f n (0)=f n (2)+n .当n ≥5时,f n (2)=[f n (2)-f n -1(2)]+[f n -1(2)-f n -2(2)]+…+[f 5(2)-f 4(2)]+f 4(2)=(n -1)+(n -2)+…+4+f 4(2)=n 2-n -22,因此,当n ≥5时,f n (2)=n 2-n -22.3.已知实数数列{a n }满足:a 1=3,a n =n +23n·(a n -1+2),n ≥2. 证明:当n ≥2时,{a n }是单调减数列. 证明 当n ≥1时,有a n +1-a n =⎣⎢⎡⎦⎥⎤n +33(n +1)-1a n +2(n +3)3(n +1)=23(n +1)(n +3-na n).下面用数学归纳法证明:a n >1+3n(n ≥2,n ∈N *).(1)当n =2时,a 2=46(3+2)=103>1+32;(2)假设当n =k (k ∈N *,k ≥2)时,结论成立,即a k >1+3k.那么,a k +1=k +33(k +1)(a k +2)>k +33(k +1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1+3k +2=1+3k >1+31+k.故由(1)(2)知,a n >1+3n(n ≥2,n ∈N *).因此,当n ≥2,n ∈N *时,a n +1-a n =23(n +1)(n +3-na n )<0,即当n ≥2时,{a n }是单调减数列.4.(2018·江苏盐城中学模拟)某乐队参加一户外音乐节,准备从3首原创新曲和5首经典歌曲中随机选择4首进行演唱.(1)求该乐队至少演唱1首原创新曲的概率;(2)假定演唱一首原创新曲观众与乐队的互动指数为a (a 为常数),演唱一首经典歌曲观众与乐队的互动指数为2a .求观众与乐队的互动指数之和X 的概率分布及数学期望.解 (1)设“至少演唱1首原创新曲”为事件A ,则事件A 的对立事件A 为“没有1首原创新曲被演唱”.所以P (A )=1-P (A )=1-C 45C 48=1314.所以该乐队至少演唱1首原创新曲的概率为1314.(2)设随机变量x 表示被演唱的原创新曲的首数,则x 的所有可能值为0,1,2,3. 依题意知,X =ax +2a (4-x ),故X 的所有可能值依次为8a,7a,6a,5a .则P (X =8a )=P (x =0)=C 45C 48=114,P (X =7a )=P (x =1)=C 13C 35C 48=37,P (X =6a )=P (x =2)=C 23C 25C 48=37,P (X =5a )=P (x =3)=C 33C 15C 48=114.从而X 的概率分布为所以X 的数学期望E (X )=8a ×114+7a ×37+6a ×37+5a ×114=132a .A 组 专题通关1.某年级星期一至星期五每天下午排3节课,每天下午随机选择1节作为综合实践课(上午不排该课程),张老师与王老师分别任教甲、乙两个班的综合实践课程. (1)求这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率;(2)设这两个班“在一周中同时上综合实践课的节数”为X ,求X 的概率分布与数学期望E (X ). 解 (1)这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率为P =1-33×3=23.(2)由题意得X ~B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5,13, P (X =k )=C k5⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ⎝ ⎛⎭⎪⎫235-k ,k =0,1,2,3,4,5. 所以X 的概率分布为所以X 的数学期望E (X )=5×13=53.2.(2018·江苏省南京师大附中模拟)设集合A ,B 是非空集合M 的两个不同子集.(1)若M ={a 1,a 2},且A 是B 的子集,求所有有序集合对(A ,B )的个数;(2)若M ={a 1,a 2,a 3,…,a n },且A 的元素个数比B 的元素个数少,求所有有序集合对(A ,B )的个数.解 (1)若集合B 含有2个元素,即B ={a 1,a 2}, 则A =∅,{}a 1,{}a 2,则(A ,B )的个数为3;若集合B 含有1个元素,则B 有C 12种,不妨设B ={a 1},则A =∅,此时(A ,B )的个数为C 12×1=2.综上,(A ,B )的个数为5.(2)集合M 有2n个子集,又集合A ,B 是非空集合M 的两个不同子集, 则不同的有序集合对(A ,B )的个数为2n (2n-1).若A 的元素个数与B 的元素个数一样多,则不同的有序集合对(A ,B )的个数为 C 0n (C 0n -1)+C 1n (C 1n -1)+C 2n (C 2n -1)+…+C n n (C nn -1)= ()C 0n 2+()C 1n 2+()C 2n 2+…+()C n n 2-(C 0n +C 1n +C 2n +…+C nn ),又(x +1)n(x +1)n的展开式中x n的系数为()C 0n 2+()C 1n 2+()C 2n 2+…+()C n n 2,且(x +1)n (x +1)n =(x +1)2n 的展开式中x n 的系数为C n2n , 所以()C 0n 2+()C 1n 2+()C 2n 2+…+()C n n 2=C n2n .因为C 0n +C 1n +C 2n +…+C n n =2n,所以当A 的元素个数与B 的元素个数一样多时, 有序集合对(A ,B )的个数为C n 2n -2n.所以,A 的元素个数比B 的元素个数少时,有序集合对(A ,B )的个数为 2n (2n -1)-(C n 2n -2n )2=22n -C n2n2.3.已知()1+x 2n +1=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 2n +1x2n +1,n ∈N *.记T n =∑nk =0()2k +1a n -k .(1)求T 2的值;(2)化简T n 的表达式,并证明:对任意的n ∈N *,T n 都能被4n +2整除. 解 由二项式定理,得a i =C i2n +1(i =0,1,2,…,2n +1). (1)T 2=a 2+3a 1+5a 0=C 25+3C 15+5C 05=30. (2)∵()n +1+k C n +1+k2n +1=()n +1+k ·()2n +1!()n +1+k !()n -k !=()2n +1·()2n !()n +k !()n -k !=()2n +1C n +k2n ,∴T n =∑nk =0()2k +1a n -k =∑nk =0()2k +1Cn -k 2n +1=∑nk =0()2k +1C n +1+k2n +1=∑nk =0[]2()n +1+k -()2n +1C n +1+k2n +1=2∑nk =0()n +1+k Cn +1+k 2n +1-()2n +1∑nk =0C n +1+k2n +1=2()2n +1∑nk =0Cn +k 2n-()2n +1∑nk =0C n +1+k 2n +1=2()2n +1·12·()22n +C n 2n -()2n +1·12·22n +1=()2n +1C n 2n .∴T n =()2n +1C n2n =()2n +1()C n -12n -1+C n2n -1=2()2n +1C n2n -1.∵C n 2n -1∈N *,∴T n 能被4n +2整除.4.是否存在正整数m 使得f (n )=(2n +7)·3n+9对任意正整数n 都能被m 整除?若存在,求出最大的m 的值,并证明你的结论;若不存在,说明理由.解 由f (n )=(2n +7)·3n+9,得f (1)=36,f (2)=3×36,f (3)=10×36,f (4)=34×36,由此猜想m =36. 下面用数学归纳法证明: ①当n =1时,结论显然成立;②假设当n =k (k ∈N *,k ≥1)时,结论成立,即f (k )能被36整除, 设f (k )=(2k +7)·3k +9=t ·36. 当n =k +1时,f (k +1)=[2(k +1)+7]·3k +1+9=(2k +7)·3k +1+2·3k +1+9=3[(2k +7)·3k+9]+18(3k -1-1)=3·36t +18·2s =36(3t +s ). 所以当n =k +1时结论成立.由①②可知,对一切正整数n ,存在正整数m ,使得f (n )=(2n +7)·3n +9都能被m 整除,m 的最大值为36.B 组 能力提高5.(2018·常州模拟)已知正四棱锥P -ABCD 的侧棱和底面边长相等,在这个正四棱锥的8条棱中任取两条,按下列方式定义随机变量ξ的值:若这两条棱所在的直线相交,则ξ的值是这两条棱所在直线的夹角大小(弧度制); 若这两条棱所在的直线平行,则ξ=0;若这两条棱所在的直线异面,则ξ的值是这两条棱所在直线所成角的大小(弧度制). (1)求P ()ξ=0的值;(2)求随机变量ξ的概率分布及数学期望E ()ξ.解 根据题意,该四棱锥的四个侧面均为等边三角形,底面为正方形,容易得到△PAC ,△PBD 为等腰直角三角形, ξ的可能取值为: 0, π3, π2,共C 28=28种情况,其中,当ξ=0时,有2种;当ξ=π3时,有3×4+2×4=20(种);当ξ=π2时,有2+4=6(种).(1)P ()ξ=0=228=114. (2)P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ=π3=2028=57, P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ=π2=628=314, 根据(1)的结论,随机变量的概率分布如下表:根据上表, E ()ξ=0×114+π3×57+π2×314=2984π. 6.设P (n ,m )=∑k =0n(-1)k C knmm +k,Q (n ,m )=C n n +m ,其中m ,n ∈N *.(1)当m =1时,求P (n,1)·Q (n,1)的值;(2)对∀m ∈N *,证明:P (n ,m )·Q (n ,m )恒为定值.(1)解 当m =1时,P (n,1)=∑k =0n(-1)k C kn11+k=1n +1∑k =0n (-1)k C k +1n +1=1n +1, 又Q (n,1)=C nn +1=n +1,显然P (n,1)·Q (n,1)=1.(2)证明 P (n ,m )=∑k =0n(-1)k C knmm +k=1+∑k =1n -1(-1)k(C kn -1+C k -1n -1)mm +k+(-1)nmm +n=1+∑k =1n -1(-1)k Ck n -1mm +k+∑k =1n(-1)k C k -1n -1mm +k=P (n -1,m )+∑k =1n(-1)k C k -1n -1mm +k=P (n -1,m )-m n ∑k =0n (-1)k C k n m m +k=P (n -1,m )-m nP (n ,m ). 即P (n ,m )=nm +nP (n -1,m ), 由累乘,易求得P (n ,m )=n !m !(n +m )!=1C n n +m,又Q (n ,m )=C nn +m ,所以P (n ,m )·Q (n ,m )=1.7.已知数列{a n }是等差数列,且a 1,a 2,a 3是⎝ ⎛⎭⎪⎫1+12x m展开式的前三项的系数.(1)求⎝ ⎛⎭⎪⎫1+12x m展开式的中间项;(2)当n ≥2时,试比较1a n +1a n +1+1a n +2+…+1a n 2与13的大小.解 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1+12x m =1+C 1m ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x +C 2m ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2+…+C m m ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x m,依题意a 1=1,a 2=12m ,a 3=m (m -1)8,由2a 2=a 1+a 3,可得m =1(舍去)或m =8.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1+12x m展开式的中间项是第五项,T 5=C 48⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 4=358x 4. (2)由(1)知,a n =3n -2,当n =2时,1a n +1a n +1+1a n +2+…+1a n 2=1a 2+1a 3+1a 4=14+17+110=69140>13;当n =3时,1a n +1a n +1+1a n +2+…+1a n 2=1a 3+1a 4+1a 5+…+1a 9=17+110+113+116+119+122+125=17+⎝ ⎛⎭⎪⎫110+113+116+⎝ ⎛⎭⎪⎫119+122+125 >18+⎝ ⎛⎭⎪⎫116+116+116+⎝ ⎛⎭⎪⎫132+132+132 =18+316+332>18+316+116>13. 猜测:当n ≥2时,1a n +1a n +1+1a n +2+…+1a n 2>13.以下用数学归纳法加以证明: ①当n =2时,结论成立.②假设当n =k (k ≥2,k ∈N *)时,1a k +1a k +1+1a k +2+…+1a k 2>13,则当n =k +1时,1a k +1+1a (k +1)+1+1a (k +1)+2+…+1a (k +1)2=⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a k +1a k +1+1a (k +1)+1+1a (k +1)+2+…+1a k 2+⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a k 2+1+1a k 2+2+…+1a (k +1)2-1a k >13+⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a k 2+1+1a k 2+2+…+1a (k +1)2-1a k >13+2k +1a (k +1)2-1a k=13+2k +13(k +1)2-2-13k -2=13+(2k +1)(3k -2)-[3(k +1)2-2][3(k +1)2-2](3k -2) =13+3k 2-7k -3[3(k +1)2-2](3k -2). 由k ≥3可知,3k 2-7k -3>0, 即1a k +1+1a (k +1)+1+1a (k +1)+2+…+1a (k +1)2>13. 综合①②,可得当n ≥2时, 1a n +1a n +1+1a n +2+…+1a n 2>13. 8.设|θ|<π2,n 为正整数,数列{a n }的通项公式a n =sin n π2·tan nθ,其前n 项和为S n .(1)求证:当n 为偶数时,a n =0;当n 为奇数时,a n =(-1)12n -tan nθ.(2)求证:对任意正整数n ,S 2n =12sin 2θ·[1+(-1)n +1·tan 2nθ].证明 (1)因为a n =sinn π2tan nθ.当n 为偶数时,设n =2k (k ∈N *),a n =a 2k =sin 2k π2tan 2k θ=sin k π·tan 2kθ=0,a n =0.当n 为奇数时,设n =2k -1(k ∈N *),a n =a 2k -1 =sin (2k -1)π2tan 2k -1θ=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π-π2·tan 2k -1θ.当k =2m (m ∈N *)时,a n =a 2k -1=sin ⎝⎛⎭⎪⎫2m π-π2·tan 4m -1θ=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2·tan 4m -1θ=-tan 4m -1θ,此时n -12=2m -1,a n =a 2k -1=-tan 4m -1θ=(-1)2m -1tan 4m -1θ=(-1)12n -tan nθ.当k =2m -1(m ∈N *)时,a n =a 2k -1=sin ⎝⎛⎭⎪⎫2m π-3π2·tan 4m -3θ =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫-3π2·tan 4m -3θ=tan 4m -3θ,此时n -12=2m -2,a n =a 2k -1=tan4m -3θ=(-1)2m -2tan4m -3θ=(-1)12n -tan nθ.综上,当n 为偶数时,a n =0; 当n 为奇数时,a n =(-1)12n -tan nθ.(2)当n =1时,由(1)得S 2=a 1+a 2=tan θ, 12sin 2θ[1+(-1)n +1tan 2n θ]=12sin 2θ(1+tan 2θ) =sin θ·cos θ·1cos 2θ=tan θ. 故当n =1时,命题成立.假设当n =k (k ∈N *,k ≥1)时命题成立, 即S 2k =12sin 2θ·[1+(-1)k +1tan 2kθ].当n =k +1时,由(1)得S 2(k +1)=S 2k +a 2k +1+a 2k +2=S 2k +a 2k +1=12sin 2θ·[1+(-1)k +1tan 2k θ]+(-1)k tan 2k +1θ=12sin 2θ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1+(-1)k+1tan2kθ+(-1)k·2sin 2θtan2k+1θ=12sin 2θ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1+(-1)k+2·tan2k+2θ⎝⎛⎭⎪⎫-1tan2θ+2sin 2θtan θ=12sin 2θ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1+(-1)k+2·tan2k+2θ⎝⎛⎭⎪⎫-cos2θsin2θ+1sin2θ=12sin 2θ·[1+(-1)k+2·tan2k+2θ].即当n=k+1时命题成立.综上所述,对正整数n,命题成立.。

新课标全国卷2023届高考理科数学大单元二轮复习讲重难专题八概率与统计第一讲排列组合与二项式定理课件

新课标全国卷2023届高考理科数学大单元二轮复习讲重难专题八概率与统计第一讲排列组合与二项式定理课件

第二步,增播一个商业广告,共 3 个广告,排好有 A33 6 种,
第三步,在
2
个空中,插入两个不同的公益宣传广告,有
A
2 2
2
种方法,
根据乘法原理,共有1062 120 种方法.故选 B.
2.如图所示,用不同的五种颜色分别为 A,B,C,D,E 五部分着色,相邻部分不能用同一种
颜色,但同一种颜色可以反复使用,也可不使用,则复合这些要求的不同着色的方法共有( )
不同点
的每种方法都能独立完成这件事 步骤都完成才算完成这件事情,
情,要注意“类”与“类”之间的独立 要 注 意 “步 ”与 “步 ” 之间的 连续
性和并列性.分类计数原理可利用 性.分步计数原理可利用“串联”
“并联”电路来理解
电路来理解
解题技巧
两个计数原理的应用技巧 (1) 在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时, 一般先分类再分步,每一步当中又可能用到分类加法计数原理. (2) 对于复杂的两个计数原理综合应用的问题,可恰当列出示意图或表格, 使问题形象化、直观化.
解答排列组合问题的常用方法 排列组合问题从解法上看,大致有以下几种: (1) 有附加条件的排列组合问题,大多需要用分类讨论的方法, 注意分类时应不重不漏; (2)排列与组合的混合型问题,用分类加法或分步乘法计数原理解决; (3)元素相邻,可以看作是一个整体的方法;
解题技巧
(4)元素不相邻,可以利用插空法; (5)间接法,把不符合条件的排列与组合剔除掉; (6)穷举法,把符合条件的所有排列或组合一一写出来; (7)定序问题缩倍法; (8)“小集团”问题先整体后局部法.
A.500 种
B.520 种
√C.540 种
D.560 种

2023考研概率统计全考点精讲-第二讲 随机变量及其分布

2023考研概率统计全考点精讲-第二讲  随机变量及其分布

第二讲 随机变量及其分布【考试要求】1.理解随机变量的概念,理解分布函数(){}()F x P X x x =≤−∞<<+∞的概念及性质,会计算与随机变量相联系的事件的概率.2.理解离散型随机变量及其概率分布的概念,掌握0-1分布、二项分布(,)B n p 、几何分布、超几何分布、泊松(Poisson)分布()P λ及其应用.3.(数一了解,数三掌握)泊松定理的结论和应用条件,会用泊松分布近似表示二项分布.4.理解连续型随机变量及其概率密度的概念,掌握均匀分布(,)U a b 、正态分布2(,)N μσ、指数分布及其应用,其中参数为λ的指数分布()λE 的概率密度为()e ,00,0x x f x x λλ−⎧>=⎨≤⎩.5.会求随机变量函数的分布.考点:随机变量与分布函数1.随机变量:设试验E 的样本空间为Ω,如果对于每一个样本点Ω∈ω,都有一个实数)(ωX 与之对应,则称定义在Ω上的单值实值函数)(ωX 为随机变量,简记为X . 通常用,,X Y Z 等表示随机变量.【注】随机变量的等式和不等式可表示随机事件. 2.分布函数(1)定义:设X 是一个随机变量,x 是任意实数,称(){}()F x P X x x =≤−∞<<+∞为X 的分布函数.(2)基本性质①单调不减,即若12x x <,则12()()F x F x ≤;②lim ()0x F x →−∞=,lim ()1x F x →+∞=; ③()F x 是右连续,即(0)()F x F x +=.【注】这三条性质是一个函数作为某随机变量的分布函数的充分必要条件. (3)其他性质(用分布函数()F x 求概率)①)()(}{a F b F b X a P −=≤<; ②)0(}{−=<a F a X P ;③)0()(}{−−==a F a F a X P ;④)0()0(}{−−−=<≤a F b F b X a P ; ⑤)()0(}{a F b F b X a P −−=<<; ⑥{}()(0)P a X b F b F a ≤≤=−−. 【注】分布函数在处连续.【例1】 下述函数中,可以作为某个随机变量的分布函数的是( ) (A ) ()211F x x =+ (B )()x x F sin = (C ) ()11arctan π2F x x =+ (D ) ()1e ,020,0xx F x x −⎧−>⎪=⎨⎪≤⎩【例2】 设随机变量X 的分布函数为()00πsin 02π12,x F x A x,x ,x ⎧⎪<⎪⎪=≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩,则A _____=,6P X ______π⎧⎫<=⎨⎬⎩⎭.【例3】 已知随机变量X 的分布函数为()0,11,18,111,1x x F x ax b x x <−⎧⎪⎪=−⎪=⎨⎪+−<<⎪≥⎪⎩,且()F x a {}0P X a ⇔=={}114P X ==,则_____,_____a b ==. 【例4】 设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥−<≤<=−1,110,210,0)(x e x x x F x,则{}1P X ==( )(A )0 (B )21(C )121−−e (D )11e −−考点:离散型随机变量及其分布1.离散型随机变量定义:若随机变量X 所有可能取值是有限或可列无限个,则称X 为离散型随机变量.2.分布律(1)定义:设离散型随机变量X 的所有可能取值为()12i x i ,,=,且X 取ix 的概率为i p ,则称{}()12i i P X x p i ,,===为离散型随机变量X 的分布律.X(2)基本性质:①0,1,2,i p i ≥=;②11ii p∞==∑.【注】这两条性质也是一个数列可以作为某随机变量分布律的充分必要条件. 3.离散型随机变量的分布函数若离散型随机变量X 的分布律为{}()12i i P X x p i ,,===,则X 的分布函数为(){}{}()i i i i x xx xF x P X x P X x p x ≤≤=≤===−∞<<+∞∑∑.若123x x x <<<,则()111212230,,,x x p x x x F x p p x x x <⎧⎪≤<⎪=⎨+≤<⎪⎪⎩. 【注】若已知X 的分布函数()F x (阶梯函数),则X 的分布律为{}()()0i i i P X x F x F x ==−−,12i ,,=.【例1】 (1)做n 次伯努利实验,已知每次成功的概率均为()10<<p p ,令X 表示n 次试验中成功的次数,求X 的分布律.(2)做伯努利试验,已知每次成功的概率均为()10<<p p ,令X 表示直到第一次成功为止所进行的实验次数,求X 的分布律.【例2】 设袋中有5个球,其中3个新球,2个旧球,从中任取3个球,用X 表示3个球中新球个数,求X 的分布律与分布函数.考点:连续型随机变量及其分布1.连续型随机变量及其概率密度(1)定义:设随机变量X 的分布函数为()F x ,若存在非负可积函数()f x ,使得对于任意实数x ,有()()xF x f t dt −∞=⎰,则称X 为连续型随机变量,()f x 称为X 的概率密度函数,简称概率密度(简写为.f .d .p ).【注】①只有存在概率密度的随机变量才能称为连续型随机变量,分布函数连续的随机变量不一定是连续型随机变量.②存在既非连续型又非离散型的随机变量.③(),()()0()F x x F x f x x F x '⎧=⎨⎩为的可导点,为的不可导点. (2)概率密度的基本性质:①()0f x ≥;②()1f x dx +∞−∞=⎰.【注】这两条性质是一个函数可以作为概率密度函数的充分必要条件.(3)连续型随机变量的其他性质: ①)(x F 处处连续.②对()+∞∞−∈∀,a ,有{}.0==a X P ③若()f x 在x 处连续,则有()()F x f x '=. ④对于任意的实数()1212x ,x x x ≤,有{}()()211221()x x P x X x F x F x f x dx <≤=−=⎰.【例1】 设随机变量X 的概率密度为()x f ,则下列函数中必为某随机变量的概率密度的是( )(A )()x f 2 (B )()x f 2 (C )()x f −1 (D )()x f −1【例2】 设随机变量X 的概率密度为()cos ,||20,||2A x x f x x ππ⎧≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩,求(1)常数A ; (2)X 的分布函数为()x F . 【例3】 设随机变量X 的概率密度为()1||,||10,x x f x else −<⎧=⎨⎩,则______412=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<−X P .考点:常见分布1.常见的离散型随机变量 (1) 0-1分布若随机变量X 的分布律为{}()()110101kk P X k p p ,k ,p −==−=<<,则称X 服从0-1分布,记为),1(~p B X .(2) 二项分布若随机变量的分布律为{}C (1),0,1,2,k k n kn P X k p p k n −==−=,其中01p <<,则称X 服从二项分布,记为~(,)X B n p .(3) 几何分布若随机变量X 的分布律为{}1(1)k P X k p p −==−⋅,1,2,3k =,其中01p <<,则称X 服从参数为p 的几何分布,记为()~X G p .(4) 超几何分布(从未考过)若随机变量X 的分布律为{}C C C k n kM N MnNP X k −−==,其中N k ∈,且{}{}n M k N n M ,min ,0max ≤≤−+,则称X 服从超几何分布.【注】:此公式的数学模型为:设N 件产品中含M 件次品,现从中任取n 件产品,则所取的n 件产品恰有k 件次品的概率.(5) 泊松分布 ①定义若随机变量X 的分布律为{}e !kP X k k λλ−==,0,1,2,k =,其中0λ>,则称X 服从参数为λ的泊松分布,记为~()X P λ.X②泊松定理(数一了解;数三掌握)设0λ>是一个常数,n 是任意正整数,若lim n n np λ→∞=,则对于任意的非负整数k ,有()e lim 1.!nk n kkknn n C p p k λλ−−→∞−=【例1】 设随机变量X 服从参数为()2,p 的二项分布,随机变量Y 服从参数为()3,p 的二项分布,若{}519P X ≥=,则{}1_______P Y ≥=. 【例2】 设某时间段内通过一路口的汽车流量服从泊松分布,已知该时段内没有汽车通过的概率为1e,则这段时间内至少有两辆汽车通过的概率为___________. 2.常见的连续型随机变量 (1) 均匀分布若X 的概率密度为1,()0,a xb f x b a⎧<<⎪=−⎨⎪⎩其它,则称X 在()a,b 上服从均匀分布,记为()~,X U a b ,其分布函数为0,(),1,x a x aF x a x b b a x b<⎧⎪−⎪=≤<⎨−⎪⎪≥⎩. (2) 指数分布若X 的概率密度为e ,0()0,0x x f x x λλ−⎧>=⎨≤⎩,其中0λ>,则称X 服从参数为λ的指数分布,记为()XE λ,其分布函数为1e ,0()0,0x x F x x λ−⎧−≥=⎨<⎩.(3) 正态分布若随机变量X的概率密度为22()2()()x f x x μσ−−=−∞<<+∞,其中0σ>,μ与σ均为常数,则称X 服从参数为,μσ的正态分布,记为2~(,)X N μσ,其分布函数为22()2()d ()t xF x t x μσ−−=−∞<<+∞⎰.特别地,当0,1μσ==,即~(0,1)X N ,称X 服从标准正态分布,其概率密度为22(),x x x ϕ−=−∞<<+∞,分布函数22()d t xx t −Φ=⎰,x −∞<<+∞.【注】(1)指数分布的无记忆性:若()~X E λ,则对任意的0,0s t >>,有{}{}|.P X s t X s P X t >+>=>【例3】 设随机变量()6,1~U X ,则方程012=++Xy y 有实根的概率为____.【例4】 设随机变量()~2,5X U ,现对X 进行三次独立重复观测,求至少有两次观测值大于3的概率.【例5】 设随机变量Y 服从参数为12λ=的指数分布,求关于未知量x 的方程2230x Yx Y ++−=没有实根的概率.【例6】 设随机变量的概率密度函数为()221e ()x x f x k x −+−=−∞<<+∞X则常数=_______k .【例7】 设随机变量()22,X N σ且{}240.3P X <<=,则{}0_______P X <=.【例8】 设随机变量()2,X N μσ,则概率{}P X μσ−<的值随着σ的增大而( )(A )增大 (B )减小 (C )保持不变 (D )无法确定考点:随机变量函数的分布1.离散型随机变量函数的分布设X 为离散型随机变量,其概率分布为{},1,2,i i P X x p i ===,函数()g x 连续,则随机变量()Y g X =的分布律为{}(),1,2,i k k i g x y P Y y p k ====∑.做法:找到Y 全部可能的取值,算出相应值的概率.【例1】 设随机变量X 在()1,2−上服从均匀分布,1,01,0X Y X −<⎧=⎨≥⎩,求Y 的分布律.【例2】(课后作业)设随机变量X 的概率分布为,求常数和的概率分布. 2.连续型随机变量函数的分布情形一:Y 为离散型. 做法:找到Y 全部可能的取值,算出相应值的概率. 情形二:Y 为连续型.(1)分布函数法(代数法和几何法)先求出()Y g X =的分布函数()Y F y ,即()(){}()()Y g x y F y P g X y f x dx ≤=≤=⎰,再对()YF y 求导得到Y 的概率密度()Y f y .(2)公式法 若()y g x =在X 的取值区间内有连续导数()g x ',且()0g x '>或者()0g x '<,则()Y g X =是连续型随机变量,且其概率密度为{}(1,2,)3k c P X k k ===c sin()2Y X π=()()()',0,X Y f h y h y y f y αβ⎧<<⎡⎤⎪⎣⎦=⎨⎪⎩其他其中(),αβ为()y g x =的值域,()h y 是()g x 的反函数.情形三:Y 既非连续型又非离散型 做法:分布函数法求其分布函数.【例3】 设随机变量X 服从()0,2上的均匀分布,则随机变量2Y X =在()0,4内的概率密度()Y f y _______=.【例4】 设随机变量X 的概率密度为()22,00,x x f x ππ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其它,求sin Y X =的概率密度()Y f y .。

2023版高三数学复习优秀课件《随机变量及其分布》

2023版高三数学复习优秀课件《随机变量及其分布》
(3)列成表格。
一个口袋中装有大小相同的2个白球和4个 黑球,采取不放回抽样方式,从中摸出两个小 球,求摸得白球的个数的分布列.
1、离散型随机变量取值的平均值 数学期望
X x1 x2 ··· xi ··· xn P p1 p2 ··· pi ··· pn EX x1 p1 x2 p2 xi pi xn pn
地从其中一盒中取出一根。试求他发现一
盒已空时,另一盒中剩下的火柴根数k的分
布列。PΒιβλιοθήκη Cn 2nk1 2
2nk
,
k
0,1,
2,
,n
盒中有9个正品和3个次品零件,每次取 出一个零件,如果取出的次品不再放回,则 在取得正品前已取出的次品数X的分布列。
某射手有5发子弹,射击一次命中的概率 为0.8.
⑴如果命中了就停止射击,否则一直射击到子
ξ取每一个值 xi (i 1, 2, )的概率
P( xi ) pi
则表
ξ x1 x2 … xi …
p
p1
p2 … pi …
称为随机变量ξ的概率分布,简称ξ的分布列。
根据随机变量的意义与概率的性质, 你能得出分布列有什么性质?
两个关健步骤: ⑴列出随机变量ξ的所有取值;
⑵求出ξ的每一个取值的概率.
C191
(
3 8
)10
(
5 8
)2
得a≤10000 故最大定为10000元。
袋中有7只白球, 3只红球, 白球中有4只 木球, 3只塑料球; 红球中有2只木球, 1只塑 料球.
现从袋中任取1球, 假设每个球被取到 的可能性相同. 若已知取到的球是白球, 问 它是木球的概率是多少?
条件概率 P(B A)(conditional probability ):

高考理科数学二轮专题提分教程全国课件概率随机变量及其分布列

高考理科数学二轮专题提分教程全国课件概率随机变量及其分布列

方差
描述随机变量取值的离散程度,即各数值与其 均值之差的平方的平均值。
标准差
方差的算术平方根,用于衡量数据的波动大小。
协方差与相关系数
协方差
衡量两个随机变量的总体误差,反映两 个变量变化趋势是否一致。
VS
相关系数
将协方差标准化后的结果,消除了量纲影 响,更客观地反映两个变量间的线性相关 程度。
矩、峰度和偏度
自助法
02
03
贝叶斯区间估计
通过对样本进行重复抽样来模拟 总体分布,进而得到参数的区间 估计。
在贝叶斯统计框架下,利用先验 信息和样本信息计算后验分布, 进而得到参数的区间估计。
假设检验基本原理和步骤
01
基本原理:在总体分布未知的情况下,通过构造检验统计 量并根据其分布进行决策,判断原假设是否成立。
概率的定义
概率是描述随机事件发生的可能性的 数值,其值介于0和1之间。
概率的性质
概率具有非负性、规范性(所有可能 事件的概率之和为1)、可加性(互 斥事件的概率之和等于它们各自概率 的和)。
条件概率与独立性
条件概率
在已知某个事件发生的条件下,另一个事件发生的概率。条件概率的计算公式为P(A|B) = P(AB) / P(B),其中 P(AB)表示事件A和事件B同时发生的概率,P(B)表示事件B发生的概率。
性质
边缘分布律/密度函数也具有非负 性和归一性,且可以由联合分布 律/密度函数求得。
条件分布律/密度函数
条件分布律
对于离散型二维随机变量,其条 件分布律是指在已知其中一个随 机变量取某个值的条件下,另一 个随机变量取某个值的概率。
条件密度函数
对于连续型二维随机变量,其条 件密度函数是指在已知其中一个 随机变量在某个区间内取值的条 件下,另一个随机变量在某个点 取值的概率。

高三数学 (选修二)第一章 概率与统计 全套课件简介

高三数学 (选修二)第一章 概率与统计 全套课件简介

高三数学(选修二)第一章概率与统计全套课件简介1.离散型随机变量的分布列课件简介:本课件为ppt文件,本课件由复习、离散型随机变量、离散型随机变量的分布列和例题几部分组成.课件中公式、要点显示清晰,这样节省了教师在黑板上的板书时间,使教师可以用更多的时间,进行思路的引导,学生智能的开发,利用这个课件,教师教着省劲,学生学得带劲,这样必将大面积的提高学生的学习成绩.例题的解题过程及思路分析,由教师在黑板上来完成.2. 离散型随机变量的分布列(续)课件简介:本课件为ppt文件,本课件由复习、二项分布、几何分布和例题几部分组成.课件中公式、要点显示清晰,这样节省了教师在黑板上的板书时间,使教师可以用更多的时间,进行思路的引导,学生智能的开发,利用这个课件,教师教着省劲,学生学得带劲,这样必将大面积的提高学生的学习成绩.例题的解题过程及思路分析,由教师在黑板上来完成.3.离散型随机变量的期望课件简介:本课件为ppt文件,本课件由复习、离散型随机变量的数学期望的概念、离散型随机变量得数学期望的性质和例题几部分组成.课件中公式、要点显示清晰,这样节省了教师在黑板上的板书时间,使教师可以用更多的时间,进行思路的引导,学生智能的开发,利用这个课件,教师教着省劲,学生学得带劲,这样必将大面积的提高学生的学习成绩.例题的解题过程及思路分析,由教师在黑板上来完成.4.离散型随机变量的期望(续)课件简介:本课件为ppt文件,本课件由复习、服从二项分布的随机变量的期望、服从几何分布的随机变量的期望和例题几部分组成.课件中公式、要点显示清晰,这样节省了教师在黑板上的板书时间,使教师可以用更多的时间,进行思路的引导,学生智能的开发,利用这个课件,教师教着省劲,学生学得带劲,这样必将大面积的提高学生的学习成绩.例题的解题过程及思路分析,由教师在黑板上来完成.5.方差课件简介:本课件为ppt文件,本课件由复习、一组数据的方差、离散型随机变量的方差和例题几部分组成.课件中公式、要点显示清晰,这样节省了教师在黑板上的板书时间,使教师可以用更多的时间,进行思路的引导,学生智能的开发,利用这个课件,教师教着省劲,学生学得带劲,这样必将大面积的提高学生的学习成绩.例题的解题过程及思路分析,由教师在黑板上来完成.6.抽样方法课件简介:本课件为ppt文件,本课件由引言和简单随机抽样的两种方法组成.课件在随机数表法的第六页,制作了抽取数字的特技动画,相信可以引起学生的兴趣,课件中知识的要点显示清晰,这样节省了教师在黑板上的板书时间,使教师可以用更多的时间,进行思路的引导,学生智能的开发,利用这个课件,教师教着省劲,学生学得带劲,这样必将大面积的提高学生的学习成绩.例题的解题过程及思路分析,由教师在黑板上来完成.7.系统抽样和分层抽样课件简介:本课件为ppt文件,本课件由复习简单随机抽样、系统抽样、分层抽样和三种抽样的比较等几部分组成.课件中知识的要点显示清晰,这样节省了教师在黑板上的板书时间,使教师可以用更多的时间,进行思路的引导,学生智能的开发,利用这个课件,教师教着省劲,学生学得带劲,这样必将大面积的提高学生的学习成绩.8.总体分布的估计课件简介:本课件为ppt文件,本课件由抛掷硬币试验的总体分布、某种产品尺寸的总体分布两大部分组成. 都通过具体例子来说明了总体分布直方图的画法.课件中知识的要点显示清晰,这样节省了教师在黑板上的板书时间,使教师可以用更多的时间,进行思路的引导,学生智能的开发,利用这个课件,教师教着省劲,学生学得带劲,这样必将大面积的提高学生的学习成绩.9.正态分布课件简介:本课件为ppt文件,本课件由问题的引入、正态分布的概念、几条正态曲线、实际问题中的正态分布、正态曲线的性质、标准正态分布表的使用和例题几部分组成.图形具有动态感,有现场快速画图的感觉,相信这一定可以引起学生的兴趣.课件中知识的要点显示清晰,这样节省了教师在黑板上的板书时间,使教师可以用更多的时间,进行思路的引导,学生智能的开发,利用这个课件,教师教着省劲,学生学得带劲,这样必将大面积的提高学生的学习成绩.例题的解题过程及思路分析,由教师在黑板上来完成.10.线性回归课件简介:本课件为ppt文件,本课件由函数关系和相关关系、散点图、回归直线方程和回归直线和例题等几部分组成.在封面配合本课内容制作了小动画,课件中的图形具有动态感,有现场快速画图的感觉,相信这些一定可以引起学生的兴趣.课件中知识的要点显示清晰,这样节省了教师在黑板上的板书时间,使教师可以用更多的时间,进行思路的引导,学生智能的开发,利用这个课件,教师教着省劲,学生学得带劲,这样必将大面积的提高学生的学习成绩.11.线性回归(续)课件简介:本课件为ppt文件,本课件由问题的提出、样本相关系数、如何确定两个变量是否具有线性相关关系和相应的例题等几部分组成.在封面配合本课内容制作了小动画,相信这一定可以引起学生的兴趣.课件中知识的要点显示清晰,这样节省了教师在黑板上的板书时间,使教师可以用更多的时间,进行思路的引导,学生智能的开发,利用这个课件,教师教着省劲,学生学得带劲,这样必将大面积的提高学生的学习成绩.。

2025高考数学一轮复习-8.2.1.2-离散型随机变量的概率分布【课件】

2025高考数学一轮复习-8.2.1.2-离散型随机变量的概率分布【课件】

例 2 设随机变量 X 的概率分布列 PX=5k=ak(k=1,2,3,4,5). (1)求常数 a 的值;
解 由题意知,所给概率分布为
X
1 5
2 5
3 5
4 5
1
P
a
2a
3a
4a
5a
由概率分布的性质得a+2a+3a+4a+5a=1, 解得 a=115.
(2)求 PX≥35.
解 方法一 PX≥35=PX=35+PX=45+P(X=1)=135+145+155=45. 方法二 PX≥35=1-PX≤25=1-115+125 =45.
解 用X表示摸出的2个球中的白球个数,X的所有可能取值为0,1,2.
P(X=0)=C1022=110,P(X=1)=C113C0 12=35, P(X=2)=C1023=130. 故X的概率分布为
X
0
1
2
P
1 10
3 5
3 10
跟踪训练1 一袋中装有4只同样大小的球,编号分别为1,2,3,4,现从中 随机取出2个球,用X表示取出球的最大号码,求X的概率分布.
注意点: (1)概率分布表中x1,x2,…,xn表示离散型随机变量X可能取的不同值, p1,p2,…,pn表示X取每一个值xi(i=1,2,…,n)的概率P(X=xi)=pi. (2)随机变量X取值为x1,x2,…,xn时所对应事件是互斥的.
例1 一个箱子里装有5个大小相同的球,有3个白球,2个红球,从中摸 出2个球. (1)求摸出的2个球中有1个白球和1个红球的概率;
解 由题意知,X 服从两点分布,P(X=0)=CC22210909=19090, 所以 P(X=1)=1-19090=1100. 所以随机变量X的概率分布为

2023年新高考重难点汇编重难点:概率与统计(解析版)

2023年新高考重难点汇编重难点:概率与统计(解析版)

新高考概率与统计主要考查统计分析、变量的相关关系,独立性检验、用样本估计总体及其特征的思想,以排列组合为工具,考查对五个概率事件的判断识别及其概率的计算。

试题考查特点是以实际应用问题为载体,小题部分主要是考查排列组合与古典概型,解答题部分主要考查独立性检验、超几何分布、离散型分布以及正态分布对应的数学期望以及方差。

概率的应用立意高,情境新,赋予时代气息,贴近学生的实际生活。

取代了传统意义上的应用题,成为高考中的亮点。

解答题中概率与统计的交汇是近几年考查的热点趋势,应该引起关注。

求解概率问题首先确定是何值概型再用相应公式进行计算,特别对于解互斥事件(独立事件)的概率时,要注意两点:(1)仔细审题,明确题中的几个事件是否为互斥事件(独立事件),要结合题意分析清楚这些事件互斥(独立)的原因;(2)要注意所求的事件是包含这些互斥事件(独立事件)中的哪几个事件的和(积),如果不符合以上两点,就不能用互斥事件的和的概率.离散型随机变量的均值和方差是概率知识的进一步延伸,是当前高考的热点内容.解决均值和方差问题,都离不开随机变量的分布列,另外在求解分布列时还要注意分布列性质的应用.捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组,当作一个大元素参与排列。

相离问题插空排:元素相离(即不相邻)问题,可先把无位置要求的几个元素全排列,再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端。

定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序,可用缩小倍数的方法。

标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上,可先把某个元素按规定排入,第二步再排另一个元素,如此继续下去,依次即可完成。

有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组,可用逐步下量分组法。

对于二项式定理的应用,只要会求对应的常数项以及对应的n 项即可,但是应注意是二项式系数还是系数。

重难点04概率与统计新高考统计主要考查统计分析、变量的相关关系,独立性检验、用样本估计总体及其特征的思想,以排列组合为工具,考查对五个概率事件的判断识别及其概率的计算。

2023全国高考数学统计与概率专题

2023全国高考数学统计与概率专题

2023全国高考数学统计与概率专题
引言
本文档旨在提供2023全国高考数学统计与概率专题的概述和重点内容。

通过对该专题的了解,学生可以更好地准备和应对高考数学考试。

一、概率计算
1. 确定事件的概率:介绍如何计算事件的概率,包括基本事件和复合事件。

2. 概率分布函数:讲解离散型随机变量和连续型随机变量的概率分布函数。

3. 期望值的计算:介绍如何计算离散型和连续型随机变量的期望值,包括线性期望值的性质。

二、统计推断
1. 抽样方法:介绍简单随机抽样、整群抽样和分层抽样等常用的抽样方法。

2. 参数估计:讨论点估计和区间估计的概念和计算方法,包括样本均值和样本方差的估计。

3. 假设检验:介绍如何进行假设检验,包括设立假设、选择显著性水平和计算检验统计量。

三、相关性和回归分析
1. 相关系数:介绍相关系数的概念和计算方法,包括皮尔逊相关系数和斯皮尔曼相关系数。

2. 线性回归分析:讲解线性回归的原理和应用,包括最小二乘法的计算和回归方程的确定。

结论
本文档简要介绍了2023全国高考数学统计与概率专题的主要内容,包括概率计算、统计推断和相关性回归分析。

学生们可以结合此文档进行针对性的复习和备考,以提高数学成绩。

祝各位同学取得优异的成绩!。

初中数学九年级专题八《统计与概率》试卷含答案

初中数学九年级专题八《统计与概率》试卷含答案

专题八《统计与概率》试卷含答案(考试时间120分钟,试卷满分120分)一、选择题1、在某次体育测试中,九年级三班6位同学的立定跳远成绩(单位:m)分别为:1.71,1.85,1.85,1.96,2.10,2.31.则这组数据的众数和极差分别是()A.1.85和0.21B.2.11和0.46C.1.85和0.60D.2.31和0.602.某市五月份连续五天的日最高气温分别为23、20、20、21、26(单位:°C),这组数据的中位数和众数分别是()A. 22°C,26°CB. 22°C,20°CC. 21°C,26°CD. 21°C,20°C3.有13位同学参加学校组织的才艺表演比赛.已知他们所得的分数互不相同,共设7个获奖名额.某同学知道自己的比赛分数后,要判断自己能否获奖,在下列13名同学成绩的统计量中只需知道一个量,它是()A.方差B.平均数C.众数D.中位数4、某校为了了解九年级学生的体能情况,随机抽查了其中的30名学生,测试了1分钟仰卧起座的次数,并绘制成如图所示的频数分布直方图,请根据图示计算,仰卧起座次数在15~20次之间的频率是()A.0.1 B.0.17 C.0.33 D.0.45.某企业1~5月分利润的变化情况图所示,以下说法与图中反映的信息相符的是()A)1~2月分利润的增长快于2~3月分利润的增长B)1~4月分利润的极差于1~5月分利润的极差不同C)1~5月分利润的的众数是130万元D)1~5月分利润的的中位数为120万元6、要反映乌鲁木齐市一天内气温的变化情况宜采用()A.条形统计图B.扇形统计图C.频数分布直方图D.折线统计图7、为了参加市中学生篮球运动会,一支校篮球队准备购买10双运动鞋,各种尺码统计如下表:尺码(厘米)25 25.5 26 26.5 27 购买量(双) 1 2 3 2 2则这10双运动鞋尺码的众数和中位数分别为( )A 、25.5厘米,26厘米B 、26厘米,25.5厘米C 、25.5厘米,25.5厘米D 、26厘米,26厘米8.某班体育委员记录了第一小组七位同学定点投篮(每人投10个)的情况,投进篮框的个数为6,10,5,3,4,8,4,这组数据的中位数和极差分别是A .4,7B .7,5C .5,7D .3,79.甲、乙两人在相同的条件下,各射靶10次,经过计算:甲、乙射击成绩的平均数都是8环,甲的方差是1.2,乙的方差是1.8.下列说法中不一定正确的是( )A .甲、乙射中的总环数相同B .甲的成绩稳定C .乙的成绩波动较大D .甲、乙的众数相同10.如图,有三条绳子穿过一片木板,姊妹两人分别站在木板的左、右两边,各选该边的一段绳子.若每边每段绳子被选中的机会相等,则两人选到同一条绳子的概率为A . 21B . 31C . 61 D . 91 11.小明的讲义夹里放了大小相同的试卷共12页,其中语文4页、数学2页、英语6页,他随机地从讲义夹中抽出1页,抽出的试卷恰好是数学试卷的概率为( )A .21B .31C .61D .121 12.在 6张完全相同的卡片上分别画上线段、等边三角形、平行四边形、直角梯形、正方形和圆. 在看不见图形的情况下随机摸出1张,这张卡片上的图形是中心对称图形的概率是( )A .61 B .31 C .21 D .3213.小明要给刚结识的朋友小林打电话,他只记住了电话号码的前5位的顺序,后3位是3,6,8三个数字的某一种排列顺序,但具体顺序忘记了,那么小明第一次就拨通电话的概率是( )A .121B .61C .41 D .31 二、填空题14、妈妈做了一份美味可口的菜品,为了了解菜品的咸淡是否适合,于是妈妈取了一点品尝,这应该属于 .(填普查或抽样调查)15、甲、乙两位同学参加跳高训练,在相同条件下各跳10次,统计各自成绩的方差得22S S 乙甲,则成绩较稳定的同学是___________.(填“甲”或“乙”)16.在一个不透明的布袋中,有黄色、白色的乒乓球共10个,这些球除颜色外都相同.小刚通过多次摸球实验后发现其中摸到黄球的频率稳定在60%,则布袋中白色球的个数很可能是 个.17.在一个不透明的袋子中有2个黑球、3个白球,它们除颜色外其他均相同.充分摇匀后,先摸出1个球不放回,再摸出1个球,那么两个球都是黑球的概率为 .18.一个口袋中装有10个红球和若干个黄球.在不允许将球倒出来数的前提下,为估计口袋中黄球的个数,小明采用了如下的方法:每次先从口袋中摸出10个球,求出其中红球数与10的比值,再把球放回口袋中摇匀.不断重复上述过程20次,得到红球数与10的比值的平均数为0.4.根据上述数据,估计口袋中大约有 个黄球.19.现有点数为2,3,4,5的四张扑克牌,背面朝上洗匀,然后从中任意抽取两张,这两张牌上的数字之和为偶数的概率为______________.20.某校举行以“保护环境,从我做起”为主题的演讲比赛.经预赛,七、八年级各有一名同学进入决赛,九年级有两名同学进入决赛.前两名都是九年级同学的概率是 .21.有三张大小、形状完全相同的卡片,卡片上分别写有数字1、2、3,从这三张卡片中随机同时抽取两张,用抽出的卡片上的数字组成两位数,这个两位数是偶数的概率是 .22.在如图所示的矩形纸片上作随机扎针实验,则针头扎在阴影区域的概率为___ _____.23.在猜一商品价格的游戏中,参与者事先不知道该商品的价格,主持人要求他从如图的四张卡片中任意拿走一张,使剩下的卡片从左到右连成一个三位数,该数就是他猜的价格.若商品的价格是360元,那么他一次就能猜中的概率是.三、解答题24.我国是世界上严重缺水的国家之一.为了倡导“节约用水从我做起”,小刚在他所在班的50名同学中,随机调查了10名同学家庭中一年的月均用水量(单位:t),并将调查结果绘成了如下的条形统计图.(Ⅰ)求这10个样本数据的平均数、众数和中位数;(Ⅱ)根据样本数据,估计小刚所在班50名同学家庭中月均用水量不超过7 t的约有多少户.25.从车站到书城有A1、A2、A3、A4四条路线可走,从书城到广场有B1、B2、B3三条路线可走,现让你随机选择一条从车站出发经过书城到达广场的行走路线.画树状图分析你所有可能选择的路线.你恰好选到经过路线B1的概率是多少?26.市种子培育基地用A、B、C三种型号的甜玉米种子共1500粒进行发芽试验,从中选出发芽率高的种子进行推广,通过试验知道,C型号种子的发芽率为80%.根据试验数据绘制了下面两个不完整的统计图(图1、图2):(1)C型号种子的发芽数是_________粒;(2)通过计算说明,应选哪种型号的种子进行推广?(精确到1%)(3)如果将所有已发芽的种子放到一起,从中随机取出一粒,求取到C型号发芽种子的概率.27.小莉的爸爸买了今年七月份去上海看世博会的一张门票,她和哥哥两人都很想去观看,可门票只有一张,读九年级的哥哥想了一个办法,拿了八张扑克牌,将数字为1,2,3,5的四张牌给小莉,将数字为4,6,7,8的四张牌留给自己,并按如下游戏规则进行:小莉和哥哥从各自的四张牌中随机抽出一张,然后将抽出的两张扑克牌数字相加,如果和为偶数,则小莉去;如果和为奇数,则哥哥去.(1)请用数状图或列表的方法求小莉去上海看世博会的概率;(2)哥哥设计的游戏规则公平吗?若公平,请说明理由;若不公平,请你设计一种公平的游戏规则.专题八 统计与概率一、选择题1、C 2.D 3. D 4、A 5. C 6、D 7、D 8.C 9.D 10.B11.C 12.D 13.B二、填空题14、抽样调查 15、甲 16.4 17.101 18.15 19.31 20.61 21.31 22.41 23.41 三、解答题24.解:(Ⅰ)观察条形图,可知这组样本数据的平均数是 62 6.54717.5281 6.810x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==.∴ 这组样本数据的平均数为6.8. ∵ 在这组样本数据中,6.5出现了4次,出现的次数最多,∴ 这组数据的众数是6.5.∵ 将这组样本数据按从小到大的顺序排列,其中处于中间的两个数都是6.5,有6.5 6.5 6.52+=, ∴ 这组数据的中位数是6.5.(Ⅱ)∵ 10户中月均用水量不超过7 t 的有7户,有 7503510⨯=. ∴ 根据样本数据,可以估计出小刚所在班50名同学家庭中月均用水量不超过7 t 的约有35户.25.解(1)(2)从车站到书城共有12条路线,经过B 1的路线有4条. ∴P (经过B 1)=124=31. 26.解:(1)480.(2)A 型号种子数为:1500×30%=450,发芽率=450420×100%≈93%.B 型号种子数为:1500×30%=450,发芽率=450370×100%≈82%.C 型号种子数发芽率是80%. ∴选A 型号种子进行推广.(3)取到C 型号发芽种子的概率=480370420480++=12748.27.解:(1)所有可能的结果如有表:一共有16种结果,每种结果出现的可能性相同.和为偶数的概率为83166= ,所以小莉去上海看世博会的概率为83 , (2)由(1)列表的结果可知:小莉去的概率为83,哥哥去的概率为85,所以游戏不公平,对哥哥有利.游戏规则改为:若和为偶数则小莉得5分,若和为奇数则哥哥得3分,则游戏是公平的.。

专题八 统计与概率

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(2013· 营口 )小丽和小华想利用摸球游戏决定 谁去参加市里举办的书法比赛,游戏规则是:在一个 不透明的袋子里装有除数字外完全相同的 4 个小球, 上面分别标有数字 2,3,4,5.一人先从袋中随机摸出一个 小球,另一人再从袋中剩下的 3 个小球中随机摸出一 个小球.若摸出的两个小球上的数字和为偶数,则小 丽去参赛;否则小华去参赛. (1)用列表法或画树状(形 )图法,求小丽参赛的概 率. (2)你认为这个游戏公平吗?请说明理由.
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4.(2013· 聊城 )下列事件:①在足球赛中,弱队战 胜强队;②抛掷一枚硬币,落地后正面朝上;③任取 两个正整数,其和大于 1;④长分别为 3,5,9 厘米的三 条线段能围成一个三角形.其中确定事件的个数 是 ( B ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解析:①②属于随机事件,③ 是必然事件, ④是 不可能事件,所以属于确定事件的是③④ .
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解析:根据题意,画出树状图如下:
一共有 6 种情况,在第二象限的点有 (- 1,1), (- 1,2) 2 1 共 2 个,所以 P= = .故选 B. 6 3 答案: B
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二、填空题 11. (2013· 牡丹江 )一组正整数 2,3,4, x 从小到大 排列,已知这组数据的中位数和平均数相等,那么 x 的值是 5 . 解析: ∵ 这组数据的中位数和平均数相等,∴ (3 + 4)÷ 2= (2+ 3+ 4+ x)÷ 4,解得 x= 5.
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《概率论与数理统计》第二章基础知识小结

《概率论与数理统计》第二章基础知识小结

《概率论与数理统计》第二章基础知识小结第二章、基础知识小结一、 离散型分布变量分布函数及其分布律 1. 定义:),3,2,1(}{ ===i p x X P i iX1x 2x 3x … k x …P1p 2p 3p … k p …2.分布律}{k p 的性质: (1);,2,1,0 =≥k p k (2)11=∑∞=k k p3.离散型随机变量的分布函数:∑≤=≤=xx kk px X P x F }{)(4.分布函数F (X )的性质: (1)1)(0≤≤x F(2))(x F 是不减函数,0)()(}{1221≥-=≤<x F x F x X x P(3)1)(,0)(=+∞=-∞F F ,即1)(lim ,0)(lim ==+∞→-∞→x f x f x x (4))(x F 右连续,即)()(lim )0(0x F x x F x F x =∆+=+→∆(5))()(}{}{}{a F b F a X P b X P b X a P -=≤-≤=≤<)(1}{1}{a F a X P a X P -=≤-=>5.三种常见的离散型随机变量的概率分布(1)0-1分布(),1(~p B X )X 0 1 Pp q(2)二项分布(),(~p n B X )n k q p C k X P p kn k k n k ,,2,1,0,}{ ====-(3)泊松分布()(~λP X ),,,2,1,0,!}{n k e k k X P p kk ====-λλ二、连续型随机变量分布函数及其概率密度 1.连续型随机变量的分布函数即概率密度定义:dt t f x X P x F x⎰∞-=<=)(}{)(其中,)(x F 为X 的分布函数,)(x f 为X 的概率密度。

2.概率密度的性质 (1)0)(≥x f (2)1)(=⎰+∞∞-dx x f(3)dx x f a F b F b X a P ba ⎰=-=≤<)()()(}{ (4))()(x f x F ='3.三种常见的连续型随机变量 (1)均匀分布(),(~b a U X )⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其他,0,1)(b x a a b x f(2)指数分布()(~λE X )⎩⎨⎧≤>=-0,00,)(x x e x f x λλ(3)正态分布(),(~2σμN X )+∞<<-∞=--x ex f x ,21)(222)(σμσπ(4)标准正态分布()1,0(~N X )及其性质+∞<<-∞=-x ex f x ,21)(22π性质:A.)(1)(x x ΦΦ-=-B.21)0(=Φ(5)非标准正态分布标准化 设),(~2σμN X ,则z =x −μσ~N(0,1)三、随机变量函数的概率分布 1.离散型随机变量函数的概率分布 设离散型随机变量X 的分布律为:X1x 2x 3x …k x …P1p 2p 3p …k p …则X 的函数)(X g Y =的分布律为:X)(1x g )(2x g )(3x g … )(k x g …P1p 2p 3p …k p …2.连续型随机变量函数的分布设X 的连续型随机变量,其概率密度为)(x f X 。

2025年高考概率与统计知识点精讲

2025年高考概率与统计知识点精讲

2025年高考概率与统计知识点精讲高考中的概率与统计是数学学科中的重要组成部分,对于同学们理解和处理现实生活中的不确定性问题具有关键作用。

在 2025 年的高考中,这部分知识依然会占据重要地位。

下面,让我们详细地梳理一下相关的知识点。

一、随机事件与概率(一)随机事件随机事件是在一定条件下,可能出现也可能不出现,而在大量重复试验中具有某种规律性的事件。

我们通常用大写字母 A、B、C 等来表示随机事件。

(二)概率概率是用来描述随机事件发生可能性大小的数值。

对于一个随机事件 A,其概率 P(A)的值介于 0 到 1 之间。

如果 P(A) = 0,表示事件 A 不可能发生;如果 P(A) = 1,表示事件 A 必然发生;如果 0 < P(A) < 1,则事件 A 有可能发生。

计算概率的方法主要有以下几种:1、古典概型:如果一个试验中所有可能的结果是有限的,并且每个结果出现的可能性相等,那么事件 A 的概率可以通过 A 包含的基本事件个数 m 除以总的基本事件个数 n 来计算,即 P(A) = m / n 。

2、几何概型:如果一个试验的结果是无限的,且每个结果出现的可能性相等,那么事件 A 的概率可以通过 A 对应的区域长度(面积或体积)除以总的区域长度(面积或体积)来计算。

二、事件的关系与运算(一)事件的关系1、包含关系:如果事件 A 发生必然导致事件 B 发生,那么称事件B 包含事件 A,记作 A ⊆ B 。

2、相等关系:如果 A ⊆ B 且 B ⊆ A ,则称事件 A 与事件 B 相等,记作 A = B 。

(二)事件的运算1、并事件(和事件):事件 A 或事件 B 至少有一个发生的事件称为事件 A 与事件 B 的并事件,记作 A ∪ B 。

2、交事件(积事件):事件 A 和事件 B 同时发生的事件称为事件A 与事件B 的交事件,记作A ∩ B 。

3、互斥事件:如果事件 A 与事件 B 不能同时发生,即A ∩ B =∅,则称事件 A 与事件 B 互斥。

超实用高考数学重难点专题复习:专题八 概率与统计 第二讲 概率,随机变量及分布列

超实用高考数学重难点专题复习:专题八 概率与统计  第二讲 概率,随机变量及分布列
• 专题八 概率与统计
• 第二讲
概率,随机变量及分布列
距离高考还有一段时间,不少有经验的老师都会提醒考生,愈是临近高考,
能否咬紧牙关、学会自我调节,态度是否主动积极,安排是否科学合理,能不
能保持良好的心态、以饱满的情绪迎接挑战,其效果往往大不一样。以下是本
人从事10多年教学经验总结出的超实用新高考数学专题复习讲义希望可以帮助
高考临近,有些考生精神过度紧张,甚至病倒。我们提醒大家,防止两个极端
的做法:一是彻底放松,破坏了长期形成的生物钟,会适得其反。另一个就是
挑灯夜战,加班加点,导致考前过度疲劳,临考时打不起精神。建议考生,休
息调整是必要的,但必须的是微调,特别要把兴奋状态逐步调整到上午9:00—
—11:30,下午3:00——5:00。高考前还要注意饮食的科学和规律,不能大
基础比较薄弱的同学来讲,就更应该仔细阅读教材,认真琢磨书上的例题,体
会其中包含的数学思想和数学方法。这对于我们提高数学能力是非常有帮助的

对于课外参考书的选择我认为选择一到两本适合自己的参考书,把里面的精髓
学懂学会就足够了,不必弄的太多,弄的太多,反而对自己是一个很大的包袱

第二轮复习,即专题强化复习阶段
答高考解答题的能力。此阶段学生不应沉迷于套卷演练,而应以典型例题为
载体,以数学思想方法的灵活运用为线索,讲求解题策略,使自己在第一轮
复习的基础上,数学素质得以明显提升。值得注意的是在这个阶段当年的《
考试大纲》已经下发了,考生应该仔细阅读《考试大纲》,针对前期的复习
来查漏补缺,特别是对于《大纲》中与往年变动的地方我们一定高度重视,
公式求解.
2.间接法
当复杂事件正面情况比较多,反面情况较少,则可利用其对立事件进行求

(统考版)2023高考数学二轮专题复习:概率、随机变量及其分布列课件

(统考版)2023高考数学二轮专题复习:概率、随机变量及其分布列课件

归纳总结
解决概率、统计与其他知识的综合
角度3 概率、统计与数列的交汇 例 6 第24届冬奥会于2022年在中国北京和张家口举行,届时,北京 将成为第一个举办过夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会以及
亚洲运动会三项国际赛事的城市.在某次滑雪表演比赛中,抽取部分 参赛队员的分数(得分取正整数,满分为100分)作为样本(样本容量为n) 进行统计,并按照[60,70),[70,80),[80,90),[90,100](已知分 数 在 [90 , 100] 内 的 人 数 为 3) 的 分 组 作 出 如 图 所 示 的 频 率 分 布 直 方 图.据此解答如下问题:
例 1 (1)[2022·全国甲卷]从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中
无放回随机抽取2张,则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概
率为( )
A.15
B.13
C.25
D.23
答案:C
解析:从6张卡片中任取2张的取法有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),
(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,
[100,150)
A试验田/份
3
B试验田/份
6
[150,200) 6 10
[200,250] 11 4
把千粒质量不低于200克的大豆视为籽粒饱满,否则视为籽粒不饱 满.
(1)判断是否有97.5%的把握认为大豆籽粒饱满与播种日期有关?
(2)从A,B两块实验田中各抽取一份大豆,求抽取的大豆中至少有
一份籽粒饱满的概率;
且所发信息都能收到. (1)求辩论队员甲收到正队长或副队长所发比赛通知信息的概率; (2)记辩论队收到正队长或副队长所发比赛通知信息的队员人数为随

2023年高中数学《概率与统计》课件

2023年高中数学《概率与统计》课件

2023年高中数学《概率与统计》课件概率与统计是高中数学中的一门重要课程,它涉及到了我们生活中的种种事物,例如游戏、选举和商业等等。

2023年的高中数学《概率与统计》课件将带领同学们深入了解这一领域,并学习如何运用统计数据做出合理的推断和预测。

本文重点介绍了该课件的主要内容和形式。

一、课件概述2023年高中数学《概率与统计》课件着重强调了学生的实践动手能力,通过丰富的案例分析和实例演示来培养学生的解决问题的能力。

课件将以生动有趣的方式呈现概率与统计的基本概念和方法,充分吸引学生的注意力,并在课程结束后留下深刻的印象。

二、课件结构《概率与统计》课件将按照以下结构进行设计:1. 概率基础知识介绍概率的基本概念、性质和计算方法。

通过掷骰子、抽卡片等实例,引导学生从直观的角度认识概率,同时学习计算概率的方法。

2. 随机变量与概率分布讲解随机变量的概念和离散型与连续型随机变量的区别。

介绍常见的概率分布,如二项分布、正态分布等,并嵌入实际应用场景进行案例分析。

3. 统计基础知识引导学生认识统计学的重要性和应用场景,介绍数据的收集和整理方法,例如抽样调查、数据表格的制作等。

4. 描述统计与统计推断详细阐述描述统计的概念,包括数据统计指标(均值、中位数、众数等)的计算和应用。

同时介绍统计推断的原理和方法,如参数估计和假设检验。

5. 相关性与回归分析介绍相关性的概念和判断方法,通过实例演示展示相关性与因果性的区别。

讲解简单线性回归的原理和应用,引导学生发现变量之间的关系。

6. 概率与统计在现实生活中的应用针对概率与统计在现实生活中的广泛应用展开讨论,如金融投资中的风险评估、医学诊断中的准确度分析等。

通过实例和案例研究,激发学生对概率与统计的兴趣和应用能力。

三、课件特色《概率与统计》课件在设计过程中充分考虑了学生的学习特点,具有以下特色:1. 图文并茂课件采用丰富的图片、图表和动画,以直观的方式展示概率与统计的概念和实例,提高学生的理解和记忆效果。

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专题八 概率与统计 第二讲 概率,随机变量及分布列1.为了援助湖北抗击疫情,全国各地的白衣天使走上战场的第一线,他们分别乘坐6架我国自主生产的“运20”大型运输机,编号分别为1,2,3,4,5,6,同时到达武汉天河飞机场,每五分钟降落一架,其中1号与6号相邻降落的概率为( ) A.112B.16C.15D.132.一个不透明的袋子中装有4个完全相同的小球,球上分别标有数字为0,1,2,3.现甲从中摸出1个球后放回,乙再从中摸出1个球,谁摸出的球上的数字大谁获胜,则甲、乙各摸一次球后,甲获胜且乙摸出的球上数字为偶数的概率为( ) A.14B.13C.49D.3163.从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张,则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( ) A.110B.15C.310D.254.某次战役中,狙击手A 受命射击敌机,若要击落敌机,需命中机首2次或命中机中3次或命中机尾1次,已知A 每次射击,命中机首、机中、机尾的概率分别为0.2,0.4,0.1,未命中敌机的概率为0.3,且各次射击相互独立.若A 至多射击2次,则他能击落敌机的概率为( ) A.0.23B.0.2C.0.16D.0.15.设两个相互独立事件A ,B 都不发生的概率为19,则A 与B 都发生的概率的取值范围是( )A.80,9⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.15,99⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.28,39⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.40,9⎡⎤⎢⎥⎣⎦6.一个旅行团到漳州旅游,有百花村与云洞岩两个景点可选择,该旅行团选择去哪个景点相互独立.若旅行团选择两个景点都去的概率是49,只去百花村不去云洞岩与只去云洞岩不去百花村的概率相等,则旅行团选择去百花村的概率是( ) A.23B.13C.49D.197.某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责,每次献爱心活动均需该组织4位同学参加.假设李老师和张老师各自分别将活动通知的信息独立且随机地发给4位同学,且所发信息都能收到.则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为( )A.25B.1225C.1625D.458.(多选)从甲袋中摸出1个红球的概率是13,从乙袋中摸出1个红球的概率是12.从甲袋、乙袋各摸出1个球,则下列结论正确的是( )A.2个球都是红球的概率为16B.2个球不都是红球的概率为13C.至少有1个红球的概率为23D.2个球中恰有1个红球的概率为129. (多选)在4件产品中,有一等品2件,二等品1件(一等品与二等品都是正品),次品1件,现从中任取2件,则下列说法正确的是( )A.两件都是一等品的概率是13B.两件中有1件是次品的概率是12C.两件都是正品的概率是13D.两件中至少有1件是一等品的概率是5610. (多选)在一次随机试验中,A,B,C,D是彼此互斥的事件,且A B C D+++是必然事件,则下列说法正确的是( )A.A B+与C是互斥事件,也是对立事件B.B+C与D是互斥事件,但不是对立事件C.A C+与B D+是互斥事件,但不是对立事件D.A与B C D++是互斥事件,也是对立事件11.某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同,且在两次罚球中至多命中一次的概率为1625,则该队员每次罚球的命中率为__________.12.已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13.假定两球是否落入盒子互不影响,则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________;甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________.13.从甲、乙、丙、丁四人中随机选取两人,则甲、乙两人中有且只有一人被选取的概率为_____________.14.一个袋中装有四个形状、大小完全相同的球,球的编号分别为1,2,3,4.(1)从袋中随机取两个球,求取出的球的编号之和不大于4的概率.(2)先从袋中随机取一个球,该球的编号为m,将球放回袋中,然后再从袋中随机取一个球,该球的编号为n,求2n m<+的概率..假定甲、乙两位同学15.设甲、乙两位同学上学期间,每天7:30之前到校的概率均为23到校情况互不影响,且任一同学每天到校情况相互独立.(1)用X表示甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数,求随机变量X的分布列和数学期望;(2)设M为事件“上学期间的三天中,甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多2”,求事件M发生的概率.答案以及解析1.答案:D解析:6架飞机的降落顺序有66A 种,而1号与6号相邻降落的顺序有2525A A 种,所以所求事件的概率252566A A 1A 3P ==.故选D.2.答案:A解析:甲、乙各摸一次球,有可能的结果有4416⨯=(种),甲摸的数字在前,乙摸的数字在后,则甲获胜的情况有(1,0),(2,0),(2,1),(3,0),(3,1),(3,2),共6种. 其中甲、乙各摸一次球后,甲获胜且乙摸出的球上数字为偶数有4种,则所求概率41164P ==. 3.答案:D解析:先后有放回地抽取2张卡片的情况有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),共25种.其中满足条件的有(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),共10种情况.因此所求的概率102255P ==.故选D. 4.答案:A解析:A 每次射击,命中机首、机中、机尾的概率分别为0.2,0.4,0.1,未命中敌机的概率为0.3,且各次射击相互独立.若A 射击1次就击落敌机,则他击中了敌机的机尾,概率为0.1;若A 射击2次就击落敌机,则他2次都击中了敌机的机首,概率为0.20.20.04⨯=或者第1次没有击中机尾且第2次击中了机尾,概率为0.90.10.09⨯=,因此若A 至多射击2次,则他能击落敌机的概率为0.10.040.090.23++=.故选A. 5.答案:D解析:设事件A ,B 发生的概率分别为()P A x =,()P B y =,则1()()()(1)(1)9P AB P A P B x y ==-⋅-=,即11199xy x y +=++≥+x y =时取“=”,211)9∴≥23≤43(舍去),409xy ∴≤≤.4()()()0,9P AB P A P B xy ⎡⎤∴==∈⎢⎥⎣⎦.6.答案:A解析:用事件A 表示“旅行团选择去百花村”,事件B 表示“旅行团选择去云洞岩”,A ,B 相互独立,则4()9P AB =,()()P AB P AB =.设()P A x =,()P B y =,则4,9(1)(1),xy x y x y ⎧=⎪⎨⎪-=-⎩解得2,323x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或2,323x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(舍去),故旅行团选择去百花村的概率是23.故选A.7.答案:C解析:设“甲同学收到李老师的信息”为事件A ,“收到张老师的信息”为事件B ,A ,B 相互独立,42()()105P A P B ===,则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为33161()1(1())(1())15525P AB P A P B -=---=-⨯=.故选C. 8.答案:ACD解析:设“从甲袋中摸出1个红球”为事件1A ,“从乙袋中摸出1个红球为事件2A ,则()113P A =,()212P A =,且1A ,2A 独立.对于A 选项,2个球都是红球为12A A ,其概率为111326⨯=,故A 正确;对于B 选项,“2个球不都是红球”是“2个球都是红球”的对立事件,其概率为15166-=,故B 错误;对于C 选项,2个球中至少有1个红球的概率为()()1221211323P A P A -=-⨯=,故C 正确;对于D 选项,2个球中恰有1个红球的概率为1121132322⨯+⨯=,故D 正确.故选ACD. 9.答案:BD解析:由题意设一等品编号为a ,b ,二等品编号为c ,次品编号为d ,从中任取2件的基本情况有(,)a b ,(,)a c ,(,)a d ,(,)b c ,(,)b d ,(,)c d ,共6种. 对于A ,两件都是一等品的基本情况有(,)a b ,共1种,故两件都是一等品的概率116P =,故A 错误; 对于B ,两件中有1件是次品的基本情况有(,)a d ,(,)b d ,(,)c d ,共3种,故两件中有1件是次品的概率23162P ==,故B 正确;对于C ,两件都是正品的基本情况有(,)a b ,(,)a c ,(,)b c ,共3种,故两件都是正品的概率33162P ==,故C 错误;对于D ,两件中至少有1件是一等品的基本情况有(,)a b ,(,)a c ,(,)a d ,(,)b c ,(,)b d ,共5种,故两件中至少有1件是一等品的概率456P =,故D 正确. 10.答案:BD解析:由于A ,B ,C ,D 彼此互斥,且A B C D +++是必然事件,故事件的关系如图所示.由图可知,任何一个事件与其余三个事件的和事件互为对立,任何两个事件的和事件与其余两个事件中任何一个是互斥事件,任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件互为对立,故B,D 中的说法正确.11.答案:35解析:设此队员每次罚球的命中率为p ,则216125p -=,所以35p =. 12.答案:16;23解析:甲,乙两球都落入盒子的概率为111236⨯=.方法一:甲、乙两球至少有一个落入盒子的情形包括:①甲落入、乙未落入的概率为121233⨯=;②甲未落入,乙落入的概率为111236⨯=;③甲,乙均落入的概率为111236⨯=.所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为11123663++=.方法二:甲,乙两球均未落入盒子的概率为121233⨯=,则甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为12133-=.13.答案:23解析:从甲、乙、丙、丁四人中随机选取两人,有{甲,乙},{甲,丙},{甲,丁},{乙,丙},{乙,丁},{丙,丁},共6种结果;其中甲、乙两人中有且只有一人被选取,有甲,丙},{甲,丁},{乙,丙},{乙,丁},共4种结果. 故甲、乙两人中有且只有一人被选取的概率为4263=. 14.答案:(1)13. (2)概率为1316. 解析:(1)从袋中随机取两个球,其一切可能的结果组成的样本点有:1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4,共6个.从袋中取出的两个球的编号之和不大于4的事件有:1和2,1和3,共2个, 因此所求事件的概率为2163P ==.(2)先从袋中随机取一个球,记下编号为,放回后,再从袋中随机取一个球,记下编号为m , 试验的样本空间{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),Ω=(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)},共16个样本点.又满足条件2n m ≥+的样本点有:(1,3),(1,4),(2,4),共3个. 所以满足条件2n m ≥+的事件的概率为1316P =,故满足条件2n m <+的事件的概率为1313111616P -=-=. 15.答案:(1)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立,且每天7:30之前到校的概均为23,故2~3,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭,从而3321()C ,0,1,2,333kkk P X k k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以随机变量X的分布列为随机变量X 的数学期望2()323E X =⨯=.(2)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为Y ,则2~3,3Y B ⎛⎫⎪⎝⎭,且{3,1}{2,0}M X Y X Y ===⋃==.由题意知事件{3,1}X Y ==与{2,0}X Y ==互斥,且事件{3}X =与{}1Y =,事件{}2X =与{}0Y =均相互独立,从而由(1)知()P M =({3,1}{2,0})(3,1)(2,P X Y X Y P X Y P X ==⋃=====+=8240)(3)(1)(2)(0)2799Y P X P Y P X P Y ====+===⨯+⨯12027243=.。

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