几何概型的定义
高中数学：第三章概率 小结 (21)
探究2 解与面积相关的几何概型问题的三个关键点． (1)根据题意确认是否是与面积有关的几何概型问题； (2)找出或构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几 何特征计算相关面积； (3)套用公式，从而求得随机事件的概率．
第25页
思考题2
(1)(高考真题·北京卷)设不等式组
0≤x≤2， 0≤y≤2
①求乘客到站候车时间大于10分钟的概率； ②求候车时间不超过10分钟的概率； ②求乘客到达车站立即上车的概率．
第12页
【思路】 分析概率模型 → 得其为几何概型 → 结果 【解析】 ①如下图所示，设相邻两班车的发出时间为 T1，T2，T1T2＝15.
设T0T2＝3，TT0＝10，记“乘客到站候车时间大于10分 钟”为事件A.
【解析】 ∵区间[－1，2]的区间长度为3，随机数x的取值区
间[0，1]的区间长度为1，
∴由几何概型知x∈[0，1]的概率为13.
【答案】
1 3
第9页
(2)在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一点M，求 AM的长大于AC的长的概率．
【思路】 点M随机地落在线段AB上，故试验所有点所在的 区域为线段AB，在AB上截取AC′＝AC，则当点M位于线段BC′上 时，AM>AC.故“AM的长度大于AC的长度”的度量为BC′.
思考题1 某人向平面区域|x|＋|y|≤ 2 内任意投掷一枚飞 镖，则飞镖恰好落在单位圆x2＋y2＝1内的概率为________．
第51页
【解析】 区域|x|＋|y|≤ 2是边长为2的一个正方形区域(如 图)，由图知所求概率为π4.
第44页
自助餐
第45页
与线性规划有关的几何概型问题 (仅供先学必修五的学校使用)
第10章第6讲 几何概型
2．小题热身 (1)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一个玻璃小球，若小 球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是 ()
解析 如题干选项中图，各种情况的概率都是其面积比，中奖的概率
依次为 P(A)＝38，P(B)＝28，P(C)＝26，P(D)＝13，所以 P(A)>P(C)＝P(D)>P(B)．故
第十章 计数原理、概率、 随机变量及其分布
第6讲 几何概型
[考纲解读] 1.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率． 2．了解几何概型的意义，并能求与长度或面积有关的几何概型的概率．(重 点) [考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲是高考的热点之一．预测 2021 年将会考查：①与长度有关的几何概型，常与函数、不等式、向量结合； ②与面积有关的几何概型，常涉及线性规划、定积分等内容．题型为客观 题，试题难度不大，属中、低档试题.
任美国第二十任总统．后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、易懂的证
明，就把这一证明方法称为“总统证法”．如图，设∠BEC＝15°，在梯形
ABCD 中随机取一点，则此点取自等腰直角三角形 CDE 中(阴影部分)的概
率是( )
3
3
A. 2
B.4
2
2
C.3
D. 2
答案
解析 在直角三角形 EBC 中，a＝ccos15°，b＝csin15°，则 P＝SS梯△形CADBCED＝12a12＋c2b2＝c2cos15°c＋2 sin15°2＝1＋s1in30°＝23.
3
2
A.10
B.3
3
4
C.5
D.5
解析 由题意，得 f(x0)≥0，即－x20＋2x0＋8≥0，解得{x0|－2≤x0≤4}， 所以由长度的几何概型可得概率为 P＝64－ －－ －42＝35.
古典概型与几何概型的异同点
古典概型与几何概型的异同点一、背景和定义1. 古典概型：基于等可能性的最直观概率模型。
若一个试验只有有限个基本事件，且每个基本事件发生的可能性相同，则该试验称为古典概型。
2. 几何概型：当试验的可能结果不是有限可数时，或者每个结果发生的可能性不都是相等的，这时候就需要用到几何概型。
它是基于长度、面积、体积等几何量与概率的结合。
二、相同点1. 两者都是概率模型，用于描述随机试验中各种结果出现的可能性。
2. 在每种模型下，每个基本事件（或样本点）的概率都是非负的，并且它们的和都等于1。
三、不同点1. 试验的基本事件数量：古典概型是有限可数的，而几何概型则可能无限不可数。
2. 概率的定义方式：在古典概型中，概率是基于等可能的假设来定义的。
而在几何概型中，概率是通过与某个几何量（如长度、面积、体积等）的关联来定义的。
3. 概率的计算方法：在古典概型中，概率通常是直接计算基本事件的数量来得到。
而在几何概型中，概率的计算可能需要使用几何知识，如长度、面积或体积等。
4. 适用范围：古典概型适用于具有有限个等可能结果的情况，例如掷骰子、抽签等。
而几何概型适用于试验结果连续且无限的情况，例如在一定范围内的随机落点、随机选择一条线段上的点等。
5. 公平性：古典概型假定每个基本事件的发生是公平的，即每个基本事件的概率都是相等的。
而几何概型中，公平性的概念可能不那么直观，因为基本事件的发生可能与空间的分布有关。
6. 概率的取值：在古典概型中，概率的取值是离散的，通常是0或1。
而在几何概型中，概率的取值是连续的，可以在0到1之间任意取值。
7. 问题的复杂性：对于一些复杂的问题，如复杂的多因素决策问题，可能需要考虑更复杂的概率模型，而不仅仅是古典概型或几何概型。
四、例子1. 古典概型例子：抛掷一枚硬币，正面朝上或反面朝上的概率都是0.5；从一副扑克牌中抽取一张牌，每种花色的概率都是1/4。
这些例子都是基于等可能的假设，每个基本事件的发生概率都是相等的。
高考数学总复习配套课件：第10章《概率》10-3几何概型
为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行
过程中始终保持与正方体6个表面的距离
均A.2大47 于1，称其为“安全B.19飞行”，则蜜蜂
“4安全飞行”的概率为( 1 )
C.9
D.27
解析：蜜蜂如果能“安全飞行”，则蜜蜂飞行过程中应在一个中心
与原正方体中心重合，且在棱长为 1 的正方体内，该正方体的体积 V1＝ 13＝1，而原正方体的体积 V＝33＝27，故所求概率 P＝VV1＝217.
【思想方法】 转化与化归思想在几何概 型中的应用
【典例】 (2012年高考辽宁卷)在长为12
cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形， 邻A.16边长分别等于线段ABC.13 ，CB的长，则该
矩2形面积大于20 cm2的概4 率为( )
C.3
D.5
【解析】 设 AC＝x，则 BC＝12－x，所以 x(12－x)＝20，解得 x
电影；若此点到圆心的距离小于14，则去打篮球；否则，在家看书．则小 波周末不在家看书的概率为________．
[解析] 设 A＝{小波周末去看电影}，B＝{小波周末去打篮球}，C ＝{小波周末在家看书}，D＝{小波周末不在家看书}，如图所示，则 P(D) ＝1－π122－π π142＝1136.
[答案]
13 16
1．(2013 年太原模拟)若实数 a，b 满足 a2＋b2≤1，则关于 x 的方程
x2－ax＋34b2＝0 有实数根的概率是(
)
1
1
A.6
B.4
1 C.3
D．1
解析：由原方程有实根得a2－3b2≥0⇔(a－ b)(a＋b)≥0，则整个基本事件空间可用点 (a，b)所在图形的面积来度量，为以原点 为圆心，以1为半径的圆，事件“方程有 实根”可用不等式组对应平面区域的面积
3.3 几何概型
C．
3 4π
D．34π3
【解题探究】先明确是几何概型中的面积类型，分别求三
角形与圆的面积，然后求比值即可．
【答案】D
配人教版 数学 必修3
【解析】设落在阴影部分内接正三角形上的概率是 p.∵S 圆
＝πR2，S 三角形＝12×(
3R)2×sin
60°＝3
4
3 3R2，∴p＝S三 S角 圆形＝
4 3R2 πR2
配人教版 数学 必修3
2．均匀分布 当X为区间[a，b]上的任意实数，并且是_等__可__能___的，我 们 称 X 服 从 [a ， b] 上 的 均 匀 分 布 ， X 为 [a ， b] 上 的 均 匀 __随__机__数__．
配人教版 数学 必修3
1．判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)在几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何 区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相 等．( ) (2)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体 图形．( ) (3) 与 面 积 有 关 的 几 何 概 型 的 概 率 与 几 何 图 形 的 形 状 有 关．( ) (4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．( ) 【答案】(1)√ (2)√ (3)× (4)√
配人教版 数学 必修3
3.3 几何概型
配人教定义、特 1.了解随机数的意义，能 点，会用公式计算几何概率． 运用模拟方法估计概率；
难点：等可能性的判断与几何概 2．了解几何概型的意义. 型和古典概型的区别.
配人教版 数学 必修3
1．几何概型 (1)定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的 __长__度____(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概 率模型，简称为几何概型．
几何概型的常见类型
1、几何概型的定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型。
2、几何概型的概率公式：P（A）=构成事件A的区域长度（面积或体积）；
试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
3、几何概型的特点：
1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；
2）每个基本事件出现的可能性相等、
4、几何概型与古典概型的比较：一方面，古典概型具有有限性，即试验结果是可数的；而几何概型则是在试验中出现无限多个结果，且与事件的区域长度（或面积、体积等）有关，即试验结果具有无限性，是不可数的。
这是二者的不同之处；另一方面，古典概型与几何概型的试验结果都具有等可能性，这是二者的共性。
通过以上对于几何概型的基本知识点的梳理，我们不难看出其要核是：要抓住几何概型具有无限性和等可能性两个特点，无限性是指在一次试验中，基本事件的个数可以是无限的，这是区分几何概型与古典概型的关键所在；等可能性是指每一个基本事件发生的可能性是均等的，这是解题的基本前提。
因此，用几何概型求解的
概率问题和古典概型的基本思路是相同的，同属于“比例法”，即随机事件A的概率可以用“事件A包含的基本事件所占的图形的长度、面积（体积）和角度等”与“试验的基本事件所占总长度、面积（体积）和角度等”之比来表示。
下面就几何概型常见类型题作一归纳梳理。
高中数学必修三-几何概型
几何概型知识集结知识元几何概型知识讲解1．几何概型1．定义：若一个试验具有下列特征：（1）每次试验的结果有无限多个，且全体结果可用一个有度量的几何区域来表示；（2）每次试验的各种结果是等可能的．那么这样的试验称为几何概型．2．几何概率：设几何概型的基本事件空间可表示成可度量的区域Ω，事件A所对应的区域用A表示（A⊆Ω），则P（A）＝称为事件A的几何概率．例题精讲几何概型例1.设函数f（x）=log2x，在区间（0，5）上随机取一个数x，则f（x）<1的概率为（）A．B．C．D．例2.一个平面封闭图形的周长与面积之比为“周积率”，如图是由三个半圆构成的图形最大半圆的直径为6，若在最大的半圆内随机取一点，该点取自阴影部分的概率为，则阴影部分图形的“周积率”为（）A．2 B．3 C．4 D．5例3.'已知|x|≤2，|y|≤2，点P的坐标为（x，y），求当x，y∈R时，P满足（x-2）2+（y-2）2≤4的概率．' 当堂练习单选题练习1.中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其它民俗活动的民间艺术，蕴涵了极致的数学美和丰富的文化信息，现有一幅剪纸的设计图（如图），其中的4个小圆均过正方形的中心，且内切于正方形的邻边，若在该正方形内任取一点，则该点取自阴影部分的概率为（）A．B．C．（3-2）（π-2）D．练习2.已知正数a，b均小于2，若a、b、2能作为三角形的三条边长，则它们能构成钝角三角形的三条边长的概率是（）A．B．C．D．练习3.如图，在矩形OABC中的曲线分别是y=sin x，y=cos x的一部分，A（，0），C（0，1），在矩形OABC内随机取一点，若此点取自阴影部分的概率为P1，取自非阴影部分的概率为P2，则（）A．P1<P2B．P1>P2C．P1=P2D．大小关系不能确定练习4.利用Excel产生两组[0，1]之间的均匀随机数：a=rand（），b=rand（）：若产生了2019个样本点（a，b），则落在曲线y=1、y=和x=0所围成的封闭图形内的样本点个数估计为（）A．673 B．505 C．1346 D．1515练习5.将曲线x2+y2=|x|+|y|围成的区域记为Ⅰ，曲线x2+y2=1围成的区域记为Ⅱ，曲线x2+y2=1与坐标轴的交点分别为A、B、C、D，四边形ABCD围成的区域记为Ⅲ，在区域Ⅰ中随机取一点，此点取自Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，则（）A．p1+p2>1 B．p1+p2<1C．p1+p2=1 D．p1=p2填空题练习1.中国最早的一部数学著作《周髀算经》的开头就记载了利用赵爽弦图证明了勾股定理，赵爽弦图（如图所示）是由四个全等的直角三角形和两个正方形构成若在大正方形中随机取一点该点落在阴影部分的概率为，则直角三角形中较小角的正切值为__．_练习2.在古代三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出一个小正方形（如图阴影部分）．若直角三角形中较小的锐角为α，现_向大正方形区域内随机投掷一枚飞镖，要使飞镖落在小正方形内的概率为，则cosα=__练习3.中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术，蕴涵了极致的数学美和丰富的传统文化信息．现有一幅剪纸的设计图，其中的4个小圆均过正方形的中心，且内切于正方形的两邻边．若在正方形内随机取一点，则该点取自黑色部分的概率为___．练习4.已知圆C：x2+y2=1，直线l：y=k（x+2），在[-1，1]上随机选取一个数k，则事件“直线l与圆_C相交”发生的概率为__解答题练习1.'已知两数f（x）=ax2-bx+1．（1）若a，b都是从集合{0，1，2，3}中任取的一个数，求函数f（x）没有零点的概率；（2）分别从集合P和Q中随机取一个数a和b得到数对（a，b），若P={x|1≤x≤3}，Q={x|0≤x≤4}，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．'练习2.'已知函数f（x）=ax+b∙2x-2，其中，0≤b≤4．（1）当a=1时，求函数f（x）≥0在x∈[0，1]上恒成立的概率；（2）当0≤a≤2时，求函数f（x）在区间x∈[0，1]上有且只有一个零点的概率．'练习3.'袋子中放有大小和形状相同而颜色互不相同的小球若干个，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球2个，从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b．（1）记事件A表示“a+b=2”，求事件A的概率；（2）在区间[0，2]内任取2个实数x，y，记（a-b）2的最大值为M，求事件“x2+y2<M”的概率．'。
高中数学几何概型
3.3几何概型3.3.1几何概型【知识提炼】1.几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度( 面积或体积) 成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型.2.几何概型的特点(1)试验中所有可能出现的基本事件有无限多个 .(2)每个基本事件出现的可能性相等 .3.几何概型的概率公式P(A)=________________________________________【即时小测】1.思考下列问题：(1)几何概型的概率计算一定与构成事件的区域形状有关?提示：几何概型的概率只与它的长度(面积或体积)有关，而与构成事件的区域形状无关.(2)在射击中，运动员击中靶心的概率是在(0，1)内吗?提示：不是.根据几何概型的概率公式，一个点的面积为0，所以概率为0.2.如图所示，在地面上放置着一个等分为8份的塑料圆盘，若将一粒玻璃球丢在该圆盘中，则玻璃球落在A区域内的概率是()A. B. C. D.1【解析】选A.玻璃球丢在该圆盘内，玻璃球落在各个区域内是随机的，并且落在该圆盘内的任何位置是等可能的，因此该问题是几何概型.由于A区域占整个圆形区域面积的，所以玻璃球落入A区域的概率为.3.在1000mL水中有一个草履虫，现从中随机取出3 mL水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是.【解析】由几何概型知，P=.答案：4.利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a-1<0”发生的概率为.【解析】由题意，得0<a<，所以根据几何概型的概率计算公式，得事件“3a-1<0”发生的概率为.答案：5.在{(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}中，满足y>x的事件的概率为.【解析】由0≤x≤1且0≤y≤1得到的正方形面积为S=1，而y=x恰把其面积二等分，故P= .答案：【知识探究】知识点几何概型的概念及公式观察图形，回答下列问题：问题1：几何概型与古典概型有何区别?问题2：如何求得几何概型中事件A发生的概率?【总结提升】几何概型与古典概型的异同点类型古典概型几何概型异同一次试验的所有可能不同点(基本一次试验的所有可能出现的结果出现的结果(基本事件事件的个数) (基本事件)有无限多个)有有限个类型古典概型几何概型异同相同点(基本事件每一个试验结果(即基本事件)发生的可能性大小相等发生的等可能性)【题型探究】类型一与长度有关的几何概型【典例】1.取一根长为5m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于2m的概率为 ()A. B. C. D.2.已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的概率为，则=()A. B. C. D.【解题探究】1.典例1中，剪得两段的长都不小于2m，应将绳子几等分?提示：五等分2.典例2中如何确定点P的位置?提示：在矩形ABCD中，分别以A，B为圆心，以AB长为半径作弧交CD分别于E，F，点P在线段EF上时满足题意.【解析】1.选D.如图所示.记“剪得两段绳长都不小于2m”为事件A.把绳子五等分，于是当剪断位置处在中间一段上时，事件A发生.由于中间一段的长度等于绳长的，所以事件A发生的概率P(A)= .2.选D.如图，在矩形ABCD中，分别以B，A为圆心，以AB长为半径作弧交CD分别于点E，F，当点P在线段EF上运动时满足题设要求，所以E，F为CD的四等分点，设AB=4，则DF=3，AF=AB=4，在直角三角形ADF中，所以【方法技巧】求解与长度有关的几何概型的步骤(1)找到试验的全部结果构成的区域D，这时区域D可能是一条线段或几条线段或曲线段，(2)找到事件A发生对应的区域d，在找d的过程中，确定边界点是问题的关键，但边界点是否取到却不影响事件A的概率.(3)利用几何概型概率的计算公式P=计算.【变式训练】平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径r<a的硬币任意掷在这个平面上，求硬币不与任一条平行线相碰的概率.【解析】设事件A：“硬币不与任一条平行线相碰”.为了确定硬币的位置，由硬币中心O向靠得最近的平行线引垂线OM，垂足为M，这样线段OM长度(记作|OM|)的取值范围是[0，a]，只有当r<|OM|≤a时，硬币不与平行线相碰，其长度范围是(r，a].所以答案：类型二与面积有关的几何概型【典例】1.(2014·辽宁高考)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是()2.(2015·蚌埠高一检测)如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆.在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是.【解题探究】1.典例1中要求质点落在以AB为直径的半圆内的概率，需要先求什么?提示：需要求长方形ABCD的面积及以AB为直径的半圆的面积. 2.典例2中，如何求阴影部分的面积?提示：利用“割补法”.【解析】1.选B.由题意AB＝2，BC＝1，可知长方形ABCD的面积S ＝2×1＝2，以AB为直径的半圆的面积故质点落在以AB为直径的半圆内的概率2.如图所示，设OA＝OB＝r，则两个以为半径的半圆的公共部分面积为两个半圆外部的阴影部分面积为所以所求概率为答案：【方法技巧】处理面积型几何概型的策略设平面区域g是平面区域G的一部分，向区域G上任投一点，若落在区域g上的点数与区域g的面积成正比，而与区域g在区域G上的相对位置无关，则点落在区域g上的概率为【变式训练】（2015·福建高考）如图，在矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为（1，0），且点C与点D在函数的图象上.若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于（）【解题指南】求出点C和点D的坐标，转化成面积型几何概型的概率计算.【解析】选B.因为四边形ABCD为矩形，B(1,0)且点C和点D分别在直线y=x+1和形的面积上，所以C(1,2)和D(-2,2)，所以阴影部分三角S矩形=3×2=6，故此点取自阴影部分的概率【补偿训练】(2015·衡水调研)在面积为S的矩形ABCD内随机取一点P，则△PAB的面积不大于的概率是_________.【解析】如图，作PE⊥AB，设矩形的边长AB＝a，BC＝b，PE＝h，由题意得，所以由几何概型的概率计算公式得所求概率答案：类型三与体积有关的几何概型【典例】1.(2015·成都高一检测)一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1.称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为()2.有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为.【解题探究】1.典例1中，满足题意的区域是什么?提示：满足题意的点区域为：位于该正方体中心的一个棱长为1的小正方体.2.典例2中，求解与体积有关的几何概型关键是什么?提示：解与体积有关的几何概型关键是确定基本事件构成的体积与所求基本事件构成的体积.【解析】1.选C.依题意，在棱长为3的正方体内任意取一点，这个点到各面的距离均大于1，所以满足题意的点区域为：位于该正方体中心的一个棱长为1的小正方体.由几何概型的概率公式，可得满足题意的概率为2.先求点P到点O的距离小于1或等于1的概率，圆柱的体积V圆柱＝π×12×2＝2π，以O为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积则点P到点O的距离小于1或等于1的概率为：故点P到点O的距离大于1的概率为：答案：【延伸探究】1.（改变问法）若典例1中条件不变，求这个蜜蜂飞到正方体某一顶点A的距离小于的概率．【解析】到A点的距离小于的点，在以A为球心，半径为的球内部，而点又必须在已知正方体内，则满足题意的A点的区域体积为所以2.（变换条件）若典例2中的条件变为在棱长为2的正方体ABCD-- A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD-A1B1C1D1内随机取一点P，结果如何？【解析】与点O距离等于1的点的轨迹是一个半球面，半球体积为：“点P与点O距离大于1”事件对应的区域体积为则点P与点O距离大于1的概率是【方法技巧】1.与体积有关的几何概型概率的求法如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用体积表示，则其概率的计算公式为2.解决与体积有关的几何概型的关键点解决此类问题的关键是注意几何概型的条件，分清所求的概率是与体积有关还是与长度有关，不要将二者混淆.【补偿训练】正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取点M，则使四棱锥M-ABCD的体积小于的概率为________.【解析】正方体ABCD-A1B1C1D1中，设M-ABCD的高为h，则又S＝1，四边形ABCD所以h＝若体积小于则h<即点M在正方体的下半部分，所以答案：【补偿训练】（2015·临沂高一检测）如图所示，A是圆上一定点，在圆上其他位置任取一点A′，连接AA′，得到一条弦，则此弦的长度小于或等于半径长度的概率为()【解析】选C.如图所示，要使弦的长度小于或等于半径长度，只要点A′在劣弧A′1A′2上.AA′1=AA2′=R，所以∠AOA1′=∠AOA2′=故由几何概型的概率公式得。
高中数学：几何概型 (11)
几何概型3．3.1& 3.3.2几何概型均匀随机数的产生[新知初探]1．几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．2．几何概型的特点(1)试验中所有可能出现的结果有无限多个．(2)每个结果出现的可能性相等．3．几何概型概率公式在几何概型中，事件A的概率的计算公式为：P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).4．均匀随机数的产生(1)计算器上产生[0,1]的均匀随机数的函数是RAND 函数． (2)Excel 软件产生[0,1]区间上均匀随机数的函数为“rand(_)”． 5．用模拟的方法近似计算某事件概率的方法(1)试验模拟的方法：制作两个转盘模型，进行模拟试验，并统计试验结果． (2)计算机模拟的方法：用Excel 的软件产生[0,1]区间上均匀随机数进行模拟．注意操作步骤．[小试身手]1.一个靶子如右图所示，随机地掷一个飞镖扎在靶子上，假设飞镖既不会落在靶心，也不会落在阴影部分与空白的交线上，现随机向靶掷飞镖30次，则飞镖落在阴影部分的次数约为( )A ．5B ．10C ．15D ．20解析：选A 阴影部分对应的圆心角度数和为60°，所以飞镖落在阴影内的概率为60°360°＝16，飞镖落在阴影内的次数约为30×16＝5. 2．已知集合M ＝{x |－2≤x ≤6}，N ＝{x |0≤2－x ≤1}，在集合M 中任取一个元素x ，则x ∈M ∩N 的概率是( )A.19B.18C.14D.38解析：选B 因为N ＝{x |0≤2－x ≤1}＝{x |1≤x ≤2}，又M ＝{x |－2≤x ≤6}，所以M ∩N ＝{x |1≤x ≤2}，所以所求的概率为2－16＋2＝18.3.如图所示，半径为4的圆中有一个小狗图案，在圆中随机撒一粒豆子，它落在小狗图案内的概率是13，则小狗图案的面积是( )A.π3B.4π3C.8π3D.16π3解析：选D 设小狗图案的面积为S 1，圆的面积S ＝π×42＝16π，由几何概型的计算公式得S 1S ＝13，得S 1＝16π3.故选D.4．在区间[－1,1]上随机取一个数x ，则x ∈[0,1]的概率为________．解析：根据几何概型的概率的计算公式，可得所求概率为1－01－(－1)＝12.★答案★：12与长度有关的几何概型[典例] (1)(2016·全国卷Ⅰ)某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )A.13 B.12 C.23D.34(2)在区间[－1,2]上随机取一个数x ，则|x |≤1的概率为________． [解析] (1)如图，7：50至8：30之间的时间长度为40 分钟，而小明等车时间不超过10 分钟是指小明在7：50至8：00之间或8：20至8：30之间到达发车站，此两种情况下的时间长度之和为20 分钟，由几何概型概率公式知所求概率为P ＝2040＝12.故选B.(2)∵区间[－1,2]的长度为3，由|x |≤1，得x ∈[－1,1]，而区间[－1,1]的长度为2，x 取每个值为随机的，∴在[－1,2]上取一个数x，|x|≤1的概率P＝2 3.[★答案★](1)B(2)231．解几何概型概率问题的一般步骤(1)选择适当的观察角度(一定要注意观察角度的等可能性)；(2)把基本事件转化为与之对应的区域D；(3)把所求随机事件A转化为与之对应的区域I；(4)利用概率公式计算．2．与长度有关的几何概型问题的计算公式如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为：P(A)＝构成事件A的区域长度试验的全部结果所构成的区域长度.[活学活用]一个路口的红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒，当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是多少？(1)红灯亮；(2)黄灯亮；(3)不是红灯亮．解：在75秒内，每一时刻到达路口亮灯的时间是等可能的，属于几何概型．(1)P＝红灯亮的时间全部时间＝3030＋40＋5＝25.(2)P ＝黄灯亮的时间全部时间＝575＝115. (3)法一：P ＝不是红灯亮的时间全部时间＝黄灯亮或绿灯亮的时间全部时间＝4575＝35.法二：P ＝1－P (红灯亮)＝1－25＝35.与面积和体积有关的几何概型[典例] (1)如图，矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(1,0)，且点C 与点D 在函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，－12x ＋1，x <0的图象上．若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于( )A.16 B.14 C.38D.12(2)有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．[解析] (1)依题意得，点C 的坐标为(1,2)，所以点D 的坐标为(－2,2)，所以矩形ABCD 的面积S 矩形ABCD ＝3×2＝6，阴影部分的面积S 阴影＝12×3×1＝32，根据几何概型的概率求解公式，得所求的概率P ＝S 阴影S 矩形ABCD ＝326＝14，故选B.(2)先求点P 到点O 的距离小于1或等于1的概率，圆柱的体积V 圆柱＝π×12×2＝2π，以O 为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积V 半球＝12×43π×13＝23π.则点P 到点O 的距离小于1或等于1的概率为：23π2π＝13，故点P 到点O 的距离大于1的概率为：1－13＝23.[★答案★] (1)B (2)231．与面积有关的几何概型的概率公式如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用面积表示，则其概率的计算公式为：P(A)＝构成事件A的区域面积试验的全部结果所构成的区域面积.2．与体积有关的几何概型概率的求法如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用体积表示，则其概率的计算公式为P(A)＝构成事件A的区域体积试验的全部结果所构成的区域体积.[活学活用]1．在一球内有一棱长为1的内接正方体，一点在球内运动，则此点落在正方体内部的概率为()A.6π B.32πC.3π D.233π解析：选D由题意可得正方体的体积为V1＝1.又球的直径是正方体的体对角线，故球的半径R＝32.球的体积V2＝43πR3＝32π.则此点落在正方体内的概率为P＝V1V2＝132π＝233π.2.(2017·全国卷Ⅰ)如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )A.14B.π8C.12D.π4解析：选B 不妨设正方形的边长为2，则正方形的面积为4，正方形的内切圆的半径为1，面积为π.由题意，得S 黑＝12S 圆＝π2，故此点取自黑色部分的概率P ＝π24＝π8.用随机模拟估计面积型的几何概型[典例] 解放军某部队进行特种兵跳伞演习，如图所示，在长为16 m ，宽为14 m 的矩形内有大、中、小三个同心圆，其半径分别为1 m 、2 m 、5 m ．若着陆点在圆环B 内，则跳伞成绩为合格；若着陆点在环状的阴影部分，则跳伞成绩为良好；若跳伞者的着陆点在小圆A 内，则跳伞成绩为优秀；否则为不合格．若一位特种兵随意跳下，假设他的着陆点在矩形内，利用随机模拟的方法求他的成绩为良好的概率．[解] 设事件A 表示“该特种兵跳伞的成绩为良好”．(1)利用计算器或计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数，a 1＝RAND ，b 1＝RAND. (2)经过伸缩和平移变换，a ＝16a 1－8，b ＝14b 1－7，得到[－8,8]与[－7,7]上的均匀随机数．(3)统计满足－8<a <8，－7<b <7的点(a ，b )的个数N .满足1<a 2＋b 2<4的点(a ，b )的个数N 1.(4)计算频率f n (A )＝N 1N即为所求概率的近似值．用随机模拟方法估计长度型与面积型几何概型的概率的联系与区别(1)联系：二者模拟试验的方法和步骤基本相同，都需产生随机数；(2)区别：长度型几何概型只要产生一组均匀随机数即可，所求事件的概率为表示事件的长度之比，对面积型几何概型问题，一般需要确定点的位置，而一组随机数是不能在平面上确定点的位置的，故需要利用两组均匀随机数分别表示点的横纵坐标，从而确定点的位置，所求事件的概率为点的个数比．[活学活用]现向图中所示正方形内随机地投掷飞镖，试用随机模拟的方法求飞镖落在阴影部分的概率．解：(1)利用计算器或计算机产生两组0至1区间内的均匀随机数a1，b1(共N组)；(2)经过平移和伸缩变换，a＝2(a1－0.5)，b＝2(b1－0.5)；(3)数出满足不等式b＜2a－43，即6a－3b＞4的数组数N1.所求概率P≈N1N.可以发现，试验次数越多，概率P越接近25144.[层级一 学业水平达标]1．已知集合M ＝{x |－2≤x ≤6}，N ＝{x |0≤2－x ≤1}，在集合M 中任取一个元素x ，则x ∈M ∩N 的概率是( )A.19 B.18 C.14D.38解析：选B 因为N ＝{x |0≤2－x ≤1}＝{x |1≤x ≤2}，又M ＝{x |－2≤x ≤6}，所以M ∩N ＝{x |1≤x ≤2}，所以所求的概率为2－16＋2＝18.2．“抖空竹”是我国的一种传统杂技，表演者在两根直径为8～12 mm 的杆上系一根长度为1 m 的绳子，并在绳子上放一个空竹，则空竹与绳子两端的距离都大于0.4 m 的概率为( )A.25B.15C.13D.23解析：选B 空竹与绳子两端的距离都大于0.4 m ，即空竹的运行范围为1－2×0.4＝0.2(m)，故所求事件的概率为P ＝0.21＝15. 3．已知函数f (x )＝log 2x ，x ∈⎣⎡⎦⎤12，2，在区间⎣⎡⎦⎤12，2上任取一点x 0，则使f (x 0)≥0的概率为________．解析：欲使f (x )＝log 2x ≥0，则x ≥1，而x ∈⎣⎡⎦⎤12，2，∴x 0∈[1,2]，从而由几何概型概率公式知所求概率P ＝2－12－12＝23. ★答案★：234．已知正三棱锥S -ABC 的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P ，使得V P -ABC <12V S -ABC的概率是________． 解析：由V P -ABC <12V S -ABC知，P 点在三棱锥S -ABC 的中截面A 0B 0C 0的下方，P ＝1－VS -A 0B 0C 0V S -ABC＝1－18＝78. ★答案★：78[层级二 应试能力达标]1.如图，在平面直角坐标系中，射线OT 为60°角的终边，在任意角集合中任取一个角，则该角终边落在∠xOT 内的概率是( )A.16B.23C.13D.160解析：选A ∵在任意角集合中任取一个角，则该角终边落在∠xOT 内对应的角度为60度，而整个角集合对应的角度为圆周角，∴该角终边落在∠xOT 内的概率P ＝60360＝16，故选A.2．如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于( )A.14B.13C.12D.23 解析：选C △ABE 的面积是矩形ABCD 面积的一半，由几何概型知，点Q 取自△ABE内部的概率为12. 3．如图所示，一半径为2的扇形(其中扇形中心角为90°)，在其内部随机地撒一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率为( )A.2πB.1πC.12D.1－2π解析：选D S 扇形＝14×π×22＝π， S 阴影＝S 扇形－S △OAB ＝π－12×2×2＝π－2， ∴P ＝π－2π＝1－2π. 4.如图，A 是圆O 上固定的一点，在圆上其他位置任取一点A ′，连接AA ′，它是一条弦，它的长度小于或等于半径长度的概率为( )A.12B.32C.13D.14解析：选C 如图，当AA ′的长度等于半径长度时，∠AOA ′＝60°，由圆的对称性及几何概型得P ＝120360＝13.故选C. 5．(2017·江苏高考)记函数f (x )＝6＋x －x 2的定义域为D .在区间[－4,5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是________．解析：由6＋x －x 2≥0，解得－2≤x ≤3，则D ＝[－2,3]，则所求概率P ＝3－(－2)5－(－4)＝59. ★答案★：596．(2016·山东高考)在[－1,1]上随机地取一个数k ，则事件“直线y ＝kx 与圆(x －5)2＋y 2＝9相交”发生的概率为________．解析：由直线y ＝kx 与圆(x －5)2＋y 2＝9相交，得|5k |k 2＋1＜3，即16k 2＜9，解得－34＜k ＜34.由几何概型的概率计算公式可知P ＝34－⎝⎛⎭⎫－342＝34. ★答案★：347．在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1内任取一点P ，则点P 到点A 的距离小于等于a 的概率为________解析：点P 到点A 的距离小于等于a 可以看做是随机的，点P 到点A 的距离小于等于a 可视作构成事件的区域，棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1可视做试验的所有结果构成的区域，可用“体积比”公式计算概率．P ＝18×43πa 3a 3＝16π. ★答案★：16π 8.如图，射箭比赛的箭靶涂有五个彩色的分环．从外向内依次为白色、黑色、蓝色、红色，靶心为金色．金色靶心叫“黄心”．奥运会的比赛靶面直径为122 cm ，靶心直径为12.2 cm.运动员在70 m 外射箭．假设运动员射的箭都能中靶，且射中靶面内任一点都是等可能的，那么射中黄心的概率为多少？解：记“射中黄心”为事件B ，由于中靶点随机地落在面积为14×π×1222 cm 2的大圆内，而当中靶点落在面积为14×π×12.22 cm 2的黄心时，事件B 发生，于是事件B 发生的概率为P (B )＝14×π×12.2214×π×1222＝0.01. 即“射中黄心”的概率是0.01.9．已知圆C：x2＋y2＝12，直线l：4x＋3y＝25.(1)求圆C的圆心到直线l的距离；(2)求圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率．解：(1)由点到直线l的距离公式可得d＝2542＋32＝5.(2)由(1)可知圆心到直线l的距离为5，要使圆上的点到直线的距离小于2，设与圆相交且与直线l平行的直线为l1，其方程为4x＋3y＝15.则符合题意的点应在l1：4x＋3y＝15与圆相交所得劣弧上，由半径为23，圆心到直线l1的距离为3可知劣弧所对圆心角为60°.故所求概率为P＝60°360°＝1 6.。
2022年新高考数学总复习：几何概型
2022年新高考数学总复习：几何概型知识点一几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的__长度(面积或体积)__成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．知识点二几何概型的特点(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；(2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性．知识点三几何概型的概率公式P (A )＝__构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)__．知识点四随机模拟方法(1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验，通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是模拟方法．(2)用计算机或计算器模拟试验的方法为随机模拟方法．这个方法的基本步骤是：①用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义；②统计代表某意义的随机数的个数M 和总的随机数个数N ；③计算频率f n (A )＝MN作为所求概率的近似值．归纳拓展几种常见的几何概型(1)与长度有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关．(2)与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题．(3)与体积有关的几何概型，可借助空间几何体的体积公式解答问题．双基自测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零．(√)(2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．(√)(3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．(√)(4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．(√)(5)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．(×)(6)从区间[1,10]内任取一个数，取到1的概率是P ＝19．(×)题组二走进教材2．(P 140T1)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是(A)[解析]∵P (A )＝38，P (B )＝14，P (C )＝13，P (D )＝13，∴P (A )＞P (C )＝P (D )＞P (B )．故选A ．3．(P 146B 组T4)≤x ≤2，≤y ≤2表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是(D)A ．π4B ．π－22C ．π6D ．4－π4[解析]如图所示，正方形OABC 及其内部为不等式组表示的平面区域D ，且区域D的面积为4，而阴影部分(不包括AC ︵)表示的是区域D 内到坐标原点的距离大于2的区域．易知该阴影部分的面积为4－π．因此满足条件的概率是4－π4，故选D ．题组三走向高考4．(2017·全国Ⅰ)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是(B)A ．14B ．π8C ．12D ．π4[解析]不妨设正方形ABCD 的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，可得S 正方形＝4．由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S 黑＝S 白＝12S 圆＝π2，所以由几何概型知，所求概率P ＝S 黑S 正方形＝π24＝π8．故选B ．5．(2019·全国)在Rt △ABC 中，AB ＝BC ，在BC 边上随机取点P ，则∠BAP ＜30°的概率为(B)A ．12B ．33C ．33D ．32[解析]在Rt △ABC 中，AB ＝BC ，Rt △ABC 为等腰直角三角形，令AB ＝BC ＝1，则AC ＝2；在BC 边上随机取点P ，当∠BAP ＝30°时，BP ＝tan 30°＝33，在BC 边上随机取点P ，则∠BAP ＜30°的概率为：P ＝BP BC ＝33，故选B ．考点突破·互动探究考点一与长度有关的几何概型——自主练透例1(1)(2021·山西运城模拟)某单位试行上班刷卡制度，规定每天8：30上班，有15分钟的有效刷卡时间(即8：15－8：30)，一名职工在7：50到8：30之间到单位且到达单位的时刻是随机的，则他能正常刷卡上班的概率是(D)A ．23B ．58C ．13D ．38(2)(2021·福建龙岩质检)在区间－π2，π2上随机取一个实数x ，使cos x ≥12的概率为(B )A ．34B ．23C ．12D ．13(3)(2020·山东省青岛市模拟)已知圆C ：x 2＋y 2＝1和直线l ：y ＝k (x ＋2)，在(－3，3)上随机选取一个数k ，则事件“直线l 与圆C 相交”发生的概率为(C)A ．15B ．14C ．13D ．12[解析](1)一名职工在7：50到8：30之间到单位，刷卡时间长度为40分钟，但有效刷卡时间是8：15－8：30共15分钟，由测度比为长度比可得，该职工能正常刷卡上班的概率P ＝1540＝38．故选D ．(2)由y ＝cos x 在区间－π2，0上单调递增，在，π2上单调递减，则不等式cos x ≥12在区间－π2，π2上的解为－π3≤x ≤π3，故cos x ≥12的概率为2π3π＝23．(3)直线l 与C 相交⇒|2k |1＋k 2＜1⇒－33＜k ＜33．∴所求概率P ＝33－(－33)3－(－3)＝13．故选C ．[引申]本例(3)中“圆上到直线l 的距离为12的点有4个”发生的概率为__515__．[解析]圆上到直线l 的距离为12的点有4个⇔圆心到直线l 的距离小于12⇔|2k |1＋k 2＜12⇔－1515＜k ＜1515，∴所求概率P ＝1515－3－(－3)＝515．名师点拨与长度有关的几何概型如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为P (A )＝构成事件A 的区域长度试验的全部结果所构成的区域长度．〔变式训练1〕(1)(2017·江苏卷)记函数f (x )＝6＋x －x 2的定义域为D ．在区间[－4,5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是__59__．(2)(2021·河南豫北名校联盟精英对抗赛)已知函数f (x )＝sin x ＋3cos x ，当x ∈[0，π]时，f (x )≥1的概率为(D)A ．13B ．14C ．15D ．12[解析](1)D ＝{x |6＋x －x 2≥0}＝[－2,3]，∴所求概率P ＝3－(－2)5－(－4)＝59．(2)由f (x )＝1，x ∈[0，π]得x ∈0，π2，∴所求概率P ＝π2π＝12，故选D ．考点二与面积有关的几何概型——师生共研角度1与平面图形有关的问题例2(1)(2021·河南商丘、周口、驻马店联考)如图，AC ，BD 上分别是大圆O的两条相互垂直的直径，4个小圆的直径分别为OA ，OB ，OC ，OD ，若向大圆内部随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为(D)A ．π4B ．π8C ．1πD ．2π(2)设复数z ＝(x －1)＋y i(x ，y ∈R )，若|z |≤1，则y ≥x 的概率为(C )A ．34＋12πB ．12＋1πC ．14－12πD ．12－1π[解析](1)不妨设大圆的半径为2，则大圆的面积为4π，小圆的半径为1，如图，设图中阴影部分面积为S ，由图形的对称性知，S 阴影＝8S ．又S ＝12π×12×12－12×2＝1，则所求概率为84π＝2π，故选D ．(2)∵|z |＝(x －1)2＋y 2≤1，∴(x －1)2＋y 2≤1，其几何意义表示为以(1,0)为圆心，1为半径的圆面，如图所示，而y ≥x 所表示的区域如图中阴影部分，故P ＝π4－12π＝14－12π．[引申]本例(1)中图形改成下图，则此点取自图中阴影部分的概率为__π－22π__．[解析]不妨设大圆的半径为2，则小圆的半径为1，∴所求概率P 14×4π＝π－22π．角度2与线性规划交汇的问题例3－y ＋1≥0，＋y －3≤0，≥0的平面点集中随机取一点M (x 0，y 0)，设事件A 为“y 0＜2x 0”，那么事件A 发生的概率是(B )A ．14B ．34C ．13D ．23[解析]－y ＋1≥0＋y －3≤0，≥0表示的平面区域为△ABC 且A (1,2)，B (－1,0)，C (3,0)，显然直线l ：y ＝2x 过A 且与x 轴交于O ，∴所求概率P ＝S △AOC S △ABC ＝|OC ||BC |＝34．选B ．名师点拨解决与面积有关的几何概型的方法求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的几何元素，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．〔变式训练2〕(1)(2021·唐山模拟)右图是一个边长为4的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷400个点，其中落入黑色部分的有225个点，据此可估计黑色部分的面积为(B)A ．8B ．9C ．10D ．12(2)(2021·四川模拟)以正三角形的顶点为圆心，其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形被称为勒洛三角形，它是具有类似于圆的“等宽性”曲线，由德国机械工程专家、数学家勒洛首先发现．如图，D ，E ，F 为正三角形ABC 各边中点，作出正三角形DEF 的勒洛三角形DEF (阴影部分)，若在△ABC 中随机取一点，则该点取自于该勒洛三角形部分的概率为(C)A ．π－32B ．23π－39C ．3π－36D ．3π－26[解析](1)根据面积之比与点数之比相等的关系，得黑色部分的面积S ＝4×4×225400＝9，故选B ．(2)设△ABC 的边长为2，则正△DEF 边长为1，以D 为圆心的扇形面积是π×126＝π6，△DEF 的面积是12×1×1×32＝34，∴勒洛三角形的面积为3个扇形面积减去2个正三角形面积，即图中勒洛三角形面积为3×π6－34＋34＝π－32，△ABC 面积为3，所求概率P ＝π－323＝3π－36．故选C ．考点三,与体积有关的几何概型——师生共研例4(1)(2021·山西省模拟)以正方体各面中心为顶点构成一个几何体，从正方体内任取一点P ，则P 落在该几何体内的概率为(C )A ．18B ．56C ．16D ．78(2)(2020·江西抚州临川一中期末)已知三棱锥S －ABC ，在该三棱锥内任取一点P ，则使V P －ABC ≤13V S －ABC 的概率为(D)A ．13B ．49C ．827D ．1927[解析](1)如图以正方体各面中心为顶点的几何体是由两同底正四棱锥拼成，不妨设正方体棱长为2，则GH ＝2，∴所求概率P ＝V E －GHIJ －FV 正方体＝2×(13×2×2×1)2×2×2＝16，故选C ．(2)作出S 在底面△ABC 的射影为O ，若V P －ABC ＝13V S －ABC ，则三棱锥P －ABC 的高等于13SO ，P 点落在平面EFD 上，且SE SA ＝SD SB ＝SF SC ＝23，所以S △EFD S △ABC ＝49，故V S －EFD ＝827V S －ABC ，∴V P －ABC ≤13V S －ABC 的概率P ＝1－827＝1927．故选D ．名师点拨求解与体积有关问题的注意点对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的问题常转化为其对立事件的概率问题求解．〔变式训练3〕一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为(C)A ．4π81B ．81－4π81C ．127D ．827[解析]由已知条件可知，蜜蜂只能在以正方体的中心为中心棱长为1的小正方体内飞行，结合几何概型可得蜜蜂“安全飞行”的概率为P ＝1333＝127．[引申]若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体8个顶点的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为__1－4π81__．[解析]所求概率P ＝33－43π33＝1－4π81．考点四,与角度有关的几何概型——师生共研例5(1)(2021·南岗区校级模拟)已知正方形ABCD 的边长为3，以A 为顶点在∠BAD 内部作射线AP ，射线AP 与正方形ABCD 的边交于点M ，则AM ＜2的概率为(D)A ．32B ．12C ．33D ．23(2)在等腰Rt △ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内作一条射线CD 与线段AB 交于点D ，则AD ＜AC 的概率为__34__．[解析](1)正方形ABCD 的边长为3，以A 为顶点在∠BAD 内部作射线AP ，射线AP与正方形ABCD 的边交于点M ，如图所示：己知AD ＝AB ＝BC ＝CD ＝3，DM ＝1，所以AM ＝(3)2＋12＝2．所以∠DAM ＝π6．根据阴影的对称性，故P (AM ＜2)＝π6＋π6π2＝23，故选D ．(2)在AB 上取AC ′＝AC ，则∠ACC ′＝180°－45°2＝67.5°．设事件A ＝{在∠ACB 内部作一条射线CD ，与线段AB 交于点D ，AD ＜AC }．则所有可能结果的区域角度为90°，事件A 的区域角度为67.5°，∴P (A )＝67.590＝34．名师点拨与角度有关的几何概型的求解方法(1)若试验的结果所构成的区域的几何度量可用角度来表示，则其概率公式为P (A )＝构成事件A 的区域角度试验的全部结果所构成区域的角度．(2)解决此类问题时注意事件的全部结果构成的区域及所求事件的所有结果构成的区域，然后再利用公式计算．〔变式训练4〕(1)(2021·山西太原一模)如图，四边形ABCD 为矩形，AB ＝3，BC ＝1，在∠DAB内任作射线AP ，则射线AP 与线段BC 有公共点的概率为__13__．(2)如图所示，在△ABC 中，∠B ＝60°，∠C ＝45°，高AD ＝3，在∠BAC 内作射线AM交BC 于点M ，则BM ＜1的概率为__25__．[解析](1)当点P 在BC 上时，AP 与BC 有公共点，此时AP 扫过△ABC ，所以所求事件的概率P ＝3090＝13．(2)因为∠B ＝60°，∠C ＝45°，所以∠BAC ＝75°，在Rt △ABD 中，AD ＝3，∠B ＝60°，所以BD ＝AD tan 60°＝1，∠BAD ＝30°．记事件N 为“在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，使BM ＜1”，则可得∠BAM ＜∠BAD 时事件N 发生．由几何概型的概率公式，得P (N )＝3075＝25．名师讲坛·素养提升转化与化归思想在几何概型中的应用例6(1)(2021·贵州遵义模拟)在区间[0,2]上任取两个数，则这两个数之和大于3的概率是(A)A ．18B ．14C ．78D ．34(2)(2021·济宁模拟)甲、乙两人约定晚6点到晚7点之间在某处见面，并约定甲若早到则等乙半小时，而乙还有其他安排，若乙早到则不需等待，则甲、乙两人能见面的概率为(A )A ．38B ．34C ．35D ．45[解析](1)设函数为x ，y ，≤x≤2，≤y≤2由图可知x＋y＞3的概率P＝124＝18．故选A．(2)以6点作为计算时间的起点，设甲到的时间为x，乙到的时间为y，则基本事件空间是Ω＝{(x，y)|0≤x≤1,0≤y≤1}，事件对应的平面区域的面积S＝1，设满足条件的事件对应的平面区域是A，则A＝{(x，y)|0≤x≤1,0≤y≤1，y－x≤12，且y≥x}，其对应的区域如图中阴影部分所示，则C(0,1)，则事件A对应的平面区域的面积是1－12×12×12－12×1×1＝38，根据几何概型的概率计算公式得P＝381＝38．名师点拨]生活中的几何概型度量区域的构造方法：(1)审题：通过阅读题目，提炼相关信息．(2)建模：利用相关信息的特征，建立概率模型．(3)解模：求解建立的数学模型．(4)结论：将解出的数学模型的解转化为题目要求的结论．〔变式训练5〕(2020·海口调研)张先生订了一份《南昌晚报》，送报人在早上6：30－7：30之间把报纸送到他家，张先生离开家去上班的时间在早上7：00－8：00之间，则张先生在离开家之前能拿到报纸的概率是__78__．[解析]以横坐标x表示报纸送到时间，以纵坐标y表示张先生离家时间，建立平面直角坐标系，如图．因为随机试验落在方形区域内任何一点是等可能的，所以符合几何概型的条件．根据题意只要点落在阴影部分，就表示张先生在离开家之前能拿到报纸，即所求事件A发生，所以P(A)＝1×1－12×12×121×1＝78．。
几何概型“三步曲”
几何概型“三步曲”在概率论发展的早期，人们就已经注意到，只考虑那种仅有有限个等可能结果的随机试验是不够的，还必须考虑有无限多个试验结果的情况。
例如一名学生到班级的时间可能是6：00至7：00之间的任一时刻；往一个池塘投一个石子，石子可能落在池塘中的任何一地点……，这些情况都是我们要学习的几何概型，那么如何学好几何概型呢？第一步、理解几何概型定义1.如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型。
2.几何概型的特点（1）.试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；（2）.每个基本事件出现的可能性相等.定义非常严谨，但依学生的理解，从特点入手较容易掌握，特别是与古典概型的区分，更要从特点把握。
例如，某人一觉醒来，他打开收音机，想听电台报时，求此人等待不多于10分钟的概率. 分析：假设他在0～60分钟之间任何一个时刻打开收音机是等可能的，但在0到60分钟之间有无穷多个时刻，不能用古典概型公式计算随机事件发生的概率.从而断定可以通过几何概型的概率公式得到事件发生的概率.因为电台每小时报一次时，他在0到60分钟之间任何一个时刻到打开收音机是等可能的，所以他在哪个时间段到打开收音机的概率只与该时间段的长度有关，而与该时间段的位置无关，这符合几何概型的条件.在本例中，打开收音机的时刻x 是随机的，可以是0到60之间的任何一刻，并且是等可能的，我们称x服从[0，60]上的均匀分布，x为[0，60]上的均匀随机数. 利用几何概型可知，如果随机事件所在的区域是一个单点，由于单点的长度、面积、体积均为0，则它出现的概率为0，但它不是不可能事件；如果一个随机事件所在的区域是全部区域扣除一个单点，则它出现的概率为1，但它不是必然事件。
所以说概率为0的事件不一定是不可能事件，概率为1的事件不一定是必然事件，这一点从古典概型无法解释。
3.古典概型与几何概型的区别：二者基本事件发生的可能性是相等的，但古典概型要求基本事件是有限个，几何概型要求基本事件是无限个。
几何概型
几何概型最新考纲 1.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率；2.了解几何概型的意义.知识梳理1.几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型.2.几何概型的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；(2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性.3.几何概型的概率公式P(A)＝构成事件A的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）.基础自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率.( )(2)从区间[1，10]内任取一个数，取到1的概率是110.( )(3)概率为0的事件一定是不可能事件.( )(4)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形.( )答案(1)√(2)×(3)×(4)√2.(必修3P140练习1改编)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )解析如题干选项中图，各种情况的概率都是其面积比，中奖的概率依次为P(A)＝38，P(B)＝28，P(C)＝26，P(D)＝13，所以P(A)＞P(C)＝P(D)＞P(B).答案 A3.(必修3P146B4改编)如图，正方形的边长为2，向正方形ABCD内随机投掷200个点，有30个点落入图形M中，则图形M的面积的估计值为____________.解析由题意可得正方形面积为4，设不规则图形的面积为S，由几何概型概率公式可得S4＝30200，∴S＝0.6.答案0.64.(2016·全国Ⅱ卷)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( )A.710B.58C.38D.310解析至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为40－1540＝58.答案 B5.(2018·深圳模拟)一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为( )A.18B.16C.127D.38解析 由题意知小蜜蜂的安全飞行范围为以这个正方体的中心为中心，且棱长为1的小正方体内.这个小正方体的体积为1，大正方体的体积为27，故安全飞行的概率为p ＝127.答案 C6.(2018·全国Ⅰ卷)如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC .△ABC 的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则( )A.p 1＝p 2B.p 1＝p 3C.p 2＝p 3D.p 1＝p 2＋p 3解析 不妨设△ABC 为等腰直角三角形，AB ＝AC ＝2，则BC ＝22，所以区域Ⅰ的面积即△ABC 的面积，为S 1＝12×2×2＝2，区域Ⅲ的面积S 3＝π×（2）22－S 1＝π－2.区域Ⅱ的面积为S 2＝π·⎝ ⎛⎭⎪⎫222－S 3＝2.根据几何概型的概率计算公式，得p 1＝p 2＝2π＋2，p 3＝π－2π＋2，所以p 1≠p 3，p 2≠p 3，p 1≠p 2＋p 3.答案 A考点一 与长度(角度)有关的几何概型【例1】 (1)(2019·孝感期末)在区间[－1，4]内任取一个实数a ，使得关于x 的方程x 2＋2＝a 有实数根的概率为( ) A.23B.25C.35D.34(2)如图，四边形ABCD 为矩形，AB ＝3，BC ＝1，以A 为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE ︵，在∠DAB 内任作射线AP ，则射线AP 与线段BC 有公共点的概率为________.解析 (1)若方程x 2＋2＝a 有实根，可知a －2≥0，即a ≥2，那么p ＝4－24－（－1）＝25.(2)连接AC ，如图所示tan∠CAB ＝CB AB ＝13＝33，所以∠CAB ＝π6，满足条件的事件是直线AP 在∠CAB 内且AP 与BC 相交时，即直线AP 与线段BC 有公共点，所以所求事件的概率p ＝∠CAB ∠DAB ＝π6π2＝13.答案 (1)B (2)13规律方法 1.解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考查对象和对象的活动范围，当考查对象为点，且点的活动范围在线段上时，用“线段长度”为测度计算概率，求解的核心是确定点的边界位置.2.(1)第(2)题易出现“以线段BD 为测度”计算几何概型的概率，导致错求p ＝12. (2)当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角对应的弧长的大小作为区域度量来计算概率.事实上，当半径一定时，曲线弧长之比等于其所对应的圆心角的弧度数之比.【训练1】(1)(2016·全国Ⅰ卷)某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )A.13B.12C.23D.34(2)如图所示，在直角坐标系内，射线OT落在π6角的终边上，任作一条射线OA，则射线OA落在∠yOT内的概率为________.解析(1)如图所示，画出时间轴：小明到达的时间会随机的落在图中线段AB上，而当他的到达时间落在线段AC或DB上时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型得所求概率p＝10＋10 40＝12.(2)因为射线OA在坐标系是等可能分布的，所以OA落在∠yOT内的概率为p＝π2－π62π＝16.答案(1)B (2)16考点二与面积有关的几何概型多维探究角度1 与平面图形面积有关的问题【例2－1】(1)(2019·烟台诊断)七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的，如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )A.14B.18C.38D.316(2)(2018·黄冈、黄石联考)若张三每天的工作时间在6小时至9小时之间随机均匀分布，则张三连续两天平均工作时间不少于7小时的概率是( ) A.29B.13C.23D.79解析 (1)不妨设小正方形的边长为1，则两个小等腰直角三角形的边长分别为1，1，2，两个大等腰直角三角形的边长为2，2，22，即最大正方形的边长为22，则较大等腰直角三角形的边长分别为2，2，2， 故所求概率p ＝1－12×2×2＋1×1×2＋12×22×228＝18.(2)设第一天工作的时间为x 小时，第二天工作的时间为y 小时，则⎩⎨⎧6≤x ≤9，6≤y ≤9，因为连续两天平均工作时间不少于7小时，所以x ＋y 2≥7，即x ＋y ≥14，⎩⎨⎧6≤x ≤9，6≤y ≤9表示的区域面积为9，其中满足x ＋y ≥14的区域面积为9－12×2×2＝7，∴张三连续两天平均工作时间不少于7小时的概率是79.答案 (1)B (2)D角度2 与线性规划有关的问题【例2－2】 (2019·福州期末)关于x ，y 的不等式组⎩⎨⎧x ≤4，y ≥2，x －y ＋2≥0所表示的平面区域记为M ，不等式(x －4)2＋(y －3)2≤1所表示的平面区域记为N ，若在M 内随机取一点，则该点取自N 的概率为( ) A.π16B.π8C.14D.12解析关于实数x ，y 的不等式组⎩⎨⎧x ≤4，y ≥2，x －y ＋2≥0所表示的平面区域记为M ，面积为12×4×4＝8，不等式(x －4)2＋(y －3)2≤1所表示的区域记为N ，且满足不等式组⎩⎨⎧x ≤4，y ≥2，x －y ＋2≥0的面积为12π，所以在M 内随机取一点，则该点取自N 的概率为12π8＝π16. 答案 A规律方法 (1)几何概型与平面几何的交汇问题：要利用平面几何的相关知识，先确定基本事件对应区域的形状，再选择恰当的方法和公式，计算出其面积，进而代入公式求概率；(2)几何概型与线性规划的交汇问题：先根据约束条件作出可行域，再确定形状，求面积大小，进而代入公式求概率.【训练2】 (1)(2017·全国Ⅰ卷)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )A.14B.π8 C.12D.π4(2)(2018·石家庄调研)在满足不等式组⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，y ≥0的平面内随机取一点M (x 0，y 0)，设事件A ＝“y 0＜2x 0”，那么事件A 发生的概率是( ) A.14B.34C.13D.23解析 (1)设正方形的边长为2，则面积S 正方形＝4. 又正方形内切圆的面积S ＝π×12＝π. 所以根据对称性，黑色部分的面积S 黑＝π2. 由几何概型的概率公式，概率p ＝S 黑S 正方形＝π8. (2)作出不等式组⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，y ≥0表示的平面区域(即△ABC )，其面积为4.事件A＝“y 0＜2x 0”表示的区域为△AOC ，其面积为3.所以事件A 发生的概率是34.答案 (1)B (2)B考点三 与体积有关的几何概型【例3】 (1)在5升水中有一个病毒，现从中随机地取出1升水，含有病毒的概率是________.(2)如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体内随机取点M ，则使四棱锥M －ABCD 的体积小于16的概率为________.解析(1)“取出1升水，其中含有病毒”这一事件记作事件A，则P(A)＝取出的水的体积所有水的体积＝15.从而所求的概率为15.(2)设四棱锥M－ABCD的高为h，由于S正方形ABCD ＝1，V正方体＝1，且h3S正方形ABCD<16.∴h<12，则点M在正方体的下半部分，故所求事件的概率p＝12V正方体V正方体＝12.答案(1)15(2)12规律方法对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求.【训练3】已知正三棱锥S－ABC的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P，使得V P－ABC＜12VS－ABC的概率是( )A.78B.34C.12D.14解析由题意知，当点P在三棱锥的中截面A′B′C′以下时，满足V P－ABC<12V S－ABC ，又V锥S－A′B′C′＝12×14V锥S－ABC＝18V锥S－ABC.∴事件“V P－ABC<12VS－ABC”的概率P＝V台体A′B′C′－ABCV锥S－ABC＝V锥S－ABC－V锥S－A′B′C′V锥S－ABC＝78.答案 A[思维升华]1.区分古典概型和几何概型最重要的是看基本事件的个数是有限个还是无限个.2.判断几何概型中的几何度量形式的方法：(1)当题干是双重变量问题，一般与面积有关系.(2)当题干是单变量问题，要看变量可以等可能到达的区域；若变量在线段上移动，则几何度量是长度；若变量在平面区域(空间区域)内移动，则几何度量是面积(体积)，即一个几何度量的形式取决于该度量可以等可能变化的区域. [易错防范]1.准确把握几何概型的“测度”是解题关键，无论长度、面积、体积，“测度”只与大小有关，而与形状和位置无关.2.几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果.基础巩固题组(建议用时：35分钟)一、选择题1.(2019·安庆二模)中国人民银行发行了2018中国戊戌(狗)年金银纪念币一套，如图所示是一枚3克圆形金质纪念币，直径为18 mm，小米同学为了测算图中装饰狗的面积，他用1枚针向纪念币上投掷500次，其中针尖恰有150次落在装饰狗的身体上，据此可估计装饰狗的面积大约是( )A.486π5mm2 B.243π10mm2C.243π5mm2 D.243π20mm2解析 设装饰狗的面积为S mm 2.由题意得Sπ×⎝ ⎛⎭⎪⎫1822＝150500，∴S ＝243π10 mm 2. 答案 B2.已知以原点O 为圆心，1为半径的圆以及函数y ＝x 3的图象如图所示，则向圆内任意投掷一粒小米(视为质点)，该小米落入阴影部分的概率为( )A.12B.14C.16D.18解析 由图形的对称性知，所求概率为14π×12π×12＝14.答案 B3.(2018·潍坊一中质检)在区间[0，2]上随机地取一个数x ，则事件“－1≤log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12≤1”发生的概率为( )A.34B.23C.13D.14解析 由－1≤log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12≤1，得12≤x ＋12≤2，解得0≤x ≤32，所以事件“－1≤log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12≤1”发生的概率为322＝34.答案 A4.如图是一边长为8的正方形苗圃图案，中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的2倍.若在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为( )A.π8B.π16C.1－π8D.1－π16解析正方形的面积为82＝64，内切圆半径为4，中间黑色大圆的半径为2，黑色小圆的半径为1，所以白色区域的面积为π×42－π×22－4×π×12＝8π，所以黑色区域的面积为64－8π，所以在正方形图案上随机取一点，该点取自黑色区域的概率p＝64－8π64＝1－π8.答案 C5.有一底面半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为( )A.13B.23C.34D.14解析设点P到点O的距离小于等于1的概率为P1，由几何概型，则p1＝V半球V圆柱＝2π3×13π×12×2＝13.故点P到点O的距离大于1的概率p＝1－13＝23.答案 B6. “割圆术”是刘徽最突出的数学成就之一，他在《九章算术注》中提出割圆术，作为求圆周率的一种方法.刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了 3 072边形，并由此而求得了圆周率为3.141 5和3.141 6这两个近似值.我国南北朝时期的数学家祖冲之继承并发展了刘徽的“割圆术”，求得π的范围为(3.141592 6，3.141 592 7).如果按π＝3.142计算，那么当分割到圆内接正六边形时，如图，向圆内随机投掷一点，那么落在图中阴影部分的概率为(3≈1.732，精确到小数点后两位)( )A.0.16B.0.17C.0.18D.0.19解析 设圆的半径为r ，则圆的面积为πr 2，正六边形的面积为6×12×r ×32r ＝332r 2，故所求概率为1－332r 2πr 2＝1－332π≈0.17，故选B.答案 B7.(2019·西安调研)若函数f (x )＝⎩⎨⎧e x，0≤x <1，ln x ＋e ，1≤x ≤e在区间[0，e]上随机取一个实数x ，则f (x )的值不小于常数e 的概率是( ) A.1eB.1－1eC.e1＋eD.11＋e解析 当0≤x <1时，恒有f (x )＝e x <e ，不满足题意.当1≤x ≤e 时，f (x )＝ln x ＋e.由ln x ＋e≥e，得1≤x ≤e.∴所求事件的概率p ＝e －1e ＝1－1e. 答案 B8.(2016·全国Ⅱ卷)从区间[0，1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( ) A.4nmB.2nmC.4mnD.2mn解析如图，数对(x i，y i)(i＝1，2，…，n)表示的点落在边长为1的正方形OABC内(包括边界)，两数的平方和小于1的数对表示的点落在半径为1的四分之一圆(阴影部分)内.由几何概型的概率计算公式知p＝S扇形S正方形＝14πR2R2＝π4，又p＝m n ，所以π4＝mn，故π＝4mn.答案 C二、填空题9.在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，在直角边BC上任取一点M，则∠CAM<30°的概率是________.解析∵点M在直角边BC上是等可能出现的，∴“测度”是长度.设直角边长为a，则所求概率为33aa＝33.答案3 310.记函数f(x)＝6＋x－x2的定义域为D.在区间[－4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是________.解析由6＋x－x2≥0，得－2≤x≤3，即D＝[－2，3].故所求事件的概率p＝3－（－2）5－（－4）＝59.答案5 911.由不等式组⎩⎨⎧x ≤0，y ≥0，y －x －2≤0确定的平面区域记为Ω1，由不等式组⎩⎨⎧x ＋y ≤1，x ＋y ≥－2确定的平面区域记为Ω2，若在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为________.解析 如图，平面区域Ω1就是三角形区域OAB ，平面区域Ω2与平面区域Ω1的重叠部分就是区域OACD ，易知C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.由几何概型的概率公式，所求概率p ＝S 四边形OACD S △OAB ＝2－142＝78.答案 7812.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A －A 1BD 内的概率为________.解析 因为V A －A 1BD ＝V A 1－ABD ＝13AA 1×S △ABD ＝16×AA 1×S矩形ABCD＝16V 长方体，故所求概率为V A －A 1BD V 长方体＝16. 答案 16能力提升题组(建议用时：15分钟)13.(2018·西北工大附中调研)设复数z＝(x－1)＋y i(x，y∈R)，若|z|≤1，则y≥x的概率为( )A.34＋12π B.12＋1πC.12－1πD.14－12π解析由|z|≤1得(x－1)2＋y2≤1，由题意作图如图所示，则满足条件的区域为图中阴影部分，∴y≥x的概率为π4－12π＝14－12π.答案 D14.(2019·石家庄模拟)已知P是△ABC所在平面内一点，PB→＋PC→＋2PA→＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是( )A.14B.13C.23D.12解析以PB，PC为邻边作平行四边形PBDC，则PB→＋PC→＝PD→，因为PB→＋PC→＋2PA→＝0，所以PB→＋PC→＝－2PA→，得PD→＝－2PA→，由此可得，P是△ABC边BC上的中线AO的中点，点P到BC的距离等于A到BC的距离的1 2，所以S△PBC＝12S△ABC，所以将一粒黄豆随机撒在△ABC内，黄豆落在△PBC内的概率为S△PBCS△ABC＝12.答案 D15.在平面区域⎩⎨⎧x ＋y －4≤0，x >0，y >0内随机取一点(a ，b )，则函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1在区间[1，＋∞)上是增函数的概率为________.解析 不等式组表示的平面区域为如图所示的△AOB 的内部及边界AB (不包括边界OA ，OB )，则S △AOB ＝12×4×4＝8.函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1在区间[1，＋∞)上是增函数，则应满足a >0，且x ＝4b2a ≤1，满足⎩⎨⎧a >0，a ≥2b ，可得对应的平面区域如图中阴影部分(包括边界OC ，BC ，不包括边界OB )，由⎩⎨⎧a ＝2b ，a ＋b －4＝0，解得a ＝83，b＝43，所以S △COB ＝12×4×43＝83，根据几何概型的概率计算公式，可知所求的概率为838＝13.答案 1316.甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的.如果甲船停泊时间为1 h ，乙船停泊时间为2 h ，则它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率为________.解析 设甲、乙两艘船到码头的时刻分别为x 与y ，记事件A 为“两船都不需要等待码头空出”，则0≤x ≤24，0≤y ≤24，要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达1 h 以上或乙比甲早到达2 h 以上，即y －x ≥1或x －y ≥2.故所求事件构成集合A ＝{(x ，y )|y －x ≥1或x －y ≥2，x ∈[0，24]，y ∈[0，24]}.A为图中阴影部分，全部结果构成集合Ω为边长是24的正方形及其内部.所求概率为P(A)＝A的面积Ω的面积＝（24－1）2×12＋（24－2）2×12242＝506.5576＝1 0131 152.答案1 013 1 152。
归纳与技巧：几何概型(含解析)
归纳与技巧：几何概型基础知识归纳1．几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．2．几何概型的概率公式在几何概型中，事件A 的概率的计算公式如下： P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).基础题必做1．(教材习题改编)设A (0,0)，B (4,0)，在线段AB 上任投一点P ，则|P A |＜1的概率为( ) A.12 B.13 C.14D.15解析：选C 满足|P A |＜1的区间长度为1，故所求其概率为14.2． 有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )解析：选A 中奖的概率依次为P (A )＝38，P (B )＝28，P (C )＝26，P (D )＝13.3.分别以正方形ABCD 的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域所示，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为( )A.4－π2B.π－22C.4－π4D.π－24解析：选B 设正方形边长为2，阴影区域的面积的一半等于半径为1的圆减去圆内接正方形的面积，即为π－2，则阴影区域的面积为2π－4，所以所求概率为P ＝2π－44＝π－22.4．有一杯2升的水，其中含一个细菌，用一个小杯从水中取0.1升水，则此小杯中含有这个细菌的概率是________．解析：试验的全部结果构成的区域体积为2升，所求事件的区域体积为0.1升，故P ＝0.05.答案：0.055.如图所示，在直角坐标系内，射线OT 落在30°角的终边上，任作一条射线OA ，则射线OA 落在∠yOT 内的概率为________．解析：如题图，因为射线OA 在坐标系内是等可能分布的，则OA 落在∠yOT 内的概率为60360＝16.答案：16解题方法归纳1.几何概型的特点：几何概型与古典概型的区别是几何概型试验中的可能结果不是有限个，它的特点是试验结果在一个区域内均匀分布，故随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状位置无关，只与该区域的大小有关．2．几何概型中，线段的端点、图形的边界是否包含在事件之内不影响所求结果．与长度、角度有关的几何概型典题导入[例1] 已知圆C ：x 2＋y 2＝12，直线l ：4x ＋3y ＝25. (1)圆C 的圆心到直线l 的距离为________；(2)圆C 上任意一点A 到直线l 的距离小于2的概率为________． [自主解答] (1)根据点到直线的距离公式得d ＝255＝5；(2)设直线4x ＋3y ＝c 到圆心的距离为3，则|c |5＝3，取c ＝15，则直线4x ＋3y ＝15把圆所截得的劣弧的长度和整个圆的周长的比值即是所求的概率，由于圆半径是23，则可得直线4x ＋3y ＝15截得的圆弧所对的圆心角为60°，故所求的概率是16.[答案] 5 16本例条件变为：“已知圆C ：x 2＋y 2＝12，设M 为此圆周上一定点，在圆周上等可能地任取一点N ，连接MN .”求弦MN 的长超过26的概率．解：如图，在图上过圆心O 作OM ⊥直径CD .则MD ＝MC ＝2 6. 当N 点不在半圆弧CM D 上时，MN ＞2 6. 所以P (A )＝π×232π×23＝12.解题方法归纳求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)，然后求解．确定点的边界位置是解题的关键．以题试法1．(1) 已知A 是圆上固定的一点，在圆上其他位置上任取一点A ′，则AA ′的长度小于半径的概率为________．(2)在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝1，BC ＝2.在BC 边上任取一点M ，则∠AMB ≥90°的概率为________．解析：(1)如图，满足AA ′的长度小于半径的点A ′位于劣弧BA C 上，其中△ABO 和△ACO 为等边三角形，可知∠BOC ＝2π3，故所求事件的概率P＝2π32π＝13. (2)如图，在Rt △ABC 中，作AD ⊥BC ，D 为垂足，由题意可得BD ＝12，且点M 在BD 上时，满足∠AMB ≥90°，故所求概率P ＝BD BC ＝122＝14. 答案：(1)13 (2)14与面积有关的几何概型典题导入[例2] (1) 如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )A ．1－2πB.12－1πC.2πD.1π(2)已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≥0，x ≤a (a ＞0)表示平面区域M ，若点P (x ，y )在所给的平面区域M 内，则点P 落在M 的内切圆内的概率为( )A.(2－1)4πB ．(3－22)πC ．(22－2)πD.2－12π [自主解答] (1)法一：设分别以OA ，OB 为直径的两个半圆交于点C ，OA 的中点为D ，如图，连接OC ，DC .不妨令OA ＝OB ＝2，则OD ＝DA ＝DC ＝1.在以OA 为直径的半圆中，空白部分面积S 1＝π4＋12×1×1－⎝⎛⎭⎫π4－12×1×1＝1，所以整体图形中空白部分面积S 2＝2.又因为S 扇形OAB＝14×π×22＝π，所以阴影部分面积为S 3＝π－2. 所以P ＝π－2π＝1－2π.法二：连接AB ，设分别以OA ，OB 为直径的两个半圆交于点C ，令OA ＝2. 由题意知C ∈AB 且S 弓形AC ＝S 弓形B C ＝S 弓形O C ， 所以S 空白＝S △OAB ＝12×2×2＝2.又因为S 扇形OAB ＝14×π×22＝π，所以S 阴影＝π－2.所以P ＝S 阴影S 扇形OAB＝π－2π＝1－2π.(2)由题知平面区域M 为一个三角形，且其面积为S ＝a 2.设M 的内切圆的半径为r ，则12(2a ＋22a )r ＝a 2，解得r ＝(2－1)a .所以内切圆的面积S 内切圆＝πr 2＝π[(2－1)·a ]2＝(3－22)πa 2.故所求概率P ＝S 内切圆S＝(3－22)π.[答案] (1)A (2)B解题方法归纳求解与面积有关的几何概型首先要确定试验的全部结果和构成事件的全部结果形成的平面图形，然后再利用面积的比值来计算事件发生的概率．这类问题常与线性规划[(理)定积分]知识联系在一起．以题试法2． 点P 在边长为1的正方形ABCD 内运动，则动点P 到顶点A 的距离|P A |≤1的概率为( )A.14B.12C.π4D ．π解析：选C 如图，满足|P A |≤1的点P 在如图所示阴影部分运动，则动点P 到顶点A 的距离|P A |≤1的概率为S 阴影S 正方形＝14×π×121×1＝π4.与体积有关的几何概型典题导入[例3] (1) 在棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( )A.π12 B ．1－π12C.π6D ．1－π6(2)一只蜜蜂在一个棱长为30的正方体玻璃容器内随机飞行．若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体玻璃容器的6个表面的距离均大于10，则飞行是安全的，假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到每一个位置的可能性相同，那么蜜蜂飞行是安全的概率为( )A.18B.116C.127D.38[自主解答] (1)点P 到点O 的距离大于1的点位于以O 为球心，以1为半径的半球的外部．记点P 到点O 的距离大于1为事件A ，则P (A )＝23－12×4π3×1323＝1－π12. (2)由题意，可知当蜜蜂在棱长为10的正方体区域内飞行时才是安全的，所以由几何概型的概率计算公式，知蜜蜂飞行是安全的概率为103303＝127.[答案] (1)B (2)C解题方法归纳与体积有关的几何概型是与面积有关的几何概型类似的，只是将题中的几何概型转化为立体模式，至此，我们可以总结如下：对于一个具体问题能否应用几何概型概率公式，关键在于能否将问题几何化；也可根据实际问题的具体情况，选取合适的参数，建立适当的坐标系，在此基础上，将试验的每一个结果一一对应于该坐标系中的一个点，使得全体结果构成一个可度量区域．以题试法3． 在体积为V 的三棱锥S —ABC 的棱AB 上任取一点P ，则三棱锥S —APC 的体积大于V3的概率是________． 解析：如图，三棱锥S —ABC 的高与三棱锥S —APC 的高相同．作PM ⊥AC 于M ，BN ⊥AC 于N ，则PM 、BN 分别为△APC 与△ABC 的高，所以V S —APC V S —ABC ＝S △APC S △ABC ＝PM BN ，又PM BN ＝AP AB ，所以AP AB ＞13时，满足条件．设AD AB ＝13，则P 在BD 上，所求的概率P ＝BD BA ＝23. 答案：231． 在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π2上随机取一个x ，sin x 的值介于－12与12之间的概率为( ) A.13 B.2π C.12D.23解析：选A 由－12＜sin x ＜12，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2， 得－π6＜x ＜π6.所求概率为π6－⎝⎛⎭⎫－π6π2－⎝⎛⎭⎫－π2＝13.2． 在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C .现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于32 cm 2的概率为( )A.16B.13C.23D.45解析：选C 设AC ＝x cm ，CB ＝(12－x )cm,0<x <12，所以矩形面积小于32 cm 2即为x (12－x )<32⇒0<x <4或8<x <12，故所求概率为812＝23.3． 在区间[0,1]上任取两个数a ，b ，则函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 2无零点的概率为( ) A.12 B.23 C.34D.14解析：选C 要使该函数无零点，只需a 2－4b 2＜0，即(a ＋2b )(a －2b )＜0. ∵a ，b ∈[0,1]，a ＋2b ＞0， ∴a －2b ＜0. 作出⎩⎪⎨⎪⎧0≤a ≤1，0≤b ≤1，a －2b ＜0的可行域，易得该函数无零点的概率P ＝1－12×1×121×1＝34.4． 已知函数f (x )＝kx ＋1，其中实数k 随机选自区间[－2,1]．∀x ∈[0,1]，f (x )≥0的概率是( )A.13 B.12 C.23D.34解析：选C 由∀x ∈[0,1]，f (x )≥0得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)≥0，f (1)≥0，有－1≤k ≤1，所以所求概率为1－(－1)1－(－2)＝23. 5． 在水平放置的长为5米的木杆上挂一盏灯，则悬挂点与木杆两端的距离都大于2米的概率为( )A.15B.25C.35D.12解析：选A 如图，线段AB 长为5米，线段AC 、BD 长均为2米，线段CD 长为1米，满足题意的悬挂点E 在线段CD 上，故所求事件的概率P ＝15.6． 一只昆虫在边长分别为6,8,10的三角形区域内随机爬行，则其到三角形任一顶点的距离小于2的概率为( )A.π12 B.π10 C.π6D.π24解析：选A 记昆虫所在三角形区域为△ABC ，且AB ＝6，BC ＝8，CA ＝10，则有AB 2＋BC 2＝CA 2，AB ⊥BC ，该三角形是一个直角三角形，其面积等于12×6×8＝24.在该三角形区域内，到三角形任一顶点的距离小于2的区域的面积等于A ＋B ＋C 2π×π×22＝π2×22＝2π，因此所求的概率等于2π24＝π12.7． 若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，y ≥－x ，2x －y －3≤0表示的平面区域为M ，x 2＋y 2≤1所表示的平面区域为N ，现随机向区域M 内抛一粒豆子，则豆子落在区域N 内的概率为________．解析：∵y ＝x 与y ＝－x 互相垂直，∴M 的面积为3，而N 的面积为π4，所以概率为π43＝π12.答案：π128． 如图所示，图2中实线围成的部分是长方体(图1)的平面展开图，其中四边形ABCD 是边长为1的正方形．若向图2中虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是14，则此长方体的体积是________．解析：设题图1长方体的高为h ，由几何概型的概率计算公式可知，质点落在长方体的平面展开图内的概率P ＝2＋4h(2h ＋2)(2h ＋1)＝14，解得h ＝3或h ＝－12(舍去)，故长方体的体积为1×1×3＝3. 答案：39. 投镖游戏中的靶子由边长为1米的四方板构成，并将此板分成四个边长为12米的小方块．试验是向板中投镖，事件A 表示投中阴影部分，则事件A 发生的概率为________．解析：∵事件A 所包含的基本事件与阴影正方形中的点一一对应，事件组中每一个基本事件与大正方形区域中的每一个点一一对应．∴由几何概型的概率公式得P (A )＝⎝⎛⎭⎫12212＝14. 答案：1410．已知|x |≤2，|y |≤2，点P 的坐标为(x ，y )，求当x ，y ∈R 时，P 满足(x －2)2＋(y －2)2≤4的概率．解：如图，点P 所在的区域为正方形ABCD 的内部(含边界)，满足(x －2)2＋(y －2)2≤4的点的区域为以(2,2)为圆心，2为半径的圆面(含边界)．故所求的概率P 1＝14π×224×4＝π16.11．已知集合A ＝[－2,2]，B ＝[－1,1]，设M ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈B }，在集合M 内随机取出一个元素(x ，y )．(1)求以(x ，y )为坐标的点落在圆x 2＋y 2＝1内的概率； (2)求以(x ，y )为坐标的点到直线x ＋y ＝0的距离不大于22的概率． 解：(1)集合M 内的点形成的区域面积S ＝8.因x 2＋y 2＝1的面积S 1＝π，故所求概率为P 1＝S 1S ＝π8.(2)由题意|x ＋y |2≤22即－1≤x ＋y ≤1，形成的区域如图中阴影部分，面积S 2＝4，所求概率为P ＝S 2S ＝12.12． 已知向量a ＝(－2,1)，b ＝(x ，y )．(1)若x ，y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a·b ＝－1的概率；(2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，求满足a·b ＜0的概率．解：(1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6×6＝36个；由a·b ＝－1有－2x ＋y ＝－1，所以满足a·b ＝－1的基本事件为(1,1)，(2,3)，(3,5)共3个．故满足a·b ＝－1的概率为336＝112.(2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，则全部基本事件的结果为Ω＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6}；满足a·b ＜0的基本事件的结果为A ＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6，且－2x ＋y ＜0}； 画出图形， 矩形的面积为S 矩形＝25，阴影部分的面积为S 阴影＝25－12×2×4＝21，故满足a·b ＜0的概率为2125.1．在区间[0，π]上随机取一个数x ，则事件“sin x ＋3cos x ≤1”发生的概率为( ) A.14 B.13 C.12D.23解析：选C 由sin x ＋3cos x ≤1得2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3≤1， 即sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3≤12. 由于x ∈[0，π]，故x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，4π3，因此当sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3≤12时，x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤5π6，4π3，于是x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π. 由几何概型公式知事件“sin x ＋3cos x ≤1”发生的概率为P ＝π－π2π－0＝12.2．有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．解析：先求点P 到点O 的距离小于或等于1的概率，圆柱的体积V 圆柱＝π×12×2＝2π，以O 为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积V 半球＝12×43π×13＝2π3.则点P 到点O 的距离小于或等于1的概率为2π32π＝13，故点P 到点O 的距离大于1的概率为1－13＝23.答案：233． 设AB ＝6，在线段AB 上任取两点(端点A 、B 除外)，将线段AB 分成了三条线段． (1)若分成的三条线段的长度均为正整数，求这三条线段可以构成三角形的概率； (2)若分成的三条线段的长度均为正实数，求这三条线段可以构成三角形的概率． 解：(1)若分成的三条线段的长度均为正整数，则三条线段的长度的所有可能情况是1,1,4；1,2,3；2,2,2共3种情况，其中只有三条线段长为2,2,2时，能构成三角形，故构成三角形的概率为P ＝13.(2)设其中两条线段长度分别为x ，y ，则第三条线段长度为6－x －y ，故全部试验结果所构成的区域为⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜6，0＜y ＜6，0＜6－x －y ＜6，即⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜6，0＜y ＜6，0＜x ＋y ＜6所表示的平面区域为△OAB .若三条线段x ，y,6－x －y 能构成三角形， 则还要满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＞6－x －y ，x ＋6－x －y ＞y ，y ＋6－x －y ＞x ，即为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＞3，y ＜3，x ＜3所表示的平面区域为△DEF ，由几何概型知，所求概率为P ＝S △DEF S △AOB ＝14.1.如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于( )A.14B.13C.12D.23解析：选C 由题意知，可设事件A 为“点Q 落在△ABE 内”，构成试验的全部结果为矩形ABCD 内所有点，事件A 为△ABE 内的所有点，又因为E 是CD 的中点，所以S △ABE ＝12AD ×AB ，S 矩形ABCD ＝AD ×AB ，所以P (A )＝12.2．在区间[0,1]上任取两个数a ，b ，则关于x 的方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实数根的概率为________．解析：由题意得Δ＝4a 2－4b 2≥0， ∵a ，b ∈[0,1]，∴a ≥b . ∴⎩⎪⎨⎪⎧0≤a ≤1，0≤b ≤1，a ≥b ，画出该不等式组表示的可行域(如图中阴影部分所示)．故所求概率等于三角形面积与正方形面积之比，即所求概率为12.答案：123． 设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示的平面区域为D .在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )A.π4 B.π－22C.π6D.4－π4解析：选D 不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示坐标平面内的一个正方形区域，设区域内点的坐标为(x ，y )，则随机事件：在区域D 内取点，此点到坐标原点的距离大于2表示的区域就是圆x 2＋y 2＝4的外部，即图中的阴影部分，故所求的概率为4－π4.为( )A.14 B.34 C.964D.2764解析：选C 设事件A 在每次试验中发生的概率为x ，由题意有1－C 33(1－x )3＝6364，得x ＝34，则事件A 恰好发生一次的概率为C 13×34×⎝⎛⎭⎫1－342＝964.。
几何概型
1 π 3 4 π 12 π 2 2 P 1 . 1 12 12 3 4 2
【例4】（12分）甲、乙两人约定在6时到7时之间在 某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟， 过时即可离去.求两人能会面的概率. 分析 平面直角坐标系内用x轴表示甲到达约会地 点的时间，y轴表示乙到达约会地点的时间，用0 分到60分表示6时到7时的时间段，则横轴0到60与 纵轴0到60的正方形中任一点的坐标（x,y）就表
3.(2009·福建)点A为周长等于3的圆周上的一个定 点.若在该圆周上随机取一点B，则劣弧 2 小于1的概率为 3 . 解析 在优弧 圆周上使弧 为M1，M2，则过A的圆弧 的概率，所以劣弧 的长度
的长度为1的点M有两个，设 的长度为2，B点落 的长度小于1 的长度小于1的概率为 2 . 3
上的概率就是使劣弧
π π . 2 9 81
跟踪练习2
在1升高产小麦种子中混入了一种带麦
锈病的种子，从中随机取出10毫升，则取出的种 子中含有麦锈病的种子的概率是多少？ 解 病种子在这1升中的分布可以看作是随机的，
取得的10毫升种子可视作构成事件的区域，1升
种子可视作试验的所有结果构成的区域，可用 “体积比”公式计算其概率. 取出10毫升种子，其中“含有病种子”这一事件 记为A，则
光线较暗，想在其间再随意安装两盏路灯C、D， 问A与C，B与D之间的距离都不小于10米的概率是 多少？
分析 解决此类问题，应先根据题意确定该试验 为几何概型，然后求出事件A和基本事件的几何度 量，借助几何概型的概率计算公式求出.
记E：“A与C，B与D之间的距离都不小10米”， 1 把AB三等分，由于中间长度为 30 10 米， 3 10 1 P( E ) . 30 3 解
高中数学_几何概型
几何概型知识图谱几何概型知识精讲一．几何概型1．定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件的区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型几何概型，可以将每个基本事件看成从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会一样；这里区域可以是线段、平面图形、立体图形等．2．特点：（1）结果的无限性，即在一次试验中，所有可能出现的结果（基本事件）的个数可以是无限的，且全体结果可用一个有度量的几何区域来表示；（2）等可能性，每个基本事件的发生的可能性是均等的．二．几何概型的计算公式几何概型中，事件A的概率定义为：()AP A=构成事件的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）三点剖析一．方法点拨1.几何概型与古典概型的联系与区别在古典概型及几何概型中，基本事件的发生都是等可能的；在古典概型中基本事件的个数是有限的，而在几何概型中基本事件的个数是无限的.2．几何概型求解的一般步骤（1）首先要判断几何概型，尤其是判断等可能性，这方面比古典概型可能更难于判断；（2）把基本事件转化为与之对应的区域；（3）计算基本事件空间与事件A所含的基本事件对应的区域的几何度量（长度、面积、体积等）；（4）利用公式代入求解．3．几何概型的应用要把实际问题转化成几何概型，精读问题，注意适当选择观察角度，抓住关键词，把问题转化为数学问题，几何概型问题解决的关键是构造出事件对应的几何图形，利用几何图形的几何度量来求随机事件的概率．注意分辨清楚属于一维、二维或三维问题．尤其是二维问题一直是考试的重点．一维情形例题1、将一条5米长的绳子随机地切断成两条，事件T表示所切两段绳子都不短于1米的事件，则事件T发生的概率为（）A.1 2B.15C.25D.35例题2、在长为12cm的线段AB上任取一点C．现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积大于20cm2的概率为（）A.1 6B.13C.23D.45例题3、在[﹣1，1]上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆（x﹣5）2+y2=9相交”发生的概率为_________．例题4、如图，在三角形AOB中，已知∠AOB=60°，OA=2，OB=5，在线段OB上任取一点C，求△AOC为钝角三角形的概率．（）A.0.6B.0.4C.0.2D.0.1随练1、某公交车站每隔10分钟有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，那么一个乘客候车时间不超过6分钟的概率为____．随练2、平面上有一组平行线，且相邻平行线间的距离为3cm，把一枚半径为1cm的硬币任意投掷在这个平面上，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是（）A.1 4B.13C.12D.23随练3、在长为12cm的线段AB上任取一点C．现做一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32cm2的概率为（）A.1 6B.13C.23D.45二维情形例题1、如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A.1-2πB.12-1πC.2πD.1π例题2、二次函数f（x）=ax2+2bx+1（a≠0）．（1）若a∈{-2，-1，2，3}，b∈{0，1，2}，求函数f（x）在（-1，0）内有且只有一个零点的概率；（2）若a∈（0，1），b∈（-1，1），求函数f（x）在（-∞，-1）上为减函数的概率．例题3、设有-4×4正方形网格，其各个最小的正方形的边长为4cm，现用直径为2cm的硬币投掷到此网格上；假设每次投掷都落在最大的正方形内或与最大的正方形有公共点．求：（1）硬币落下后完全在最大的正方形内的概率；（2）硬币落下后与网格线没有公共点的概率．例题4、小钟和小薛相约周末去爬尖刀山，他们约定周日早上8点至9点之间（假定他们在这一时间段内任一时刻等可能的到达）在华岩寺正大门前集中前往，则他们中先到者等待的时间不超过15分钟的概率是____（用数字作答）．随练1、分别在区间[1，6]和[1，4]内任取一个实数，依次记为m和n，则m＞n的概率为（）A.7 10B.310C.35D.25随练2、设一直角三角形两直角边的长均是区间（0，1）的随机数，则斜边的长小于1的概率为____．随练3、小明的爸爸下班驾车经过小明学校门口，时间是下午6:00到6:30，小明放学后到学校门口的候车点候车，能乘上公交车的时间为5:50到6:10，如果小明的爸爸到学校门口时，小明还没乘上车，就正好坐他爸爸的车回家，问小明能乘到他爸的车的概率．三维情形例题1、在500mL的水中有一个细菌，现从中随机取出2mL水样放到显微镜下观察，则发现这个细菌的概率是（）A.0.004B.0.002C.0.04D.0.02例题2、在棱长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，点O 在底面ABCD 中心，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1内随机取一点P 则点P 与点O 距离大于1的概率为（）A.12π B.1-12π C.6π D.1-6π随练1、1升水中有2只微生物，任取0.1升水化验，含有微生物的概率是（）A.0.01 B.0.19 C.0.1 D.0.2随练2、一只小蜜蜂在一个棱长为30的正方体玻璃容器内随机飞行．若蜜蜂在飞行过程中与正方体玻璃容器6个表面中至少有一个的距离不大于10，则就有可能撞到玻璃上而不安全；若始终保持与正方体玻璃容器6个表面的距离均大于10，则飞行是安全的，假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到每一位置可能性相同，那么蜜蜂飞行是安全的概率是（）A.18 B.116 C.127 D.38拓展1、在区间[﹣4，4]上随机地抽取一个实数x ，若x 满足x 2≤m 的概率为34，则实数m 的值为________2、一个路口的红绿灯，红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒，当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是________、________、________．(1)红灯；(2)黄灯；(3)不是红灯．3、在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积大于4S 的概率是（）A.13 B.12 C.34 D.144、在长为18cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形，则这个正方形的面积介于362cm 与281cm 之间的概率为（）A.56 B.12 C.13 D.165、已知圆O ：x 2+y 2=4（O 为坐标原点），点P （1，0），现向圆O 内随机投一点A ，则点P 到直线OA 的距离小于12的概率为（）A.23 B.12 C.13 D.166、在区间[0，1]上随机取两个数m ，n ，求关于x 的一元二次方程x 2n 有实根的概率．7、假设在5秒内的任何时刻，两条不相关的短信机会均等地进人同一部手机，若这两条短信进人手机的时间之差小于2秒，手机就会受到干扰，则手机受到干扰的概率为（）A.425 B.825 C.1625 D.24258、已知函数：f （x ）=x 2+bx+c ，其中：0≤b≤4，0≤c≤4，记函数f （x ）满足条件：(2)12(1)3f f ≤⎧⎨-≤⎩的事件为A ，则事件A 发生的概率为（）A.58 B.516 C.38 D.129在棱长为a的正方体－A1B1C1D1内任取一点P，则点P到点A的距离小于等于a的概率为（）A.22B.22C.16D.16π。
几何概型
几何概型导学案教学目标：掌握几何概型的定义及几何概型的概率公式 一、知识点回顾1、几何概型定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的 成比例,则称这样的概率模型为 ,简称为 .2、几何概型的概率计算公式：()P A = .3、几何概型的特征：(1)试验中所有可能出现的基本事件有无限个； (2)每个基本事件出现的可能性相等.二、基本题型 A 组(长度问题)1．质点在数轴上的区间［0，2］上运动，假定质点出现在该区间各点处的概率相等，那么质点落在区间［0，1］上的概率为( ) A.41B.31C.21D.以上都不对2．某路公共汽车每5分钟发车一次，某乘客到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过3分钟的概率是( ) A.35B.45C.25D.153．在长为10厘米的线段AB 上任取一点G ，用AG 为半径作圆，则圆的面积介于36π平方厘米到64π平方厘米的概率是( ) A.259B.2516 C.103D.514．在区间[,]22ππ-上随机取一个数x ，cos x 的值介于0到21之间的概率为( ) A.31B.π2C.21D.325．在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积大于4S的概率是( )A.41B.21C.43D.32B 组(体积与角度问题)1．有一杯2升的水，其中含有1个细菌，用一个小杯从这杯水中取出0.1升水，则小杯水中含有这个细菌的概率为 。
2．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1内有一个内切球O,则在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1内任取点M ，点M 在球O 内的概率是3．如图所示，在直角坐标系内，射线OT 落在30°角的终边上，任作一条射线OA ，则射线OA 落在∠yOT 内的概率为4．如图，在圆心角为90 的扇形中以圆心Ｏ为起点作射线OC ,则使得A O C ∠与A.34B OC ∠都不大于60 的概率是( )B.23C.12D.13C 组(面积问题)1．如图某人随机地向圆内投镖，如果他每次都投入圆内，那么他投中正方形区域的概率为( )A.π2B.π1C.32D.312．在一个边长为2的正方形中随机撒入200粒豆子，恰有120粒落在阴影区域内，则该阴影部分的面积约为( ) A ．125B ．35C ．65D ．1853．在面积为S 的三角形ABC 内随机取一点M ，则三角形MBC 的面积12M B C S S ∆≤的概率为( )A .31B.21 C.32 D.434．已知Ω＝{(x ，y )|x ＋y ≤6，x ≥0，y ≥0}，E ＝{(x ，y )|x －2y ≥0，x ≤4，y ≥0}，若向区域Ω内随机投一点P ，则点P 落入区域E 的概率为________．5．在长为1的线段上任取两点，则这两点之间的距离小于12的概率为 ．D 组(综合练习)1．在区间[0，6]上随机取一个数x ，2log x 的值介于0到2之间的概率为( ). A.31B.43 C.21 D.322．已知[22]k ∈-，，则k 的值使得过A (1,1)可以做两条直线与圆225204x y kx y k ++--=相切的概率等于（ ） A ．12B ．14C ．34D ．不确定3．向面积为9的∆ABC 内任投一点P,那么∆PBC 的面积小于3的概率是4．甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离去.求两人能会面的概率5．已知函数2()2f x x ax b =++，其中[3,0]a ∈-，[0,1]b ∈ (1)若,a Z b Z ∈∈，求函数()f x 有零点的概率；(2)若,a R b R ∈∈，求函数()f x 有两个零点，且一个在区间(0,1)内，另一个在区间(1,2)内的概率.6．已知[0,1],[0,1]x y ∈∈，点A 、B 、C 构成三角形，点P 满足A P x A B y A C =+，求点P 在A B C∆内部的概率 三、课后作业1.已知等腰直角△ABC 中，∠C=90°.(1)在线段BC 上任取一点M ，求使∠CAM ＜30°的概率； (2)在∠CAB 内任作射线AM ，求使∠CAM ＜30°的概率.2.甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的，如果甲船停泊的时间是1h ，乙船停泊时间为2h ，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率. 四、课堂小结本节课我们复习了几何概型，主要可以转化为长度、面积、体积、角度等几何量的比值。
几何概型 (1)
黄
黄
绿 绿 绿 红
情景1：
情景2：
转盘游戏
（研究指针位置）
面积
一个路口的红绿灯，红灯亮的时间为 30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的 时间为40秒，当你到达路口时，遇到 红灯和绿灯的概率那个大？为什么？
长度
A
1、几何概型是怎样定义的？ 事件A理解为区域Ω 的某一子区域A，A的概率只与子 区域A的几何度量（长度、面积、体积）成正比，而与A的 位置和形状无关. 满足以上条件的试验称为几何概型. 2、在几何概型中，事件A的概率是怎么定义的？
0
A ( x, y) | y x,6.5 x 7.5,7 y 8 1 1 1 7 即图中的阴影部分，面积为： S A 1 2 2 2 8
6.5
7.5
x(送报人到
这是个几何概型，所以
SA 7 P( A) S 8
课堂小结
1.几何概型的特点. 2.几何概型的概率公式.
几何概型可以看作是古典概型的推广
例 某公共汽车站每 隔15分钟有一辆汽 车到达，乘客到达 车站的时刻是任意 的，求一个乘客到 达车站后候车时间 大于10 分钟的概率？
例 某公共汽车站每隔15分钟有一辆汽车到达， 乘客到达车站的时刻是任意的，求一个乘客到达 车站后候车时间大于10 分钟的概率？ 分析：把时刻抽象为点，时间抽象为线段，故可 以用几何概型求解。 T1 T T2 解：设上辆车于时刻T1到达，而下一辆车于时刻 T2到达，线段T1T2的长度为15，设T是T1T2上的点， 且T1T=5，T2T=10，如图所示:·
（2）每个基本事件出现 现的可能性相等.
同
两种概型、概率公式的联系 1.古典概型的概率公式:
人教版高一数学必修三第三章几何概型
3．3几何概型3．3.1几何概型考点学习目标核心素养区分古典概型和几何概型通过实例体会几何概型的含义，会区分古典概型和几何概型数学抽象、直观想象几何概型的概率计算公式掌握几何概型的概率计算公式，会求一些事件的概率逻辑推理、数学运算问题导学(1)当试验的所有可能结果是无穷多的情况，还能用古典概型来计算事件发生的概率吗？(2)什么叫几何概率模型？其求解方法是什么？(3)几何概型有几种模型？1．几何概型的定义与特点(1)定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．(2)特点：①可能出现的结果有无限多个；②每个结果发生的可能性相等．2．几何概型中事件A的概率的计算公式P(A)＝构成事件A的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）．3．几何概型的常见类型(1)长度型．(2)角度型．(3)面积型．(4)体积型．4．求解几何概型的一般步骤(1)选择适当的观察角度(一定要注意选择的观察角度要保证基本事件的无限性及等可能性)．(2)把所有的基本事件转化为与之相对应的区域D.(3)把所求的随机事件A转化为与之相对应的区域d.(4)利用几何概型的概率计算公式求解．■名师点拨辨析古典概型与几何概型(1)相同点古典概型与几何概型中每一个基本事件发生的可能性都是相等的．(2)不同点①古典概型要求随机试验的基本事件的个数必须是有限的；几何概型要求随机试验的基本事件的个数是无限的，而且几何概型解决的问题一般都与几何知识有关；②在古典概型中，概率为0的事件是不可能事件，概率为1的事件是必然事件，而在几何概型中，概率为0的事件可能发生，概率为1的事件也可能不发生．例如在一个圆面内任取一点，取到圆心的概率等于0，但我们仍有可能在圆内取到圆心．也就是说，“单点事件”是不影响几何概型概率的计算的，因而在计算几何概型的概率时，线段的端点、区域的边界是否包含在所求事件之内，都不会影响最终的计算结果．判断正误(对的打“√”，错的打“×”)(1)几何概型中基本事件有有限个，而古典概型中基本事件有无限个．()(2)几何概型中基本事件有无限个，而古典概型中基本事件有有限个．()(3)几何概型中每个基本事件出现的可能性不相等，而古典概型中每个基本事件出现的可能性相等．()(4)几何概型中每个基本事件出现的可能性相等，而古典概型中每个基本事件出现的可能性不相等．()(5)几何概型的概率计算与构成事件的区域形状有关．()答案：(1)×(2)√(3)×(4)×(5)×下列概率模型中，几何概型的个数为()①从区间[－10，10]上任取一个数，求取到的数在[0，1]内的概率；②从区间[－10，10]上任取一个数，求取到绝对值不大于1的数的概率；③从区间[－10，10]上任取一个整数，求取到大于1而小于3的数的概率；④向一个边长为4 cm的正方形内投一点，求点离中心不超过1 cm的概率．A．1B．2C．3 D．4解析：选C.①②中的概率模型是几何概型，因为区间[－10，10]上有无数个数，且每个数被取到的机会相等；③中的概率模型不是几何概型，因为区间[－10，10]上的整数只有21个，是有限的；④中的概率模型是几何概型，因为在边长为4 cm的正方形内有无数个点，且该区域内的任何一个点被投到的可能性相同．用力将一个长为三米的米尺拉断，假设该米尺在任何一个部位被拉断是等可能的，则米尺的断裂处恰在米尺的1米到2米刻度处的概率为( )A.23B.13C.16D.14解析：选B.由几何概型得，米尺的断裂处恰在米尺的1米到2米刻度处的概率为 P ＝2－13＝13. (2019·湖北省华中师范大学第一附属中学期末考试)向正方形内随机撒一些豆子，经查数，落在正方形内的豆子的总数为1 000，其中有780粒豆子落在该正方形的内切圆内，以此估计圆周率π的值(用分数表示)为________．解析：令正方形内切圆的半径为r ，则正方形边长为2r ，则由题意中“落在正方形内的豆子的总数为1 000，其中有780粒豆子落在该正方形的内切圆内”可得7801 000＝πr24r 2，化简得π＝7825.答案：7825与长度有关的几何概型(1)某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )A.13 B.12 C.23D.34(2)(2019·湖北省宜昌市葛洲坝中学期末考试)在区间[－1，2]内任取一个数a ，则点(5，a )位于x 轴下方的概率为( )A.23B.12C.13D.16【解析】 (1)由题意得图：由图得等车时间不超过10分钟的概率为12.(2)在区间[－1，2]内任取一个数a ，则点(5，a )位于x 轴下方，可得a ∈[－1，0)． 由几何概型可得P ＝0－（－1）2－（－1）＝13.故选C.【答案】 (1)B (2)C求解与长度有关的几何概型的步骤(1)找到试验的全部结果构成的区域D ，这时区域D 可能是一条线段或几条线段或曲线段．(2)找到事件A 发生对应的区域d ，在找d 的过程中，确定边界点是问题的关键，但边界点是否取到却不影响事件A 的概率．(3)利用几何概型概率的计算公式P ＝dD计算．某人从甲地去乙地共走了500米，途经一条宽为x 米的河流，他不小心把一件物品丢到途中，若物品掉到河里就找不到，若物品不掉到河里，则能找到，已知该物品被找到的概率是45，则河宽为( )A ．80米B ．100米C ．40米D ．50米解析：选B.该物品能够被找到的路径长为500－x 米，由几何概型知，45＝500－x500，解得x ＝100米，故选B.与面积有关的几何概型已知点P ，Q 为圆O ：x 2＋y 2＝25上的任意两点，且|PQ |<6，若PQ 的中点组成的区域为M ，在圆O 内任取一点，则该点落在区域M 上的概率为( )A.35B.925C.1625D.25【解析】 PQ 的中点组成的区域M 如图阴影部分所示，那么在圆O 内部任取一点落在M 内的概率为25π－16π25π＝925.【答案】 B与面积有关的几何概型的求解思路解决此类几何概型问题的关键是构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征找出两个“面积”，套用几何概型的概率计算公式P(A)＝构成事件A的区域面积，从而求得随机事件的概率．试验的全部结果所构成的区域面积(2018·高考全国卷Ⅰ)如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC.△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则()A．p1＝p2B．p1＝p3C．p2＝p3D．p1＝p2＋p3解析：选A.法一：设直角三角形ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则区域Ⅰ的面积即△ABC的面积，为S1＝12bc，区域Ⅱ的面积S2＝12π×⎝⎛⎭⎫c22＋12π×⎝⎛⎭⎫b22－⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π×⎝⎛⎭⎫a222－12bc＝18π(c2＋b2－a2)＋12bc＝12bc，所以S1＝S2，由几何概型的知识知p1＝p2，故选A.法二：不妨设△ABC为等腰直角三角形，AB＝AC＝2，则BC＝22，所以区域Ⅰ的面积即△ABC的面积，为S1＝12×2×2＝2，区域Ⅱ的面积S2＝π×12－⎣⎢⎡⎦⎥⎤π×（2）22－2＝2，区域Ⅲ的面积S3＝π×（2）22－2＝π－2.根据几何概型的概率计算公式，得p1＝p2＝2π＋2，p3＝π－2π＋2，所以p1≠p3，p2≠p3，p1≠p2＋p3，故选A.与体积有关的几何概型一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为()A.4π81 B.81－4π81C.127 D.827【解析】满足题意的点所在区域为：位于该正方体中心的一个棱长为1的小正方体．由几何概型的概率公式，可得满足题意的概率为：P＝1333＝127.【答案】 C若本例条件不变，求这个蜜蜂飞到与正方体某一顶点A的距离小于13的概率．解：到点A的距离小于13的点，在以A为球心，半径为13的球内部，而点又必须在已知正方体内，则满足题意的点的区域体积为43π×⎝⎛⎭⎫133×18.所以P＝43π×⎝⎛⎭⎫133×1833＝π2×37.与体积有关的几何概型的求解思路用体积计算概率时，要注意所求概率与所求事件构成的区域的体积的关系，准确计算出所求事件构成的区域的体积，并确定出所有基本事件构成的区域的体积，利用公式P (A )＝构成事件A 的区域体积试验的全部结果所构成的区域体积求解即可． (2019·江西省临川第一中学期末考试)已知三棱锥S －ABC ，在该三棱锥内取一点P ，使V P -ABC≤13V S ABC的概率为( ) A.23 B.49 C.827D.1927解析：选D.作出S 在底面△ABC 的射影为O ，若V P ABC ＝13V S ABC ，则高OP ＝13SO ，即此时P 在三棱锥V S ABC 的面DEF 上，则V P ABC <13V S ABC 的点P 位于在三棱锥V S ABC 的面DEF 以下的棱台内，则对应的概率P ＝1－⎝⎛⎭⎫233＝1927.故选D.与角度有关的几何概型如图，四边形ABCD 为矩形，AB ＝3，BC ＝1，以A 为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE ，在∠DAB 内任作射线AP ，求射线AP 与线段BC 有公共点的概率．【解】 因为在∠DAB 内任作射线AP ，所以它的所有等可能基本事件对应的区域是∠DAB ，当射线AP 与线段BC 有公共点时，射线AP 落在∠CAB 内，对应区域为∠CAB ，所以射线AP 与线段BC 有公共点的概率P ＝∠CAB∠DAB ＝30°90°＝13.与角度有关的几何概型的求解思路当涉及射线的运动，扇形中有关落点区域问题时，常以角的大小作为区域度量来计算概率，其概率的计算公式为P (A )＝构成事件A 的区域角度试验的全部结果所构成的区域角度.切不可用线段长度代替角度作为区域度量．在圆心角为90°的扇形OAB 中，以圆心O 为起点作射线OC ，则使得∠AOC 和∠BOC 都不小于30°的概率为________．解析：作射线OD 和OE ，使得∠AOD 和∠BOE 都等于30°.要使得∠AOC 和∠BOC 都不小于30°，则射线OC 位于射线OD 和OE 之间，故所求概率为P ＝90°－30°－30°90°＝13.答案：131．在区间[－1，2]上随机取一个数x ，则|x |≤1的概率为( ) A.13 B.12 C.14D.23解析：选D.由|x |≤1， 得－1≤x ≤1，所以|x |≤1的概率为P (|x |≤1)＝23.2．(2019·湖北省荆州中学期末考试)ABCD 为长方形，AB ＝3，BC ＝2，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为________．解析：由题意，如图所示，可得长方形的面积为S ＝3×2＝6，以O 点为圆心，半径为1作圆，此时圆在长方形内部的部分的面积为S 1＝12πr 2＝π2，所以取到的点到O 的距离大于1表示圆的外部在矩形内部的部分，所以概率为P ＝S －S 1S ＝6－π26＝1－π12.答案：1－π123．在等腰直角三角形ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内部任意作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，则AM ＜AC 的概率为________．解析：如图，在AB 上取AC ′＝AC ，连接CC ′，则∠ACC ′＝180°－45°2＝67.5°.设E ＝{在∠ACB 内部任意作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，AM ＜AC }，则所有可能结果的区域角度为90°，事件E 的区域角度为67.5°，所以P (E )＝67.5°90°＝34.答案：344．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体内随机取一点M ，则使四棱锥M -ABCD 的体积不超过16(事件A )的概率为________．解析：设M 到平面ABCD 的距离为h ，则 V M ABCD ＝13S 底面ABCD ·h ≤16.又S 底面ABCD ＝1， 所以只要h ≤12即可．所有满足h ≤12的点组成以正方形ABCD 为底面，12为高的长方体，其体积为12. 又正方体的体积为1，所以使四棱锥M -ABCD 的体积不超过16(事件A )的概率为P (A )＝121＝12.答案：12[A 基础达标]1．已知集合A ＝{x |－1<x <5}，B ＝{x |2<x <3}，在集合A 中任取一个元素x ，则事件“x ∈A ∩B ”的概率为( )A.16 B.13 C.23D.45解析：选A.A ∩B ＝{x |2<x <3}，因为集合A 表示的区间长度为5－(－1)＝6，集合A ∩B 表示的区间长度为3－2＝1， 所以事件“x ∈A ∩B ”的概率为16，故选A.2．(2019·湖南省张家界市期末联考)如图是一个中心对称的几何图形，已知大圆半径为2，以半径为直径画出两个半圆，在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为( )A.π8B.18C.12D.14解析：选D.由题意知，大圆的面积为S ＝π·22＝4π；阴影部分的面积为S ′＝12π·22－π·12＝π，则所求的概率为P ＝S ′S ＝π4π＝14.故选D.3．有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( )A.13B.23C.12D.34解析：选B.先求点P 到点O 的距离小于或等于1的概率，圆柱的体积V 圆柱＝π×12×2＝2π，以O 为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积V 半球＝12×43π×13＝23π.则点P 到点O 的距离小于或等于1的概率为23π2π＝13，故点P 到点O 的距离大于1的概率为1－13＝23.4．(2017·高考江苏卷)记函数f (x )＝6＋x －x 2的定义域为D .在区间[－4，5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是________．解析：由6＋x －x 2≥0，解得－2≤x ≤3，则D ＝[－2，3]，则所求概率为3－（－2）5－（－4）＝59. 答案：595．(2019·福建省三明市质量检测)如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，它是由正方形ABCD 中四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH 构成．现设直角三角形的两条直角边长为3和4，在正方形ABCD 内随机取一点，则此点取自小正方形EFGH 内的概率为________．解析：因为直角三角形的两条直角边长为3和4，所以正方形ABCD 的边长为a ＝32＋42＝5，所以S 正方形ABCD ＝a 2＝25，所以S 正方形EFGH ＝S 正方形ABCD －4S △ABF ＝25－4×12×3×4＝1，因此，在正方形ABCD 内随机取一点，则此点取自小正方形EFGH 内的概率为P ＝S 正方形EFGH S 正方形ABCD ＝125.答案：1256．在一个大型商场的门口，有一种游戏是向一个画满边长为5 cm 的均匀方格的大桌子上掷直径为2 cm 的硬币，如果硬币完全落入某个方格中，则掷硬币者赢得一瓶洗发水，请问随机掷一个硬币正好完全落入方格的概率有多大？解：如图，边长为5 cm 的正方形形成的区域表示试验的所有基本事件构成的区域，当硬币的中心落入图中以3 cm 为边长的正方形区域时，则试验成功，所以，随机地投一个硬币正好完全落入方格的概率为P ＝3252＝925.[B 能力提升]7.(2019·河北省沧州市期末考试)如图，边长为23的正三角形ABC 内接于圆O ，点P 为弧AC 上任意一点，则△PBC 的面积大于3的概率为________．解析：因为△ABC 的边长为23，所以△ABC 的高为3，设外接圆O 的半径为r ，则2r ＝23sin π3＝4，所以r ＝2，所以O 点到BC 的距离为1，过点O 作直线与BC 平行交弧AC 于点D ，△DBC 的面积恰好为3，所以点P 由D 点向A 点移动的过程中，△PBC 的面积越来越大；点P 由D 点向C 点移动的过程中，△PBC 的面积越来越小，因此，为使△PBC 的面积大于3，只需点P 由D 点向A 点移动，所以由几何概型可知，△PBC 的面积大于3的概率等于∠AOD 与角∠AOC 大小之比．因为∠AOD ＝π2，∠AOC ＝2π3，所以△PBC 的面积大于3的概率为P ＝π22π3＝34.答案：348．(选做题)如图，已知AB 是半圆O 的直径，AB ＝8，M ，N ，P 是将半圆圆周四等分的三个等分点．(1)从A ，B ，M ，N ，P 这5个点中任取3个点，求这3个点组成直角三角形的概率； (2)在半圆内任取一点S ，求△SAB 的面积大于82的概率．解：(1)从A ，B ，M ，N ，P 这5个点中任取3个点，一共可以组成10个三角形：△ABM ，△ABN ，△ABP ，△AMN ，△AMP ，△ANP ，△BMN ，△BMP ，△BNP ，△MNP ，其中是直角三角形的只有△ABM ，△ABN ，△ABP 3个，所以组成直角三角形的概率为310.(2)连接MP ，ON ，OM ，OP ，取线段MP 的中点D ，则OD ⊥MP ，易求得OD ＝22，当S 点在线段MP 上时，S △ABS ＝12×22×8＝82，所以只有当S 点落在阴影部分(不在MP 上)时，△SAB 的面积才能大于82，而S 阴影＝S扇形MOP －S △OMP ＝12×π2×42－12×42＝4π－8，所以由几何概型的概率公式得△SAB 的面积大于82的概率为4π－88π＝π－22π.。
辽宁省大连市第二十四中学高三数学复习课件：《几何概型》
引例2：在转盘上有8个面积相等的扇形，转动转盘，求转
盘停止转动时指针落在阴影部分的概率。
与面积有关：面积比
引例3： 在500ml的水中有一只草履虫，现从中随机取出 2ml水样放到显微镜下观察，求发现草履虫的概率。
与体积有关：体积比
第五页，编辑于星期日：二十点 三十分。
例1、(1)在区间[0,1]上任取一数，则这个数大于0.25
的概率为 ( D)
一维：长度
A．0.25 B．0.5 C．0.6 D．0.75
（2）在(0,1)中随机取两个数,求两数之和小于1.2的
概率.
二维：面积
（3）在(-1,1)中随机取三个数,求三个数的平方和小
于1的概率.
三维：体积
第六页，编辑于星期日：二十点 三十分。
（2）在(0,1)中随机取两个数,求两数之和小于1.2的
特点:
(1)无 限 性：试验中所有可能出现的结果(基本事件) 有无限多个.
(2)等可能性：每个基本事件出现的可能性相等.
二、几何概型中,事件A的概率计算公式:
ΩA
第四页，编辑于星期日：二十点 三十分。
引例１：取一根长度为3米的绳子，拉直后在任意位置
剪断．剪得两段的长都不小于1米的概率.
与长度有关：长度比
概率.
y
1.2
1
O
1 1.2 x
第七页，编辑于星期日：二十点 三十分。
（3）在(-1,1)中随机取三个数,求三个数的平方和小 于1的概率.
第八页，编辑于星期日：二十点 三十分。
与长度有关的几何概型
A
P• B
C
第九页，编辑于星期日：二十点 三十分。
与面积有关的几何概型
A
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
几何概型的定义
几何（Geometry）是数学的一个分支，也被称为几何学，是计算物体在空间中的位置，形状及大小的研究，看待空间结构。
它是研究物体形状及图形之间映射关系，主要研究内
容是图形，解析几何，计算几何，代数几何，向量几何。
几何概念复杂，也十分重要。
几何概念是数学中一个重要的组成部分，也是几何研究的核心概念。
几何概念涵盖了
物理或虚拟物体的形状和位置，以及它们之间的关系。
几何概念的定义可能很抽象，然而
它的用途十分广泛，从求解平面或空间的图形到建筑设计等都会用到。
几何概念定义了物体的基本性质。
物体通常可以用形状，大小，以及位置来进行描述，而几何概念则定义了物体之间相互关系。
map，投影变换也是几何概念中的内容。
几何概
念中的概念包含圆形，椭圆形，正多边形，矩形等几何形状；平面，曲面，螺线管等形状；测量距离，面积，体积等变量；和角度，圆心，半径，对称等几何线性关系。
几何概念的定义不仅可以用于表示物体，还可以用于非几何形状的描述。
举例来说，
在电路设计中，将采用多重连接技术用于表示多种复杂关系，比如多次相加，做出比例变换，以及更加复杂的操作。
几何概念也可以用于表示数学模型，比如决策树，时标图等，
用于解决具有复杂内容的数学问题。
因此，可以概括地说，几何概念是描述物体大小及位置，以及物体之间的关系的抽象
概念，它的定义涉及多个不同的领域，研究的内容不仅仅限于物体的形状及图形之间的映
射关系，还包括物体的大小，距离，位置，以及非几何形状的描述。