面积法解题例说
小学奥数之格点型面积求解(完整版)
小学奥数之格点型面积求解模块一、正方形格点问题在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等(通常规定是1个单位)，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点．在方格网中，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形，例如，右图中的乡村小屋图形就是一个格点多边形．那么，格点多边形的面积如何计算？它与格点数目有没有关系？如果有，这两者之间的关系能否用计算公式来表达？下面就让我们一起来探讨这些问题吧！用N 表示多边形内部格点，L 表示多边形周界上的格点，S 表示多边形面积，请同学们分析前几个例题的格点数．我们能发现如下规律：12LS N =+-．这个规律就是毕克定理．【例 1】 判断下列图形哪些是格点多边形？【考点】格点型面积 【难度】2星 【题型】判断 【解析】 根据格点多边形的定义可知，图形的边必须是直线段，顶点要在格点上！所以只有⑴是格点多边形．【答案】⑴是格点多边形⑴⑵⑶⑷4-2-7.格点型面积例题精讲毕克定理若一个格点多边形内部有N 个格点，它的边界上有L 个格点， 则它的面积为12LS N =+-．【例 2】 如图，计算各个格点多边形的面积．【考点】格点型面积 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 本题所给的图形都是规则图形，它们的面积运用公式直接可求，只要判断出相应的有关数据就行了．方法一：图⑴是正方形，边长是4，所以面积是4416⨯=(面积单位)；图⑴是矩形，长是5，宽是3，所以面积是5315⨯=(面积单位)；图⑴是三角形，底是5，高是4，所以面积是54210⨯÷=(面积单位)； 图⑴是平行四边形，底是5，高是3，所以面积是5315⨯=(面积单位)；图⑴是直角梯形，上底是3，下底是5，高是3，所以面积是353212+⨯÷=（）(面积单位)；图⑴是梯形，上底是3，下底是6，高是4，所以面积是364218+⨯÷=（）(面积单位)．如果两格点之间的距离是2，能利用刚计算的结果说出相应面积么？(教师总结：面积数值均扩大4倍．)方法二：以上部分图形除了利用各自的面积公式直接求出外，我们还可以从推导它们的面积公式过程中得到启发，即用“割补法”或“扩展法”分别转化成长方形来求．这一种方法很重要，在下面的题目中我们还将使用这种方法！如图⑴，我们利用“扩展法”将其转化，如图所示，从图中易知三角形面积是长方形面积的一半．如图⑴，我们利用“割补法”将其阴影部分面积平移到右边，转化成一个长方形，从中易得平行四边形面积．同理，图⑴、⑴也可利用同样的思想．【答案】图⑴16；图⑴15；图⑴10；图⑴15；图⑴12；图⑴18．【例 3】 如图(a )，计算这个格点多边形的面积．【考点】格点型面积 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 方法一(扩展法)．这是个三角形，虽然有三角形面积公式可用，但判断它的底和高却十分困难，只能另想别的办法：这个三角形是处在长是6、宽是4的矩形内，除此之外还有其他三个直角三角形，如下右图(b )，这三个直角三角形面积很容易求出，再用矩形面积减去这三个直角三角形面积，就是所要求的三角形面积．矩形面积是6424⨯=；直角三角形⑴的面积是：6226⨯÷=；直角三角形⑴的面积是：4224⨯÷=；直角三角形Ⅲ面积是4224⨯÷=；所求三角形的面积是2464410-++=（） (面积单位)．方法二(割补法)．将原三角形分割成两个我们方便计算面积的三角形，如(c )图．因此三角形的面积是：52252210⨯÷+⨯÷=(面积单位)．【答案】10【例 4】 右图是一个方格网，计算阴影部分的面积．【考点】格点型面积 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】新加坡小学数学奥林匹克竞赛 【解析】 扩展法．把所求三角形扩展成正方形ABCD 中．这个正方形中有四个三角形：一个是要求的AEF ；另外三个分别是：△ABE 、△FEC 、△DAF ，它们都有一条边是水平放置的，易求它们的面积分别为21.5cm ，22cm ，21.5cm ．所以，图中阴影部分的面积为：33 1.5224⨯-⨯+=（）(2cm )． 【答案】4【例 5】 分别计算图中两个格点多边形的面积．【考点】格点型面积 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 利用“扩展法”和“割补法”我们都可以简单的得到第一幅图的面积均为9面积单位．第二幅图的面积均为10面积单位．【点评】“一个格点多边形面积的大小很可能是由哪些因素决定呢？”“格点多边形内部的格点数和周界上的格点数与格点多边形的面积有没有什么内在联系呢？”下面我们就来探讨一下！ 在巩固中，我们发现两个图形面积相等．进一步还可以发现第一个图形边界上的格点数是8个；第二个图形边界上的格点数是10个，包含在图形内的格点数也相等，都是6个．【答案】第一幅图的面积均为9；第二幅图的面积均为10．【巩固】 求下列各个格点多边形的面积．【考点】格点型面积 【难度】3星 【题型】解答【解析】 ⑴ ⑴12L =；10N =，⑴1211011522L S N =+-=+-=(面积单位)；⑴ ⑴10L =；16N =，⑴1011612022L S N =+-=+-=(面积单位)；（1）（2）（3）（4）⑴ ⑴6L =；12N =，⑴611211422L S N =+-=+-=(面积单位)； ⑴ ⑴10L =；13N =，⑴1011311722L S N =+-=+-=(面积单位)．用N 表示多边形内部格点，L 表示多边形周界上的格点，S 表示多边形面积，请同学们分析前几个例题的格点数．我们能发现如下规律：12LS N =+-．这个规律就是毕克定理．【答案】⑴15；⑴ 20；⑴14；⑴17【例 6】 “乡村小屋”的面积是多少？【考点】格点型面积 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 图形内部格点数9N =；图形边界上的格点数20L = ；根据毕克定理， 则1182LS N =+-=(单位面积)．【答案】18【例 7】 右图是一个812⨯面积单位的图形．求矩形内的箭形ABCDEFGH 的面积．【考点】格点型面积 【难度】3星 【题型】解答【解析】 箭形ABCDEFGH 的面积810214842121232246=+÷-+⨯+÷-⨯=++=（）（） (面积单位)．【答案】46【例 8】 比较图中的两个阴影部分①和①的面积，它们的大小关系______【考点】格点型面积 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，二试，第9题，6分【解析】 ⑴的面积为：1112111313222⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，⑴的面积也为3223⨯÷=。
面积公式论文：三角形面积公式的坐标表示及简单应用
面积公式论文：三角形面积公式的坐标表示及简单应用坐标是数学中用于衡量图形具体位置的一个有序实数对，是将几何图形转化为代数形式的有力工具，它在几何学乃至人们的日常生活中起到了极其重要的作用.坐标的出现，为我们定量地研究几何图形的特征、性质提供了方便.三角形作为平面几何中最基本、最重要的图形，其基本元素就是三角形的三条边和三个顶点，那么如何利用三角形的边和顶点坐标来表示三角形的面积公式呢？笔者结合自身的教学实践例谈如下.命题：在△abc中，已知ab=(x1,y1)，ac=(x2,y2)，则三角形的面积公式的坐标表示为：s abc=12x1x 2 y1y 2=12｜x1y2-x2y1｜，其中行列式x1x 2 y1y2=x1y2-x2y 1.证明：因为ab=(x1,y2)，ac=(x2,y2)，所以s abc=12｜ab｜｜ac｜sin〈ab,ac〉=12｜ab｜｜ac｜1-cos2〈ab,ac〉=12｜ab｜｜ac｜1-(ab ac｜ab ｜｜ac｜)2=12(｜ab｜｜ac｜)2-(ab ac)2＝12（x21+y21x22+y22）2-(x1x2+y1y2)2=12(x21+y21)(x22+y22)-(x1x2+y 1y2)2=12x21y22+x22y21-2x1x2y 1y 2=12(x1y2-x2y1)2=12｜x1y2-x2y1｜＝12x1x 2 y1y 2.根据上面的证明，我们可以知道三角形面积公式除了以前学过的s abc=12×底×高，s abc=12absinc=12acsinb=12bcsina之外，还可以用三角形三边的向量坐标表示或三角形的三个顶点坐标表示，即：从三角形某个顶点出发的相邻两边的向量的交叉坐标乘积之差的绝对值的一半就是该三角形的面积.这一公式我们不妨把它称之为三角形面积公式的坐标表示.说明：如果知道了三角形的三个顶点，那么从三角形某个顶点出发的相邻两边的向量也容易表示，为此，还可以直接利用三角形的三个顶点坐标直接表示三角形的面积，即：已知三角形三个顶点坐标分别为 a（x1,y1）、b(x 2,y2)、c(x3,y3)，则ab=(x2-x1,y2-y1)，ac=(x3-x1,y3-y1)，所以s abc=12x2-x1x3-x 1 y2-y1y3-y1=12｜(x2-x1)(y3-y1)-(x 3-x1)(y2-y1)｜=12｜(x1y2+x2y3+x3y1)-(x2y 1+x3y2+x1y３)｜.【例1】已知△abc的三个顶点坐标分别为a(1,1)，b(4,2)，c(3,5)，求s abc的面积．解析：因为ab=(3,1)，ac=(2,4)，所以sabc=12｜34-12｜=5.点评：若采用常规解法，则需利用两点间的距离公式分别求出三角形的边长，再利用余弦定理求出三角形的一个夹角，最后代入s abc＝12absinc=12acsinb=12bcsina公式即可求解，步骤较为繁琐.现采用三角形面积公式的坐标表示，口算即可得出结论，并且直观、简洁、方便、灵活.【例2】已知△abc中，向量ba=(cos23°,cos67°)，bc=(2cos68°,2cos22°)，求△abc的面积．解析：因为ba=(cos23°,sin23°)，bc=(2cos68°,2cos22°)，所以s abc＝12｜cos23°2cos22°-sin23°2cos68°｜=12｜cos23°2cos22°-sin23°2sin22°｜=12｜2cos(23°+22°)｜=22.【例3】平面直角坐标系内有点p(sinx,cosx)，q(cosx,sinx)，x∈［-π24,π12］，o为坐标原点，求△opq 面积的最值．解析：因为点p(sinx,cosx)，q(cosx,sinx)，所以op=(sinx,cosx)，oq=(cosx,sinx)，所以s opq＝12sinxcosx cosxsinx=12|sinxsinx-cosxcosx|=12|cos2x|.因为x∈［-π24,π12］，所以当x=π12时，△opq面积的最小值为34；当x=0时，△opq面积的最大值为12．点评：利用三角形面积公式的坐标表示来求解三角形面积时，避免了对夹角和边长的繁琐运算，大大地提高了解题效率，让学生体会到数学的简洁美和对称美.【例4】（由2007年全国卷（ⅱ）理11改编）已知抛物线y2=4x的焦点为f，准线为l，经过点f且斜率为3的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点a，ak⊥l，垂足为k，求△akf的面积.解析：由题意知抛物线y2=4x的焦点坐标为f(1，0)，准线为l：x=-1，经过f且斜率为3的直线方程为：y=3(x-1)，直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点a的坐标为a(3，23).又因为ak⊥l，所以垂足的坐标为k(－1，23)，所以fa=(2,23) ，fk=(-2,23),所以△akf的面积为：s akf=12223-2 23=12|2×23-(-2)23=43.点评：本题除了可以利用上述办法解决之外，还可以直接联立抛物线方程：y2=4x和直线方程：y=3(x-1)，解出在x轴上方部分相交于点a的坐标(3，23)，然后易知，点a到准线的距离4为三角形的底边长，点a的纵坐标23为高，此时带入三角形的面积公式s =12×底×高=12×4×23=43.【例5】（由2006年浙江卷理4改编）在平面直角坐标系中，求不等式组x+y-2≥0,x-y+2≥0,x≤2表示的平面区域的面积.解析：根据题意，画出不等式组表示的平面区域是一个三角形，由此求不等式组表示的平面区域的面积就转化为求由三条直线相交交点所组成的三角形的面积，所以只要联立方程组分别求出两两直线相交的交点坐标分别为a(2,0),b(0,2),c(2,4)，即ab=(-2,2)，ac=(0,4)，所以三角形的面积为s abc=12-2 204=12|-2×4-02|=4.点评：本题不等式组所表示的平面区域刚好是一个三角形区域，为此，要求此区域的面积就可以转换为求已知三角形三个顶点所在直线围成的三角形面积，这样正好可以把三角形的三个顶点分别联立方程解出来，然后利用三角形面积公式的坐标表示，即可把不等式组表示的平面区域的面积求出来，简化了运算，提高了解题效率，同时，也提高了学生分析问题、解决问题的能力.纵观上述五道例题，我们不难发现，三角形面积公式的坐标表示作为三角形面积公式的有力补充，给人以耳目一新的感觉，不但体现了用坐标方法解决三角形面积问题的优越性和简洁性，还为学生解决已知三角形三个顶点坐标或相邻两边的向量坐标求面积问题提供了便利，同时还为解决三角形面积问题提供了全新的思维模式，也为三角形面积公式增添了活力.。
三年级巧求面积题型
三年级巧求面积题型
作为一名三年级的学生，掌握面积知识是非常重要的。
面积是物体表面或平面图形的大小，它在我们的生活实践中有着广泛的应用。
为了帮助同学们更好地学习面积知识，本文将对三年级常见的面积题型进行总结，并提供一些解题技巧和方法。
一、常见面积题型的分类
1.基本图形面积计算：如正方形、长方形、三角形、平行四边形等图形的面积计算。
2.复合图形面积计算：由多个基本图形组合而成的复合图形的面积计算。
3.几何图形面积的应用：如求解实际问题中涉及到的面积问题，如墙壁、地面、窗户等。
二、解题技巧和方法
1.熟记基本图形的面积公式：如正方形面积=边长×边长，长方形面积=长×宽，三角形面积=底×高÷2等。
2.学会将复合图形分解为基本图形：将复合图形分解为基本图形，分别计算面积后再进行加减运算。
3.掌握面积单位换算：熟练掌握面积单位的换算，如1平方米=100平方分米=10000平方厘米。
4.几何图形面积的应用技巧：学会将实际问题转化为几何图形面积问题，如墙壁面积=长×高，窗户面积=宽×高等。
三、实例分析
例如：一个长方形的长是10厘米，宽是6厘米，求这个长方形的面积。
解：根据长方形面积公式，面积=长×宽，所以面积=10厘米×6厘米=60平方厘米。
四、总结
通过以上分析，我们可以看出，掌握面积知识和解题技巧对于三年级学生来说非常重要。
铅锤高求三角形面积法
作三角形铅锤高是解决三角形面积问题的一个好方法------------ 二次函数教课反思近来教课二次函数遇到很多求三角形面积的问题，经过研究，我发现作三角形铅锤高是解决三角形 面积问题的一个好方法。
在课堂上我还风趣地说遇到“歪歪三角形中间砍一刀” ，同学们很快掌握了这类方法现总结以下：如图1，过△ ABC 的三个极点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ ABC 的“水平宽” ( a ) ，中间的这条直线在△ ABC 内部线段的长度叫△ ABC 的“铅垂高 ( h ) ” . 我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S ABC1ah ，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.2yy铅垂高BBChCDB水平宽A O xA Oxa图 1P例 1．（2013 深圳） 如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为（－ 2， 0），连接 OA ，将线段 OA 绕原点O 顺时针旋转 120°，获得线段OB. （ 1）求点 B 的坐标；（ 2）求经过 A 、O 、B 三点的抛物线的分析式；（ 3）在（ 2）中抛物线的对称轴上能否存在点 C ，使△ BOC 的周长最小？若存在，求出点 C 的坐标；若不存在，请说明原由 . （ 4）假如点 P 是（ 2）中的抛物线上的动点，且在 x 轴的下方，那么△ PAB 能否有最大面积？如有，求出此时 P 点的坐标及△ PAB 的最大面积；若没有，请说明原由.解：（ 1）B （ 1， 3 ）（ 2）设抛物线的分析式为 y=ax(x+a )，代入点 B （ 1,3 ），得 a3，所以 y3 x 2 2 3 x33 3（ 3）如图，抛物线的对称轴是直线x=—1，当点 C 位于对称轴与线段AB 的交点时，△ BOC 的周长最小 .k 3k b3,33 2 3 3设直线 AB 为 y=kx+b.所以解得，所以直线 AB 为 y ，2k b 0.2 3 x，当 x=－1 时，yb3333所以点 C 的坐标为（－ 1， 3 /3） .（ 4）如图，过 P 作 y 轴的平行线交 AB 于 D .1 SPABSPADSPBD( y D y P )( x Bx A )21 3 x23 3 x 2 2 3 x 323 3 333 x 2 3 x 3 2 2 23 1392x82当 x=－ 1 时，△ PAB 的面积的最大值为9 3，此时 P 1 ,3 .28 24例 2．(2014 益阳 ) 如图 2，抛物线极点坐标为点 C( 1, 4), 交 x 轴于点 A( 3, 0) ，交 y 轴于点 B. (1)求抛物线和直线 AB 的分析式； (2)点 P 是抛物线 ( 在第一象限内 )上的一个动点， 连接 PA ，PB ，当 P 点运动到极点C 时，求△ CAB 的铅垂高 CD 及 S CAB ；(3)能否存在一点 P ，使 S △ PAB =98若不存在，请说明原由 .S △ CAB ，若存在， 求出 P 点的坐标；解： (1) 设抛物线的分析式为：y 1 a(x 1) 2 4 把 A （3,0）代入分析y 式求得 a1所以 y 1(x1) 2 4x 22x 3 设直线CAB 的解B析式为： y 2 kx b 由 y 1x 2 2x 3 求得 B 点的坐标为 (0,3) 把DA(3,0) ， B(0,3) 代入 y 2kx b 中1x解得 ：AO1k1, b3 所以 y 2x3图- 2(2) 因为 C 点坐标为 (１ ,4)所以当 x ＝１时， y 1＝ 4， y 2＝ 2 所以 CD ＝ 4- 2＝ 2S CAB13 2 3 (平方单位 ) 2(3) 假设存在吻合条件的点 P ，设 P 点的横坐标为 x ，△ PAB 的铅垂高为 h ，则h y 1y 2 ( x22x 3) ( x 3)x 291 3 ( x23x) 9 3化简3x 由 S = S得△ PAB8 △ CAB2 8得： 4x 212 x9 0解得， x3 将 x3代入 y 1 x 22x3 中，解得 P 点坐标为 ( 3 , 15 )2 22 4例 3．（ 2015 江津） 如图，抛物线 yx 2 bxc 与 x 轴交于 A(1,0),B(- 3， 0) 两点，（ 1）求该抛物线的分析式；（ 2）设（ 1）中的抛物线交 y 轴于 C 点，在该抛物线的对称轴上能否存在点Q ，使得△ QAC 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明原由 . （ 3）在（ 1）中的抛物线上的第二象限上能否存在一点 P ，使△ PBC 的面积最大？，若存在，求出点P 的坐标及△ PBC 的面积最大值 . 若没有，请说明原由 .解： (1) 将 A(1 ， 0) ， B( － 3，0) 代 yx2bx c 中得1 b ＝b 2c 0 ∴9 3b c 0 c3∴抛物线分析式为： yx 22x 3(2) 存在。
林地的土地面积计算法
林地的土地面积计算法
一、测得山坡的坡度和长度，宽度，然后用三角函数计算出山坡长度的水平距离，再乘以山坡的宽度，即得山坡的面积。
例：设山坡的长度为b，坡角为a,山坡的宽度为b',则面积＝b . sin a . b'.
二、正常是看林权证，要不然以下面的公式计算：
表面积S=4*pi*(R^2) S
表面积pi 圆周率R圆直径^2平方
体积V=4/3*pi*(R^3) V
体积pi 圆周率R 圆直径^3立方
山地面积根据需要可以计算出坡度面积和垂直投影
面积。
在土地征（使）用过程中采用的是垂直投影面积。
土地面积的计算都是按正射投影面积计算，该面积也就是实际面积。
另外，青苗和地上附着物的补偿可按面积计算，也可按实际数量计算，比如征收2亩土地（该面积为正射投影面积），其地上只有20棵桉树，假设地上附着物的补偿费（不存在青苗补偿费）共计4000元，则地上附着物补偿费的计量单位可以说是200元/棵桉树，也可以说是200元/亩。
因此，征收土地的青苗和地上附着物补偿费与土地面积没有必然的联系。
面积法求概率3例
面积法求概率 3 例一些简单随机事件发生的概率除了常用列表或画树状图帮助分析求解外，有时还可用面积法计算，本文列举 3 例。
例 1. 如图1，转动转盘，求转盘停止转动时指针指向阴影部分的概率。
分析观察图1，显然有阴影部分的面积占整个圆面积的一半，故P（阴影部分）=1。
2图 1例 2. 如图2，在正方形ABCD内任取一点O，连接OA、OB，得△ABO，如果正方形 ABCD 内每一点被取到的可能性都相同，则△ ABO 是钝角三角形的概率是（）图 2（A）。
（B）。
（C）。
（D）无法确定的。
248分析：以 AB 为直径作圆，根据直径所对的圆周角是直角可知，正方形 ABCD 内圆周上的每一点与点 A 、点 B 构成的三角形都是直角三角形，易知半圆内的每一点都与点 A、点 B 构成的三角形都是钝角三角形，故只要求出半圆面积与整个正方形 ABCD 的面积比即可。
解：设正方形 ABCD 的边长为 a，则以 AB 为直径的半圆面积为a2，所以8 P（△ ABO 是钝角三角形） =a2a2。
88故选 C。
例 3. 小红和小明在操场上做游戏，他们先在地上画了半径分别为2m 和 3m的同心圆（如下图），然后蒙上眼睛，并在一定距离外向圈内掷小石子，掷中阴影小红胜，否则小明胜，未掷入圈内（半径为 3m 的圆内）不算。
（1）你认为游戏公平吗？为什么？（2）游戏结束，小明边走边想：“反过来，能否用频率估计概率的方法，来估算不规则图形的面积呢？”请你设计一个方案，解决这一问题。
（要求画出图形，说明设计步骤、原理，并给出计算公式。
）解（ 1）不公平。
因为P（阴影部分） = 945 ，99即小红胜的概率为5，小明胜的概率为4，所以游戏不公平。
89（2）可以利用频率估计概率的实验方法估算不规则图形的面积。
方案：①设计一个可测量面积的规则图形将不规则图形围起来（如面积为 S 的正方形），如图所示；②向图形中掷点（如蒙上眼向图形中随意掷小石子，掷在图外不记录）；③当掷点数充分大（如1 万次），记录并统计结果，假设掷入正方形内m 次，其中 n 次掷入不规则图形内；④设不规则图形的面积为S1，用频率估计概率，即频率 P （掷入非规则图形内）n概率 P（掷入非规则图形内） = S 1，m S故: n S1，从而得 :S1nS 。
面积法-第五讲面积问题与面积方法教师版
第5讲面积问题与面积方法一．基础知识几何学的产生，源于人们测量土地面积的需要．面积不仅是几何学研究的一个重要内容，而且也是用来研究几何学的一个有力工具．下面，我们把常用的一些面积公式和定理列举如下．(1)三角形的面积（i)三角形的面积公式b＋c)是半周长，r是△ABC的内切圆半径．(ii)等底等高的两个三角形面积相等．(iii)两个等底三角形的面积之比等于高之比；两个等高三角形的面积之比等于底边之比；两个三角形面积之比等于底、高乘积之比．(iv)相似三角形的面积之比等于相似比的平方．(2)平行四边形的面积平行四边形的面积等于一边的长乘以这个边上的高（3）梯形的面积梯形的面积等于上、下底之和与高的乘积的一半．(3)扇形面积其中r为半径，l为弧长，θ为弧l所对的圆心角的度数，α是弧度数．二．例题解因为CD⊥AB，AC=CB，且△ABD内接于半圆，由此可得所以，阴影部分AEFBDA的面积是例2：如图2-46所示．直角梯形ABCD中，∠C=90°，AD∥BC，AD+BC=AB，E是CD的中点．若AD=2，BC=8，求△ABE的面积．分析由于AB=AD+BC，即一腰AB的长等于两底长之和，它启发我们利用梯形的中位线性质．取腰AB的中点F，过A引AG⊥BC于G，交EF于H，则AH，GH分别是△AEF与△BEF的高，所以AG2=AB2-BG2=(8+2)2-(8-2)2=100-36=64，所以AG=8．这样S△ABE (=S△AEF+S△BEF)可求．解取AB中点F，连接EF．由梯形中位线性质知EF∥AD(或BC)，过A作AG⊥BC于G，交EF于H．由平行线等分线段定理知，AH=GH且AH，GH均垂直于EF．在Rt△ABG中，由勾股定理知AG2=AB2-BG2=(AD+BC)2-(BC-AD)2 =102-62=82，所以 AG=8，从而 AH=GH=4，所以S△ABE =S△AEF+S△BEF例3：已知凸四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且△ABC，△ACD，△ABD 的面积分别为S1=5，S2=10，S3=6．求△ABO的面积(图2-128)．解首先，我们证明△ABC与△ACD的面积比等于BO与DO的比．过B，D分别作AC的垂线，垂足为E，F．于是Rt△BEO由题设设S△AOB=S，则所以例4：如图2-129，AD，BE，CF交于△ABC内的一点P，并将△ABC分成六个小三角形，其中四个小三角形的面积已在图中给出．求△ABC的面积．分析如果能把未知的两个小三角形的面积求出，那么△ABC的面积即可得知．这两个面积是不难求出的．解设未知的两个小三角形的面积为x和y，则即又即①÷②得再由②得x=56．因此S△ABC＝84＋70＋56＋35＋40＋30=315．例5.例6. 如图2-130，通过△ABC内部一点Q引平行于三角形三边的直线，这些直线分三角形为六个部分，已知三个平形四边形部分的面积为S1，S2，S3，求△ABC的面积．解为方便起见，设S△QDG=S′1，S△QIE=S′2，S△QFH=S′3，则所以同理可得从①，②，③中可以解得所以例7.例8. 在△ABC内部或边界上任取一点P，记P到三边a，b，c的距离依次为x，y，z．求证：ax+by+cz是一个常数．证如图2-132，连结PA， PB，PC，把△ABC分成三个小三角形，则S△ABC＝S△PAB＋S△PCB＋S△PCA所以 ax＋by＋cz=2S△ABC，即ax＋by＋cz为常数．说明若△ABC为等边三角形，则此即正三角形内一点到三边的距离和为常数，此常数是正三角形的高．AEF例9. 已知△ABC 的三条高的比是3∶4∶5，且三边长均为整数，则△ABC 的边长可能是（ ）A 、 10B 、12C 、14D 、16 （2005年希望杯数学竞赛初二试题）分析：本题已知三角形三高的比求三边长，由于三角形的面积就等于它与这边上的高的积的一半，这样才与边发生联系，显然应与三角形的面积联系起来考虑。
等面积法例题初二数学
等面积法例题初二数学
等面积法例题初二数学指的是在初二数学中，使用等面积法解题的示例问题。
等面积法是一种常用的数学解题方法，主要基于面积的守恒原理，通过比较不同图形之间的面积关系来解决问题。
在初二数学中，等面积法常用于解决与面积有关的问题，如面积的证明、计算等。
以下是一些初二数学中应用等面积法的示例问题：
题目1：有一个矩形和一个三角形，它们的面积相等。
矩形的一条边长为6厘米，对应的另一条边长为8厘米。
三角形的底边长为12厘米，底边上的高为5厘米。
求矩形的另一条边长。
解法：我们设矩形的另一条边长为x厘米。
由于矩形的面积为长乘宽，所以矩形的面积为6×8=48平方厘米。
同理，三角形的面积为1/2×12×5=30平方厘米。
由于两者的面积相等，所以有：6x=30，解得x=5，所以，矩形的另一条边长是5厘米。
题目2：证明以下等式成立：a^2 + b^2 = c^2。
解法：我们可以将两个边长为a和b的正方形拼接成一个大的矩形，该矩形的长度为a+b，宽度为a。
矩形的面积为(a+b) × a = a^2 + ab。
由于大矩形的面积为两个小正方形的面积之和，所以有：a^2 + b^2 = c^2。
总的来说，“等面积法例题初二数学”就是初二数学中使用等面积法的例子及解析，通常用在解答关于几何形状的问题时帮助学生找到更快捷和直观的方法找到解题途径。
以上解答和解析仅供参考，如有疑问可以咨询数学老师或查阅教辅练习的解析。
【初一方法归纳专题】平面直角坐标系中图形面积的求法
【初⼀⽅法归纳专题】平⾯直⾓坐标系中图形⾯积的求法Hello,各位⽼铁周末愉快应部分⽼铁的要求今天分享平⾯直⾓坐标系中⾯积的求法好了话不多说~~上货~~回顾篇——知识链接1.⾯积公式：（1）三⾓形的⾯积：S三⾓形＝1/2×底×⾼（2）梯形的⾯积：S梯形＝1/2×（上底+下底）×⾼2.两点间的距离：（1）当两点横坐标相同时，两点间的距离为这两点纵坐标差的绝对值（2）当两点纵坐标相同时，两点间的距离为这两点横坐标差的绝对值基础篇——三⾓形⾯积的求法题型1 三⾓形有⼀边在坐标轴上【例1】如图，平⾯直⾓坐标系中，已知三⾓形ABC的三个顶点的坐标分别是A（2，3），B（-4，0），C（4，0），求三⾓形ABC的⾯积.温馨提⽰：【思路及解答】请观看视频【⽅法归纳】当三⾓边有⼀边在坐标轴上时，将此边作为底边，那么⾼便垂直于坐标轴，底和⾼就能通过两点间的距离很快求出.题型2 三⾓形有⼀边与坐标轴平⾏【例2】如图，平⾯直⾓坐标系中，已知三⾓形ABC的三个顶点的坐标分别是A（-1，-4），B（2，0），C（-4，-4），求三⾓形ABC的⾯积.温馨提⽰：【思路及解答】请观看视频【⽅法归纳】当三⾓边有⼀边与坐标轴平⾏时，将此边作为底边，那么⾼便垂直于坐标轴，底和⾼就能通过两点间的距离很快求出.根据图形特殊，我们通常把平⾏于坐标轴的⼀边作为底边.题型3 三⾓形三边均不与坐标轴平⾏【例3】在如图所⽰的正⽅形⽹格中，每个⼩正⽅形的单位长度均为1，三⾓形ABC的三个顶点恰好是正⽅形⽹格的格点.（1）写出图中所⽰各顶点的坐标；（2）求三⾓形ABC的⾯积.温馨提⽰：【思路及解答】请观看视频【⽅法归纳】当三⾓边的三边均不与坐标轴平⾏时：（1）将原三⾓形围在⼀个梯形或长⽅形中，⽤长⽅形或梯形的⾯积，减去长⽅形或梯形边缘的直⾓三⾓形的⾯积，即可求得原三⾓形的⾯积，这种⽅法叫做补形法；（2）若三⾓形内⼀割线长度已知，并且它平⾏于坐标轴，那么可将其作为底边，把原三⾓形拆分为两个三⾓形，则两⾼的长度可得，⾯积即可求得，这种⽅法叫做分割法.以上两种⽅法就是数学⼏何图形运算中常⽤的割补法.例题讲授视频三⾓形⾯积的求法同学们，例题看明⽩了吗？⽅法掌握了吧！快来试试下⾯的变式训练吧！变式训练【变式训练1】如图，在平⾯直⾓坐标系中，三⾓形ABC的顶点坐标分别为A(－3，0)，B(0，3)，C(0，－1)，则三⾓形ABC的⾯积为．答案6【变式训练2】如图，三⾓形ABC三个顶点的坐标分别为A(4，2)，B(4，6)，C(－1，3)，三⾓形ABC的⾯积为．答案10【变式训练3】如图，在平⾯直⾓坐标系中，已知点A(－3，－1)，B(1，3)，C(2，－3)，你能求出三⾓形ABC的⾯积吗？答案提升篇——四边形⾯积的求法【例4】如图，在平⾯直⾓坐标系中，四边形ADCB各顶点的坐标分别是A(－3，4)，D(2，3)，C(2，0)，B(-4，-2)，且AB与x轴交点E的坐标为（，0），求这个四边形的⾯积.【变式训练4】在如图所⽰的平⾯直⾓坐标系中，四边形OABC各顶点的坐标分别是O(0，0)，A(－4，10)，B(－12，8)，C(－14，0)，求四边形OABC的⾯积．答案总结篇——割补法求⾯积我们将不能直接求解的图形的⾯积转化为可直接求解的⾯积，常⽤的⽅法是“分割”和“补形”.1.利⽤“补形法”求图形的⾯积：2.利⽤“分割法”求图形的⾯积：好记性不如烂笔头快快整理到笔记本上吧！找题⽬练练哦题⽬都给同学们准备好啦！专题⼩练1.已知点A(－2，3)，B(4，3)，C(－1，－3)．(1)在平⾯直⾓坐标系中标出点A，B，C的位置；(2)线段AB的长为_______；(3)点C到x轴的距离为_______，点C到AB的距离为_______；(4)三⾓形ABC的⾯积为_______.2.（1）在平⾯直⾓坐标系中，描出下列3个点：A（﹣1，0），B（3，﹣1），C（4，3）；（2）顺次连接A，B，C，组成△ABC，求△ABC的⾯积．。
【平面图形的面积问题】2023年小升初数学无忧衔接 (通用版)(解析版)
平面图形的面积问题在初中几何中，随着变量和演绎推理证明等知识的进入，初中学生学习几何就需要提高相应的思维能力，比如抽象思维，推理等等。
难度自不必说，思维的层次也大为不同。
甚至一些证明，必须用演绎推理来完成，比如“两直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行”，这个命题就需要演绎推理思维，学生必须要在自己的心中构建直观图形，难度加大了。
如“三角形的内角和等于180°”这个定理，在小学教材中是由实验得出的，学生较熟悉。
因此，在教学中既让学生通过实验得出结论，又要强调说明不能满足于实验，而必须从理论上给予严格论证。
求几何图形面积常见方法及运用：【解题技巧】常见模型例1．（2022春·六年级统考期末）下图中阴影部分的面积是( )平方厘米。
【答案】8平方厘米【分析】观察图形可知，小正方形部分阴影面积等于长方形空白处面积，如下图：阴影部分面积等于长是（2＋2）厘米，宽是2厘米长方形面积；根据长方形面积公式：面积＝长×宽，代入数据，即可解答。
【详解】（2＋2）×2＝4×2＝8（平方厘米）【答案】4平方厘米【分析】通过观察图形可知，把阴影部分通过“旋转”或“割补”法，把阴影部分拼成三角形的面积，根据三角形的面积公式：S＝ah÷2，求出大三角形的面积，再除以2，即可求出阴影部分的面积。
【详解】如图：4×4÷2÷2＝16÷2÷2＝8÷2＝4（平方厘米）变式1．（2023秋·北京西城·五年级统考期末）将等腰三角形ABC沿虚线对折，折下来的部分恰好拼成了一个长方形（如图）。
已知三角形ABC的底是6cm，高是4cm，图中涂色部分的面积是（）cm2。
A．24 B．12 C．6 D．3【答案】D【分析】如图：观察图形可知，三角形ABC左右两边的涂色小三角形完全一样，把左边的涂色小三角形平移至右边，与右边涂色小三角形组合成一个与①一样大的三角形；这样三角形ABC平均分成4份，涂色部分占其中的一份；根据三角形的面积＝底×高÷2，求出三角形ABC的面积，再除以4即是涂色部分的面积。
平面直角坐标系中三角形面积的求法(例题及对应练习)
例析平面直角坐标系中面积的求法我们常常会遇到在平面直角坐标系中求三角形面积的问题.解题时我们要注意其中的解题方法和解题技巧.现举例说明如下.一、有一边在坐标轴上例1 如图1，平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为（－3，0），（0，3），（0，－1），你能求出三角形ABC的面积吗？分析：根据三个顶点的坐标特征可以看出，△ABC的边BC在y轴上，由图形可得BC＝4，点A到BC边的距离就是A点到y轴的距离，也就是A点横坐标的绝对值3，然后根据三角形的面积公式求解.解：因为B(0,3),C(0,-1),所以BC=3-（-1）=4.因为A(-3,0),所以A点到y轴的距离，即BC边上的高为3，二、有一边与坐标轴平行例2 如图2，三角形ABC三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（4，5），C（-1，2），求三角形ABC的面积.分析：由A（4，1），B（4，5）两点的横坐标相同，可知边AB与y 轴平行，因而AB的长度易求.作AB边上的高CD，则D点的横坐标与A点的横坐标相同，也是4，这样就可求得线段CD的长，进而可求得三角形ABC的面积.解：因为A，B两点的横坐标相同，所以边AB∥y轴，所以AB=5-1=4. 作AB边上的高CD，则D点的横坐标为4，所以CD=4-（-1）=5，所以=.三、三边均不与坐标轴平行例3 如图2,平面直角坐标系中，已知点A（-3，-1），B（1，3），C（2，-3），你能求出三角形ABC的面积吗？分析：由于三边均不平行于坐标轴，所以我们无法直接求边长，也无法求高，因此得另想办法.根据平面直角坐标系的特点，可以将三角形围在一个梯形或长方形中，这个梯形（长方形）的上下底（长）与其中一坐标轴平行，高（宽）与另一坐标轴平行.这样，梯形（长方形）的面积容易求出，再减去围在梯形（长方形）内边缘部分的直角三角形的面积，即可求得原三角形的面积.解：如图，过点A、C分别作平行于y轴的直线，与过点B平行于x 轴的直线交于点D、E，则四边形ADEC为梯形.因为A（-3，-1），B（1，3），C（2，-3），所以AD＝4，CE=6，DB=4，BE=1，DE＝5.所以=（AD+CE）×DE-AD×DB-CE×BE=×（4+6）×5－×4×4－×6×1＝14.平面直角坐标系中的面积问题（提高篇）“割补法”的应用一、已知点的坐标，求图形的面积。
一次函数中的面积问题
一次函数中的面积问题学情分析：本文介绍了一次函数关于面积问题的研究方法和重点，重点是一次函数与面积的综合结合与运用，以及对于动点问题与一次函数的熟练结合与把握。
文章介绍了如何利用面积求解析式，以及如何求解含参数问题的面积。
文章还提供了三个典型例题，以帮助读者更好地理解。
研究目标与考点分析：研究目标：1、关于一次函数的面积问题利用面积求解析式；2、利用解析式求面积以及对于动点问题学会熟练的解决。
考点分析：1、一次函数的解析式与面积的充分结合。
研究重点：1、一次函数与面积的综合结合与运用；2、对于动点问题与一次函数的熟练结合与把握。
研究方法：讲练结合练巩固。
研究内容与过程：一、本节内容导入本节内容主要介绍了一次函数相关的面积问题，包括规则图形和不规则图形的求解方法，以及含参数问题的求解方法。
文章强调了在求解过程中，需要注意坐标的正负和线段的非负性。
二、典例精讲本节提供了三个典型例题，分别介绍了如何利用面积求解析式，如何求解含参数问题的面积，以及如何求解四边形的面积。
文章强调了在解题过程中，需要注意分类讨论和建立方程的思想。
本文介绍了一次函数关于面积问题的研究方法和重点，重点是一次函数与面积的综合结合与运用，以及对于动点问题与一次函数的熟练结合与把握。
文章介绍了如何利用面积求解析式，以及如何求解含参数问题的面积。
文章还提供了三个典型例题，以帮助读者更好地理解。
在研究过程中，需要注意分类讨论和建立方程的思想。
同时，需要注意坐标的正负和线段的非负性。
通过讲练结合练，可以更好地巩固所学知识。
1、已知直线y=-x+2与x轴、y轴分别交于A点和B点，另一条直线y=kx+b(k≠0)经过点C(1,m)，且将△AOB分成两部分。
1）若△AOB被分成的两部分面积相等，则k=-2，b=2.2）若△AOB被分成的两部分面积比为1：5，则k=-5，b=7.2、已知一次函数y=-2/3x+3的图像与y轴、x轴分别交于点A、B，直线y=kx+b经过OA的三分之一点D，且交x轴的负半轴于点C，如果S△AOB=S△DOC，求直线y=kx+b的解析式。
利用图形面积妙解问题例析
我们 生 活 的世 界 是 个 丰 富多 彩 的 图形 世 界 ．利 用 这 些 千 变 万 被 广 泛 地 应 用 ．
化 的图形我们可 以解决很多 问题．其 中方法的优美 与巧妙 ，直观
据不完全统计 ， 勾股定理的证 明方法多达 ４ ０多种 ，其 中 ０
总之 ，人贵在创造 ， 创造思维是创造力的核心． 培养有创新
意识 和创 造才能 的人 才是 中华 民族 振兴 的需 要 ，让我们 共 同从
启发 学生进行 猜想 ，作为教师 ，首先要 点燃学 生主动探 索 课堂做起 ．
［ １年 期 基 教 论 ３ ２ ２ 第３ ］ 础 育 坛 ５ ０
方形 的面积 等于 图 ２中两个正方形 面积 的和 ，即 Ｃ ＝ａ ＋ｂ．由 ２ 面积 （ ＋ｂ （ ｏ ）ｏ—ｂ 由此 可 验 证 平 方 差 公 式 一６ ＝（ ＋ｂ （ ） ｏ ）ｏ一
形 面积的差（ 一ｂ） ２．图 １ ２平行 四边形形 的面积等于 （ 十ｂ （ ｏ ）ｎ一
６ ．由 于 图 ｌ 由 图 １ ） ２是 １的 阴影 部 分 切 割 拼 接 而 成 的 ，所 以 一
的会徽就是赵爽所使用 的这个 弦图．
ｂ等 于（ ６ （ 一ｂ ，由此可验证平方差公式 Ｇ一ｂ ＝（ ｂ （ ｚ 口＋ ）口 ） ２ 口＋ ）口一
３ 基 教 论 ２１年 期］ ６ 础 育 坛［ ２ 第３ ０
解题研究 ｒ——一
全平方公式 （ 。一ｂ ２ ａ ）＝ａ —２ｈ＋ｂ．
（ 结 图１的 法 们 以 到 下 计 仅 参 ． ２ 合 ５ 做 我 可 得 以 设 ， 供 考 ）
方法二 ：如 图 １ ３中大正方形是 由两个 小正方形和两个长 方 形组成 的．显而易见 ，其大正方形 的面积 （ ｏ＋６ 于两个小 正 ）等 方形 的面积 与两个全 等的长方 形的面积 的和 ＋２ｈ＋６．由此 ａ 验证 了（ ｂ ２ ａ ａ － ）＝ａ＋２ｈ＋６．同样道理如 图 １ ４ ： ４中的边长 为 一 ６ ）的正方形面积等 于边 长为 。的正方 形面积减去两个长 和宽分
中考：等面积法
巧用等积法解题等积法是初中数学中常见的一种解题方法，利用这一方法解决某些问题，能化难为易，化繁为简．下面举例供参考．例1 网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC 每个顶点都在网格的交点处，则sin A＝．二、求三角形内切圆的半径例2 如图2，圆O 是△ABC 的内切圆，切点分别是D、E、F．又AB＝AC＝10，BC＝12，求圆O 的半径r．三、求阴影部分的面积例3 如图3，点B、C、D 都在半径为6 的⊙O 上，过点C 作AC∥BD，交OB 的延长线于点A，连结CD，已知∠CDB＝∠OBD＝30°．(1)求证：AC 是⊙O 的切线；(2)求弦BD 的长；(3)求图中阴影部分的面积．四、探究线段之间的关系例4 如图4，在边长为10 的菱形ABCD 中，对角线BD＝16，点O 是直线BD 上的动点，OE⊥AB 于点E，OF⊥AD 于点F．(1)对角线AC 的长是，菱形ABCD 的面积是；(2)当点O 在对角线BD 上运动时，OE＋OF 的值是否发生变化？请说明理由；(3)如图5，当点O 在对角线BD 的延长线上时，OE＋OF 的值是否发生变化？若不变，请说明理由，若变化，请探究OE、OF 之间的数量关系，并说明理由．五、求函数的解析式例5在平面直角坐标系中（如图7），已知抛物线y＝2x2＋bx＋c与x轴交于点A 3（－1，0）和点B，与y 轴交于点C(0，－2)．(1)求该抛物线的表达式，并写出其对称轴；(2)点E 为该抛物线的对称轴与x 轴的交点，点F 在对称轴上，四边形ACEF 为梯形，求点F 的坐标；(3)点D 为该抛物线的顶点，设点P(t，0)，且t>3，如果△BDP 和△CDP 的面积相等，求t 的值．。
例说平面图形阴影部分面积的求法
例说平面图形阴影部分面积的求法连州市慧光中学 欧阳礼［摘 要] 本文主要对平面图形中求阴影部分面积，作具体的方法介绍。
[关键词] 作差法 等积法 重叠法 割补法 位移法 特值法 方程法九年制义务教育课本中“求阴影部分面积”的题目大量出现，并且在中考和数学竞赛中，也逐步增多出现.不规则阴影部分常常由三角形、四边形、弓形、扇形和圆、圆弧等基本图形组合而成的。
此类题目能较好地考查学生的识图能力和数学综合知识.本文通过实例介绍求阴影部分面积的几种常用方法。
（一)和差法.对于求图形面积问题,计算时往往将所求图形的面积转化为规则图形的面积和或差，这是求面积的常用方法．【例1】如图1，正方形的内切圆的半径为r ，这个正方形将它的外接圆分割出四个弓形，其中一个弓形的面积是（ )。
（A) ； （B ） ; （C ）（π－1）r 2; （D ）(π－2) r 2.解：一个弓形的面积等于正方形外接圆面积与正方形面积的差的四分之一,得故选（B ）。
【例2】如图2，已知边长为a 的正方形ABCD 内接于⊙O ，分别以正方形的各边为直径向正方形外作半圆，求四个半圆与⊙O 的四条弧围成的四个新月形的面积.解：四个新月形的面积S 等于正方形面积与四个半圆面积的和减去⊙O 的面积:【例3】如图3，B 是AC 上的一点，分别以AB 、BC 、AC 为直径作半圆,从B 作BD ⊥AC,与半圆相交于D 。
求证：图中阴影部分面积等于以BD 为直径的圆的面积.证：∵AC=AB ＋BC ，因BD ⊥AC ，∠ADC=90°,故BD 2 =AB ·BC 。
∴ 阴影部分面积等于以BD 为直径的圆的面积。
()()()222241222r r r S -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=ππ阴影 2222222214a a a a S =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+=ππ BC AB BC AB AC S ·4222222222ππππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=阴影 以BD 为直径的圆面积2242·BD BD S ππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛=圆 ()212r -π ()222r -π 图1 r O图2(二）等积法。
例说不规则图形面积的求法
教学实践新课程NEW CURRICULUM在实际问题中，有些图形不一定以基本图形的形状出现，而是由一些基本图形组合、拼凑成的，它们的面积无法应用公式直接计算。
一般我们称这样的图形为不规则图形。
那么，不规则图形的面积怎样去计算呢？本文通过例题对每一种方法进行介绍。
一、相加法这种方法是将不规则图形分解转化成几个基本规则图形，分别计算它们的面积，然后相加求出整个图形的面积。
如图1所示，凸四边形ABCD 的四边AB 、BC 、CD 和DA 的长分别是3、4、12和13，∠ABC =90°，求四边形ABCD 的面积。
图1解析：考虑到∠B 为直角，联结AC ，则AC=AB 2+BC 2√=32+42√=5，又∵AC 2+CD 2=52+122=132=AD 2由勾股定理的逆定理知，△ACD 为直角三角形。
所以S=S △ABC +S △ACD =12×3×4+12×12×5=36。
二、相减法这种方法是将所求的不规则图形的面积看成是若干个基本规则图形的面积之差。
如图2，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是10厘米和12厘米，求阴影部分的面积。
图2解析：阴影部分的面积等于甲、乙两个正方形面积之和减去三个“空白”三角形（△ABG 、△BDE 、△EFG ）的面积之和。
S △BDE =12（10+12）×12=132；S △EF G =12（12-10）×12=12。
又因为S 甲+S 乙=12×12+10×10=244，所以阴影部分面积=244-（50+132+12）=50（平方厘米）。
三、辅助线法这种方法是根据具体情况在图形中添一条或若干条辅助线，使不规则图形转化成若干个基本规则图形，然后再采用相加、相减法解决即可。
如图3所示，在矩形ABCD 中，△AMD 的面积为15，△BCN 的面积为20，则四边形MFNE 的面积为。
专题28 求几何图形面积及面积法解题的问题(解析版)
专题28 求几何图形面积及面积法解题的问题一、几何图形面积公式1.三角形的面积:设三角形底边长为a ，底边对应的高为h ，则面积S=ah/22.平行四边形的面积:设平行四边形的底边长为a ，高为h ，则面积S=ah3.矩形的面积:设矩形的长为a ，宽为b ，则面积S=ab4.正方形的面积:设正方形边长为a ，对角线长为b ，则面积S=222b a = 5.菱形的面积:设菱形的底边长为a ，高为h ，则面积S=ah若菱形的两条对角线长分别为m 、n ，则面积S=mn/2也就是说菱形的面积等于两条对角线乘积的一半。
6.梯形的面积:设梯形的上底长为a,下底长为b ，高为h ，则面积S=（a+b ）h/27.圆的面积:设圆的半径为r,则面积S=πr 28.扇形面积计算公式9．圆柱侧面积和表面积公式（1）圆柱的侧面积公式S 侧=2πrh2360r n s π⋅=lr s 21=或（2）圆柱的表面积公式：S 表=2S 底+S 侧=2πr 2+2πrh10.圆锥侧面积公式从右图中可以看出，圆锥的母线L 即为扇形的半径，而圆锥底面的周长是扇形的弧长2πr ，这样，圆锥侧面积计算公式:S 圆锥侧=S 扇形=πrL注意：有时中考题还经常考查圆的周长、扇形的弧长的公式的应用。
（1）圆的周长计算公式为：C=2πr（2）扇形弧长的计算公式为：（3）其他几何图形周长容易计算，不直接给出。
二、用面积法解题的理论知识1.面积方法：运用面积关系来证明或计算平面几何题的方法，称为面积方法，它是几何中的一种常用方法。
2.面积法解题的特点：把已知量和未知量用面积公式联系起来，通过运算达到求证的结果。
所以用面积法来解几何题，几何元素之间关系变成数量之间的关系，只需要计算，有时可以不添置补助线，即使需要添置辅助线，也很容易考虑到。
三、面积方法问题主要涉及以下两部分内容1.证明面积相等的理论依据（1）三角形的中线把三角形分成两个面积相等的部分。
巧求面积(四年级用)
巧求面积教学目标：学会应用所学知识解决一些实际问题及较复杂的面积计算。
教学过程：一、知识要点我们已经学会了计算长方形、正方形的面积，运用这些知识可以解决许多有关面积的问题。
但是有些比较复杂的关于长方形、正方形的面积计算，生搬硬套公式往往不能奏效，这时，我们可以运用一些巧妙的解题技巧来解决问题。
1、面积公式：长方形的面积=长×宽（S=a×b a表示长方形的长b表示长方形的宽）正方形的面积=边长×边长（S=a×a a表示正方形的边长）2、锦囊妙计。
（1）割补法：把图形分割或添补成可求面积的长方形或正方形，再用长方形或正方形的面积公式计算。
（2）平移法: 通过平移的方法把分散的面积集中到一个长方形或正方形中，再用长方形或正方形的面积公式计算。
二、典型例题1、割补法例1.张爷爷有一块如下图的菜地，你能帮他计算出菜地的面积吗？（单位:米）（1）学生先独立思考，说一说自己的想法。
（2）解析：通过观察可以看出，这个图形可以采用分割的方法，把图形分割成两个长方形，图形的面积=两个长方形面积的和；或者在图形的左上角补上一个正方形，把它变成一个大长方形，图形的面积=大长方形面积－正方形面积。
（课件动画演示）列式：30×20+（30+20）×40=2600（平方米）列式：30×40+（30+40）×20=2600（平方米）列式：（20+30）×（40+30）－30×30=2600（平方米）答：张爷爷的菜地面积是2600平方米。
例2：下图为一个长50米、宽25 米的标准游泳池。
它的四周铺设了宽2米的白瓷地砖(阴影部分)。
求游泳池面积和地砖面积。
宽长解析：从图中可以看出，游泳池是长方形，可直接运用长方形面积公式计算出来。
而瓷砖面积不规则，无法直接运用长方形面积公式计算。
如果把大长方形中间空白部分的小长方形割掉（课件动画演示），剩下的就是阴影部分的面积，所以阴影的面积=大长方形的面积－小长方形的面积，即可求出地砖面积。
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面积法解题例说
初二数学--—面积法解题
【本讲教育信息】
【讲解内容】——怎样证明面积问题以及用面积法解几何问题【教学目标】
１．使学生灵活掌握证明几何图形中的面积的方法。
2.培养学生分析问题、解决问题的能力.
【重点、难点】:
重点:证明面积问题的理论依据和方法技巧.
难点：灵活运用所学知识证明面积问题．
【教学过程】
(一)证明面积问题常用的理论依据
1。
三角形的中线把三角形分成两个面积相等的部分。
２。
同底同高或等底等高的两个三角形面积相等。
3.平行四边形的对角线把其分成两个面积相等的部分。
4. 同底(等底）的两个三角形面积的比等于高的比。
同高(或等高）的两个三角形面积的比等于底的比。
5．三角形的面积等于等底等高的平行四边形的面积的一半.
8.有一个角相等或互补的两个三角形的面积的比等于夹角的两边的乘积的比。
(二）证明面积问题常用的证题思路和方法
1。
分解法：通常把一个复杂的图形,分解成几个三角形。
2。
作平行线法：通过平行线找出同高（或等高)的三角形。
3。
利用有关性质法：比如利用中点、中位线等的性质。
4。
还可以利用面积解决其它问题。
【典型例题】
(一）怎样证明面积问题
1.分解法
例1。
从△ABC的各顶点作三条平行线AD、BE、ＣＦ,各与对边或延长线交于D、E、F,求证：△DEF的面积=2△AＢC的面积。
分析：从图形上观察,△DEF可分为三部分,其中①是△AＤE,它与
△ADB同底等
③三是△AＥＦ，只要再证出它与△ABC的面积相等即可
由S△ＣFE=S△ＣFB
故可得出S△AＥＦ=S△ABC
证明:∵AD//BE//CＦ
∴△ADB和△ＡＤE同底等高
∴Ｓ△ＡDB＝Ｓ△ADE
同理可证：S△ADC＝Ｓ△ADＦ
∴Ｓ△ABC=Ｓ△ADＥ＋Ｓ△ADF
又∵S△CＥF＝S△ＣＢF
∴S△ＡBC=Ｓ△AEF
∴S△AＥF+S△ＡDＥ＋S△ADF=2Ｓ△AＢC
∴Ｓ△DEF=2S△ABC
２.作平行线法
例2．已知:在梯形ＡBCＤ中，DＣ/／AＢ,Ｍ为腰ＢC上的中点
分析：由Ｍ为腰BC的中点可想到过M作底的平行线ＭN，则MN为其中位线，再利用平行线间的距离相等,设梯形的高为h
证明:过M作MN//AB
∵M为腰BC的中点
∴MN是梯形的中位线
设梯形的高为h
(二）用面积法解几何问题
有些几何问题，往往可以用面积法来解决,用面积法解几何问题常用到下列性质:
性质１：等底等高的三角形面积相等
性质2:同底等高的三角形面积相等
性质3:三角形面积等于与它同底等高的平行四边形面积的一半
性质4：等高的两个三角形的面积比等于底之比
性质５:等底的两个三角形的面积比等于高之比
１。
证线段之积相等
例３。
设ＡD、BＥ和CF是△ABC的三条高，求证：ＡＤ·BC=B Ｅ·AC＝ＣＦ·AB
分析:从结论可看出，ＡD、BE、CF分别是ＢC、AC、AB三边上的高，故可联想到可用面积法。
证明：∵ＡＤ、BE、CF是△AＢＣ的三条高
2。
证等积问题
例4. 过平行四边形ABCＤ的顶点A引直线，和BC、ＤＣ或其延长线分别交于E、F,求证:S△ABF＝Ｓ△ADＥ
分析：因为AB／／DF，所以△ABF与△ABC是同底AB和等高的两个三角形,所以这两个三角形的面积相等。
证明:连结AC
∵CF//AB
又∵ＣＥ／/AD
3。
证线段之和
例5.已知△ABC中,AB＝AC，P为底边ＢＣ上任一点,ＰE⊥AＢ，PＦ⊥AC,BＨ⊥AC,求证:PE＋PF＝BＨ
分析:已知有垂线，就可看作三角形的高，连结AP,则
故PE+PＦ＝BH
证明:连结ＡP，则
∵ＡＢ=AC,ＰE⊥AB,PF⊥ＡC
又∵BH⊥AC
∴PE+PF=BH
4。
证角平分线
例６. 在平行四边形AＢCD的两边AD、CＤ上各取一点F、E，使AE ＝CF，连AE、CF交于Ｐ，求证:BP平分∠APＣ。
分析:要证ＢP平分∠APC,我们可以考虑,只要能证出B点到PA、ＰＣ的距离相等即可，也就是△AＢE和△ＢFＣ的高相等即可,又由已知AＥ＝FC可联想到三角形的面积,因此只要证出S△AＢE=Ｓ△BCF即可由平行四边形ABCD可得S△ABＥ＝S△ABＣ,Ｓ△BＦC=S△ABＣ
所以S△ＡBＥ=S△ＢFＣ，因此问题便得解。
证明:连结AC、BE、BF
∵四边形ABCD是平行四边形
∴S△ABE＝Ｓ△ABC
S△BFC=S△ABC
∴S△ABE=S△ＢＦＣ
又∵AＥ=ＣF
而△AＢE和△ＢFＣ的底分别是ＡE、ＣF
∴△ABE和△ＢFC的高也相等
即B到PA、PC的距离相等
∴Ｂ点在∠APC的平分线上
∴PＢ平分∠APC
【模拟试题】(答题时间:25分钟)
１. 在平行四边形ＡBCD中,E、Ｆ点分别为BＣ、CＤ的中点，连结AF、AE，求证：S△ABE＝S△ＡＤF
2。
在梯形ＡBCD中，ＤＣ／/AB，M为腰BC上的中点，求证：
3。
Rt△ＡBＣ中,∠ＡCB=90°，ａ、b为两直角边,斜边AB上的高为h,求证：
4.已知:E、F为四边形ABCD的边AB的三等分点,Ｇ、Ｈ为边ＤC的三等分点,求证:
5。
在△ABC中,D是ＡB的中点,E在ＡC上,且,ＣD和BE交于G,求△ＡBC和四边形ADGＥ的面积比。